Centrale Physique 2 PC 2018

Thème de l'épreuve De l'atome d'hydrogène aux galaxies
Principaux outils utilisés mécanique, magnétostatique
Mots clefs modèle de Bohr, mouvement à force centrale, coefficients d'Einstein, bilan de puissance

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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tnncuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

De l'atome d'hydrogène auoe galaoeies

L'atome d'hydrogène, dans son état fondamental, absorbe ou émet un rayonnement 
électromagnétique de lon--
gueur d'onde À : 21 cm. Cette transition, appelée raie HI à 21cm, est celle du 
maser à hydrogène. Elle est
aussi a l'origine du rayonnement émis à cette longueur d'onde par le milieu 
interstellaire constitutif des galaxies.
Après avoir étudié l'origine physique de cette transition, nous verrons 
l'intérêt d'observer des galaxies dans cette
fenêtre de rayonnement.

Ce sujet comprend une annexe située en fin de texte et regroupant des extraits 
de documents, un formulaire et
des données numériques.

I La raie HI à 21 cm

Un atome d'hydrogène protoné (isotope 1H dont le noyau est un proton) dans son 
état fondamental peut absorber
un rayonnement électromagnétique de longueur d'onde À : 21 cm, c'est ce que 
l'on appelle usuellement la raie
HI a 21 cm. Pour interpréter exactement l'origine de cette raie, il faut mener 
une étude complète de l'atome
d'hydrogène dans le cadre de la théorie de Dirac (mécanique quantique 
relativiste).

Nous pouvons cependant comprendre qualitativement l'origine de la raie HI a 
partir des quelques notions simples
évoquées dans ce qui suit.

I.A * Étude classique de l'atome d'hydrogène

L'étude qui suit sera menée dans le référentiel 98 centré sur le proton, ce 
référentiel sera considéré comme galiléen.
On désignera par 7" la distance entre le proton et l'électron et le moment 
cinétique de l'électron par rapport a
l'origine dans le référentiel ?? sera noté L.

Q 1. Rappeler l'expression de la force électrostatique Ï' s'exerçant sur 
l'électron.
Q 2. En déduire l'expression de l'énergie potentielle électrostatique EP de 
l'électron, en choisissant le zéro
de cette énergie potentielle quand r --> 00.
Q 3. Montrer que le mouvement de l'électron est plan.
Q 4. Déterminer l'énergie mécanique E de l'électron et la mettre sous la forme
1

E : âmel"2 + EPeffll")

où EP Off-(r) est une fonction de r a expliciter en fonction des paramètres du 
problème et du moment cinétique

_»

orbital L de l'électron.
Q 5. Donner l'allure de la représentation graphique de E P Off-(r). Analyser 
qualitativement le comportement
du système pour différentes valeurs de l'énergie mécanique E et du moment 
cinétique L.

Q 6. À quelles conditions (sur L et E) une orbite circulaire est--elle possible 
'? Calculer le rayon r de l'orbite
circulaire et l'énergie mécanique E de l'électron décrivant une telle orbite en 
fonction de L, e, me et 60.
Q 7. Dessiner une trajectoire de l'électron si L = 0.

LE * Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène

En 1913 Niels Bohr proposa un modèle « semi--classique » de l'atome 
d'hydrogène, dans ce modèle l'électron se
trouve sur une orbite circulaire de rayon r et son moment cinétique orbital L 
est quantifié par

L = n% : nñ
où n est un nombre entier strictement positif et h la constante de Planck.
Q 8. Montrer que les orbites sont quantifiées. Déterminer la valeur du rayon 
a() de la première orbite de
Bohr.
Q 9. En déduire que les niveaux d'énergie sont quantifiés. Donner la valeur (en 
eV) de l'énergie de l'état
fondamental.

Q 10. À quelle température l'énergie d'agitation thermique d'un atome 
d'hydrogène est--elle comparable à
son énergie d'ionisation '? Commenter.

2018-03--13 10:41:51 Page 1/7 (CC) BY--NC-SA

Q 11. L'atome d'hydrogène dans son état fondamental est susceptible d'absorber 
ou d'émettre un rayonne--
ment de longueur d'onde proche de À : 21 cm. Le modèle de Bohr permet--il de 
comprendre l'origine de cette
transition '?

