Centrale Physique 1 PC 2018

S*
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

kyR3

S?vbB[m2 R
P+ûMb- iKQbT?`2 2i +QKKmMB+iBQMb

*2 bmD2i #Q`/2 Hûim/2 /2 [m2H[m2b T`Q#HK2b /2 T?vbB[m2 /2 HQ+ûM 2i /2 
HiKQbT?`2- TTHB[mûb MQiK@
K2Mi mt iûHû+QKKmMB+iBQMb U+QmbiB[m2 bQmb@K`BM2 2i `/BQVX G T`2KB`2 T`iB2 2bi 
+QMb+`û2 ¨ Hûim/2
/2b KQmp2K2Mib BM/BpB/m2Hb Qm +QHH2+iB7b /2b T`iB+mH2b +?`;û2b /Mb HiKQbT?`2 2i 
¨ HQ`B;BM2 /2b bB|2m`b
BQMQbT?û`B[m2bX 1HH2 2bi +QKTHi2K2Mi BM/ûT2M/Mi2 /2 H b2+QM/2 T`iB2 [mB ûim/B2 
H2b QM/2b +QmbiB[m2b bQmb@
K`BM2b 2i +2`iBM2b /2 H2m`b TTHB+iBQMbX
G2 bmD2i +QKTQ`i2 mM2 MM2t2- T`ûb2MiMi /2mt /Q+mK2Mib- /2b pH2m`b MmKû`B[m2b 2i 
mM 7Q`KmHB`2X
*2`iBM2b [m2biBQMb- `2Tû`û2b T` mM2 #``2 2M K`;2- M2 bQMi Tb ;mB/û2b 2i 
/2KM/2Mi /2 HBMBiBiBp2 /2 H T`i
/m +M/B/iX G2b TBbi2b /2 `2+?2`+?2 /QBp2Mi i`2 +QMbB;Mû2b c bB 2HH2b bQMi 
T2`iBM2Mi2b- 2HH2b b2`QMi pHQ`Bbû2bX G2
#`K2 iB2Mi +QKTi2 /m i2KTb Mû+2bbB`2 TQm` 2tTHQ`2` +2b TBbi2b 2i ûH#Q`2` mM 
`BbQMM2K2MiX
.Mb iQmi H2 bmD2i- H2 `2T`2 2m+HB/B2M  2bi bbQ+Bû mt p2+i2m`b    7Q`KMi mM2 #b2 
Q`i?QMQ`Kû2
 bm7 J Ui2H [m2 J   2i *N J  VX
2i /B`2+i2X G2b ;`M/2m`b +QKTH2t2b bQMi bQmHB;Mû2b U- V

A S`iB+mH2b +?`;û2b /Mb HiKQbT?`2
GiKQbT?`2 i2``2bi`2 +QKTQ`i2 /2 MQK#`2mb2b T`iB+mH2b +?`;û2bX *2`iBM2b /2Mi`2 
2HH2b T`pB2MM2Mi ¨ ?mi2
ûM2`;B2 /Mb H ?mi2 iKQbT?`2 pMi /i`2 ;mB/û2b T` H2 +?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2X 
G2m` 7`2BM;2 ¨
H``Bpû2 b++QKT;M2 /2 T?ûMQKM2b QTiB[m2b bT2+i+mHB`2b- Q#b2`p#H2b T`b /2b TH2b 
K;MûiB[m2b i2``2bi`2b
p2`b H2b[m2HH2b +2b T`iB+mH2b bQMi ;mB/û2bX
.mi`2b T`iB+mH2b +?`;û2b- KQBMb ûM2`;ûiB[m2b- /m2b ¨ HBQMBbiBQM T`iB2HH2 /2b ;x 
/2 H ?mi2 iKQbT?`2BM~m2M+2Mi H T`QT;iBQM /2b QM/2b [mB bQMi ;mB/û2b 2Mi`2 H 
bm`7+2 /2b Q+ûMb 2i H ?mi2 BQMQbT?`2X *2bi
2M T`iB+mHB2` H2 +b /2b bB|2m`b BQMQbT?û`B[m2b- QM/2b `/BQ 7Q`i2K2Mi 
/BbT2`bû2b- ;ûMû`û2b T` /2b bQm`+2b M@
im`2HH2b- [mB BMi2`;Bbb2Mi BbûK2Mi p2+ H2b `û+2Ti2m`b `/BQ 2M T`Q/mBbMi mM 
#`mBi +`+iû`BbiB[m2 /2 bB|2K2Mi/Q H2m` MQKX AHb QMi ûiû Q#b2`pûb /m`Mi H 
T`2KB`2 ;m2``2 KQM/BH2 TmBb +HB`2K2Mi B/2MiB}ûb /b RNRNX
AX 
S`iB+mH2 +?`;û2 2M KQmp2K2Mi /Mb mM +?KT K;MûiB[m2
PM ûim/B2 /#Q`/ H2 KQmp2K2Mi /mM2 T`iB+mH2 /2 +?`;2  2i /2 Kbb2  bQmb H b2mH2 
BM~m2M+2 /mM +?KT
     X G pBi2bb2 BMBiBH2 /2 H T`iB+mH2 2bi    
K;MûiQbiiB[m2 mMB7Q`K2 
  X
Z RX
úi#HB` H2b û[miBQMb /Bzû`2MiB2HH2b pû`B}û2b T` H2b +QKTQbMi2b   -   2i   /2 H 
pBi2bb2   
/2 H T`iB+mH2X Zm2 T2mi@QM /B`2 /2   2i /2   \
  c H pBi2bb2 bbQ+Bû2 2bi
PM bBMiû`2bb2 b2mH2K2Mi m KQmp2K2Mi T`QD2iû /Mb mM THM T2`T2M/B+mHB`2 ¨ 
MQiû2 
  X
Z kX
.ûi2`KBM2` Hû[miBQM pû`B}û2 T` X

