Centrale Physique 2 PC 2015

Thème de l'épreuve Traitement des eaux usées
Principaux outils utilisés électromagnétisme, magnétostatique, mécanique des fluides, mécanique du point, diffusion de particules
Mots clefs écoulements parfait

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, % Physiq ue 2 L0 'à ( F| _/ PC @ cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Traitement des eauæ usées L'assainissement des eaux usées dans une station d'épuration nécessite de débarrasser les effluents domestiques ou industriels des sables, graisses, déchets ménagers et agents polluants. On s'intéressera ici plus spécifiquement au pré--traitement et au traitement primaire des eaux dans la station (voir figure 1). Les termes employés seront définis au fur et à mesure du problème. Dégrillage Dessablage - Déshuilage Traitement physico--chimique Coagulation - Floculation - Flottation Décanteur Efliuent primaire Traitement biologique Pré--traitement Traitement primaire Epaississement Déshydratation Figure 1 Traitements successifs des efi'luents dans une station d'épuration Vers traitement secondaire La partie I étudie le principe de débitmètres adaptés aux conditions particulières des stations d'épuration et est complètement indépendante des parties suivantes. Les parties II et III s'intéressent à des procédés physiques de purification des eaux usées et sont largement indépendantes entre elles. Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données. Dans tout le problème, l'eau sera assimilée à un fluide incompressible. I Débitmètres pour eaux usées L'encombrement des eaux d'égout par des débris solides interdit l'usage de débitmètres comportant des parties mobiles immergées dans le fluide. La mesure du débit en différents points de la station, pratiquée à des fins de surveillance, doit pouvoir être effectuée soit en canalisation fermée, la conduite étant alors remplie d'eau sous pression, soit en canalisation ouverte, la surface libre du liquide étant alors à la pression atmosphérique. I.A -- Débitmètoe électromagnétz'que en canalisation fermée On dispose autour d'une canalisation cylindrique de rayon R le circuit électrique représenté en figure 2. Chacune des deux boucles, de rayon a, est parcourue par un courant continu d'intensité ] . On pourra supposer que les deux segments rectilignes de longueur L disposés d'un même côté de la canalisation sont confondus. L'origine O du repère (0,93, y, z) est choisie au centre du dispositif. 2015-03-20 11:45:04 Page 1/8 [_ R Figure 2 Canalisation entourée d'une bobine de débitmètre électromagnétique I.A.1) a ) Montrer que le champ magnétique Ê(P) créé en un point P de l'axe (Ox) s'écrit sous la forme b) En justifiant soigneusement, déterminer la direction du champ Ë(M ) créé en un point M de l'axe (Oz). I.A.2) On suppose désormais L >> (1. On pourra ainsi négliger le champ créé par les portions non rectilignes du circuit dans le plan (Ooez). ] Figure 3 Vue en coupe 0 ) Retrouver, en coordonnées cylindriques, l'expression du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant continu I dans l'espace. b ) En déduire la valeur du champ magnétique Ê(P). Tracer l'allure de B(æp) pour oeP EUR ]--a, a[. c) De même, déterminer la valeur du champ Ê(M ) et tracer l'allure de B(zM) pour zM EUR ]--a,a[. d) La méthode de mesure du débit nécessite une bonne uniformité du champ magnétique le long d'un diamètre de la conduite. Le long du diamètre AB représenté sur la figure 3, déterminer l'écart relatif maximal de l'intensité du champ magnétique à son intensité au centre B(O), %. Déterminer alors la valeur minimale du rapport (CL/R) tel que cet écart ne dépasse pas 10%. I.A.3) Par souci de simplification, on considère désormais que le champ magnétique à l'intérieur de la cana- lisation est uniforme et égal à