Centrale Physique 1 PC 2019

Thème de l'épreuve Odyssée vers la condensation de Bose-Einstein
Principaux outils utilisés électromagnétisme, oscillateur harmonique, physique du laser, thermodynamique, analyse dimensionelle
Mots clefs laser, refroidissement, évaporation, condensation de Bose-Einstein

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Physique 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2019

Odyssée vers la condensation de Bose-Eïinstein

Les données numériques utiles sont fournies en fin d'énoncé.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la part
du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées, si elles sont 
pertinentes, elles seront valorisées. Le
barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un 
raisonnement.

Dans ce problème, composé de quatre parties largement indépendantes, on étudie 
les différentes étapes qui
mènent à la condensation de Bose-Einstein d'un gaz de rubidium 87. Ce 
phénomène, prédit en 1925 par Albert
Einstein et Satyendranath Bose à été observé pour la première fois dans un gaz 
dilué en 1995, cette réalisation
expérimentale a été récompensée en 2001 par le prix Nobel de physique.

Pour réaliser la condensation, l'expérience, dont le schéma est décrit en 
figure 1, a pour but de faire subir à une
vapeur de rubidium des transformations qui modifient à la fois la densité et la 
température de façon à atteindre
la condition de condensation.

obturateur
mélasse

transverse flexicryoplongeur

solénoide
ralentisseur azote
| liquide

Be...

a ----------_--_--_--_--_--_--_--_--_--_-- LL,

bobine
ralentisseur

YC
four ! . DK

um ralentisseur

vanne de cellule en
protection i panneau Pyrex
cryogénique
titane
enceinte primaire enceinte secondaire
0 0.6 1.6 22 z (m)

Les différents systèmes de pompes permettent d'obtenir un ultra-vide avec une 
pression
résiduelle de l'ordre de 10 bar ! Les éléments qui entourent la cellule en 
Pyrex dans laquelle
se forme le condensat ne sont pas représentés. Les quatre lettres encerclées 
correspondent
aux lieux des quatre premières étapes de la figure 2 : Four, Jet, Ralentisseur 
et Piège.

Figure 1 Dispositif expérimental!

La séquence de transformations subies par la vapeur est représentée sur la 
figure 2 dans le plan (n*, Ar), appelé
« espace des phases », n* désigne la densité particulaire (nombre d'atomes par 
unité de volume) et A, la longueur
d'onde thermique de de Broglie :

hk
Âr EE
4/27 M kBT
où M est la masse d'un atome, h la constante de Planck, k;, la constante de 
Boltzmann et T'la température

absolue. On appelle « densité dans l'espace des phases » la quantité D -- he n°.

Dans tout le sujet, on néglige l'effet du poids.

Sauf indication contraire, les figures sont adaptées de la thèse de Bruno 
Desruelle réalisée au laboratoire Charles Fabry de l'Institut
d'Optique, « Évaporation par radio-fréquences et condensation de Bose-Einstein 
d'un gaz d'alcalins en régime de champ fort »,
Université Paris Sud - Paris xI, 1999.

2019-03-11 13:38:44 Page 1/8 CHELLES

CBE

--6

a --1 Évaporation

© .

