Centrale Physique 1 PC 2021

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Physique 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2021

Différents aspects de l'écoulement
dans une lame de savon

L'étude d'écoulements tourbillonnaires plans, dits aussi bi-dimensionnels, 
s'applique dans de nombreux do-
maines, dont les écoulements géophysiques. Parmi ceux-ci, une thématique 
particulièrement riche est celle des
écoulements tourbillonnaires océaniques et atmosphériques de fluide (eau ou 
air) sur des distances horizontales
grandes devant l'épaisseur de la couche de fluide concernée. L'image satellite 
de la figure 1 présente une allée
tourbillonnaire dans le sillage des iles du Cap Vert (image NASA).

Sous certaines conditions, ces écoulements peuvent être modélisés par l'étude 
des écoulements tourbillonnaires
plans dans une lame de savon. Ce sujet propose d'aborder quelques aspects de 
ces écoulements.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la
part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le 
candidat sur sa copie ; si elles sont
pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps 
nécessaire pour explorer ces pistes et
élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative.

Des données et relations utiles sont disponibles dans le document réponse.

I Interféromètre de Michelson et épaisseur d'une lame de savon

Le but de cette partie est de quantifier, par l'étude de la figure 
d'interférence à la surface d'une lame de savon,
l'écart que présente celle-ci à un écoulement rigoureusement plan. On procédera 
par analogie avec la figure
d'interférence obtenue à l'aide d'un interféromètre Michelson réglé en coin 
d'air.

I.A - On considère un interféromètre de Michelson dans lequel l'ensemble {lame 
séparatrice + compen-
satrice} est assimilé à une unique lame semi-réfléchissante d'épaisseur 
négligeable. On la note par la suite lame
séparatrice (L).

L'interféromètre, éclairé par une source étendue monochromatique de longueur 
d'onde dans le vide À, est réglé
comme schématisé sur la figure 2 : les deux bras sont dissymétriques du fait de 
la position relative des miroirs :
M, est parallèle à (J,x) et M, est parallèle à (J,y) mais ils ne sont pas à 
égale distance de J. On considère que
les deux ondes qui émergent de l'interféromètre vers l'espace d'observation ont 
le même éclairement 1.

Q 1. Sur la figure À du document réponse, à rendre avec la copie, tracer avec 
soin les deux rayons issus du
rayon incident qui émergent de l'interféromètre dans l'espace d'observation. 
Sur le même schéma, dans l'espace
réservé à cet effet, montrer graphiquement que l'on peut considérer que ces 
deux rayons sont issus d'une « lame
d'air » d'épaisseur e que l'on représentera. On supposera que l'indice de l'air 
est égal à 1.

Q 2. Établir la différence de marche introduite par le système en fonction de 
l'angle d'incidence 4 sur cette
lame et de son épaisseur e.

P036/2021-03-13 11:31:10 Page 1/8 (Ghsey-\c-sA

a Y

-- 5 # --

source large
L M,

Espace
d'observation

Figure 2 Schéma de l'interféromètre éclairé par une source large

Q 3. Où est localisée la figure d'interférence ? Comment l'observer dans de 
bonnes conditions si l'on dispose
d'un jeu complet de lentilles convergentes de distances focales comprises entre 
20 cm et 1 m ? Un schéma clair
de la situation expérimentale correspondante est attendu.

Q 4. Montrer que la figure d'interférence est formée d'anneaux d'égale 
inclinaison (justifier ce terme).

On observe sur l'écran la figure d'interférence présentée figure 3.

Figure 3 Figure d'interférence : anneaux d'égale inclinaison

On souhaite maintenant régler l'appareil au contact optique.

Q 5. Décrire l'opération : faut-il tourner ou translater un miroir ? Comment 
savoir dans quel sens ? Décrire
l'évolution de la figure d'interférence au cours de l'opération. Quel est 
l'aspect de l'éclairement sur l'écran une
fois ce réglage réalisé ?

Q 6. Partant de cette situation on incline un des miroirs d'un petit angle a 
pour former un coin d'air. On
éclaire le système en incidence quasi-normale de telle sorte que l'on observe 
des franges d'interférences rectilignes
parallèles entre elles. Où sont-elles localisées ? Préciser les conditions de 
leur observation.