I.C * La structure hyperfine de l'atome d'hydrogène

Pour comprendre l'origine de la raie HI il faut étudier les interactions 
magnétiques entre le proton et l'électr0n.
Afin d'en obtenir un ordre de grandeur, nous allons étudier ici l'interaction 
entre le dipôle magnétique associé
au spin de l'électron et le dipôle magnétique associé au spin du proton, qui 
est appelée « interaction spin--spin ».
Q 12. Dans le cadre du modèle planétaire classique de l'atome d'hydrogène, 
montrer que le moment magné--
tique ]\70 de l'électron sur une orbite circulaire est proportionnel à son 
moment cinétique orbital Ï : J\Îo : 'yOÎ.
Q 13. Exprimer % en fonction de e et de me, la masse de l'électron. Comment se 
nomme cette constante '?

Le résultat précédent est encore vrai en théorie quantique : le moment 
magnétique d'une particule est propor--
tionnel a son moment cinétique. En outre, dans une théorie quantique 
relativiste chaque particule élémentaire
possède un spin qui est interprété comme son moment cinétique intrinsèque. En 
généralisant le résultat précédent,
elle possède aussi un moment magnétique intrinsèque (ou moment magnétique de 
spin) qui est proportionnel à
son spin. Ainsi :

*» _, _. e *»
* l'électr0n, de spin Se, possède un moment magnétique Me proportionnel à son 
spin : MC : --gS2--Se, où
me
gs oe 2,00 ;
* « , . . * EUR * \
-- le proton de masse mp et de spin Sp, possede un moment magnetique de spin Mp 
: gp2*Sp ou gp : 5,58 ;
m
10

les coefficients gS et gp sont appelés « facteurs de Landé » de l'électron et 
du proton ;

* l'expression du champ magnétique créé en un point P (différent de 0) par un 
moment magnétique ponctuel
JW placé en O est

* @ 3(M - ü)ü -- M
B(P) _ 47T T3
oùr=\|OE| etü: ï;
HOHI

* on rappelle que l'énergie potentielle magnétique d'un dipôle magnétique de 
moment magnétique ]\7 placé
dans un champ magnétique Ë se met sous la forme U : --]\Î ' Ë ;

* une propriété remarquable du spin de l'électron (ou du proton) est que sa 
projection suivant une direction
quelconque ne peut prendre que deux valeurs ñ / 2 ou --ñ/ 2 .

Q 14. Déterminer l'expression du champ magnétique Ë créé par le proton, sur 
l'électron, en supposant que

l'électron eï sur l'orbite fondamentale du modèle de Bohr et en admettant que 
le moment magnétique de spin

du proton Mp est orthogonal au plan de l'orbite.

Q 15. À partir des éléments précédents, montrer que l'état fondamental de 
l'hydrogène est formé de deux
« sous--niveaux » d'énergie E et Eu : El + AE (avec El < En). On parle de « 
structure hyperfine » de l'état
fondamental.

Q 16. Donner l'expression, en fonction de gs, gp, @, m
deux sous--niveaux hyperfins a laquelle conduit ce modèle.

6, mp et a... de la différence d'énergie AE entre les

En fait, cette modélisation ne permet pas de déterminer correctement la 
structure hyperfine du niveau fonda--
mental de l'atome d'hydrogène, pour deux raisons :

* elle ne prend pas en compte toutes les interactions magnétiques entre le 
proton et l'électron ;

* le modèle de Bohr utilisé dans les questions précédentes est très insuffisant 
pour décrire de façon réaliste
l'atome d'hydrogène et en particulier son état électronique fondamental ls.

Q 17. La théorie quantique nous apprend que dans cet état ls (n = 1, EUR : O), 
le moment cinétique orbital
de l'électron est nul (soit La : 0). Montrer que ceci est contradictoire avec 
le fait d'assimiler cet état a celui
d'un électron décrivant l'orbite fondamentale de l'orbite de Bohr.

Dès lors, il est légitime de penser que la théorie quantique ne donne pas 
toujours les mêmes résultats que
la théorie « semi--classique » de l'atome de Bohr. Par exemple, la théorie 
quantique permet de montrer que
l'interaction spin--spin dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène est 
nulle (ceci est dû à ce que la fonction
d'onde de l'électron ls est a symétrie sphérique, ce qui est une autre façon 
d'exprimer le fait que le moment
cinétique orbital de l'électron est nul).