SE: Piège

< o = Æ 9 E& < © à --_10 pee ee d'ou -- il Jet ° 12 15 14 15 16 17 18 19 logn* (avec n* en m*) Figure 2 Chemin expérimental (simplifié) réalisé dans l'espace des phases pour atteindre la Condensation de Bose-Einstein (CBE) I Le critère de condensation Q 1. En utilisant l'analyse dimensionnelle, construire une vitesse V7 à partir d'une masse M, d'une tempé- rature T'et de la constante de Boltzmann k;. Q 2. Justifier que le paramètre A4 est appelé longueur d'onde thermique de de Broglie. Q 3. La longueur d'onde thermique de de Broglie donne l'ordre de grandeur de l'extension spatiale de la fonction d'onde des atomes de rubidium. Expliquer pourquoi on peut s'attendre à ce que le gaz manifeste des propriétés purement quantiques lorsque la densité dans l'espace des phases est de l'ordre de l'unité. Q 4. Un calcul de physique statistique quantique montre que la condensation de Bose-Eïinstein commence si la densité dans l'espace des phases atteint la valeur critique 2, = 2,612. Calculer la température de condensation pour un gaz dont la densité est n* = 1.0 x 10!° m *. II Du four à la mélasse transverse Cette partie vise principalement à déterminer l'ordre de grandeur de la densité dans l'espace des phases lors des premières étapes de l'expérience. IT. A --- Le four Le four est maintenu à une température de 130 °C. À cette température, la pression de vapeur saturante du rubidium est de l'ordre de 0,1 Pa. Les atomes sortent du four par un petit trou et on suppose que cela ne perturbe pas notablement l'équilibre thermodynamique dans le four. On rappelle que la constante des gaz parfaits est égale au produit de la constante d'Avogadro et de la constante de Boltzmann. Q 5. Déterminer l'ordre de grandeur de la norme de la vitesse des atomes qui s'échappent du four. Q 6. Déterminer l'ordre de grandeur de la densité particulaire n", et de la densité dans l'espace des phases D ; à l'intérieur du four. ITI.B --- La mélasse optique transverse La divergence du jet sortant du four limite le flux de particule parvenant à la cellule. Pour augmenter ce flux, on utilise une « mélasse transverse » constituée de quatre faisceaux lasers qui interagissent avec les atomes. Cette interaction sera précisée dans la prochaine partie. Pour le moment, on admet que l'effet de ces lasers est d'exercer sur les atomes une force de type frottement fluide visqueux F = --a(v,é, + v,é,) dans les directions orthogonales à l'axe EUR, du jet (c'est pourquoi elle est dite « transverse »). On donne a = 3 x 10 "kgs !. Q 7. Écrire l'équation différentielle vérifiée par v,. Identifier une constante de temps 7 dont on calculera la valeur numérique. Q 8. Sachant que la longueur (selon EUR,) de la zone d'interaction entre les lasers de la mélasse et les atomes est d'environ 6 em, que peut-on dire des vitesses v, et v, à la sortie de la mélasse ? Q 9. À la sortie de la mélasse transverse, le vecteur densité de courant de particules dans le jet a pour norme j = 4 x 10m ?:s !. En déduire l'ordre de grandeur de la densité particulaire n°, dans le jet. 2019-03-11 13:38:44 Page 2/8 (Cc)EATET: III Le ralentisseur et le piège magnéto-optique Pour agir sur le mouvement des atomes avec des lasers, on utilise les phénomènes d'absorption et d'émission des photons par les atomes. Le nombre maximal de cycles d'absorption-émission que peut réaliser un atome par seconde est égal à l°/2 où l est la « largeur naturelle » de la transition utilisée. Les lasers de la mélasse, du ralentisseur et du piège magnéto-optique ont tous une longueur d'onde dans le vide très proche de À, = 780 nm. Pour la transition à 780 nm du rubidium 87, on a L = 3,7 x 107$ !. TITI. À -- Interaction entre les atomes et les photons du laser ralentisseur Le laser ralentisseur est constitué d'un faisceau se propageant suivant --EUR,, ce laser va exercer une « pression de radiation » sur les atomes du jet qui se déplacent suivant +EUR.. III. A.1) Champ électrique du laser ralentisseur Q 10. Le rayon minimal du faisceau laser est de l'ordre de 3 mm. Justifier que l'onde électromagnétique émise par le laser peut être considérée comme plane sur toute la longueur du ralentisseur. Q 11. Sachant que le laser est polarisé rectilignement selon la direction EUR,, écrire l'expression vectorielle du champ électrique en fonction de la pulsation w du laser, k (norme du vecteur d'onde), t{ et z. On notera Æ, son amplitude. III. A.2) Modèle de l'électron élastiquement lié Le rubidium est un alcalin, il possède donc un unique électron sur sa couche de valence, nous allons traiter le mouvement de cet électron (de masse m, et de charge q.) avec la physique classique (non quantique et non relativiste). On suppose que x(t) = NM :é, (où N désigne la position du noyau et M celle de l'électron) obéit à l'équation différentielle suivante dans le champ de l'onde électromagnétique : dx dx q © HT ufr = LE, cos(wt + wo). qe qe ME = 77 Po COS(&É + 0) Dans cette équation, l' désigne la largeur naturelle de la transition, w la pulsation du laser et w, = AEUR,/h où ÂËy = 1,59 eV représente la différence d'énergie entre les deux niveaux atomiques utilisés. Q 12. Calculer la longueur d'onde du laser lorsque ce dernier vérifie la condition de résonance w = w,. Définir puis calculer le facteur de qualité Q de l'oscillateur harmonique associé à cette transition. Q 13. Déterminer l'expression de l'amplitude X(w) des oscillations de l'électron en régime sinusoïdal établi. WU, -- W et Q 14. Déterminer la pulsation de résonance w, en fonction de «, et l. Calculer numériquement w0 conclure. On admet qu'une expression approchée de l'amplitude À des oscillations s'écrit X W -- W X (uw) À = avec Ô(w) -- © V8? +1 '/2 Q 15. Quelle est la signification de X,.. ? Q 16. Montrer que la puissance moyenne de la force électrique exercée sur l'électron est opposée à la puissance moyenne de la force de frottement : F} = MD. En déduire qu'elle peut s'écrire P(8) = ï Lp et donner l'expression de Fu. III.A.3) Expression de la force hors résonance Notons F = --F{w)é. la force moyenne exercée par le laser ralentisseur sur un atome. Le nombre de cycles absorption-émission par unité temps est proportionnel à la puissance P(w) absorbée par l'électron de valence, on peut en déduire que F{w) s'écrit sous la forme : Enax WW Uz FO) = 5 avec Ô(w) -- D et = (1+=)u, où w, représente la pulsation du laser dans le référentiel du laboratoire noté %, et w désigne la pulsation du laser dans le référentiel (en translation par rapport à Æ,) où l'atome est immobile (la différence entre ces deux pulsations constitue l'effet Doppler). Q 17. 'Tracer l'allure de F'en fonction de 0. On suppose que la condition Ô = 0 est réalisée pour un atome qui sort du four avec une vitesse v, = 300 m:s ! (il interagit donc efficacement avec le faisceau ralentisseur à la 1 sortie du four). Déterminer la vitesse v! pour laquelle la force ne sera plus que 5 P'max et conclure. Q 18. Pour améliorer la situation, on peut penser à utiliser un laser de fréquence variable. Comment de- vrait varier cette fréquence au cours du temps ? Quel(s) avantage(s) et inconvénient(s) cette solution peut-elle présenter ? 2019-03-11 13:38:44 Page 3/8 (Cc)EATET: III. A.4) Utilisation de l'effet Zeeman Pour que la condition de résonance (absorption d'un photon par un atome) soit vérifiée en tout point du ralentisseur, on utilise un champ magnétique qui modifie la fréquence de résonance de l'atome par effet Zeeman. Ce champ magnétique est créé par deux enroulements (visibles en noir sur les figures 1 et 3) appelés « solénoïde ralentisseur » et « bobine ralentisseur ». solénoide ralentisseur bobine / ralentisseur = - ji = faisceau nr ralentisseur B (Gauss) 150 - 100 - 1=3.4 A >

