Centrale Physique 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Automated Transfer Vehicle
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique des fluides, diffusion thermique
Mots clefs référentiel non galiléen, équation de la chaleur, homing, closing, ATV, ISS, véhicule de transfert automatique, ellipse de Hohmann

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


fi % Physique 2  ' trajectoire circulaire de l'ISS. On introduit le vecteur rotation 518 : wsey SC 0 Terre > Z ISS M . ATV Orbite de l'ISS Figure 4 II.B.1) Quelle est la nature de ce référentiel si le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen ? II.B.2) L'ATV est considéré comme ponctuel, on néglige les forces d'attraction gravitationnelles entre l'ATV et l'ISS. Dans le référentiel d'étude, quelles sont les forces s'exerçant sur l'ATV ? II.B.3) Démontrer que l'accélération d'entrainement de l'ATV peut se mettre sous la forme : î5 % äe : _kT--Og +(ÏJS /\ ((ÎJSA OM) II.B.4) En considérant le point M de coordonnées (oe,y,z) dans le référentiel lié a l'ISS, déterminer une expression au premier ordre vis--à--vis des coordonnées de M de la quantité fifî5 TM3 _ TO3 On pourra chercher à établir une approximation sous forme vectorielle avant d'utiliser les coordonnées cartésiennes. II.B.5) Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ATV dans le référentiel de l'ISS, démontrer qu'il s'exprime alors sous la forme du système différentiel suivant : âî + 2w82': : 0 ÿ + wîy = 0 .:2-- 2wS:Ë --3wîz : 0 Ce sont les équations de Olohessy--Wiltshirel. II.B.6) On s'intéresse à la résolution du système précédent pour les conditions initiales a t = 0 de position M = (a:... 0, zo) et de vitesse fÜM : (55... O, 20). Montrer que z(t) peut se mettre sous la forme z(t) : A + B cos(wst) + Csin(wst) et déterminer les expressions de A, B et C . II.B.7 ) En déduire l'expression de oe(t) en fonction des conditions initiales (cv... 270» :'co, 20) et de cas. II.B.8) Le processus de dérive analysé en II.A vérifie théoriquement les équations de Olohessy--Wiltshire. a ) Si on envisage la dérive (mouvement parallèle a l'axe oe), quelle relation vérifient les grandeurs wS, OE'O et zo ? Que peut--on dire de 20 ? b} En remplaçant dans la solution obtenue des équations de Olohessy--Wiltshire, vérifiez que le mouvement prévu est bien rectiligne. Olohessy W. H., Wi1tshire R. S., Terminal Guidanoe for Satellite Rendezvous, Journal of the Aerospace Sciences, Vol 27, 1960, p. 653. 2014--03-19 11:20:34 Page 3/8 OE=C BY-NC-SA II.C -- La phase d'approche radioguidée : du pre-homing au homing Une fois arrivé en A1, l'Edoardo Amaldi active son processus de guidage automatique, il devient alors autonome et assure lui--même son contrôle de trajectoire en se repérant par laser (optique) et radio--guidage par rapport a la station spatiale. Le contrôle humain se limite a une commande d'échappement d'urgence si l'un des astronautes, spationautes ou cosmonautes juge une telle mesure nécessaire. L'ATV va maintenir sa trajectoire en confirmant ses paramètres de position jusqu'au point A2 qui n'est plus distant que de L2 : 15,0 km du point de coïncidence de phase de la station. Au point A2, l'ATV allume brièvement ses moteurs pour acquérir une impulsion supplémentaire, dans la direc-- tion a:. Il s'en suit une modification, supposée instantanée, de sa vitesse, appelée « DeltaV >>. Cette méthode de navigation, qui utilise des modifications rapides de la vitesse du mobile dans des phases de propulsion de courte durée par rapport à l'ensemble du vol, a été introduite en 1925 par Walter Hohmann (ingénieur allemand, 1880--1945). Ce « DeltaV >> permet a l'ATV d'atteindre le point A3 se trouvant à la même altitude que l'ISS et distant de L3 : 3500 m de cette dernière. Zone d'interdiction Closing Pré--homing Figure 5 Nous nous plaçons en A2 et étudions la trajectoire a partir de cet instant considéré comme initial, nous noterons (OE'O,ÉO,ÇUO, zo) les vitesses et positions initiales de l'ATV. La vitesse initiale est parallèle à l'axe oe. Dans ces conditions particulières, le système de Clohessy--Wiltshire admet une solution de la forme : 2 4 = -- ' -- -- -- ' -- cos 15 Z ou. (oe 3% (w.. v.) (ou. >) . 