Centrale Physique 2 PC 2017

S*
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

kyRd

S?vbB[m2 k
AMi2`7û`QKûi`B2 iQKB[m2

G2b QM/2b /2 KiB`2 T2`K2ii2Mi /2 `ûHBb2` /2b 2tTû`B2M+2b /BMi2`7û`QKûi`B2 iQmi 
¨ 7Bi MHQ;m2b ¨ +2HH2b
`2M+QMi`û2b 2M QTiB[m2X PM bBMiû`2bb2 B+B ¨ mM BMi2`7û`QKi`2 /2 J+?@w2?M/2` ¨ 
QM/2b /2 KiB`2 U};m`2 RVX
lM i2H BMi2`7û`QKi`2  ûiû +QMbi`mBi T` /2b +?2`+?2m`b /m G#Q`iQB`2 *QHHBbBQMb- 
;`û;ib- 2i _û+iBpBiû
UG*_V ¨ hQmHQmb2X G bQm`+2 2bi mM D2i bmT2`bQMB[m2 +QHHBKiû /iQK2b /2 HBi?BmK 
d- H2b KB`QB`b 2i HK2b
bûT`i`B+2b bQMi `ûHBbûb ¨ HB/2 /QM/2b HmKBM2mb2b bm` H2b[m2HH2b H2b iQK2b bQMi 
/Bz`+iûb c 2M}M- bm` HmM2
/2b bQ`iB2b /2 HBMi2`7û`QKi`2- mM /ûi2+i2m` K2bm`2 HBMi2MbBiû /m 7Bb+2m iQKB[m2 
`ûbmHiMi /2 HBMi2`7û`2M+2
2Mi`2 H2b QM/2b /2 KiB`2 [mB b2 T`QT;2Mi /Mb H2b /2mt #`b /2 HBMi2`7û`QKi`2X
UJRV

UJkV

UJjV

aQm`+2

.ûi2+i2m`

6B;m`2 R a+?ûK /2 T`BM+BT2 /2 HBMi2`7û`QKi`2 /2 J+?@w2?M/2` ¨ QM/2b /2 KiB`2
UJRV- UJkV 2i UJjV bQMi /2b KB`QB`b THMb c  2i  bQMi H2b 72Mi2b /2 +QHHBKiBQM 
/m D2i bmT2`bQMB[m2 c 
2bi H 72Mi2 /2 /ûi2+iBQM c H /BbiM+2 2Mi`2 /2mt QM/2b biiBQMMB`2b 2bi    NN
G2b +QMbiMi2b T?vbB[m2b miBH2b m T`Q#HK2 BMbB [mmM 7Q`KmHB`2 bQMi /QMMûb 2M }M 
/ûMQM+ûX
G2b p2+i2m`b mMBiB`2b b2HQM - -  bQMi MQiûb  -  -  X

A *`+iû`BbiBQM /2 H bQm`+2 iQKB[m2
G T`Q/m+iBQM /mM2 pT2m` iQKB[m2 b2z2+im2 2M +?mzMi HûHûK2Mi +?BKB[m2 TQm` 
ii2BM/`2 mM2 T`2bbBQM
/2 pT2m` bim`Mi2 bm{bMi2X G2 HBi?BmK vMi mM2 T`2bbBQM /2 pT2m` bim`Mi2 7B#H2 mt 
i2KTû`im`2b
2tTû`BK2MiH2K2Mi ++2bbB#H2b- QM H2 pTQ`Bb2 /Mb mM ;x /`;QM bQmb ?mi2 T`2bbBQM- 
}M /Q#i2MB` mM2
bm`T`2bbBQM THmb BKTQ`iMi2 /Mb H2 7Qm`X G2 KûHM;2 ;x2mt BMbB Q#i2Mm +QMiB2Mi 
KDQ`BiB`2K2Mi /2 H`;QM
2i mM2 7B#H2 T`QTQ`iBQM /2 HBi?BmKX *2 ;x 2bi 2MbmBi2 ++ûHû`û ¨ i`p2`b mM2 
imv`2 /2 HQM;m2m` M2ii2K2Mi
bmTû`B2m`2 ¨ b b2+iBQM U};m`2 kV }M /2 7Q`K2` mM D2i iQKB[m2X PM bQm?Bi2 /Mb 
+2ii2 T`iB2 +`+iû`Bb2` H2
D2i iQKB[m2 BMbB +`ûûX
A(z )
Chambre
a vide

P0 , T 0
Four

z
0

6B;m`2 k a+?ûK /2 H imv`2X PM  `2T`ûb2Miû [m2H[m2b HB;M2b /2 Hû+QmH2K2Mi BMbB 
[m2 H bm`7+2  
T2`T2M/B+mHB`2 mt HB;M2b /2 Hû+QmH2K2MiX

kyRd@yk@kk R8,Ry,jy

S;2 Rfd

PM +QMbB/û`2` H2b ?vTQi?b2b bmBpMi2b ,
 /Mb H2 7Qm`- H2 ;x 2bi ¨ H T`2bbBQM  2i H i2KTû`im`2  c
 QM bmTTQb2 [m2 H2 HB#`2 T`+Qm`b KQv2M /Mb H2 7Qm` 2i /Mb H imv`2 2bi i`b 
BM7û`B2m` m /BKi`2 /2
H imv`2X *2ii2 ?vTQi?b2 T2`K2i /2 /û+`B`2 H2 ~mB/2 +QKK2 mM KBHB2m +QMiBMm 2i 
/miBHBb2` H2b HQBb /2 H
/vMKB[m2 /2b ~mB/2b c
 H2b /Bzû`2Mi2b [mMiBiûb T?vbB[m2b [mB /û+`Bp2Mi Hû+QmH2K2Mi UT`2bbBQM   - 
i2KTû`im`2   - Kbb2 pQHm@
KB[m2   - 2Mi?HTB2 KbbB[m2   - pBi2bb2   V QMi KK2 pH2m` 2M iQmi TQBMi /2 H 
bm`7+2   [mQ++mT2
H2 ~mB/2- T2`T2M/B+mHB`2K2Mi mt HB;M2b /2 Hû+QmH2K2Mi U};m`2 kVX .Mb H K2bm`2 Q 
H2 /BKi`2 /2 H
imv`2 p`B2 H2Mi2K2Mi p2+ - QM bbBKBH2 H bm`7+2   m THM    X *2ii2 TT`QtBKiBQM 
2Mi`BM2
[m2 H2b +QKTQbMi2b i`Mbp2`bH2b /2   bQMi T`iQmi Mû;HB;2#H2b /2pMi H +QKTQbMi2 
/2   b2HQM Ht2  c
 Hû+QmH2K2Mi 2bi bmTTQbû mMB/BK2MbBQMM2H H2 HQM; /2 Ht2 - biiBQMMB`2 2i T`7Bi c
 H2 ;x 2bi bmTTQbû T`7Bi- KQMQiQKB[m2- /2 Kbb2 KQHB`2     LHNPM 2i /2 +Q2{+B2Mi 
/B#iB[m2
   bmTTQbû BM/ûT2M/Mi /2 H i2KTû`im`2 c
 H pBi2bb2 KQv2MM2  /2b iQK2b /Mb H2 7Qm` 2bi Mû;HB;û2 /2pMi H pBi2bb2 /2b 
iQK2b /Mb H2 D2iX

