Centrale Physique 2 PC 2016

Thème de l'épreuve Vers une nouvelle définition du kelvin
Principaux outils utilisés thermodynamique, électricité, acoustique, physique quantique, spectroscopie
Mots clefs agitation thermique, ammoniac, résonance, ondes stationnaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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' © Phyaque 2 \--l PC © ffEURll 4 heures Calculatrices autorisées N Vers une nouvelle définition du kelvin L'actuelle définition de l'unité de température, le kelvin, est fondée sur la valeur du point triple de l'eau, fixé à la température TFT : 273,16 K. Figure 1 Appareil à point triple de l'eau Pour s'abstraire de la référence a une substance particulière, en l'occurrence l'eau, il serait préférable de relier la définition de l'unité de température a des constantes fondamentales. Ainsi, dans la future définition du système international d'unités, il est envisagé de fixer une valeur numérique exacte de la constante de Boltzmann kB. Le kelvin serait alors défini par Le kelvin est l'unité de température thermodynamique; son amplitude est déterminée en fixant la valeur numérique de la constante de Boltzmann a exactement 1,3806oeoe >< 10123 lorsqu'elle est exprimée en s_2-m2-kg--K_l, unité du SI égale au J --K"1. Le symbole xx désigne les chiffres qui entreront dans le choix de kB et qui seront fixés par l'incertitude atteinte dans plusieurs expériences en cours de développement. Par conséquent, la mesure d'une température ne portera plus sur T seul, mais sur le produit kBT, lui--même relié au mètre, à la seconde et au kilogramme. Pour que le choix de la valeur exacte de kB soit pertinent, il est essentiel que les mesures actuelles de kB soient réalisées à l'aide d'expériences faisant appel a des lois physiques différentes. Ce problème étudie plusieurs méthodes de mesure de cette constante. La constante des gaz parfaits R est liée à la constante de Boltzmann kB et a la constante d'Avogadro NA par Les différentes parties de ce problème sont indépendantes. Une liste de données utiles et un formulaire figurent en fin d'énoncé. I L'agitation thermique I.A -- L'agitation thermique dans l'atmosphère I.A.1) On décrit le champ de pression d'une atmosphère isotherme de température T dans un champ de pesanteur uniforme ÿ. Le modèle de fluide est celui du gaz parfait ; la masse molaire du gaz est M. À l'altitude nulle 2 = 0, la pression est PO, la densité volumique de molécules est NO. a) Établir, à partir de l'équilibre d'un domaine d'atmosphère, l'expression de la pression P(z). mgz , , ËBT est la masse d'une molecule. Que represente le terme mgz pour une molecule '? b) En déduire l'expression de la densité volumique n,,(z) : N0 exp (-- ) en fonction de l'altitude, où m I.A.2) Déduire de la loi précédente une hauteur caractéristique H de l'atmosphère, en fonction de kB, T, m et g. Quelle vitesse 'UÆ atteindrait une molécule en chute libre tombant de la hauteur H sans vitesse initiale '? \ . . , 3k T , \ Com arer v a la Vitesse uadrat1 ue mo enne @ donnee ar v2 = B de cette molecule dans un az a la p @ q q y q q m température T . 2016--03«22 09:52:19 Page 1/11 Î@_ I.A.3) Les molécules de l'atmosphère gardent une agitation incessante. Pourtant, l'expérience de la vie cou-- rante montre qu'une balle qu'on lance finit par s'immobiliser, après éventuellement quelques rebonds. Y a--t--il vraiment immobilisation absolue de la balle '? I.B * L'agitation thermique dans un circuit électrique I.B.1) Dans un métal à la température T, les électrons libres forment un gaz circulant dans le réseau cristallin des cations. Peut--on utiliser la physique non relativiste pour décrire les électrons libres à température ambiante '? L'agitation thermique des électrons libres est responsable