position
en m

Figure 3 Les deux enroulements du ralentisseur (en noir sur le schéma du haut) 
sont parcourus par un
courant { = 3,4 À. La composante B, du champ magnétique sur l'axe, exprimée en 
gauss (1 Gauss = 107{T)
est représentée en fonction de z (les carrés correspondent aux mesures directes 
du champ et la courbe en trait
plein au champ calculé).

En présence d'un champ magnétique B = B,ü., la différence d'énergie AEUR, = hu, 
entre les deux niveaux
atomiques du rubidium utilisés pour le ralentissement est remplacée par 
AEUR(B.) = AËEUR, + u3B, où u8 désigne
le magnéton de Bohr. Ainsi, dans l'expression de 6, et donc de la force exercée 
par le laser ralentisseur, w, est
remplacée par w) + upB./h.

Q 19. Construire en ordre de grandeur le magnéton de Bohr par analyse 
dimensionnelle à partir de la masse
de l'électron m,,, de la charge de l'électron q, et de la constante de Planck 
réduite h. Citer une expérience célèbre

qui a permis de mettre en évidence la quantification du moment magnétique des 
atomes.

Q 20. Calculer la variation de B, nécessaire pour immobiliser des atomes dont 
la vitesse initiale est 300 m-s_"

avec une force de freinage maximale tout au long de leur mouvement.

Q 21. On considère un atome qui possède la vitesse ve, (avec v, > 0) lorsqu'il 
se trouve en 2, (point d'entrée
dans le solénoïde ralentisseur). En supposant qu'en tout point de l'espace cet 
atome subit une accélération
constante --aë, (avec a > 0), déterminer l'expression de sa vitesse v,e, en 
fonction de a, v,, z, et de la position
z de l'atome dans le ralentisseur.

Q 22. Montrer que le profil idéal de champ magnétique est tel que B,(z) = b+b, 
1/1 -- B(z -- z,). On donnera
les expressions de b, et 8 en fonction de a, v,, EUR, un, À et w, qui est la 
pulsation du laser dans le référentiel du
laboratoire.

Q 23. Déterminer les sens de circulation du courant dans les deux enroulements 
représentés sur la figure 3 ;:
ainsi que l'ordre de grandeur du nombre de spires dans chacun de ces deux 
enroulements. Préciser le(s) hypo-
thèse(s) et approximation(s) réalisée(s).