PM MQi2`   - Q  2bi H +QMbiMi2 /2b ;x T`7BibX

PM /QMM2 H2b T`Ki`2b /2 H2tTû`B2M+2 bmBpMib ,
 /BKi`2 /2 +QH /2 H imv`2    ËN c
 i2KTû`im`2 /m ;x /Mb H2 7Qm`    , c
 T`2bbBQM /m ;x /Mb H2 7Qm`    NCBSX
AX 

_ûHBbiBQM /mM D2i bmT2`bQMB[m2

AXXRV Zm2 T2mi@QM /B`2 /m /û#Bi KbbB[m2  /2 +2i û+QmH2K2Mi \ *QKK2Mi 
b2tT`BK2@i@BH 2M 7QM+iBQM /2
  -   2i   X
AXXkV ú+`B`2 H `2HiBQM `2HBMi   -   2i   X 1tT`BK2` H p`BiBQM E /2 H2Mi?HTB2 
KbbB[m2 /m ;x
2M 7QM+iBQM /2 -  2i /2 H p`BiBQM E /2 b i2KTû`im`2X
AXXjV G2b i`Mb72`ib i?2`KB[m2b 2Mi`2 H2 ;x 2i H2b T`QBb /2 H imv`2 bQMi 
Mû;HB;2#H2b- /2 bQ`i2 [m2 H2 ;x
bû+QmH2 b2HQM mM2 i`Mb7Q`KiBQM /B#iB[m2 2i `ûp2`bB#H2X 1M /û/mB`2 mM2 `2HiBQM 
2Mi`2   2i   BMbB
[mmM2 `2HiBQM 2Mi`2 E-   2i EX
AXX9V G2b 7Q`+2b /2 T2bMi2m` ûiMi Mû;HB;û2b /2pMi H2b 7Q`+2b T`2bbMi2b 2t2`+û2b 
bm` H2 ~mB/2- `2HB2` H
pBi2bb2   ¨ H2Mi?HTB2 KbbB[m2   ¨ H TQbBiBQM  2i ¨ H2Mi?HTB2 KbbB[m2  /Mb H2 
7Qm`X
AXX8V PM `TT2HH2 [m2 H +ûHû`Biû /m bQM  /Mb mM ;x 2bi `2HBû2 ¨ b Kbb2 pQHmKB[m2 
 2i b +QKT`2bbB#BHBiû

 T`   
X
Bb2Mi`QTB[m2  

.QMM2` H2tT`2bbBQM /2 H +ûHû`Biû /m bQM /Mb H imv`2   ¨ H#b+Bbb2  2M 7QM+iBQM 
/2 -  2i   X
.Mb H bmBi2- QM MQi2`   H2 `TTQ`i /2 H pBi2bb2 /2b iQK2b /m D2i   bm` H 
+ûHû`Biû /m bQM ¨ H#b+Bbb2
- TT2Hû H2 MQK#`2 /2 J+?

AXXeV § T`iB` /2 H2Mb2K#H2 /2b `2HiBQMb T`û+û/2Mi2b- ûi#HB` H `2HiBQM bmBpMi2- 
+QMMm2 bQmb H2 MQK /2
`2HiBQM /2 >m;QMBQi ,
E

E       

AXXdV Gû+QmH2K2Mi 2bi TT2Hû bm#bQMB[m2- Qm bmT2`bQMB[m2- b2HQM [m2    - Qm    X 
.û/mB`2 /2 H
`2HiBQM /2 >m;QMBQi [m2- TQm` Tbb2` /mM û+QmH2K2Mi bm#bQMB[m2 ¨ mM û+QmH2K2Mi 
bmT2`bQMB[m2- H b2+iBQM /2
H imv`2 /QBi Mû+2bbB`2K2Mi +QKTQ`i2` mM KBMBKmKX Zm2 pmi H2 MQK#`2 /2 J+? ¨ +2i 
2M/`QBi \
AX" 

1biBKiBQM /2b ;`M/2m`b i?2`KQ/vMKB[m2b ¨ HBbbm2 /2 H2tTMbBQM

AX"XRV 1tT`BK2` H i2KTû`im`2   /m ;x 2M 7QM+iBQM /2  -  2i /m MQK#`2 /2 J+?   X 
*QKK2Mi H
i2KTû`im`2 ûpQHm2@i@2HH2 /Mb H /B`2+iBQM  /m D2i \
AX"XkV 1tT`BK2` H /2MbBiû iQKB[m2 /m D2i   2M 7QM+iBQM /2  -  2i /m MQK#`2 /2 
J+?   X SQm`[mQB
T2mi@QM +QMbB/û`2` [m¨ HBbbm2 /2 H T?b2 /2tTMbBQM- HQ`b[m2  2bi bm{bKK2Mi ;`M/- 
H i2KTû`im`2 2i H
pBi2bb2 /2b iQK2b /m D2i MûpQHm2Mi THmbX G2 MQK#`2 /2 J+? ii2BMi ¨ HBbbm2 /2 H 
T?b2 /2tTMbBQM b2` MQiû
T` H bmBi2  X
AX"XjV 1tT`BK2` /2 KK2 H pBi2bb2 /m D2i   2M 7QM+iBQM /2  - -  2i /m MQK#`2 /2 
J+?   X 1M
bmTTQbMi [m2  2bi ;`M/ /2pMi mM2 [mMiBiû [m2 HQM T`û+Bb2`- KQMi`2` [m2 H 
pBi2bb2 ii2BMi2 2M bQ`iB2 /2
H imv`2  M2 /ûT2M/ Tb /2  2i /QMM2` bQM 2tT`2bbBQM 2M 7QM+iBQM /2  -  2i X 
GûpHm2` MmKû`B[m2K2MiX
kyRd@yk@kk R8,Ry,jy

