Centrale Physique 2 PC 2017

S* 9 ?2m`2b *H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b kyRd S?vbB[m2 k AMi2`7û`QKûi`B2 iQKB[m2 G2b QM/2b /2 KiB`2 T2`K2ii2Mi /2 `ûHBb2` /2b 2tTû`B2M+2b /BMi2`7û`QKûi`B2 iQmi ¨ 7Bi MHQ;m2b ¨ +2HH2b `2M+QMi`û2b 2M QTiB[m2X PM bBMiû`2bb2 B+B ¨ mM BMi2`7û`QKi`2 /2 J+?@w2?M/2` ¨ QM/2b /2 KiB`2 U};m`2 RVX lM i2H BMi2`7û`QKi`2 ûiû +QMbi`mBi T` /2b +?2`+?2m`b /m G#Q`iQB`2 *QHHBbBQMb- ;`û;ib- 2i _û+iBpBiû UG*_V ¨ hQmHQmb2X G bQm`+2 2bi mM D2i bmT2`bQMB[m2 +QHHBKiû /iQK2b /2 HBi?BmK d- H2b KB`QB`b 2i HK2b bûT`i`B+2b bQMi `ûHBbûb ¨ HB/2 /QM/2b HmKBM2mb2b bm` H2b[m2HH2b H2b iQK2b bQMi /Bz`+iûb c 2M}M- bm` HmM2 /2b bQ`iB2b /2 HBMi2`7û`QKi`2- mM /ûi2+i2m` K2bm`2 HBMi2MbBiû /m 7Bb+2m iQKB[m2 `ûbmHiMi /2 HBMi2`7û`2M+2 2Mi`2 H2b QM/2b /2 KiB`2 [mB b2 T`QT;2Mi /Mb H2b /2mt #`b /2 HBMi2`7û`QKi`2X UJRV UJkV UJjV aQm`+2 .ûi2+i2m` 6B;m`2 R a+?ûK /2 T`BM+BT2 /2 HBMi2`7û`QKi`2 /2 J+?@w2?M/2` ¨ QM/2b /2 KiB`2 UJRV- UJkV 2i UJjV bQMi /2b KB`QB`b THMb c 2i bQMi H2b 72Mi2b /2 +QHHBKiBQM /m D2i bmT2`bQMB[m2 c 2bi H 72Mi2 /2 /ûi2+iBQM c H /BbiM+2 2Mi`2 /2mt QM/2b biiBQMMB`2b 2bi NN G2b +QMbiMi2b T?vbB[m2b miBH2b m T`Q#HK2 BMbB [mmM 7Q`KmHB`2 bQMi /QMMûb 2M }M /ûMQM+ûX G2b p2+i2m`b mMBiB`2b b2HQM - - bQMi MQiûb - - X A *`+iû`BbiBQM /2 H bQm`+2 iQKB[m2 G T`Q/m+iBQM /mM2 pT2m` iQKB[m2 b2z2+im2 2M +?mzMi HûHûK2Mi +?BKB[m2 TQm` ii2BM/`2 mM2 T`2bbBQM /2 pT2m` bim`Mi2 bm{bMi2X G2 HBi?BmK vMi mM2 T`2bbBQM /2 pT2m` bim`Mi2 7B#H2 mt i2KTû`im`2b 2tTû`BK2MiH2K2Mi ++2bbB#H2b- QM H2 pTQ`Bb2 /Mb mM ;x /`;QM bQmb ?mi2 T`2bbBQM- }M /Q#i2MB` mM2 bm`T`2bbBQM THmb BKTQ`iMi2 /Mb H2 7Qm`X G2 KûHM;2 ;x2mt BMbB Q#i2Mm +QMiB2Mi KDQ`BiB`2K2Mi /2 H`;QM 2i mM2 7B#H2 T`QTQ`iBQM /2 HBi?BmKX *2 ;x 2bi 2MbmBi2 ++ûHû`û ¨ i`p2`b mM2 imv`2 /2 HQM;m2m` M2ii2K2Mi bmTû`B2m`2 ¨ b b2+iBQM U};m`2 kV }M /2 7Q`K2` mM D2i iQKB[m2X PM bQm?Bi2 /Mb +2ii2 T`iB2 +`+iû`Bb2` H2 D2i iQKB[m2 BMbB +`ûûX A(z ) Chambre a vide P0 , T 0 Four z 0 6B;m`2 k a+?ûK /2 H imv`2X PM `2T`ûb2Miû [m2H[m2b HB;M2b /2 Hû+QmH2K2Mi BMbB [m2 H bm`7+2 T2`T2M/B+mHB`2 mt HB;M2b /2 Hû+QmH2K2MiX kyRd@yk@kk R8,Ry,jy S;2 Rfd PM +QMbB/û`2` H2b ?vTQi?b2b bmBpMi2b , /Mb H2 7Qm`- H2 ;x 2bi ¨ H T`2bbBQM 2i H i2KTû`im`2 c QM bmTTQb2 [m2 H2 HB#`2 T`+Qm`b KQv2M /Mb H2 7Qm` 2i /Mb H imv`2 2bi i`b BM7û`B2m` m /BKi`2 /2 H imv`2X *2ii2 ?vTQi?b2 T2`K2i /2 /û+`B`2 H2 ~mB/2 +QKK2 mM KBHB2m +QMiBMm 2i /miBHBb2` H2b HQBb /2 H /vMKB[m2 /2b ~mB/2b