Centrale Physique 1 PC 2019

Thème de l'épreuve Odyssée vers la condensation de Bose-Einstein
Principaux outils utilisés électromagnétisme, oscillateur harmonique, physique du laser, thermodynamique, analyse dimensionelle
Mots clefs laser, refroidissement, évaporation, condensation de Bose-Einstein

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Centrale Physique 1 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Dupic (ENS Ulm) ; il a été relu par Guillaume
Maimbourg (professeur en CPGE) et Tom Morel (professeur en CPGE).

Le sujet porte sur les différents éléments d'une expérience visant à observer le
phénomène de condensation de Bose-Einstein. Il est composé de quatre parties 
relativement indépendantes et de tailles inégales.
· La première partie, très courte, demande de calculer quelques-uns des ordres
de grandeur liés à la condensation de Bose-Einstein.
· La deuxième partie, courte elle aussi, décrit le four et la « mélasse 
transverse »
qui sert à augmenter le flux de particule à l'entrée du dispositif. Elle ne 
fait appel
qu'à de l'analyse dimensionnelle et à de la dynamique du point élémentaire.
· La troisième partie, plus longue et plus classique (au moins jusqu'à la 
question 19), aborde le ralentisseur et le piège optique qui ralentissent des 
atomes
de rubidium en utilisant leurs transitions électroniques. La transition est 
décrite par le modèle de l'électron élastiquement lié et le problème est ramené 
à
l'étude d'un oscillateur harmonique amorti.
· La quatrième partie aborde le piège magnétique et la méthode de 
refroidissement évaporatif. Elle fait intervenir un peu de magnétostatique au 
début, ainsi
que des questions plus libres en fin de sujet.
De longueur typique pour un sujet de Centrale, l'épreuve fait appel à de 
nombreuses notions de mécanique et de magnétostatique de 1re et 2e année. Le 
sujet
est difficile, mais il fournit régulièrement des résultats intermédiaires et 
contient plusieurs questions indépendantes. Le réussir demande une bonne 
compréhension du
dispositif expérimental présenté ainsi qu'une certaine intuition physique. Il 
contient
beaucoup d'analyse dimensionnelle et d'applications numériques, qu'il ne faut 
surtout
pas négliger.

Indications
Partie I
2 Appliquer la formule de de Broglie à une particule du gaz.
3 Les effets quantiques apparaissent lorsque la distance interatomique est de 
l'ordre
de la longueur d'onde thermique T .
Partie II
6 Il y a un équilibre solide-gaz : la pression vaut la pression de vapeur 
saturante.
Partie III
10 Comparer la taille du ralentisseur à la longueur de Rayleigh du laser.
13 Passer en notation complexe.
16 Faire un bilan de puissance à partir de l'équation du mouvement.
20 Utiliser la force de Lorentz pour déterminer la dimension du champ 
magnétique.
21 Écrire le théorème de l'énergie cinétique.
23 Les bobines peuvent être considérées de longueur infinie.
28 Faire un développement limité du champ au voisinage de O et utiliser les 
symétries
du problème.
29 On pourra séparer la force en deux composantes, l'une proportionelle à la 
vitesse
et l'autre au champ magnétique.
Partie IV

32 Faire un schéma et exprimer -
e en fonction de -
ex , -
ey et y  .
-

-

33 Le champ magnétique B2 est l'antisymétrique de B1 par rapport au plan passant

par O et normal à -
e .
x

36 Le dipôle va chercher à se placer dans l'état d'énergie minimale.
37 Comparer le potentiel du dipôle avec le potentiel harmonique en trois 
dimensions.
41 Intégrer l'équation de la question 39 pour exprimer T en fonction de N et de 
.
45 À temps court, la distribution des positions sur l'image en absorption est 
essentiellement due à la distribution des positions initiales. À temps long, 
elle est surtout
donnée par la distribution des vitesses initiales. Pour la fin de la question, 
il faut
remarquer que c'est le piégeage d'un condensat de Bose-Einstein qui transforme
l'inégalité d'Heisenberg en égalité.