S;2 kfd

AX"X9V PM /QMM2 bm` H };m`2 j H2b `ûbmHiib /2 K2bm`2b /m MQK#`2 /2 J+? i2`KBMH  
Q#i2Mmb T` mM2
2tTû`B2M+2 bBKBHB`2- KBb TQm` /2b T`Ki`2b 2tTû`BK2Mimt /Bzû`2MibX 1M /û/mB`2 
mM2 2biBKiBQM /2 H pH2m`
/2  TQm` H2b T`Ki`2b /2 H2tTû`B2M+2 ûim/Bû2- TmBb /2 H pH2m` /2 H i2KTû`im`2  
ii2BMi2 ¨ HBbbm2
/2 H2tTMbBQMX G?vTQi?b2 7Bi2 ¨ H [m2biBQM T`û+û/2Mi2 2bi@2HH2 pû`B}û2 \
jy

ky

Ry

6B;m`2 j

UN  1B  , V

LQK#`2 /2 J+? ii2BMi ¨ HBbbm2 /2 H2tTMbBQM 2M 7QM+iBQM /2b T`Ki`2b /2 H bQm`+2

AA .Bz`+iBQM /m D2i iQKB[m2 T` mM2 QM/2 biiBQMMB`2
§ HB/2 /mM Hb2` /2 HQM;m2m` /QM/2    ON- QM +`û2 mM2 QM/2 THM2 2i T`Q;`2bbBp2- 
TQH`Bbû2 `2+iBHB;M2@
K2Mi b2HQM  - /2 p2+i2m` /QM/2   2i /2 TmHbiBQM  - [mB b2 T`QT;2 /Mb H 
/B`2+iBQM  X G2 +?KT ûH2+i`B[m2
/2 +2ii2 QM/2 bû+`Bi ,
           DPT     

AAX  PM/2 biiBQMMB`2
GQM/2 Hb2` b2 `û~û+?Bi 2M BM+B/2M+2 MQ`KH2 bm` mM KB`QB` THM bbBKBHû ¨ mM 
KB`QB` KûiHHB[m2 T`7Bi2K2Mi
+QM/m+i2m`- bBimû /Mb H2 THM    X
       TJO      X
JQMi`2` [m2 H2 +?KT ûH2+i`B[m2 /2 HQM/2 biiBQMMB`2 `ûbmHiMi2 bû+`Bi 
S`û+Bb2` H2tT`2bbBQM /2   2M 7QM+iBQM /2  -  - 2i  X
AAX"  LQiBQM /2 TQi2MiB2H HmKBM2mt
PM bBMiû`2bb2 /#Q`/ ¨ HBMi2`+iBQM /2 +2ii2 QM/2 biiBQMMB`2 p2+ H2b iQK2b /2 
HBi?BmKX GQ`b[mBHb TûMi`2Mi
 H2b iQK2b b2 TQH`Bb2MiX GQ`b[m2 H TmHbiBQM  2bi i`b ûHQB;Mû2 /2b
/Mb H xQM2 Q `;M2 H2 +?KT `ûbQMM+2b iQKB[m2b- H2b /BTH2b BM/mBib Qb+BHH2Mi ¨ H 
TmHbiBQM  /m Hb2` 2t+Bii2m` 2i 2M T?b2 p2+ HmB ,
 Q  2bi H TQH`Bb#BHBiû /2 HiQK2 /2 HBi?BmKX .Mb H2b
H2 /BTH2 iQKB[m2 BM/mBi bû+`Bi HQ`b     
Q       $N 2bi mM2
+QM/BiBQMb /2 H2tTû`B2M+2 UHb2` ?Q`b /2 `ûbQMM+2V- QM    
 
+QMbiMi2 +`+iû`BbMi H2 /BTH2 /2 HiQK2 /2 HBi?BmK 2i Q      2bi Hû+`i 2Mi`2 H 
TmHbiBQM Hb2` 
2i H TmHbiBQM  /2 H i`MbBiBQM iQKB[m2 H THmb T`Q+?2X G2 +?KT HmKBM2mt BMi2`;Bi 
p2+ H2 /BTH2 iQKB[m2
 
 [mBH BM/mBi pB mM2 ûM2`;B2 TQi2MiB2HH2      TT2Hû2 TQi2MiB2H HmKBM2mtX

AAX"XRV JQMi`2` [m2 H KQv2MM2 i2KTQ`2HH2 /2 +2 TQi2MiB2H HmKBM2mt bû+`Bi bQmb H 
7Q`K2
        DPT    

AAX"XkV 1tT`BK2`  2i  2M 7QM+iBQM /2b T`Ki`2b /m T`Q#HK2X
AAX*  ú[miBQM /2 T`QT;iBQM /2 HQM/2 /2 KiB`2
lM D2i bmT2`bQMB[m2 /2 HBi?BmK b2 T`QT;2 /Mb H2 THM  ¨ mM2 pBi2bb2    NT 2i 
i`p2`b2 HQM/2
HmKBM2mb2 biiBQMMB`2 ;ûMû`û2 T` mM KB`QB` UJV U};m`2 9VX lM iQK2 /2 HBi?BmK 2bi 
bbBKBHû ¨ mM T[m2i /QM/2b
/2 KiB`2 /û+`Bi T` b 7QM+iBQM /QM/2     /QMi H2 KQ/mH2 m +``û /QMM2 H /2MbBiû 
/2 T`Q
T`ûb2M+2 /2 HiQK2 /Mb H2bT+2 ¨ i`QBb /BK2MbBQMbX PM bBMiû`2bb2 B+B 
2t+HmbBp2K2Mi m T`Q+2bbmb ûHbiB[m2 /2
/BzmbBQM /2b iQK2b T` HQM/2 HmKBM2mb2 biiBQMMB`2- /2 bQ`i2 [m2 HûM2`;B2 /2 
HiQK2 T2mi i`2 +QMbB/û`û2
+QKK2 }tû2 2i û;H2 ¨ bQM ûM2`;B2 +BMûiB[m2 BM+B/2Mi2  X G T`iB2 bTiBH2    /2 b 
7QM+iBQM /QM/2 Q#ûBi
HQ`b ¨ Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2`

kyRd@yk@kk R8,Ry,jy

S;2 jfd

¨ HBMiû`B2m` /2 HQM/2 biiBQMMB`2 U    V
¨ H2tiû`B2m` /2 HQM/2 biiBQMMB`2 U   Qm   V

