Centrale Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Étude de la formation et de la croissance des stalactites
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, diffusion thermique, diffusion de particules
Mots clefs écoulement visqueux, changement d'état, bilan, loi de Newton, effet de pointe, instabilité, convection

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve : PHYSIQUE II Filière PC PHYSIQUE II Filière PC PHYSIQUE II Calculatrices autorisées. Le ruissellement d'eau sur une surface est un phénomène très courant (Partie I) qui joue un rôle essentiel dans la formation de stalactites. Ainsi, sur la voûte d'une grotte où ruisselle une eau chargée en carbonate de calcium, des concrétions de calcaire appelées stalactites peuvent se former et croître à partir de la voûte (cf. figure 1) par précipitation du carbonate de calcium selon la réaction chimique : Ca 2+ - + 2HCO 3 Figure 1 CaCO 3 ( s ) + CO 2, aq La croissance de la stalactite est pilotée par la diffusion du dioxyde de carbone rejeté par la solution dans l'atmosphère (Partie II). De même lorsque de l'eau de pluie ruisselle en hiver sur un garde-corps, on observe souvent la formation de stalactites de glace (figure 2). Après avoir étudié les conditions nécessaires à leur formation (Partie III) on étudie leur croissance pilotée par la diffusion thermique (Partie IV) et enfin on tente d'interpréter les ondulations de leur surface (Partie V). Dans tout le problème, le référentiel terrestre est supposé galiléen, e Z est un vecteur-unitaire orienté selon la verticale descendante et le champ de pesanteur g = ge Z est uniforme avec ­2 g = 9, 8 m u s . On prendra garde à ne pas confondre e Z et le vecteur unitaire e z qui est introduit dans certaines parties pour repérer la direction perpendiculaire à l'écoulement. Concours Centrale-Supélec 2009 Figure 2 1/13 PHYSIQUE II Filière PC Filière PC Partie I - Ruissellement d'eau sur une stalactite I.A - Étude d'un écoulement modèle On étudie dans un premier temps un écoulement incompressible et stationnaire d'eau (masse volumique + et viscosité dynamique d uniformes et constantes) sur un plan incliné faisant un angle e avec l'horizontale (cf. figure 3). On note h l'épaisseur du film liquide à l'abscisse x , supposée uniforme et constante et on cherche un champ des vitesses de la forme u ( M ) = u ( x, z ) e x . On rappelle l'équation de Navier-Stokes qui pilote l'écoulement : Du + -------- = ­ grad p + d6u + + g . Dt ez Figure 3 I.A.1) Montrer que u ( x, z ) ne dépend pas de x . Comment se simplifient alors les expressions de ex Du / Dt et de 6u ? eZ I.A.2) Expliciter la projection de l'équation de e Navier-Stokes sur e z et en déduire l'expression de la pression p en fonction de h , e , z , + , g et de la pression p 0 imposée par l'atmosphère à l'interface liquide-air. I.A.3) Établir l'équation différentielle dont est solution u ( z ) et en déduire son expression en fonction de z , g , e de la viscosité cinématique i = d / + et de deux constantes d'intégration. I.A.4) Quelle est la condition aux limites imposée par le plan incliné en z = 0 ? On néglige la viscosité de l'air. En considérant un élément de surface dS de l'interface eau-air sans masse, justifier la condition aux limites : £ ,u ¥ = 0. ¤ -----,z ¦ ( z = h ) I.A.5) I.A.6) vaut : Achever la détermination de u ( z ) en fonction de e , g , i = d / + , z et h . En déduire que le débit volumique pour une profondeur b selon e y 3 g sin eh b q = ------------------------3i Concours Centrale-Supélec 2009 (1) 2/13 PHYSIQUE II Filière PC I.B - Application aux stalactites On étudie désormais l'écoulement d'eau le long d'une stalactite réelle d'axe OZ et de rayon R ( Z ) pour laquelle on peut définir un angle e ( Z ) local (cf. figure 4) sur des échelles de temps telles que la croissance