Centrale Physique 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Les diélectriques dans la nature et au laboratoire
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, optique géométrique, optique interférentielle, physique des ondes
Mots clefs diélectriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î. '» Physique 2 "à « _/ PC EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2013 Les diélectriques dans la nature et au laboratoire Ce problème s'intéresse à quelques propriétés des diélectriques. Il est constitué de trois parties, très largement indépendantes. I Propriétés générales des diélectriques Un milieu diélectrique ne possède pas de charges libres (contrairement aux conducteurs), les électrons sont liés à un atome, c'est--à--dire qu'ils ne se déplacent que de la taille d'un atome sous l'action d'un champ électro-- magnétique. Pour caractériser l'interaction d'une onde électromagnétique avec la matière on utilise le modèle du physicien britannique Joseph John Thomson (1856--1940) appelé aussi << modèle de l'électron élastiquement lié >>. LA -- Le modèle de l 'électron élastiquement lié On étudie un électron situé en un point M, de charge --e et de masse me, dans le référentiel lié au noyau de l'atome, de centre 0. Ce référentiel est supposé galiléen. L'atome interagit avec les champs E et B d'une onde électromagnétique plane, monochromatique, de pulsation w. L'électron subit la force électromagnétique de Lorentz Fe... : --eE -- eÎf /\ B. En outre, dans le cadre du modèle, l'électron est supposé soumis a une force de --» _) --» rappel élastique F,. : --kOM et a une force de frottement de la forme F f : --oÆ , où k et oz sont des constantes positives. I.A.1) Donner l'origine physique de la force de rappel et de la force de frottement. I.A.2) J ustifier pourquoi on peut négliger la force magnétique --eÎf /\ Ë devant la force électrique --eË. I.A.3) a ) À quelle condition peut--on considérer que le champ Ë de l'onde électromagnétique est uniforme à l'échelle de l'atome ? Par la suite, on admet que cette condition est satisfaite. On pose donc Ë : ËO cos(wt) où ËO est un vecteur uniforme. --» _) b) Montrer que le vecteur position de l'électron R : OM s'écrit, en notation complexe : --eEoe3°"t k -- mew2 + jaw É: où j est un nombre complexe tel que j2 = --1. c) Rappeler la définition du moment dipolaire de l'atome ainsi que du vecteur polarisation du milieu en notant n* la densité volumique de dipôles. En déduire que la susceptibilité complexe du milieu se met sous la forme x(w) = XO -- 1--w2/wâ+jQw/wo On exprimera XO» wo et Q en fonction de e, me, if, oz, n* et 50. LE -- Propagation d'une onde plane progressive harmonique ( OPPH ) dans un diélectrique Les champs électrique et magnétique associés à une OPPH se propageant dans la direction 096 s'écrivent E : Æ0ej(°"t--Ëoe) et E : EOeÎ(WÈ_ËOE) avec w réel et & a priori complexe. Les équations de Maxwell dans le milieu s'écrivent : --» --» Ë divÆ=0 £ÎtÆ=--Ô---- Ôt _, ----> _, ÔË divâ : 0 rotâ : MOÊÔ_Î avec 5 : eo(1 + X)' I.B.1) Comparer ces équations aux équations de Maxwell dans le vide. Commenter. I.B.2) Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique. 2013--04--16 14:33:43 Page 1/6 GC) BY-NC-SA I.B.3) En déduire la relation de dispersion exprimant E2 en fonction de au, c = 1/, /,aon et & . I.B.4) Montrer alors que l'on peut définir un indice optique complexe de la forme : n2 = 1 + & . I.B.5) L'indice complexe se met sous la forme @ = n' -- jn' ' . Montrer que, dans le cas d'un milieu qualifié de << peu dense >>, c'est--à--dire très transparent tel que le << 1, on a / ?(1 _ w2/wâ) // ?