Q 7. On admet que la différence de marche introduite par le coin d'air en un 
point M de la surface de
localisation situé à une distance x de l'arête commune des deux miroirs est 
0(M) & Æ2nax avec n = 1.
Déterminer l'interfrange ? sur la surface de localisation, en fonction de a et 
À,4,. Comment évolue la figure
d'interférence si l'angle a varie ?

I.B - Une lame de savon est constituée d'une mince couche d'eau entourée de 
part et d'autre par
une couche de savon. Cette configuration est due aux tensio-actifs contenus 
dans le savon. Ces molécules sont
constituées de deux parties distinctes : une tête hydrophile, généralement 
ionique, et une queue hydrophobe,
généralement constituée d'une chaine carbonée (figure 4).

P036/2021-03-13 11:31:10 Page 2/8 (cc) BY-NC-SA
Cette propriété amène ainsi les tensio-actifs à se concentrer et à se fixer les 
uns aux autres aux interfaces entre
l'eau et l'air. En éclairage monochromatique, cette lame fait apparaitre des 
franges d'interférence (figure 5), dont
l'interfrange diminue vers le bas de la lame. Ces franges sont liées à un 
phénomène d'interférence se produisant
sur une couche mince. On suppose ici que l'indice de cette fine couche est n & 
1,4. L'épaisseur de cette couche
est variable de haut en bas sans dépasser une épaisseur maximum d'environ 1 nm. 
La masse volumique et la
viscosité du liquide savonneux sont pris égaux à ceux de l'eau.

Franges d'égale
épaisseur |
d'interfrange |"
décroissante

Figure 5 Interférences sur le film (à gauche) et modélisation des rayons 
lumineux (à droite)

Le trajet d'un rayon lumineux arrivant sous incidence 0 sur une lame d'indice n 
et d'épaisseur locale e, doit
tenir compte du phénomène de réfraction à l'intérieur de la lame. On note 0, 
l'angle de réfraction et 0 l'angle
d'incidence. Une division d'amplitude se produit sur la face avant, suivie 
d'une réflexion sur la face arrière,
produisant deux rayons réfléchis par la lame qui interfèrent au point P. On 
admet que la réflexion sur un milieu
plus réfringent s'accompagne d'un déphasage de 7.

Q 8. Justifier qu'en incidence quasi-normale, le déphasage entre les deux ondes 
qui interfèrent peut s'écrire
T À
AG = 2-- (ane + 2),
? 2

En l'absence de perturbation extérieures (telles que celles qui seront abordées 
par la suite) la lame n'est le
siège que de son écoulement gravitaire (du haut vers le bas sous l'effet de la 
gravité). Dans le cadre d'un modèle
simplifié, dit d'interface sans interaction, la pression P au sein du fluide en 
écoulement gravitaire entre l'interface
de tensioactifs est supposée uniforme. Le phénomène de drainage des 
tensioactifs est alors négligé. L'axe (O2)
sera pris vertical ascendant. La figure 6 présente la figure d'interférence 
observée sur un film de savon, ainsi que
les notations introduites.

T

Figure 6 Vue de face de la lame de savon

On note H = 5,0 cm la hauteur de la lame de savon. On note e(z,t) l'épaisseur 
de la lame, dans la direction
(Oy), à l'altitude z et à l'instant {. Du fait de l'écoulement de drainage 
gravitaire, cette épaisseur varie au cours
du temps à z fixé et à t{ fixé elle augmente vers le bas.

Q 9. Compte tenu de la topographie des franges observées sur la figure 6, 
discuter qualitativement l'écart
du profil de la lame à une portion de coin d'angle constant, induit par son 
drainage gravitaire.

Afin d'interpréter ces différences, une modélisation de mécanique des fluides, 
non détaillée ici, aboutit à l'ex-
pression suivante pour l'épaisseur e de la lame en fonction de z et du temps :

27(H -- 2)

e(z,t) = Dai

Q 10. Discuter qualitativement la validité de cette expression en regard de la 
figure 6.

P036/2021-03-13 11:31:10 Page 3/8 (C2) By-Nc-SA
Pour aller plus loin dans la caractérisation de la variation de l'épaisseur de 
la lame, on se propose d'effectuer
une approche semi-empirique de la loi de variation de l'épaisseur de la lame. 
On se place à t fixé et on suppose
une loi de puissance semi-empirique de la forme

e(z,t) = K(H -- z)°

où f et K sont des constantes. On relève pour cela expérimentalement la 
position des premières franges brillantes.
Le tableau 1 présente les résultats obtenus en indiquant la position z de ces 
franges, pour un éclairage mono-
chromatique de longueur d'onde À, -- 600 nm et un film de savon d'indice 
optique n = 1,4.

