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EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées
2011
Une étude dynamique de la couche limite
Ce problème met en jeu la notion de couche limite qui intervient lorsqu'on
étudie les écoulements laminaires, a
nombres de Reynolds néanmoins importants, autour d'un solide. Cette couche
assure le raccordement entre la
solution d'écoulement parfait qui prévaut loin du corps et la condition de
vitesse nulle sur les parois. L'étude
simplifiée proposée repose sur les travaux de deux physiciens allemands
spécialistes en mécanique des fluides.
-- Ludwig Prandtl (1875--1953) qui introduisit en 1904 la notion de couche
limite dans l'écoulement d'un fluide
autour d'un obstacle. Ses travaux le conduisirent également à établir la
théorie hydrodynamique de l'aile
portante d'envergure infinie dans un fluide parfait.
-- Heinrich Blasius (1883-1970) qui publia de nombreux mémoires sur les
écoulement de fluides visqueux autour
d'obstacles et dans les tuyaux cylindriques.
Formulaire : équation de Navier-Stokes d'un fluide newtonien visqueux
incompressible
--»
317 _ 4 --> s
# [& + (v - gra )v} = #9 -- gradp + 77A'U
I Préliminaire
On s'intéresse à un régime variable d'écoulement au sein d'un fluide visqueux
et incompressible dont le champ
des vitesses s'écrit 17 = voe(y,t)ü'æ. L'axe 055 est horizontal et la pression
ne dépend pas de m. Cela peut, par
exemple, concerner le régime transitoire d'accès à un écoulement stationnaire
de cisaillement simple.
I .A -- Rappeler, en introduisant la viscosité dynamique 77 dont on indiquera
l'unité S.I., l'expression de la
force de viscosité exercée, au niveau de la surface élémentaire d'aire (15 et
de normale %, par la portion de
fluide d'abscisses supérieures à y sur la portion de fluide d'abscisses
inférieures à y.
On dit que cette force traduit un transfert diffusif de quantité de mouvement.
Préciser cette notion en soulignant
en quoi cela diffère d'un transfert convectif. Quel phénomène simple explique
le brassage moléculaire qui est a
l'origine de cette diffusion ?
I .B -- Établir l'expression dÊ,iSC de la résultante des forces de viscosité
agissant sur l'élément de volume dT
défini par les intervalles (:s, 55 + dar), (y, y + dy), (z, 2 + dz).
I.C--
I.C.1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule
de fluide de volume d7' et
constater que l'on retrouve l'équation de Navier-Stokes dans le cas particulier
d'écoulement envisagé.
En cas d'échec à cette question (en particulier si l'on n'a pas répondu a la
question LB) on poursuivra en
utilisant l'équation de Navier--Stokes proposée dans le formulaire dont on
donnera toutefois la signification des
différents termes.
I.C.2) En projetant cette équation sur ü... obtenir l'équation aux dérivées
partielles vérifiée par væ(y,t)
appelée équation de diffusion. Lui donner une forme remarquable commune a
toutes les équations de diffusion
en introduisant la diffusivité de quantité de mouvement ou viscosité
cinématique y que l'on exprimera a l'aide
de 77 et de la masse volumique u. Quelle est l'unité 8.1. de 1/'?
I.D -- En quoi le phénomène de diffusion est-il irréversible et comment cela
est-il pris en compte dans
l'équation de diffusion? Donner une autre forme d'équations aux dérivées
partielles régissant des phénomènes
réversibles que l'on nommera.
I .E -- Grâce à l'équation de diffusion, établir un lien très simple entre la
viscosité cinématique 1/, la distance
caractéristique selon Oy : Ly, et la durée caractéristique 7' du phénomène de
diffusion. (On pourra exploiter un
raisonnement en ordre de grandeur ou une analyse dimensionnelle.)