de la stalactite est imperceptible : R ( Z ) et e ( Z ) ne dépendent pas du temps. Du fait que h ( Z ) « R et que R et e varient doucement avec Z , on peut exprimer le débit volumique q ( Z ) à travers le plan de cote Z à l'instant t en utilisant l'expression (1) établie en I.A.6) en y remplaçant b par 2/R ( Z ) . I.B.1) À quel endroit de la stalactite l'expression de q ( Z ) ainsi obtenue est-elle erronée ? I.B.2) Le débit q ( Z = 0 ) = q 0 en haut Figure 4 de la stalactite est supposé indépendant du temps. Proposer une méthode de mesure expérimentale de q 0 . I.B.3) Montrer que l'épaisseur du film h est de la forme : 4/3 h = lc ( R sin e ) ­1 / 3 (2) où l c est une longueur caractéristique qu'on exprimera en fonction de q 0 , g , i . ­1 I.B.4) Pour une stalactite de calcaire on prend q 0 = 50 mL u h , R 0 = R ( Z = 0 ) = 5cm et e ( Z = 0 ) = / / 2 . La viscosité cinématique de l'eau vaut ­6 2 ­1 i = 10 m u s .Calculer l c , h 0 = h ( Z = 0 ) et la vitesse moyenne u m ( Z = 0 ) définie comme la vitesse d'un écoulement uniforme qui aurait le même débit volumique. I.B.5) Expliciter un nombre de Reynolds associé à cet écoulement en adoptant h 0 comme distance caractéristique. Le calculer numériquement avec les valeurs de la question I.B.4. Commenter. ­1 I.B.6) Le modèle n'est valable que si h / R < 10 . Quelle condition numérique en déduit-on sur R ? Concours Centrale-Supélec 2009 3/13 PHYSIQUE II Filière PC Partie II - Formation d'une stalactite dans une grotte Pour toute cette partie, on adopte les valeurs caractéristiques suivantes, données en ordre de grandeur pour la stalactite étudiée : Longueur de la stalactite L0 10 à 100 cm Rayon à la base R0 5 à 10 cm Épaisseur du film liquide h0 10+m Vitesse moyenne de l'écoulement um 1 à 10 mm / s Coefficient de diffusion pour tout soluté D 10 Taux d'allongement bL / bt 1 cm par siècle ­5 2 ­1 cm s II.A - Diffusion de CO 2 dans le film liquide et précipitation de CaCO 3 II.A.1) Justifier qu'on peut négliger le mouvement de l'eau lors de l'étude de la diffusion d'une espèce chimique dans le film liquide en évaluant numériquement le temps de diffusion o d des espèces chimiques dans l'épaisseur h de film liquide et le temps o L nécessaire pour que l'eau parcoure la stalactite de la base à la pointe. II.A.2) Justifier qu'on peut supposer le régime de diffusion stationnaire en comparant o d et la durée o h nécessaire pour que la stalactite croisse d'une longueur égale à l'épaisseur h 0 du film. II.A.3) On admet dans cette question que l'allongement de la stalactite équivaut formellement à l'ajout d'un disque de CaCO 3 à sa base. Estimer la masse ­3 de CaCO 3 (de masse volumique l CaCO3 = 2, 7 kg u m ) déposée par siècle, puis la masse de calcium correspondante. On donne le rapport des masses molaires M Ca / M CaCO = 0, 4 . 3 2+ ­1 Si on suppose que la concentration moyenne en ions Ca est de 150 mg u L pour l'eau qui ruisselle sur la stalactite, trouver en ordre de grandeur la proportion d'ions calcium qui précipite. Commenter en liaison avec la présence de stalagmites sous les stalactites. II.A.4) Compte tenu de la faible épaisseur Figure 5 z h du film d'eau, on adopte un modèle de difatmosphère fusion plane (cf. figure 5) : le système z + dz h est contenu dans un cylindre d'axe Oz et de z section droite dS et le nombre n ( z ) de molé0 cules de CO 2 par unité de volume, est indédS solide CaCO 3 pendant de x et y . Le carbonate de calcium solide CaCO 3 occupe le domaine z ) 0 , l'eau le Concours Centrale-Supélec 2009 4/13 PHYSIQUE II Filière PC domaine 0 ) z ) h et l'air le domaine z * h . Dans la solution aqueuse, la réaction de précipitation de CaCO 3 engendre une production de CO 2 telle que le nombre de molécules de CO 2 créé dans une tranche d'épaisseur dz pendant une durée dt vaut : n0 ­ n 2 b N c = --------------- dS dz dt oc où o c est une durée liée à la cinétique de la réaction de précipitation (en ordre 4 2+ de grandeur o c 5 10 s et n 0 une concentration liée à [ Ca ] et au pH qu'on peut raisonnablement supposer constante d'après l'étude de la question II.A.2. Montrer que n ( z ) est solution de l'équation différentielle : 2 n0 , n n --------2- ­ ----2- = ­ -----2b ,z b et expliciter b en fonction de o c et D et donner son ordre de grandeur. II.A.5) Exprimer n ( z ) en fonction de z , b et de deux constantes d'intégration A et B . II.A.6) Quelle idée simple traduit la condition aux limites ,n / ,z = 0 en z = 0 ? Comment se simplifie alors l'expression de n ( z ) précédente ? II.A.7) Le coefficient de diffusion de CO 2 dans l'air étant très supérieur à sa valeur dans l'eau, on le suppose infini, ce qui conduit à supposer que le nombre de molécules de CO 2 par unité de volume dans l'air est uniforme, égal à sa valeur n ' loin de la stalactite. Par ailleurs la condition d'équilibre chimique entre le dioxyde carbone dissous dans l'eau et le dioxyde de carbone présent dans l'air impose la condition aux limites n(z = h - ) = rn(z = h + ) avec r 5 1, 3 à T = 280 K (loi de Henry). En déduire l'expression de n ( z ) en fonction de n ' , n 0 , r , h , z et b . II.A.8) On suppose que h « b . Exprimer le vecteur densité de flux de molécules de CO 2 en z = h en limitant les calculs à l'ordre un en h / b . En utilisant le bilan chimique de la réaction de précipitation donné dans l'introduction du problème, en déduire que le nombre de molécules de CaCO 3 qui se dépose par unité de temps et par unité de surface de stalactite au voisinage d'un point où le film d'eau a pour épaisseur h est de la forme : 2 b N -------------- = mh et expliciter m en fonction de n 0 , n ' , r et o c . dSdt (3) II.A.9) La figure 6 donne l'allure des variations de m en fonction du pH pour ­4 une pression partielle en CO 2 dans la grotte égale à 3 u 10 bar . Commenter sachant que le pH de l'eau qui ruisselle est égal à 9 . Concours Centrale-Supélec 2009 5/13 PHYSIQUE II Filière PC II.B - Croissance et forme de la stalactite On revient à la stalactite réelle, décrite par le profil R ( Z ) . L'étude de la Partie I a montré que l'épaisseur du film d'eau en un point où le rayon de la stalactite vaut R et où son inclinaison par rapport à l'horizontale vaut e est donnée par l'expression (2) établie en I.B.3 : 4/3 h = lc ( R sin e ) ­1 / 3 Figure 6 (2) où l c est une longueur caractéristique du problème, dépendant notamment du débit de l'eau de ruissellement. II.B.1) En utilisant les relations (2) et (3), montrer que la vitesse de croissance V OE perpendiculairement à la surface de la stalactite est de la forme : ­1 / 3 V OE = a ( R sin e ) et exprimer a en fonction de m , l c , du volume molaire v m du carbonate de calcium et du nombre d'Avogadro N a . II.B.2) L'observation de stalactites conduit à supposer qu'elles tendent vers une forme asymptotique telle que la stalactite grandisse comme si elle se translatait verticalement avec une vitesse caractéristique V p constante. Exprimer à l'aide d'une figure, la relation très simple entre V p , V OE et e qui traduit cette hypothèse. II.B.3) On suppose désormais que e 5 / / 2 de telle sorte que sin e 5 1 et cos e 5 ­ d R / dZ . Établir l'équation différentielle dont est solution R ( Z ) . L'intégrer et obtenir le profil Z ( R ) en prenant R(Z = 0 ) = R 0 . Tracer l'allure du graphe et commenter. Concours Centrale-Supélec 2009 6/13 PHYSIQUE II Filière PC Partie III - Formation d'un germe de stalactite sur une main courante cylindrique en bois Un cylindre en bois, horizontal d'axe Ox , de longueur L et de rayon a , est soumis à une pluie verticale (cf. figure 7). Pour simplifier, on ne prend pas en compte le fait que la pluie tombe en gouttes, et