Q       LH 2bi H Kbb2 /2 HiQK2 /2 HBi?BmK d 2i  bQM ûM2`;B2 iQiH2- û;H2 ¨ bQM 
ûM2`;B2 +BMûiB[m2
BM+B/2Mi2X
AAX*XRV _TT2H2` H2tT`2bbBQM /2 H HQM;m2m` /QM/2 /2 /2 "`Q;HB2  /2 HiQK2 
BM+B/2Mi 2i HûpHm2` MmKû@
`B[m2K2Mi /Mb H2 +b T`ûb2MiX
AAX*XkV PM bbBKBH2 H2 T[m2i /QM/2 iQKB[m2 BM+B/2Mi ¨ mM2 QM/2 THM2 /2 p2+i2m` 
/QM/2   X _2HB2`   ¨ H
[mMiBiû /2 KQmp2K2Mi /2 HiQK2   2i 2M /û/mB`2 H2tT`2bbBQM /2 bQM ûM2`;B2  X 
GûpHm2` MmKû`B[m2K2MiX
PM bmTTQb2` /Mb H bmBi2 [m2 H T`Q7QM/2m`  /m TQi2MiB2H HmKBM2mt 2bi #2m+QmT 
THmb 7B#H2 [m2 HûM2`;B2
 /2 HiQK2X
AAX*XjV ú+`B`2 Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM- /Mb mM KBHB2m /BM/B+2   - /mM2 QM/2 
HmKBM2mb2      /2
p2+i2m` /QM/2 /Mb H2 pB/2  2i /2 TmHbiBQM X

AAX*X9V 1M /û/mB`2 [m2 H T`QT;iBQM /2 HQM/2 /2 KiB`2 ¨ HBMiû`B2m` /2 HQM/2 
biiBQMMB`2 2bi `û;B2 T` mM2
û[miBQM bBKBHB`2 ¨ +2HH2 /mM2 QM/2 HmKBM2mb2 /Mb mM KBHB2m /BM/B+2   KQ/mHû 
Tû`BQ/B[m2K2MiX Zm2H 2bi
H2 Tb  /2 +2 `ûb2m /BM/B+2 \ GûpHm2` MmKû`B[m2K2MiX .QMM2` H2tT`2bbBQM /2 
HKTHBim/2  /2 KQ/mHiBQM
/2 HBM/B+2 2M 7QM+iBQM /2  2i  X
AAX*X8V PM û+`Bi Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM /2 HQM/2 /2 KiB`2 ¨ HBMiû`B2m` /2 HQM/2 
biiBQMMB`2 bQmb H
7Q`K2 bmBpMi2

1tT`BK2`  2M 7QM+iBQM /2  2i  X

     DPT    

UAAXRV

UJV

6B;m`2 9 _ûb2m HmKBM2mt /2 Tb  2i /ûTBbb2m` 

AAX.  _ûbQHmiBQM /2 Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM
G2 7Bb+2m HmKBM2mt [mB +`û2 HQM/2 biiBQMMB`2 2bi HBKBiû i`Mbp2`bH2K2Mi T` mM 
/BT?`;K2 /2 `vQM
   NNX G2 `ûb2m HmKBM2mt bm` H2[m2H pQMi b2 /Bz`+i2` H2b QM/2b iQKB[m2b  /QM+ 
mM2 ûTBbb2m`   
U};m`2 9VX .2mt 72Mi2b i`b }M2b- /2 H`;2m`   ËN- bQMi TH+û2b H2 HQM; /m D2i 
bmT2`bQMB[m2- /2 KMB`2 ¨
bûH2+iBQMM2` i`b T`û+BbûK2Mi HM;H2 /BM+B/2M+2  /2b iQK2b bm` H2 `ûb2m HmKBM2mt 
UHQ`B2MiiBQM /2 HM;H2
 2bi T`û+Bbû2 bm` H };m`2 9VX .Mb +2b +QM/BiBQMb- QM KQMi`2 [m2 b2mH2b /2mt 
QM/2b THM2b b2 T`QT;2Mi
bBKmHiMûK2Mi /Mb H2 `ûb2m HmKBM2mt , HQM/2 BM+B/2Mi2    /KTHBim/2   2i /2 
p2+i2m` /QM/2   - 2i
HQM/2 /Bz`+iû2    /KTHBim/2   2i /2 p2+i2m` /QM/2        Q    2i Q     
+`+iû`Bb2 H Tû`BQ/B+Biû /m `ûb2m HmKBM2mt 2i 2bi +?QBbB B+B /2 KK2 b2Mb [m2 H2 
p2+i2m` /QM/2   /2 HQM/2
Hb2` BM+B/2Mi2 bm` H2 KB`QB` UJVX PM +QMbB/`2 /Mb H bmBi2 H2 +b   X
AAX.XRV JQMi`2` [m2 H +QMb2`piBQM /2 HûM2`;B2 +BMûiB[m2 /2 HiQK2- 2Mi`2 bQM 
2Mi`û2 /Mb H2 `ûb2m 2i
b bQ`iB2 /Mb HQ`/`2    /2 /Bz`+iBQM- BKTHB[m2 mM2 +2`iBM2 `2HiBQM [m2 HQM 
2tTHB+Bi2` 2Mi`2 HM;H2
/BM+B/2M+2  - H2 Tb  /m `ûb2m 2i H HQM;m2m` /QM/2 /2 /2 "`Q;HB2  /2 HiQK2X
AAX.XkV úpHm2` MmKû`B[m2K2Mi HM;H2 /BM+B/2M+2- MQiû  - [mB biBb7Bi +2ii2 
`2HiBQMX
AAX.XjV Zm2H M;H2 7Bi H2 7Bb+2m /Bz`+iû p2+ Ht2  /Mb +2b +QM/BiBQMb \ 6B`2 mM 
b+?ûK BHHmbi`Mi H
/BbTQbBiBQM `2HiBp2 /2b i`Bib /m `ûb2m 2i /2b p2+i2m`b /QM/2   -   2i   X
AAX.X9V PM +?2`+?2 H2b bQHmiBQMb /2 Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM UAAXRV bQmb H 7Q`K2
  F 