2019-03-11 13:38:44 Page 4/8 (Cc)EATET:
Q 24. Quel peut être l'intérêt d'ajouter la bobine ralentisseur plutôt que de 
générer la totalité du champ
magnétique avec le solénoïde ralentisseur ?

ITI.B --- Le piège magnéto-optique

À la sortie du ralentisseur, les atomes sont capturés par un piège constitué de 
trois paires de lasers (formant
une mélasse optique 3D) et de deux bobines générant un champ magnétique dont la 
norme augmente avec la
distance au centre.

Laser beams

Figure 4 Le piège magnéto-optique est constitué de deux
bobines (Coils) et de six faisceaux laser possédant des po-
larisations bien choisies?

Pour simplifier, on considère un atome qui se déplace uniquement sur l'axe (Ox) 
avec une vitesse v,. On note
F, (respectivement F°) la force moyenne exercée par le laser se propageant 
suivant +EUR, (respectivement --EUR,).
Comme pour le laser ralentisseur, la force moyenne exercée sur un atome de 
vitesse U par un faisceau laser se

propageant dans la direction EUR, (ici à désigne l'indice + ou -- avec EUR, = 
+é, et EUR_ = --é,) est donnée par
. FE w, --(wy+m£e BE) Ü-6;
F, = << 6; avec ô, = -- à ' et W, = U- JE 1 1 + 02 1 À r/2 1 c L où w, représente la pulsation du laser dans le référentiel du laboratoire, w, désigne la pulsation du laser se propageant suivant EUR, « vue » par l'atome et m est un nombre quantique (positif ou négatif). On ne considère pas les phénomènes d'interférences entre les faisceaux lasers. III.B.1) Force exercée par les lasers en l'absence du champ magnétique Dans toute cette section III.B.I, on considère que le champ magnétique B est nul. On introduit les deux grandeurs algébriques adimensionnées Wry, Ur WI, -- WG V =2-- -- t À = ------ Te T /2 -- Q 25. Donner les expressions de F, =, -F, et F_ -- EUR, : F_ en fonction de À, Vet F Q 26. Pour À = +1, tracer sur un même graphe F, et F°_ ainsi que la force totale F, = F, + F_ en fonction de la vitesse adimensionnée V. La pulsation w, du laser doit-elle être choisie plus grande ou plus petite que la pulsation w, de la transition atomique pour que les lasers ralentissent effectivement les atomes ? Q 27. Montrer que pour [V| & [A|, la force peut se mettre sous la forme F, & --aV où a est à exprimer en fonction de À et de F... III.B.2) Force exercée par les lasers en présence du champ magnétique On souhaite non seulement arrêter les atomes avec la mélasse 3D, mais également les concentrer au voisinage du point © afin d'augmenter la densité particulaire. Pour cela on utilise à nouveau un champ magnétique qui modifie l'énergie des niveaux atomiques par effet Zeeman. L'axe (Ox) correspond à l'axe commun des deux bobines représentées sur la figure 4. Les courants induits circulent dans des sens opposés et, sur la figure, on à à > 0.

Q 28.  Démontrer que sur l'axe (Ox), au voisinage de x = 0, on a B(x. 0,0) = 
--B'xeé, avec B° > 0.

Q 29. Par quoi faut-il remplacer V pour que les formules obtenues dans le cas B 
= 0 soient valables pour
B £ O0 ? En déduire le signe de Mm pour que les atomes soient effectivement 
ramenés vers le point O.

Q 30. Sachant que la densité au centre du piège est n7, = 2 x 10!{%m * et que 
la température est T}, = 0,1mK,
calculer la densité dans l'espace des phases D, au centre du piège 
magnéto-optique.

D'après Jérôme Estève, « Trapped by nanostructures », Nature Nanotechnology, 8, 
317-318 (2013).

2019-03-11 13:38:44 Page 5/8 (C)EATET:
IV Le refroidissement évaporatif et la condensation de Bose-Einstein

Même si des mécanismes subtils permettaient de refroidir encore un peu le nuage 
d'atome dans le piège magnéto-
optique, il est impossible de descendre en dessous de la « température de recul 
» qui correspond à l'énergie
cinétique possédée par un atome (initialement immobile) après l'absorption d'un 
photon. Pour parcourir la fin
du chemin menant à la condensation, il est donc impératif d'éteindre la 
lumière. Pour cela, les atomes sont
transférés dans un piège purement magnétique. Mais il faut des champs très 
intenses, de sorte que les courants
utilisés pour générer ces champs dépassent largement la centaine d'ampères ; 
pour évacuer la puissance dissipée
par effet Joule, on utilise des fils creux dans lesquels on fait circuler de 
l'eau sous pression. Et il faut utiliser
une nouvelle technique pour refroidir les atomes...