Numéro de la frange brillante 1 2 3 4 D 6 7 8
Position z (cm) 4,5 | 4,1 3,7 | 3,4 | 3,2 | 3,0 | 2,8 | 2,6
Tableau 1

Q 11. Compte tenu de ces valeurs numériques, analyser graphiquement, à l'aide 
du support fourni en figure B
du document réponse, si cette loi semi-empirique est conforme aux observations. 
Si c'est le cas, donner la valeur
numérique de f.

IT Caractéristiques des écoulements bi-dimensionnels

On se place à présent dans le cadre d'un écoulement bi-dimensionnel. On note v 
la norme du vecteur vitesse v
du fluide en écoulement par rapport au référentiel du laboratoire. L'écoulement 
est supposé incompressible.

Ce champ de vitesse satisfait à l'équation de Navier-Stokes qui s'écrit

D OÙ ---- + ---- --
PT = f Fe + (U- grad)à) -- f, -- grad P + nA(ÿ)

où p est la masse volumique et 7 la viscosité dynamique.

En utilisant l'analyse vectorielle on peut aussi l'écrire sous la forme

5 1. » L
p e -- ; gradv" + (rot ü) nü) = f, -- grad P + nA(ÿ).

-- --

OÙ -- DT
Q 12. Préciser le sens physique associé aux deux termes En et (Ü-grad)ü formant 
la dérivée particulaire Di
de la vitesse.

Q 13. Préciser le sens physique associé aux trois termes au second membre de 
l'équation de Navier-Stokes.

Q 14. On note Q = rot ü la vorticité dans l'écoulement. Montrer, en négligeant 
les effets de la viscosité ainsi

que la résultante des forces volumiques autres que celles de pression, que Q 
satisfait à une équation d'évolution
de la forme

DA Q --_--\ ns --
DE Ë + (Ü: ed) = (0: grad)v.

Lorsqu'on tient compte des effets de la viscosité, un terme supplémentaire, 
v,A(Q) apparait au second membre

/ . / . « 7] . ir + y . . .
de l'équation d'évolution, où v,. = -- est la viscosité cinématique du fluide. 
Comme nous le verrons par la suite
P
ce terme visqueux est lié à la diffusion de vorticité. Dans un écoulement 
tri-dimensionnel, le terme (Q - grad)v

au second membre de cette équation est dit terme d'étirement de vortex (ou 
vortex streching).

Q 15. Justifier que l'on peut considérer l'écoulement dans la lame de savon 
comme bidimensionnel. Montrer
que, dans cette hypothèse, le terme d'étirement de vortex est nul.

IIT Couche limite oscillante et écoulement redressé

Dans l'étude de l'érosion côtière, on constate que le mouvement périodique de 
la houle produit, au voisinage
du fond marin constitué de sédiments, des tourbillons stationnaires. Ceux-ci 
déstabilisent ces sédiments et les
mettent en suspension avant de les transporter. On s'intéresse ici à la 
génération d'un ensemble de tourbillons
stationnaires symétriques dans une lame de savon verticale excitée par une onde 
sonore. Celle-ci est purement
sinusoïdale, à basse fréquence, et générée par un haut-parleur placé à 
l'extrémité d'un tube au bout duquel se
trouve la lame de savon. L'écoulement induit de légères variations locales de 
l'épaisseur, agissant ainsi sur l'état
interférentiel local, ce qui permet de le visualiser (figure 7).

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Figure 7 Photographie de la figure d'interférence (à gauche) et représentation 
schématique
associée du mouvement du cylindre (grisé) et des tourbillons générés (à droite)

Dans un souci de simplification, on peut modéliser l'effet de l'onde sonore par 
les petites oscillations horizontales
d'un cylindre de diamètre d. Ces oscillations sont sinusoïdales de même 
pulsation w que l'onde sonore. On
note a l'amplitude des oscillations et on suppose que a  d. On constate 
l'apparition d'un écoulement induit
stationnaire, dit écoulement redressé, composé de paires de tourbillons 
stationnaires dans les quatre cadrans. On
remarque que ces tourbillons s'étendent sur des dimensions caractéristiques 
grandes devant celle du diamèêtre
du cylindre. Le fluide se rapproche de la surface du cylindre dans l'axe 
d'oscillation et fuit sa surface dans la
direction orthogonale à l'oscillation. Le champ de pression acoustique étant 
sinusoïdal et donc à valeur moyenne
temporelle nulle, il parait assez peu intuitif qu'il puisse générer un 
écoulement stationnaire (à valeur moyenne
non nulle). L'objectif de cette partie est de lever cet apparent paradoxe.