on la modélise par un vecteur densité de flux de masse j m = s m e Z uniforme et stationFigure 7 naire. La température de l'air est T a inférieure à la température de fusion de la glace T f = 273 K sous la pression atmosphérique. La température de l'eau de pluie est Tg > Tf . On repère un point M de la surface du cylindre par son angle polaire _ par rapport à la verticale ascendante. On se place en régime stationnaire et on note T ( _ ) (respectivement D m ( _ ) ), la température (respectivement le débit massique), de l'eau qui s'écoule à la surface du cylindre. Les gouttes de pluie ne rebondissent pas sur le cylindre et l'eau ne peut quitter le cylindre qu'en _ = / . On néglige l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur de l'eau. On suppose l'eau incompressible et on note c sa capacité thermique massique. On suppose dans un premier temps que T ( _ ) > T f en tout point. III.A - Bilans de masse On envisage le système ouvert et fixe ( S ) constitué à chaque instant de l'eau s'écoulant sur le cylindre et comprise entre _ et _ + d_ . III.A.1) On suppose tout d'abord que 0 < _ < / / 2 . a) Établir l'équation différentielle : dD m ------------- = Las m cos _ d_ (4) b) Justifier sommairement que D m = 0 pour _ = 0 . Concours Centrale-Supélec 2009 7/13 PHYSIQUE II Filière PC c) En déduire l'expression de D m en fonction de a , L , s m et _ tracer l'allure du graphe de D m en fonction de _ pour 0 < _ < / / 2 . III.A.2) On suppose désormais que / / 2 < _ < / . En quoi la situation est-elle différente de celle qui prévalait en III.A.1 ? Compléter sans nouveaux calculs le graphe de D m pour / / 2 < _ < / . III.A.3) Justifier par ailleurs par un raisonnement global que D m (_ = / ) = aLs m et vérifier la cohérence avec la question précédente. III.B - Bilans d'énergie On envisage toujours le système ouvert et fixe ( S ) constitué à chaque instant de l'eau s'écoulant sur le cylindre et comprise entre _ et _ + d_ et on note H son enthalpie, supposée indépendante du temps (régime stationnaire). III.B.1) Indiquer sans calculs la valeur de T ( _ ) si on néglige tout transfert thermique de l'eau aussi bien vers l'atmosphère que vers la main courante cylindrique. Dans la suite, on néglige toujours les transferts thermiques entre l'eau et la main courante mais on suppose désormais que l'eau en écoulement sur la main courante, reçoit de la part de l'atmosphère, à travers un élément de surface 2 cc dS pendant dt , un transfert thermique de la forme b Q = h ( T a ­ T ( _ ) )dSdt où cc h est une constante positive. On admet que l'enthalpie massique de l'eau liquide à la température T s'écrit cT + K et on prend la constante K nulle pour alléger les calculs. III.B.2) On étudie le cas 0 < _ < / / 2 . a) On envisage le système fermé ( S * ) constitué de ( S ) et de la masse d'eau qui va y entrer pendant dt soit par ruissellement sur la main courante en _ , soit par captation directe de la pluie. Exprimer son enthalpie H * ( t ) en fonction de H , a , L , s m , _ , D m ( _ ) , c , T ( _ ) et T g . b) À l'instant t + dt , ( S * ) est constitué de ( S ) et de la masse d'eau qui en est sortie pendant dt par ruissellement en _ + d_ . Exprimer son enthalpie H * ( t + dt ) en fonction de D m ( _ + d_ ) , T ( _ + d_ ) , c , T ( _ + d_ ) et H . cc c) On pose ` = h / cs m . Établir l'équation différentielle : d ------- ( ( T ­ T g ) sin _ ) = ` ( T a ­ T ) d_ (5) d) En _ = 0 , on a dT / d_ = 0 ; interpréter sommairement. En exploitant (5), exprimer T(_ = 0 ) en fonction de T a , T g et ` . La figure 8 donne T ( _ ) pour 0 < _ < / / 2 , pour T a = 272 K , T g = 274 K et diverses valeurs de ` . Vérifier la pertinence de l'expression de T(_ = 0 ) . Concours Centrale-Supélec 2009 8/13 PHYSIQUE II III.B.3) On se place dans le domaine / / 2 < _ < / . En opérant comme en III.B.2, on