Z jX
JQMi`2` [m2 H2 KQmp2K2Mi /2 H T`iB+mH2 +?`;û2 BMbB T`QD2iû 2bi +B`+mHB`2- /2 
`vQM  ¨ /ûi2`KBM2`T`+Qm`m ¨ pBi2bb2 M;mHB`2 +QMbiMi2  UH;û#`B[m2V 2i /ûi2`KBM2` 
 X
Z 9X
_TT2H2` HQ`/`2 /2 ;`M/2m` /m +?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2 UT` 2t2KTH2 2M 6`M+2V 2i 
+H+mH2` 
`2bT2+iBp2K2Mi TQm` /2b ûH2+i`QMb 2i TQm` /2b T`QiQMbX
AX" 
S`iB+mH2 +?`;û2 2M KQmp2K2Mi /Mb /2b +?KTb ûH2+i`B[m2 2i K;MûiB[m2 +`QBbûb
PM ûim/B2 KBMi2MMi H2 KQmp2K2Mi /2 H T`iB+mH2 /2 +?`;2  2i /2 Kbb2  bQmb 
HBM~m2M+2 /mM +?KT
     2i /mM +?KT ûH2+i`QbiiB[m2 mMB7Q`K2 
    X G pBi2bb2 BMBiBH2 /2
K;MûiQbiiB[m2 mMB7Q`K2 
H T`iB+mH2 2bi    Q     X
Z 8X
úi#HB` H2b û[miBQMb /Bzû`2MiB2HH2b pû`B}û2b T` H2b +QKTQbMi2b   -   2i   /2 H 
pBi2bb2   
/2 H T`iB+mH2X
  - TT2Hû2
Z eX
JQMi`2` [mBH 2M 2tBbi2 mM2 b2mH2 bQHmiBQM +QMbiMi2 /Mb H2 THM  T2`T2M/B+mHB`2 ¨ 
pBi2bb2 /2 /û`Bp2  UT` /û}MBiBQM     V 2i 2tT`BK2`  2M 7QM+iBQM /2  2i /2  X
PM TQb2       X
Z dX
Zm2HH2b bQMi H2b û[miBQMb /Bzû`2MiB2HH2b pû`B}û2b T`   \ 1M /û/mB`2 H 
i`D2+iQB`2 /2 H T`iB+mH2
+?`;û2X

kyR3@y9@Ry Re,9N,jk

S;2 Rfd

AX* 
G2b bB|2m`b BQMQbT?û`B[m2b
*2ii2 bQmb@T`iB2 2bi +QMb+`û2 ¨ Hûim/2 /2b KQmp2K2Mib +QHH2+iB7b /2b T`iB+mH2b 
BQMBbû2b /2 HiKQbT?`2 bQmb
H+iBQM /mM2 QM/2 ûH2+i`QK;MûiB[m2 [mB bv T`QT;2 2i ¨ H2m` BM~m2M+2 bm` H 
T`QT;iBQM /2 +2ii2 QM/2- /m
7Bi /2 H T`ûb2M+2 /m +?KT K;MûiQbiiB[m2 i2``2bi`2X
PM +QMbB/`2 KBMi2MMi H2 +b /2 MQK#`2mt ûH2+i`QMb- /2 Kbb2  2i /2 +?`;2   - 2M 
/2MbBiû pQHmKB[m2       X PM Mû;HB;2 iQmi2 BMi2`+iBQM 2Mi`2 +2b ûH2+i`QMb
    2i 
2M KQmp2K2Mi /Mb H2b +?KTb +`QBbûb 
  c BH 2bi +`+iû`Bbû T` mM2 /2MbBiû
2i QM bmTTQb2 [m2 H2m` KQmp2K2Mi b2 7Bi /Mb H2 THM T2`T2M/B+mHB`2 ¨ 
pQHmKB[m2 /2 +Qm`Mi X
 