c H2b /Bzû`2Mi2b [mMiBiûb T?vbB[m2b [mB /û+`Bp2Mi Hû+QmH2K2Mi UT`2bbBQM - i2KTû`im`2 - Kbb2 pQHm@ KB[m2 - 2Mi?HTB2 KbbB[m2 - pBi2bb2 V QMi KK2 pH2m` 2M iQmi TQBMi /2 H bm`7+2 [mQ++mT2 H2 ~mB/2- T2`T2M/B+mHB`2K2Mi mt HB;M2b /2 Hû+QmH2K2Mi U};m`2 kVX .Mb H K2bm`2 Q H2 /BKi`2 /2 H imv`2 p`B2 H2Mi2K2Mi p2+ - QM bbBKBH2 H bm`7+2 m THM X *2ii2 TT`QtBKiBQM 2Mi`BM2 [m2 H2b +QKTQbMi2b i`Mbp2`bH2b /2 bQMi T`iQmi Mû;HB;2#H2b /2pMi H +QKTQbMi2 /2 b2HQM Ht2 c Hû+QmH2K2Mi 2bi bmTTQbû mMB/BK2MbBQMM2H H2 HQM; /2 Ht2 - biiBQMMB`2 2i T`7Bi c H2 ;x 2bi bmTTQbû T`7Bi- KQMQiQKB[m2- /2 Kbb2 KQHB`2 LHNPM 2i /2 +Q2{+B2Mi /B#iB[m2 bmTTQbû BM/ûT2M/Mi /2 H i2KTû`im`2 c H pBi2bb2 KQv2MM2 /2b iQK2b /Mb H2 7Qm` 2bi Mû;HB;û2 /2pMi H pBi2bb2 /2b iQK2b /Mb H2 D2iX PM MQi2` - Q 2bi H +QMbiMi2 /2b ;x T`7BibX PM /QMM2 H2b T`Ki`2b /2 H2tTû`B2M+2 bmBpMib , /BKi`2 /2 +QH /2 H imv`2 ËN c i2KTû`im`2 /m ;x /Mb H2 7Qm` , c T`2bbBQM /m ;x /Mb H2 7Qm` NCBSX AX _ûHBbiBQM /mM D2i bmT2`bQMB[m2 AXXRV Zm2 T2mi@QM /B`2 /m /û#Bi KbbB[m2 /2 +2i û+QmH2K2Mi \ *QKK2Mi b2tT`BK2@i@BH 2M 7QM+iBQM /2 - 2i X AXXkV ú+`B`2 H `2HiBQM `2HBMi - 2i X 1tT`BK2` H p`BiBQM E /2 H2Mi?HTB2 KbbB[m2 /m ;x 2M 7QM+iBQM /2 - 2i /2 H p`BiBQM E /2 b i2KTû`im`2X AXXjV G2b i`Mb72`ib i?2`KB[m2b 2Mi`2 H2 ;x 2i H2b T`QBb /2 H imv`2 bQMi Mû;HB;2#H2b- /2 bQ`i2 [m2 H2 ;x bû+QmH2 b2HQM mM2 i`Mb7Q`KiBQM /B#iB[m2 2i `ûp2`bB#H2X 1M /û/mB`2 mM2 `2HiBQM 2Mi`2 2i BMbB [mmM2 `2HiBQM 2Mi`2 E- 2i EX AXX9V G2b 7Q`+2b /2 T2bMi2m` ûiMi Mû;HB;û2b /2pMi H2b 7Q`+2b T`2bbMi2b 2t2`+û2b bm` H2 ~mB/2- `2HB2` H pBi2bb2 ¨ H2Mi?HTB2 KbbB[m2 ¨ H TQbBiBQM 2i ¨ H2Mi?HTB2 KbbB[m2 /Mb H2 7Qm`X AXX8V PM `TT2HH2 [m2 H +ûHû`Biû /m bQM /Mb mM ;x 2bi `2HBû2 ¨ b Kbb2 pQHmKB[m2 2i b +QKT`2bbB#BHBiû T` X Bb2Mi`QTB[m2 .QMM2` H2tT`2bbBQM /2 H +ûHû`Biû /m bQM /Mb H imv`2 ¨ H#b+Bbb2 2M 7QM+iBQM /2 - 2i X .Mb H bmBi2- QM MQi2` H2 `TTQ`i /2 H pBi2bb2 /2b iQK2b /m D2i bm` H +ûHû`Biû /m bQM ¨ H#b+Bbb2 - TT2Hû H2 MQK#`2 /2 J+? 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 Centrale Physique 2 PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par Guillaume Maimbourg (agrégé de physique) et Louis Salkin (professeur en CPGE). Ce sujet comporte trois parties consacrées respectivement à la dynamique de particules dans une tuyère, à la diffraction d'ondes de matière et à l'interféromètre de Mach-Zehnder. La première partie est entièrement indépendante des deux autres. · Dans la première