de fluctuations de l'intensité électrique traversant un circuit, appelées bruit thermique. Ainsi, même en l'absence de générateur, il apparaît dans un circuit fermé comportant une résistance, à toute température T non nulle, une intensité i(t) et une tension u(t) fiuctuantes. Il s'agit ici d'établir l'expression, appelée formule de NYQUIST, de la valeur efficace de cette tension d'origine thermique. I.B.2) Soit le circuit formé d'un condensateur de capacité C et d'une bobine idéale d'inductance L (figure 2). Figure 2 Circuit LC Établir deux relations indépendantes entre les grandeurs temporelles ue, us, ic, is et leurs dérivées. I.B.3) Pour étudier les fluctuations de tension et d'intensité liées au bruit thermique d'une résistance, on place a la suite de celle--ci une ligne électrique bifilaire constituée de deux fils parallèles. Cette ligne est repérée par l'axe 033. On considère dans cette question une portion de ligne de longueur infinitésimale dæ et on note respectivement À et 7 les inductance et capacité linéiques de cette ligne (figure 3). i(æ,t) Àdst i(oe+das,t) fffffffff ä--W--+ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ u(æ, t) "ydæ : l l : A & + Q.. & 3 Figure 3 Schéma électrique d'une portion de ligne de longueur da: a) Établir deux équations aux dérivées partielles indépendantes reliant les fonctions u(oe,t) et i(æ, 75), À et "y. b ) En déduire l'équation de propagation pour la seule fonction u(æ, 1%). Donner l'expression de la célérité 06 des ondes en fonction de A et 7. c) Soient g(æ, t) = Q expi(wt -- kæ) et i(:c, t) : £ expi(wt -- lex) les solutions harmoniques en notation complexe. Établir l'équation de dispersion de la ligne. On appelle résistance caractéristique de la ligne le rapport RC : Q/ 1 . Exprimer A et "y en fonction de la célérité ce et de RC. I.B.4) La ligne précédente a pour longueur D. Elle est fermée à ses deux extrémités par un court--circuit (figure 4) après avoir été alimentée par un générateur de tension. E u(æ,t) 3 | | l I O 95 D Figure 4 Ligne court--circuitée a ) On cherche les solutions u(oe, t) pouvant exister sur la ligne fermée sous forme de modes propres u(oe,t) : U(æ) cos(wt) Établir l'équation différentielle régissant U(oe). 2016--03-22 09:52:19 Page 2/11 ("à BY--NC-SA Montrer, en précisant les conditions aux limites, que les solutions s'écrivent U(:t) : UOn sin(K...r) Où K" est proportionnel à un entier n appelé l'ordre du mode et U0n une constante quelconque. En déduire les pulsations eu,, des modes propres en fonction de n, D et Ce' b) Dans un intervalle de fréquence de largeur A f , quel est le nombre N de modes propres ? On supposera que A f est suffisamment grand pour que N soit grand devant 1 (N >> 1). 0) Soit un (x, t) le mode propre d'ordre n d'amplitude UG". Quelle est l'expression de l'intensité i,,(oe, t) du mode d'ordre n, en fonction de UG", n, RC, D et La" ? On prendra l'intensité nulle pour U0n : 0. 1.3.5) a) Donner l'expression de l'énergie de,,(æ,t) emmagasinée dans le tronçon de ligne entre les abscisses cc et a: + dæ pour le mode d'ordre n, en fonction de UG", 7, À, K,, et w,,. Exprimer sa moyenne temporelle (de,,>(x). Commenter. b ) En déduire l'énergie moyenne (E,) du mode d'ordre n dans la ligne entière en fonction de Un... RC, ce et D. I.B.6) Les modes propres sont générés par l'agitation thermique dans la résistance branchée a l'entrée de la ligne, qui est ensuite remplacée instantanément par un court--circuit. Le transfert d'énergie entre la résistance et la ligne est réalisé lorsque la résistance caractéristique RC de la ligne est égale à la résistance R. Dans ce cas, on montre qu'en moyenne, l'énergie du mode d'ordre n est (En) : kBT. a ) En déduire l'expression du carré de la valeur efficace uîffn(æ) de la tension du mode d'ordre n au point a:, . 