PM TQb2  
X

 X 1tT`BK2` 
Z 3X
JQMi`2` [m2- bm7 ¨ mM2 û+?2HH2 /2bT+2 i`b `û/mBi2 ¨ T`û+Bb2`- QM T2mi û+`B`2    
   
2M 7QM+iBQM b2mH2K2Mi /2 H T2`KBiiBpBiû /m pB/2  - /2  2i /2 H TmHbiBQM  /û}MB2 
¨ H [m2biBQM kX
Gûim/2 +QKTHi2 /2b KQmp2K2Mib /2b ûH2+i`QMb /m THbK BQMQbT?û`B[m2 2tB;2 H 
+QMbB/û`iBQM T`ûH#H2 /2
[m2H[m2b Q`/`2b /2 ;`M/2m`X PM bBMiû`2bb2 /Mb H bmBi2 m +b Q H2b QM/2b [mB b2 
T`QT;2Mi /Mb HiKQbT?`2
bQMi /m ivT2 oG6- /2 7`û[m2M+2 BM7û`B2m`2 ¨ Ry F>xX
Z NX
G2b T`iB+mH2b ûim/Bû2b bQMi /2b ûH2+i`QMb /m THbK BQMQbT?û`B[m2 U   N V 2i QM 
T`2M/`
     5X *H+mH2` MmKû`B[m2K2Mi  -  2i   2i +QKT`2` mt TmHbiBQMb  bbQ+Bû2b mt 
QM/2b
`/BQ oG6X *QM+Hm`2X
PM ûim/B2 mM2 QM/2 ûH2+i`QK;MûiB[m2 THM2 2i T`Q;`2bbBp2- TQH`Bbû2 
`2+iBHB;M2K2Mi- b2 T`QT;2Mi /Mb H2 pB/2i`MbTQ`iMi H TmBbbM+2 KQv2MM2 T` mMBiû 
/2 bm`7+2 UQm BMi2MbBiûV  X
Z RyX
1tT`BK2` H2b BMi2MbBiûb KtBKH2b  2i  /2b +?KTb ûH2+i`B[m2 2i K;MûiB[m2 /2 HQM/2 
2M 7QM+iBQM
/2  2i /2 +QMbiMi2b 7QM/K2MiH2bX § [m2HH2 +QM/BiBQM- TQ`iMi bm`  - T2mi@QM 
{`K2` [m2    - Q
     5 \ *QKK2Mi2`X
G2Mb2K#H2 /2 Hûim/2 +B@/2bbmb KQMi`2 [m2- bQmb +2`iBM2b ?vTQi?b2b i`b 
`2bi`B+iBp2b UKBb [m2 HQM bmTTQb2`
`ûHBbû2b /Mb +2 [mB bmBiV- H T`QT;iBQM /mM2 QM/2 ûH2+i`QK;MûiB[m2 THM2- 
T`Q;`2bbBp2 /Mb H2 THbK
     - 2bi
BQMQbT?û`B[m2- p2+ mM p2+i2m` /QM/2    +QHBMûB`2 m +?KT K;MûiQbiiB[m2 i2``2bi`2 

+`+iû`Bbû2 T` H HQB 2tT`BKMi H /2MbBiû pQHmKB[m2 /2 +Qm`Mi       X

  FYQJ     2M MQiiBQM
   
 FYQJ    - 
  
G2 +?KT ûH2+i`QK;MûiB[m2 /2 HQM/2 b2` û+`Bi 

+QKTH2t2X
Z RRX
_TT2H2`- 2M MQiiBQM +QKTH2t2- H2b û[miBQMb /2 Jtr2HHX JQMi`2` [m2 H2 KBHB2m 2bi 
Mû+2bbB`2K2Mi
ûH2+i`B[m2K2Mi M2mi`2 2i [m2 HQM/2 2bi Mû+2bbB`2K2Mi i`Mbp2`b2 ûH2+i`QK;MûiB[m2X
 - KQMi`2` [m2 +2HmB@+B M2bi DKBb TQH`Bbû `2+iBHB;M2@
Z RkX
1M BbQHMi- T` 2t2KTH2- H2 +?KT ûH2+i`B[m2 

K2Mi TmBb ûi#HB` H `2HiBQM   
bbQ+Bû2 ¨ +2ii2 QM/2X G2 KBHB2m 2bi@BH i`MbT`2Mi \ 1bi@BH /BbT2`bB7 \

