Centrale Physique 2 PC 2019

Thème de l'épreuve Films de savon, mousses et son
Principaux outils utilisés thermodynamique, acoustique, physique des ondes, hydrodynamique, optique, interférences, électrostatique
Mots clefs savon, mousses, vitesse du son, film fin, bulle, film noir, van der Waals, Newton

Corrigé

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 Centrale Physique 2 PC 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Dupic (ENS Ulm) ; il a été relu par Louis Salkin (professeur en CPGE) et Émilie Frémont (professeur en CPGE). Le sujet porte sur deux phénomènes distincts : la propagation du son dans une mousse et la physique des films de savon. Il est composé de trois parties totalement indépendantes. · La première partie consiste en l'étude d'un « tube de Kundt », un dispositif expérimental permettant de mesurer la vitesse du son. Elle fait appel à la thermodynamique et à la physique des ondes. · La deuxième partie, la plus longue, est consacrée à la formation de films de savon. Elle fait principalement intervenir de l'hydrodynamique. Quatre questions, plus difficiles, portent sur les propriétés optiques du système. · La dernière partie présente le phénomène de « film noir » : l'amincissement progressif de la paroi savonneuse jusqu'à atteindre une taille de quelques nanomètres. Plus précisément, elle porte sur l'équilibre entre forces électrostatiques et forces de Van der Waals au sein du film. C'est un sujet glissant mais assez classique et bien construit. Il contient quelques questions difficiles et calculatoires mais fournit des résultats intermédiaires régulièrement. De longueur classique pour un sujet de Centrale, celui-ci constitue un bon entraînement, permettant de réviser l'acoustique, l'optique ondulatoire, l'hydrodynamique et l'électrostatique. Indications Partie I 2 Utiliser la loi de Laplace. 5 L'impédance acoustique est donnée par le ratio p/v. Attention aux signes. 6 La surpression totale, somme des surpressions incidente et réfléchie, est nulle au niveau de l'interface. 8 Des formules trigonométriques utiles sont données en fin de sujet. 15 La compressibilité de la mousse est la somme pondérée des compressibilités de ses composants. Partie II 20 Appliquer la relation de Laplace aux deux interfaces. 21 La différence de pression entre A et B vérifie la relation de Laplace. 26 Utiliser la tension superficielle entre l'eau savonneuse et l'air (plutôt que celle entre l'eau et l'air). 28 C'est l'interférence entre les ondes réfléchies sur les deux interfaces qui est responsable de l'apparition de couleurs. 29 Pour voir une bande orangée, les interférences doivent être constructives pour la longueur d'onde orange et destructives pour la couleur complémentaire. 34 Utiliser l'équation de Navier-Stokes. La vitesse du fluide est supposée nulle sur les bords. 36 Relier la variation de masse entre les temps t et t + dt à la différence entre les débits massiques entrant et sortant. 40 La zone amincie s'achève quand e(z, t) = e0 . Partie III 43 Passer en coordonnées cylindriques d'axe z, et intégrer d'abord suivant r. 49 Le potentiel électrostatique vérifie l'équation = -/0 r . 50 La concentration est donnée en mol.L-1 , il faut la convertir en m-3 . 51 Ne garder que la solution de l'équation qui ne diverge pas. 52 Le potentiel en x = 0 est négatif. Films de savon, mousses et son I. Acoustique des mousses 1 L'équation de propagation de la surpression acoustique est donnée par 2p 2p - µ =0 a a x2 t2 C'est l'équation d'une onde unidimensionnelle, de célérité ca = 1 µa a 2 Au cours d'une transformation isentropique, un gaz parfait vérifie la loi de Laplace : P V = Cte où est le coefficient adiabatique du gaz. En différentiant cette expression, on obtient V dP + V-1 P dV = 0 et donc dV 1 V =- dP P à entropie fixée Or, la surpression acoustique étant très faible par rapport à la pression de l'air au repos, P P0 , le coefficient de compressibilité isentropique de l'air est a = - 1 V V P S = 1 P0 3 Pour l'air, on obtient numériquement a = 7,07 × 10-6 Pa-1 ca = 3,43 × 102 m.s-1 4 De la même façon, dans l'eau, 1 ce = = 1,4 × 103 m.s-1 µe e L'eau est plus lourde que l'air d'un facteur 103 , mais elle est aussi 104 fois moins compressible. Ces deux facteurs se compensent partiellement. 5 La vitesse v i et la pression pi sont reliées par l'impédance acoustique Za du milieu, de sorte que pi = Za v i Pour une onde acoustique plane progressive, Za = + - µa c a Le signe de Za dépend du sens de propagation de l'onde. Avec les notations choisies, Z a = µa c a Finalement v i (x, t) = pi0 exp (j(t - kx)) µa c a Le sujet ne demande pas de démonstration, mais on peut retrouver ce résultat facilement en exploitant l'équation d'Euler en projection sur Ox. Au premier ordre, on obtient l'équation v p =- t x dont on déduit les relations précédentes. µa 6 On se place au niveau de l'interface, en x = L ; la surpression acoustique totale p(L, t) y est supposée nulle, donc on peut écrire 0 = p(L, t) = pi (L, t) + pr (L, t) = pi (L, t) (1 + rp ) 0 = pi0 exp (j (t - kL)) (1 + rp ) La relation est valide pour tout t, de sorte que, si la surpression n'est pas nulle, rp = -1 De plus, l'onde réfléchie se propage dans le sens opposé à l'onde incidente : l'impédance acoustique associée est négative. Il vient les relations et v i (L, t) = pi (L, t) µa c a v r (L, t) = -pr (L, t) -rp pi (L, t) = µa c a µa c a Finalement, le coefficient de réflexion en vitesse vaut rv = v r (L, t) = -rp = 1 v i (L, t) 7 L'onde réfléchie se déplace dans le sens opposé à l'onde incidente : pr (x, t) = rp pi0 exp ( j (t + kx)) v r (x, t) = rv v i0 exp ( j (t + kx)) soit pr (x, t) = -pi0 exp ( j (t + kx)) v r (x, t) = v i0 exp ( j (t + kx)) En prenant la partie réelle, pr (x, t) = -pi0 cos (t + kx) v r (x, t) = v i0 cos (t + kx) 8 La surpression acoustique totale dans le tube p(x, t) est la somme de la surpression incidente et de la surpression réfléchie (les équations de propagation sont linéaires) :