  F 

V Zm2 `2T`ûb2Mi2 T?vbB[m2K2Mi +?+mM /2b i2`K2b /2 +2ii2 bQHmiBQM \

kyRd@yk@kk R8,Ry,jy

S;2 9fd

#V 1M miBHBbMi +2ii2 2tT`2bbBQM- B/2MiB}2` /Mb Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM H2b i2`K2b 
[mB b2 T`QT;2Mi p2+ H2b
p2+i2m`b /QM/2   2i   X PM T2Mb2` TQm` +2H ¨ /ûp2HQTT2` H2 i2`K2 2M DPT     
bQmb H 7Q`K2 /2 /2mt
QM/2b THM2b /2 p2+i2m`b /QM/2   2i   X 1M /û/mB`2 [m2 H2b KTHBim/2b   2i   
biBb7QMi mt /2mt
û[miBQMb /Bzû`2MiB2HH2b +QmTHû2b bmBpMi2b- Q       ,

 E 
 E 
 E 

 E 

E
  F  
E
E
J    F  
E

J

AAX.X8V PM BKTQb2 H2b +QM/BiBQMb mt HBKBi2b       2i      X 1M T`û+Bb2` H 
bB;MB}+iBQM
T?vbB[m2X Zm2 `2T`ûb2Mi2  \
AAX.XeV PM bmTTQb2 [m2 H2b KTHBim/2b /2b /2mt QM/2b bQMi H2Mi2K2Mi p`B#H2b ¨ 
Hû+?2HH2 /2  X CmbiB}2`
[m2 +2H T2`K2i /2 Mû;HB;2` H2b /û`Bpû2b b2+QM/2b /Mb H2 bvbiK2 /û[miBQMb 
+QmTHû2b +B@/2bbmbX
E 
    X
AAX.XdV 1M /û/mB`2 [m2 HKTHBim/2   biBb7Bi ¨ mM2 û[miBQM /Bzû`2MiB2HH2 /2 H 
7Q`K2
E 
1tTHB+Bi2` H +QMbiMi2 TQbBiBp2  2M 7QM+iBQM /2  2i DPT  X
AAX.X3V _ûbQm/`2 +2ii2 û[miBQM /Bzû`2MiB2HH2 2M miBHBbMi H2b +QM/BiBQMb mt 
HBKBi2b T`û+Bbû2b 2M AAX.X8VX

AAX.XNV 1M /û/mB`2 H2tT`2bbBQM /2   2i +2HH2b /2b QM/2b THM2b    2i    2M 
bQ`iB2 /QM/2 biiBQMMB`2+2bi@¨@/B`2 TQm`   X *QKK2Mi2` +2b bQHmiBQMbX 
GTT`QtBKiBQM /2b KTHBim/2b H2Mi2K2Mi p`B#H2b pQmb
b2K#H2@i@2HH2 DmbiB}û2 B+B \
AAX.XRyV PM BMi`Q/mBi H2b +Q2{+B2Mib /2 i`MbKBbbBQM     2i /2 /Bz`+iBQM ¨ 
HQ`/`2   -     i2Hb [m2 H2b QM/2b    2i    bû+`Bp2Mi /Mb H xQM2   
       F 

       F 

2i

JQMi`2` [m2
   DPT 

2i

   J TJO  F 

Q 
 /ûbB;M2 H TQbBiBQM /m KB`QB` UJVX
AAX.XRRV 1M /û/mB`2 H2tT`2bbBQM /2 H2{++Biû /2 /Bz`+iBQM X Zm2HH2 pH2m` KtBKH2 
T2mi@2HH2 ii2BM/`2 2M
i?ûQ`B2 \
AAX.XRkV SmBbbM+2 Hb2`
V _TT2H2` H2tT`2bbBQM /2 Hû+HB`2K2Mi U~mt /m p2+i2m` /2 SQvMiBM; ¨ i`p2`b mM2 
bm`7+2 mMBiûV bbQ+Bû ¨
mM2 QM/2 HmKBM2mb2 /QMi H2 +?KT ûH2+i`B[m2 bû+`Bi  DPT       X

#V 1M /û/mB`2 H2tT`2bbBQM /2 H pH2m` H THmb 7B#H2 /2 H TmBbbM+2  /m Hb2` [mB 
T2`K2i /ii2BM/`2 H2{++Biû
/2 /Bz`+iBQM KtBKH2 /Mb HQ`/`2   X úpHm2` +2ii2 TmBbbM+2 MmKû`B[m2K2Mi TQm` mM 
Hb2` /û+Hû 2M
7`û[m2M+2 T` `TTQ`i ¨ H `B2 iQKB[m2 H THmb T`Q+?2 /2 H [mMiBiû     ()[X 
G?vTQi?b2   
pQmb b2K#H2@i@2HH2 pH#H2 \
+V Zm2HH2 2bi H TmBbbM+2 Hb2` KBMBKmK Mû+2bbB`2 TQm` ii2BM/`2 mM2 2{++Biû /2 
/Bz`+iBQM /2 8yW \
AAX.XRjV am` [m2HUbV mi`2UbV T`Ki`2UbV T2mi@QM DQm2` 2M T`iB[m2 TQm` ii2BM/`2 
H2{++Biû /2 /Bz`+iBQM
KtBKH2 \

6B;m`2 8 _ûb2m HmKBM2mt /Mb H2[m2H   
PM KQMi`2`Bi /2 H KK2 7ÏQM [m2- /Mb H bBimiBQM bvKûi`B[m2 /û+`Bi2 T` H };m`2 8 
U/Mb H[m2HH2 H
+QKTQbMi2 /2   b2HQM  2bi Mû;iBp2 ,         TJO  V- H2b QM/2b i`MbKBb2  
U+Q``2bTQM/Mi ¨   V
2i /Bz`+iû2  U+Q``2bTQM/Mi HQ`b ¨   V bû+`Bp2Mi /Mb H xQM2   
       F 

