Centrale Physique 2 PC 2019

Thème de l'épreuve Films de savon, mousses et son
Principaux outils utilisés thermodynamique, acoustique, physique des ondes, hydrodynamique, optique, interférences, électrostatique
Mots clefs savon, mousses, vitesse du son, film fin, bulle, film noir, van der Waals, Newton

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Physique 2
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2019

Films de savon, mousses et son

Les films de savon (ou plus généralement de tensioactif) sont l'objet de 
recherches actuelles pour différentes
raisons. D'un point de vue fondamental, le film plan peut constituer, par 
exemple, un excellent système modèle
pour l'étude de la membrane biologique. D'un point de vue industriel, l'étude 
des propriétés physiques des
mousses de savon, dont le constituant de base est la bulle de savon, a de 
nombreuses applications (lessives,
mousses pétrolières.). Dans le domaine de l'acoustique, il a été montré 
récemment que les mousses possèdent
des propriétés étonnantes : selon la fréquence du son, il existe deux régimes 
de propagation acoustique non
dispersifs. Et dans la zone de transition entre les deux régimes, le son se 
propage très difficilement, il semble
être « bloqué dans la mousse » !

La partie I est consacrée à l'étude d'un dispositif expérimental très simple, 
permettant une mesure de l'ordre de
grandeur de la célérité du son dans la mousse, pour le régime des basses 
fréquences. La partie IT et la partie III
sont dédiées à l'étude des films de savon plans. Ces trois parties sont 
totalement indépendantes.

Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du 
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Des données numériques et un formulaire figurent à la fin du sujet.

I Acoustique des mousses

Une mousse de savon peut être aisément créée à l'aide d'un « bulleur » (type 
bulleur d'aquarium) et d'une
solution d'eau savonneuse. Pour étudier les propriétés acoustiques de la 
mousse, on met au point le dispositif
expérimental schématisé en figure 1. La mousse est insérée dans un long tube 
horizontal cylindrique (dit « tube
de Kundt »), de longueur L = 50 cm, dont elle occupe tout le volume. À une 
extrémité du tube, on dispose un
haut parleur qui émet l'onde sonore qui va se propager dans la mousse. Pour 
capter l'onde sonore, on déplace
un microphone, de type microphone électrostatique, le long de l'axe (Ox) du 
tube. Le signal sonore est converti
en un signal électrique, que l'on peut observer à l'aide d'un oscilloscope.

Haut-parleur Tube Mousse Microphone

GBF

L Oscilloscope

Figure 1 Schéma du dispositif expérimental pour une mesure de la célérité du 
son dans la mousse

LA - Nous étudions d'abord la propagation d'une onde sonore dans le tube rempli 
d'air. On considère
que le tube est ouvert à ses deux extrémités : côté haut-parleur, où l'on 
choisit x = 0 et également de l'autre
côté en x = L. On considère que l'évolution de l'air est isentropique au 
passage de l'onde sonore.

Lorsque l'air est au repos dans le tube, la pression est uniforme et vaut P,. 
En présence de l'onde sonore, une
surpression acoustique p(x,t) est induite et la pression totale vaut P(x,t) = 
P, +p(x,t). Le champ des vitesses
(des particules de fluide) associé à l'onde est ü(x,t) = v(x,t)ù, et la masse 
volumique est u(x,t) = u,+u(x,t)
où y, est la masse volumique de l'air au repos.

On travaille dans l'approximation acoustique : p(x,t)  P,, u(x,t) & c, avec c, 
célérité du son dans l'air et

0? 0?
enfin u,(x,t) & u,. On rappelle l'équation de propagation pour la surpression 
acoustique : = -- LaXa = 0,

_v\oP

Q 1. Donner l'expression littérale de la célérité du son dans l'air, c,, en 
fonction de y, et x,.

1 /OV
où x, est le coefficient de compressibilité isentropique de l'air défini par x, 
= ( ) .
S

On note ? le coefficient adiabatique du gaz, rapport des capacités thermiques à 
pression constante et à volume
constant.

2019-03-05 08:49:30 Page 1/8 CHE
1
2. Démontrer que, dans l'approximation acoustique, Y, = ---- pour l'air 
considéré comme un gaz parfait.
Xa yP,
(

Q 3. Calculer numériquement x, et c,, avec P, = 1,01 x 10° Pa, u, = 1,20 kg-m * 
et y = 1,40.

Q 4. Calculer c, la célérité du son dans l'eau (voir données en fin d'énoncé).

I.B - Considérons la propagation d'une onde incidente, progressive, plane, 
harmonique (OPPH) de
pulsation w, de nombre d'onde k, dans le sens des x croissants. La surpression 
acoustique est p,(t,t) = p;n Cos(wt--
kx), avec p; réel strictement positif. Le champ des vitesses est d,(x,t) = 
v,(x,t)ü,. Dans la suite, à chaque
grandeur physique variant sinusoïidalement on pourra associer une grandeur 
complexe, repérée par un symbole
souligné, par exemple PACE t) = po eXp(J(wt -- kx)). Lorsque l'amplitude et la 
phase sont à priori inconnues, on
choisira une notation du type CACZ t) = v, exp(j(wt -- kx)), où v,, st à priori 
un complexe quelconque.