4 4 . . x = --3 (5130 -- --"US> t--l-- --(oe0 -- vs) sm(wst) + % 3 cas où vs est une constante. II.C.1) Que représente vs ? Déterminer son expression en fonction des conditions initiales et de cas, la vitesse angulaire de l'ISS dans le référentiel géocentrique. II.C.2) Nous noterons Av le « DeltaV >> qui a lancé l'ATV sur sa trajectoire de homing, exprimer oe(t) et z(t) en fonction de Av, "US, cas et L2. II.C.3) Déterminer l'expression que doit vérifier le temps de homing permettant à l'ATV de passer de A2 a A3. Quelles sont les conditions sur le « DeltaV >> pour que ce temps existe ? Quelle valeur de « DeltaV >> sera la plus pertinente en fonction du coût énergétique de l'impulsion initiale ? II.C.4) L'analyse de la trajectoire se fait en introduisant des variables réduites. On effectue a cette fin le changement de variable X: Z: _on _270 La figure 6 présente Z (X ) pour des valeurs croissantes du rapport "US /Av variant par pas entier de 3 a 7. Laquelle vous parait la plus pertinente ? Pourquoi ? En déduire une estimation numérique du A"U nécessaire. II.C.5) Que vaut le temps de vol si le choix du cout énergétique minimum s'impose ? II.C.6) Vu la nature de la trajectoire que doit--il se passer en A3 ? 2014--03-19 11:20:34 Page 4/8 OE=C BY-NC-SA 1,5 \ 03/ "V 0,5 \ \ 0 1 2 3 4' Figure 6 Trajectoire réduite II.D -- Phase finale : le closing L'ATV va maintenant s'approcher au plus près de l'ISS en passant du point A3 au point A4 qui n'est plus qu'à L4 : 250 m de la station. A nouveau, on procède par « DeltaV >>, cette fois ci une impulsion est communiquée à l'ATV vers le centre de la Terre, les seuls paramètres initiaux non nuls sont donc oe0 : --L3, 230 : --vf. Les équations de Clohessy--Wiltshire se résolvent alors sous la forme : "f = __ ' 75 2: Cds sm(ws ) "f x = --2-- (cos(wst) -- 1) -- L3 608 II.D.1) En déduire la nature géométrique de la trajectoire et préciser ces paramètres caractéristiques en fonction de L3 et L4. II.D.2) Calculer le temps de vol du point A3 au point A4. II.D.3) En considérant les différentes techniques de navigation déployées pour l'ATV, que pensez--vous de façon générale de la navigation « a vue » dans l'espace ? III Autodestruction de l'ATV Il est prévu que l'ATV, lors de son retour dans l'atmosphère, s'autodétruise a une altitude d'environ 75 km grâce à l'échauffement de son carburant résiduel (les ergols). III .A -- Lors de l'entrée dans l'atmosphère, l'ATV rencontre les hautes couches de l'atmosphère a très grande vitesse et reçoit alors un flux de chaleur considérable. La figure 7 représente un plan de coupe simplifié de l'intérieur de l'ATV. À l'avant de celui--ci se situe une cellule étanche de longueur E qui renferme en particulier huit cuves sphériques de rayon RC contenant les ergols résiduels qui doivent exploser afin de détruire l'ATV. face avant 2R E C E % l > Cuves a ergols /// Flux therm1que Dimensions: R = 2,2 m, EUR = 2,0 m, RC : 55 cm Figure 7 La figure 8 représente la distribution de la pression tout autour du véhicule pour une altitude de 75 km. L'air ambiant a cette altitude a une masse volumique p = 4 >< 10_5 kg-m_3. III.A.1) Donner un ordre de grandeur de la vitesse de l'ATV en s'aidant de la formule de Bernoulli et de la figure 8. Les hypothèses permettant d'utiliser cette formule sont-elles toutes remplies ? III.A.2) À