(Qw/wo) " = 1 + 2 et n = 2 2 2 2 (1 -- w2/wo)2 + (Qui/WO)2 (1 -- w /wo) + (Qui/we) I.B.6) Le milieu est--il dispersif ? Est--il absorbant ? Justifier. I.B.7 ) Pour le verre flint : XO : 1,86 dans le domaine visible et n* = 8,1 >< 1028 m_3. Déterminer la valeur de la longueur d'onde AG de la transition de résonance. Peut--on bronzer a travers une vitre ? I.C -- La polarisation dans la vie courante I.C.1) On donne lgl : 8050 pour l'eau (a w = O). Expliquer pourquoi le sel de cuisine se dissout dans l'eau. I.C.2) La capacité C d'un condensateur plan constitué de deux plaques parallèles, de surface S et séparées par du vide sur une distance e s'écrit C : eOS / e en négligeant tout effet de bord. La quantité S / e caractérise la géométrie du condensateur et 50 caractérise les propriétés électriques du milieu situé entre les plaques, ici le vide. Comment augmenter la capacité du condensateur sans modifier sa géométrie ? Donner des exemples et des ordres de grandeur. II Un phénomène de dispersion On néglige le phénomène d'absorption et on note n la partie réelle de l'indice complexe. Pour des milieux transparents tels que l'air, le verre ou l'eau, wo se situe dans l'ultraviolet lointain, de sorte que dans le domaine visible au << wo. II.A -- La loi de Cauchy Montrer que l'indice n dépend de la longueur d'onde À de la manière suivante : n(À) : a + b/À2 et exprimer a et b en fonction de wo et À0 : Zac/wo. II.B -- L'arc-en--ciel : observation de l'arc primaire Lorsqu'on aperçoit un arc--en--ciel on remarque immédiatement un arc coloré appelé << arc primaire >>. C'est le philosophe grec Aristote (--384----322) qui le premier tenta une explication rationnelle de ce phénomène Le premier physicien a s'y être intéressé est Isaac Newton (1643--1727). Dès les premières lignes de son ouvrage << Opticks >> publié en 1704, il rappelle que le principe de l'explication de l'arc--en--ciel repose sur l'idée que ce dernier << est produit par les rayons solaires réfractés et réfléchis dans les gouttes de pluie >>. En suivant l'interprétation d'Isaac Newton, on considère une goutte d'eau éclairée par le soleil. L'eau est considé-- rée comme un milieu transparent d'indice n = 1,333. La goutte est assimilée a une sphère de centre O baignant dans l'air (d'indice égal a 1). Elle est éclairée par un faisceau de lumière parallèle, considéré comme monochro-- matique dans un premier temps, dont un rayon atteint la sphère en [ où se produit une réfraction. Soit i l'angle d'incidence en I et r l'angle de réfraction correspondant. Le rayon réfracté recoupe la goutte en ] où la lumière peut être soit réfractée, soit réfléchie, mais on ne considère ici que le rayon réfléchi. Oe rayon réfléchi en ] ressort de la goutte en K où on ne considèrera que le rayon réfracté. On appelle D l'angle de déviation du rayon lumineux par la goutte (cf figure 1). Figure 1 II.B.1) Que valent les angles d'incidence, de réflexion et/ou de réfraction en J et K ? Peut--il y avoir réflexion totale en J ? Justifier. 2013--04--16 14:33:43 Page 2/6 @C) BY-NC-SA II.B.2) Exprimer l'angle de déviation totale D du rayon en fonction de 75 et 7°, puis en fonction de 75 et n uniquement. II.B.3) Montrer que l'angle de déviation D(i) admet un minimum D... : D(i...) lorsqu'on fait varier le point [ d'incidence du rayon lumineux sur la goutte, donc l'angle 75. On appelle i... l'angle d'incidence auquel ce minimum correspond. Exprimer i... et D... en fonction de n. II.B.4) En supposant toujours la lumière solaire monochromatique, que doit--on observer lorsqu'une pluie est éclairée directement par le soleil ? II.B.5) On prend maintenant en compte le fait que la lumière est polychromatique (lumière blanche). Sachant dD 2 /4 -- 712 que _... = -- 2--1 et que l'eau vérifie la loi de Cauchy, déterminer l'ordre des couleurs observé dans " _ dn n l'arc--en--c1el primaire. II.B.6) Compte--tenu de cette étude, répondre aux questions pratiques suivantes. a) Pourquoi observe--t--on un cercle limité a un arc ? Quel est le rayon angulaire de ce cercle ? L'arc primaire est--il coloré de rouge ou de violet a l'intérieur ? b) Préciser les circonstances météorologiques nécessaires a l'observation. Faire un schéma montrant le soleil, l'observateur, la pluie et l'arc--en--ciel. c) Le ciel parait--il plus ou moins lumineux a l'extérieur de l'arc--en--ciel