IIT. À -- Diffusion de la vorticité dans une couche limite oscillante au 
voisinage d'une plaque
plane et infinie, analogie électromagnétique

Cette sous-partie est consacrée à l'étude de la diffusion de la vorticité dans 
la couche limite par une analogie
électromagnétique basée sur la diffusion du champ électrique dans un 
conducteur. Considérons une onde élec-
tromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation w à laquelle est 
attachée le champ électrique
E(2,t) = Eyexp(ilwt -- kz))£, en notations complexes. Celui-ci se propage 
suivant l'axe (Oz), dans le sens des 2
croissants, dans un milieu conducteur illimité localement neutre, homogène et 
isotrope occupant le demi espace
z > 0. On note n la densité particulaire en électrons libres dont la masse est 
notée m et la charge --e. On se
place dans un domaine de fréquence où l'on peut considérer que la conductivité 
du milieu est réelle : elle est
notée Cp.

Q 16. Écrire, dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires, 
la loi d'Ohm locale dans le
conducteur ainsi que les quatre équations de Maxwell dans le conducteur. En 
déduire l'équation de propagation
vérifiée par le champ électrique dans le métal, dite équation de diffusion du 
champ.

Q 17. Déterminer la relation de dispersion dans le conducteur. En déduire le 
vecteur d'onde complexe k en

2
fonction de l'épaisseur de peau Ô --
Ho20%

Q 18.  Exprimer le champ ÆE(2,t) en notation réelle dans le conducteur et 
tracer son allure en fonction de z
à t fixé. Expliquer, en s'appuyant sur ce tracé, ce qu'est l'effet de peau en 
donnant une interprétation concrète
à l'épaisseur de peau.

Q 19.  Exprimer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans une portion 
de métal de section $ dans
le plan (Oxy) et d'extension infinie selon (Oz) dans le sens des z croissants. 
La fréquence de l'onde étant fixée,
que devient l'épaisseur de peau, lorsque la conductivité o, tend vers l'infini 
? Dans cette limite, que peut-on
dire des champs et des charges dans le conducteur ?

Considérons à présent dans un fluide initialement au repos une plaque plane, 
infinie en longueur et largeur,
formant le plan (Oxy). Un fluide visqueux incompressible de viscosité 7 est au 
contact de cette plaque sur une
grande épaisseur, tout se passe alors comme si le fluide occupait le 
demi-espace z > 0. La plaque oscille à la
pulsation w, sa vitesse étant de la forme V, cos(wt)é, (figure 8). On néglige 
la pesanteur. Compte tenu des
invariances et symétries du système et en supposant que la vitesse du fluide 
est parallèle à celle de la plaque,
on admet que le champ de vitesse dans le fluide ne dépend que du temps et de la 
cote z, soit ü = v(z,t)é, et
P = P(à).

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liquide visqueux
O

------------+

aY

plaque oscillante

Figure 8 Schéma de la plaque oscillante

Q 20. Montrer que le terme (v : grad)ü est nul pour ce problème.

Q 21. En déduire alors que la pression dans le fluide est constante et que le 
champ de vitesse satisfait à
l'équation différentielle

Ov Ov
_-- -- Vo --
Ot Oz?
OÙ L, = Test la viscosité cinématique du fluide.
p
Q 22. On cherche une solution pour le champ de vitesse sous la forme d -- 
f(zjee.. Donner la forme
21
générale de f(z), en introduisant la quantité Ô -- =,
-- w

Q 23. En étudiant le comportement aux limites du fluide, donner l'expression du 
champ de vitesse réel dans
le fluide et commenter.

Q 24. Proposer une analogie avec la propagation d'une onde électromagnétique 
dans un conducteur traitée
précédemment et analyser en particulier le cas limite ô -- 0. Complèter pour 
cela le tableau fourni en figure C
du document réponse en justifiant ces résulats.

Q 25.  Justifier ainsi que le terme nA(d) de l'équation de Navier-Stokes soit 
qualifié de terme diffusif.

