Centrale Physique 2 PC 2018

Thème de l'épreuve De l'atome d'hydrogène aux galaxies
Principaux outils utilisés mécanique, magnétostatique
Mots clefs modèle de Bohr, mouvement à force centrale, coefficients d'Einstein, bilan de puissance

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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& '» P hysiq ue 2 OO % { !--l ---/ PC © tnncuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N De l'atome d'hydrogène auoe galaoeies L'atome d'hydrogène, dans son état fondamental, absorbe ou émet un rayonnement électromagnétique de lon-- gueur d'onde À : 21 cm. Cette transition, appelée raie HI à 21cm, est celle du maser à hydrogène. Elle est aussi a l'origine du rayonnement émis à cette longueur d'onde par le milieu interstellaire constitutif des galaxies. Après avoir étudié l'origine physique de cette transition, nous verrons l'intérêt d'observer des galaxies dans cette fenêtre de rayonnement. Ce sujet comprend une annexe située en fin de texte et regroupant des extraits de documents, un formulaire et des données numériques. I La raie HI à 21 cm Un atome d'hydrogène protoné (isotope 1H dont le noyau est un proton) dans son état fondamental peut absorber un rayonnement électromagnétique de longueur d'onde À : 21 cm, c'est ce que l'on appelle usuellement la raie HI a 21 cm. Pour interpréter exactement l'origine de cette raie, il faut mener une étude complète de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la théorie de Dirac (mécanique quantique relativiste). Nous pouvons cependant comprendre qualitativement l'origine de la raie HI a partir des quelques notions simples évoquées dans ce qui suit. I.A * Étude classique de l'atome d'hydrogène L'étude qui suit sera menée dans le référentiel 98 centré sur le proton, ce référentiel sera considéré comme galiléen. On désignera par 7" la distance entre le proton et l'électron et le moment cinétique de l'électron par rapport a l'origine dans le référentiel ?? sera noté L. Q 1. Rappeler l'expression de la force électrostatique Ï' s'exerçant sur l'électron. Q 2. En déduire l'expression de l'énergie potentielle électrostatique EP de l'électron, en choisissant le zéro de cette énergie potentielle quand r --> 00. Q 3. Montrer que le mouvement de l'électron est plan. Q 4. Déterminer l'énergie mécanique E de l'électron et la mettre sous la forme 1 E : âmel"2 + EPeffll") où EP Off-(r) est une fonction de r a expliciter en fonction des paramètres du problème et du moment cinétique _» orbital L de l'électron. Q 5. Donner l'allure de la représentation graphique de E P Off-(r). Analyser qualitativement le comportement du système pour différentes valeurs de l'énergie mécanique E et du moment cinétique L. Q 6. À quelles conditions (sur L et E) une orbite circulaire est--elle possible '? Calculer le rayon r de l'orbite circulaire et l'énergie mécanique E de l'électron décrivant une telle orbite en fonction de L, e, me et 60. Q 7. Dessiner une trajectoire de l'électron si L = 0. LE * Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène En 1913 Niels Bohr proposa un modèle « semi--classique » de l'atome d'hydrogène, dans ce modèle l'électron se trouve sur une orbite circulaire de rayon r et son moment cinétique orbital L est quantifié par L = n% : nñ où n est un nombre entier strictement positif et h la constante de Planck. Q 8. Montrer que les orbites sont quantifiées. Déterminer la valeur du rayon a() de la première orbite de Bohr. Q 9. En déduire que les niveaux d'énergie sont quantifiés. Donner la valeur (en eV) de l'énergie de l'état fondamental. Q 10. À quelle température l'énergie d'agitation thermique d'un atome d'hydrogène est--elle comparable à son énergie d'ionisation '? Commenter. 