Z RjX
GQM/2 b2 T`QT;2 /Mb H2b +QM/BiBQMb /û+`Bi2b +B@/2bbmb ¨ T`iB` /mM TQBMi 
Q`B;BM2X *QKT`2` H2b
pBi2bb2b /2 T`QT;iBQM /2b +QKTQbMi2b /2 ?mi2 2i #bb2 7`û[m2M+2X SQm`[mQB mM2 
i2HH2 QM/2 TQ`i2@i@2HH2 H2
MQK /2 bB|2m` \ lM 2M`2;Bbi`2K2Mi /mM i2H bB;MH 2bi /û+`Bi 2M MM2t2X 1biBK2` H 
/BbiM+2 T`+Qm`m2 /Mb
HBQMQbT?`2 T` mM2 i2HH2 QM/2 2Mi`2 H2 TQBMi /ûKBbbBQM 2i +2HmB /2 `û+2TiBQMX

AA PM/2b +QmbiB[m2b bQmb@K`BM2b
G2 /ûp2HQTT2K2Mi /2b +QKKmMB+iBQMb ¨ ;`M/2 /BbiM+2 ¨ T`iB` /m /û#mi /m tt2 
bB+H2  / i2MB` +QKTi2
/mM2 +`+iû`BbiB[m2 7QM/K2MiH2 /2 MQi`2 THMi2 , H ;`M/2 KDQ`Biû /2 b bm`7+2 2bi 
+QMbiBimû2 /2m bHû2#QMM2 +QM/m+i`B+2 /2 HûH2+i`B+Biû U/QM+ BMTi2 ¨ H T`QT;iBQM 
/2b QM/2b ûH2+i`QK;MûiB[m2b bm` /2 ;`M/2b
/BbiM+2bV KBb mbbB bmTTQ`i /2 T`QT;iBQM `TB/2 /2b QM/2b +QmbiB[m2bX *2b 
T`QT`Bûiûb bQMi KBb2b ¨ T`Q}i2M T`iB+mHB2` /Mb H2 /QKBM2 /2b mHi`bQMb- TQm` H 
`ûHBbiBQM /2 bvbiK2b /2 +QKKmMB+iBQM- /2 /ûi2+iBQM
2i /2 K2bm`2 , H2b bQM`bX .2b MBKmt K`BMb miBHBb2Mi mbbB H2b QM/2b +QmbiB[m2b 
TQm` H +QKKmMB+iBQM Qm
Hû+?QHQ+iBQMX
AAX  PM/2b +QmbiB[m2b /Mb H2m
PM `TT2HH2 Hû[miBQM /2 LpB2`@aiQF2b /û+`BpMi H2b ûpQHmiBQMb bTiBH2b- /Mb H2 
`û7û`2MiB2H  bmTTQbû
;HBHû2M- 2i i2KTQ`2HH2b /m +?KT /2 pBi2bb2      /mM ~mB/2 /2 Kbb2 pQHmKB[m2     
- bQmKBb ¨ H T`2bbBQM
    - /Mb H2 +/`2 /mM KQ/H2 M2riQMB2M /2b 7Q`+2b /2 +BbBHH2K2Mi- p2+ H 
pBb+QbBiû /vMKB[m2 

HSBE  
   
HSBE 

G T`QT;iBQM /2b QM/2b +QmbiB[m2b /Mb H2m b2` ûim/Bû2 /Mb H2 KQ/H2 +B@T`b ,
 Hû+QmH2K2Mi 2bi bmTTQbû T`7Bi- bm7 TQm` Hûim/2 /2b iiûMmiBQMb K2Mû2 mt 
[m2biBQMb kR 2i kk c
 H2 +?KT /2 T2bMi2m` 2bi mMB7Q`K2-      U  -  2bi p2`iB+H /2b+2M/MiV c
kyR3@y9@Ry Re,9N,jk

S;2 kfd

 H2b p`BiBQMb /2 T`2bbBQM T` `TTQ`i ¨ H T`2bbBQM biiB[m2   U2M H#b2M+2 /QM/2V 
bQMi 7B#H2b- QM
MQi2`       
    - Q ] ]   p2+  H T`2bbBQM iKQbT?û`B[m2 /2 bm`7+2 c
 H pBi2bb2 /û+QmH2K2Mi bbQ+Bû2 m Tbb;2 /2 HQM/2 pû`B}2 ]]   - Q  2bi H +ûHû`Biû 
/2 H T`QT;iBQM
/2 HQM/2 +QmbiB[m2 c
 H +QKT`2bbB#BHBiû  /2 H2m 2bi bmTTQbû2 +QMbiMi2- /2 bQ`i2 [m2 H Kbb2 pQHmKB[m2 
ûpQHm2 BMbiMiMûK2Mi
+QKK2 H bm`T`2bbBQM +QmbiB[m2  ,            - Q ] ]   c
 2M}M- H HQM;m2m` /QM/2  /2b QM/2b +QmbiB[m2b pû`B}2 H `2HiBQM    X
Z R9X