2 _ 2 '. 2 \ ' ; en fonction de R, D, Ce: kB et T. Montrer que ueffn(æ) -- Ueñn sm (K,,æ) ou Ueffn est une constante, appelee valeur efficace du mode n, qu'on determmera. b) Les carrés des valeurs efficaces des différents modes s'ajoutent. En déduire que la valeur efficace U0ff corres-- pondant aux modes dont les fréquences sont comprises dans l'intervalle de fréquence de largeur A f est donnée par la formule de NYQUIST ueff : . /4 kBTR A f I.B.7) Les modes propres générés par la résistance sont mesurés par une chaîne électronique schématisée ci--dessous (figure 5). Amplificateur Filtre R "(Ü de tension passe--bande v(t) voltmètre A A f Figure 5 Mesure de la tension efficace de bruit thermique On trace (figure 6) la valeur efficace 'ueff mesurée par le voltmètre en fonction de la résistance pour deux valeurs de la bande passante Af, pour A : 500 et T = 300 K. * 2 10Î5A Af__10 Hz Af=le 10*6 EUR $? 10*7 10*8 > 100 101 102 103 104 R(Q) Figure 6 Valeurs efficaces veff(R) 2016--03-22 09:52:19 Page 3/11 ("à BY--NC-SA a ) Montrer que ces courbes sont compatibles avec la formule de NYQUIST. En déduire un ordre de grandeur de la constante de Boltzmann. b ) Pourquoi faut--il protéger le montage expérimental par une enceinte métallique '? Une mesure précise nécessite plusieurs jours d'acquisition. Quels sont alors les facteurs qui peuvent en limiter la précision '? II Mesure acoustique La méthode consiste à mesurer la vitesse des ondes acoustiques dans un gaz, l'argon, en utilisant un résonateur sphérique de rayon (1. Ces mesures sont effectuées à la température TFT du point triple de l'eau, pour des pressions statiques allant de 0,5 a 7 bar. II. A * Principe On considère une onde acoustique plane, se propageant selon l'axe cartésien Ox. Cette onde est décrite par le champ de surpression 7T(OE, t), le champ eulérien des vitesses 'Ü(æ, t) : v(:c, 75) EUR,, et le champ de masse volumique ,u(as,t). Le milieu de propagation est un fluide caractérisé par sa masse volumique statique #0» sa pression ôP II.A.1) À la température TFT : 273,16K, quel est l'ordre de grandeur de la pression th en dessous de laquelle un gaz réel peut être décrit par le modèle du gaz parfait '? On considèrera que les interactions intermoléculaires ont une portée de l'ordre de 5nm et qu'un gaz est parfait si les distances moyennes entre molécules sont supérieures à la portée de l'interaction. II.A.2) a) Établir, dans le cadre de l'approximation acoustique, l'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression 7r(æ, t). En déduire l'expression de la célérité ca des ondes acoustiques en fonction de po et X S. . . .. , . . 1 au statique P0 et sa compress1brhte 1sentroprque XS : -- . # S 1 8 b) Exprimer la compressibilité isotherme XT : -- (8%) d'un gaz parfait. # T On montre que X S : X--T, où 7 est le coefficient de Laplace. En déduire que "Y 02 _ VNA/'îBT @ _ M où M est la masse molaire du gaz et T la température absolue. c) Pour un gaz réel, la célérité des ondes acoustiques est donnée, au premier ordre par rapport a la pression P, par 2 : 7NAkBT a M (1+BP) C où fi : 1,3 >< 1041 Paf1 pour l'argon. Pour quelles valeurs de la pression la célérité des ondes acoustiques dans l'argon ne s'écarte--t--elle pas de celle d'un gaz parfait de plus de 10*6 en valeur relative ? II.A.3) L'incertitude relative sur kB doit être au plus égale à 2 >< 10"". Le tableau ci--dessous donne les valeurs et incertitudes relatives de diverses grandeurs, dont la masse molaire de l'argon (M Ar) et son coefficient de Laplace ("YAÙ- Valeur Incertitude relative NA : 6,022 140 86 >< 1023 molf1 1,2 >< 10*8 MAr : 39,947 85 g-molÏ1 1,5 >< 10*6 "... = 5/3 0 T : TFT : 273,16 K 3 >< 10"7 , . . . . . ôkB . . . . Determmer l'express1on de l'incertitude relative Î en fonction des incertitudes relatives des autres grandeurs. B 5 Quelle est la valeur maximale admissible de l'incertitude relative de la célérité des ondes acoustiques & dans c (L l'argon a la température TPT ? 