2018-03--13 10:41:51 Page 1/7 (CC) BY--NC-SA Q 11. L'atome d'hydrogène dans son état fondamental est susceptible d'absorber ou d'émettre un rayonne-- ment de longueur d'onde proche de À : 21 cm. Le modèle de Bohr permet--il de comprendre l'origine de cette transition '? I.C * La structure hyperfine de l'atome d'hydrogène Pour comprendre l'origine de la raie HI il faut étudier les interactions magnétiques entre le proton et l'électr0n. Afin d'en obtenir un ordre de grandeur, nous allons étudier ici l'interaction entre le dipôle magnétique associé au spin de l'électron et le dipôle magnétique associé au spin du proton, qui est appelée « interaction spin--spin ». Q 12. Dans le cadre du modèle planétaire classique de l'atome d'hydrogène, montrer que le moment magné-- tique ]\70 de l'électron sur une orbite circulaire est proportionnel à son moment cinétique orbital Ï : J\Îo : 'yOÎ. Q 13. Exprimer % en fonction de e et de me, la masse de l'électron. Comment se nomme cette constante '? Le résultat précédent est encore vrai en théorie quantique : le moment magnétique d'une particule est propor-- tionnel a son moment cinétique. En outre, dans une théorie quantique relativiste chaque particule élémentaire possède un spin qui est interprété comme son moment cinétique intrinsèque. En généralisant le résultat précédent, elle possède aussi un moment magnétique intrinsèque (ou moment magnétique de spin) qui est proportionnel à son spin. Ainsi : *» _, _. e *» * l'électr0n, de spin Se, possède un moment magnétique Me proportionnel à son spin : MC : --gS2--Se, où me gs oe 2,00 ; * « , . . * EUR * \ -- le proton de masse mp et de spin Sp, possede un moment magnetique de spin Mp : gp2*Sp ou gp : 5,58 ; m 10 les coefficients gS et gp sont appelés « facteurs de Landé » de l'électron et du proton ; * l'expression du champ magnétique créé en un point P (différent de 0) par un moment magnétique ponctuel JW placé en O est * @ 3(M - ü)ü -- M B(P) _ 47T T3 oùr=\|OE| etü: ï; HOHI * on rappelle que l'énergie potentielle magnétique d'un dipôle magnétique de moment magnétique ]\7 placé dans un champ magnétique Ë se met sous la forme U : --]\Î ' Ë ; * une propriété remarquable du spin de l'électron (ou du proton) est que sa projection suivant une direction quelconque ne peut prendre que deux valeurs ñ / 2 ou --ñ/ 2 . Q 14. Déterminer l'expression du champ magnétique Ë créé par le proton, sur l'électron, en supposant que l'électron eï sur l'orbite fondamentale du modèle de Bohr et en admettant que le moment magnétique de spin du proton Mp est orthogonal au plan de l'orbite. Q 15. À partir des éléments précédents, montrer que l'état fondamental de l'hydrogène est formé de deux « sous--niveaux » d'énergie E et Eu : El + AE (avec El < En). On parle de « structure hyperfine » de l'état fondamental. Q 16. Donner l'expression, en fonction de gs, gp, @, m deux sous--niveaux hyperfins a laquelle conduit ce modèle. 6, mp et a... de la différence d'énergie AE entre les En fait, cette modélisation ne permet pas de déterminer correctement la structure hyperfine du niveau fonda-- mental de l'atome d'hydrogène, pour deux raisons : * elle ne prend pas en compte toutes les interactions magnétiques entre le proton et l'électron ; * le modèle de Bohr utilisé dans les questions précédentes est très insuffisant pour décrire de façon réaliste l'atome d'hydrogène et en particulier son état électronique fondamental ls. Q 17. La théorie quantique nous apprend que dans cet état ls (n = 1, EUR : O), le moment cinétique orbital de l'électron est nul (soit La : 0). Montrer que ceci est contradictoire avec le fait d'assimiler cet état a celui d'un électron décrivant