montre (travail non demandé) que T (_) est solution de l'équation différentielle : dT -------- + ` ( T ­ T a ) = 0 . d_ Filière PC Figure 8 274 273.8 273.6 273.4 273.2 273 272.8 0.2 0.4 a) En déduire l'expression de T ( _ ) en posant T(_ = / / 2 ) = T ( / / 2 ) . Tracer l'allure d'un graphe de T ( _ ) pour 0 < _ < / en utilisant une des courbes au choix de la figure 8 et en admettant la continuité de dT / d_ en e = / / 2 . b) Quel est le point de la main courante le plus propice à la formation de glace ? c) Indiquer en justifiant brièvement la réponse si l'apparition de glace est favorisée ou défavorisée lorsqu'on remplace la main courante en bois par une main courante en métal. 0.6 0.8 1 xxxxx xxxxx 1.2 modèle du corps de la stalactite cylindrique longueur L(t) 1.4 film liquide 272.6 Figure 9 Partie IV - Croissance d'une stalactite de glace On schématise la stalactite de glace (cf. figure 9) par un cylindre d'axe vertical, de rayon R ( t ) et de longueur L ( t ) , accroché en Z = 0 à un support fixe. De l'eau ruisselle avec un débit massique q 0 constant à la base Z = 0 de la stalactite. L'épaisseur h du film de liquide est uniforme sur la surface de la stalactite. On suppose pour simplifier que toute la stalactite et l'eau de ruissellement sont à la température de fusion T f , alors que l'atmosphère est à la température T a < T f loin de la stalactite. On suppose également que l'eau liquide et la glace ont même masse volumique + . On donne l'enthalpie massique de fusion de la glace lF . IV.A - Modèle conducto-convectif Dans cette question, on suppose que l'atmosphère fournit pendant une durée dt à travers un élément d'interface air-eau dS une chaleur donnée par la loi de 2 cc cc Newton : b Q = h ( T a ­ T f ) dS dt où h est une constante positive donnée et T a la température de l'atmosphère loin de l'interface stalactite-air. Cette loi Concours Centrale-Supélec 2009 9/13 PHYSIQUE II Filière PC prend en compte de manière phénoménologique le couplage entre la diffusion thermique et la convection au voisinage de l'interface stalactite-air. IV.A.1) On définit un système fermé constitué à l'instant t de la tranche de stalactite de rayon R ( t ) comprise entre les cotes Z et Z + dZ et de l'eau liquide qui stagne à sa surface (on peut ici négliger son mouvement). On néglige ici tout phénomène de croissance verticale. À l'instant t + dt , ce système est constitué de la tranche de stalactite de rayon R ( t + dt ) et de l'eau qui ne s'est pas condensée. Exprimer la variation d'enthalpie de ce système fermé entre les instants t et t + dt . IV.A.2) Exprimer la chaleur bQ reçue par ce système de la part de l'atmosphère entre les instants t et t + dt . cc IV.A.3) En déduire la vitesse de croissance radiale d R / dt en fonction de h , + , l F , T f et T a . IV.A.4) Un raisonnement analogue (non demandé) conduit à une vitesse de croissance axiale dL / dt ayant la même valeur que d R / dt . Évaluer grossièrement à l'aide des clichés (cf. figure 2), le rapport L / R du taux de croissance vertical dL / dt sur le taux de croissance radial d R / dt et conclure. IV.B - Effet de pointe On modifie le modèle précédent au niveau de la pointe : on suppose les effets conducto-convectifs négligeables devant les effets purement diffusifs, de telle sorte qu'on n'exprime plus la chaleur échangée avec l'atmosphère avec la loi de Newton. On modélise désormais la pointe de la stalactite comme une boule de rayon a et de centre O supposée isolée dans une atmosphère de conductivité thermique h qui remplit le reste de l'espace. On cherche un champ de température T ( r ) à symétrie sphérique, solution de l'équation de la diffusion thermique en régime stationnaire à l'extérieur de la boule ( r * a ). On néglige la convection. IV.B.1) Donner sans justification l'équation aux dérivées