Centrale Physique 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Trajectoires électroniques dans un atome, traitement du rayonnement Zeeman
Principaux outils utilisés mécanique du point, polarisation, rayonnement dipolaire
Mots clefs Zeeman, polarisation des ondes lumineuses, force centrale, rayonnement dipolaire électrique, particule chargée

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PC 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Physique 2 Trajectoires électroniques dans un atome Traitement du rayonnement Zeeman Le champ magnétique régnant à la surface du soleil est un des paramètres qui influent sur l'activité solaire (instabilités, jets de plasma, etc.). Il est donc nécessaire de caractériser au mieux celui-ci. Figure 1 Jet de plasma soumis au champ magnétique solaire (image NASA/SDO/AIA) Dans les parties I et II, on détermine l'effet d'un champ magnétique sur les trajectoires électroniques au sein des atomes (effet Zeeman), puis dans la partie III on s'intéresse aux ondes électromagnétiques produites par de tels systèmes et sur la façon de les caractériser. La partie III est dans une large mesure indépendante des deux premières. Les données sont regroupées en fin d'énoncé. Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données. 3 avril 2012 11:35 Page 1/7 I Atome isolé On s'intéresse au mouvement d'un électron d'un atome, supposé ponctuel, de masse m et de charge -e, étudié -- dans un référentiel R = (Oxyz) galiléen. On note M la position de cet électron et on pose OM = rþer . Dans une première approche, on suppose que la force qui s'exerce sur l'électron se réduit à la force électrostatique exercée par le noyau, de type k Fþ = - 2 þer r Le noyau, de masse très supérieure à la masse des électrons, pourra être considéré comme fixe à l'origine du référentiel R. I.A ­ Donner l'expression de k dans le cas particulier de l'atome d'hydrogène. I.B ­ Montrer, pour k quelconque, que le mouvement est plan. On supposera par la suite que ce plan coïncide avec Oxy. I.C ­ Montrer qu'une trajectoire circulaire de rayon a est possible et déterminer l'expression de la vitesse angulaire (ou pulsation) 0 de l'électron pour cette trajectoire circulaire. On exprimera 0 en fonction de a, m et k. I.D ­ Pour un atome d'hydrogène, donner l'ordre de grandeur de a et en déduire l'ordre de grandeur de 0 dans ce modèle. On admettra par la suite que l'ordre de grandeur de 0 est 1016 rad · s-1 . II Atome placé dans un champ magnétique extérieur þ 1 = B1þez et on s'intéresse On suppose désormais que l'atome est placé dans le champ magnétique extérieur B à la modification, sous l'effet de ce champ magnétique, du mouvement de l'électron. Pour les applications numériques, on considèrera que l'ordre de grandeur de B1 ne dépasse pas la dizaine de Tesla. Le référentiel R = (Oxyz) est toujours supposé galiléen. II.A ­ Mise en équation II.A.1) En notant toujours Fþ la force exercée par le noyau sur l'électron, þa et þv respectivement l'accélération þ 1 /m et m. et la vitesse de l'électron par rapport à R, déterminer la relation entre þa, Fþ , þv , þ 1 = eB II.A.2) Préciser, en justifiant le raisonnement, la dimension de 1 et déterminer l'ordre de grandeur maximal de 1 /0 . II.B ­ Étude générale On introduit un référentiel R en rotation à la vitesse angulaire þ = þez uniforme. On note þex , þey et þez les vecteurs unitaires liés à R , en rotation à þ par rapport à R. On suppose qu'à t = 0 les deux référentiels R et R coïncident et qu'à tout instant þez = þez . Pour un point M quelconque, on désigne respectivement par þv et þv les vitesses du point M par rapport aux référentiels R et R et par þa etAþa les B accélérations A B du point M par rapport aux mêmes référentiels. Pour un þ þ d U d U þ dans les référentiels R et R . þ quelconque, on note et les dérivées de U vecteur U dt dt R R II.B.1) Déterminer la projection des vecteurs þex et þey sur la base des vecteurs þex et þey . 