Centrale Physique 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Navigation côtière. Sillage des avions et des bateaux.
Principaux outils utilisés électromagnétisme, acoustique, mécanique des fluides, ondes
Mots clefs dipôle oscillant, ondes de surface, sillage, navigation côtière, bang supersonique

Corrigé

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Concours Centrale - Supélec 2007 Épreuve : PHYSIQUE II Filière PC PHYSIQUE ll Filière PC PHYSIQUE Il Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Le premier problème, plus court, s'intéresse à deux techniques de navigation côtière, l'une à l'aide d'un compas, l'autre a l'aide du signal émis par un radiophare. Le second pro- blème a pour objectif la comparaison du sillage d'un avion ou d'un obus supersonique à celui d'un bateau. Les calculatrices sont autorisées. On rappelle les identités + % + + div(kV) : gradk-V+ÀdivV % + % + %à rot(kV) : gradk A V+krotV + % H+ % + AV : --rot(rotV)+grad(divV) Partie I - Navigation côtière Un navire, à l'approche du port, doit nécessairement effectuer une navigation précise afin d'éviter les dangers de la côte (rochers, haut-fonds, courants, etc...). Nous allons étudier quelques outils de la navigation côtière. Les parties I.A et LE sont indépendantes. I.A - Navigation à vue Par temps clair, il est possible de repérer à l'oeil des balises (bouées ou phares). Une bous- sole appelée compas de relèvement, pointée sur la balise, indique la direction de celle-ci par rapport au nord magnétique. I.A.1) Le champ magnétique terrestre a) Représenter la terre et les lignes du champ magnétique terrestre orientées. b) Quel est l'ordre de grandeur de l'intensité du champ magnétique terrestre ? À l'aide d'un schéma, représenter ce vecteur champ en un point de l'hémisphère nord. I.A.2) La déclinaison a) Pour reporter sur la carte la position du navire, il faut ajouter àla valeur magnétique lue sur le compas, l'angle de déclinaison. En effet le Nord magnétique et le Nord géogra- phique ne sont pas confondus. On appelle déclinaison en un point, l'angle que fait la direction du Nord magnétique avec celle du Nord géographique. Cet angle est noté posi- tivement dans le sens Nord-Est. La valeur de la déclinaison est-elle constante ? uniforme ? Si ce n'est pas le cas, de quoi dépend-elle ? b) Actuellement, en Bretagne, la déclinaison est égale à --4° . À l'aide d'un schéma, indi- quer les positions respectives du navire, des balises (l) et (2) sachant que les mesures effectuées sur le navire à l'aide du compas donnent 49° pour la balise (l) et 94° pour la balise (2). LE - Navigation par temps de brouillard Par temps de brouillard, il n'est plus possible de repérer à vue les balises. Certains pha- res importants, par exemple le phare de Cordouan à l'entrée de la Gironde, émettent des Concours Centrale-Supélec 2007 1/8 PHYSIQUE ll Filière PC Filière PC signaux électromagnétiques codés que l'on peut détecter et ainsi positionner le navire par rapport au phare. I.B.1) Rayonnement d'un dipôle oscillant L'atmosphère terrestre a les propriétés électriques du vide : _ _ _ _ > 80=(1/36n)109F'm1;u0=4n107H-m1 2 er Un dipôle oscillant de moment dipolaire Ë(t) : Ëocosoet eq) est placé à l'origine O de l'espace le long de l'axe Oz . On 50 , @ étudie le rayonnement émis en un point M repéré par ses coordonnées sphériques r , 6, cp (figure 1). v'< a) Sous certaines conditions, le champ magnétique créé au 0 point M par le dipôle s'écrit : 2 + x Ë(M, t) = 4310 d--2ÿ(t-- f)] A e,. H di 0 c est la vitesse de la lumière dans le vide. Cette formule est obtenue sous certaines conditions ; les préciser et dégager leur contenu physique. b) En notation complexe Ê(t) : Ëoejoe' ;donner alors l_3 (M , t) en notation complexe en introduisant le nombre d'onde k : oe/c . 