Q 26. Déterminer le champ de vecteurs vorticité Q = rot &. Que peut-on dire de 
( en dehors de la couche
limite d'épaisseur de l'ordre de grandeur de à au-dessus de la plaque ?

On admettra pour la suite la portée générale de ce résultat.

ITI.B --- Cas d'un cylindre oscillant à basse fréquence

On s'intéresse dans cette partie au cas du cylindre oscillant introduit sur la 
figure 7. Dans le cas présent d'un
solide oscillant, de géométrie différente de la plaque plane et infinie 
précédemment traitée, il nous faut vérifier
que le terme (v: grad)ü est encore négligeable dans l'équation de Navier-Stokes.

Q 27. Justifier, en vous appuyant sur la figure 7, que l'expérience modélisant 
l'action de l'onde sonore basse
fréquence sur la lame de savon correspond à une situation pour laquelle à > d.

Q 28.  Exprimer la pulsation limite w.,., au-delà de laquelle cette condition 
n'est plus vérifiée.

Q 29. Donner l'expression du nombre de Reynolds en fonction de la masse 
volumique p, de la viscosité n, de

la dimension caractéristique L et de la vitesse v de l'écoulement. Montrer par 
une analyse en ordre de grandeur
Ü - grad)v

que le nombre de Reynolds de l'écoulement est le rapport À, -- CM Proposer 
ainsi une interprétation
nA(U

physique du nombre de Reynolds.

Q 30. Donner une estimation de la vitesse permettant de s'assurer que 
l'écoulement est à bas À, (pour lequel

R, & 1).

Cette condition est supposée vérifiée dans le cadre de l'expérience décrite ici.

Q 31.  Justifier alors que l'équation de Navier-Stokes s'écrit sous la forme
OÙ -- --
p-- & --grad P + mA(ÿ).
Ot
Q 32.  Exprimer en ordre de grandeur la vitesse v de l'écoulement induit par 
les oscillations du cylindre en
fonction de leur amplitude a et de leur pulsation w.

Q 33. Montrer, par une étude d'ordres de grandeur, que l'équation de 
Navier-Stokes s'écrit sous la forme
grad P & nA(ÿ).

Q 34. Le caractère périodique du mouvement du cylindre traduit la variation 
purement sinusoïdale de pres-
sion acoustique générée par le haut-parleur. En passant en valeur moyenne 
temporelle (notée (-)) sur l'équation
précédente, le caractère stationnaire de l'écoulement induit autour du cylindre 
(c'est-à-dire les tourbillons sta-
tionnaires observés) est-il explicable ? Est-il possible de rendre compte des 
observations sans tenir compte du
terme convectif non linéaire ?

P036/2021-03-13 11:31:10 Page 6/8 (cc) BY-NC-SA
Pour résoudre le problème, on peut rechercher la solution de l'équation de 
Navier-Stokes par approximation
successive en menant une méthode dite perturbative. La vitesse solution de 
l'équation linéaire obtenue à la
question 33, dans laquelle le terme convectif non linéaire a été négligé, est 
ici notée w, (p pour écoulement
principal). Cette vitesse doit être à présent corrigée par une petite 
perturbation stationnaire Ü, apportée par
la prise en compte du terme convectif non linéaire dans l'équation précédente. 
C'est cette correction qui est
responsable des tourbillons stationnaires observés. Il convient de montrer que 
cette correction est bien « petite »
et stationnaire (et donc non nulle en valeur moyenne temporelle).

La méthode communément utilisée est la suivante : la vitesse totale de 
l'écoulement est notée ü = ü,, + v,. On
utilise cette forme de la vitesse corrigée dans l'équation de la dynamique du 
fluide, qui à présent tient compte
du terme non linéaire pour écrire p(à : grad)ë & -- grad P + nA(ü).

Q 35. Déterminer l'ordre de grandeur de chacun des termes de l'équation en 
fonction des vitesses ü, et ü,
et de la dimension caractéristique d.

Q 36.  Ense limitant au premier ordre en v,, justifier que la vitesse 
stationnaire vw, est de l'ordre de grandeur
pd -- 112
de 7 Vel }.

Q 37. Peut-on légitimement supposer que 4, est une « petite » perturbation de 
l'écoulement principal ?

Q 38.  Conclure pour expliquer le caractère stationnaire de l'écoulement induit 
par les oscillations périodiques
du cylindre. Pourquoi parle-t-on, par analogie, d'écoulement redressé ?