ËO = B0üz. 2015-03-20 11:45:04 Page 2/8 [_ Les eaux usées sont assimilées à un fluide conducteur d'électricité, dont l'écoulement suit la loi de Poiseuille : Ü = v(r)üy = vo (1 -- (%)2) % a) Exprimer le débit volumique Q à travers la canalisation en fonction de 00 et R. I) ) On dispose deux électrodes aux extrémités d'un diamètre de la canalisation. Expliquer l'origine physique de la force électromotrice 6 qui apparaît entre les électrodes. Calculer eAB et ec D (voir figure 3) en fonction de vo, B0 et R. Où faut-il placer les électrodes ? c ) En déduire la relation entre 6, Q, BO et R. Quel est l'intérêt de la forme de cette relation pour la mesure du débit ? d) Un champ électromagnétique parasite (Êp, Rp), supposé uniforme et constant, est présent dans la canalisa-- tion. Montrer qu'en effectuant deux mesures de 6 où l'on alterne le sens du courant I , on peut s'affranchir des effets du champ parasite dans la mesure du débit. 6) On prend ËO = Ë(O) déterminé aux questions I.A.2b et c et a = a la valeur de a déterminée à la question I.A.2d. Montrer que : min e_Æ ... _37r2a .R mm Q Calculer numériquement e pour I = 10 A, Q = 20 L-s"1 et R = 10 cm. Justifier la nécessité d'un dispositif d'amplification électronique du signal. Expliquer pourquoi ce type de débitmètre est peu adapté aux grandes canalisations. I.B -- Déversoir & seuil mince en canal ouvert On considère un canal a fond plat dans lequel circulent les eaux usées, assimilées à un fluide parfait dont l'écoulement est irrotationnel et stationnaire. Loin en amont du déversoir, on note 171 = Ü(M1) = vlûæ la vitesse du fluide et h la profondeur d'eau. Le déversoir à seuil mince consiste en une plaque métallique étroite, de hauteur H (appelée « pelle ») (voir figure 4). L'ensemble a une largeur B suivant %. On note ÿ = --güz l'accélération de la pesanteur. On fait de plus les hypothèses suivantes -- les lignes de courant du fluide sont supposées horizontales dans la section verticale passant par la pelle: Ü2 : Ü(M2) : v2(z)üæ ; -- la pression au sein du fluide dans la section de la pelle est assimilée à la pression atmosphérique PO ; -- le débit est faible : h -- H << H. Sonde ultrasonore air (PO) %1 Figure 4 Déversoir en canal ouvert (vue de côté) I.B.1) a) Montrer que v27max >> vl, où v27max est la valeur maximale de v2(z). On supposera par la suite que Vz, v2(z) >> vl. b) Exprimer la vitesse v2(z) au point M2 en fonction de g, h, H et z. I.B.2) En déduire que le débit volumique Q peut s'écrire sous la forme Q = A(h -- H )3/ 2 où A est une constante que l'on exprimera en fonction de B et g. 2015-03-20 11:45:04 Page 3/8 [_ I.B.3) On mesure la hauteur h du fluide en amont grâce à une sonde utilisant des ondes ultrasonores. Cette sonde émet une impulsion, puis mesure le décalage temporel At de l'impulsion réfléchie par la surface des eaux. Exprimer h en fonction de la hauteur hs à laquelle est fixée la sonde, de la vitesse 0 des ondes ultrasonores dans l'air et de At. Pourquoi ce type de sonde intègre--t--il systématiquement un capteur de température ? En quoi son utilisation avec des eaux très chargées en mousses peut s'avérer problématique ? I.C -- Jaugeur Venturi en canal ouvert I.C.1) Préliminaire : écoulement fluvial ou torrentiel Soit de l'eau assimilée à un liquide parfait en écoulement stationnaire et irrotationnel dans un canal a fond plat de largeur B. On note h(oe) la hauteur d'eau dans le canal et 6 : v(oe)üoe la vitesse du fluide, uniforme sur une section (voir figure 5). La surface libre est à la pression atmosphérique PO. air (PO) Figure 5 Modèle d'écoulement dans un canal plat a) On appelle charge spécifique la grandeur H (93) : h(x) + Montrer que H (ac) est constant pour l'écoulement considéré. b ) Exprimer H en fonction de h(oe) et du débit volumique Q. Tracer l'allure