partie, après avoir démontré plusieurs formules de thermodynamique et de dynamique des fluides, on cherche à estimer les ordres de grandeur de la température et de la vitesse des atomes en sortie de la tuyère. · La diffraction de particules à travers un réseau optique modulé est étudiée dans la deuxième partie. Après avoir analysé l'interaction entre un atome et une onde électromagnétique stationnaire, on s'intéresse à la propagation d'une onde de matière dans ce potentiel. Cette partie repose essentiellement sur des notions du cours d'électromagnétisme et de mécanique quantique. · Enfin, la troisième partie s'intéresse à la mesure de la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même grâce à l'interféromètre de Mach-Zehnder. Réussir cette partie suppose d'avoir bien compris la précédente. L'épreuve, relativement compliquée, fait appel à de nombreuses notions relatives aux ondes : propagation dans un milieu matériel, interaction avec une onde stationnaire, interférences, dualité onde-corpuscule. De longueur raisonnable pour cette banque de concours, le sujet alterne des questions très calculatoires et d'autres où le raisonnement physique est primordial. Cette épreuve peut servir de problème de révision une fois que les cours sur les ondes et la mécanique quantique sont maîtrisés. Indications Partie I I.A.3 Écrire l'identité thermodynamique sur l'enthalpie. I.A.5 Utiliser le résultat de la question I.A.3. I.A.6 Prendre le logarithme du débit massique puis différentier cette expression. I.B.1 L'enthalpie massique s'écrit, d'après la question I.A.2, r T(z) h(z) = -1 I.B.4 Calculer numériquement la grandeur col P0 T0 -4/3 . Partie II II.A Dans un conducteur parfait, le champ électrique est nul. Écrire alors la continuité du champ électrique tangentiel en x = xM . II.C.4 Écrire l'équation de d'Alembert dans l'espace des fréquences. - II.D.3 Projeter l'expression de k d sur l'axe (Oz). Partie III III.A.2 Faire un schéma simple en faisant apparaître les ordres 0, -1 et 1 pour connaître l'orientation de chaque rayon transmis et les vecteurs d'onde correspondants. III.A.3 L'intensité est proportionnelle à |h + b |2 . III.B.3 Utiliser le résultat de la question II.D.3. III.B.4 Les réseaux 1 et 3 sont espacés d'une distance de 2L. Pour une rotation autour de l'axe (Oy), v3x (t2 ) - v1x (t2 ) = 2L y Injecter ensuite les résultats des questions III.B.4, II.C.1 et