IV.A - Le piège magnétique

Contrairement au piège magnéto-optique, il faut un champ non nul au centre du 
piège magnétique si on ne veut
pas perdre les atomes. On utilise pour cela un piège de type Toffé-Pritchard, 
proposé dans les années 1960 par
M. Ioffé pour le confinement des plasmas, il a été repris dans les années 1980 
dans le groupe de D. Pritchard

pour confiner des atomes neutres. Sa version originale est constituée de quatre 
fils rectilignes et de deux bobines
(figure 5).

Figure 5 Distribution de courant et champ sur l'axe (Oz). En pointillé, le 
champ créé par
chacune des deux spires et leur somme en trait pleins.

IV.A.1) Champ quadrupolaire créé par les quatre fils

Q 31. Déterminer le champ magnétique B, créé en tout point de l'espace par un 
fil rectiligne infini d'axe
(O,z) parcouru par un courant 1 (le courant J est positif suivant +e.).

Q 32.  Onse place dans le plan z = 0, on considère le fil pour lequel O, à pour 
coordonnées æ, = --D (avec

D > 0) et y, = 0 (figure 5). Déterminer l'expression approchée du champ B, créé 
par cet unique fil en un point
Mix, y,0) au voisinage de l'origine O. On exprimera B, au premier ordre en x" = 
x/D ct y" = y/D, en fonction

2101
de x", y", B, = D
T

et des vecteurs de base EUR, et EUR,,.

Q 33. On considère maintenant deux fils passant respectivement par les points 
O,(--D,0,0) et O,(+D, 0,0),
tous deux traversés par des courants 7 positifs suivant +e.. Déterminer 
l'expression approchée du champ B, +B,
au voisinage de l'origine.

Q 34. Par des considérations de symétrie (sans calculs), montrer que la seconde 
paire de fil dans la configu-
ration proposée par loffé permet de doubler le champ précédent au voisinage du 
point ©.

IV.A.2) Interaction dipôle-champ

Pour z assez petit, l'expression du champ créé par les deux bobines circulaires 
est B(0. 0,2) = (B5+B"(z/2)°)é.;

avec B, > 0 et B7 > 0. Si on prend en compte ce champ, on montre qu'au 
voisinage du point ©, la norme du
champ magnétique total peut s'écrire

B? B"' x? + 2 B'
Bien.) = Bi | = - +
0

BD 2) 2 .

2019-03-11 13:38:44 Page 6/8 (Cc)EATET:
B _ LB"
BD?

Q 35. Donner l'expression de l'énergie potentielle EUR d'un atome possédant un 
moment dipolaire magnétique

On a de plus

M plongé dans un champ B.

Q 36. Dans cette question, on utilise la physique classique. Un dipôle est 
placé en un point donné (il ne se
déplace pas, mais il peut tourner sur lui-même) ; pour quelle orientation le 
dipôle se trouve-t-il dans une position
d'équilibre stable vis à vis du champ ? On suppose maintenant que ce dipôle 
peut se déplacer dans l'espace et
que, en tout point, il pointe dans la direction correspondant à l'orientation 
stable vis à vis du champ. Est-il
possible de piéger le dipôle avec le champ magnétique dont la norme B(x,y,2) 
est donnée ci-dessus ?

Q 37. En physique quantique, l'énergie d'interaction entre le dipôle et le 
champ est quantifiée vis à vis du
moment magnétique (mais les énergies peuvent varier continument avec la norme 
du champ magnétique) : les
valeurs possibles de l'énergie sont me = --MryrgrligB(x,y,2) où mr est le 
nombre quantique magnétique qui est
un entier (ou un demi-enticr) positif ou négatif et où gr est un facteur 
numérique (dit de Landé). Dans certaines
conditions, même s'ils se déplacent dans un champ non uniforme, les atomes 
peuvent rester dans un sous-niveau
Zeeman donné, c'est-à-dire que m reste toujours le même. Si le produit g-m} 
possède le bon signe, on peut
donc avoir un potentiel harmonique anisotrope qui piège les atomes. Dans ces 
conditions, donner les expressions
de la pulsation w, des oscillations suivant la direction EUR, et de la 
pulsation w,. suivant les directions orthogonales
à EUR.