IV Étude d'une allée de von Kârmän dans une lame de savon

Pour obtenir une allée de von Kârmân on réalise l'expérience suivante où l'on 
place une tige de section cylindrique
orthogonalement au plan d'une lame de savon. Cette lame est de grande dimension 
verticale et supposée au repos
loin de la tige. La tige est déplacée à une vitesse v,, telle que v, & 2 cms !, 
supposée constante et orientée
selon la verticale ascendante. Le déplacement du cylindre ainsi que 
l'écoulement est filmé avec une caméra rapide.
Le diamètre du fil est de 2 mm. On constate alors l'apparition d'une allée 
tourbillonnaire, organisée en deux
rangées de tourbillons émis périodiquement avec une fréquence f. Ces 
tourbillons, de même sens de rotation,
forment l'allée de von Käârmâän, visible sur la photographie de la figure 9. On 
estime que la vitesse moyenne
d'avancement dans l'écoulement des tourbillons ayant quitté l'obstacle est 
égale à la moitié de celle de la tige,
soit v, & vu, (c'est la vitesse à laquelle sont advectés les tourbillons par 
l'écoulement). On admet que la masse
volumique et la viscosité de l'eau savonneuse sont les mêmes que celles de 
l'eau pure.

Fil cylindrique de section circulaire
diamètre 2 mm

Distance X entre deux tourbillons de même sens
dans une même rangée de l'allée de von Kärmâän
X = lcem

Figure 9 Allée de von Kärmän dans une lame de savon (image de Guillaume Durey)

Pour un écoulement instationnaire de vitesse v,. et de dimension 
caractéristique L, faisant intervenir un phé-
nomène temporellement variable de fréquence f, on définit le nombre sans 
dimension, dit nombre de Strouhal,

L
S+ = TE : il s'agit de la fréquence du phénomène adimensionnée par les 
grandeurs v,. et L. S, est fonction du

nombre de Reynolds À, comme le montre la figure 10. Lorsqu'on place un cylindre 
dans un écoulement plan, une
allée de von Kârmân apparait dans le sillage de l'obstacle à partir d'une 
valeur de À, de l'ordre de 40. La valeur
de S, associée prend, suivant la valeur de À, de l'écoulement, des valeurs 
comprises entre 0,1 et 0,2 environ. De
telles allées tourbillonnaires se manifestent à de nombreuses échelles, avec 
des valeurs de À, allant de quelques
dizaines pour des écoulements en laboratoire jusqu'à plusieurs milliards pour 
les écoulements atmosphériques.

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0,24

0,22 / TT
0.3490
S, = 0,2234 --
VRe
0,20
S, 0,18 |
0,16 |
1.018
5, = 0,2665 -- --
Re
0,14
0,12
10! 102 10% 10 105 109 107  10$ 10? 1010

R

Figure 10 Variation du nombre de Strouhal $, avec le
nombre de Reynolds À, (d'après Williamson et Brown)

EUR

Pour une valeur de R, < 2 x 10°, le nombre de Strouhal peut être estimé en utilisant l'expression $, = 0,2665 -- 1,018 0,3490 VAL VAL Q 39. Montrer que le nombre de Strouhal peut être interprété comme le rapport de deux temps caractéris- tiques 7, et 7 dont le sens physique sera explicité. . Pour une valeur de R, > 2x 107, le nombre de Strouhal peut être estimé en 
utilisant $, = 0,2231--

Q 40. Compte tenu des données fournies et des résultats de l'expérience, 
peut-on considérer que le modèle
développé rend compte quantitativement des observations expérimentales ?

La figure 11 présente une photo satellite d'une allée de von Kärman dans le 
sillage d'une petite ile de l'archipel
Juan Fernandez au large du Chili. On observe la couverture nuageuse entrainée 
dans l'écoulement plan du vent
dominant et le développement de tourbillons symétriques organisés en une allée 
de von Kärmän dans le sillage
de l'ile. La vitesse du vent est de 5 m:s ", la distance entre deux tourbillons 
de même sens est estimée à environ
10 km.

