Centrale Physique 2 PC 2019

Thème de l'épreuve Films de savon, mousses et son
Principaux outils utilisés thermodynamique, acoustique, physique des ondes, hydrodynamique, optique, interférences, électrostatique
Mots clefs savon, mousses, vitesse du son, film fin, bulle, film noir, van der Waals, Newton

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Centrale Physique 2 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Dupic (ENS Ulm) ; il a été relu par Louis
Salkin (professeur en CPGE) et Émilie Frémont (professeur en CPGE).

Le sujet porte sur deux phénomènes distincts : la propagation du son dans une
mousse et la physique des films de savon. Il est composé de trois parties 
totalement
indépendantes.
· La première partie consiste en l'étude d'un « tube de Kundt », un dispositif
expérimental permettant de mesurer la vitesse du son. Elle fait appel à la
thermodynamique et à la physique des ondes.
· La deuxième partie, la plus longue, est consacrée à la formation de films de
savon. Elle fait principalement intervenir de l'hydrodynamique. Quatre 
questions, plus difficiles, portent sur les propriétés optiques du système.
· La dernière partie présente le phénomène de « film noir » : l'amincissement
progressif de la paroi savonneuse jusqu'à atteindre une taille de quelques 
nanomètres. Plus précisément, elle porte sur l'équilibre entre forces 
électrostatiques
et forces de Van der Waals au sein du film.
C'est un sujet glissant mais assez classique et bien construit. Il contient 
quelques
questions difficiles et calculatoires mais fournit des résultats intermédiaires 
régulièrement. De longueur classique pour un sujet de Centrale, celui-ci 
constitue un
bon entraînement, permettant de réviser l'acoustique, l'optique ondulatoire, 
l'hydrodynamique et l'électrostatique.

Indications
Partie I
2 Utiliser la loi de Laplace.
5 L'impédance acoustique est donnée par le ratio p/v. Attention aux signes.
6 La surpression totale, somme des surpressions incidente et réfléchie, est 
nulle au
niveau de l'interface.
8 Des formules trigonométriques utiles sont données en fin de sujet.
15 La compressibilité de la mousse est la somme pondérée des compressibilités de
ses composants.
Partie II
20 Appliquer la relation de Laplace aux deux interfaces.
21 La différence de pression entre A et B vérifie la relation de Laplace.
26 Utiliser la tension superficielle entre l'eau savonneuse et l'air (plutôt 
que celle
entre l'eau et l'air).
28 C'est l'interférence entre les ondes réfléchies sur les deux interfaces qui 
est
responsable de l'apparition de couleurs.
29 Pour voir une bande orangée, les interférences doivent être constructives 
pour la
longueur d'onde orange et destructives pour la couleur complémentaire.
34 Utiliser l'équation de Navier-Stokes. La vitesse du fluide est supposée 
nulle sur
les bords.
36 Relier la variation de masse entre les temps t et t + dt à la différence 
entre les
débits massiques entrant et sortant.
40 La zone amincie s'achève quand e(z, t) = e0 .
Partie III
43 Passer en coordonnées cylindriques d'axe z, et intégrer d'abord suivant r.
49 Le potentiel électrostatique vérifie l'équation  = -/0 r .

50 La concentration est donnée en mol.L-1 , il faut la convertir en m-3 .
51 Ne garder que la solution de l'équation qui ne diverge pas.
52 Le potentiel en x = 0 est négatif.

Films de savon, mousses et son
I. Acoustique des mousses
1 L'équation de propagation de la surpression acoustique est donnée par
 2p
2p
-
µ

=0
a
a
x2
t2
C'est l'équation d'une onde unidimensionnelle, de célérité
ca = 

1
µa  a

2 Au cours d'une transformation isentropique, un gaz parfait vérifie la loi de
Laplace :
P V = Cte
où  est le coefficient adiabatique du gaz. En différentiant cette expression, 
on obtient
V dP +  V-1 P dV = 0
et donc

dV
1 V
=-
dP
 P

à entropie fixée

Or, la surpression acoustique étant très faible par rapport à la pression de 
l'air au
repos, P  P0 , le coefficient de compressibilité isentropique de l'air est
a = -

1
V

V
P

S

=

1
 P0

3 Pour l'air, on obtient numériquement
a = 7,07 × 10-6 Pa-1
ca = 3,43 × 102 m.s-1
4 De la même façon, dans l'eau,
1
ce = 
= 1,4 × 103 m.s-1
µe  e
L'eau est plus lourde que l'air d'un facteur 103 , mais elle est aussi 104 fois
moins compressible. Ces deux facteurs se compensent partiellement.
5 La vitesse v i et la pression pi sont reliées par l'impédance acoustique Za 
du milieu,
de sorte que
pi = Za v i
Pour une onde acoustique plane progressive,
Za = +
- µa c a

Le signe de Za dépend du sens de propagation de l'onde. Avec les notations 
choisies,
Z a = µa c a
Finalement

v i (x, t) =

pi0
exp (j(t - kx))
µa c a

Le sujet ne demande pas de démonstration, mais on peut retrouver ce résultat
facilement en exploitant l'équation d'Euler en projection sur Ox. Au premier
ordre, on obtient l'équation
v
p
=-
t
x
dont on déduit les relations précédentes.
µa

6 On se place au niveau de l'interface, en x = L ; la surpression acoustique 
totale
p(L, t) y est supposée nulle, donc on peut écrire
0 = p(L, t)
= pi (L, t) + pr (L, t)
= pi (L, t) (1 + rp )
0 = pi0 exp (j (t - kL)) (1 + rp )
La relation est valide pour tout t, de sorte que, si la surpression n'est pas 
nulle,
rp = -1
De plus, l'onde réfléchie se propage dans le sens opposé à l'onde incidente : 
l'impédance acoustique associée est négative. Il vient les relations

et

v i (L, t) =

pi (L, t)
µa c a

v r (L, t) =

-pr (L, t)
-rp pi (L, t)
=
µa c a
µa c a

Finalement, le coefficient de réflexion en vitesse vaut
rv =

v r (L, t)
= -rp = 1
v i (L, t)

7 L'onde réfléchie se déplace dans le sens opposé à l'onde incidente :
pr (x, t) = rp pi0 exp ( j (t + kx))
v r (x, t) = rv v i0 exp ( j (t + kx))
soit

pr (x, t) = -pi0 exp ( j (t + kx))
v r (x, t) = v i0 exp ( j (t + kx))

En prenant la partie réelle,
pr (x, t) = -pi0 cos (t + kx)
v r (x, t) = v i0 cos (t + kx)
8 La surpression acoustique totale dans le tube p(x, t) est la somme de la 
surpression
incidente et de la surpression réfléchie (les équations de propagation sont 
linéaires) :