de H (h) En déduire que pour un débit volumique et une charge spécifique fixés, il existe en général deux hauteurs h' et h" possibles pour l'écoulement, avec h" > h'. La solution (h', v') est appelée régime torrentiel et la solution (h", 11") régime fluvial. Justifier ces appellations. Indiquer la zone correspondant à chaque régime sur le tracé de H (h) c) À débit fixé, déterminer les valeurs hc et vc qui minimisent la charge spécifique, en fonction de Q et des données. La solution (hc, vc) correspond au régime critique. Exprimer la charge spécifique critique HC en fonction de hc. Pourquoi observe-t-on fréquemment des ondulations importantes de la surface libre au voisinage du régime critique ? d) À charge spécifique fixée, tracer l'allure de Q(h). Pour quelle valeur de h le débit est-il maximal ? Identifier les zones d'écoulement fluvial et torrentiel sur le graphe. I.C.2) Jaugeur Venturi Un débitmètre a jaugeur Venturi est constitué d'un canal d'approche a fond plat de largeur B constante et de longueur au moins égale à 10 >< B, suivie d'un canal de mesure dans lequel le fluide traverse un convergent, un canal droit de largeur b, puis un divergent (voir figure 6). Deux sondes ultrasonores à la verticale des points 1 et J mesurent les hauteurs d'eau 111 et h2. On note 51 = vlüæ et 132 = v2(x)ûæ les vitesses du fluide respectivement en amont du Venturi et dans le canal de largeur b. Les vitesses sont supposées uniformes sur une section droite. @@ --' 172(OE) b a --> E B } ; :] îi > a: 51 ! i --> : : (à) (à) Figure 6 Vue de dessus d'un jaugeur Venturi 2015-03-20 11:45:04 Page 4/8 [_ Dans le cas d'un jaugeur Venturi noyé, le régime d'écoulement demeure fluvial. Dans le cas d'un jaugeur Venturi dénoyé, le régime d'écoulement, fluvial en amont, devient progressivement torrentiel entre les sections (a) et (0), en passant par le régime critique, avant de brutalement redevenir fluvial dans le divergent du Venturi, avec présence d'un ressaut hydraulique. On pourra négliger la variation de la charge spécifique H lors du passage par le convergent. 0) Quel est le rôle du canal d'approche '? b) Écrire le débit volumique Q en fonction de vl, B, h1 puis en fonction de v2(oe), b, h2(oe). c ) Cas du jaugeur noyé La vitesse v2(oe) est alors uniforme dans tout le canal droit v2(oe) : 02. Grâce aux résultats de la question I.C.1b, tracer sur le même graphe l'allure des fonctions qui relient la charge spécifique à la hauteur d'eau h, respectivement H B(h) dans le canal de largeur B et Hb(h) dans le canal de largeur b < B. Indiquer sur ce graphe la transformation 1 --> 2 subie par le fluide au passage par le convergent. En déduire le signe de (h2 -- h1), puis justifier celui de (112 -- 111). En supposant % >> vl, exprimer le débit volumique Q en fonction de g, b, h1 et 112. d) Cas du jaugeur dénoyé On suppose l'écoulement assez lent en amont, de sorte que l'on pourra considérer que 111 << \/2gh1. En s'appuyant notamment sur les résultats de la question I.C.1c, montrer que l'existence d'un régime critique en un point du canal de largeur b permet de relier Q uniquement à la hauteur d'eau en amont par la relation Q oe 0, 544b \/ÿ h'Î/2. On vérifiera que la relation exacte trouvée correspond bien a la relation approchée donnée par l'énoncé. Dimensionner le jaugeur Venturi en calculant la valeur numérique de b pour h1 = 50 cm et Q = 1000 m3-h_1. La norme 1804359 précise que les largeurs b utilisées doivent rester supérieures à 10 cm, quel effet risquerait de fausser la mesure sinon ? e ) Quel avantage y a-t-il a utiliser un jaugeur dénoyé plutôt qu'un jaugeur noyé '? II Dessablage - Déshuilage On étudie dans cette partie la sédimentation ou la remontée à la surface de particules dans le bac de pré-traite- ment des eaux usées (dessablage -- déshuilage), l'effluent