Cette onde subit une réflexion dans le plan x = L et donne naissance à une onde 
réfléchie, de type OPPH de
pulsation w, pour laquelle la surpression acoustique et le champ des vitesses 
sont notés respectivement p,(x,t)
et ü,.(x,t) = v,(x,t)u,.

Q 5. Donner, sans démonstration, l'expression de u,(x,t) en fonction de x, t{, 
w, k, p; et de l'impédance
acoustique du milieu (ici l'air), dont on donnera l'expression en fonction de 
u, et c,.

On admettra dans la suite que la surpression acoustique aux extrémités d'un 
tuyau ouvert est nulle.

Q 6. Déterminer l'expression des coefficients de réflexion en surpression et en 
vitesse définis respectivement
par r, = p (L.t)/p (Lt) et r, = 0 (Lt)/u (Lt).
Q 7. Établir l'expression de p (x. t) et de u (x. t), puis celle de p,(x,t) et 
de v,(x,t).

Q 8. En déduire l'expression de la surpression acoustique dans le tube p(x,t), 
et celle de la vitesse (x, t).
Comment nomme-t-on ce type d'ondes ? Que dire en x = L ?

Q 9. Montrer que, pour les ondes dans le tube, k ne peut prendre qu'un ensemble 
discret de valeurs, notées
k,,, repérées par un entier n strictement positif. Chaque valeur de n 
correspond à un mode propre ondulatoire
particulier.

Q 10.  Exprimer les longueurs d'ondes À, associées au mode d'ordre n en 
fonction de n et L, ainsi que les
fréquences f, associées en fonction de n, c, et L.

Q 11. Tracer, à un instant t{ donné, l'allure de p(x,t) dans le tube, pour n = 
1 et n = 2.

IC - Le tube est maintenant rempli d'une mousse qui peut être décrite comme un 
ensemble de bulles d'air,
dont la dimension caractéristique est À & 20 pm, séparées par de minces films 
d'eau savonneuse (d'épaisseur de
l'ordre du micromètre). Nous étudions alors la propagation de l'onde sonore 
dans la mousse. Sous réserve que
l'on puisse considérer la mousse comme un milieu continu, on admet que les 
résultats obtenus précédemment
pour l'onde sonore sont valables dans la mousse, en remplaçant simplement c, 
par EUR,,, célérité du son dans la
mousse. Les propriétés de l'eau savonneuse (masse volumique et coefficient de 
compressibilité) sont assimilées à
celles de l'eau pure.

On règle la fréquence de l'onde sonore émise par le haut-parleur à la valeur f 
-- 200 Hz. En déplaçant le
microphone dans la mousse, dans la direction de l'axe (Ox), on repère les 
noeuds de surpression acoustique. Ils
correspondent aux positions : æ, = 0,0 cm, zx, = 9,9 cm, 3 = 20,0 cm, x, = 30,0 
cm, x; -- 39,8 cm, x4 = 50,0 cm.
La précision sur la mesure est de l'ordre de 2 mm.

Q 12.  Déduire de ces mesures une estimation de EUR,, à cette fréquence. 
Commenter.

Q 13. Quelle condition expérimentale doit-on vérifier pour pouvoir considérer 
la mousse comme un milieu
continu ? Peut-on considérer que c'est le cas (on s'appuicra sur des valeurs 
numériques) ?

ID -- Dans la suite, on considérera la mousse comme un milieu continu, 
homogène, de masse volumique
au repos 4, et de compressibilité isentropique x,,.

Nous souhaitons comparer la célérité estimée à la question 12 à la célérité 
donnée par la loi de Wood cy; --

LE Xm:

Q 14. La fraction volumique de liquide (eau savonneuse de masse volumique 
assimilée à u,) dans la mousse

est & = 0,10. Établir l'expression de la masse volumique 1, en fonction de ©, 
4, et u1,. En donner une expression
littérale simplifiée en considérant les ordres de grandeur des termes en 
présence.

Q 15.  Exprimer x,, en fonction de 6, x, (coefficient de compressibilité 
isentropique de l'eau savonneuse
assimilé à celui de l'eau pure) et *x,.

Q 16. Montrer, en s'appuyant sur des ordres de grandeur numériques, que l'on 
peut donner une expression
littérale approchée de x...

Q 17. En déduire que la loi de Wood permet d'exprimer la célérité du son c,, 
dans la mousse en fonction de
T: F 0? ® et He:

Q 18. Faire l'application numérique pour EUR,, et comparer avec la valeur 
mesurée expérimentalement.