2016--03-22 09:52:19 Page 4/11 @@ BY--NC-SA II.B -- L'onde acoustique sphérique En raison de la forme du résonateur, on étudie les ondes sonores qui possèdent la symétrie sphérique. En particulier, le champ de surpression s'écrit 7r(r, t) et le champ des vitesses Ü(r, t) : v(r, t) ê,. où 7" est la coordonnée sphérique radiale et EUR, le vecteur unitaire associé. II.B.1) Équation du potentiel a ) Montrer qu'on peut définir un potentiel des vitesses zb(r, t). Relier une dérivée partielle du potentiel au champ de surpression et a la masse volumique #0: en considérant le potentiel identiquement nul si 7r(r, t) = 0 quel que soit le temps 15. b) La surpression obéit à l'équation de d'Alembert généralisée 2 A7T(r,i) -- c%ôÔTË(TI t) : 0 Montrer que le potentiel des vitesses vérifie la même équation. On cherche des solutions de la forme < 10*2 m 1,8 >< 10...5 1/1 = 4,402 004 068 >< 103 Hz 5 >< 10"10 xl : 4,493 409 45791 2 >< 10"11 En déduire la valeur de la célérité ca et l'incertitude relative &. L'incertitude ôca est--elle acceptable ? Ca II.B.7) Calculer la valeur de la constante de Boltzmann kB déterminée par cette mesure, ainsi que son in-- 5k certitude relative ÎB et son incertitude absolue 6kB. Combien de chiffres significatifs peut--on fixer par cette B mesure '? III Mesure par spectroscopie laser La mesure de kB est réalisée ici par une expérience de spectroscopie laser où une vapeur moléculaire, à l'équilibre thermodynamique, contenue dans une cellule, est en interaction avec une onde laser progressive de fréquence réglable. On enregistre le profil d'absorption autour d'une fréquence de résonance (figure 7). fréquence 11 ] intensité -WV\ Figure 7 Schéma de principe de la spectroscopie laser détecteur fréquence cavité a gaz 2016--03-22 09:52:19 Page 5/11 ("à BY--NC-SA La raie d'absorption moléculaire est élargie par effet Doppler--Fizeau en raison de l'agitation thermique des molécules. La mesure de cette largeur permet d'en déduire une valeur de kB. La molécule choisie est l'ammoniac NH3. III.A -- Conformations de la molécule d'ummonz'ac La molécule d'ammoniac 14NH3 se présente sous la forme d'une pyramide symétrique, l'atome d'azote étant à son sommet. Les trois atomes d'hydrogène définissent le plan de référence. La position de l'atome d'azote est repérée par l'abscisse oe telle que |æ| soit la distance de l'atome au plan de référence Oyz (figure 8). Ay A V(OE) v0 = 0,25 eV b = 38,7 pm Figure 8 Géométrie et énergie potentielle de la molécule d'ammoniac III.A.1) lnterpréter la forme, la symétrie et les points particuliers de la courbe d'énergie potentielle V(æ). La molécule d'ammoniac peut se trouver dans deux états de conformation, selon que l'atome se trouve du coté 95 > 0 (conformation D, figure 9) ou du coté x < 0 (conformation G). Les deux états sont séparés par une barrière de potentiel V0 = 0,25 eV. On appelle inversion le passage d'une conformation à l'autre, lorsque l'atome d'azote traverse la barrière d'énergie due aux trois atomes d'hydrogène. H Conformation D Conformation G i ure nversion e a mo écue ammoniac F g 9 l d l l l d' III.A.2) L'énergie kBT est--elle suffisante pour que la molécule puisse s'inverser si la température est celle du point triple de l'eau TFT '? À partir de quelle température cette inversion peut--elle s'effectuer '? Commenter. III.B * Inversion quantique de la molécule d'ammoniac On se propose de montrer que l'inversion de la molécule d'ammoniac est possible du point de vue quantique, indépendamment de la température. La fonction d'onde décrivant le mouvement relatif de