0) Préciser la zone de rayonnement du phare si celui-ci émet un signal de fréquence 100 kHz . Conclure. % + d) Sachant que le champ électromagnétique (E, B) possède localement la structure d$une onde plane progressive dans la direction È... en déduire l'expression complexe E(M, t)- à e) Définir le vecteur de Poynting H(M , t) et préciser sa signification physique. % Calculer H(M , t) en notation réelle, puis sa valeur moyenne dans le temps. f) Calculer la puissance moyenne  : 20 kW . On suppose que les caractéristiques d'émission du radiophare sont analogues à celles du dipôle oscillant étudié en I.B.1. Calculer la valeur efficace U obtenue entre les bornes A et B . (1 mille marin : 1852 m ). Partie II - Ondes dans les fluides Tout le monde a pu observer le V se formant à la surface de l'eau dans le sillage d'un bateau ou d'un animal (canard...) ; d'autre part, on peut trouver de très belles photogra- phies faisant apparaître un sillage en V créé par un avion rapide, un obus ou une balle de fusil. L'objet de ce problème est de comparer les deux phénomènes et d'en fournir des modèles théoriques élémentaires. Photo 4 : sillage d'un catamaran Concours Centrale-Supélec 2007 3/8 PHYSIQUE II Filière PC Dans les deux premières parties, on étudie les ondes qui vont servir de support à ces modèles théoriques (ondes sonores pour le sillage de l'avion et ondes de surface libre pour le sillage du bateau). Malgré cela, les deux dernières parties peuvent, dans une large mesure, être abordées de façon indépendante. II.A - Propagation du son On cherche à étudier la propagation du son dans l'air que l'on assimilera à un gaz parfait. On note respectivement u , P , T, 3 la masse volumique, la pression, la température et la vitesse locale d'écoulement. Les valeurs correspondantes sont ...) , Po , T0 , 0 à l'équi- libre. Les écarts de ces grandeurs par rapport à l'équilibre sont les grandeurs acousti- ques. Les effets de la pesanteur sont négligés devant ceux de l'onde sonore. II.A.1) Approximation acoustique a) On supposera la température uniforme à l'équilibre. Justifier que la masse volumique à l'équilibre est également uniforme. b) L'appr0ximati0n acoustique permet de se limiter à des équations d'ordre 1 . À quoi se réduit alors l'équation d'Euler ? c) Écrire de même la forme approchée à l'ordre 1 de l'équation de bilan massique. d) Le coefficient de compressibilité isentropique est défini par _ 1 6 M XS _ " (ôP)s . En déduire une relation de proportionnalité entre la surpression acoustique p = P -- Po et l'écart de masse volumique u -- u0 . e) Montrer que p est solution d'une équation de d'Alembert. Préciser la célérité (: cor-- respondante. f) Montrer que la dérivée locale de la vitesse par rapport au temps est un champ de gra- dient. En déduire que l'écoulement est potentiel. g) Montrer que Y) est solution d'une équation de d'Alembert. Préciser la célérité corres- pondante. h) Le milieu étudié est-il dispersif ? II.A.2) Aspect énergétique + a) On définit le vecteur J : pi) . Quelle est la signification du flux de J a travers une surface 2 ? Quel est le vecteur jouant le même rôle pour les ondes électromagnétiques ? b) On pose e : %u0v2+ ap2. Quelle doit être la dimension physique de a pour que l'expression de e soit homogène ? Indiquer la nature physique de e . c) Montrer que l'on peut trouver a de telle sorte que ô_e + divî : 0 . Vérifier la dimension physique de a et indiquer la signification physique de l'équation ainsi établie. II.A.3) Ordres de grandeur L'air est assimilé à un gaz parfait diatomique ; conformément à l'usage, on note y le rap- port des capacités thermiques à pression constante et à volume constant et R la cons- Con00urs Centrale-Supélec 2007 4/8 PHYSIQUE ll Filière PC tante molaire des gaz parfaits. y = l, 4 et R = 8, 314 J ° K "1 ° mol"1 . La masse molaire moyenne de l'air est M = 29 g ° mol_ . La température d'équilibre est T() = 300 K et la pression d'équilibre est P0 = l, 013 ° 105 Pa. a) Rappeler la valeur numérique de MO et préciser son unité. b) Exprimer le coefficient de compressibilité xs en fonction de la pression et du coeffi- cient y . c) En déduire l'expression de la célérité du son dans l'air en fonction de y , R , T0 et M . Calculer numériquement cette célérité. 