2019-03-05 08:49:30 Page 2/8 (Cc)EATET:
IT Formation et drainage d'un film de savon plan

Dans cette partie, on s'intéresse au film d'eau savonneuse qui sépare les 
bulles d'air dans une mousse de savon.
Dans sa réalisation la plus simple, un tel film de savon peut être obtenu en 
plongeant un cadre dans de l'eau
savonneuse et en le sortant lentement : du liquide est entrainé et reste « 
accroché » sur le cadre. Dans toute la
suite, les films de savons étudiés seront formés sur un cadre plan, vertical.

Dans une telle expérience, en formant le film, on augmente l'aire de 
l'interface liquide-air, ce qui à un « cout
énergétique », car l'interface se comporte comme une membrane élastique. Si on 
note o le cocfficient de tension
superficielle liquide-air, augmenter l'interface d'une aire dA nécessite 
d'apporter l'énergie odA. C'est là que la
présence des molécules de savon dans l'eau se révèle intéressante : ces 
molécules sont composées d'une partie
hydrophile (tête polaire) et d'une partie hydrophobe (chaine hydrocarbonée) : 
elles se placent ainsi spontanément
à l'interface air-eau. Elles diminuent l'énergie de l'interface air-eau et la 
membrane élastique que constitue
l'interface est alors plus facile à étirer : le coefficient de tension 
superficielle de l'eau savonneuse est plus faible
que celui de l'eau pure. La figure 2 donne une représentation schématique de la 
structure du film de savon.

V Haut du cadre

N

Cadre Film de savon Molécule de savon

Tête polaire
LT P

5 MN
--------- 1 __ Eau savonneuse Lan
a get -- Chaine hydrocarbonée

Vue de face Vue de profil en coupe

Figure 2 Film de savon plan formé sur un cadre rectangulaire vertical, tiré du 
baïn d'eau savonneuse à la
vitesse V (les représentations ne sont pas à l'échelle)

IT. À -- Quelques résultats préliminaires

Nous abordons tout d'abord, de façon générale, la notion de tension de surface 
entre deux milieux, ici liquide-air,
le liquide étant quelconque (pas forcément de l'eau savonneuse). Le coefficient 
de tension superficielle est noté ©.
II.A.1) Nous considérons le cas d'une bulle d'air, au sein du liquide.

Q 19. Expliquer qualitativement pourquoi, en l'absence de gravité, ou lorsque 
l'on peut négliger la gravité
(cas des petites bulles), la bulle doit être sphérique.

Nous considérons une bulle sphérique de rayon À. À l'intérieur de la bulle la 
pression est P. et à l'extérieur la
pression est À.

20

2

Q 20. Comment s'exprime la relation de Laplace, non plus dans le cas d'une 
bulle d'air dans le liquide, mais
pour une bulle de savon sphérique dans l'air (bulle d'air enserrée par un mince 
film de liquide) ?

On admettra qu'à l'équilibre ces pressions vérifient la relation de Laplace : 
P; = P, +

II. A.2) Lorsque la gravité n'est plus négligeable, on observe une déformation 
des systèmes (bulles d'air,
bulles de savon, gouttes...). Nous cherchons à déterminer, en considérant une 
situation expérimentale particulière,
une dimension pour laquelle les effets de la gravité et les effets de la 
tension superficielle sont comparables.

Nous plongeons un tube fin, cylindrique, en verre, dans un becher contenant le 
liquide de coefficient de tension

superficielle & et de masse volumique p. Par capillarité, le liquide monte dans 
le tube d'une hauteur À (figure 3).
Le ménisque est supposé être une demi-sphère de rayon À.

Figure 3 Montée capillaire du liquide dans un tube fin

Q 21. En utilisant les points À, B et C' représentés sur la figure 3, exprimer 
h en fonction de ©, RÀ, p et g
l'accélération de la pesanteur.

2019-03-05 08:49:30 Page 3/8 (Cc)EATET:
Q 22. En s'appuyant sur un argument dimensionnel, construire une grandeur 
homogène à une longueur à
partir des grandeurs o, p et g. Celle longueur, appelée longueur capillaire, 
est notée K7!.

Q 23. Déterminer numériquement & ! pour l'eau pure.

Q 24. En considérant l'exemple traité en question 21, exprimer le rapport h/R 
en fonction de R et de #°f.

À quelle condition sur R et «7! l'élévation de l'eau dans le tube est-elle 
négligeable ?

II.B - Formation d'un film plan et observations macroscopiques
Nous revenons à l'étude d'un film plan, formé sur un cadre rectangulaire 
vertical que l'on sort d'un baïn d'eau
savonneuse, à vitesse constante V & I cms !.