Figure 11 Allées de von Kärmän dans le sillage d'une ile de l'archipel Juan 
Fernandez (image NASA)

Q 41. En utilisant une modélisation adaptée et détaillée, proposer une 
estimation de la largeur de l'ile que
vous confronterez avec l'échelle donnée sur l'image.

ee erFINee.e

P036/2021-03-13 11:31:10 Page 8/8 (C2) By-Nc-SA

OO Numéro de place
(] Numéro d'inscription Gignature
, (, Nom
5 > Prénom
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC Épreuve : Physique 1 PC
Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'entête 
Feuille /

Question 1

y Lame d'air équivalente
À

rayon
incident

Figure A

luametatex 2.0808 20210105 LMTX

Ne rien écrire dans la partie barrée

P036-DR/2021-03-13 11:52:04

Question 11

Figure B
Question 24

Électromagnétisme Mécanique des fluides

Champ électrique E

Profondeur de peau à

| 1
évolution en ----
&

Cas d -- 0
conducteur parfait 04 -- ©

Figure C
Formulaire et données

L'espace est rapporté au trièdre direct (O,EUR,,6,,,EUR6.). On donne, en 
coordonnées cartésiennes, les opérateurs

PTT) YU) TZ
--_ gradient : gradé = V(£) = De, + 6, + De.

_ E OE E
__ divergence : dvE-V.E-° E + © 0 £ :
Ox OYy OZ

OE, =) . (a 7) _ (Se F) .
y _ y
Oy OZ | Oz Ox / © Ôx Oy |

__ rotationnel : rot £=V'E -- |

-- laplacien scalaire : AE) = V?(E) = 2 + 2 + --
T

-- Japlacien vectoriel : A(E) = V?(E) = A(E, jé, + A(E,,)é, + A(E,)e,.

On rappelle par ailleurs que

-- Je rotationnel d'un gradient est nul : rot(gradé) = V À V(£) = Ü:

-- Ja divergence d'un rotationnel est nulle : div(rot E) = V-(VAE) = 0:
-- rot(A A B) = (div B)A -- (div A)B + (B : grad)A -- (A : grad)B:

-- rot(rot À) = grad(div 4) -- A(A).

Eau Air
Masse volumique (kg-m *) Pe = 1,0 x 10° Pa = L3

Viscosité dynamique (Pa:s) | 7, & 1,0 x 10 * | 7, & 1,8 x 10 *

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hector Abel (ENS Cachan) ; il a été relu par Jérôme 
Lambert (enseignant-chercheur à l'université) et Émilie Frémont (professeur en
CPGE).

Les écoulements dans des lames de savon permettent de modéliser des écoulements
bidimensionnels que l'on retrouve dans de nombreux autres domaines, en 
géophysique
par exemple. La mécanique des fluides, mais également les interférences en 
surface,
sont utilisées pour aborder la question de ces écoulements tourbillonnaires 
plans.
· La première partie reprend les points importants du cours sur l'interféromètre
de Michelson. Les résultats sont ensuite appliqués à l'étude des franges 
d'interférence sur une lame de savon.
· La deuxième partie s'intéresse à l'équation de Navier-Stokes dans le cas d'un

-
écoulement bidimensionnel. On y introduit le vecteur vorticité  .
· La troisième partie commence par traiter de la diffusion d'une onde 
électromagnétique dans un milieu métallique. On effectue ensuite l'analogie 
entre la
pénétration de l'onde électromagnétique dans le métal et la diffusion de 
quantité de mouvement dans la couche limite pour un fluide visqueux au contact
d'une plaque oscillante. Enfin, on s'intéresse au problème de la stationnarité 
de
tourbillons dans un fluide visqueux mis en mouvement par un cylindre oscillant
à basse fréquence.
· Finalement, la quatrième partie introduit le nombre de Strouhal dans les 
allées
de von Kármán.
Ce sujet aborde beaucoup de points du programme de PC dans les parties I, II
et III. Bien que centré sur l'écoulement dans une lame de savon, l'énoncé 
comporte
également des questions sur l'interféromètre de Michelson et sur 
l'électromagnétisme
dans le cadre de l'ARQS. Il constitue ainsi un bon sujet de révision pour 
évaluer ses
connaissances dans ces domaines très classiques. Les parties traitant de la 
mécanique
des fluides sont plus calculatoires et demandent quelques prises d'initiative.