partielles dont est solution T ( r ) . Montrer que le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle est solution de la même équation. Justifier qu'on peut chercher un champ de température de la forme T ( r ) = _ + ` / r . IV.B.2) Achever la détermination de T ( r ) avec les conditions aux limites T(r = a ) = T f et T(r = ' ) = T a . IV.B.3) En déduire que le flux thermique q reçu algébriquement par la pointe de la stalactite se met sous la forme q = G ( T a ­ T f ) et expliciter G en fonction de h et a . Concours Centrale-Supélec 2009 10/13 PHYSIQUE II Filière PC IV.B.4) On suppose que le flux thermique reçu algébriquement par la pointe hémisphérique d'une stalactite est en ordre de grandeur égal à la moitié du flux évalué en IV.B.3. En déduire le facteur d'amplification de dL / dt qui en résulte au voisinage de la pointe par rapport à sa valeur obtenue en IV.A avec la loi de Newton en fonction de h , h et a . Avec ­2 Figure 10 ­1 ­1 cc ­1 ­2 et h = 10 W u K u m , cet effet vous paraît-il à même de résoudre les difficultés apparues en IV.A.4 ? IV.B.5) L'effet de pointe se manifeste aussi en électrostatique : au voisinage d'une pointe, le champ électrique peut atteindre le champ critique E m permettant l'air de s'ioniser. Quel est l'analogue thermique du champ électrique ? IV.B.6) On observe expérimentalement que la stalactite est « creuse » et remplie d'eau liquide dans sa phase de croissance. Au niveau de la pointe, l'eau se solidifie donc seulement sur un anneau d'épaisseur e « a , à la base de la goutte d'eau liquide hémisphérique (cf. figure 10). cc En déduire le nouveau facteur d'amplification de dL / dt en fonction de h , h , e et a . Faire l'application numérique pour L / R avec les valeurs expérimentales e = 80+m et a = 5 mm . h = 10 WuK um Concours Centrale-Supélec 2009 11/13 PHYSIQUE II Filière PC Partie V - Ondulations sur la surface des stalactites On observe très souvent des ondulations sur la surface des stalactites (cf. figure 11) dont la période spatiale R est de l'ordre de quelques millimètres. V.A - Interprétation de l'instabilité On suppose que la stalactite est ondulée, son rayon R ( Z ) étant modélisé par une fonction créneau de période R et de valeurs extrêmes R ­ et R + (cf. figure 12). L'étude de la Partie I a montré que l'épaisseur du film d'eau en un point où le rayon de la stalactite vaut R est donnée par l'expression : 4/3 h = lc R ­1 / 3 (2) où l c est une longueur caractéristique du problème, dépendant notamment du débit de l'eau de ruissellement. On note h + et h ­ les Figure 11 épaisseurs du film d'eau associées respectivement à R + et R ­ . On suppose la température de l'atmosphère uniforme égale à T a et celle de la glace uniforme égale à T f . V.A.1) On considère une couronne cylindrique de hauteur L , de conductivité thermique h , comprise entre deux surfaces cylindriques de même axe OZ , de rayons respectifs r 1 et r 2 ( r 1 < r 2 ), maintenues respectivement aux températures constantes T 1 et T 2 . Déterminer l'expression de la densité volumique de courant thermique, la diffusion thermique étant radiale. En déduire le flux thermique \ s'écoulant vers l'extérieur, puis la conductance G = \ / ( T 1 ­ T 2 ) en fonction de h , L , r 1 et r 2 . V.A.2) En déduire la conductance thermique G ­ (respectivement G + ) du film d'eau liquide de hauteur R / 2 et de rayon R ­ (resp. R + ) en fonction de R ­ (resp. R + ), R , h , l c . V.A.3) À l'aide de bilans thermiques analogues à ceux faits dans la Partie IV, on montre (travail non demandé) que le rapport des taux de croissance des rayons vaut : G+ R­ d R + / dt ---------------------- = ---------------- . d R ­ / dt G­ R+ Figure 12 En déduire qu'une irrégularité de la surface initialement faible peut s'amplifier. V.A.4) La formation d'une interface glace-eau est associée