ayant déjà traversé a l'entrée de la station d'épuration une grille qui retient les déchets solides les plus volumineux (dégrillage). On modélise l'une de ces particules par une sphère homogène de masse volumique ps et de rayon 7". On note (1 : ps/pe sa densité, où pe est la masse volumique de l'eau. La vitesse de la bille sphérique est Ü : v(t)üz. Z H <-- %1 ?. eau Figure 7 Particule sphérique plongée dans l'eau II.A -- On suppose que la force de traînée Ê s'écrit sous la forme d'une force de Stokes : É : --67r77rô où 77 est la viscosité dynamique de l'eau. II.A.1) Effectuer un bilan des forces s'exerçant sur la bille dans le référentiel du fluide au repos supposé galiléen. II.A.2) Déterminer la vitesse limite de chute ve de la bille en fonction de r, d, y et 1/ : 77/pe, viscosité cinématique de l'eau. À quelle condition y aura-t-il sédimentation, ou remontée en surface ? II.B -- Pour les différentes particules proposées dans le tableau 1, calculer la vitesse limite w et le temps 166 nécessaire pour parcourir une hauteur H = 2 m, en supposant que la vitesse limite est immédiatement atteinte. On prendra 1/ = 1,0 >< 10_6 m2-s_1 et d = 2,65 (densité du quartz) et on présentera les résultats sous la forme d'un tableau. 2015-03-20 11:45:04 Page 5/8 [_ Sable grossier Sable fin Colloïde Rayon 7" 1 mm 100 mn 10 pm 1 pm 0,1 um Tableau 1 Taille typique de différentes particules II. C -- Exprimer le nombre de Reynolds Re caractéristique de l'écoulement autour de la bille en fonction des paramètres introduits. Sachant que l'expression de la force de traînée introduite en II.A peut être utilisée pour Re < 5, commenter les résultats de la question précédente. II.D -- Le temps de chute tc des particules ne peut dépasser 2 heures, afin d'éviter la remontée de sédiments provoquée par la sédimentation des boues. En déduire la taille minimale rmin des particules solides éliminées dans le dessableur. ILE -- Dimensionnement du dessableur Le débit à traiter est Q = 20 L-s_1, soit environ 1700 m3 par jour. Le dessableur longitudinal est un bac de profondeur H = 2,0 m, de longueur L et de largeur EUR = L/ 6. Les eaux usées traversent le bac dessableur avec une vitesse Üeau = veauûæ. L 4--> lÿ ®Æ Figure 8 Vue de profil d'un bac dessableur O II.E.1) Quelle est la forme de la trajectoire des particules solides dans le référentiel du sol ? Estimer, en régime permanent, le temps At mis par l'eau, support des particules, pour traverser le dessableur. II.E.2) Quelle relation doit exister entre tc(rmin) et At pour que toutes les particules de rayon supérieur à r sédimentent ? Déterminer numériquement la longueur minimale L du bac dessableur. min min III Décantation des boues résiduelles Cette partie s'intéresse à la modélisation des processus de sédimentation au sein du décanteur primaire, sous l'action du champ de pesanteur uniforme ÿ = --gûz. L'eau à traiter est assimilée à une suspension dans l'eau de particules sphériques identiques de rayon r < 1 11m et de densité d. On note n*(z, t) la densité volumique de particules, exprimée en particules-m"3. Figure 9 Particules en suspension dans un bac décanteur III.A -- Profil de concentration & l'équilibre dans un modèle convecto-difiusif On assimile le bac décanteur a une cuve de hauteur H = 2 m et de section S . III.A.1) On s'intéresse ici à l'évolution de la densité volumique de particules n* au cours du temps, sous l'effet de la diffusion et de la gravité. a) La diffusion de particules se traduit par l'existence d'un flux de particules îD. De la même façon que la diffusion thermique dans un milieu se traduit par un flux thermique îQ proportionnel et opposé au gradient de température j' = --ÀgradT loi de Fourier , la diffusion de particules se traduit par un flux de particules Q 2015-03-20 11:45:04 Page 6/8 [_ proportionnel et opposé au gradient de concentration, soit ici îD : --Dgrîzln*. La constante D est le coefficient de diffusion des particules sphériques dans l'eau. ôn* 82 b) En l'absence de diffusion, les particules ont un mouvement rectiligne uniforme dirigé vers le fond du bac, à la vitesse w. Déterminer l'expression du flux de particules jc associé à la convection, en fonction de n*(z, t) et 0). En déduire le flux total de particules Î= ÎD + ÎC. Exprimer ÿ'D en fonction de D, et d'un vecteur unitaire. c ) Montrer que l'évolution de n*(z, t) est régie par l'équation de Mason-Weaver : ôn* _ Dô2n* +v ôn* ôt _ 0z2 @ ôz III.A.2) On cherche le profil de concentration nïo(z) en régime stationnaire. (1) Donner la forme de la solution générale pour nâo(z), en introduisant une longueur caractéristique À. Écrire la condition limite pour le flux total j en z = 0, et en déduire la nouvelle forme de nâo(z), que l'on exprimera en fonction de nä = nïo(z = 0), À et 2. b) La relation de fluctuation--dissipation d'Einstein relie le coefficient de diffusion D au coefficient de frottement de la force de Stokes : D : kBT 67r77r Montrer que la répartition des particules nâo(z) peut s'interpréter à l'aide du facteur statistique de Boltzmann, 6 qui stipule qu'à l'équilibre thermodynamique, nïo(z) est proportionnelle au facteur exp (_k pT), ep étant B l'énergie potentielle associée à une particule et kB la constante de Boltzmann. On pourra utiliser le résultat de la question II.A. c) Pour T = 300 K, estimer numériquement À pour r = 1 11m, 7" = 0,1 um et r = 0,01 um. Conclure quant à la nécessité de prendre en compte la diffusion dans la modélisation de la sédimentation. III.B -- Sédz'mentation d'une suspension concentrée On néglige les effets diffusifs. À concentration élevée, la vitesse de sédimentation vi décroît avec la densité volumique de la boue. Ce phénomène est décrit par la loi empirique de Richardson--Zaki : v£(oe) = vO(1 -- oe)" où a: est la fraction volumique en particules solides dans la boue, vo une constante et n = 5,1. III.B.1) a) Relier oe(z,t) à la densité volumique en particules solides n*(z, t) et au volume V : solide. Tracer l'allure de la courbe "EUR = f (n*) é 37rr3 d'une particule () ) Que représente la constante vo ? Quelle est la conséquence pour le mouvement macroscopique de l'eau de la chute d'un grand nombre de sédiments ? Expliquer alors qualitativement pourquoi ve décroît lorsque la concentration en particules augmente. III.B.2) On note le flux de particules î (qui s'assimile au flux convectif Îc déterminé à la question III.A.1). Les particules se déplaçant uniquement vers le bas, on note î= --j(z, t)üz. Déterminer j(z, t) en fonction de U... V, n et n*(z, t). En vous aidant de la courbe de la figure 10, déterminer la valeur maximale jmax du flux de particules, en fonction de "0 et V. Que représente la pente du segment OM ? III.B.3) Une suspension initialement homogène de densité volumique nâ laissée à décanter présente rapidement trois zones distinctes : une zone transparente (1) en haut du décanteur, une zone opaque (3) en bas, et une zone trouble (2) qui les sépare (voir figure 11). a ) En vous aidant de la figure 10, déterminer la valeur de n* dans chacune de ces trois zones. b ) Par un bilan de particules entre les instants t et t + dt, montrer que la vitesse de déplacement ÜF d'une frontière séparant deux zones de densités volumiques de particules respectives nî et n* (voir figure 11) s'écrit : + 1 j(nï) --j(nî)_ UF : _ * * uZ n+ -- n_ c ) La frontière entre (1) et (2) se déplace à une vitesse Ü12. Déterminer 612 pour une fraction volumique a: = 10% en sédiments, en fonction de vo. d ) La frontière entre (2) et (3) se déplace à une vitesse 523. Déterminer 1323 en fonction de vo. 2015-03-20 11:45:04 Page 7/8 [_ f (31) Hz» 0,1 1 0,05 0,5 " 0 » y 0 0 0,5 0,8 1 Figure 10 Tracé de la fonction f (y) = y(1 -- y)571 et de sa dérivée Z (1) l'" nï ? Figure 11 Décantation d'une suspension III.B.4) On cherche a comprendre pourquoi de tels fronts de variation brusque de la concentration apparaissent quel que soit le profil initial de la concentration dans le décanteur. a) On note ÜiSO = visoüz la vitesse de déplacement d'une surface horizontale de densité volumique n* fixée. dJ - \ - a * Reher viso a Ê' pu1s tracer ] allure de viso(n ). b) En déduire comment, a partir d'une suspension où la fraction volumique varie linéairement de 0 en surface a 0,80 au fond du décanteur, un front où la concentration varie brutalement peut se former dans le décanteur. On pourra représenter l'allure de l'évolution de n*(z, t) au cours du temps. Données numériques Perméabilité magnétique du vide 110 : 47r >< 10"7 H-m_1 Accélération du champ de pesanteur terrestre g = 9,81 m-s"2 Masse volumique de l'eau pe = 1000 kg-m"3 Constante des gaz parfaits R = 8,31 J --K"1--mol_1 Constante d'Avogadro NA = 6,02 >< 1023 mol"1 Constante de Boltzmann kB = 1,38 >< 10"23 J -K"1 oooFlNooo 2015-03-20 11:45:04 Page 8/8 [_

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 Centrale Physique 2 PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Henri Lastakowski (ENS de Lyon) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieurs) et Jérôme Lambert (Enseignantchercheur à l'université). Ce sujet étudie un processus de traitement des eaux usées principalement selon deux axes : la mesure d'un débit volumique de liquide et l'élimination de particules solides présentes dans l'eau. · La partie I.A présente un débitmètre électromagnétique. Elle nécessite des connaissances élémentaires en magnétostatique (étude de symétries, théorème d'Ampère) et en induction (champ électromoteur de Lorentz). · Dans les parties I.B et I.C, on s'intéresse à la mesure du débit par analyse de la hauteur de la surface libre d'un liquide soumis à diverses sollicitations au sein d'un canal, l'écoulement étant supposé parfait. · Dans la partie II, on s'intéresse à la chute d'un objet sphérique au sein d'un liquide visqueux en faisant appel aux lois de la mécanique du point. · Dans la partie III.A, on considère la sédimentation de particules pour lesquelles la diffusion n'est plus négligeable. On caractérise ensuite un profil de densité particulaire en régime stationnaire. · Dans la partie III.B, on étudie la sédimentation de boues concentrées, au sein desquelles la vitesse de chute des particules est fonction de leur concentration. Les parties sont indépendantes. I.A et II ne présentent pas de difficulté particulière, les questions restant très proches d'exercices de cours. Les parties I.B, I.C et III nécessitent quant à elles une compréhension plus fine des notions (écoulements parfaits, diffusion de particules). Indications Partie I les différentes contributions au champ - I.A.2.c Projeter sur - u B. z - - - I.A.3.b Intégrer le champ électromoteur de Lorentz Em = v B entre les points A et B. Cette notion, nécessaire à la résolution de la question, est hors programme. - - I.A.3.d Se servir du fait qu'une tension parasite est linéaire en EP et BP . I.B.1.b Utiliser la conservation du débit volumique. I.B.1.b Appliquer le théorème de Bernoulli entre un point de la surface libre en amont de la pelle et un point quelconque au niveau de la pelle. I.C.1.a Appliquer le théorème de Bernoulli entre deux points de la surface libre. I.C.2.c Utiliser la conservation de la charge sur le graphe représentant HB (h) et Hb (h). En déduire l'inégalité h2 < h1 . I.C.2.d Montrer que H h1 et H = Hc . Partie II - . II.A.2 Utiliser le principe fondamental de la dynamique avec v = Cte - u z Partie III 2 n n n =D - v . 