l'orbite fondamentale de l'orbite de Bohr. Dès lors, il est légitime de penser que la théorie quantique ne donne pas toujours les mêmes résultats que la théorie « semi--classique » de l'atome de Bohr. Par exemple, la théorie quantique permet de montrer que l'interaction spin--spin dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène est nulle (ceci est dû à ce que la fonction d'onde de l'électron ls est a symétrie sphérique, ce qui est une autre façon d'exprimer le fait que le moment cinétique orbital de l'électron est nul). Il existe d'autres interactions magnétiques entre le proton et l'électron dans l'atome d'hydrogène. En particulier, on a négligé jusque la l'interaction spin--spin contact (ou interaction de contact de Fermi), qui comme l'interaction spin--spin conduit a une énergie d'interaction proportionnelle a l\?@ - ]\Îp, mais qui n'existe que si l'électron a une probabilité de présence non nulle dans le proton, c'est--à--dire au point 0 (c'est pourquoi on qualifie cette 2018-03--13 10:41:51 page 2/7 Gc) BY--NC-SA interaction de spin--spin « contact » puisqu'elle n'existe que si l'électron (ponctuel) est en « contact » avec le proton, ponctuel lui aussi). Les fonctions d'onde < 1045 s'. Q 20. Rappeler sommairement les différentes caractéristiques de ces trois processus. Q 21. Quelle est la durée de vie r de l'état excité d'énergie Eu '? Q 22. Dans le milieu interstellaire ce rayonnement conduit a une raie de forte intensité. Pourquoi '? Dans la suite, on considère qu'on étudie un nuage froid d'hydrogène à la température T = 100 K et de densité particulaire n H : 25 cmÏ3. Q 23. Montrer que l'essentiel de l'hydrogène du milieu interstellaire se trouve dans les deux niveaux hyperfins et que la densité particulaire en atomes d'hydrogène n H est telle que n H : nu + nl : 47%- dnl Q 24. Exprimer dt en fonction des coefficients d'Einstein, de la densité spectrale U" du rayonnement élec-- tr0magnétique et des densités particulaires nu et nl. On rappelle que la densité spectrale est la densité volumique d'énergie d'un rayonnement électromagnétique dont la fréquence se situe dans l'intervalle {V,1/ + du] (unité : J 'm*3'Hz_1). 2018-03--13 10:41:51 Page 3/7 @<9 BY--NC-SA d d Q 25. En supposant la largeur de la raie HI nulle, relier % a ÎÏ où n est la densité particulaire des photons associés à cette transition. En réalité la largeur de la raie n'est pas nulle, sa largeur est caractérisée par une fonction OE(1/). Cette fonction est 00 centrée sur la fréquence 1/0 et elle vérifie la condition de normalisation / (1/) du : 1. Dans chaque intervalle 0 de fréquence {V,1/ + du] les probabilités de transition sont alors pondérées par ©(V). On note n,, la densité particulaire des photons dont la fréquence est comprise dans l'intervalle {y, y + du] (unité : m"3-Hz"l). Q 26. Montrer que d â" : Aulnu--> Q 29. Rappeler l'expression du vecteur de Poynting associé à une onde électromagnétique plane (E , B) de fréquence 1/ se propageant dans le vide. L'intensité ] de cette onde est définie comme sa puissance, moyennée sur une période, par unité de surface perpendiculaire à sa direction de propagation. Q 30. Montrer que l'intensité [ de cette onde se met sous la forme ] = ou où u est la densité volumique d'énergie électromagnétique associée à l'onde, moyennée sur une période. Q 31. Quelle relation existe--il entre u,,, 11 et n,, '? Pour un rayonnement isotrope, on définit l'intensité spécifique I,, par I,, : %. Il s'agit de l'intensité émise par unité de fréquence et par unité d'angle solide (unité ZW'H1--2'HZ'I'SI'_1). La notion d'angle solide est présentée en annexe. Considérons une onde d'intensité spécifique I,, entrant dans un nuage d'hydrogène