qu'à l'intérieur ? Pourquoi ? II.C -- Formation des arcs surnuméraires Lorsqu'on observe un arc--en--ciel primaire, on peut parfois observer un deuxième arc, plus grand que le premier, moins lumineux et dont l'ordre des couleurs est inversé, appelé << arc secondaire >>. Une observation beaucoup plus fine montre (très rarement) une série d'arcs pâles, en général alternativement vert--jaune et violacé, situés juste en--dessous de l'arc primaire, ils sont appelés << arcs surnuméraires >>. C'est le médecin et physicien anglais Thomas Young (1773--1829) qui découvrit le phénomène optique responsable des arcs surnuméraires en appliquant sa théorie sur les interférences a deux ondes aux gouttes de très petite taille. Il considère que deux rayons émergents parallèles a la sortie de la goutte, après avoir suivi des chemins différents dans la goutte, interférent pour donner un maximum ou un minimum de lumière suivant la valeur de leur différence de marche. Ces deux rayons, très proches, ont des angles d'incidence et d'émergence pratiquement égaux a la valeur 75... de l'arc primaire ; on supposera que la goutte d'eau est équivalente localement a une lame d'eau a faces parallèles (figure 2), d'indice n = 1,333 et d'épaisseur e = 1 am. Figure 2 II.C.1) Montrer que la différence de marche entre les rayons (1) et (2) est 6 : 2ne cos r... + À/ 2 où r... est l'angle de réfraction en I . 4 / 2 -- 1 1 II.C.2) Montrer alors que l'ordre d'interférence peut s'écrire }) : { n 3 + 5' II.C.3) Calculer les deux valeurs de }) correspondant aux bornes du spectre visible violet et rouge (Àviolet : 400 nm et À...uge : 780 nm), que l'on notera 19400 et 19780. Quelles sont les valeurs de l'ordre d'interférence }) présentes dans l'intervalle [p780, 19400] qui permettent d'obtenir des interférences constructives ? II.C.4) Calculer les longueurs d'onde correspondant a ces valeurs de 19. À quelles couleurs correspondent--elles ? Commenter. II.C.5) Le fait de considérer des gouttes d'eau de très petite taille fait intervenir un autre phénomène, lequel ? 2013--04--16 14:33:43 Page 3/6 @C) BY-NC-SA III Deux applications surprenantes de la réflexion totale Cette partie présente le phénomène de réflexion totale ainsi que quelques unes de ses conséquences. III.A -- Le phénomène de réfleoez'on totale frustrée La figure 3 précise le principe d'un capteur d'empreintes digitales. Un faisceau laser illumine un prisme dans des conditions de réflexion totale ; en l'absence de l'index, la caméra située en sortie d'appareil visualise une zone d'éclairement uniforme. En présence de l'index, la caméra fait apparaitre les empreintes digitales. Le but de cette question est de présenter la théorie permettant d'interpréter le principe de ce capteur. index laser | caméra numérique Figure 3 On considère une onde plane progressive monochromatique (de pulsation w) se propageant dans un diélectrique, magnétiquement parfait. On s'intéresse à l'évolution de cette onde lorsqu'elle atteint une interface avec l'air dont l'indice sera pris égal à l'unité. L'interface est située dans le plan (Ooey). Elle est non chargée et n'est le siège d'aucun courant. ..z Air (indice 1) ® y > $ Milieu d'indice n / O E@ : TLk'Q'LÏ//Î Ë, : E,ûy @ M Figure 4 L'onde incidente dans le diélectrique arrive sous incidence oblique repérée par l'angle 75 et l'on se place dans le cas d'une polarisation perpendiculaire au plan d'incidence (voir figure 4) : --» . E _, _) . . , _) _) E, : E0,eî(w'_ "")uy avec E... ch01s1 reel et 7° : OM On se place dans le cas où 75 > ig, où ig désigne l'angle limite de réflexion totale. III.A.1) Déterminer, en tout point M du diélectrique de coordonnées (ac, y, z), l'expression du champ magné-- tique E, de l'onde incidente. III.A.2) On note E.... l'amplitude (éventuellement complexe) du champ électrique de l'onde réfléchie. Détermi-- ner les expressions du vecteur d'onde et des champs électrique et magnétique de l'onde réfléchie, en tout point M du diélectrique, en