quoi est dû le flux thermique qui s'applique sur la face avant ? III .B -- Nous allons chercher à estimer le temps auquel va survenir l'explosion qui doit pulvériser l'ATV. Nous supposerons que, sur l'ensemble de son parcours d'entrée dans l'atmosphère, sa vitesse est constante et vaut 2014--03-19 11:20:34 Page 5/8 OE=C BY-NC-SA 2500 2000 1500 pression (Pa) 1000 " Points de repère autour / de la coque de l'ATV 500 (4) (3) (5) (6) (7 ) (8) 0 | | | | | | | _| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 abscisse curviligne (m) Figure 8 Pression autour de l'ATV a 75 km d'altitude ?} = 7 200 m-s_1, et que son angle d'entrée dans l'atmosphère par rapport a la verticale est de 80°. Il est prévu par les ingénieurs de l'ESA que, sous l'effet de la chaleur et des contraintes mécaniques, la face avant soit perforée lors de l'entrée dans les hautes couches de l'atmosphère. Cette perforation devrait survenir pour une altitude ho : 100 km et on peut estimer qu'elle prendra la forme d'un trou de diamètre 3 = 20 cm au centre de la face avant. III.B.1) À partir de la perforation de la face avant, de combien de temps TmaX dispose--t--on au maximum pour faire exploser l'ATV avant d'atteindre l'altitude de 75 km ? III.B.2) Donner un ordre de grandeur Tail. du temps que met l'air chaud a s'engouffrer, a travers le trou, dans la cellule de longueur EUR située à l'avant de l'ATV et contenant les huit cuves a ergols sphériques de rayon RC. III.C -- L'air chaud entoure dès lors les cuves a ergols consti-- tuées d'une paroi d'aluminium d'épaisseur e = 4,0 mm. Une seule des huit cuves est encore remplie d'ergols au cours de cette phase. On pose 8 : 47TRÊ. On prend comme origine du temps (instant t = 0) l'instant où l'air a fini de s'engouffrer et on considère 2RC qu'à cet instant, l'ensemble de la cuve (enveloppe et ergols) est a la température T() = 290 K et que sa surface extérieure reçoit Enveloppe en un flux thermique uniformément réparti et constant, de densité aluminium a T0 de courant thermique jc. On se propose de déterminer l'ordre F' 9 de grandeur du temps au bout duquel les ergols vont exploser 1gure spontanément. On fournit les données thermodynamiques suivantes : Ergols Aluminium solide Capacité thermique massique (kJ -K"1-kg'1) ce1rg : 2,7 cA1 : 0,88 Conductivité thermique (W-m"'-K"') /\erg : 0,15 ÀA1 : 230 Masse volumique (kg-m'3) pe,g = 800 pm = 2700 On étudie l'évolution de la température dans une zone assez proche de la surface de la cuve. On introduit alors la profondeur z par rapport a la surface (2: << RC) et on simplifie le problème de symétrie sphérique en un problème unidimensionnel de variable 2: (voir figure 10). On considèrera que les transferts énergétiques au sein de la cuve (enveloppe et ergols) résultent uniquement de phénomènes de conduction. Chaleur Chaleur 0 L L L L L 3, ËËËËËÎËËËËËËËËEYgOlSÈÈÊËÎËËËËËËËËË \rZ Figure 10 III.C.1) Pour une profondeur z telle que 0 < 2: < 6, effectuer un bilan d'énergie entre les profondeurs z et z + dz et établir l'expression de l'équation différentielle vérifiée par T(z, t) en fonction de pA1, ÀA1 et CA1. On supposera que l'aluminium est totalement a l'état solide. 2014--03-19 11:20:34 OE=C BY-NC-SA Page 6/8 III.C.2) Exprimer et calculer la constante de diffusion D A1- Exprimer et calculer le temps caractéristique "Fer" de diffusion thermique dans l'enveloppe en fonction de e et D A1- III.C.3) Etablir l'expression de l'équation différentielle vérifiée par la densité de courant thermique j(z, t) dans l'enveloppe. Vérifier alors qu'une solution possible est : J'(Z7t) = f = A [& exp<--s2> ds + B avec a : Z S=O 2\/DAlt où A et B sont des constantes. III.C.4) La figure 11 donne le graphe de la fonction g(oz) : / exp(--32) ds. S=Û +oo On donne également ] = / exp(--32) ds : @. s=0 2 1 0,5 0,9 0,8 0,4 0,7 0,6 0,3 0,5 0,4 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Figure 11 Donner les expressions de A et B en fonction de jc. Représenter les graphes de la fonction j(z, t) en fonction de 2: pour 0 < 2: < 6 aux instants t : 0+, t : TenV et t --> +oo. On donnera notamment l'expression de j(e, Tenv). III.C.5) On considère donc qu'après un temps valant t = 57' env, le courant thermique est totalement établi dans l'enveloppe, si bien que j(z, t) = je pour 0 < 2: < 6. On prend cet instant comme nouvelle origine du temps t' = 0 et on suppose : -- j(z : e,t') : jc : 50 kVV-m_2 (continuité du courant thermique) ; -- T(z, t' = 0) = T() (inertie thermique des ergols). Pour 2 > EUR, la solution pour j(z, t') est de la forme : / @ j(z,t') : f'(o/) : A'/ exp(--32) ds + B' avec o/ = i s=0 2 D t' erg Exprimer et calculer la constante de diffusion Derg. Exprimer A' et B' en fonction de jc. et t'. ôT III.C.6) Donner l'expression de la dérivée ÿ 

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 Centrale Physique 2 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Bruno Salque (Agrégé de physique) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce problème est consacré à l'étude des différentes phases du vol de l'Automated Transfer Vehicle (ATV), un module destiné à ravitailler la station spatiale internationale (ISS). Il est composé de trois parties : · La première permet de décrire les différents paramètres influençant l'orbite circulaire de l'ISS autour de la Terre, dont on détermine d'abord le champ gravitationnel. · La deuxième partie propose d'étudier les phases d'approche successives de l'ATV : on caractérise d'abord son orbite circulaire, qui est voisine de celle de l'ISS, puis on s'intéresse à la modification de sa trajectoire lors des différentes phases de transfert permettant l'approche finale. · La troisième partie est consacrée à la destruction de l'ATV lors de sa rentrée dans l'atmosphère. On modélise son échauffement progressif, qui provoque l'explosion du carburant résiduel et la destruction du module. Cette épreuve est de difficulté inégale. La première partie est très facile et très proche du cours, et les résultats que l'on y obtient sont indispensables pour traiter la partie suivante. Les deuxième et troisième parties sont en revanche originales et laissaient les candidats formuler quelques hypothèses nécessaires à leur progression. Elles s'inscrivent de ce fait dans l'esprit des nouveaux programmes. En outre, l'ensemble des chapitres abordés par l'énoncé, ainsi que les méthodes de résolution utilisées, figurent encore dans les nouveaux programmes. Pour ces raisons, et aussi parce que les phénomènes étudiés sont passionnants, il est très intéressant de s'exercer sur ce problème dans l'optique de la préparation des concours. Indications Partie I - I.A.2 Introduire le champ électrique dont A est l'analogue. - I.A.3 Identifier k A (RT )k à g0 . I.B.1 Appliquer le théorème de la puissance cinétique. Partie II II.B.2 Ne pas oublier la force de Coriolis ! II.B.3 Que peut-on dire de l'accélération de O dans le référentiel géocentrique ? II.B.6 Essayer d'obtenir une équation du deuxième ordre pour z. II.C.1 Quelle valeur peut-on donner à x0 pour retrouver un résultat connu ? II.C.3 Encadrer les valeurs possibles du cosinus. II.C.4 Faut-il se laisser une marge de manoeuvre ? II.D.1 Une petite coquille s'est glissée dans l'énoncé et peut engendrer une incompréhension : il faut lire « ses » et non « ces ». Chercher l'équation cartésienne de la trajectoire en fonction de v f , s et L3 , et l'écrire sous la forme 2 2 z - z0 x - x0 + =1 a b qui caractérise une trajectoire elliptique de demi grand axe a (si a > b) dirigé suivant l'axe des x, de demi