Il existe d'autres interactions magnétiques entre le proton et l'électron dans 
l'atome d'hydrogène. En particulier,
on a négligé jusque la l'interaction spin--spin contact (ou interaction de 
contact de Fermi), qui comme l'interaction
spin--spin conduit a une énergie d'interaction proportionnelle a l\?@ - ]\Îp, 
mais qui n'existe que si l'électron a
une probabilité de présence non nulle dans le proton, c'est--à--dire au point 0 
(c'est pourquoi on qualifie cette

2018-03--13 10:41:51 page 2/7 Gc) BY--NC-SA

interaction de spin--spin « contact » puisqu'elle n'existe que si l'électron 
(ponctuel) est en « contact » avec le
proton, ponctuel lui aussi).

Les fonctions d'onde < 1045 s'.

Q 20. Rappeler sommairement les différentes caractéristiques de ces trois 
processus.

Q 21. Quelle est la durée de vie r de l'état excité d'énergie Eu '?

Q 22. Dans le milieu interstellaire ce rayonnement conduit a une raie de forte 
intensité. Pourquoi '?

Dans la suite, on considère qu'on étudie un nuage froid d'hydrogène à la 
température T = 100 K et de densité

particulaire n H : 25 cmÏ3.
Q 23. Montrer que l'essentiel de l'hydrogène du milieu interstellaire se trouve 
dans les deux niveaux hyperfins
et que la densité particulaire en atomes d'hydrogène n H est telle que n H : nu 
+ nl : 47%-

dnl

Q 24. Exprimer dt en fonction des coefficients d'Einstein, de la densité 
spectrale U" du rayonnement élec--
tr0magnétique et des densités particulaires nu et nl.

On rappelle que la densité spectrale est la densité volumique d'énergie d'un 
rayonnement électromagnétique
dont la fréquence se situe dans l'intervalle {V,1/ + du] (unité : J 'm*3'Hz_1).

2018-03--13 10:41:51 Page 3/7 @<9 BY--NC-SA

d d
Q 25. En supposant la largeur de la raie HI nulle, relier % a ÎÏ où n est la 
densité particulaire des photons

associés à cette transition.

En réalité la largeur de la raie n'est pas nulle, sa largeur est caractérisée 
par une fonction OE(1/). Cette fonction est
00

centrée sur la fréquence 1/0 et elle vérifie la condition de normalisation / 
(1/) du : 1. Dans chaque intervalle

0
de fréquence {V,1/ + du] les probabilités de transition sont alors pondérées 
par ©(V). On note n,, la densité

particulaire des photons dont la fréquence est comprise dans l'intervalle {y, y 
+ du] (unité : m"3-Hz"l).
Q 26. Montrer que

d
â" : Aulnu-->

Q 29. Rappeler l'expression du vecteur de Poynting associé à une onde 
électromagnétique plane (E , B) de
fréquence 1/ se propageant dans le vide.

L'intensité ] de cette onde est définie comme sa puissance, moyennée sur une 
période, par unité de surface
perpendiculaire à sa direction de propagation.

Q 30. Montrer que l'intensité [ de cette onde se met sous la forme ] = ou où u 
est la densité volumique
d'énergie électromagnétique associée à l'onde, moyennée sur une période.

Q 31. Quelle relation existe--il entre u,,, 11 et n,, '?

Pour un rayonnement isotrope, on définit l'intensité spécifique I,, par I,, : 
%. Il s'agit de l'intensité émise par
unité de fréquence et par unité d'angle solide (unité ZW'H1--2'HZ'I'SI'_1). La 
notion d'angle solide est présentée
en annexe.