fonction des données du problème. III.A.3) Écrire les conditions de continuité des composantes des champs électrique et magnétique de part et d'autre de l'interface. III.A.4) On suppose dans un premier temps, puisqu'il y a réflexion totale, qu'il n'y a pas d'onde transmise dans l'air. Montrer alors que les conditions de passage des champs électromagnétiques au niveau du dioptre ne peuvent pas être satisfaites. III.A.5) On postule alors l'existence d'un champ électrique transmis, que l'on écrira sous la forme : E,, : E0tg(z)ej(w'_ktoe)ûy avec E... éventuellement complexe où g est une fonction de la seule variable z, telle que g(0) : 1. Montrer que la condition de passage pour le champ électrique fixe la valeur de kt et qu'elle impose en outre une relation entre E..., E.... et E.... III.A.6) a) En déduire alors l'expression de la fonction g sous la forme g(z) : e_Z/" où 5 est une distance que l'on exprimera en fonction de ÀO, n et 75. 2013--04--16 14:33:43 Page 4/6 GC) BY-NC-SA b) Donner une interprétation physique pour cette distance. c) Comment qualifier l'onde transmise ? d) Application numérique Calculer 5 pour i : 45°, n = 1,5 et )... = 700 nm. III.A.7 ) Montrer que les champs électriques réfléchi et transmis ont pour amplitude complexe : 5 27rn-- cosi +j 4nn-- cosi Æ0r : 50 E0i et Æ0t : 5 0 E0i 2 n--cosi--' 27rn--cosi--' " )... ] AO ] III.A.8) On souhaite écrire le coefficient de réflexion complexe, défini par [ : EG,/E..., sous la forme [ : lple"". Déterminer @ et go en fonction de n et de l'angle d'incidence i. III.B -- Une première application : le capteur d'empreintes digitales III.B.1) L'expérience de Newton est présentée sur la figure 5. onde transmise due a la amplitude décroissante frustration de la réflexion totale de l'onde évanescente / onde totalement réfléchie / onde réfléchie onde incidente onde incidente Figure 5 Expérience de Newton avec deux prismes a ) Interpréter qualitativement cette expérience. Pourquoi parle--t--on de << frustration de la réflexion totale >> ? b) Dans la gamme des longueurs d'onde du visible, avec quelle couleur cette expérience sera--t--elle la plus convaincante ? Pourquoi ? c) Comment réaliser avec ce dispositif des ondes stationnaires évanescentes ? III.B.2) Comment, qualitativement, expliquer le principe du capteur d'empreintes digitales présenté au début de la question III.A ? III.C -- Un deuoeième efiet : le déplacement de Goos--Hänchen III.C.1) Étude énergétique Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting de l'onde transmise, en fonction notamment de l'amplitude initiale E... de l'onde incidente, de i et de l'indice n ; commenter la direction de propagation de l'énergie dans le milieu d'incide 1. En 1947, Hermann Coos et Hilda Hänchen ont mis en évidence un déplacement longitudinal du faisceau lors de la réflexion totale : comme dans l'image des poissons volants, le point d'incidence 0 (celui où les poissons sortent de l'eau) n'est pas confondu avec le point de réflexion [ (où les poissons regagnent leur milieu initial). , 27 Air (indice 1) y ® & I \ > $ Milieu d'indice n O// \\ \ E -- nk ü //\. \ \3nde réfléchie @ _ 0 i @ \ _) _, / \ \]çt Ei : Ezûy ® \ \ Figure 6 Déplacement de Coos--Hänchen L'analyse de la réflexion totale au moyen d'une onde plane ne peut permettre de prédire ce phénomène puisqu'une onde plane ne peut être localisée et par conséquent un déplacement a la réflexion ne peut pas l'être non plus. III.C.2) On considère le faisceau laser utilisé pour réaliser l'expérience comme une superposition d'ondes planes dont les amplitudes dépendent de l'angle d'incidence i par l'intermédiaire d'une fonction amplitude A(i), dont la connaissance n'est pas nécessaire pour la suite du problème. Le champ électrique de l'onde résultante peut alors s'écrire : 2013-04--16 14:33:43 Page 5/6 GC) BY-NC-SA |OE1 ?; = / max A(i)6j(wt_ÿi.f)di Üy : / max A(i)EURj(wt--(nko sin i)oe--(nko cos ')Z)di Üy Zmin Zmin L'angle d'incidence i varie entre les