a la température Td'épaisseur L et se propageant le long d'un axe (Oz) dans la direction de l'observateur (figure 1). z """""""""""" | ' ' " l> vers l'observateur 0 L Figure 1 Onde traversant un nuage d'hydrogène Q 32. En posant dz : cdt, montrer que sur une distance dz le long de la direction de propagation, l'intensité spécifique I,, varie de d],, : j,,dz -- H ] dz où 021/ g,, hVO _ h1/ HV : 87TVÊOE(|/) est dominée par l'élargissement Doppler thermique et turbulent et <Ï>(VO) w 6 >< 10Î6 Hzfl, Si ce nuage a une épaisseur L : 3 pc7 montrer que l'intensité spécifique a la sortie de ce nuage peut être mise sous la forme simplifiée Iy(z : L) oe juL. Q 36. Pourquoi retrouve--t--on également cette valeur au niveau du détecteur (radiotélescope) situé sur Terre '? (On suppose qu'il n'y a pas d'autres nuages entre le nuage observé et la Terre). Q 37. Exprimer l'intensité spécifique a la sortie du nuage en fonction de N (H) : n HL. N (H ) est appelé densité de colonne des atomes d'hydrogène, c'est le nombre d'atomes d'hydrogène se trouvant dans un cylindre de section unité, le long de la ligne de visée matérialisée par l'axe (Oz). Q 38. Le radiotélescope détectant la raie HI est sensible a la densité spectrale de flux F,, : / IVdQ où Q est l'angle solide sous lequel le nuage d'hydrogène est vu depuis le radiotélescope. Montrer que 3hl/ F : " 167rD2 AulNHOE(V) où D est la distance séparant le nuage d'hydrogène de la Terre et NH est le nombre d'atomes d'hydrogène présents dans le nuage. L'angle solide d'un cône de demi--angle au sommet 04 est Q : 27r(1-- cos oz). 00 5 Q 39. Pour une raie fine _" << 1 où 61/ est la largeur de la raie. On peut considérer que / y< 10*26 W'mf2-Hzfl). Deux échelles sont utilisées pour l'axe des abscisses: FV est représenté en fonction de la fréquence 1/ mais également en fonction de la vitesse tangentielle V... du nuage. Q 40. Pourquoi peut--on adopter l'une ou l'autre de ces échelles ? 1/ (MHZ) 1417 1416 1415 1414 0,8 | | 1 | | | | 0,6 /_\ 0,4 >> 13 à '" 0,2 0 0,2 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1]... (kms--1) Figure 2 Spectre HI émis par l'hydrogène de la galaxie UGC 11707 La fréquence V0 est connue avec une très grande précision, elle vaut 1/0 : 1420,405 751 8 MHZ. On admet que la vitesse d'éloignement V0 d'une galaxie se situant à une distance D de la Terre suit la loi de Hubble V0 : HDD où H() est la constante de Hubble H() 2 70 km'sfl-Mpcf1 (le parsec (pc) et ses multiples 2018-03--13 10:41:51 Page 5/7 656 BY--NC-SA (kpc, Mpc) sont des unités de distance fréquemment employées en astrophysique : 1 pc : 3,09 >< 1016 m, 1 Mpc : 1 >< 106 pc). 00 Q 41. Évaluer la distance D (en Mpc) de la galaxie UGC 11707 ainsi que la valeur de l'intégrale / F,,d1/ de 0 son spectre HI. Q 42. Expliquer pourquoi de nombreuses galaxies possèdent un spectre HI en structure de « bicorne », ana-- logue au spectre de la galaxie UGC 11707. Q 43. Déduire de ce qui précède une estimation de la masse d'hydrogène atomique dans la galaxie UGC 11707. Comparer le résultat a la masse du soleil. On peut considérer que les orbites des nuages HI sont circulaires, que les galaxies ont une forme de disque et que le champ gravitationnel a une distance 7" du centre de la galaxie est en bonne approximation donné par le champ créé par une distribution de masse a symétrie sphérique. 34' 33' % E 32' CS .