Considérons une onde d'intensité spécifique I,, entrant dans un nuage 
d'hydrogène a la température Td'épaisseur
L et se propageant le long d'un axe (Oz) dans la direction de l'observateur 
(figure 1).

z
"""""""""""" | ' ' " l> vers l'observateur

0 L

Figure 1 Onde traversant un nuage d'hydrogène

Q 32. En posant dz : cdt, montrer que sur une distance dz le long de la 
direction de propagation, l'intensité
spécifique I,, varie de d],, : j,,dz -- H ] dz où

021/ g,, hVO _ h1/
HV : 87TVÊOE(|/)
est dominée par l'élargissement Doppler thermique et turbulent et <Ï>(VO) w 6 
>< 10Î6 Hzfl, Si ce nuage a une
épaisseur L : 3 pc7 montrer que l'intensité spécifique a la sortie de ce nuage 
peut être mise sous la forme
simplifiée Iy(z : L) oe juL.

Q 36. Pourquoi retrouve--t--on également cette valeur au niveau du détecteur 
(radiotélescope) situé sur Terre '?
(On suppose qu'il n'y a pas d'autres nuages entre le nuage observé et la Terre).

Q 37. Exprimer l'intensité spécifique a la sortie du nuage en fonction de N (H) 
: n HL. N (H ) est appelé
densité de colonne des atomes d'hydrogène, c'est le nombre d'atomes d'hydrogène 
se trouvant dans un cylindre
de section unité, le long de la ligne de visée matérialisée par l'axe (Oz).

Q 38. Le radiotélescope détectant la raie HI est sensible a la densité 
spectrale de flux F,, : / IVdQ où Q est

l'angle solide sous lequel le nuage d'hydrogène est vu depuis le 
radiotélescope. Montrer que

3hl/
F :
" 167rD2

AulNHOE(V)

où D est la distance séparant le nuage d'hydrogène de la Terre et NH est le 
nombre d'atomes d'hydrogène
présents dans le nuage.
L'angle solide d'un cône de demi--angle au sommet 04 est Q : 27r(1-- cos oz).

00
5
Q 39. Pour une raie fine _" << 1 où 61/ est la largeur de la raie. On peut 
considérer que / y< 10*26 W'mf2-Hzfl).
Deux échelles sont utilisées pour l'axe des abscisses: FV est représenté en 
fonction de la fréquence 1/ mais
également en fonction de la vitesse tangentielle V... du nuage.

Q 40. Pourquoi peut--on adopter l'une ou l'autre de ces échelles ?

1/ (MHZ)
1417 1416 1415 1414
0,8 | | 1 | | | |

0,6

/_\ 0,4
>>
13
à

'" 0,2

0

0,2

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
1]... (kms--1)

Figure 2 Spectre HI émis par
l'hydrogène de la galaxie UGC 11707

La fréquence V0 est connue avec une très grande précision, elle vaut 1/0 : 
1420,405 751 8 MHZ.

On admet que la vitesse d'éloignement V0 d'une galaxie se situant à une 
distance D de la Terre suit la loi de
Hubble V0 : HDD où H() est la constante de Hubble H() 2 70 km'sfl-Mpcf1 (le 
parsec (pc) et ses multiples

2018-03--13 10:41:51 Page 5/7 656 BY--NC-SA

(kpc, Mpc) sont des unités de distance fréquemment employées en astrophysique : 
1 pc : 3,09 >< 1016 m, 1 Mpc :
1 >< 106 pc).

00

Q 41. Évaluer la distance D (en Mpc) de la galaxie UGC 11707 ainsi que la 
valeur de l'intégrale / F,,d1/ de

0
son spectre HI.

Q 42. Expliquer pourquoi de nombreuses galaxies possèdent un spectre HI en 
structure de « bicorne », ana--
logue au spectre de la galaxie UGC 11707.

Q 43. Déduire de ce qui précède une estimation de la masse d'hydrogène atomique 
dans la galaxie UGC
11707. Comparer le résultat a la masse du soleil.

On peut considérer que les orbites des nuages HI sont circulaires, que les 
galaxies ont une forme de disque et
que le champ gravitationnel a une distance 7" du centre de la galaxie est en 
bonne approximation donné par le
champ créé par une distribution de masse a symétrie sphérique.

34'
33'
%
E 32'
CS
.æ
@ 317
@
26°30'
29'

Figure 3 Images HI du disque galactique UGC 11707

La figure 3 montre, à gauche, une « photographie » de la galaxie UGC 11707 
obtenue à la fréquence de la raie
HI ; les contours de cette photographie délimitent des zones de même intensité. 
Les contours de l'image de droite
de la figure 3 délimitent des zones de même vitesse tangentielle, ils sont 
séparés de AVN : 20 km-sfl. Les zones
sombres correspondent a du gaz se rapprochant de l'observateur, les zones 
claires s'en éloignent. Les axes (se
référer à l'échelle de l'axe vertical) sont gradués en degrés (°) et minutes 
(') d'angle (1° : 60').