01) On définit l'intensité sonore comme la valeur moyenne de la puissance sonore surfa- cique. On choisit une valeur de référence I 0 = 10_1 W ° m--2 , valeur qui correspond au seuil d'audition d'une oreille moyenne à la fréquence de 1 kHz. Déterminer, pour une onde plane progressive ayant cette intensité sonore, les amplitudes de la surpression et de la vitesse acoustique. Quelle est l'amplitude du déplacement du fluide lié a l'onde sonore ? La comparer a la longueur d'onde. Montrer que l'approximation acoustique est valable. Vérifier que les effets de la pesanteur sont bien négligeables devant ceux de l'onde sonore. e) On utilise souvent une échelle logarithmique pour indiquer un niveau sonore. Le niveau sonore correspondant à une onde d'intensité I est indiqué en décibels ; il s'obtient par IdB : 1010g(1/10). Le seuil de douleur correspond à I d B = 120 dB . Comparer l'amplitude du déplacement acoustique à la longueur d'onde pour une onde sonore de 120 dB à 1 kHz . Conclure. II.B - Ondes à la surface libre d'un liquide Un plan d'eau est surmonté d'une atmosphère au repos où règne une pression uniforme Po . Il est soumis à un champ de pesanteur uniforme 5 : --gËZ .Au repos, la surface libre est un plan horizontal d'équation z = 0. On envisage un mouvement de cette surface décrit par une élongation verticale Z ; l'équation de la surface libre devient alors 2 : Z(x, y, t). II.B.1) Mise en équations a) Dans l'hypothèse d'un écoulement incompressible, donner l'équation aux dérivées partielles reliant les dérivées partielles de la vitesse. À quelle condition cette hypothèse est--elle valide ? On supposera dans la suite que la masse volumique p de l'eau est uni- forme et indépendante du temps. b) Montrer que, si l'on néglige les termes d'ordre 2 dans l'équation d'Euler, la dérivée partielle de la vitesse par rapport au temps est un champ de gradiept. En déduire qu'il est naturel d'introduire un potentiel des vitesses @ tel que Y) : grad

>, traduit la présence d'une onde de choc. c) On donne h = 1000 m ; v = 500 m - s_1 ; c = 340 m - s_1 . On note tO' l'instant auquel le bang est perçu par l'observateur et to l'instant auquel les sons perçus à l'instant t0' ont été émis par l'avion. Déterminer en fonction de ces données : ° l'instant to ; ° l'instant t0' ; 0 les positions de A aux instants to et t0' . d) L'observateur entend-il l'avion avant d'entendre le bang ? Quelle est la durée At d'émission des sons perçus entre t0' et tô + At' ? (Pour répondre, on pourra effectuer un développement limité de f (t) au voisinage de to ). Calculer At pour At' : 0, 1 s et com- menter. e) Déterminer l'ensemble des points recevant l'onde de choc à un instant donné. f) Quelle est la région de l'espace qui peut être atteinte à un instant donné par une onde sonore provenant de l'avion ? g) En conservant la valeur de la célérité du son de la question H.C.2-c), estimer la vitesse de l'obus sur la photographie 3. II.D - Sillage d'un bateau II.D.1) Relation de dispersion a) Montrer que l'on peut trouver une relation de dispersion w = f (la) telle que les vites- ses de groupe et de phase sont reliées par la relation simple vg : nv ® , où n est une cons- tante. b) Pour un bateau naviguant sur un bassin suffisamment profond, on peut estimer que la propagation des ondes de surface