valeurs extrêmes (le faisceau laser utilisé est très peu divergent) : i...... : io -- Î et imaX : io + Î avec Ai << io Montrer que le champ électrique résultant peut s'écrire, sur le di0ptre ; n +Ai/2 ' . Æ'É : ä'LO/ A('L0 + 5)6_3(nk0 COS 'LQ)OEE (iEUR --Ai/2 où on a posé äi0 : EURj(wt--oenko sin io) Üy III.C.3) a) En utilisant l'expression du coefficient de réflexion complexe obtenue a la question III.A.8 et en utilisant la condition Ai << io, montrer que le champ électrique réfléchi au niveau du dioptre peut s'écrire sous la forme : --) . . +Ai/2 . . ET : äi06390(10)/ A(ÏO + 5)EUR--J(OE--OEo)(nko COS îo)EUR d£ --Ai/2 g0' désigne la dérivée de @ par rapport a l'angle d'incidence i. b) Exprimer 900 en fonction de g0'(io), n, )... et cos io. c) Quelle est l'interprétation physique de 960 ? d) Montrer que 960 peut encore s'écrire : À0 tan 'i0 fig:-- 7 n2sin2iO--1 @) Application numérique Calculer 960 avec io : 45°, n = 1,5 et À0 : 700 nm. Conclure. Données numériques Célérité de la lumière dans le vide 0 = 3,00 >< 108 m - s--1 Masse de l'électron me : 9,11 >< 10_31 kg Charge de l'électron q = --e = --1,60 >< 10_19 C Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 10_12 F - m--1 Formulaire --+ --+ a --> a rot(r E) : grad(div E) -- AE --» --»--»--» ot AA(ËAÜ)=(Â")Ë_( )C oooFINooo 2013-04--16 14:33:43 Page 6/6 GC) BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique 2 PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (ENS Cachan) ; il a été relu par Anne Mounier (ENS Lyon) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Cette épreuve porte sur le comportement de milieux diélectriques soumis à des ondes électromagnétiques. · La première partie propose d'étudier la polarisation d'un milieu diélectrique soumis à une onde électromagnétique. On s'interroge alors sur deux effets dus aux propriétés des diélectriques : pourquoi l'eau est-elle un bon solvant pour les composés ioniques ? Pourquoi introduire un matériau diélectrique entre les armatures d'un condensateur ? · Après avoir redémontré la loi de Cauchy, on traite dans la deuxième partie d'une illustration frappante de celle-ci, l'arc-en-ciel. Les réflexions multiples des rayons lumineux dans des gouttes d'eau, traitées dans le cadre de l'optique géométrique, permettent d'expliquer le phénomène. Puis on s'attache à comprendre l'origine des « arcs surnuméraires » à l'aide de l'optique ondulatoire et du cours sur les interférences. · Enfin, la troisième partie développe, dans un premier temps, le principe d'un capteur d'empreintes digitales, système astucieux qui repose sur la « réflexion totale frustrée ». Dans un second temps, c'est l'effet Goos-Hänchen qui est étudié. Il s'agit alors de regarder finement ce qui se passe au niveau de l'interface lors d'une réflexion totale. Le sujet est de difficulté croissante. Si la première partie est un classique du chapitre d'électromagnétisme dans les milieux et présente peu de difficultés, les deuxième et troisième parties sont, elles, plus originales ; riches en calculs, elles font également la part belle au sens physique. Indications Partie I B.5 Effectuer un développement limité de la relation précédente. Partie II A L'énoncé comporte une erreur : exprimer l'indice en fonction de 0 et 0 . B.2 Décomposer le trajet du rayon lumineux et ses angles de déviation successifs. B.3 La dérivée de la fonction arcsinus vaut f (x) = 1/ 1 - x2 . B.4 L'existence d'un minimum de déviation engendre une accumulation de lumière dans une direction préférentielle. B.6.c Déduire de l'angle de déviation D la plage angulaire sous laquelle les rayons sont réfléchis depuis l'observateur. C.1 Une réflexion d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent induit un déphasage de . Partie III A.6.a Écrire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique transmis. A.7 Déterminer le champ magnétique transmis, puis appliquer à nouveau les conditions de passage du champ électromagnétique au niveau du dioptre. B.1.b