Q 44. Estimer à partir de la figure 3 :

-- l'angle & que fait la normale au disque galactique avec la direction 
d'observation (0 < oz < 7r / 2) ;

-- la vitesse tangentielle puis la vitesse totale d'un nuage d'hydrogène de la 
périphérie de la galaxie, dans le
référentiel lié a la galaxie UGC 11707.

Q 45. En faisant l'hypothèse que la répartition de masse de la galaxie est à 
symétrie sphérique, donner une
estimation de la masse totale de la galaxie. Comparer le résultat obtenu à la 
masse de l'hydrogène atomique de
cette galaxie.

Annexe

Angle solide

Par analogie avec l'angle oz sous lequel on voit dans le plan un
arc de courbe depuis le point 0, on définit l'angle solide Q sous
lequel on voit dans l'espace une surface 2 depuis 0. C'est l'angle
solide du cône de sommet O s'appuyant sur 2, ce cône découpe
sur la sphère de centre O et de rayon R une portion de sphère de
surface S. Par définition, l'angle solide Q est le rapport Q = S / R2.

L'angle solide est une grandeur sans dimension et son unité est
le stéradian (sr). L'angle solide sous lequel on voit une surface
fermée entourant le point 0 est Q : 47r sr. L'angle solide d'un
cône de révolution de demi--angle au sommet a est

Q : 27r(1-- cos &)

Sia<< 1, Qæ7TOÊ.

2018-03--13 10:41:51 Page 6/7 ch. BY--NC-SA

L'effet Doppler

L'efÏet Doppler est utilisé en astrophysique pour mesurer la vitesse 
tangentielle de l'astre observé. La vitesse
tangentielle est la composante de la vitesse parallèle à la ligne de visée qui 
relie l'astre a l'observateur.

Soit (Oz) l'axe Observateur--Étoile orienté de l'observateur vers l'étoile avec 
êz le vecteur unitaire porté par cet
axe. Soit Yla vitesse de l'astre dans un référentiel galiléen adapté à l'étude, 
la vitesse tangentielle de l'astre est
alors V... : 17 - êz.
Si l'astre émet un rayonnement électromagnétique de fréquence u, l'observateur 
perçoit un rayonnement de
fréquence

V

=1+v.../c

V/

Cette relation se simplifie, compte tenu des vitesses habituellement 
rencontrées, en effet |V...| << 0 et on obtient

, ( V|)
I/OEI/ ----
C

La fréquence apparente est plus faible que la fréquence émise si l'étoile 
s'éloigne de l'observateur (la longueur
d'onde est plus grande, il y a décalage vers le rouge).

Gradient en coordonnées cylindriques

af, 18f1 ôf1

grîif : Æur+ ;Æ"9 + &"z
Données numériques

Constante de Planck h : 6,63 >< 10534 J-s

Constante de Planck réduite h : 1,054 >< 10*34 J 's

Célérité de la lumière dans le vide 0 : 3,00 >< 108 m-sf1

Permittivité du vide 50 : 8,85 >< 10512 F-mÎ1

Perméabilité du vide 110 : 471 >< 104 HmÏ1

Charge élémentaire @ = 1,60 >< 10519 C

Masse de l'électron me : 9,11 >< 10*31 kg

Masse du proton mp : 1,67 >< 10527 kg : 1836 me

Facteur de Landé de l'électron gS : 2,00

Facteur de Landé du proton gp : 5,58

Magnéton de Bohr HB : EURñ : 9,27 >< 1044 J-Tfl
2mEUR

Constante de Boltzmann k : 1,38 >< 1043 JOEÎ1

Constante de gravitation G : 6,67 >< 10Ï11 m3'kgfl'sf2

Parsec 1 pc : 3,09 >< 1016 m

Masse du Soleil M© : 2,0 >< 1030 kg

oooFlNooo

2018-03-13 10:41:51 Page 7/7 @<9 BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Émilie Frémont (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Julien Dumont (professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE).