sera indépendante de la profondeur. On cherche alors une relation de dispersion de la forme (0 : agak , où a est une constante sans dimen- sion. Déterminer les exposants ou et [5 . Comparer la relation de dispersion ainsi obtenue à celles qui ont été obtenues précédemment. Dans la suite on prendra a = 1 . II.D.2) Forme du sillage Le bateau est assimilé à un point matériel B de masse m . Le vent lui permet d'avoir un mouvement pratiquement rectiligne uniforme de vitesse Y) . Il émet un paquet d'ondes, spatialement très concentré, de pulsation moyenne 00 et dont le vecteur d'onde le fait un angle 0 avec la vitesse 3 . Concours Centrale-Supélec 2007 7/8 PHYSIQUE ll Filière PC On suppose que le paquet d'onde est émis vers l'avant du navire, soit TE Tl: ---- < 6 < -- . 2 2 On admgt que ce paquet d'onde transporte une énergie H (0 et une quantité de mouve- ment H le , où H est une constante. a) Donner la dimension physique de H . Citer une constante physique fondamentale qui a la même dimension physique que H et qui apparaît dans les expressions de l'énergie et de la quantité de mouvement d'un paquet d'ondes dans un autre domaine de la physi- que. b)L'émission par le bateau d'un paquet d'ondes s'effectue avec conservation de l'énergie cinétique et conservation du vectegr quantité de mouvement. Au cours de cette émission la vitesse du bateau varie de 3 à v' . En négligeant les termes d'ordre 2 en H , montrer que w : kucosG. c) En déduire, en utilisant la relation de dispersion établie à la question II.D.1 - b), les expressions des vitesses de groupe et de phase en fonction de la vitesse v et de l'angle @ . d) Le bateau se déplace àla vitesse ?) selon l'axe Ox dans le sens des x croissants. Mon- trer qu'à l'instant t ,les paquets d'ondes émis antérieurement par le bateau dans la direc- tion 6 sont répartis sur une demi-droite de sommet B faisant avec la vitesse 3 un angle (i) tel que sin @ cos @ 0082 6 -- 2 e) Étudier la fonction cb(8) ; en déduire que le sillage du bateau est limité par deux demi--droites faisant un angle 20c que l'on exprimera et que l'on calculera numérique- ment. tancb : avec cosq) < 0 . f) Le résultat est-il en accord avec ce que l'on peut observer sur la photographie 4 ? Peut- on estimer la vitesse du catamaran ? g) Comparer ce résultat au résultat obtenu pour le sillage d'un avion supersonique. ooo FIN ooo Concours Centrale-Supélec 2007 8/8

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 Centrale Physique 2 PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur l'électromagnétisme et les ondes dans les fluides. Il est relativement long, mais présente de nombreuses questions très proches du cours. De plus, les deux problèmes et, dans une large mesure, les parties qui les composent, peuvent être traités indépendamment. Certaines questions, similaires dans les deux problèmes, permettent de revoir les analogies entre mécanique des fluides et électromagnétisme. Le premier problème commence par des généralités sur le champ magnétique terrestre, puis traite des ondes électromagnétiques, plus spécifiquement de la théorie du dipôle oscillant. Une bonne connaissance du cours est indispensable. Le deuxième problème s'intéresse au sillage des avions et bateaux. · Les deux premières parties sont très classiques et portent respectivement sur l'établissement des équations principales de l'acoustique et sur les équations de propagation des ondes de surface dans un liquide. · Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'origine du « bang » ultrasonique créé par un avion ou un projectile. · Enfin, la dernière partie aborde le problème de la formation du sillage d'un bateau. L'énoncé de ce problème étant particulièrement laconique, il est nécessaire de bien maîtriser le cours pour le traiter. Indications