Centrale Physique 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Diffraction d'un laser par la surface d'un liquide et étude des ondes de surface de ce liquide
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, mécanique des fluides

Corrigé

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PHYSIQUE II Filière PC PHYSIQUE Il Diffusion de la lumière par des ondes de surface Le problème comporte des questions non calculatoires, pour lesquelles le candi- dat s'efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en général. Les parties I - , II - et III - sont largement indépendantes, mais il est recom- mandé d'aborder la partie I - en premier. On éclaire avec un faisceau laser élargi de détecteur longueur d'onde 7'o = 0,638 um toute la sur-- face libre d'un liquide contenu dans un bac horizontal sous incidence 9 < 0, avec --90° 5 6 S 0 (cf. figure 1). Les propriétés de la lumière récupérée loin de l'interface dans une direction d'angle i>0, avec OSiS90°, sont liées à la propagation d'ondes dans le liquide, engendrées spontanément par l'agi- tation thermique. Ces ondes mettent en jeu des forces de tension superficielle qui font intervenir une constante A caracté- ristique du liquide appelée coefficient de tension superficielle : aucune connais- sance sur la tension superficielle n'est nécessaire pour traiter le problème. Sauf en UE, on néglige la viscosité. Pour toutes les applications numériques sauf cel- les de la question II.E.3, on supposera que le liquide est de l'eau de masse volu-- mique u = 103 kg - m_3 et de coefficient de tension superficielle A = 7 - 10--2Pa - 111. On donne en outre quelques constantes fondamentales : R = 8, 314 J - K_1 - mol--1 ; Na : 6, 02- 1023mo1' ; kB : 1,38-10"23 J-IC1 ; cæ3-108 m-s"1. Le milieu ambiant est de l'air, dont on prend l'indice optique égal à 1 . Partie I - Préliminaires : quelques ordres de grandeurs I.A - À un instant donné, du fait de fluctuations thermiques, la surface libre pos- sède de petites « aspérités >> et on prend pour premier modèle une surface dont la cote prise par rapport à une origine z = 0 vaut : h(x) : hMcos(Kx) avec K : 2Î71: et Az4-10_5 111. Concours Centrale-Supélec 2000 1/8 PHYSIQUE II Filière PC Fil'ère PC Expliquer qualitativement pourquoi on peut alors récupérer de la lumière dans des directions ist--6 . I.B - On suppose que l'essentiel du mouvement dans le liquide est localisé sur une épaisseur de l'ordre de A au voisinage de l'interface (hypothèse (H)). D'autre part, on admet que les forces de tension superficielle exercées sur une interface d'aire S entre le fluide et l'air dérivent d'une énergie potentielle E p : AS où la constante A est le coefficient de tension superficielle. En éva- luant numériquement un rapport d'énergies, montrer que la pesanteur joue un rôle négligeable devant la tension superficielle. Dans toute la suite, on néglige donc la pesanteur. I.C - En réalité l'interface est en mouvement. Si on néglige la viscosité, la sur- face libre a pour cote : h(x, t) : hMcos(Qt--Kx) avec K = %" et Az4-10"5 m. La relation de dispersion de ces ondes s'écrit : 92 = A uBKY avecK : 2În_ Déterminer les constantes oc , B et y par analyse dimensionnelle. Calculer la pulsation Q et la période T pour A z 4 -- 10'5 m. I.D - La cuve est limitée au domaine 0 gx 5 L et 0 s y SL avec L = 1 cm par des parois verticales rigides. Plutôt que l'onde proposée en I.C) on considère pour toute la suite du problème une onde décrite par le profil h(x, t) : thin(Qt)cos(Kx) associée à un potentiel des vitesses (MM, t) et un champ des vitesses