petit axe b suivant l'axe des z et centrée au point (x0 , z0 ). Exprimer ensuite (L3 - L4 ) en fonction de v f et de s . Partie III III.A.1 Penser à une sonde Pitot. III.B.2 Calculer le débit volumique d'air à travers l'ouverture. III.C.4 Déterminer les conditions aux limites en z = 0 et à t = 0+ afin de trouver A et B. Il est judicieux d'adimensionner l'expression de j(z, t) en remplaçant D par e2 / env . I. L'orbite de l'ISS I.A.1 La force d'attraction gravitationnelle exercée par un point M de masse m et de charge q sur un point M de masse m et de charge q est --- - mm M M F grav = -G MM2 MM --- où G est la constante de gravitation. Posons - r = M M et r = k- r k pour écrire - - r F grav = -G mm 3 r De même, la force de Coulomb entre ces deux points est - r qq - F Coulomb = 40 r3 où 0 est la permittivité diélectrique du vide. - - I.A.2 Par analogie avec le champ électrique E = F Coulomb /q, écrivons le champ d'attraction gravitationnelle induit par la masse m : - - - - F grav r A ( r)= = -G m 3 m r - - On constate que le facteur -G m joue le même rôle dans A que q /40 dans E . Le théorème de Gauss exprime le flux du champ électrique à travers une surface fermée en fonction de la charge électrique à l'intérieur du volume V délimité par : ZZ - - q E · dS = 0 où q est la charge totale dans le volume V. Les champs électriques et d'attraction gravitationnelle ont la même expression pour un point, et obéissent tous deux au principe de superposition, donc on peut écrire l'équivalent du théorème de Gauss - pour A en remplaçant q/0 par -4Gm : ZZ - - A · d S = -4Gm où m est la masse totale contenue dans le volume V enfermé dans . - I.A.3 Calculons le champ A en un point M à l'extérieur de la Terre. La - dS Terre est considérée comme sphérique, r - M donc, d'après le principe de Curie, A -- RT - est porté par r = TM, où T est le - centre de la Terre, et son amplitude A (M) ne dépend que de r. Choisissons une T sphère de rayon r centrée en T pour ainsi que le montre la figure ci-contre. Un élément de surface de s'écrit alors - d S = r2 sin2 d d - er en coordonnées - sphériques, avec er = - r /r. - Le flux de A à travers s'écrit dès lors : ZZ Z 2 Z - - A · d S = r2 A d 0 sin2 d = 4 r2 A(r) 0 Puisque r est plus grand que le rayon de la Terre, la masse totale enfermée dans est la masse de la Terre MT . Le théorème de Gauss appliqué au champ gravitationnel donne alors, d'après la question précédente : 4 r2 A(r) = -4GMT Soit A(r) = - GMT r2 - - De plus, A est porté par er , ce qui conduit à - - k A ( r ) = - 3- r avec k = GMT r - Lorsque r = RT , k A k = g0 , donc g0 = k/RT2 . Isolons k pour obtenir : k = g0 RT2 -- I.B.1 On se place dans le plan contenant le vecteur - r = TM et la vitesse instantanée du mobile. En coordonnées polaires cette vitesse s'écrit : - v = r - e + r - e r Puisque la trajectoire est circulaire, r = 0, ce qui implique que la vitesse est orthoradiale. Appliquons le théorème de la puissance cinétique à un mobile de masse m - décrivant la trajectoire circulaire dans le champ de gravitation terrestre A (- r ) qui est porté par - er : - dEc = mA · - v =0 dt Ainsi, l'énergie cinétique du mobile est constante, et la vitesse du mobile est uniforme. I.B.2 Écrivons l'accélération de M en coordonnées polaires : - a = (r - r2 ) - e + (2r + r) - e r La trajectoire est circulaire, donc r = 0 et r = 0, et uniforme, ce qui conduit à poser = = v/r et = 0. Seule l'accélération centripète demeure : 2 v - a = -r 2 - er = - - er r Appliquons le principe fondamental de la dynamique au mobile de masse m. La seule force s'exerçant sur M est la force gravitationnelle, donc v2 - k k er = -m 3 - r = -m 2 - er r r r Projetons cette relation sur - er et simplifions par -m pour obtenir r r k k v= et = r r3 -m (car = v/r)