Odyssée vers la condensation de Bose-Einstein
I. Le critère de condensation
1 Il est utile de se rappeler que k B T a la dimension d'une énergie, soit
[k B T] = [E] = M L2 T-2
où la seconde égalité découle, par exemple, de l'expression de l'énergie 
cinétique.
Ainsi, on peut définir une vitesse caractéristique VT par
r
kBT
VT =
M
Un résultat important de théorie cinétique des gaz relie la vitesse des 
particules d'un gaz monoatomique à sa température :
1
3
M v2 = kB T
2
2
Ici, VT 2 va donc correspondre, à une constante près, à la moyenne du carré
de la vitesse des particules.
2 La longueur d'onde de de Broglie d'une particule est définie par T = h/p où p
est la norme de sa quantité de mouvement. Avec p = M VT et la question 1,
T =

h
h
= 
MVT
k B TM

À un facteur 2 près, c'est bien l'expression de l'énoncé. T dépend de la 
température du gaz, d'où l'appellation « longueur d'onde thermique de de 
Broglie ».
La longueur d'onde thermique de de Broglie donne l'échelle caractéristique
des phénomènes quantiques dans un gaz à la température T. Pour de l'air à
température ambiante, on trouve T  10-11 m. Dans ce cas, les phénomènes
quantiques liés à la température apparaissent à des échelles subatomiques et
sont négligeables. Ils n'auront une influence qu'à (très) basse température.
3 Les effets quantiques apparaissent lorsque la distance interatomique d est de
l'ordre de T . Pour d  T , il y a une seule particule dans un volume T 3 d'où
n  T -3 , et
D =  T 3 n  1
4 On remonte à la température en utilisant la définition de T donnée à la 
question 2, d'où :
h2
2 M k B T 2
 1/3
Dc
T =
n

Tc =
Par définition de D,
Donc

Tc =

Pour des atomes de rubidium,

h2 n 2/3
2 M k B Dc 2/3

Tc = 86 nK

II. Du four à la mélasse transverse
5 Utilisons la vitesse VT définie à la question 1. Pour une température TF = 
130  C,
r
k B TF
= 2,0 × 102 m.s-1
VF =
M
6 L'intérieur du four étant à l'équilibre thermodynamique, la coexistence des 
phases
gazeuse et solide du rubidium implique que sa pression doit être égale à la 
pression de
vapeur saturante, P = 0,1 Pa. Le gaz étant à haute température et à basse 
pression,
on s'attend à ce que la loi des gaz parfaits soit particulièrement bien 
vérifiée. Si N
est le nombre d'atomes du gaz à l'intérieur du four et V son volume, la loi des 
gaz
parfaits s'écrit
PV = Nk B TF
Finalement

nF  =

N
P
=
= 1,8 × 1019 m-3
V
k B TF

La densité dans l'espace des phases DF vaut
DF = nF  T 3 =

nF  h3
= 1,5 × 10-14
(2 M k B TF )3/2

La figure 2 du sujet permet de vérifier les ordres de grandeur obtenus.
7 Comme le sujet stipule que le poids est négligé (première page), la seule 
force à
considérer est la force de frottement fluide. On applique le principe 
fondamental de
la dynamique à un atome dans le référentiel terrestre, supposé galiléen,

d-
v

M
= - vx -
ex + vy -
ey
dt
-
En projetant suivant 
ex ,

M

dvx
= - vx
dt

La solution de cette équation est une exponentielle décroissante, vx  e-t/M avec
un temps caractéristique
M =

M
= 4,8 × 10-5 s

On peut vérifier qu'à cette échelle l'effet de la gravité est négligeable 
comparé
à celui de la force exercée par les lasers
Mg  10-24 N

VF  6.10-19 N

8 D'après le résultat de la question 5, les atomes qui sortent du four ont une 
vitesse
de l'ordre de 2 × 102 m.s-1 . La force n'agit pas sur vz , en conséquence 
l'atome va
rester dans la zone d'interaction de longueur dI = 6 cm pendant une durée  I 
telle que
dI
I =
= 3,1 × 10-4 s
VF
D'après la question 7, les vitesses vx et vy vont être multipliées par un 
facteur
exp (- I / M ) = 1,5 × 10-3 . Par conséquent
vx , vy  vz
On collimate le faisceau laser.