È(M , t) tels que : 9 --> hMQ v(M, t) : grad$(x, z, t) avec d)(x, z, t) = K où f (2) est une fonction de z , sans dimension, de l'ordre de 1 dans le domaine --A < 2 < 0 et négligeable pour 2 < --A . On admet que la relation de dispersion est inchangée. f(z)cos(Qt)cos (Kx) I.D.1) Quelles sont les conditions aux limites imposées par les bords du récipient ? En déduire les valeurs convenables de K en fonction de L et d'un entier m . Concours Centrale-Supélec 2000 2/8 PHYSIQUE II Filière PC I.D.2) Représenter sur une même figure l'allure de la surface libre aux ins-- tants t : T/4 et t : 3T/4 pour m = 1. Même question pour m = 2. Indiquer une des propriétés qui distinguent ces ondes de celles de la question LC). I.D.8) Exprimer l'ordre de grandeur littéral de l'énergie cinétique EC du liquide en fonction de u , h M, L , A et Q . Des considérations de physique statis- tique qui dépassent le cadre de ce problème montrent que E'C est de l'ordre de l'énergie cinétique d'un atome de gaz parfait monoatomique en équilibre à la température T. En déduire la valeur numérique de h M pour la température ambiante. I.D.4) Rappeler l'ordre de grandeur du libre parcours moyen / * dans un liquide. La valeur très faible de h M/ / * pourrait susciter quelques inquiétudes quant à la validité du modèle du fluide continu, mais l'expérience conforte ce modèle, montrant ainsi que le rapport h M/ / * est hors--jeu. À quelle autre gran- deur proposez-vous de comparer / * pour valider le modèle du fluide continu ? Partie II - Étude expérimentale des ondes de surface L'étude de la lumière diffusée par une interface liquide-air permet de mesurer le coefficient de tension superficielle et la viscosité du liquide. Pour rendre compte de la diffusion de la lumière par la surface libre du liquide, on adopte le modèle suivant : ° La surface _e)st assimilée à un réseau par réfl_e}xion, dont les traits infiniment fins selon ux et de longueur L = 1 cm selon u sont centrés sur les points An de coordonnées : nA_ xn=--2--, y yn = 0 ; zn(t) = (--1)nthin(Qt) avec n entier. 0 Les traits sont éclairés par une onde plane d'éclairement go, de longueur d'onde À0 : O, 638 mn de pulsation oe0 , et de vecteur d'onde --> _ --> _) ko : --kosm6ux--kocoseuz . 0 On récupère la lumière diffractée à l'infini dans la direction d'angle i à l'aide d'un photodétecteur. ° On fixe une phase de référence (po au niveau du détecteur pour l'onde de réfé- rence qui serait diffractée par un trait fictif, confondu avec l'axe Oy . ° Le n-ième trait diffracte une onde dont l'amplitude complexe sur le détecteur est de la forme : gn(t) : aÆexp(joeot--jch--jkôn) où ocæ O, 1 est un nombre Concours Centrale-Supé/ec 2000 3/8 PHYSIQUE II Filière PC sans dimension, k le nombre d'onde et ôn est la différence de marche entre l'onde (n) et l'onde de référence définie plus haut. II. A- Interpréter la position des traits en liaison avec la question 1. D. 2). Éva- luer le nombre N de traits du réseau pour L-- _ 1 cm et A: 4- 105 m. Comparer avec les réseaux usuels utilisés en travaux pratiques. On supposera N pair dans la suite. II.B - On suppose tout d'abord que 11 M = 0. Dans ces conditions la lumière dif- fractée a même pulsation (110 que l'onde incidente et donc k : ko : 2n/ÀO. II.B.1) Établir l'expression de 6 : ôn --ôn_ 1 en fonction de A, i et @. II.B.2) Dans la suite, le détecteur est placé dans une direction d'observation i* , choisie de telle sorte que : À 0 sini*+ sin6-- - -- -- . A Combien vaudraient alors 6 et l'éclairement reçu par le détecteur si on avait réellement h M = 0 ? II.B.3) Déterminer l'écart angulaire ôi* : i* -- |e| : i* + 6 , supposé petit, entre l'onde réfléchie dans la direction i = --9 et l'onde diffractée dans la direction i* , en fonction de B, "o et A. Le détecteur a une ouverture angulaire égale à 5°. Comment faut-il choisir 6 pour ne récupérer que la lumière diffractée ? II.C - On suppose désormais que hM$O et on admet qu'on peut prendre k : k() : 2n/ÀO pour le vecteur d'onde de la lumière diffractée avec une très bonne approximation. Il. C. 1) Faire apparaître la différence de mar_)che 62 p(t) des traits d'indice pair sur une figure. On _)pose k-- _ ko cosi* uz +k0 sini* ux Montrer que: k062p(t) = (ko--k) - 0A2p. Expliciter 62 p(t) en fonction de p, ÀO, @, h M , 52, t en tenant compte du fait que cosi*z 0059 2et sini* + sin9- -- --ÀO /A En déduire l'amplitude complexe instanta- née totale diffractée par les traits d'indices pairs, notée a t), en fonction deL, A,êËO, oc, 6, hM, 9 ,ko, 000 , (po et t. H. C. 2) Évaluer de même l'amplitude complexe instantanée totale diffractée par les traits d'indices 1mpairs, notée a (i*, t) . II.C.3) En déduire que l'amplitude complexe instantanée totale diffractée dans la direction i* vaut : 2LocJä?o c_t(i*, t) = ( A )sin(4kocosethin(£lt))exp(joeot--j(p0+jn/2) --pair(i*' --zmpair où on rappelle que l'angle i* est déterminé par le choix de A (cf. II.B.2). Concours Centrale-Supélec 2000 4/8 PHYSIQUE II Filière PC II.C.4) Sachant que h M/ÀO : 10--6, donner l'expression de c_z(i*, t) à l'ordre un en h M/ À0. Montrer que g(i*, t) est la somme de deux ondes sinusoïdales et déterminer leurs pulsations en fonction de co et Q . Quelle erreur relative sur k a-t--on commise en prenant k : ko : 271/À0 pour ces deux ondes '? II.C.5) Comment évolue l'amplitude de l'onde diffractée lorsque le! augmente. Montrer qu'il faut trouver un compromis sur la valeur de 6 du fait de la conclu- sion de la question II.B.3). II.D - Le photodétecteur utilisé délivre une tension V(t) : y < a2(i*, t) > propor- tionnelle àla valeur moyenne du carré de l'amplitude réelle instantanée a(t) , la moyenne étant calculée sur une durée de l'ordre de dix nanosecondes. D'autre part, comme l'éclairement diffracté est trop faible pour être détecté directement, on lui superpose une onde plane de référence se propageant dans la direction i* , engendrée à partir du laser--source par un dispositif qui ne sera pas étudié et d'amplitude complexe sur le détecteur : @ref") : Algrefexp(joeot+jn/2_j(p0) h II.D.1) Montrer que la tension obtenue est, au premier ordre en À_M' de la forme : ° hM . V(t) z a + b--- s1n(£2t) 7'0 où a et b sont deux constantes, dont on ne demande pas d'expliciter les expres- sions. II. D. 2) Proposer un circuit électrique passif simple permettant de récupérer à partir de V(t) une tension u(t) proportionnelle à h Ms1n(Qt) en précisant la valeur numérique des composants choisis pour sa ... 105 rad- s ' . II.D.3) Indiquer brièvement pourquoi l'utilisation d'une onde de référence rend détectable le signal qui ne l'était pas sans elle. II.D.4) En réalité on atténue l'onde de référence ; interpréter sommairement. Pour cela, on interpose un polariseur sur le trajet du faisceau de référence ; inte- rpréter sommairement, sachant que le laser émet une onde polarisée rectiligne- ment. Concours CentraIe-Supélec 2000 5/8 PHYSIQUE II ILE - En réalité tous les modes possibles associés aux valeurs de K (ou de A) possi- bles coexistent: la surface du liquide présente des « aspérités » correspondant à la superposition de tous ces modes. L'expérience permet d'accéder à la relation de dis- persion Q(K) : pour cela un . réseau de pas a o n _ +f\ (R) | Filière PC ----21 n : . détecteur . \ / .