II.B.1) On définit le nombre capillaire C", qui compare les effets de la 
tension superficielle et des forces

V
visqueuses : C7, -- Le où 7 est la viscosité de l'eau savonneuse et V la 
vitesse à laquelle le cadre est sorti du
O

bain d'eau savonneuse.
Q 25. Quelle est la dimension de C,, ?
Q 26. En quoi ce nombre est-il pertinent pour l'étude de l'épaisseur d'un film 
fraichement formé ?

Q 27. À faible nombre capillaire, on propose une expression de l'épaisseur e du 
film fraichement formé :
e À 2K71C?/ 3. Calculer numériquement l'ordre de grandeur de e. La viscosité de 
l'eau savonneuse sera prise
égale à celle de l'eau.

II.B.2) Sous l'effet de la gravité, le liquide entrainé dans le film 
fraichement formé s'écoule. En 1704, Newton,
dans son « Traité d'optique », observant des bulles de savon sphériques, est le 
premier à faire une description
macroscopique d'un tel drainage gravitaire (document 1). Le document 2 donne 
une roue des couleurs

---- Document 1
Extrait de la XVI observation du « Traité d'Optique » d'Isaac Newton (1704).

Si en soufflant dans de l'eau qui aura été épaissie avec un peu de savon, on 
élève une bulle, c'est une observation
commune qu'après un certain temps cette bulle parait teintée d'une grande 
variété de couleurs. [...| Les différentes
couleurs paraiïissaient dans un ordre très régulier, comme autant d'anneaux 
concentriques, qui entouraient le
haut de la bulle. Et à mesure que l'eau, en s'écoulant continuellement en bas, 
rendait la bulle plus mince, ces
anneaux se dilataient lentement et se répandaient sur toute la bulle, 
descendant par ordre jusqu'au bas, où ils
disparaissaient chacun à son tour. Cependant après que toutes les couleurs 
eurent paru au haut de la bulle, il se
forma dans le centre des anneaux une petite tache noire et ronde [...|, 
laquelle tache se dilatait continuellement
jusqu'à ce qu'elle eut acquis plus de la moitié ou des trois quarts d'un pouce 
en largeur avant que la bulle crevât.

___ Document 2 : Roue des couleurs

700 | 400

430

620
Violet

980 460

960 490

Chaque couleur est diamétralement opposée à sa couleur complémentaire. Une 
couleur et sa couleur complémen-
taire ajoutées ensemble donnent du blanc. Par exemple, la couleur 
complémentaire de l'orangé est le bleu-indigo.
Les longueurs d'onde associées aux rayons de la roue sont données en nanomètre.

Le film vertical, observé par la réflexion d'une lumière blanche éclairant le 
film en incidence normale, présente
sur toute sa surface une succession de franges colorées horizontales. Le 
phénomène observé résulte des inter-
férences entre les deux premières ondes lumineuses réfléchies par le film de 
savon. Il convient de noter qu'à
l'interface air-eau savonneuse, la réflexion de l'onde s'accompagne d'un 
déphasage de 7 alors qu'elle s'effectue
sans déphasage à l'interface eau savonneuse-air.

Q 28. Proposer une modélisation simple du problème permettant d'expliquer la 
présence de franges colorées
horizontales.

Q 29. Quelle est l'épaisseur du film à l'endroit où l'on observe une bande 
colorée orangée ? Même question
pour une bande colorée rouge (les réponses argumentées doivent aboutir à des 
valeurs numériques).

Q 30. En théorie, dans quel ordre apparaissent les couleurs (de haut en bas) ?

2019-03-05 08:49:30 Page 4/8 (Cc)EATET:
Q 31. Si l'on place un écran noir derrière le film plan vertical, on peut voir 
apparaitre les taches noires
décrites par Newton. Expliquer et donner une majoration de l'épaisseur du film 
à l'endroit de ces taches noires.

II.C - Étude du drainage gravitaire du film

On forme un film plan sur un cadre rectangulaire vertical, dont la largeur est 
{. À t = 0. l'épaisseur du film
fraichement formé est supposée uniforme sur toute la surface du film et est 
notée e, ; elle vérifie e,  {. Dans cette
sous-partie II.C, on cherche à rendre compte de l'amincissement progressif du 
film, dû au drainage gravitaire.
Nous considérons ici que le seul rôle de la tension superficielle est de 
rigidifier les interfaces qui limitent le film.
Tout se passe comme si le liquide était enserré par deux murs rigides, mais 
permettant d'assurer l'égalité des
pressions de part et d'autre de l'interface.

La masse volumique p de l'eau savonneuse est supposée invariable ; la viscosité 
est notée 7. On note (Oz) l'axe
vertical, orienté par un vecteur ü,, vecteur unitaire vertical descendant. On 
note (Ox) l'axe horizontal normal
au plan du film de savon. Le point © est au sommet du film, au milieu du cadre 
rectangulaire. L'ensemble est
représenté sur la figure 4.