II.D.1. Interférométrie atomique I. Caractérisation de la source atomique I.A.1 L'écoulement étant stationnaire, le débit massique est conservé, d'où Dm = (z) v(z) A(z) I.A.2 La loi des gaz parfaits s'écrit P(z) V(z) = n R T(z). Comme n = m/M, avec P(z) = r (z) T(z) r= R M Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie massique s'écrit dh = cP dT avec cP la capacité thermique massique à pression constante. Or, d'où cP = R M( - 1) dh = r dT -1 I.A.3 Pour une transformation adiabatique et réversible d'un gaz parfait, la loi de Laplace s'écrit P = Cte La deuxième identité thermodynamique pour une transformation adiabatique réversible donne également dh = Tds + Ainsi V(z) V(z) dP = dP m m dh = dP (z) Le programme de PC stipule que les identités thermodynamiques ne doivent pas être connues mais rappelées par l'énoncé. Cette question est donc à moitié hors-programme. I.A.4 Les transferts thermiques entre le gaz et les parois sont négligeables. De même, les forces de pesanteur sont négligées. Le premier principe appliqué à l'écoulement entre le four et la position z devient h + ec = 0 avec ec l'énergie cinétique macroscopique massique. Avec 1 2 1 ec = v (z) - v0 2 v 2 (z) 2 2 il vient 1 2 v (z) + h(z) = h0 2 I.A.5 D'après la question I.A.3, P(z) = Cte (z). Exprimons le carré de la célérité : P 2 cs = S = Cte -1 (z) = P(z) (z) avec P(z) = Cte (z) d'après la question I.A.2 cs 2 = r T(z) Par conséquent, cs (z) = p r T(z) I.A.6 Prenons le logarithme de l'expression du débit massique : ln Dm = ln + ln v + ln A Il est toujours intéressant d'utiliser le logarithme et de différentier l'expression pour obtenir des termes en df /f . D'après la question I.A.1, le débit massique est conservé, donc d(ln Dm ) = 0, d'où d dv dA + + =0 (z) v(z) A(z) Exprimons le rapport d/ en fonction de dv/v. Or, avec la loi de Laplace, d = d dP = S dP = 2 (z) cs (z) d'où D'après la question I.A.3, Avec la question I.A.4, Il vient dP = (z) S dP P d dh = 2 (z) cs 2 v = -v(z) dv dh = -d 2 d v(z) dv dv =- = -M2 (z) (z) cs 2 v(z) Combinons ces relations. Finalement, dA dv + 1 - M2 (z) = 0 A(z) v(z) I.A.7 Le long de la tuyère, le gaz est accéléré donc dv > 0. Pour v < cs (resp. v > cs ), M < 1 (resp. M > 1). Il vient dA(v < cs ) < 0 et dA(v > cs ) > 0 La section est décroissante pour v < cs et croissante pour v > cs . La section doit donc posséder un minimum. À la transition, v = cs c'est-à-dire M = 1.