Ce sujet propose une réflexion autour de la raie HI figurant dans les spectres
d'émission et d'absorption de l'hydrogène. Il est composé de deux parties 
relativement
indépendantes, même s'il s'avère préférable de traiter intégralement la 
première partie
avant d'aborder la seconde.
· La première partie est consacrée à l'identification de la transition 
énergétique
à l'origine de la raie HI. Très progressif, le questionnement permet de 
retrouver
quelques résultats classiques des mouvements à force centrale, puis de constater
l'insuffisance du modèle semi-classique de Bohr pour interpréter l'existence de
la raie HI. Afin de pallier cette insuffisance, l'interaction spin-spin, qui 
met en
jeu des notions de magnétostatique et de physique quantique au programme,
est finalement introduite.
· La seconde partie s'attache à relier l'intensité du rayonnement HI produit 
par un
nuage d'hydrogène à ses caractéristiques (distance à la Terre, quantité 
d'hydrogène. . .). Les résultats obtenus sont ensuite utilisés pour exploiter 
des données
expérimentales relatives à la galaxie UGC 11707 et déterminer quelques valeurs
numériques d'intérêt. La résolution de cette partie s'avère parfois subtile car
elle suppose l'assimilation de notions hors programme introduites dans l'énoncé
et les documents annexes.
Ce sujet présente des qualités indéniables : il permet de faire de la physique 
depuis
des échelles atomique à astronomique à partir d'un même thème et il relie des 
notions
introduites dans des parties très différentes des programmes de PCSI et de PC. 
Une
préparation pragmatique aux épreuves de concours incitera à travailler 
principalement la première partie du sujet. La seconde, plus technique et moins 
formatrice, est
à réserver aux étudiants très à l'aise avec le cours et qui souhaitent 
développer leur
culture en astrophysique.

Indications
1 Penser à définir les points et vecteurs utiles qui ne sont pas introduits dans
l'énoncé.
3 Que peut-on dire du moment cinétique d'un point matériel engagé dans un 
mouvement à force centrale ?
4 Éliminer le terme en  dans l'expression de l'énergie cinétique en exploitant 
la
propriété du moment cinétique établie précédemment.
 -
-
 -
 -

5 Distinguer les cas L 6= 0 et L = 0 , ainsi que les cas E > 0 et E < 0.
7 À quelle condition sur la vitesse le moment cinétique de l'électron 
s'annule-t-il ?
10 Combien de degrés de liberté un atome d'hydrogène possède-t-il ? Que prévoit 
le
théorème d'équipartition de l'énergie dans ce cas ?
11 Évaluer l'énergie d'un photon de longueur d'onde 21 cm et comparer celle-ci 
à la
différence d'énergie entre les deux premiers niveaux du modèle de Bohr.
-

-
12 Montrer que L et Mo sont colinéaires en assimilant la trajectoire de 
l'électron à
une spire circulaire de courant.
13 Relier l'intensité I circulant dans la spire-modèle à la période du mouvement
orbitalaire de l'électron, puis à sa vitesse.
 -
-

15 Combien de valeurs différentes le produit scalaire Se · Sp peut-il prendre ?
17 Faire le lien avec les questions 5 et 7.
18 Voir l'indication précédente !
21 Considérer uniquement le processus de désexcitation spontanée et dégager un
temps caractéristique.
24 Réaliser un bilan de population sur le niveau hyperfin  entre t et t + dt.
25 Dénombrer le nombre de photons intervenant dans chaque processus de 
transition.
Comparer le résultat à la variation correspondante de la population n .
26 Combiner les résultats des deux questions précédentes.
-

-
30 Quelle relation existe-t-il entre les champs E et B dans le cas d'une onde 
plane
se propageant dans le vide ?
32 Différentier l'équation définissant l'intensité spécifique I à partir de u , 
puis
exploiter les résultats des questions 31 et 26.
34 Simplifier l'expression de  établie à la question 32 par des considérations 
sur
les ordres de grandeur des différents termes.
38 En exploitant la notion d'angle solide, relier d'abord NH à l'intégrale de 
N(H).
44 Comment expliquer la forme elliptique des images de la figure 3 alors que la 
galaxie
a une forme de disque ? Accompagner le raisonnement d'un ou deux schémas clairs.
45 Écrire l'équation du mouvement d'un objet situé en périphérie de la galaxie 
dans
le référentiel lié à cette dernière.