II.C.1) On suppose le régime stationnaire établi. L'épaisseur du film, e(z), 
est une fonction de z et
en négligeant les effets de bord, on suppose que le vecteur vitesse des 
particules de fluide est de la forme

de
Ü = v,(x,y,z)u.. L'interface film-air est supposée quasi-verticale : E « I.
Z

Figure 4 Représentation schématique, non à l'échelle, du film fraichement formé

Q 32.  Justifier qu'il est légitime d'écrire que la composante du vecteur 
vitesse ne dépend que de x : v,(x).
Q 33. Justifier que la pression est à peu près uniforme dans le film.
Q 34. Déterminer le profil des vitesses v,(x).

Q 35. Montrer que le débit volumique, à travers une section horizontale du 
film, à la cote z, dans le sens

l
vertical descendant, est d, -- Te (e(2))". avec g accélération de la pesanteur.
7]
II.C.2) Nous considérons maintenant que le film est d'épaisseur variable dans 
le temps, e(z,t), le long de la

direction (Oz). On admet que l'on peut utiliser le résultat de la question 35 
avec une épaisseur dépendant du
temps.

Q 36. Faire un bilan de matière pour une tranche de film, de hauteur dz et 
trouver une équation aux dérivées
partielles reliant e(z,t), d, et L. En déduire l'équation aux dérivées 
partielles régissant l'évolution de e(z,t).
Outre une solution de type constante (e,, épaisseur initiale du film) on peut 
rechercher les solutions de l'équation
différentielle précédente sous la forme : e(z,t) = f(z)h(t), où f et h sont des 
fonctions réelles. La fonction f
recherchée ne s'annule pas, pour z > 0.

Q 37. Expliquer pourquoi une solution avec e(z,t) uniforme et constant est ici 
inacceptable.

Q 38. Dans le cas où e(z,t) -- f(z)h(t), montrer qu'il existe une constante C 
telle que f et h vérifient
d dh _
Tr DT -- rar ME) © = C, pour tout z et tout f.

Très peu de temps après avoir été formé, le film, d'épaisseur uniforme e, à 
l'instant { = 0, s'amincit par le haut,
du fait de l'écoulement du fluide. Dans la zone amincie, où l'épaisseur est 
plus petite que l'épaisseur initiale, on
admet que l'épaisseur du film peut s'écrire e(z,t) = f(z)h(t), où f et À 
vérifient les équations données dans la
question 38.

Q 39. On donne h(t) -- pour t > 0. Montrer que e(z,t) est alors de la forme 
e(z,t) -- a/£ où «à est

1
v2Ct
une constante que l'on exprimera en fonction de », p et g.

Q 40. À un instant t{ > 0 donné, montrer que la zone amincie s'étend jusqu'à 
une valeur limite de z, notée
2, que l'on exprimera en fonction de p, m, g,t et eo.

Q 41. Tracer l'allure du film de savon vu de profil pour deux instants +, et &, 
avec t, < t, tels qu'à t,, 4 vaut à peu près e,/10 et qu'à &, 2, vaut 5e. Q 42. Comment progresse la zone amincie au cours du temps ? Ce modèle vous parait-il réaliste dans la phase initiale de l'expérience (2, plus petit ou comparable à e,) ? 2019-03-05 08:49:30 Page 5/8 (Cc)EATET: III Film noir Au cours du drainage, lorsque l'épaisseur du film devient de l'ordre de 100 nm, d'autres phénomènes que le drainage gravitaire entrent en jeu : le film s'amincit brusquement et va se stabiliser ensuite à une épaisseur bien définie. Il est alors quasi-transparent et est dit « film noir » (si l'on place un écran noir derrière le film, il apparait noir). Son état résulte de l'équilibre entre différentes interactions : attraction de van der Waals et répulsion d'origine électrostatique. Nous nous proposons d'étudier ces différentes interactions. Dans toute cette partie, l'épaisseur du film est supposée uniforme sur toute sa surface. III. À -- Nous nous intéressons d'abord à l'attraction de van der Waails : le demi-espace d'air d'un côté du film est attiré par le demi-espace de l'autre côté, ce qui provoque le brusque amincissement observé. L'énergie potentielle d'interaction, associée aux forces de van der Waals, entre deux molécules À et B est Vip = --. où K est une constante (que l'on ne cherche pas à connaitre) qui dépend de la nature des molécules T et du milieu et où r,Z est la distance entre les deux molécules. Q 43. Calculer, par intégration, l'énergie potentielle d'interaction ÆE(d) entre une molécule À et un demi- espace de molécules B (figure 5), en fonction de K, de d la distance de À au demi-espace et de n} le nombre de molécules par unité de volume dans le demi-espace. ÿ >

Figure 5 Molécule À placée à la distance d d'un demi-espace infini de molécules 
B

De même, on peut calculer par intégration l'énergie potentielle d'interaction 
entre deux demi-espaces distants
de D. Entre une aïre unité du premier demi-espace et le deuxième demi-espace, 
on a l'énergie potentielle

d'interaction U(D) où À est la constante de Hamaker qui dépend de la nature des 
molécules et du

_. --H
127 D?
milieu séparant les deux demi-espaces. L'ordre de grandeur de H est ici H & 1 x 
10 # J.