l'atome d'azote et des trois atomes d'hydrogène est notée 1/1(:c, t) ; elle vérifie l'équation de Schrôdinger 2 m%'f@,æ : --%Ë%Ê(æ.t> + V(oe)ü(cc.t) où m est la masse réduite du système composé de l'atome d'azote et des trois atomes d'hydrogène (on prendra m oe 2,5 mH). III.B.1) On s'intéresse aux états stationnaires d'énergie E et on pose 1j)(æ, t) :  500 + EUR ? Quelles sont les conditions aux limites de 90,4 ($) et  t ? Conclure. On modélise cette fois le profil d'énergie potentielle par un double puits infini rectangulaire a saut fini, V2(æ) (figure 11). V2: 0 siæ0<|ælgæo+EUR +oo siæ0+Ëélæ| {VO si |sc| : saG<æ> : %, ( + wï"ti<æ>) < 1043 eV. Dans quel domaine spectral se situe une onde électromagnétique de fréquence f ? C'est sur cette transition que fonctionna le premier maser construit par C. Townes, J. Gordon et H. Ziegler en 1954. d) Décrire l'état de la molécule d'ammoniac a l'instant t = 'r/ 2. En quoi ce changement d'état entre les instants t : 0 et t : T / 2 permet--il d'illustrer l'effet tunnel '? 6) Quelle est l'influence de la barrière de potentiel V0 et de la largeur % sur la fréquence d'oscillation f '? Pour l'arsine, de formule ASH3, de même structure que NH3, la hauteur de la barrière de potentiel est multipliée par six et sa largeur par cinq. Calculer la fréquence ]" d'inversion de l'arsine ainsi que la période T'. Commenter. 2016--03-22 09:52:19 Page 8/11 @@ BY--NC-SA III.C * Spectre d'absorption de la molécule d'ammoniac Un faisceau lumineux monochromatique, dont le champ électrique est donné par É(æ, t) : EO êy expi (aut -- Ëoe) en notation complexe, traverse, dans le sens des æ croissants, un milieu matériel homogène localement neutre, dont la conductivité électrique est "y > 0. La célérité de la lumière dans le vide est notée c. III.C.1) Quelle est l'équation de propagation du champ électrique dans le milieu '? En déduire la relation de dispersion Ë2(w) en fonction de "y, Mo, 0 et w. III.C.2) a) On note & : k,. -- ik,- où k,, et le,- sont respectivement les parties réelle et imaginaire de E. Montrer, sans chercher a expliciter le,-, que [EUR,- > 0. Que cela signifie--t--il pour l'onde '? L'onde traverse une cuve de longueur L contenant le milieu puis se propage a nouveau dans le vide. On admet que les coefficients de transmission en amplitude sont égaux à 1, en entrée et en sortie de cuve. b ) Rappeler la relation liant l'intensité ] de l'onde électromagnétique et le vecteur de Poynting ïr. Montrer que l'intensité de l'onde [ (L) après la cuve s'exprime en fonction de l'intensité 10 avant la cuve selon la loi [(L) : IO exp(--aL). Donner l'expression de oz en fonction de le,-. III.C.3) La transition choisie pour la mesure de l'absorption lumineuse est une raie de l'ammoniac de fréquence 1/0 : 2,895 3694 >< 1013 Hz, fortement absorbante et située dans un domaine d'émission d'un laser à 002. Le spectre d'absorption représente l'intensité lumineuse ayant traversé le milieu, en fonction de la fréquence du rayonnement (figure 14). a ) Quelle longueur d'onde est associée à un rayonnement électromagnétique de fréquence 1/0 '? À quel domaine électromagnétique appartient cette raie ? Exprimer, en eV, l'énergie E7 d'un photon de cette fréquence. b) Cette absorption correspond, pour la molécule d'ammoniac, à la transition entre deux états d'énergie E1 et E2 > El. Le niveau E1 est supposé parfaitement défini alors que le niveau E2 présente une largeur 613 (figure 14). En quoi cette largeur explique--t--elle le spectre d'absorption ? Estimer la valeur de la largeur dite naturelle 51/ pour 5E : 2,0 >< 10*8 eV. ] intensité transmise Figure 14 Niveaux d'énergie et spectre d'absorption III.C.4) Effet Doppler-Fizeau Le faisceau laser traversant le milieu absorbant possède la fréquence 1/ dans le référentiel