2i

p2+    J TJO  F 
X

kyRd@yk@kk R8,Ry,jy

S;2 8fd

       F 

AAA AMi2`7û`QKi`2 /2 J+?@w2?M/2`
PM `ûHBb2 mM BMi2`7û`QKi`2 /2 J+?@w2?M/2` ¨ QM/2b /2 KiB`2 2M miBHBbMi i`QBb 
QM/2b biiBQMMB`2b /BbiMi2b
2Mi`2 2HH2b /2 H /BbiM+2  U};m`2 RVX *2b i`QBb QM/2b biiBQMMB`2b bQMi +`ûû2b ¨ 
T`iB` /2 H KK2 bQm`+2 Hb2` /2
HQM;m2m` /QM/2    ONX PM  Dmbiû H2b T`Ki`2b /2 H2tTû`B2M+2 /2 bQ`i2 [m2 H2b 
T`2KB`2 2i i`QBbBK2
QM/2b biiBQMMB`2b QMi- +?+mM2- mM2 2{++Biû /2 /Bz`+iBQM /2 8yW- iM/Bb [m2 H 
/2mtBK2 QM/2 biiBQMMB`2
/Bz`+i2 p2+ mM2 2{++Biû /2 RyyWX G2 D2i KQMQ+BMûiB[m2  TQm` p2+i2m` /QM/2   X 
PM MQi2 
 - 
 2i 

H2b TQbBiBQMb /2b i`QBb KB`QB`b T2`K2iiMi /2 +`û2` H2b QM/2b biiBQMMB`2bX G2b 
i`QBb KB`QB`b bQMi `B;Qm`2mb2K2Mi
T`HHH2b 2Mi`2 2mt- 2i T2`T2M/B+mHB`2b ¨ H /B`2+iBQM  X PM MQi2 /QM+   H2 
p2+i2m` /QM/2 +QKKmM mt
i`QBb `ûb2mt HmKBM2mt- 2M /û}MBbbMi bQM b2Mb /Q`B2MiiBQM b2HQM H /B`2+iBQM /2 
T`QT;iBQM /2b QM/2b Hb2`
BM+B/2Mi2b UpQB` [m2biBQM AAX.VX 1M}M QM MQi2   H2b +Q2{+B2Mib /2 i`MbKBbbBQM 
2i /2 /Bz`+iBQM /2 HQM/2
iQKB[m2 BM+B/2Mi2 ¨ HQ`/`2     T` HQM/2 biiBQMMB`2 X lM2 72Mi2 /2 /ûi2+iBQM- 
i`b }M2- 2bi bBimû2 2M
X 1HH2 T2`K2i- 2M bQ`iB2 /BMi2`7û`QKi`2- /2 bûH2+iBQMM2` H pQB2 /2 bQ`iB2 bm` 
H[m2HH2 QM K2bm`2 HBMi2`7û`2M+2
2Mi`2 H2b QM/2b /2 KiB`2  2i  [mB QMi T`+Qm`m `2bT2+iBp2K2Mi H2 #`b /m ?mi 
Ui`D2i  V 2i +2HmB /m
#b Ui`D2i  VX G 72Mi2- Q`B2Miû2 b2HQM  -  mM2 H`;2m` /2 8y K b2HQM  2i mM2 
?mi2m`     NN
b2HQM  X
PM MQi2` 
 - 
  - w- H2b TQbBiBQMb /2b TQBMib -  - w
AAAX  aB;MH /2 bQ`iB2 /2 HBMi2`7û`QKi`2
AAAXXRV § [m2Hb +QKTQbMib QTiB[m2b H2b i`QBb QM/2b biiBQMMB`2b bQMi@2HH2b 
û[mBpH2Mi2b- /m TQBMi /2 pm2 /2
H2m` +iBQM bm` H2b QM/2b /2 KiB`2 +QMbB/û`û2b /Mb +2 T`Q#HK2 \ CmbiB}2` pQi`2 
`ûTQMb2X
AAAXXkV 1tT`BK2`  2i  +QKK2 /2b T`Q/mBib /KTHBim/2b   - /2  UKTHBim/2 /2 HQM/2 
THM2 BM+B/2Mi2
2M 2Mi`û2 /BMi2`7û`QKi`2V 2i /2 7+i2m`b /2 T?b2 [mQM 2tT`BK2` 2M 7QM+iBQM /2   
-   2i /2b TQbBiBQMb /2b
TQBMib -  -  -  2i X
PM TQm`` MQi2`    F 2i    F Q  2i  bQMi H2b KTHBim/2b `û2HH2b 2i  2i  H2b T?b2b 
/2b
/2mt 7QM+iBQMb /QM/2X
AAAXXjV 1M /û/mB`2 [m2 H2 MQK#`2 /iQK2b /ûi2+iûb ¨ i`p2`b H 72Mi2 /2 /ûi2+iBQM 
bû+`Bi bQmb H 7Q`K2