îl-- ; mobile \ /ôi* 12 n _ fréquencemètre mesure la fréquence F de u(t) ; par ailleurs il faut faire varier K et le mesurer. Pour cela on envisage le montage de la figure 2 : on place un réseau plan (R) , de pas a connu, orthogonalement àla direction i = --6 ;l'onde de référence qui arrive sur ce réseau sous incidence normale donne naissance à des taches de diffraction d'ordre n dans des directions in . II.E.l) En utilisant sans démonstration la formule des réseaux plans par transmission, exprimer l'angle ôin den,À0 eta. II.E.2) On place le détecteur successivement dans les direc- tions in . On admet que ce réseau est sans effet sur la lumière dif- fractée par la surface du liquide, ce qui revient pour cette lumière à supposer que le réseau travaille dans l'ordre zéro. En exploitant l'expression de ôi* établie en II.B.3), montrer qu'on fait pren- dre ainsi à A une séquence de valeurs connues qu'on détermi- nera en fonction de n , 6 et a . II.E.3) Le graphe de la figure 8 donne logQ en fonction de logK avec 9 en rad s_' et K en m_' : in + 9 : in -- |e| , supposé faible, en fonction pour une e3xpérience où le liquide est de l'éthanol de masse volumique u-- _ 0,79 103 kg- m .Vérifier la compatibilité des résultats avec la relation de dispersion établie en 1.0) et déterminer la valeur numérique de A . Concours Centrale-Supélec 2000 6/8 PHYSIQUE ll Filière PC II.F - La figure 4 où l'unité de temps est la milliseconde donne le graphe de u(t)/u(0) pour une expérience où le liquide est de l'eau. Qu'observe-t-on qui n'est pas prévu par le modèle adopté jusqu'ici ? Montrer qu'on peut en rendre compte sommaire- ment en évaluant une durée caractéristique de la diffusion de quantité de mouvement en fonction de A et de la viscosité cinématique v de l'eau. Déduire du graphe un ordre de grandeur de v. 9 a: u(t)/u(0) en fonction de t en millisecondes ? :; 57 N O 55 m s': à .0 oe .. --{oo«oloolä|oocuiooobo;ir{ioo;|n|ro|oon_o_}_g_1_æ=bl-- Figure 4 . 9 m . .0 m Partie III - Étude théorique des ondes de surface On décrit le mouvement de l'interface par sa cote h(x, t) et le mouvement du liquide par le champ des vitesses 3 (M , t) tels que : h(x, t) : thin(Qt)cos(Kx) ; _) Z(M, t) : grad$(x, z, t) ; hMQ Q)(x, z, t) = T - f(z)cos(Qt)cos(Kx) . Le champ de pression est uniforme égal à p0 dans l'air; il est de la forme p(x, z, t) dans le liquide. Le récipient est suffisamment profond pour qu'on puisse le supposer infini, de telle sorte que le liquide occupe au repos le demi- espace 2 S 0 . Les champs h(x, t) , (b(x, z, t) et leurs dérivées partielles sont traités comme des infiniment petits de même ordre et on se limite à l'ordre 1 en ces infi- niment petits. III.A - On suppose l'écoulement incompressible. III.A.1) Déterminer l'équation aux dérivées partielles dont est solution «13 . Concours Centrale-Supélec 2000 7/8 PHYSIQUE II Filière PC III.A.2) En déduire que f(z) est solution d'une équation différentielle homogène du deuxième ordre à coefficients constants. Déterminer f (2) à une constante multiplicative près. III.A.3) Justifier l'hypothèse (H) de la question LB). III.B - III.B.1) Justifier brièvement la condition aux limites à la surface libre de cote h(x, t) : aq; _ ah ë _ Σ III.B.2) En admettant qu'on peut évaluer ôOE/ôz en 2 = 0 au lieu de z : h(x, t) , en déduire l'expression de f (2) en fonction de K et z . III.C - Les forces de tension superficielles ne s'exercent qu'à la surface du liquide. En utilisant l'équation d'Euler au sein du liquide et en négligeant la pesanteur (cf. LB), montrer que la fonction 8 p + ua--'Î = C --> --> --> de : --Ady t(x) et de+dx : Ady t(x +dx) où A est le coefficient de te_nsion superfi- cielle supposé constant et t la tangente orientée au profil 2 = h(x, t) (cf. figure 5). On limite les calculs à l'ordre un en dx et à l'ordre un en h M/ A . élément de surface 2 --> dF x+dx \ III.D.1) Établir l'expression de p -- po a F' 5 l'interface en fonction de A et 82h/ôx2. 