De l'atome d'hydrogène aux galaxies

-
1 La force électrostatique F exercée par
le proton sur l'électron est donnée par la
loi de Coulomb. En définissant le vecteur
 comme sur le schéma ci-contre,
unitaire -
u
r
-

F =-

e2 -

u
r
40 r2

-

u
r

-

F

M
(electron)
O
(proton)

2 L'énergie potentielle électrostatique de l'électron dans le champ 
électrostatique
créé par le proton s'écrit Ep (r) = -e Vp (r), où Vp (r) désigne le potentiel 
électrostatique engendré par le proton au niveau de l'électron à la distance r. 
D'après la loi de
Coulomb, ce dernier est donné par
Vp (r) =

e
40 r

d'où

Ep (r) = -

e2
40 r

Telle que la question est formulée, il y a fort à parier que l'auteur du sujet
souhaitait une « démonstration » du résultat précédent. Pour ce faire, on peut

-
par exemple exprimer le travail infinitésimal WR ( F ) de la force électrosta
-
tique subie par l'électron. En notant d  le vecteur déplacement élémentaire
de l'électron, on a dans le système de coordonnées sphériques de centre O,

 -

-
 -
-
  
 + r sin  d -
W ( F ) = F · d  = F · dr -
u + r d -
u
u
R

r

On explicite le produit scalaire :

-
e2
e2
WR ( F ) = -
dr = -d -
40 r2
40 r

-
Pouvoir écrire WR ( F ) comme une forme différentielle permet de conclure
que la force est conservative et que l'énergie potentielle associée vaut
e2
Ep (r) = -
+ Cte
40 r
Il ne reste alors plus qu'à appliquer la consigne de l'énoncé, c'est-à-dire à
choisir la constante précédente telle que Ep (r) ---- 0. La constante est
r+

donc nulle, ce qui permet de retrouver l'expression de l'énergie potentielle.
3 Appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron dans le référentiel R,
par rapport au point O correspondant à la position du proton. En appelant M le
point où se trouve l'électron,

-
-- -
 -

dL
= OM  F = 0
dt

-
--
. Le moment
car F est la seule force à considérer et elle est colinéaire à OM = r -
u
r

-
cinétique L de l'électron est donc indépendant du temps dans le référentiel 
d'étude.

-
--
Or, par construction, L est orthogonal à la fois aux vecteurs position OM et 
vitesse

-
v : ces deux vecteurs sont ainsi toujours contenus dans un même plan au cours du
temps, ce qui signifie que la trajectoire est plane.
La conservation du moment cinétique de l'électron dans le
référentiel d'étude implique que sa trajectoire est plane.

4 Par définition, l'énergie mécanique de l'électron est donnée par la somme de 
ses
énergies cinétique Ec et potentielle Ep , cette dernière étant exprimée à la 
question 2.
En adoptant le système de coordonnées polaires de centre O pour repérer la 
position
de l'électron, son vecteur vitesse s'écrit
-

 + r -

v = r -
u
u
r

d'où

Ec =

1
1
me v 2 = me r2 + r2 2
2
2

Exploitons alors la conservation du moment cinétique établie dans la question 
précédente. Comme
-

-- 

L = me OM  -
v = me r2  -
u
z
il vient directement

 =

-
kLk
me r 2

En injectant ce dernier résultat dans l'expression de l'énergie mécanique, on 
obtient
1
E = me
2

ce qui permet d'identifier

 !
-
k L k2
e2
r + 2 2 -
me r
40 r
2

EPeff (r) =

-
k L k2
e2
-
2
2me r
40 r

La fonction EPeff est appelée « énergie potentielle effective » de l'électron.
 -
-

5 Commençons par examiner le cas L 6= 0 . Au voisinage de 0, l'énergie 
potentielle
effective de l'électron varie en 1/r2 , tandis qu'elle varie en -1/r au 
voisinage de +.
Il s'ensuit que la courbe d'énergie potentielle effective passe par un minimum 
et
présente l'allure suivante.
EPeff (r)
(a) : E > 0

0

(b) : E < 0

r