JQMi`2` [mBH 2tBbi2 mM2 mi`2 `2HiBQM `2HBMi  ¨   2i 2M T`û+Bb2` H bB;MB}+iBQM 
T?vbB[m2X

Z R8X
úi#HB` /2mt û[miBQMb mt /û`Bpû2b T`iB2HH2b- HBMû`Bbû2b TQm` H2b ;`M/2m`b      
2i     X
Z ReX
1M /û/mB`2 Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM /2 H bm`T`2bbBQM +QmbiB[m2  X 1tT`BK2`  2M 
7QM+iBQM /2 
2i X
Z RdX
Zm2 /2pB2Mi +2ii2 û[miBQM /Mb H2 +b /mM2 QM/2 bBMmbQ/H2 /2 TmHbiBQM  \
.Mb +2 [mB bmBi- QM bBMiû`2bb2 ¨ mM2 QM/2 +QmbiB[m2 THM2 2i T`Q;`2bbBp2- /2 
TmHbiBQM - b2 T`QT;2Mi /Mb
H /B`2+iBQM /2 Ht2 
 c BH M2 b;Bi Tb Mû+2bbB`2K2Mi /2 H /B`2+iBQM  /m i`B/`2  X
Z R3X
.ûi2`KBM2` H 7Q`K2 ;ûMû`H2 /2    2i KQMi`2` [m2          
 Q QM 2tT`BK2`
HBKTû/M+2 +QmbiB[m2  2M 7QM+iBQM /2  2i /2  X
PM +?2`+?2 KBMi2MMi mM2 bQHmiBQM /2 Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM T`ûb2MiMi H bvKûi`B2 
/2 `ûpQHmiBQM miQm`
/mM2 bQm`+2 TQM+im2HH2 X G bm`T`2bbBQM +QmbiB[m2  2i H pBi2bb2   /2 H2m 2M mM 
TQBMi  b2tT`BK2Mi HQ`b
2M 7QM+iBQM /2    2i /2   
X .Mb H2 +b /mM2 QM/2 bT?û`B[m2 /Bp2`;2Mi2 bBMmbQ/H2 /2 TmHbiBQM 
DPT    U¨ mM +?QBt /Q`B;BM2 /2b i2KTb T`bV Q  2bi
H bm`T`2bbBQM +QmbiB[m2 2bi /QMMû2 T`  

mM2 +QMbiMi2X
Z RNX
§ [m2HH2 +QM/BiBQM T2mi@QM iQmDQm`b û+`B`2       \ *QKK2Mi bTT2HH2 +2ii2 
TT`QtBKiBQM \
PM b2 TH+2 /Mb +2 +b /Mb H bmBi2X
GQ`b /2 H2m` T`QT;iBQM- H2b QM/2b +QmbiB[m2b bQmb@K`BM2b i`MbTQ`i2Mi mM2 
+2`iBM2 TmBbbM+2 X *2 i`MbTQ`i
b2` ûim/Bû ¨ ;`M/2 /BbiM+2 /2 H bQm`+2 /2 HQM/2X PM ûim/B2 /QM+ B+B mM2 QM/2 
+QmbiB[m2 bT?û`B[m2 ûKBb2
/2TmBb H2 TQBMi  2i +`+iû`Bbû2- 2M +QQ`/QMMû2b bT?û`B[m2b- T` H T`2bbBQM       
   p2+

    3F  Q     FYQJ     2i T` H pBi2bb2      3F   Q  
X

lM +Ti2m` /B`2 E 2bi /BbTQbû ¨ H /BbiM+2  /2 X PM MQi2  H MQ`KH2 ¨ H bm`7+2 /m 
+Ti2m` 2i E   E 
U};m`2 RVX PM /K2i [m2 H2 +Ti2m` M2 T2`im`#2 Tb HQM/2 +QmbiB[m2- +2bi@¨@/B`2 
[m2 b bm`7+2 b2 /ûTH+2 ¨
H KK2 pBi2bb2   [m2 +2HH2 BKTQbû2 /Mb H2m T` HQM/2X

E

6B;m`2 R SmBbbM+2 +QmbiB[m2 `2Ïm2 T` mM +Ti2m`
JQMi`2` [m2 H TmBbbM+2 KQv2MM2 T` mMBiû /2 bm`7+2 /m +Ti2m` 2t2`+û2 T` H2b 
7Q`+2b /2 T`2bbBQM