II Ordre de grandeur de l'épaisseur d'une couche limite
On se propose d'évaluer l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche limite
(affectée par la viscosité) au
voisinage d'une plaque plane sur laquelle arrive un écoulement laminaire
uniforme de vitesse U = U &" parallèle
à la plaque.
U
_' 5($0)
_) $
330
_)
Figure 1
Cette zone qui assure le raccordement entre la condition de vitesse nulle
contre la plaque et l'écoulement uni-
forme, s'établit par diffusion perpendiculairement à la plaque à partir du
moment ou le fluide aborde l'extrémité
de celle-ci.
Estimer l'ordre de grandeur 6(m0) de l'épaisseur de la couche limite en
exploitant le résultat de la question I.E
et en tenant compte du fait que lorsque le fluide atteint l'abscisse 950 (à
partir de l'extrémité de la plaque), le
phénomène diffusif perpendiculairement à la plaque, s'est déjà produit pendant
la durée æ0 / U .
Rappeler l'expression du nombre de Reynolds si l'on prend OE0 comme dimension
caractéristique d'écoulement :
Reg....
Exprimer 5(OE0)/OE0 a l'aide de Remo.
Proposer alors un critère de pertinence pour l'utilisation de la notion de
couche limite.
III Cas d'un écoulement de Poiseuille plan
On considère maintenant l'écoulement d'un fluide visqueux entre deux plans
horizontaux d'abscisses y = --d/ 2
et y = +d/2. L'axe horizontal Oæ définit la direction et le sens de
l'écoulement tandis que l'axe Oy est vertical
ascendant : {J' = --güy.
Figure 2
III .A -- On considère une zone suflisamment éloignée de l'extrémité par
laquelle le fluide aborde le dispo-
sitif pour ignorer tout phénomène d'entrée et faire comme si les parois étaient
illimitées. On étudie alors un
écoulement stationnaire caractérisé par le champ des vitesses 17 = vm(y)üæ et
un champ de pression p(oe, y).
III.A.1)
@) Écrire l'équation locale du mouvement en mettant à profit le résultat de la
question I.B (ou en exploitant
l'équation donnée dans le formulaire). La projeter sur üoe et fig.
17) En déduire que Ôp/Ôoe = K (constante).
0) Donner la loi væ(y) en fonction de K , 7], y et d. Montrer que le profil des
vitesses est parabolique.
III.A.2) On note Ap = p(æ, y) -- p(æ + L, y) la différence de pression qui doit
exister entre deux points de
même altitude et distants de L selon 036 pour maintenir cet écoulement.
Établir l'expression du débit volumique DV à travers une section de largeur h
selon Oz en fonction de Ap, L,
h, d et 77.
Avec quelle loi électrique la relation entre Ap et DV suggère-t-elle une
analogie? Introduire une résistance
hydraulique.
III.A.3) Si, en maintenant Ap, on divise ci par 2, que devient le débit?
Quel débit total circule alors a travers deux dispositifs identiques
d'épaisseur d/2, chacun étant soumis a la
différence de pression Ap sur une longueur L ?
En déduire une différence importante avec la notion de résistance électrique.
III .B -- On examine maintenant le phénomène d'entrée dans le dispositif
précédent. Un fluide en écoulement
laminaire uniforme de vitesse Ü : U üoe pénètre dans l'intervalle situé entre
deux plaques planes parallèles au
plan 2702, distantes de d.
° ...
Figure 3
En exploitant le phénomène de croissance de couche limite a partir de l'arête
de chaque plaque (cf. partie II),
évaluer en fonction de U , d et u, la distance m1 parcourue par le fluide
depuis son entrée dans le dispositif avant
que s'établisse le profil parabolique de vitesse.
Montrer qu'on peut exprimer le rapport x1/d à l'aide du nombre de Reynolds si
l'on choisit judicieusement la
dimension caractéristique de l'écoulement.