3 4 dþex II.B.2) En déduire l'expression de en fonction de þ et þex uniquement, ainsi que l'expression de dt R 3 4 dþey en fonction de þ et þey . dt R -- II.B.3) Déterminer l'expression de þv en fonction de þv , þ et OM . -- II.B.4) Déterminer l'expression de þa en fonction de þa , þv , þ et OM . II.B.5) Montrer que pour une valeur particulière þ L de þ , on a : þa = 1 --2 Fþ + þL þ L OM m et préciser l'expression de þ L (pulsation de Larmor) en fonction de þ 1. þ à des trajectoires électroniques II.B.6) On admet que la force Fþ conduit, en l'absence de champ magnétique B, 1 --2 circulaires de pulsation 0 dans R. En déduire que le terme þL þ L OM est négligeable devant le terme Fþ /m et écrire l'équation différentielle approchée vérifiée par þa . Commenter. 3 avril 2012 11:35 Page 2/7 II.B.7) On considère les trajectoires circulaires dans le référentiel R qui sont contenues dans un plan orþ 1 . Montrer que le résultat précédent permet de prédire l'existence, dans R, thogonal au champ magnétique B de mouvements circulaires de sens opposés et de pulsations + et - (on choisira + > - > 0) et donner l'expression de ces pulsations en fonction de 0 et 1 . Représenter dans le plan 0xy ces trajectoires en précisant dans chaque cas les sens de parcours. II.B.8) On considère les trajectoires circulaires dans le référentiel R qui sont contenues dans un plan contenant þ 1 (on peut par exemple prendre des trajectoires dans le plan Ox z ). On note a le rayon le champ magnétique B de la trajectoire. Déterminer l'expression des coordonnées x (t) et z (t) en fonction de a et 0 . Montrer que, dans R, le mouvement peut se voir comme la superposition d'un mouvement sinusoïdal selon Oz et de deux mouvements circulaires dans le plan Oxy, dont on précisera les caractéristiques. II.B.9) On considère enfin le cas d'une trajectoire circulaire dans R dans un plan dont la normale fait avec l'axe Oz un angle quelconque. Décrire qualitativement l'évolution, dans le référentiel R, du plan de la - þ (O) = - trajectoire et préciser en particulier la surface décrite par le vecteur L OM mþv . Montrer que dans le cas du mouvement circulaire quelconque dans R , on peut toujours décomposer le mouvement dans R en deux mouvement circulaires et un mouvement rectiligne de pulsations différentes que l'on précisera. II.C ­ Aspect énergétique Dans cette sous partie, on se place dans le référentiel R galiléen et on considère que l'électron soumis à la force þ 1 a une trajectoire circulaire dans le plan Oxy à la Fþ et placé éventuellement dans le champ magnétique B pulsation (à priori ici quelconque). II.C.1) Variation d'énergie mécanique a) Déterminer l'expression de l'énergie potentielle Ep associée à la force Fþ . b) En déduire l'expression de l'énergie E = Ec +Ep de l'électron dans le cas particulier du mouvement circulaire de pulsation en fonction de m, et k. c) On considère l'évolution de la trajectoire d'un électron entre une rotation circulaire uniforme à 0 dans le plan Oxy en l'absence de champ magnétique et une rotation circulaire uniforme à + = 0 + 1 /2 dans le plan þ 1 . On suppose 1 0 . Calculer l'expression approchée de la variation Oxy en présence du champ magnétique B relative E/E de l'énergie E entre ces deux états. On exprimera le résultat en fonction 0 et 1 uniquement. d) Cette variation d'énergie peut-elle avoir été causée par la force due au champ magnétique ? Justifier brièvement. e) Proposer une explication qualitative des causes de cette variation d'énergie. II.C.2) Étude du régime transitoire þ = B(t)þez la On s'intéresse ici à l'évolution du champ magnétique dans lequel est placé l'atome. On note B valeur instantanée du champ magnétique, B(t) variant de 0 à B1 . On considère que ce champ est uniforme. On þ duquel dérive le champ magnétique. On se place en coordonnées cherche l'expression du potentiel vecteur A cylindriques d'axe Oz (cf figure 6) et on impose, d'une part la nullité du potentiel sur l'axe et d'autre part, la þ = þ0. relation de jauge de Coulomb div A a) Préciser les dépendances en cordonnées de chaque composante du potentiel vecteur. þ b) Déterminer l'expression de A. On suppose que l'établissement du champ magnétique B est suffisamment lent pour que l'évolution de la trajectoire d'un électron sur une période soit faible et que l'on puisse considérer celle-ci quasi circulaire. On supposera de même que le moment cinétique en O de l'électron varie peu lors de l'établissement du champ, de sorte qu'on pourra à tout instant le confondre avec le moment cinétique initial. c) Montrer que la quantité rv peut alors être considérée constante. On notera C cette valeur. d) Déterminer le travail infinitésimal reçu par un électron pendant dt lors de l'établissement du champ magnétique, dû aux forces autres que l'attraction électrostatique exercée par l'atome. e) En déduire l'expression du travail total W de ces forces lors de l'établissement du champ et exprimer W en fonction de e, C et B1 . f) Comparer l'expression de W à la variation E d'énergie mécanique obtenue précédemment. Commenter. 