du laboratoire. En raison du mouvement des molécules d'ammoniac, la fréquence perçue par ces molécules n'est plus 1/ mais une fréquence 1/' dépendant de leur vitesse. Soient 58 le référentiel du laboratoire, a: l'abscisse d'un point M donné selon un axe (0, am) lié a W, 58' le référentiel lié a une molécule, en translation rectiligne uniforme de vitesse Ü : vOEëOE par rapport à 58 , et oe' l'abscisse de M selon l'axe (O', @) telle que O' coïncide avec 0 a l'instant t : 0 (figure 15). Figure 15 Effet Doppler--Fizeau La phase @ d'une onde est un invariant par changement de référentiel : elle possède la même valeur en un point et a un instant donnés pour deux observateurs placés dans deux référentiels différents. a) Pour une onde monochromatique de fréquence 1/0, de célérité e, se propageant dans le sens de êOE dans le référentiel ÿEUR, écrire l'expression de la phase instantanée çf) en fonction de 1/, a:, c et 75. b) Etablir l'expression de x' en fonction de JC, 'UOE, et t dans le cadre de la mécanique newtonienne (si |vOE| << 0). En déduire que, si |UOE| << 0, la fréquence 1/ de l'onde perçue par un observateur placé dans le référentiel 58' est donnée par 1/--1/' l// @ /_ OE N y_y( C)etquev,-c Donner un exemple d'application de cet effet. 2016--03-22 09:52:19 Page 9/11 ("à BY--NC-SA c) Le spectre d'absorption de la figure 14 est celui d'une molécule d'ammoniac au repos dans le laboratoire. Tracer le spectre d'absorption d'une molécule de vitesse 'UOE > 0 telle que your/c > 51/. On considère dans la suite que les molécules d'ammoniac au repos absorbent uniquement les rayonnements dont la fréquence se situe dans l'intervalle de largeur 51/ autour de la fréquence 1/0, soit l'intervalle {VO--5V/ 2, V0+61//2]. Dans l'ammoniac gazeux a la température T, les molécules de masse ma sont animées de vitesses aléatoires, dont la répartition suit la loi de Maxwell--Boltzmann. Selon cette loi, la probabilité dP(væ) que la composante selon êOE de la vitesse soit comprise entre v,, et vw + dvoe est donnée par mavî dP(UOE)=KOGXp _2kBÎ drum où Ko est une constante de normalisation. III.C.5) L'ammoniac gazeux est traversé par un faisceau laser de fréquence 11 dirigé selon êOE. Exprimer la probabilité dP(1/,VO) qu'une molécule perçoive la fréquence 1/0 a 6)! près, en fonction de K... ma, kB, T, c, V, 51/ et 1/0. Si 110 est le nombre de molécules éclairées par le faisceau laser, quel est le nombre 511 de molécules pouvant absorber une partie de l'intensité du faisceau ? III.C.G) a) Expliquer pourquoi le spectre d'absorption d'une vapeur à la température T diffère de celui d'une molécule au repos dans le référentiel du laboratoire. b ) En se référant aux propriétés de la courbe de Gauss (figure 16), donner l'expression de la largeur AV du spectre d'absorption, en fonction de kB, T, m,l et c. exp <-- --(u gaÏ°)2) Figure 16 Courbe de Gauss 0) Calculer la largeur AV pour T : 273,16 K. Comparer à la largeur naturelle 511. Peut--on négliger cette dernière si l'on exige une précision relative de 10*6 sur la valeur de kB '? 2016--03-22 09:52:19 Page 10/11 @_ Données numériques Célérité de la lumière dans le vide 0 = 299 792 458 m-sf1 Charge élémentaire e = 1,602 176 621 >< 10719 C Constante d'Avogadro NA : 6,022 140 86 >< 1023 molf1 Constante de Planck h : 6,626 070 040 >< 1034 IS ñ : h/27r : 1,054 571 800 >< 10734 J-s Masse de l'électron me : 9,109 383 56 >< 10731 kg Masse de l'atome d'hydrogène mH : 1,673 72 >< 10*27 kg Masse molaire de l'ammoniac MNH3 : 17,031 g-molÿ1 Température du point triple de l'eau TFT : 273,16 K Formulaire cosp+cosq= 2cosp;qcospgq cosp--cosq : --2sinp;qsinpgq lim s1n£jkæ) : k oeaO Moyenne d'une fonction 'r/2 ' 1 < > -- 733100 T/ f(t)dt fr/2 Moyenne quadratique (ou valeur efficace) fcff :  Composition des incertitudes 2 2 Si f : q°"hfl et _q et h sont indépendants, alors 6% = 072 <%) + 62 <%) Laplacien scalaire d'une fonction de la variable radiale sphérique r 7 1 ÔQ(Tf(T)) Af(?") -- ?? Gradient en coordonnées sphériques _ôVa lôVä 1 ôVa gradV-- ôr EURT+ T 89 69+ rsin9 ô 