Indications
Partie I
2 Utiliser le théorème de Malus.
8 Calculer la différence de marche  en tenant compte de l'hypothèse sur l'angle
d'incidence.
10 Étudier l'évolution de l'angle  du coin d'air en fonction de z et comparer au
profil des franges.
11 Tracer ln e(z) en fonction de ln(H - z).
Partie II
14 Partir de la seconde expression de l'équation de Navier-Stokes et calculer 
son
rotationnel.
15 Utiliser l'hypothèse de fluide incompressible.
Partie III
17 Pour calculer la racine carrée complexe, remplacer i par exp(i/2).
19 Calculer la puissance volumique moyenne dissipée par le métal. Intégrer sur 
le
volume de section S et d'extension infinie selon (Oz).
28 Considérer le cas limite d = .
-

--

v
.
33 Comparer les termes   
v et 
t
36 Calculer la moyenne temporelle de l'équation pour éliminer tous les termes 
sauf
celui en hvp 2 i et celui en hvs i.
Partie IV
41 Calculer le nombre de Reynolds de l'écoulement pour en déduire le nombre de
Strouhal à l'aide de la formule du modèle.

Publié dans les Annales des Concours

I. Interféromètre de Michelson
et épaisseur d'une lame de savon
1 Le rayon incident est séparé par la lame réfléchissante L en deux rayons que 
l'on
note 1 et 2. Ils suivent les chemins suivants :
· rayon 1 : L (réflexion)  M1 (réflexion)  L (transmission) ;
· rayon 2 : L (transmission)  M2 (réflexion)  L (réflexion).
Les deux rayons sortent parallèles dans l'espace d'observation. En lame d'air 
équivalente, on considère le miroir M02 , qui est l'image du miroir M2 à 
travers la lame
semi-réfléchissante L.
y
M2
M1

e

1
2

rayon incident

x

J

M2
Lentille de projection
L
M

Écran

2 Le schéma ci-dessous représente les chemins optiques équivalents au montage de
l'interféromètre de Michelson en configuration lame d'air.
Ecran

Lentille de projection

M2

M1

C

M

B

y

1

A

2

e

f

Soit C le projeté orthogonal du point A sur le rayon réfléchi par le miroir M02 
. Les
points A et C sont sur un même plan perpendiculaire aux deux rayons réfléchis.
D'après le théorème de Malus combiné au principe du retour inverse de la 
lumière,
[CM]2 = [AM]1 . La différence de marche vaut alors
(M) = [AM]2 - [AM]1
= [AB]2 + [BC]2 + [CM]2 - [AM]1
= [AB]2 + [BC]2
= [AB]2 + [AB]2 cos(2)
e
× (1 + cos(2))
=
cos 
e
=
× 2 cos2 
cos 
(M) = 2e cos 
3 La figure d'interférence est localisée à l'infini. Pour l'observer, un écran 
d'observation est placé dans le plan focal image d'une lentille convergente. On 
choisit un
lentille de grande focale (1 m), pour que les anneaux soient grands.
On peut également ajouter une lentille de faible focale (condenseur) en amont
de l'interféromètre de Michelson pour concentrer le faisceau de lumière 
incident sur les miroirs.
4 Comme on peut l'observer sur la figure de la question 2, la différence de 
marche 
est invariante par rotation du point M autour de l'axe Oy. La forme de la figure
d'interférence est ainsi une conséquence de la symétrie axiale du dispositif. 
Les rayons
interférant en un point M présentent la même inclinaison , raison pour laquelle 
on
parle de franges d'égale inclinaison.
5 Le contact optique est obtenu lorsque l'on translate l'un des miroirs jusqu'à 
ce
que e = 0 (M01 et M2 sont alors confondus). Considérons une frange 
d'inclinaison 
donnée. On a
 = 2e cos 
Donc

d = 2 de cos() - 2e d sin  = 0

d
cot 
=
de
e
On constate alors que, lorsque e diminue,  diminue également. Par conséquent,
l'anneau se réduit, jusqu'à disparaître au centre de la figure quand on prolonge
suffisamment la translation. Au contact optique, la différence de marche est 
nulle
pour tout angle  : l'éclairage est uniforme.
6 Avec une source étendue, les interférences sont localisées sur une surface 
presque
confondue avec les plans des miroirs M1 et M02 . En pratique, il faut faire 
l'image
des miroirs sur le plan d'observation avec une lentille convergente, ou observer
directement dans l'interféromètre.
7 Les interférences sont constructives en un point M tel que  = k0 , k  Z. La
plus petite valeur de x séparant deux points où des interférences constructives 
sont
observées est i. L'interfrange vaut alors
Ainsi

i=

0
2