à une énergie potentielle E p = AS où A > 0 est le coefficient de tension superficielle et S l'aire de l'interface. Justifier que la prise en compte de cette énergie potentielle Concours Centrale-Supélec 2009 12/13 PHYSIQUE II Filière PC modère l'effet d'origine thermique décrit en V.A.3. Cette modération est-elle plus efficace pour les grandes ou les petites valeurs de R ? V.B - Période spatiale des ondulations V.B.1) L'analyse précédente suppose qu'il n'y a pas de conduction thermique selon e Z , ce qui est inexact. Du fait du mouvement de l'eau, l'équation dont est solution le champ de température s'écrit : ,T D th 6T = ------- + v u gradT ,t ­7 2 (6) ­1 où D th = 10 m u s est la diffusivité de l'eau liquide. Interpréter sans calculs la forme du membre de droite de l'équation (6). Dans la suite, on néglige le terme ,T / ,t . V.B.2) Par une simple analyse en ordre de grandeur de l'équation (6), exprimer la période spatiale R des ondulations en fonction de la vitesse moyenne u m de l'écoulement, de son épaisseur h 0 et de D th . V.B.3) L'article de Furukawa et Ogawa publié dans Physical Review E 66,041202 (2002) montre qu'une résolution effective de l'équation (6) ne modifie l'expression de R que par un facteur multiplicatif supplémentaire égal à 2, 2 . ­2 ­1 En déduire la valeur numérique de R avec h 0 = 0, 1mm et u m = 3 u 10 m u s . Conclure. ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2009 13/13

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 Centrale Physique 2 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet aborde différents phénomènes à l'origine de la formation et de la croissance des stalactites, et donne une explication aux ondulations observées sur celles-ci. Il se compose de cinq parties indépendantes. · Dans la première partie, on étudie le phénomène de ruissellement d'eau sur une surface plane ; il s'agit d'un exercice proche du cours de mécanique des fluides. · Les résultats obtenus sont appliqués dans la deuxième partie à un modèle qui prend aussi en compte le phénomène chimique sous-jacent. Cette partie utilise le cours de diffusion de particules à une dimension. · La troisième partie traite de la formation d'un germe de stalactite, grâce à des bilans macroscopiques. Le cours sur les bilans en mécanique des fluides suffit pour l'appréhender. · On étudie la croissance des stalactites dans la quatrième partie grâce à un modèle plus élaboré où l'on introduit les changements d'état puis la diffusion thermique. · La dernière partie s'intéresse à la description des ondulations constatées à la surface des stalactites en étudiant une instabilité hydrodynamique. On n'y aborde pas de nouveau thème et les raisonnements y sont essentiellement qualitatifs. Ce sujet porte exclusivement sur le programme de deuxième année ; il est de surcroît entièrement abordable par un élève de la filière PSI. Des résultats intermédiaires sont donnés ou rappelés tout au long de l'énoncé. Il ne comporte aucune difficulté calculatoire, les questions de mécanique des fluides restant très proches du cours ; la résolution des questions plus difficiles passe par l'écriture correcte de bilans macroscopiques. Indications Partie I I.A.4 Appliquer la seconde loi de Newton. I.A.6 Le débit volumique q s'exprime comme l'intégrale du champ de vitesse sur une section plane de largeur b. I.B.1 La formule du débit est valable pour un écoulement plan. I.B.2 Utiliser la conservation du débit pour en déduire h. Partie II II.A.3 Calculer la masse de calcium qui s'est écoulée le long de la stalactite, et faire le rapport avec celle qui a précipité pendant la même durée. Attention notamment à l'erreur qui s'est glissée dans le sujet, la masse volumique CaCO3 donnée est en effet mille fois trop faible (2,7 kg.m-3 au lieu de 2 700 kg.m-3 ). II.A.4 Effectuer un