ITI.B -- Lorsque le film s'amincit sous l'effet des forces de van der Waals, il 
y a aussi une répulsion qui
apparait entre les deux interfaces qui limitent le film. En cffet, les 
molécules de savon (molécules tensioactives),
sont le plus souvent ioniques : leur dissociation en milieu aqueux laisse à 
l'interface une tête polaire chargée et
un contre-ion (de charge opposée) libéré en solution. Ce sont donc deux paroïs 
chargées de même signe qui se
rapprochent.

Nous raisonnons dans le cas d'un plan chargé négativement (la tête polaire 
porte une charge --e) et les contre-
ions libérés portent la charge +e. De plus, dans la majorité des situations 
expérimentales, des sels dissociés
(généralement [Na' CI |) sont également présents en solution. Ils portent 
respectivement la charge +e (contre-
ions) et la charge --e (co-ions). Chacune des parois chargées est ainsi 
entourée d'un cortège de contre-ions
(provenant du sel ou de la molécule de savon dissociée), attirés par la paroi 
chargée ; l'ensemble forme une
double-couche électrostatique (figure 6). Lorsque le film s'amincit, le 
recouvrement partiel des deux double-
couches électrostatiques (correspondant aux deux parois du film) crée une 
augmentation de pression et donc
une force répulsive au sein du film de savon. Aïnsi, nous sommes amenés à 
étudier la répartition des charges en
solution au voisinage d'un plan chargé.

A

A e EUR &

= Ge © © Co-ion
Tête polaire chargée oe ® _S

1 @ @) @ »> TL

ce

A © ® ©

À «© RQ

= ® © Contre-ion

Figure 6 Représentation schématique d'une « double-couche » électrostatique 
modélisant une paroi du film
de savon

On note EUR, la concentration particulaire (nombre d'ions par unité de volume) 
en ions provenant du sel ajouté à
la solution. L'axe (Ox) est toujours normal au plan du film de savon ; le plan 
de l'interface chargée correspond

2019-03-05 08:49:30 Page 6/8 (Cc)EATET:
à x -- 0 (figure 6). On note c,(x) et c_(x) les concentrations particulaires, 
respectivement en ions positifs et
négatifs, dans la solution au voisinage du plan chargé. On note (x) le 
potentiel électrostatique dans la solution.

Q 44.  Rappeler la forme de V(r), énergie potentielle d'interaction 
électrostatique entre deux charges q, et
d, distantes de r, dans le vide (on choisit une expression telle que quand r -- 
æ on a V(r) -- 0).

En solution, cette expression est identique, à condition de remplacer £4 par 
EUR,EUR0, avec EUR, -- 80, la permittivité
relative de l'eau.

Q 45. À partir de quelle distance 8. appelée longueur de Bjerrum, l'énergie 
potentielle V(r) entre deux
charges +e est-elle comparable à l'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation 
thermique k ZT?

Q 46. Calculer numériquement /;, dans le cas de l'eau à T'& 3 x 10° K.

Dans la suite, on pourra utiliser tous les résultats d'électrostatique connus 
dans le vide, en remplaçant simplement
EURo Par EUR,EURg-

Q 47.  Exprimer l'énergie potentielle Æ,, (x) d'un cation, de charge +e dans le 
potentiel électrostatique Y(x).
Même question pour E,_(x), énergie d'un ion de charge --e.

--E, , (x
La concentration particulaire en ions en solution est donnée par une loi de 
Boltzmann : c, (x) = co exp (-- . ) |
B
--E,_ (x) \ / -
et c_(x) = Cy EXP pe Jr où T'est la température en Kelvin.
B

Q 48.  Exprimer la densité volumique de charge p(x) en fonction de EUR, (x) et 
c_(x).

-- sinh | --

dx?  X2 k2T

D B
et donner l'expression de À;,, longueur de Debye, en fonction de k3, T, EUR,, 
EUR, EUR et e, puis en fonction, entre
autres, de lg.

Q 49. Montrer que le potentiel Y{(x) vérifie une équation différentielle de la 
forme

af

Q 50. Calculer numériquement À,, pour une valeur de EUR, correspondant à 1 x 
107% mol-L--! de sel ajouté en
solution d'une part et pour 0,1 mol-L-! d'autre part.

Q 51. Dans le cas des potentiels faibles on peut linéariser l'équation 
précédente : on utilise le développement
sinh x & x. Donner alors la forme de (x). On introduira 4, le potentiel en x = 
0.

Q 52. En déduire la forme de EUR, (x) et c_(x). Tracer l'allure des courbes 
représentant ces fonctions. Interpréter
physiquement la longueur de Debye.