IV Équation du mouvement dans la couche limite
On considère un écoulement laminaire stationnaire et incompressible, près d'une
plaque plane horizontale y = 0,
à nombre de Reynolds grand devant 1, de façon que la notion de couche limite
ait un sens. On se limite au cas
d'un écoulement uniforme hors de la couche limite : 'Üext : U %. Le fluide a la
masse volumique ,u et la viscosité
dynamique 7]. On adopte le modèle d'un écoulement bidimensionnel dans la couche
limite, caractérisé par le
champ des vitesses '5' = væ(oe, y)üm + vy(oe, y)zÏy et le champ de pression
p(oe, y).
--------- , couche limite
Î' vy<æ, y) | 1735 (m', y) 0'/ / //// /l////////>
CII
Figure 4
On admettra que, dans ce cas, la résultante des forces de viscosité agissant
sur un élément de volume d7' s'écrit
dFviSC = (Avmü'æ + Avyüy)dT.
I V.A -- Écrire l'équation traduisant l'incompressibilité.
I V.B -- Écrire les projections sur üm et Üy de l'équation fondamentale de la
dynamique en utilisant les
constantes [r, V et 9.
I V.C -- Raisonnement sur les ordres de grandeur
Pour évaluer (dans la couche limite) l'ordre de grandeur de la dérivée d'une
grandeur par rapport a IE, on
considère le quotient de cette grandeur par 550 (valeur << typique » de a:) et pour la dérivée d'une grandeur par rapport a y, on considère le quotient de cette grandeur par 5(æg) (épaisseur de couche limite en m0). Exemples : Ôvoe/Ôoe de l'ordre de vOE/oeo, ôvæ/ôy de l'ordre de voe/ô(oeo). IV.C.1) En utilisant l'équation obtenue au IV.A, relier les ordres de grandeur de um et % au nombre de Reynolds Remo. En déduire que Uy << vx. IV.C.2) Montrer également que (92% >> 82% et 82vy >> 82%
ôy2 8332 Ôy2 äoe2
IV.C.3) Montrer que
y ôy "' 855
sont du même ordre de grandeur.
Montrer, en se plaçant au bord extérieur de la couche limite, où vx est de
l'ordre de U que
2
Ô voe
1/
By?
est du même ordre que les deux termes précédents.
IV.C.4) Réécrire les équations du IV.B en les simplifiant grâce à IV.C.2. On
admettra que la faiblesse de
vy (en comparaison a %) conduit à ignorer toutes les dérivées partielles de %
lors de la projection sur %. En
déduire que
@ ... _
ôy ... #9
I V.D -- Puisque la couche limite est très étroite en altitude, et compte tenu
de la relation précédente, la
pression p, a sc donné, a quasiment la même valeur qu'à l'extérieur immédiat de
cette couche. Hors de la couche
limite (on rappelle que l'écoulement y est parfait) la pression dépend-t-elle
de a: ?
Que dire alors de % dans la couche limite ?
En déduire l'équation :
%; Ôvm + 3vx _ Uô2vm
% vyÔ_y_ ôy2
V Autosimilitude des profils de vitesse dans la couche limite dans
le cas d'une vitesse extérieure uniforme
On se sert
. des 2 échelles de longueur :
-- :co parallèlement à la plaque (direction des a:)
-- 5(OE0) : lio/« /Rem0 dans la direction des y
0 des 2 échelles de vitesse :
-- U dans la direction des a:
-- U/VRexÜ dans la direction des y
On définit ainsi des variables sans dimension :
a: y
/ I
117 = _a y :
mo
34 ; 'Uoe /
= Re -- v = -- v = Re
6(OE0) OE0 l'O, 56 U, y OEU
"_y
U
Écrire alors les équations IV.A et IV.D à l'aide de U;, vé, et de dérivées par
rapport à m' et y' . Ces nouvelles
équations seront notées V1 et V2. Leurs solutions sont de la forme vQ : f1(aï'
,y' ), v'y : g1(oe' ,y' ) donc
vw = Uf1(oe',y') et
U / / UU / / UU / / UU / /
v = w, = -- 50, = -- m' 117, = --h a:,
y Æ91( y) \/ 350 91( y) x v 91( y) \/ x 1( 11)
Or "ux et vy ne sauraient dépendre de l'échelle arbitraire 1170, par conséquent
les expressions f1(oe' , y' ) et h1(oe' , y' )
ne peuvent faire intervenir séparément m' et y' mais seulement une combinaison
de ces variables indépendante
de 1170, soit 9 = y'/Voe'. Ainsi
&: "..., vm=Uf(9) et vy=3/%h(ô)
Ainsi la variation de la composante 'UOE de la vitesse avec la distance y a la
plaque est toujours la même a un
facteur d'échelle
VOE
U
près, lorsque la distance x à l'arête change. De ce point de vue le profil de
vitesse dans la couche limite est dit
autosimilaire.