3 avril 2012 11:35 Page 3/7 III Étude des ondes électromagnétiques émises III.A ­ Structure de l'onde émise On s'intéresse dans cette partie aux ondes électromagnétiques émises par un système constitué d'une particule fixe de charge e, placée à l'origine O du référentiel d'étude et d'une particule mobile de charge -e placée en M . On suppose que les coordonnées du point M sont de la forme : x(t) = a cos(+ t) + b cos(- t) y(t) = a sin(+ t) - b sin(- t) z(t) = c cos(t) avec + = + 1 /2 et - = - 1 /2. On donne de plus, pour un dipôle électrique pþ(t) variable placé en O, l'expression du champ électromagnétique créé par ce dipôle à l'instant t en un point M « très éloigné » du dipôle : B A3 4 2 þ - - -- d p þ K þ þ = þer E E(M, t) = 5 OM OM , B 2 r dt t-r/c c -- avec K constant, OM = rþer et où la notation 3 d2 pþ dt2 4 signifie que la dérivée doit être estimée à l'instant t-r/c t - r/c. Enfin on introduit les vecteurs unitaires þe+ (t) = cos(+ t)þex + sin(+ t)þey et þe- (t) = cos(- t)þex - sin(- t)þey . III.A.1) On considère un dipôle de direction fixe pþ = p(t)þez . Déterminer l'expression du champ électrique créé par ce dipôle en un point M quelconque en fonction des coordonnées sphériques relatives à M (cf figure 7). III.A.2) Proposer une interprétation qualitative du terme t - r/c. III.A.3) Montrer à l'aide de schémas que le système des deux charges précédemment défini peut être vu comme la superposition de deux dipôles de norme constante tournant en sens opposés dans un plan P1 et d'un dipôle oscillant de manière harmonique orthogonalement à P1 . Préciser le plan P1 . III.A.4) On prend un point M1 de l'axe Ox situé à grande distance de O. Déterminer l'expression du champ électrique rayonné par le système des charges au niveau du point M1 . On exprimera le champ en fonction de K, e, r, a, b, c, , + , - , cos((t - r/c)), sin(+ (t - r/c)) et sin(- (t - r/c)). Montrer que ce champ peut être vu comme la superposition de trois champs de polarisations rectilignes et de pulsations différentes et préciser sur un schéma. III.A.5) On prend maintenant un point M2 de l'axe Oz situé à grande distance de O. Déterminer de même l'expression du champ électrique rayonné par le système des charges au niveau du point M2 . Montrer que ce champ peut être vu comme la superposition de deux champs polarisés circulairement de pulsations différentes. Préciser sur un schéma. III.A.6) La figure 2 représente une partie du spectre d'émission pour un mélange d'atomes d'hydrogène (nombre de charge Z = 1, nombre de masse A = 1) et de deutérium (nombre de charge Z = 1, nombre de masse A = 2) placé dans un champ magnétique extérieur. La direction d'observation est perpendiculaire au champ magnétique. L'axe des ordonnées représente une grandeur proportionnelle à l'intensité. On observe deux groupes de trois raies d'émission, la différence d'intensité relative de ces raies est due à des effets dont on n'a pas tenu compte dans cette étude. a) Expliquer qualitativement la présence de ces deux groupes. b) On s'intéresse uniquement aux raies comprises entre les traits verticaux en pointillé. On note 0 la longueur d'onde émise en l'absence de champ magnétique et l'écart maximal entre les raies émises en présence de champ magnétique. On a 0 . Déterminer l'expression approchée de l'intensité B1 du champ magnétique régnant au voisinage de l'atome émettant ce rayonnement en fonction de m, e, 0 , et de la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide c. Faire l'application numérique. III.B ­ Étude d'un polarimètre III.B.1) Paramètres de Stokes Pour une onde électromagnétique plane progressive harmonique