IV.B - Le refroidissement évaporatif

La dernière étape pour arriver à la condensation de Bose-Einstein est le 
refroidissement évaporatif. L'idée est
très simple : on enlève du piège les atomes dont l'énergie est la plus grande 
de sorte que, pour les atomes restant
dans le piège, l'énergie moyenne par atome (et donc la température) diminue. 
Évidemment, sacrifier ainsi des
atomes n'a d'intérêt que si la densité dans l'espace des phases augmente. Avec 
une onde radio-fréquence (rf)
dont la fréquence est correctement ajustée, on change le signe de m} pour les 
atomes dont l'énergie dépasse une
certaine valeur, ce qui a pour effet de les placer dans un niveau non-piégeant 
où ils sont évacués.

On admet que l'énergie moyenne d'un atome dans le piège harmonique est égale à 
3k,T° (l'origine de l'énergic
est prise nulle au point O).

Initialement, on a NV, atomes dans le piège à la température 7. On applique la 
radio-fréquence pendant une
certaine durée, les atomes qui sont ainsi évacués du piège ont une énergie 
moyenne égale à 7k31, par atome
(avec 7 & 7). On coupe la rf, puis on attend que les atomes restant reviennent 
à l'équilibre thermodynamique,
on à alors N, < N, atomes piégés à la température 7, < 1. Q 38. En utilisant la conservation de l'énergie totale, déterminer une relation entre N,, N,, 15, T° et 7. En réalité, on applique la radio-fréquence en continu. Bien que le gaz d'atomes ne soit pas à l'équilibre thermo- dynamique, on admet que -- pour 7 assez grand -- on peut définir une température T'(t) à tout instant. On ajuste la fréquence de la rf de sorte que 7 reste constant à tout instant. On note dN = N(t + dt) -- Nft) ct dT = T(t+ dt) --T(t). / : dN d7T Q 39 Déterminer une relation entre NT et 7. Q 40. Justifier qualitativement que, si le nombre N d'atomes dans le piège est constant, alors la densité particulaire au centre du piège n} augmente lorsque la température diminue. Lors du refroidissement évaporatif N varie et on peut montrer que nm = aNT #/? où a est une constante. Q A1. Déterminer la valeur minimale de 7 pour laquelle la densité dans l'espace des phases au centre du piège D, augmente au cours l'évaporation. Q 42. On note N, et D; respectivement le nombre d'atomes et la densité dans l'espace des phases au centre du piège avant l'évaporation. Déterminer D,(t) en fonction de 7, D}, Nh et N(t). Discuter la limite quand 7 -- OO. Q 43. Au bout d'un certain temps, on obtient nf = 5 x 10! m et T = 2 x 10 ° K, calculer D,. IV.C --- Preuve expérimentale de la Condensation de Bose-Eïinstein Pendant longtemps, de nombreux physiciens ont pensé que la condensation de Bose-Einstein était un état de la matière théorique qui ne pourrait jamais être réalisé expérimentalement. En 1995, lors de la première réalisation expérimentale, il a fallu que les chercheurs trouvent un argument incontestable pour convaincre la communauté scientifique que ce « Graal de la physique » avait enfin été atteint, cet argument a été l'observation de « l'inversion de l'ellipticité ». On réalise des images en absorption du nuage d'atomes froids. Pour cela on coupe le piège magnétique (nécessaire pour supprimer les décalages dus à l'effet Zecman) puis, après un temps de vol 7, on envoie un faisceau laser presque résonant sur le nuage et on observe « l'ombre » du nuage sur une caméra CCD (figure 6). En présence d'atomes, l'éclairement détecté en un point de la caméra est réduit d'un facteur qui dépend de la densité du nuage intégrée le long de la direction de propagation du laser. 2019-03-11 13:38:44 Page 7/8 (Cc)EATET: Y 39,516 39,502 39,492 39,484 Figure 6 [Images en absorption du nuage d'atomes froids après un temps de vol de durée T = 22 ms. Les quatre images ont une largeur correspondant à 0,75 mm. Le nombre sous l'image correspond à la fréquence finale (en MHz) de la rf utilisée pour l'évaporation. La première image est celle d'un nuage thermique. Sur la troisième image, on voit une double structure : on est en présence d'un condensat de Bosc (partie très dense au centre) entouré par un nuage thermique. Sur la dernière image, on a un condensat presque pur. Q 44. Montrer que si le temps de vol 7 est assez long, l'image obtenue reflète la distribution initiale des vitesses dans le piège. En supposant que 7 = 22 ms est « assez long », déterminer un ordre de grandeur de la température lorsque la fréquence finale de la rf est de 39,516 MHz. Q 45.  Rappeler l'inégalité de Heisenberg spatiale en indiquant la signification des différentes grandeurs. Pour le condensat de Bose-Einstein dans le piège harmonique, l'inégalité est en fait une égalité. On rappelle que le piège magnétique est anisotrope (on a w, > w,). Montrer que pour un condensat 
de Bose-Eïinstcin, si on compare
deux images, l'une avec 7 assez faible et l'autre avec 7 assez grand, on a une 
« inversion de l'ellipticité ». Montrer
enfin que cet effet ne peut pas se produire avec un nuage thermique.