E
bm` H2 +Ti2m` bû+`Bi
     2i 2tT`BK2` HBMi2MbBiû +QmbiB[m2  2M 7QM+iBQM /2  -  2i /2   X
E
PM ûim/B2 2M ;ûMû`H HiiûMmiBQM /2 HBMi2MbBiû +QmbiB[m2 /Mb mM2 û+?2HH2 
HQ;`Bi?KB[m2 U2M /û+B#2HbV- bQmb H
 
7Q`K2    MPH     Q QM MQi2 MPH  H2 HQ;`Bi?K2 /û+BKH /2 X G2b T?ûMQKM2b 
/iiûMmiBQM bQMi

    c QM T`2M/ 2M +QKTi2 +2b T?ûMQKM2b /Mb
HQ`b /û+`Bib T` H2 +Q2{+B2Mi  i2H [m2    MPH

H2b b2mH2b [m2biBQMb kR 2i kkX PM T2mi mbbB `2M/`2 +QKTi2 /2 +2b T?ûMQKM2b 
/KQ`iBbb2K2Mi 2M û+`BpMi H

FYQJ    - Q    J 2bi
bm`T`2bbBQM +QmbiB[m2- 2M MQiiBQM +QKTH2t2- bQmb H 7Q`K2    

+QKTH2t2 2i   X
Z kRX
JQMi`2` [m2  2bi bBKTH2K2Mi `2HBû ¨ H T`iB2 BK;BMB`2  /2 X
Z kyX

kyR3@y9@Ry Re,9N,jk

S;2 jfd

lM2 +QMi`B#miBQM MQi#H2 mt T?ûMQKM2b /iiûMmiBQM 2bi /m2 ¨ H pBb+QbBiû /vMKB[m2  
/2 H2m /2 K2`X PM
/K2i [m2- TQm` mM2 iiûMmiBQM bb2x 7B#H2- H2b T`iB2b `û2HH2 2i BK;BMB`2 /2  bQMi 
/QMMû2b T`

2i

Z kkX
.Mb H2m /2 K2`- p2+    NT - +H+mH2`  2i H /BbiM+2 +`+iû`BbiB[m2 /iiûMmiBQM /m2
mt T?ûMQKM2b pBb[m2mt TQm` H2b 7`û[m2M+2b j F>x 2i jy F>xX
AAX"  _vQMb +QmbiB[m2b
PM +QMbB/`2 B+B H T`QT;iBQM bMb /BbT2`bBQM MB iiûMmiBQM /QM/2b +QmbiB[m2b 
[mbB@THM2b- bBMmbQ/H2b
/2 TmHbiBQM - /QMi H bm`T`2bbBQM  2bi `û;B2 T` Hû[miBQM /2 T`QT;iBQM 
U;ûMû`HBbiBQM /2 Hû[miBQM /2
/H2K#2`iV

Q  2bi H +ûHû`Biû /2 H T`QT;iBQM ¨ mM2 HiBim/2 /2 `û7û`2M+2 U[mB M2 b2` Tb 
Mû+2bbB`2K2Mi +2HH2 /2
H bm`7+2V 2i    /ûbB;M2 HBM/B+2 +QmbiB[m2 /m KBHB2m 2M mM TQBMi X *2i BM/B+2 
p`BMi bb2x H2Mi2K2Mi- QM

+?2`+?2 mM2 bQHmiBQM TT`Q+?û2 /2 +2ii2 û[miBQM bQmb H 7Q`K2       FYQJ     - Q  
 
2i    2bi H 7QM+iBQM +?2KBM +QmbiB[m2 /2TmBb HûK2ii2m` /2 HQM/2 c  2bi mM2 
+QMbiMi2X
Z kjX
Zm2HH2 2bi H /BK2MbBQM /2 H ;`M/2m`    \ Zm2H 2bi bQM MHQ;m2 QTiB[m2 \
J
  