se propageant selon l'axe Oz dans le sens des z croissants, on donne en notation complexe A þ = B ei(t-kz) E 0 On définit de même quatre paramètres, appelés paramètres de Stokes par les relations : I = AA + BB , Q = AA - BB , U = AB + A B, V = i(A B - AB ). a) On considère une onde polarisée rectilignement caractérisée par son amplitude E0 et par l'angle entre l'axe Ox et la direction du champ électrique. Déterminer l'expression des paramètres de Stokes relatifs à cette onde. 3 avril 2012 11:35 Page 4/7 4 Intensité relative 3 2 1 0 656,0 656,1 656,2 (nm) 656,3 656,4 Figure 2 Spectre Zeeman d'un mélange hydrogène deutérium d'après C.C. Chu et J.D. Hey Contrib. Plasma Phys. 40(2000) 5­6, 597­606 b) Même question pour une onde d'amplitude E0 de polarisation circulaire droite. c) On donne enfin une onde dont les paramètres de Stokes sont les suivants : I = E02 , Q = 0, U = 0, V = E02 . Déterminer les amplitudes complexes A et B de cette onde et déterminer sa polarisation. On admettra par la suite que la donnée des quatre paramètres I, Q, U , V permet systématiquement de faire cette détermination. III.B.2) Dispositif à lames à retard On considère un dispositif constitué de deux lames à retard L1 , L2 et d'un polariseur P tous orthogonaux à l'axe Oz. On étudie l'action de ce dispositif sur une onde électromagnétique plane progressive harmonique se propageant selon l'axe Oz dans le sens des z croissants, dont la notation complexe est toujours A þ = B ei(t-kz) E 0 x x x P /4 z y y L1 y Axe lent L2 Figure 3 La lame L1 (respectivement L2 ) comporte un axe lent et un axe rapide, la propagation de la composante du champ électrique colinéaire à l'axe lent se faisant avec un retard de phase 1 (respectivement 2 ) par rapport à la composante colinéaire à l'axe rapide. Cette propagation s'effectue sans aucune atténuation. L'axe lent de L1 est selon Ox, celui de L2 fait un angle = +/4 avec l'axe Ox et le polariseur a sa direction de polarisation colinéaire à Ox. þ , a) Déterminer dans la base (þex , þey , þez ), à un terme multiplicatif près, l'expression des coordonnées de E 1 amplitude complexe du champ en sortie de la lame L1 . b) Déterminer de même dans la base (þex , þey , þez ) issue d'une rotation /4 de la base (þex , þey , þez ), à un terme þ , amplitude complexe du champ en sortie de la lame L2 . multiplicatif près, l'expression des coordonnées de E 2 3 avril 2012 11:35 Page 5/7 c) En déduire que l'intensité lumineuse en sortie de polariseur IP peut s'écrire : IP = K (I + Q cos 2 + (U sin 1 - V cos 1 ) sin 2 ) où K est une constante que l'on ne cherchera pas à déterminer et où I, Q, U et V sont les paramètres de Stokes de l'onde incidente. d) Donner les expressions de IP pour (1 , 2 ) prenant les couples de valeurs suivantes : (0, 0), (0, ), (0, /2), (0, 3/2), (/2, /2) et (/2, 3/2). III.C ­ Application III.C.1) Résolution spectrale et polarisation On donne figure 4 les spectres des rayonnements issus du polarimètre pour les configurations I, I + V et I - V (axe vertical vers le bas). Justifier l'allure de la figure obtenue. Quel est l'intérêt du polarimètre dans l'étude spectrale du rayonnement mis en évidence ici ? Figure 4 þ1 III.C.2) Orientation du champ B þ 1 n'est ni parallèle, ni orthogonal à la direction de visée Dans une configuration réelle, le champ magnétique B þ 1 et cette direction (cf figure 5). de l'étoile. On note l'angle entre B þ1 B Direction de visée Polarimètre + spectromètre Zone d'émission Figure 5 On note B1ë = B1 cos et B1 = B1 sin . Quels sont les réglages du polarimètre qui permettent, au niveau du rayonnement reçu, de s'affranchir de l'influence de B1ë ? Même question pour B1 . En déduire un autre intérêt du polarimètre pour la caractérisation de champs magnétiques. 3 avril 2012 11:35 Page 6/7 Données et notations Dans tout le problème i désigne le complexe tel que i2 = -1. z z þer M þez M r r y O O þe x x þe Figure 6 Coordonnées cylindriques Figure 7 Coordonnées sphériques Charge élémentaire e = 1,60 × 10-19 C Masse d'un électron m = 9,11 × 10-31 kg Masse d'un proton mp = 1,67 × 10-27 kg Perméabilité magnétique du vide µ0 = 410-7 H · m-1 Permittivité diélectrique du vide 0 = 8,85 × 10-12 F · m-1 Célérité de la lumière dans le vide c = 3,00 × 108 m · s-1 Rotationnel en coordonnées cylindriques 4 3 4 3 4 3 V Vz V 1 (V ) V 1 Vz - þ - - - þe + þe + þez rot V = z z Divergence en coordonnées cylindriques þ = div V 1 (V ) 1 V Vz + + z · · · FIN · · · 3 avril 2012 11:35 Page 7/7 þe þe y