bilan de matière sur le système entre les instants t et t + dt. II.B.1 Calculer la variation élémentaire de volume de deux façons différentes. II.B.3 Intégrer l'équation en séparant les variables R et Z. Partie III III.A.2 L'eau est contrainte à rester sur la main courante pour > /2. III.B.2.a Exprimer les différentes masses reçues pendant dt par le système pour aboutir à l'enthalpie de (S ). III.B.2.c Appliquer le premier principe au système (S ). III.B.3.c Le métal augmente la conductivité thermique de la main courante. Partie IV IV.A.1 Relier l'enthalpie massique de fusion de la glace F à la variation d'enthalpie du système pendant la durée dt. IV.A.3 Le raisonnement est le même que pour la question III.B.2.a. IV.B.4 Établir un bilan enthalpique mettant explicitement en jeu la croissance verticale de la stalactite, et considérer le transfert thermique avec l'atmosphère à travers la demi-sphère modélisant la pointe. IV.B.6 Même démarche qu'à la question IV.B.4, mais en considérant la solidification radiale sur une épaisseur e. Partie V V.A.1 Écrire un bilan thermique en symétrie cylindrique et en régime permanent pour en déduire - , connaissant les conditions limites de température. + R+ pour exprimer G+ . V.A.3 Utiliser le fait que h- - - V.B.2 Comparer les distances caractéristiques d'évolution des deux membres de l'équation afin de faire le bon choix. I. Ruissellement d'eau sur une stalactite I.A Étude d'un écoulement modèle I.A.1 L'incompressibilité de l'écoulement impose div - u =0= ux uz + x z - Comme u est orienté seulement selon - ex , il reste ux =0 x Ainsi, u ne dépend pas de x. - En régime permanent on a de plus - u /t = 0 , et comme u ne dépend que de la variable z, -- D- u - u = + (- u · grad )- u Dt t -- - = 0 + (- u · grad )- u = u - u ex x - D- u = 0 Dt Finalement, - 2 u - u = ex z 2 - I.A.2 Projetons l'équation de Navier-Stokes sur ez pour obtenir p - µg cos z Ainsi, en notant f la fonction ne dépendant que de x résultant de l'intégration de l'équation par rapport à la variable z, il vient 0=- p(x, z) = -µgz cos + f (x) Or, par hypothèse On en déduit donc p(x, h) = p0 f (x) = p0 + µgh cos p(z) = p0 - µg(z - h) cos On néglige tout phénomène de tension de surface en admettant la continuité de la pression à l'interface liquide-air. De plus, la forme obtenue pour p(z) correspond à une répartition hydrostatique de pression dans la direction orthogonale à l'écoulement. I.A.3 De même, la projection sur - ex fournit p 2u - + µ g sin + =0 x z 2 2u 1 p µ g d'où =- - sin 2 z x Or, p/x = 0, et avec = /µ la viscosité cinématique, il vient u g sin =- z+C z où C est une première constante d'intégration. On déduit l'expression de la vitesse de l'écoulement par une seconde intégration u(z) = - g sin 2 z + Cz + D 2 où D est la seconde constante demandée. I.A.4 Le support est fixe dans le référentiel d'étude, et le fluide est visqueux donc la vitesse tangentielle s'annule en z = 0, soit u(0) = 0 Considérons une tranche de fluide sans masse (dm 0) à l'interface eau-air. En notant az la projection sur - ez de l'accélération de ce système, la seconde loi de Newton s'écrit u u - 0 × az = (z = h ) - air (z = h+ ) z z Ainsi, en négligeant la viscosité de l'air, on obtient la condition limite voulue u (z = h) = 0 z L'énoncé demande de considérer un système sans masse. On peut justifier l'annulation de dm × - a lorsque dm 0 par la valeur finie de l'accélération. I.A.5 La condition u(0) = 0 impose D = 0 et l'annulation de la dérivée de u en h g sin C= h Finalement, l'expression complète de u sous ces conditions s'écrit u(z) = g sin z(2h - z) 2 I.A.6 Intégrons le champ de vitesse sur une section de profondeur b orthogonale à l'écoulement pour obtenir le débit volumique q Z h q=b u(z) dz 0 Z g sin h =b (2hz - z 2 ) dz 2 0 b g sin h3 = h3 - 2 3 q= g sin h3 b 3 (1)