     X
PM /K2i [m2    pû`B}2 Hû[miBQM mt /û`Bpû2b T`iB2HH2b HSBE

Z k9X
JQMi`2` [m2- bB H HQM;m2m` /QM/2 +QmbiB[m2 2bi bb2x 7B#H2 UT`û+Bb2`V- HQ`b 
HSBE      - Q 
2bi mM p2+i2m` mMBiB`2X Zm2H 2bi H2 T?ûMQKM2 T?vbB[m2 Mû;HB;û T` +2ii2 
TT`QtBKiBQM \
Z k8X
PM TT2HH2 `vQM +QmbiB[m2 H +Qm`#2 HQ+H2K2Mi iM;2Mi2 m p2+i2m` X *QKT`2` H 
/B`2+iBQM /2 +2b
`vQMb p2+ H2b bm`7+2b /û;H +?2KBM +QmbiB[m2X *QKK2Mi bTT2HH2 H2 `ûbmHii ûi#HB 
B+B \
AH 2bi TQbbB#H2 /2 KQMi`2`- /Mb H2 +/`2 /2 HTT`QtBKiBQM 7Bi2 ¨ H [m2biBQM k9- 
[m2 H TmBbbM+2 +QmbiB[m2
b2 T`QT;2 bMb iiûMmiBQM H2 HQM; /2 `vQMb +QmbiB[m2b [mB pû`B}2Mi H2b KK2b HQBb 
[m2 H2b `vQMb HmKBM2mt
/2 HQTiB[m2 ;ûQKûi`B[m2X
PM ûim/B2 mM2 QM/2 +QmbiB[m2 ûKBb2 /2TmBb H bQm`+2 TQM+im2HH2  bQmb HBM+B/2M+2  
X PM +?QBbBi HQ`B;BM2 /2b
T`Q7QM/2m`b 2M  c BMbB ¨ H T`Q7QM/2m` /2 -   - H +ûHû`Biû /2 HQM/2 +QmbiB[m2 
2bi  2i        X
.Mb mM KQ/H2 /2 bi`iB}+iBQM /Bb+`i2 U};m`2 kV- H i`D2+iQB`2 /2 HQM/2 +QmbiB[m2 
2bi mM2 bm++2bbBQM /2
`vQMb +QmbiB[m2b `2+iBHB;M2b- +QMi2Mmb /Mb mM KK2 THM p2`iB+H U - p2+ T` 
2t2KTH2  TJO    TJO  X

y

U#V ai`iB}+iBQM +QMiBMm2

UV ai`iB}+iBQM /Bb+`i2

6B;m`2 k h`D2+iQB`2 /2b QM/2b +QmbiB[m2b /Mb mM KBHB2m bi`iB}û p2`iB+H2K2Mi
.Mb H2 +b /mM2 bi`iB}+iBQM +QMiBMm2 U};m`2 k#V- BH b;Bi /mM2 +Qm`#2  +QMi2Mm2 
/Mb H2 KK2 THMX PM
b2 TH+2` /Mb iQmi +2 [mB bmBi /Mb H2 +/`2 /2 HQBb /2 bi`iB}+iBQM HBMûB`2b- p2+  
     Q 
2bi mM2 +QMbiMi2 `û2HH2X
Z keX
.Mb H2 +b /m b+?ûK /2 H };m`2 k#- /QMM2` 2i DmbiB}2` H2 bB;M2 /m +Q2{+B2Mi X 
Zm2H 2bi H2 MQK /m
T?ûMQKM2 [mB 2tTHB[m2 H `2KQMiû2 }MH2 /m `vQM +QmbiB[m2 p2`b H bm`7+2 \
Z kdX
1M bB/Mi /mM `;mK2Mi ;ûQKûi`B[m2- pû`B}2` [m2  2bi mM +2`+H2 /2 `vQM  p2+  ] 
TJO  ]  X
.Mb H2b Q+ûMb T`Q7QM/b- H +QK#BMBbQM /2b 2z2ib /2 H T`2bbBQM 2i /2 H i2KTû`im`2 
T`Q/mBi mM T`Q}H /2
pBi2bb2 /m bQM T`iB+mHB2`X 1M 2z2i- H +ûHû`Biû /2b QM/2b +QmbiB[m2b  /Mb H2m /2 
K2` /ûT2M/ /2 H T`2bbBQM
biiB[m2 U7QM+iBQM {M2 /2 H T`Q7QM/2m`V- /2 H i2KTû`im`2 2i /2 H bHBMBiû 
UT`QTQ`iBQM KbbB[m2 /2b b2Hb
/BbbQmbVX PM +QMbB/`2 ;ûMû`H2K2Mi [m2 H i2KTû`im`2 /2 H2m /2 K2` p`B2 
HBMûB`2K2Mi 2Mi`2 H bm`7+2

kyR3@y9@Ry Re,9N,jk

S;2 9fd

2i mM2 T`Q7QM/2m`  ¨ T`iB` /2 H[m2HH2 2HH2 b2 bi#BHBb2 ¨ 9 ê*X BMbB- /Mb HP+ûM 
iHMiB[m2 m H`;2 /2b
"2`Km/2b- QM Q#iB2Mi ivTB[m2K2Mi H2 T`Q}H /2 pBi2bb2 T`ûb2Miû };m`2 jX lM i2H 
T`Q}H +`û2 mM +MH TT2Hû aP6_
UaQmM/ 6BtBM; M/ _M;BM;V /Mb H2[m2H T2mp2Mi b2 T`QT;2` /2b QM/2b +QmbiB[m2b 
#B2M T`iB+mHB`2b U};m`2 9VX