DPT  

Q QM 2tTHB+Bi2`  2M 7QM+iBQM /2   - 
 - 
 2i 
 X
AAAXX9V 1tTHB[m2` T`û+BbûK2Mi +2 [mQM Q#b2`p2 bm` H2 /ûi2+i2m` HQ`b[mQM /ûTH+2 
H2 KB`QB` UJjV H2 HQM; /2
Ht2  \
AAAXX8V P#b2`p2@i@QM 2t+i2K2Mi H KK2 +?Qb2 bB +2bi H2 KB`QB` UJkV [m2 HQM 
/ûTH+2 H2 HQM; /2 Ht2  \
1tTHB[m2` pQi`2 `ûTQMb2X
AAAX"  TTHB+iBQM ¨ H K2bm`2 /mM2 pBi2bb2 /2 `QiiBQM
PM T`2M/ /ûbQ`KBb 2M +QKTi2 H `QiiBQM /2 H h2``2 bm` 2HH2@KK2X GBMi2`7û`QKi`2- 
bBimû ¨ hQmHQmb2 UHiBim/2
9j-eêV- 2bi ?Q`BxQMiH /2 bQ`i2 [m2 H p2`iB+H2 b+2M/Mi2 HQ+H2 2bi Q`B2Miû2 b2HQM 
 X PM MQi2  H2 `û7û`2MiB2H
}t2 U/QMi H2b t2b M2 iQm`M2Mi Tb p2+ H h2``2V [mB +QM+B/2 p2+ +2HmB /m 
H#Q`iQB`2 U};m`2 RV ¨ HBMbiMi
 Q HiQK2 2Mi`2 /Mb HBMi2`7û`QKi`2- m TQBMi X G2b KB`QB`b bQMi }t2b /Mb H2 
`û7û`2MiB2H /m H#Q`iQB`2BHb bQMi /QM+ 2M KQmp2K2Mi /Mb  X PM T2mi Mû;HB;2` H2m` 
`QiiBQM T2M/Mi H2 i2KTb /2 Tbb;2 /mM iQK2
/Mb HBMi2`7û`QKi`2- /2 bQ`i2 [mQM /K2i [m2 H2 /ûTH+2K2Mi /2b KB`QB`b /Mb H2 
`û7û`2MiB2H  b2 HBKBi2 ¨ mM2
i`MbHiBQMX PM MQi2   H TQbBiBQM /m KB`QB`  U  \  ^V /Mb H2 `û7û`2MiB2H  b2HQM 
Ht2  ¨ HBMbiMi 
2i   H +QKTQbMi2 /2 b pBi2bb2 b2HQM +2 KK2 t2X PM bmTTQb2 iQmDQm`b [m2 H2b 
i`QBb QM/2b biiBQMMB`2b
bQMi `B;Qm`2mb2K2Mi T`HHH2bX
AAAX"XRV 1tT`BK2` H T?b2  2M 7QM+iBQM /2b #b+Bbb2b  /2b KB`QB`b mt /Bzû`2Mib 
BMbiMib  -  -  Q
HiQK2 i`p2`b2 H2b QM/2b biiBQMMB`2bX
AAAX"XkV PM MQi2`   - Q    NT 2bi H pBi2bb2 /m D2i 2i    NN 2bi H /BbiM+2 2Mi`2 
H2b
QM/2b biiBQMMB`2bX
JQMi`2` T` mM /ûp2HQTT2K2Mi HBKBiû m T`2KB2` Q`/`2 2M  [m2

UAAAXRV

Q QM 2tTHB+Bi2` H [mMiBiû   X Zm2 `2T`ûb2Mi2 T?vbB[m2K2Mi H2 T`2KB2` i2`K2 /2 
+2 /ûp2HQTT2K2Mi \ PM
bmTTQb2` /Mb H bmBi2 [m2    X
AAAX"XjV 1tT`BK2` H bûT`iBQM   
   2Mi`2 H2b /2mt #`b /2 HBMi2`7û`QKi`2- m MBp2m /2 H /2mtBK2
QM/2 biiBQMMB`2- 2M 7QM+iBQM /2  2i  - 2i 2M /û/mB`2 HB`2  /2 HBMi2`7û`QKi`2X 
úpHm2` MmKû`B[m2K2Mi +2b
/2mt [mMiBiûbX

kyRd@yk@kk R8,Ry,jy

S;2 efd

AAAX"X9V JQMi`2` [m2  b2tT`BK2 bQmb H 7Q`K2

Q  2bi H pBi2bb2 /2 `QiiBQM /m `û7û`2MiB2H /m H#Q`iQB`2 miQm` /2 Ht2 X *2ii2 
b2MbB#BHBiû ¨ H pBi2bb2 /2
`QiiBQM /m `û7û`2MiB2H 2bi +2 [mQM TT2HH2 H2z2i a;M+X
AAAX"X8V 1M THmb /2 H `QiiBQM /2 H h2``2- H THi2@7Q`K2 bm` H[m2HH2 bQMi 
++`Q+?ûb H2b KB`QB`b T2mi iQm`M2`T` 2t2KTH2 ¨ +mb2 /2 pB#`iBQMb 2M `QiiBQMX G2 
bB;MH /2 HBMi2`7û`QKi`2 2bi b2MbB#H2 ¨ +2b ~m+imiBQMb /2 H
pBi2bb2 /2 `QiiBQMX PM TQbBiBQMM2 H2 KB`QB` UJjV /2 bQ`i2 [m2 +2b ~m+imiBQMb 
BM/mBb2Mi mM2 p`BiBQM KtBKH2

  DPT  2M bQ`iB2 /2 HBMi2`7û`QKi`2X
/m bB;MH MQ`KHBbû  

E
1tT`BK2` H b2MbB#BHBiû 
 /2 HBMi2`7û`QKi`2 /Mb +2b +QM/BiBQMb 2i HûpHm2` MmKû`B[m2K2MiX
E
AAAX"XeV úpHm2` MmKû`B[m2K2Mi  ¨ H HiBim/2 /2 hQmHQmb2X aB QM bmTTQb2 [m2 H2 
/ûi2+i2m` 2bi +T#H2 /2
K2bm`2` mM2 p`BiBQM /2 RW /m bB;MH MQ`KHBbû- H2 /BbTQbBiB7 ûim/Bû T2`K2i@BH /2 
K2bm`2` H pBi2bb2 /2 `QiiBQM
/2 H h2``2 \
AAAX"XdV Zm2H b2`Bi HBMiû`i /2 `H2MiB` H2b iQK2b /m D2i \

.QMMû2b
     )N

S2`Kû#BHBiû K;MûiB[m2 /m pB/2

      'N

S2`KBiiBpBiû /m pB/2

      $

*?`;2 ûHûK2MiB`2

      NPM

*QMbiMi2 /pQ;/`Q

      +,

*QMbiMi2 /2 "QHixKMM

       +, NPM

*QMbiMi2 /2b ;x T`7Bib

      +T

      NT

*QMbiMi2 /2 SHM+F
*QMbiMi2 /2 SHM+F `û/mBi2
oBi2bb2 /2 H HmKB`2 /Mb H2 pB/2

6Q`KmHB`2
DPT 

DPT    DPT

DPT   DPT    TJO

TJO

DPT

r r r 6AL r r r

kyRd@yk@kk R8,Ry,jy

S;2 dfd

Centrale Physique 2 PC 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Guillaume Maimbourg (agrégé de physique) et Louis Salkin (professeur en CPGE).