Avertissement : on peut poursuivre le problème en exploitant les résultats
ci-dessus même si l'on n'a pas traité
le V. De même l'équation de la question IV.D a été donnée. Il suffira d'avoir
obtenu l'équation très simple de
la question IV.A pour aborder la suite du problème.
VI Équation de Blasius pour un écoulement uniforme le long d'une
plaque plane
VI.A -- Grâce à l'équation IV.A, relier h'(0) à 0 et f'(9).
VI.B -- En déduire que
0
W) -- mm = à (9f(9) -- / f(ê) d£)
VLC -- Compte tenu des conditions aux limites montrer que h(0) = 0.
VI.D -- À partir de la formule de la question IV.D, montrer que
1 9
f"(9) = --äf'(9)/ f(£) d£ (équation de Blasius)
0
VII Résolution approchée de l'équation de Blasius
Avertissement : dans cette partie, les dérivées successives de la fonction f
seront notées, à partir de la dérivée
seconde, avec des exposants : f(2)(0), f(3)(0), f(4)(9).
Question préliminaire : les parties VILA et VII.B proposent d'envisager les
comportements à faible 0 ou
a grand 0. Que signifient physiquement 9 << 1 et 9 >> 1 ?
VILA -- Comportement de f(9) à « faible » 9
VII.A.1) Compte tenu des conditions aux limites montrer que f (0) = 0.
VII.A.2) En examinant l'équation de Blasius, préciser f(2)(0).
VII.A.3) En dérivant l'équation de Blasius et en exploitant les résultats des
questions VII.A.1 et VII.A.2,
préciser f(3)(0).
VII.A.4) En déduire que pour les « faibles >> valeurs de 0 : f(0) % Ûf'(0) +
b94 (à des termes en 05 près).
VII.A.5) En dérivant une nouvelle fois l'équation de Blasius, relier f ...(0) a
f'(0) et exprimer b en fonction
de f'(0).
VII.B -- Comportement de f(9) à « grand » 9
VII.B.1) Sachant que, hors de la couche limite, 17 = U 11}... calculer
lim f(9)
9-->oo
et montrer que
/09 f(ê) d£
se comporte comme 9, aux grandes valeurs de @.
VII.B.2) En déduire une forme approchée de l'équation de Blasius pour les «
grandes >> valeurs de EUR.
VII.B.3) Déduire la forme de f'(9) a « grand >> 0.
VII.B.4) Sans chercher de primitive de f'(0), conclure sur la façon dont f (0)
« rejoint >> sa valeur asymp-
totique quand 9 --> 00.
VII.C -- Graphe de f(9)
Le comportement quasi linéaire prolongé de f (9) suivi d'un comportement
asymptotique atteint de façon abrupte
nous conduit à modéliser le graphe de f (9) par sa tangente à l'origine jusqu'à
l'intersection avec l'asymptote. Cal-
culer & à cette intersection sachant qu'une intégration numérique de l'équation
de Blasius conduit a f' (0) = 1/3.