1gure III.D.2) En admettant qu'on peut écrire y la relation de la question précédente en z = 0 au lieu de z : h(x, t) , en déduire la relation de dispersion, liant K , Q, u et A . Vérifier la cohérence avec les résultats de LG) et II.E.8). x x+dx ooo FIN 000 Concours Centrale-Supélec 2000 8/8

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 Centrale Physique 2 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) ; il a été relu par Franck Stauffer (ENS Lyon) et Patrick Charmont (ENS Lyon). Ce sujet aborde de manière théorique et expérimentale le problème des ondes de surface d'un liquide. Il se décompose en trois parties qui développent à chaque fois un des aspects d'une étude générale. Sauf dans les dernières questions, il est très peu calculatoire, et ne nécessite pas de connaissance importante en mécanique des fluides. Il demande plutôt de la part du candidat une certaine aptitude à raisonner avec des ordres de grandeur et la capacité de les déduire à partir de données générales. Il faut également maîtriser les bases de l'optique ondulatoire et de l'hydrodynamique. La première partie permet de se familiariser avec le problème. Au cours de calculs relativement simples, on obtient des valeurs numériques et des ordres de grandeurs qui fixeront les limites du modèle. La seconde partie est la plus longue. On y décrit un processus expérimental permettant de valider la relation de dispersion obtenue par une analyse dimensionelle dans la partie précédente. Elle fait intervenir principalement des outils d'optique. La troisième partie est consacrée à l'étude théorique de ces ondes. Elle est relativement courte, mais chaque question impose de bien réfléchir aux données du problème avant de se lancer dans les calculs. Indications I.B Considérer la seule masse de fluide à être affectée par le mouvement et évaluer son énergie potentielle de pesanteur. I.C Il faudra exprimer la dimension de l'énergie en fonction de celle des autres unités. On pourra, si l'on ne s'en souvient pas, utiliser une expression de l'énergie potentielle de pesanteur. I.D.1 Les parois sont impérméables, ce qui impose une condition sur la vitesse du fluide aux parois. I.D.3 Procéder comme à la question I.B. I.D.4 Pour obtenir une idée du libre parcours moyen dans un liquide, considérer qu'une telle phase est dense. II.B.3 Faire un développement limité de la relation donnée à la question II.B.2. - - II.C.1 Pour obtenir l'expression en k - k0 , raisonner en terme de projection. Par la suite, il sera judicieux d'utiliser les coordonnées cartésiennes pour expliciter l'expression de la différence de marche. II.C.4 Développer la fonction sinus en exponentielles pour obtenir une somme de deux ondes. Exprimer k en fonction de 0 et dans l'un des deux cas pour obtenir l'erreur relative. II.D.1 Considérer que l'on développe le carré d'une somme de deux termes, l'un d'ordre 0 et l'autre d'ordre 1. II.D.3 Quel aurait-été l'ordre en hM /0 si l'on avait omis l'onde de référence ? II.D.4 Raisonner sur le contraste. II.E.2 Une condition pour détecter le