Données

Constante de Planck h = 6,63 x 10 * J:s
Constante de Boltzmann kz = 1,38 x 10 * JK !
Vitesse de la lumière dans le vide c = 3,00 x 10Y ms
Perméabilité magnétique du vide Lo = 1,26 x 10 $ H-m !
Charge électrique élémentaire e = 1,60 x 10 © C
Magnéton de Bohr up = 9,27 x 10 * A-m°
Masse d'un atome de rubidium 87 M = 1,45 x 10 * kg

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2019-03-11 13:38:44 Page 8/8 (C)EATET:

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Dupic (ENS Ulm) ; il a été relu par Guillaume
Maimbourg (professeur en CPGE) et Tom Morel (professeur en CPGE).

Le sujet porte sur les différents éléments d'une expérience visant à observer le
phénomène de condensation de Bose-Einstein. Il est composé de quatre parties 
relativement indépendantes et de tailles inégales.
· La première partie, très courte, demande de calculer quelques-uns des ordres
de grandeur liés à la condensation de Bose-Einstein.
· La deuxième partie, courte elle aussi, décrit le four et la « mélasse 
transverse »
qui sert à augmenter le flux de particule à l'entrée du dispositif. Elle ne 
fait appel
qu'à de l'analyse dimensionnelle et à de la dynamique du point élémentaire.
· La troisième partie, plus longue et plus classique (au moins jusqu'à la 
question 19), aborde le ralentisseur et le piège optique qui ralentissent des 
atomes
de rubidium en utilisant leurs transitions électroniques. La transition est 
décrite par le modèle de l'électron élastiquement lié et le problème est ramené 
à
l'étude d'un oscillateur harmonique amorti.
· La quatrième partie aborde le piège magnétique et la méthode de 
refroidissement évaporatif. Elle fait intervenir un peu de magnétostatique au 
début, ainsi
que des questions plus libres en fin de sujet.
De longueur typique pour un sujet de Centrale, l'épreuve fait appel à de 
nombreuses notions de mécanique et de magnétostatique de 1re et 2e année. Le 
sujet
est difficile, mais il fournit régulièrement des résultats intermédiaires et 
contient plusieurs questions indépendantes. Le réussir demande une bonne 
compréhension du
dispositif expérimental présenté ainsi qu'une certaine intuition physique. Il 
contient
beaucoup d'analyse dimensionnelle et d'applications numériques, qu'il ne faut 
surtout
pas négliger.

Indications
Partie I
2 Appliquer la formule de de Broglie à une particule du gaz.
3 Les effets quantiques apparaissent lorsque la distance interatomique est de 
l'ordre
de la longueur d'onde thermique T .
Partie II
6 Il y a un équilibre solide-gaz : la pression vaut la pression de vapeur 
saturante.
Partie III
10 Comparer la taille du ralentisseur à la longueur de Rayleigh du laser.
13 Passer en notation complexe.
16 Faire un bilan de puissance à partir de l'équation du mouvement.
20 Utiliser la force de Lorentz pour déterminer la dimension du champ 
magnétique.
21 Écrire le théorème de l'énergie cinétique.
23 Les bobines peuvent être considérées de longueur infinie.
28 Faire un développement limité du champ au voisinage de O et utiliser les 
symétries
du problème.
29 On pourra séparer la force en deux composantes, l'une proportionelle à la 
vitesse
et l'autre au champ magnétique.
Partie IV

32 Faire un schéma et exprimer -
e en fonction de -
ex , -
ey et y  .
-

-

33 Le champ magnétique B2 est l'antisymétrique de B1 par rapport au plan passant

par O et normal à -
e .
x

36 Le dipôle va chercher à se placer dans l'état d'énergie minimale.
37 Comparer le potentiel du dipôle avec le potentiel harmonique en trois 
dimensions.
41 Intégrer l'équation de la question 39 pour exprimer T en fonction de N et de 
.
45 À temps court, la distribution des positions sur l'image en absorption est 
essentiellement due à la distribution des positions initiales. À temps long, 
elle est surtout
donnée par la distribution des vitesses initiales. Pour la fin de la question, 
il faut
remarquer que c'est le piégeage d'un condensat de Bose-Einstein qui transforme
l'inégalité d'Heisenberg en égalité.