æ @ 317 @ 26°30' 29' Figure 3 Images HI du disque galactique UGC 11707 La figure 3 montre, à gauche, une « photographie » de la galaxie UGC 11707 obtenue à la fréquence de la raie HI ; les contours de cette photographie délimitent des zones de même intensité. Les contours de l'image de droite de la figure 3 délimitent des zones de même vitesse tangentielle, ils sont séparés de AVN : 20 km-sfl. Les zones sombres correspondent a du gaz se rapprochant de l'observateur, les zones claires s'en éloignent. Les axes (se référer à l'échelle de l'axe vertical) sont gradués en degrés (°) et minutes (') d'angle (1° : 60'). Q 44. Estimer à partir de la figure 3 : -- l'angle & que fait la normale au disque galactique avec la direction d'observation (0 < oz < 7r / 2) ; -- la vitesse tangentielle puis la vitesse totale d'un nuage d'hydrogène de la périphérie de la galaxie, dans le référentiel lié a la galaxie UGC 11707. Q 45. En faisant l'hypothèse que la répartition de masse de la galaxie est à symétrie sphérique, donner une estimation de la masse totale de la galaxie. Comparer le résultat obtenu à la masse de l'hydrogène atomique de cette galaxie. Annexe Angle solide Par analogie avec l'angle oz sous lequel on voit dans le plan un arc de courbe depuis le point 0, on définit l'angle solide Q sous lequel on voit dans l'espace une surface 2 depuis 0. C'est l'angle solide du cône de sommet O s'appuyant sur 2, ce cône découpe sur la sphère de centre O et de rayon R une portion de sphère de surface S. Par définition, l'angle solide Q est le rapport Q = S / R2. L'angle solide est une grandeur sans dimension et son unité est le stéradian (sr). L'angle solide sous lequel on voit une surface fermée entourant le point 0 est Q : 47r sr. L'angle solide d'un cône de révolution de demi--angle au sommet a est Q : 27r(1-- cos &) Sia<< 1, Qæ7TOÊ. 2018-03--13 10:41:51 Page 6/7 ch. BY--NC-SA L'effet Doppler L'efÏet Doppler est utilisé en astrophysique pour mesurer la vitesse tangentielle de l'astre observé. La vitesse tangentielle est la composante de la vitesse parallèle à la ligne de visée qui relie l'astre a l'observateur. Soit (Oz) l'axe Observateur--Étoile orienté de l'observateur vers l'étoile avec êz le vecteur unitaire porté par cet axe. Soit Yla vitesse de l'astre dans un référentiel galiléen adapté à l'étude, la vitesse tangentielle de l'astre est alors V... : 17 - êz. Si l'astre émet un rayonnement électromagnétique de fréquence u, l'observateur perçoit un rayonnement de fréquence V =1+v.../c V/ Cette relation se simplifie, compte tenu des vitesses habituellement rencontrées, en effet |V...| << 0 et on obtient , ( V|) I/OEI/ ---- C La fréquence apparente est plus faible que la fréquence émise si l'étoile s'éloigne de l'observateur (la longueur d'onde est plus grande, il y a décalage vers le rouge). Gradient en coordonnées cylindriques af, 18f1 ôf1 grîif : Æur+ ;Æ"9 + &"z Données numériques Constante de Planck h : 6,63 >< 10534 J-s Constante de Planck réduite h : 1,054 >< 10*34 J 's Célérité de la lumière dans le vide 0 : 3,00 >< 108 m-sf1 Permittivité du vide 50 : 8,85 >< 10512 F-mÎ1 Perméabilité du vide 110 : 471 >< 104 HmÏ1 Charge élémentaire @ = 1,60 >< 10519 C Masse de l'électron me : 9,11 >< 10*31 kg Masse du proton mp : 1,67 >< 10527 kg : 1836 me Facteur de Landé de l'électron gS : 2,00 Facteur de Landé du proton gp : 5,58 Magnéton de Bohr HB : EURñ : 9,27 >< 1044 J-Tfl 2mEUR Constante de Boltzmann k : 1,38 >< 1043 JOEÎ1 Constante de gravitation G : 6,67 >< 10Ï11 m3'kgfl'sf2 Parsec 1 pc : 3,09 >< 1016 m Masse du Soleil M© : 2,0 >< 1030 kg oooFlNooo 2018-03-13 10:41:51 Page 7/7 @<9 BY--NC-SA