2 t z z dn III.A.2.a Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre en . dz III.B.3.b Attention aux signes de v , v0 et j. III.A.1.c Il y a une erreur d'énoncé ici. Il faut montrer que III.B.3.b Effectuer un bilan de flux de particules de deux manières. D'une part en considérant les densités de flux de particules, d'autre part en considérant le déplacement du front. III.B.4.b Tracer l'allure du profil initial de concentration n (z), puis regarder comment se déplace chaque surface grâce à la connaissance de v iso . I. Débitmètres pour eaux usées I.A.1.a Considérons un point P situé sur l'axe (Ox), repéré par l'abscisse x. Le plan (xPy) est un plan de symétrie pour la distribution de courant, donc un plan d'an - - tisymétrie pour le champ magnétique B . On en déduit que B est orthogonal à ce : plan, ce qui entraîne qu'il est porté par le vecteur - u z - B (P) = B(x) - u z I.A.1.b Considérons un point M situé sur l'axe (Oz), repéré par la cote z. Les plans (zMy) et (zMx) sont des plans d'antisymétrie pour la distribution de courant, donc - - des plans de symétrie pour B . B (M) est alors contenu à la fois dans les plans (zMy) - et (zMx), donc B (M) est parallèle à l'axe (Mz) : - B (M) = B(z) - u z z I.A.2.a Considérons un point M quelconque, repéré par ses coordonnées (r, , z) en coordonnées cylindriques. La distribution de courant est un fil infini d'axe (Oz) parcouru par un courant I comme repré, - senté ci-contre. Comme le plan (M, - u r uz ) est un plan de symétrie pour la distribution de courant, donc d'an - - . Par ailleurs, tisymétrie pour B , B (M) = B(r, , z) - u - u z - u I C le système est invariant par rotation autour de l'axe (Oz) et par translation suivant z, donc - B (M) = B(r) - u - u y - u z O - u r M - ux x y Choisissons comme contour le cercle C d'axe (Oz), passant par M, orienté dans le sens des croissants. Le théorème d'Ampère utilisé avec ce contour donne : I - - B · d = µ0 I C - , Comme d = r d - u soit Ainsi, Z 2 rB(r) d = µ0 I 0 2rB(r) = µ0 I - µ0 I - B (M) = u 2r I.A.2.b D'après l'énoncé, on peut considérer les segments disposés du même côté de la canalisation comme confondus. Puisque l'on néglige les champs créés par les parties non rectilignes du circuit, le dispositif se réduit à deux fils infinis portés par les droites x = -a (fil (1)) et x = a (fil (2)) et parcourus respectivement par les courants 2I et -2I comme sur le dessin. z - u- ,1 (1) 1 0 02I 1 O P a + xP (2) - u- ,2 a - xP -2I x - Le champ magnétique B (P) est alors la somme des contributions des deux fils - infinis. Ces deux parties apportant une contribution valant B1 pour le fil (1) (pour - - - lequel u,1 coïncide avec uz ), - 2µ0 I - B1 = u z 2(a + xP ) - ) : et valant B pour le fil (2) (pour lequel - u- coïncide avec -- u ,2 2 - B2 = z -2µ0 I ) (-- u z 2(a - xP ) B(xp ) Il vient alors - µ0 I 1 1 - B (xP ) = + u z a - xP a + xP - B (xP ) = soit 2µ0 I a 2µ0 aI - u z (a2 - x2P ) xp -a O a I.A.2.c Le point M est situé à une distance rM = a2 + zM 2 de chacun des tronçons rectilignes parcourus par une intensité 2I. On a démontré à la question I.A.1.b que - . Pour calculer le champ total créé au point M, il convient B (M) est orienté suivant - u z du champ magnétique engendré alors de ne sommer que les composantes suivant - u z par chaque fil, soit - B (M) = 2B1 (M) cos()- u z où B1 (M) est l'intensité du champ magnétique en M créé par un des tronçons rectilignes, et l'angle défini sur la figure ci-dessous. Par conséquent, - B (M) = 2µ0 aI - u z (a2 + zM 2 ) z - B (M) - B1 - B2 2µ0 I a M 2 z a + 00 11 00 a 11 2I B(zM ) 2 zM 2I O -a O a I.A.2.d Le long du diamètre AB, d'après le graphe représenté à la question I.A.2.b, le champ magnétique est maximal en xP = R. On en déduit que B B(xP = R) - B(xP = 0) a2 R2 = = 2 -1= 2 2 B(O) B(xP = 0) a -R a - R2 B 1 = 2 B(O) a -1 R2