signal est que l'onde de référence soit présente dans la direction d'observation. II.F La plupart des mouvements amortis sont en e-t/ où est un temps caractéristique de l'amortissement. III.A.1 Utiliser la propriété d'incompressibilité du fluide. III.A.3 Utiliser la forme de f (z). -- III.C Essayer de faire apparaître une relation du type grad C = 0. III.D.1 Commencer par calculer l'expression de la normale et de la tangente à la surface en fonction de h(x, t), puis écrire la relation fondamentale de la dynamique projetée sur Oz. Partie I Préliminaires : quelques ordres de grandeurs I.A Si l'on considère l'eau comme totalement réfléchissante et au repos, sa surface agit comme un miroir et l'on récupère de la lumière dans la direction i = -. Ceci n'est plus vrai dans notre cas, car la surface n'est pas plane ; on a toujours dans le plan d'incidence l'égalité des angles pour les rayons incident et réfléchi, mais comptés à partir de la normale et ici, la normale à la surface n'est plus verticale : normale i ' rayon lumineux On a bien = si l'on compte les angles à partir de la normale. I.B Pour l'interface, le fluide en mouvement est contenu dans un volume de l'ordre de S, et se déplace sur une distance de l'ordre de . L'énergie potentielle de pesanteur du fluide s'écrit donc E z = µ S 2 g On peut évaluer l'importance relative des forces de pesanteur en comparant cette énergie avec celle des forces de tension superficielle : Ez µ S 2 g = 10-4 Ep AS Au vu de la petitesse du rapport, on estime que la forme et le mouvement de l'interface sont gouvernés par la tension de surface, et l'on pourra négliger les forces de pesanteur. I.C Dans cette analyse dimensionnelle, on note respectivement T, M, L, J les dimensions d'un temps, d'une masse, d'une longueur et d'une énergie. []2 = [A] [µ] [K] T-2 = (J L-2 ) (M L-3 ) L- T-2 = J L(-2-3-) M Mais comme on peut le déduire de l'équation vue plus haut Ez = mgz : J = ML2 T-2 , d'où T-2 = T-2 L-3- M+ On déduit alors facilement = 1, = -1, = 3, soit s A K3 = µ 521 000 rad.s-1 ce qui donne une période de T= 2 1, 21 .10-5 s I.D.1 Il n'y a pas de flux à travers les bords du récipient (paroi imperméable), donc la composante orthogonale de la vitesse aux bords est nulle. ­ Pour y {0, L}, vy = = 0 conduit à 0 = 0 (c'est une conséquence de y l'invariance selon y). ­ Pour x {0, L}, il vient = 0 = -hm f (z) cos(t) sin(Kx) x quel que soit t. Ce qui conduit à sin(KL) = 0 et vx = L= m K avec m N I.D.2 L'équation de la surface libre s'écrit h(x, t) = hM sin(2t/T) cos(x/L) pour m = 1 et h(x, t) = hM sin(2t/T) cos(2x/L) pour m = 2. m =1 m =1 z T/4 h m =2 x O m =2 3T/4 L Ces ondes sont stationnaires, alors que celles de la question I.C étaient progressives (c'est-à-dire de la forme f (x - ct) + g(x + ct)). On peut toujours exprimer les ondes stationnaires comme une combinaison linéaire d'ondes propagatives. Sur notre exemple, en utilisant les formules de trigonométrie élémentaire, on a : h(x, t) = hM /2 (sin(t + Kx) + sin(t - Kx)) On convient d'appeler stationnaires les solutions de la forme f (x)g(t). I.D.3 Le volume de liquide en mouvement est de l'ordre de L2 (il est dit que l'essentiel du mouvement du liquide est localisé sur une épaisseur ; les autres parties du fluide auront une vitesse nulle et une énergie cinétique nulle également). On devra donc considérer la masse µ L2 de liquide. La vitesse d'une particule de fluide est, selon la forme du gradient des vitesses donné, de l'ordre de hM . On a alors (à un préfacteur numérique près, sans intérêt pour les ordres de grandeurs) Ec µ L2 h2M 2