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 Centrale Physique 2 PC 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Émilie Frémont (professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE). Ce sujet propose une réflexion autour de la raie HI figurant dans les spectres d'émission et d'absorption de l'hydrogène. Il est composé de deux parties relativement indépendantes, même s'il s'avère préférable de traiter intégralement la première partie avant d'aborder la seconde. · La première partie est consacrée à l'identification de la transition énergétique à l'origine de la raie HI. Très progressif, le questionnement permet de retrouver quelques résultats classiques des mouvements à force centrale, puis de constater l'insuffisance du modèle semi-classique de Bohr pour interpréter l'existence de la raie HI. Afin de pallier cette insuffisance, l'interaction spin-spin, qui met en jeu des notions de magnétostatique et de physique quantique au programme, est finalement introduite. · La seconde partie s'attache à relier l'intensité du rayonnement HI produit par un nuage d'hydrogène à ses caractéristiques (distance à la Terre, quantité d'hydrogène. . .). Les résultats obtenus sont ensuite utilisés pour exploiter des données expérimentales relatives à la galaxie UGC 11707 et déterminer quelques valeurs numériques d'intérêt. La résolution de cette partie s'avère parfois subtile car elle suppose l'assimilation de notions hors programme introduites dans l'énoncé et les documents annexes. Ce sujet présente des qualités indéniables : il permet de faire de la physique depuis des échelles atomique à astronomique à partir d'un même thème et il relie des notions introduites dans des parties très différentes des programmes de PCSI et de PC. Une préparation pragmatique aux épreuves de concours incitera à travailler principalement la première partie du sujet. La seconde, plus technique et moins formatrice, est à réserver aux étudiants très à l'aise avec le cours et qui souhaitent développer leur culture en astrophysique. Indications 1 Penser à définir les points et vecteurs utiles qui ne sont pas introduits dans l'énoncé. 3 Que peut-on dire du moment cinétique d'un point matériel engagé dans un mouvement à force centrale ? 4 Éliminer le terme en dans l'expression de l'énergie cinétique en exploitant la propriété du moment cinétique établie précédemment. - - - - 5 Distinguer les cas L 6= 0 et L = 0 , ainsi que les cas E > 0 et E < 0. 7 À quelle condition sur la vitesse le moment cinétique de l'électron s'annule-t-il ? 10 Combien de degrés de liberté un atome d'hydrogène possède-t-il ? Que prévoit le théorème d'équipartition de l'énergie dans ce cas ? 11 Évaluer l'énergie d'un photon de longueur d'onde 21 cm et comparer celle-ci à la différence d'énergie entre les deux premiers niveaux du modèle de Bohr. - - 12 Montrer que L et Mo sont colinéaires en assimilant la trajectoire de l'électron à une spire circulaire de courant. 13 Relier l'intensité I circulant dans la spire-modèle à la période du mouvement orbitalaire de l'électron, puis à sa vitesse. - - 15 Combien de valeurs différentes le produit scalaire Se · Sp peut-il prendre ? 17 Faire le lien avec les questions 5 et 7. 18 Voir l'indication précédente ! 21 Considérer uniquement le processus de désexcitation spontanée et dégager un temps caractéristique. 24 Réaliser un bilan de population sur le niveau hyperfin entre t et t + dt. 25 Dénombrer le nombre de photons intervenant dans chaque processus de transition. Comparer le résultat à la variation correspondante de la population n . 26 Combiner les résultats des deux questions précédentes. - - 30 Quelle relation existe-t-il entre les champs E et B dans le cas d'une onde plane se propageant dans le vide ? 32 Différentier l'équation définissant l'intensité spécifique I à partir de u , puis exploiter les résultats des questions 31 et 26. 34 Simplifier l'expression de établie à la question 32 par des considérations sur les ordres de grandeur des différents termes. 38 En exploitant la notion d'angle solide, relier d'abord NH à l'intégrale de N(H). 