Odyssée vers la condensation de Bose-Einstein
I. Le critère de condensation
1 Il est utile de se rappeler que k B T a la dimension d'une énergie, soit
[k B T] = [E] = M L2 T-2
où la seconde égalité découle, par exemple, de l'expression de l'énergie 
cinétique.
Ainsi, on peut définir une vitesse caractéristique VT par
r
kBT
VT =
M
Un résultat important de théorie cinétique des gaz relie la vitesse des 
particules d'un gaz monoatomique à sa température :
1
3
M v2 = kB T
2
2
Ici, VT 2 va donc correspondre, à une constante près, à la moyenne du carré
de la vitesse des particules.
2 La longueur d'onde de de Broglie d'une particule est définie par T = h/p où p
est la norme de sa quantité de mouvement. Avec p = M VT et la question 1,
T =

h
h
= 
MVT
k B TM

À un facteur 2 près, c'est bien l'expression de l'énoncé. T dépend de la 
température du gaz, d'où l'appellation « longueur d'onde thermique de de 
Broglie ».
La longueur d'onde thermique de de Broglie donne l'échelle caractéristique
des phénomènes quantiques dans un gaz à la température T. Pour de l'air à
température ambiante, on trouve T  10-11 m. Dans ce cas, les phénomènes
quantiques liés à la température apparaissent à des échelles subatomiques et
sont négligeables. Ils n'auront une influence qu'à (très) basse température.
3 Les effets quantiques apparaissent lorsque la distance interatomique d est de
l'ordre de T . Pour d  T , il y a une seule particule dans un volume T 3 d'où
n  T -3 , et
D =  T 3 n  1
4 On remonte à la température en utilisant la définition de T donnée à la 
question 2, d'où :
h2
2 M k B T 2
 1/3
Dc
T =
n

Tc =
Par définition de D,
Donc

Tc =

Pour des atomes de rubidium,

h2 n 2/3
2 M k B Dc 2/3

Tc = 86 nK

II. Du four à la mélasse transverse
5 Utilisons la vitesse VT définie à la question 1. Pour une température TF = 
130  C,
r
k B TF
= 2,0 × 102 m.s-1
VF =
M
6 L'intérieur du four étant à l'équilibre thermodynamique, la coexistence des 
phases
gazeuse et solide du rubidium implique que sa pression doit être égale à la 
pression de
vapeur saturante, P = 0,1 Pa. Le gaz étant à haute température et à basse 
pression,
on s'attend à ce que la loi des gaz parfaits soit particulièrement bien 
vérifiée. Si N
est le nombre d'atomes du gaz à l'intérieur du four et V son volume, la loi des 
gaz
parfaits s'écrit
PV = Nk B TF
Finalement

nF  =

N
P
=
= 1,8 × 1019 m-3
V
k B TF

La densité dans l'espace des phases DF vaut
DF = nF  T 3 =

nF  h3
= 1,5 × 10-14
(2 M k B TF )3/2

La figure 2 du sujet permet de vérifier les ordres de grandeur obtenus.
7 Comme le sujet stipule que le poids est négligé (première page), la seule 
force à
considérer est la force de frottement fluide. On applique le principe 
fondamental de
la dynamique à un atome dans le référentiel terrestre, supposé galiléen,

d-
v

M
= - vx -
ex + vy -
ey
dt
-
En projetant suivant 
ex ,

M

dvx
= - vx
dt

La solution de cette équation est une exponentielle décroissante, vx  e-t/M avec
un temps caractéristique
M =

M
= 4,8 × 10-5 s

On peut vérifier qu'à cette échelle l'effet de la gravité est négligeable 
comparé
à celui de la force exercée par les lasers
Mg  10-24 N

VF  6.10-19 N

8 D'après le résultat de la question 5, les atomes qui sortent du four ont une 
vitesse
de l'ordre de 2 × 102 m.s-1 . La force n'agit pas sur vz , en conséquence 
l'atome va
rester dans la zone d'interaction de longueur dI = 6 cm pendant une durée  I 
telle que
dI
I =
= 3,1 × 10-4 s
VF
D'après la question 7, les vitesses vx et vy vont être multipliées par un 
facteur
exp (- I / M ) = 1,5 × 10-3 . Par conséquent
vx , vy  vz
On collimate le faisceau laser.