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 Centrale Physique 2 PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Raphaël Galicher (Maître de conférences) ; il a été relu par Jean-Christophe Tisserand (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur l'étude de plusieurs méthodes de mesure de la constante de Boltzman k B . Il comporte trois parties indépendantes qui permettent de tester ses connaissances sur différents domaines de la physique : loi des gaz parfaits, effet Doppler-Fizeau, solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger, effet tunnel puis solutions d'équations de D'Alembert pour une ligne électrique et un résonateur acoustique. Dans la première partie, une courte sous-partie étudie une atmosphère isotherme dans un champ de pesanteur uniforme. Le reste de cette partie traite de l'agitation thermique dans un circuit électrique. On explique comment obtenir une mesure de k B à partir de la tension efficace d'ondes stationnaires dans une ligne électrique. Dans la deuxième partie, on exprime la vitesse de propagation des ondes acoustiques dans un gaz parfait en fonction de k B , puis on étudie les ondes stationnaires dans un résonateur sphérique. La troisième partie commence par l'étude quantique de la molécule d'ammoniac en considérant un modèle simple d'énergie potentielle à double puits infinis. Puis, un modèle à double puits infinis à saut fini permet d'expliquer l'inversion de la configuration de la molécule d'ammoniac par effet tunnel. Enfin, le sujet explique l'élargissement par effet Doppler-Fizeau de la raie spectrale d'absorption d'une molécule d'ammoniac. Indications Partie I I.A.3 Comparer énergie d'agitation thermique et énergie potentielle de pesanteur. I.B.1 Estimer l'ordre de grandeur de la vitesse de déplacement des électrons libres dans un métal. I.B.2 Écrire la loi des mailles et la loi des noeuds. I.B.3.a Utiliser le résultat de la question I.B.2. I.B.3.c Utiliser une des équations de la question I.B.3.a pour trouver Rc . I.B.4.a Écrire la solution générale de l'équation de d'Alembert et appliquer les conditions aux limites en x = 0 et x = D. Montrer que sin(KD) = 0. I.B.4.b Utiliser que les fréquences fn sont proportionnelles à 2 D f /ce . I.B.4.c Exprimer la dérivée spatiale de in à partir d'une équation de la question I.B.3.a et intégrer. I.B.5.a L'énergie est emmagasinée dans la capacité dx et l'auto-inductance dx. 2 I.B.6.a Penser que un 2 = 2 ueff n. I.B.6.b Utiliser le résultat de la question I.B.4.b. I.B.7.a Vérifier l'évolution de ueff avec R en remarquant que les échelles du graphique sont logarithmiques. Mesurer les pentes des droites et exprimer Ueff2 /(R f ) en fonction de k B , T et A. I.B.7.b Noter l'ordre de grandeur des tensions mesurées. Partie II II.A.1 Trouver la densité volumique maximale de particules et en déduire la pression maximale. II.A.3. Exprimer k B à partir de l'expression de ca 2 trouvée à la question II.A.2.b. II.B.1.a Calculer le rotationnel du champ de vitesses. Utiliser l'équation d'Euler pour relier (r, t) et (r, t). II.B.1.b Remplacer (r, t) dans l'équation de d'Alembert par l'expression trouvée à la question II.B.1.a. II.B.3 Pour interpréter, noter que les ondes dans le résonateur sont stationnaires. II.B.4 Utiliser l'expression de (r, t) dans l'équation de d'Alembert de la question II.B.1.b. Se souvenir que sin x/x = 1 en x = 0. II.B.5 Appliquer la condition aux limites trouvée à la question II.B.2 et faire apparaître la fonction x cos x - sin x. II.B.6 