ITI.C - Grâce au calcul précédent, on peut montrer que l'énergie potentielle 
d'interaction, W(D), entre
les deux plans chargés distants de D (interfaces limitant le film de savon) 
suit une loi du type: W(D) --
W,exp(--D/;,), où W, est une grandeur positive, homogène à une énergie par 
unité de surface, qui dépend du
potentiel de surface #1.

L'énergie potentielle totale d'interaction (par m°) entre les deux parois du 
film est alors E,(D) = U(D)+W(D).
La figure 7 présente la forme de cette énergie potentielle totale, pour deux 
situations expérimentales différentes,
correspondant à des concentrations en sel ajouté notées respectivement EUR, et 
©. On a EUR, < ©. Q 53. L'éncrgic potentielle totale représentée en figure 7 vous semble-t-elle réaliste lorsque D tend vers 0 ? Proposer éventuellement une allure modifiée pour la courbe E,(D), en justifiant votre démarche. Q 54. Expliquer pourquoi, à l'issue du drainage du film, on peut à priori observer deux types de films noirs différents. Le premier type, d'épaisseur la plus importante est appelé « film noir commun » et le deuxième type, d'épaisseur la plus faible, est appelé « film noir de Newton » ou « second film noir ». Q 55. Une concentration en sel élevée favorise t-elle la formation d'un film noir commun, ou d'un film de Newton (réponse qualitative attendue) ? 2019-03-05 08:49:30 Page 7/8 (Cc)EATET: ---- concentration en sel EUR; 4 ---- concentration en sel © 2 c o = TZ a --2 --4 --6 2 4 6 8 10 12 14 D (nm) Figure 7 Allure de l'énergie potentielle totale E,(D), en fonction de D, pour deux concentrations en sel différentes Données Constante de Planck h = 6,626 x 10 * J:s Constante des gaz parfaits R=8,314J-K !-mol ! Constante de Boltzmann kz = 1,381 x 10 * JK ! Constante d'Avogadro N 1 = 6,02 x 10% mol ! Perméabilité magnétique du vide Bo = 47 X 1077 H:m ! Permittivité diélectrique du vide En = 8,804 X 10 © Fm | Constante de la gravitation universelle G = 6,67408 x 10 !! m°-kg ls ? Charge élémentaire e = 1,602 x 10 ! C Accélération de la pesanteur g = 9.8 mes ? Masse volumique de l'eau a, = 1,0 x 10° kg-m * Viscosité de l'eau n. = 1,0 X 10 * Pa:s Compressibilité isentropique de l'eau x, = 4,9 x 10 Pa ! Tension superficielle eau-air g, = 12 mJ-m * Tension superficielle eau savonneuse-air d, = 25 mJ-m * Indice optique de Pair no = 1,0 Indice optique de l'eau savonneuse n, = 1,4 Formulaire _ ZT __n--E COS p + cos q = 2 COS (2) COS (----) sinh x -- _ _ 2 2 2 COS p -- COS q = --2sin (2) sin (--) et =1+x+o(x) 0° 0° 0° ape DL, 0, o Ox?  Oy? Oz? -- Où Équation de Navier-Stokes : p | : + (5 : grad) ï) = -- grad P + pg + AG. eeoeFrFINeee 2019-03-05 08:49:30 Page 8/8 (Cc)EATET:

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Dupic (ENS Ulm) ; il a été relu par Louis
Salkin (professeur en CPGE) et Émilie Frémont (professeur en CPGE).

Le sujet porte sur deux phénomènes distincts : la propagation du son dans une
mousse et la physique des films de savon. Il est composé de trois parties 
totalement
indépendantes.
· La première partie consiste en l'étude d'un « tube de Kundt », un dispositif
expérimental permettant de mesurer la vitesse du son. Elle fait appel à la
thermodynamique et à la physique des ondes.
· La deuxième partie, la plus longue, est consacrée à la formation de films de
savon. Elle fait principalement intervenir de l'hydrodynamique. Quatre 
questions, plus difficiles, portent sur les propriétés optiques du système.
· La dernière partie présente le phénomène de « film noir » : l'amincissement
progressif de la paroi savonneuse jusqu'à atteindre une taille de quelques 
nanomètres. Plus précisément, elle porte sur l'équilibre entre forces 
électrostatiques
et forces de Van der Waals au sein du film.
C'est un sujet glissant mais assez classique et bien construit. Il contient 
quelques
questions difficiles et calculatoires mais fournit des résultats intermédiaires 
régulièrement. De longueur classique pour un sujet de Centrale, celui-ci 
constitue un
bon entraînement, permettant de réviser l'acoustique, l'optique ondulatoire, 
l'hydrodynamique et l'électrostatique.