Premier problème I.B.1.c La zone de rayonnement d'un dipôle oscillant est définie par r . I.B.2.a Prendre le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et insérer celle de Maxwell-Ampère. Utiliser les formules d'analyse vectorielle données au début de l'énoncé. I.B.2.e En utilisant les expressions établies en I.B.1.d et I.B.1.f, calculer d'abord l'amplitude de l'onde reçue par le navire à partir de la puissance émise. Deuxième problème II.A.1.a Utiliser la loi des gaz parfaits. II.A.1.e Dériver l'équation de conservation de la masse puis utiliser l'équation d'Euler au premier ordre et le résultat de la question précédente pour relier µ à p. II.A.1.g Dériver l'équation d'Euler par rapport au temps et utiliser le fait que l'écoulement est potentiel. II.1.3.b Utiliser le fait que PV = Cte dans une transformation isentropique. II.B.2.b La condition aux limites à la surface libre s'écrit Z = vz (Z) t II.C.1.a Écrire la forme de l'onde de surpression créée par l'avion au point O. II.C.2.a Calculer d'abord la distance entre l'avion et l'observateur à l'instant t. II.C.2.d Développer la fonction f au second ordre autour de son minimum en t0 . II.D.2.d Faire un schéma et tracer la trajectoire du navire entre les instants t et t+t, ainsi que la trajectoire du paquet d'ondes émis à l'instant t pendant t. I. Navigation côtière I.A Navigation à vue I.A.1.a L'axe magnétique de la Terre n'est pas confondu avec son axe de rotation, même s'ils sont très proches (l'écart est d'environ 10 ). Traçons quelques lignes du champ magnétique terrestre : NG désigne le pôle Nord géographique et NM le pôle Nord magnétique. L'écart angulaire a été amplifié pour des raisons de clarté. NG NM Le pôle Nord magnétique est ainsi dénommé en raison de sa proximité avec le pôle Nord géographique. Toutefois, comme il attire le pôle Nord de la boussole, il s'agit à proprement parler d'un pôle Sud magnétique. Les lignes de champ ont été représentées ici de manière symétrique, c'està-dire sans tenir compte de leurs déformations dues au vent solaire, qui les compresse du côté « jour » et les étire du côté « nuit ». I.A.1.b L'intensité du champ magnétique terrestre à la surface est de l'ordre de Bt 50 µT Nord - Bz - Bh Est - B L'angle que fait en un point de la surface le vecteur champ magnétique avec l'horizontale est appelé inclinaison magnétique. Elle est de l'ordre de 60 (vers le bas) en France. Aux pôles magnétiques, la composante horizontale du champ est nulle. I.A.2.a La déclinaison n'est ni constante ni uniforme : elle dépend de la latitude et de la longitude du point considéré, comme l'illustre le schéma ci-dessous. Elle peut également être perturbée par des anomalies locales du champ magnétique. De plus, elle dépend du temps : les pôles magnétiques sont en constant déplacement. NG NM Le pôle Nord magnétique se situe actuellement dans l'arctique canadien et se rapproche du Nord géographique d'environ 40 km/an. I.A.2.b Reportons sur le schéma les positions des balises 1 et 2 (la déclinaison magnétique a été amplifiée pour des raisons de clarté). NM NG 45 90 bateau I.B Navigation par temps de brouillard I.B.1.a Le calcul du champ électromagnétique d'un dipôle oscillant impose d'abord de se placer à une distance grande devant la longueur du dipôle z0 r z0 ce qui permet de négliger la variation d'amplitude des ondes rayonnées par les différents points du dipôle. Pour négliger également la variation de phase, on doit ensuite supposer que sa taille est petite devant la longueur d'onde de l'onde créée z0 De plus, pour négliger les termes d'ordres supérieurs (en 1/r2 , 1/r3 ,...) dans l'amplitude du champ émis, on se place dans la zone de rayonnement, c'est-à-dire r Finalement, les approximations nécessaires pour obtenir la formule de l'énoncé sont r z0