Exploiter la relation entre et 0 déterminée à la question III.A.6.a. C.1 Repasser les champs électrique et magnétique en notation réelle, puis calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting. C.3.a Développer le déphasage en série de Taylor à l'ordre 1, et procéder par identification avec la forme proposée. Les diélectriques dans la nature et au laboratoire I. Propriétés générales des diélectriques I.A Le modèle de l'électron élastiquement lié I.A.1 L'électron est soumis au champ électrique créé par le noyau et les éventuels autres électrons de l'atome. Lorsque l'électron se déplace dans ce champ, il s'exerce sur lui une force de rappel, rendant compte de manière phénoménologique de son caractère lié. Il est possible de développer l'énergie potentielle Ep (R) associée à cette force au voisinage de la position d'équilibre de l'électron située en R = R0 . En se limitant à l'ordre 2, il vient Ep (R0 )(R - R0 )2 2 car Ep (R0 ) = 0 (position d'équilibre). Par choix de l'origine des énergies potentielles, ce résultat peut se réécrire comme Ep (R) Ep (R0 ) + Ep (R0 )(R - R0 )2 2 Cette énergie potentielle correspond à celle d'un ressort, et par dérivation à une force - -- élastique de la forme Fr = -k OM. Ep (R) L'énoncé comporte une erreur : dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié, le point O correspond à la position d'équilibre de l'électron, et non la position du noyau. - La force de frottement fluide, de la forme Ff = -- v , tient compte de diverses causes de dissipation d'énergie au cours de son mouvement, parmi lesquelles le rayonnement dipolaire. Au vu des résultats obtenus sur le rayonnement dipolaire (formule de Larmor), il serait plus rigoureux de choisir une force de frottement proportionnelle à l'accélération de l'électron. Néanmoins, le calcul montre que l'on peut se ramener, dans un certain cadre d'approximation, à un frottement simplifié de type fluide. I.A.2 Le champ électromagnétique de l'onde plane monochromatique satisfait à l'équation de Maxwell-Faraday - B - - rot E = - t - Notons respectivement et la pulsation et le vecteur d'onde associés à cette onde plane. En introduisant dans l'équation précédente les champs exprimés à l'aide de la - - notation complexe e j(t- · r ) , on obtient la relation - - - E B = Ce résultat montre que les modules des champs magnétique B et électrique E vérifient la relation B = E/c, avec c = / la vitesse de la lumière dans le vide. En calculant le rapport des composantes magnétique et électrique de la force de Lorentz, il vient Fm evB v = = Fe eE c En supposant les électrons non relativistes (v c), il est alors raisonnable de - - négliger la force magnétique -e- v B devant la force électrique -e E . I.A.3.a Notons la longueur d'onde dans le vide de l'onde électromagnétique et - a la taille typique de l'atome. Le champ électrique E peut être considéré comme uniforme à l'échelle de l'atome si a Pour une taille atomique a 0,1 nm, cette condition est vérifiée si 10-10 m (dans le vide) I.A.3.b Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le référentiel galiléen lié au noyau atomique - - - - me R = - R - k R - eE0 cos t Le forçage sinusoïdal imposé par le champ électrique suggère d'utiliser les notations complexes, avec - - - - et R = - 2 R R = j R Il vient - R = - -e E0 e jt k - me 2 + j - I.A.3.c Le moment dipolaire p de l'atome, induit par la présence du champ électrique s'écrit - - p = -e R - p = - e2 E0 e jt 2 k - me + j Notons qu'en l'absence de champ électrique, le moment dipolaire s'annule. Ce modèle ne s'applique donc pas aux milieux possédant un moment dipolaire permanent. L'eau en est un exemple, sa polarisation naturelle (p 6 · 10-30 C.m) provenant de la forme coudée de la molécule H2 O, selon la théorie VSEPR, et de la différence d'électronégativité entre H et O. - Le vecteur polarisation P s'interprète comme le moment dipolaire moyen par unité de volume. Il s'exprime donc comme - P = n - p - P = - n e 2 E0 e jt 2 k - me + j