Indications
Partie I
2 Utiliser la loi de Laplace.
5 L'impédance acoustique est donnée par le ratio p/v. Attention aux signes.
6 La surpression totale, somme des surpressions incidente et réfléchie, est 
nulle au
niveau de l'interface.
8 Des formules trigonométriques utiles sont données en fin de sujet.
15 La compressibilité de la mousse est la somme pondérée des compressibilités de
ses composants.
Partie II
20 Appliquer la relation de Laplace aux deux interfaces.
21 La différence de pression entre A et B vérifie la relation de Laplace.
26 Utiliser la tension superficielle entre l'eau savonneuse et l'air (plutôt 
que celle
entre l'eau et l'air).
28 C'est l'interférence entre les ondes réfléchies sur les deux interfaces qui 
est
responsable de l'apparition de couleurs.
29 Pour voir une bande orangée, les interférences doivent être constructives 
pour la
longueur d'onde orange et destructives pour la couleur complémentaire.
34 Utiliser l'équation de Navier-Stokes. La vitesse du fluide est supposée 
nulle sur
les bords.
36 Relier la variation de masse entre les temps t et t + dt à la différence 
entre les
débits massiques entrant et sortant.
40 La zone amincie s'achève quand e(z, t) = e0 .
Partie III
43 Passer en coordonnées cylindriques d'axe z, et intégrer d'abord suivant r.
49 Le potentiel électrostatique vérifie l'équation  = -/0 r .

50 La concentration est donnée en mol.L-1 , il faut la convertir en m-3 .
51 Ne garder que la solution de l'équation qui ne diverge pas.
52 Le potentiel en x = 0 est négatif.

Films de savon, mousses et son
I. Acoustique des mousses
1 L'équation de propagation de la surpression acoustique est donnée par
 2p
2p
-
µ

=0
a
a
x2
t2
C'est l'équation d'une onde unidimensionnelle, de célérité
ca = 

1
µa  a

2 Au cours d'une transformation isentropique, un gaz parfait vérifie la loi de
Laplace :
P V = Cte
où  est le coefficient adiabatique du gaz. En différentiant cette expression, 
on obtient
V dP +  V-1 P dV = 0
et donc

dV
1 V
=-
dP
 P

à entropie fixée

Or, la surpression acoustique étant très faible par rapport à la pression de 
l'air au
repos, P  P0 , le coefficient de compressibilité isentropique de l'air est
a = -

1
V

V
P

S

=

1
 P0

3 Pour l'air, on obtient numériquement
a = 7,07 × 10-6 Pa-1
ca = 3,43 × 102 m.s-1
4 De la même façon, dans l'eau,
1
ce = 
= 1,4 × 103 m.s-1
µe  e
L'eau est plus lourde que l'air d'un facteur 103 , mais elle est aussi 104 fois
moins compressible. Ces deux facteurs se compensent partiellement.
5 La vitesse v i et la pression pi sont reliées par l'impédance acoustique Za 
du milieu,
de sorte que
pi = Za v i
Pour une onde acoustique plane progressive,
Za = +
- µa c a

Le signe de Za dépend du sens de propagation de l'onde. Avec les notations 
choisies,
Z a = µa c a
Finalement

v i (x, t) =

pi0
exp (j(t - kx))
µa c a

Le sujet ne demande pas de démonstration, mais on peut retrouver ce résultat
facilement en exploitant l'équation d'Euler en projection sur Ox. Au premier
ordre, on obtient l'équation
v
p
=-
t
x
dont on déduit les relations précédentes.
µa

6 On se place au niveau de l'interface, en x = L ; la surpression acoustique 
totale
p(L, t) y est supposée nulle, donc on peut écrire
0 = p(L, t)
= pi (L, t) + pr (L, t)
= pi (L, t) (1 + rp )
0 = pi0 exp (j (t - kL)) (1 + rp )
La relation est valide pour tout t, de sorte que, si la surpression n'est pas 
nulle,
rp = -1
De plus, l'onde réfléchie se propage dans le sens opposé à l'onde incidente : 
l'impédance acoustique associée est négative. Il vient les relations

et

v i (L, t) =

pi (L, t)
µa c a

v r (L, t) =

-pr (L, t)
-rp pi (L, t)
=
µa c a
µa c a

Finalement, le coefficient de réflexion en vitesse vaut
rv =

v r (L, t)
= -rp = 1
v i (L, t)

7 L'onde réfléchie se déplace dans le sens opposé à l'onde incidente :
pr (x, t) = rp pi0 exp ( j (t + kx))
v r (x, t) = rv v i0 exp ( j (t + kx))
soit

pr (x, t) = -pi0 exp ( j (t + kx))
v r (x, t) = v i0 exp ( j (t + kx))

En prenant la partie réelle,
pr (x, t) = -pi0 cos (t + kx)
v r (x, t) = v i0 cos (t + kx)
8 La surpression acoustique totale dans le tube p(x, t) est la somme de la 
surpression
incidente et de la surpression réfléchie (les équations de propagation sont 
linéaires) :