Tracer alors sommairement la courbe avec un coude réduit au voisinage de
l'intersection. On rappellera, sur
l'axe des abscisses, la signification de 0 et, sur l'axe des ordonnées, la
signification de f (9)
VIII Force de frottement subie par la plaque plane dans l'écoulement
uniforme
Le fluide situé du côté 3; > 0 exerce sur la portion (oe,æ + dæ)(z, 2 + dz) de
la face supérieure de la plaque :
--» 3 Ô
d2F...C : n [& + &] d...ü,
Ôy 8513 y=0
N.B. : le terme en Ôvy/ôoe s'explique par le fait que l'écoulement
bidimensionnel dans la couche limite n'est pas
un écoulement de cisaillement simple.
VIII. A -- Exprimer
--»
d2--Fvisc
doe dz
à l'aide de ,u, U, f'(0), V et äm (on rappelle que h(0) = O).
VIII .B -- En déduire la force de frottement par unité de longueur selon Oz,
subie par une plaque de longueur
L selon 065, en tenant compte de ses deux faces. On exprimera le résultat en
admettant f /(0) = 1/3. Commenter
l'exposant de U.
On pourra également exprimer cette force à l'aide de /...L, U, L et du nombre
de Reynolds Re L construit à partir
de la longueur caractéristique L.
IX Approche de la force de traînée par des bilans dynamiques
Avertissement : cette partie peut-être traitée indépendamment des parties
précédentes, si l'on excepte les
comparaisons suggérées.
Figure 5
On considère à nouveau l'écoulement stationnaire et incompressible d'un fluide
visqueux au-dessus d'une plaque
plane. Oe fluide arrive parallèlement à la plaque avec une vitesse uniforme Ü =
U 11}... loin en amont. On néglige
désormais les effets de la pesanteur sur le fluide et on supposera la pression
uniforme. On donne la masse volumi--
que [A et la viscosité dynamique 77 du fluide. La plaque a une longueur L selon
055 et une très grande dimension
selon Oz, si bien que l'on adopte une description bidimensionnelle de
l'écoulement dans laquelle la vitesse du
fluide s'écrit : 17 = væ(æ,y)äoe + vy(æ,y)üy. À grand nombre de Reynolds, il se
crée une couche limite mince
d'épaisseur locale e(m) sur laquelle voe varie de 0 a U. Les effets de
viscosité sont localisés dans cette couche.
IX.A -- On considère un volume de contrôle parallélépipédique : 0 < 56 < L, 0 < 3; < h, 0 < z < lm. IX.A.1) Grâce à un bilan de masse, relier L / vy(æ, h) dac 0 a une autre intégrale. IX.A.2) Effectuer un bilan de pm (quantité de mouvement selon 056), en choisissant h assez grand. Déduire la force linéique exercée par le fluide sur la face supérieure de la plaque, puis sur l'ensemble de ses deux faces, par unité de longueur selon 02. Le résultat sera présenté sous la forme T = T1ÏOE avec 11 T = 2uU2 /Û @(y)dy où qô(y) est une expression mettant en jeu diverses puissances du rapport voe(L, 11) U IX.B -- On admet que : y = _ < voe pour y \ e<æ>
vm(fv,y) = U pour y ? 6(OE)
avec
e(m) = 36(OE), ô(æ) = %, V = %
IX.B.1) Estimer la cohérence de cette description avec le graphe de f (0) tracé
au VII.C. On rappelle que
l'on avait posé vw : Uf(9) avec 9 = y/6(oe).
NB. La réponse a cette question n'est pas nécessaire aux calculs des questions
suivantes.
IX.B.2) Grâce à cette description, exprimer la force linéique de traînée T en
fonction de ,u, 1/, L et U.
Commenter ce résultat en le comparant avec celui de la partie VIII.
IX.B.3) Calculer le coefficient de traînée
et le relier au nombre de Reynolds ReL.
oooFINooo 