Comparer l'incertitude ca /ca à la valeur trouvée à la question II.A.3. II.B.7 Appliquer les résultats de la question II.A.3. en supposant un gaz parfait. Partie III III.A.1 Étudier la symétrie du potentiel créé par les trois atomes d'hydrogène. Se demander quelle quantité d'énergie il faut fournir pour arracher l'atome d'azote. Étudier l'équilibre de cet atome en x = 0 et en déduire l'existence des positions d'équilibre stable + - x0 . III.A.2 Se rappeler que l'énergie EeV exprimée en eV est reliée à l'énergie E en J par EeV = E/e. III.B.2.a Penser à la position de la particule décrite par la fonction d'onde. III.B.2.b Relier la fonction d'onde à la densité de probabilité que la mesure de la position de la particule soit x à l'instant t. III.B.2.c Penser à la probabilité de trouver la particule dans le domaine de localisation. III.B.3.a Appliquer les conditions aux limites de la question III.B.2.b et la normalisation de la question III.B.2.c. III.B.3.c Commencer par trouver la fonction d'onde à tout instant t et chercher où la densité de probabilité de présence de la particule est non nulle. III.B.4 Suivre le même raisonnement qu'à la question III.B.3.a. III.B.5.b Se souvenir que la fonction d'onde (x, t) doit être deux fois dérivable. III.B.6.a Les fonctions 1 sym et 1 anti sont solutions orthogonales de l'équation III.1. III.B.6.b Penser à la densité de probabilité de présence des particules décrites par chacune de ces fonctions d'onde. III.B.6.c Étudier la dépendance temporelle de la densité de probabilité |(x, t)|2 . III.B.6.d Se rappeler que l'énergie de la molécule E est inférieure à la barrière de potentiel V0 . III.C.2.a Étudier le module du champ électrique quand x tend vers l'infini. III.C.2.b Exprimer la norme du vecteur de Poynting en fonction de la norme du champ électrique. III.C.5 Trouver la vitesse vx d'une molécule qui perçoit la fréquence 0 et relier l'incertitude sur cette fréquence en fonction de dvx . III.C.6.a Relier l'ensemble des vitesses vx possibles à l'ensemble des fréquences qui peuvent être absorbées. III.C.6.b Identifier l'expression de n de la question III.C.5. à l'expression de la gaussienne de la figure 16. III.C.6.c Utiliser la largeur naturelle calculée à la question III.C.3.b. Relier l'incertitude relative sur k B à celle sur en négligeant les autres. Vers une nouvelle définition du Kelvin I. L'agitation thermique I.A.1.a Considérons le volume d'atmosphère d'épaisseur dz à l'altitude z0 . Notons nv (z) la densité volumique de particules. La loi de la statique des fluides s'écrit dP (z) dz P(z) = nv (z) k B T nv (z) m g = - D'après la loi des gaz parfaits, Combinons les deux équations pour obtenir l'équation différentielle dP mg (z) + P(z) = 0 dz kB T On reconnaît une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants car T est supposée uniforme. La solution qui vérifie la condition P(z = 0) = P0 est mgz P(z) = P0 exp - kB T I.A.1.b En utilisant l'expression de P(z) dans la loi des gaz parfaits, on trouve mgz P0 nv (z) = N0 exp - avec N0 = kB T kB T Le terme mgz représente l'énergie potentielle de pesanteur d'une particule de masse m à l'altitude z. I.A.2 La hauteur caractéristique de variation de nv est H= kB T mg Considérons une particule tombant de la hauteur H sans vitesse initiale. Par conservation de l'énergie mécanique, on peut écrire : d'où 1 m v 2 = m g H 2 v = 2 g H On remplace H par son expression pour trouver la vitesse limite r 2 kB T v = m qui est une bonne approximation de la vitesse quadratique moyenne v q (v q 1,22 v ). I.A.3 Considérons une balle de masse m = 100 g à la température T = 300 K. En comparant ses énergies potentielle et thermique, on trouve que la balle pourrait atteindre au maximum l'altitude z telle que m g z = k B T d'où z = kB T 4.10-21 m mg