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique 2 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Jeannin (École Polytechnique) ; il a été relu par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce sujet propose de découvrir une méthode de mesure du champ magnétique régnant à la surface du Soleil. Puisque bien évidemment on ne peut y aller ou y envoyer une sonde, on a recours à une méthode indirecte, grâce à l'effet Zeeman. Selon cet effet, qui valut à Zeeman le prix Nobel en 1902, le champ magnétique solaire scinde les raies d'émission spectrales présentes dans la lumière émise par le Soleil. Comme on sait relier le champ magnétique à l'écartement entre les raies, l'observation du Soleil via un spectrographe permet de reconstituer le champ magnétique à sa surface. · La première partie du sujet est une étude simple du mouvement d'un électron autour d'un atome. On se place donc dans un modèle planétaire classique (modèle de Rutherford). · Dans la deuxième partie, un champ magnétique fixe est introduit et ses effets sur le mouvement de l'électron sont étudiés. Le passage à un référentiel en rotation autour de l'axe du champ magnétique à une fréquence dépendant du champ magnétique, appelée fréquence de Larmor, permet de se ramener au cas du mouvement sans champ magnétique. On obtient la forme explicite des trajectoires dans quelques cas particuliers. La dernière sous-partie propose une approche énergétique du problème. · La troisième et dernière partie, largement indépendante des deux précédentes, est consacrée aux ondes émises par un atome à la surface du Soleil et au moyen d'observer le décalage de raies dû à l'effet Zeeman. Après avoir caractérisé le rayonnement suivant l'orientation relative de l'axe de visée et du champ magnétique, on introduit le formalisme de Stokes puis le dispositif polarimétrique permettant d'observer les raies spectrales, de mesurer leur décalage et de retrouver la valeur du champ magnétique. Ce sujet est assez long, mais de difficulté moyenne. Les commentaires du sujet sont limités au strict minimum, ce qui n'aide pas à relier les différentes parties. La première partie est très proche du cours. La deuxième nécessite de bien suivre la méthode de résolution, un peu inhabituelle. La troisième est indépendante des précédentes et demande des calculs plus compliqués, même si les principaux résultats sont donnés dans l'énoncé. Lire l'intégralité du sujet avant de commencer était, comme toujours, judicieux : cela permet de repérer les thèmes des différentes parties et de mieux organiser son temps au cours de l'épreuve, surtout quand les parties sont indépendantes. Indications Partie I I.B Penser à la conservation du moment cinétique. I.D L'ordre de grandeur de la taille d'un atome est 1 A = 10-10 m. Partie II II.A.2 Plutôt que de trouver directement la dimension de 1 à partir de son expression, utiliser l'homogénéité de l'équation trouvée à la question II.A.1. II.B.2 Dans un trièdre direct les vecteurs de base sont liés par des relations faisant intervenir le produit vectoriel, par exemple - ez = - ex - ey . II.B.4 Utiliser à la fois le résultat et la méthode de la question précédente. II.B.6 L'ordre de grandeur de F/m est le même que dans le cas déjà traité du mouvement circulaire. II.B.7 Il s'agit simplement de la composition de deux rotations de même axe. II.B.8 Écrire l'équation paramétrique d'un cercle dans le plan Ox z puis revenir dans le repère lié à R et utiliser les formules trigonométriques. - II.B.9 Remarquer que L est à tout moment orthogonal au plan du mouvement. Ensuite, écrire l'équation d'un cercle dans le plan du mouvement, projeter cette équation sur le plan Ox y . Utiliser les formules de trigonométrie comme à la question précédente. II.C.1.b Utiliser le résultat de la question I.C pour exprimer le rayon de la trajectoire en fonction de la pulsation . II.C.1.c Faire un développement limité de E autour de 0 . - - - - II.C.2.b Utiliser d'abord rot A = B pour déterminer Az et A , puis div A = 0 pour trouver A . II.C.2.c Utiliser la conservation du moment cinétique. - A II.C.2.d Un champ magnétique variable crée un champ électrique - . t III.A.1 III.A.3 III.A.5 III.A.6.b III.B.1.b III.B.1.c III.B.2.a III.B.2.b III.B.2.c Partie III - - - Projeter ez sur e et e . Les vecteurs unitaires introduits par l'énoncé sont utiles. - - - - - Calculer (- e + ez ) ez et (e- ez ) ez . Faire un développement limité autour de 0 . Pour une onde circulaire droite on a B = iA. Utiliser Q pour montrer que A et B ont même module. Ils ne diffèrent donc que d'une phase que U et V permettent de déterminer. Un retard de 1 correspond à une multiplication par e -i 1 . Passer d'abord dans la nouvelle base, puis introduire le retard. Revenir dans la base de départ pour prendre en compte l'effet du polariseur. Ensuite le calcul est assez lourd, mais le résultat est donné, il ne faut pas hésiter à l'utiliser pour guider la progression. Trajectoires électroniques dans un atome. Traitement du rayonnement Zeeman I. Atome isolé I.A D'après la loi de Coulomb, la force électrostatique exercée par le noyau, réduit ici à un proton de charge +e, sur l'électron de charge -e s'écrit - 1 -e2 - F = er 40 r2 La comparaison avec la formule de l'énoncé donne k= e2 40 - I.B Soit L le moment cinétique de l'électron par rapport au point O. Appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron, dans le référentiel galiléen R. - -- - dL = OM F dt Puisque la force comme le vecteur position sont tous deux portés par - er , -- - - OM F = 0 - Par conséquent, L est constant. Par définition, le moment cinétique est à tout moment orthogonal au vecteur position : la trajectoire est entièrement contenue dans le - plan fixe passant par O et orthogonal à L , donc La trajectoire est donc plane. I.C Montrons qu'une trajectoire circulaire est compatible avec le principe fondamental de la dynamique. Dans ce cadre la vitesse de l'électron s'écrit - v = a - e - - e . Comme e = - e , on obtient les accélérations tangentielle a - e et normale -a2 - r r Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le référentiel galiléen R. L'unique force étant portée par - er , l'accélération tangentielle est nulle et donc est une constante, notée 0 : le mouvement est uniforme. Utilisons maintenant le principe fondamental de la dynamique en projection sur le vecteur - er . En utilisant l'expression de l'accélération normale, il vient k -m a 0 2 = - 2 a r k d'où 0 = m a3 Une trajectoire circulaire est compatible avec le principe fondamental de la dynamique, à condition d'être un mouvement circulaire uniforme à la pulsation r k 0 = m a3 Ce résultat est classique et valable pour tous les mouvements à force centrale, indépendamment d'ailleurs de l'expression de la force. I.D L'ordre de grandeur du rayon d'un atome d'hydrogène est a 10-10 m. Calculons également k= e2 = 2,30.10-28 N.m2 40 Finalement, 0 1016 rad.s-1 Il est bon de connaître le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène, 52,9 pm. II. Atome placé dans un champ magnétique extérieur II.A Mise en équation II.A.1 Appliquons à l'électron le principe fondamental de la dynamique, dans le référentiel galiléen R. L'électron est soumis à la force de Lorentz, dont le terme - - - électrostatique est donné par F , auquel s'ajoute le terme magnétique -e v B1 : - - m- a = F -e- v B 1 - F - a = -- v - 1 m soit, en divisant par m, - II.A.2 La dimension de - a est L.T-2 , celle de v est L.T-1 . Par homogénéité de l'équation obtenue à la question précédente, - a pour dimension l'inverse d'un temps. 1 Avec B1 = 10 T, valeur indiquée par le texte introductif à la partie II.A, on trouve 1 1012 s-1 . L'ordre de grandeur maximal de 1 /0 est donc 1 /0 10-4 Mieux vaut utiliser l'homogénéité de l'équation de la question précédente plutôt que de partir de l'expression explicite de 1 pour en trouver la dimension. II.B Étude générale II.B.1 Avec les notations de la figure 6 en fin d'énoncé, la projection des vecteurs unitaires liés à R sur la base des vecteurs unitaires liés à R s'écrit (- e = cos - e + sin - e x x - ey - ez = - ez y - ey = - sin - ex + cos - ey - ey - ex - e x