44 Comment expliquer la forme elliptique des images de la figure 3 alors que la galaxie a une forme de disque ? Accompagner le raisonnement d'un ou deux schémas clairs. 45 Écrire l'équation du mouvement d'un objet situé en périphérie de la galaxie dans le référentiel lié à cette dernière. De l'atome d'hydrogène aux galaxies - 1 La force électrostatique F exercée par le proton sur l'électron est donnée par la loi de Coulomb. En définissant le vecteur comme sur le schéma ci-contre, unitaire - u r - F =- e2 - u r 40 r2 - u r - F M (electron) O (proton) 2 L'énergie potentielle électrostatique de l'électron dans le champ électrostatique créé par le proton s'écrit Ep (r) = -e Vp (r), où Vp (r) désigne le potentiel électrostatique engendré par le proton au niveau de l'électron à la distance r. D'après la loi de Coulomb, ce dernier est donné par Vp (r) = e 40 r d'où Ep (r) = - e2 40 r Telle que la question est formulée, il y a fort à parier que l'auteur du sujet souhaitait une « démonstration » du résultat précédent. Pour ce faire, on peut - par exemple exprimer le travail infinitésimal WR ( F ) de la force électrosta - tique subie par l'électron. En notant d le vecteur déplacement élémentaire de l'électron, on a dans le système de coordonnées sphériques de centre O, - - - - + r sin d - W ( F ) = F · d = F · dr - u + r d - u u R r On explicite le produit scalaire : - e2 e2 WR ( F ) = - dr = -d - 40 r2 40 r - Pouvoir écrire WR ( F ) comme une forme différentielle permet de conclure que la force est conservative et que l'énergie potentielle associée vaut e2 Ep (r) = - + Cte 40 r Il ne reste alors plus qu'à appliquer la consigne de l'énoncé, c'est-à-dire à choisir la constante précédente telle que Ep (r) ---- 0. La constante est r+ donc nulle, ce qui permet de retrouver l'expression de l'énergie potentielle. 3 Appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron dans le référentiel R, par rapport au point O correspondant à la position du proton. En appelant M le point où se trouve l'électron, - -- - - dL = OM F = 0 dt - -- . Le moment car F est la seule force à considérer et elle est colinéaire à OM = r - u r - cinétique L de l'électron est donc indépendant du temps dans le référentiel d'étude. - -- Or, par construction, L est orthogonal à la fois aux vecteurs position OM et vitesse - v : ces deux vecteurs sont ainsi toujours contenus dans un même plan au cours du temps, ce qui signifie que la trajectoire est plane. La conservation du moment cinétique de l'électron dans le référentiel d'étude implique que sa trajectoire est plane. 4 Par définition, l'énergie mécanique de l'électron est donnée par la somme de ses énergies cinétique Ec et potentielle Ep , cette dernière étant exprimée à la question 2. En adoptant le système de coordonnées polaires de centre O pour repérer la position de l'électron, son vecteur vitesse s'écrit - + r - v = r - u u r d'où Ec = 1 1 me v 2 = me r2 + r2 2 2 2 Exploitons alors la conservation du moment cinétique établie dans la question précédente. Comme - -- L = me OM - v = me r2 - u z il vient directement = - kLk me r 2 En injectant ce dernier résultat dans l'expression de l'énergie mécanique, on obtient 1 E = me 2 ce qui permet d'identifier ! - k L k2 e2 r + 2 2 - me r 40 r 2 EPeff (r) = - k L k2 e2 - 2 2me r 40 r La fonction EPeff est appelée « énergie potentielle effective » de l'électron. - - 5 Commençons par examiner le cas L 6= 0 . Au voisinage de 0, l'énergie potentielle effective de l'électron varie en 1/r2 , tandis qu'elle varie en -1/r au voisinage de +. Il s'ensuit que la courbe d'énergie potentielle effective passe par un minimum et présente l'allure suivante. EPeff (r) (a) : E > 0 0 (b) : E < 0 r