Ce sujet comporte trois parties consacrées respectivement à la dynamique de
particules dans une tuyère, à la diffraction d'ondes de matière et à 
l'interféromètre
de Mach-Zehnder. La première partie est entièrement indépendante des deux 
autres.
· Dans la première partie, après avoir démontré plusieurs formules de 
thermodynamique et de dynamique des fluides, on cherche à estimer les ordres de
grandeur de la température et de la vitesse des atomes en sortie de la tuyère.
· La diffraction de particules à travers un réseau optique modulé est étudiée 
dans
la deuxième partie. Après avoir analysé l'interaction entre un atome et une onde
électromagnétique stationnaire, on s'intéresse à la propagation d'une onde de
matière dans ce potentiel. Cette partie repose essentiellement sur des notions
du cours d'électromagnétisme et de mécanique quantique.
· Enfin, la troisième partie s'intéresse à la mesure de la vitesse de rotation 
de
la Terre sur elle-même grâce à l'interféromètre de Mach-Zehnder. Réussir cette
partie suppose d'avoir bien compris la précédente.
L'épreuve, relativement compliquée, fait appel à de nombreuses notions relatives
aux ondes : propagation dans un milieu matériel, interaction avec une onde 
stationnaire, interférences, dualité onde-corpuscule. De longueur raisonnable 
pour cette
banque de concours, le sujet alterne des questions très calculatoires et 
d'autres où
le raisonnement physique est primordial. Cette épreuve peut servir de problème 
de
révision une fois que les cours sur les ondes et la mécanique quantique sont 
maîtrisés.

Indications
Partie I
I.A.3 Écrire l'identité thermodynamique sur l'enthalpie.
I.A.5 Utiliser le résultat de la question I.A.3.
I.A.6 Prendre le logarithme du débit massique puis différentier cette 
expression.
I.B.1 L'enthalpie massique s'écrit, d'après la question I.A.2,
r
T(z)
h(z) =
-1
I.B.4 Calculer numériquement la grandeur col P0 T0 -4/3 .
Partie II
II.A Dans un conducteur parfait, le champ électrique est nul. Écrire alors la 
continuité du champ électrique tangentiel en x = xM .
II.C.4 Écrire l'équation de d'Alembert dans l'espace des fréquences.
-

II.D.3 Projeter l'expression de k d sur l'axe (Oz).
Partie III
III.A.2 Faire un schéma simple en faisant apparaître les ordres 0, -1 et 1 pour
connaître l'orientation de chaque rayon transmis et les vecteurs d'onde 
correspondants.
III.A.3 L'intensité est proportionnelle à |h + b |2 .
III.B.3 Utiliser le résultat de la question II.D.3.
III.B.4 Les réseaux 1 et 3 sont espacés d'une distance de 2L. Pour une rotation 
autour
de l'axe (Oy),
v3x (t2 ) - v1x (t2 ) = 2L y
Injecter ensuite les résultats des questions III.B.4, II.C.1 et II.D.1.

Interférométrie atomique
I. Caractérisation de la source atomique
I.A.1 L'écoulement étant stationnaire, le débit massique est conservé, d'où
Dm = (z) v(z) A(z)
I.A.2 La loi des gaz parfaits s'écrit P(z) V(z) = n R T(z). Comme n = m/M,
avec

P(z) = r (z) T(z)

r=

R
M

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie massique s'écrit dh = cP dT avec 
cP
la capacité thermique massique à pression constante. Or,

d'où

cP =

R
M( - 1)

dh =

r
dT
-1

I.A.3 Pour une transformation adiabatique et réversible d'un gaz parfait, la loi
de Laplace s'écrit
P
= Cte

La deuxième identité thermodynamique pour une transformation adiabatique 
réversible donne également
dh = Tds +
Ainsi

V(z)
V(z)
dP =
dP
m
m

dh =

dP
(z)

Le programme de PC stipule que les identités thermodynamiques ne doivent
pas être connues mais rappelées par l'énoncé. Cette question est donc à moitié
hors-programme.
I.A.4 Les transferts thermiques entre le gaz et les parois sont négligeables. De
même, les forces de pesanteur sont négligées. Le premier principe appliqué à 
l'écoulement entre le four et la position z devient
h + ec = 0
avec ec l'énergie cinétique macroscopique massique. Avec

1 2
1
ec =
v (z) - v0 2  v 2 (z)
2
2
il vient

1 2
v (z) + h(z) = h0
2

I.A.5 D'après la question I.A.3, P(z) = Cte  (z). Exprimons le carré de la 
célérité :

P
2
cs =
 S
= Cte  -1 (z)
=

 P(z)
(z)

avec P(z) = Cte  (z)
d'après la question I.A.2

cs 2 =  r T(z)
Par conséquent,

cs (z) =

p
 r T(z)

I.A.6 Prenons le logarithme de l'expression du débit massique :
ln Dm = ln  + ln v + ln A
Il est toujours intéressant d'utiliser le logarithme et de différentier 
l'expression
pour obtenir des termes en df /f .
D'après la question I.A.1, le débit massique est conservé, donc d(ln Dm ) = 0, 
d'où
d
dv
dA
+
+
=0
(z) v(z) A(z)
Exprimons le rapport d/ en fonction de dv/v. Or, avec la loi de Laplace,
d =

d
dP
= S dP = 2
(z)
cs (z)

d'où
D'après la question I.A.3,
Avec la question I.A.4,
Il vient

dP = (z) S dP
P

d
dh
= 2
(z)
cs
 2
v
= -v(z) dv
dh = -d
2

d
v(z) dv
dv
=-
= -M2 (z)
(z)
cs 2
v(z)

Combinons ces relations. Finalement,

dA
dv
+
1 - M2 (z) = 0
A(z) v(z)
I.A.7 Le long de la tuyère, le gaz est accéléré donc dv > 0. Pour v < cs (resp.
v > cs ), M < 1 (resp. M > 1). Il vient
dA(v < cs ) < 0

et

dA(v > cs ) > 0

La section est décroissante pour v < cs et croissante pour v > cs . La section 
doit
donc posséder un minimum. À la transition, v = cs c'est-à-dire M = 1.