 UKbRV

T`Q7QM/2m` UKV

6B;m`2 j *ûHû`Biû /2b QM/2b +QmbiB[m2b
/Mb H2m 2M 7QM+iBQM /2 H T`Q7QM/2m`
lM `vQM +QmbiB[m2 2bi ûKBb /2TmBb H2 TQBMi  bBimû ¨ H +Qi2    +Q``2bTQM/Mi m 
KBMBKmK  /2 +ûHû`Biû /2b
QM/2b +QmbiB[m2bX *2 `vQM 2bi ûKBb p2`b H2 #b bQmb HM;H2  c /Mb +2ii2 xQM2-    
2i       
p2+   X G2 `vQM +QmbiB[m2 T`+Qm`i /QM+ mM2 TQ`iBQM /2 +2`+H2 Dmb[m¨ `2p2MB` ¨ H 
+Qi2   X § T`iB`
/2 - H2 `vQM +QmbiB[m2 ``Bp2 /Mb H T`iB2    /2 HQ+ûM- p2+ mM ;`/B2Mi /2 pBi2bb2 
BMp2`bû , TQm`          p2+   X

6B;m`2 9 S`Q}H /2 pBi2bb2 2i +MH aP6_
Z k3X
_2T`Q/mB`2 H2 b+?ûK /2 T`QT;iBQM 2M BM/B[mMi H 7Q`K2 mHiû`B2m`2 /m `vQM 
+QmbiB[m2X Zm2H 2M
2bi HMHQ;m2 QTiB[m2 \
Z kNX
*H+mH2` H /m`û2  /2 H T`QT;iBQM bm` H2 i`D2i +QmbiB[m2 - 2M 7QM+iBQM /2  -  2i  
X
E

PM TQm`` miBHBb2` H2tT`2bbBQM /2 H T`BKBiBp2 
 MO UBO X
TJO 

Z jyX
GQM/2 +QmbiB[m2 b2 T`QT;2- /2 T`i 2i /mi`2 /2 Ht2  - bm` mM2 ;`M/2 HQM;m2m`  
T2M/Mi

  Q QM  TQbû     UBO  MO UBO  X
H /m`û2 X JQMi`2` [m2  

Z jRX
G };m`2 8 /QMM2 HbT2+i /2 H +Qm`#2 `2T`ûb2MiiBp2 /2   X *QKK2Mi2` H HBKBi2 /2   
TQm`
  X
Z jkX
1tTHB[m2` T?vbB[m2K2Mi H2 bB;M2 /2    X
Z jjX
*2`iBM2b #H2BM2b ûK2ii2Mi mM +?Mi +QKTH2t2 [mB T2mi i`2 2Mi2M/m ¨ ;`M/2 /BbiM+2 
UpQB` MM2t2VX
1M T`QTQbMi mM M;H2 /Qmp2`im`2  `BbQMM#H2 TQm` HûKBbbBQM /m +?Mi- T`QTQb2` mM2 
2biBKiBQM /2 H
/BbiM+2 Dmb[m¨ H[m2HH2 +2 +?Mi 2bi /BbiBM+i2K2Mi m/B#H2 TQm` mM2 mi`2 #H2BM2 /2 
H KK2 2bT+2- bBimû2 ¨
H KK2 T`Q7QM/2m`X

kyR3@y9@Ry Re,9N,jk

S;2 8fd

M;H2 /BM+B/2M+2  UêV

6B;m`2 8 h`+û /2  

MM2t2
aT2+i`Q;`KK2 /mM bB|2m`
SHK2` aiiBQM 2bi mM2 biiBQM /2 `2+?2`+?2 b+B2MiB}[m2 Kû`B+BM2 bBimû2 bm` HH2 
Mp2`b- m MQ`/ /m +QMiBM2Mi
Mi`+iB[m2X G2M`2;Bbi`2K2Mi U};m`2 eV `ûHBbû H2 kj DmBHH2i kyy9 T` H2 `û+2Ti2m` 
oG6 /2 SHK2` aiiBQM KQMi`2
H2 bT2+i`Q;`KK2 /mM bB;MH bB|2m`X

6B;m`2 e

aT2+i`Q;`KK2 oG6 /mM2 QM/2 bB|2m`

G#b+Bbb2 /ûbB;M2 HBMbiMi /2 `û+2TiBQM /m bB;MH- HQ`/QMMû2 H 7`û[m2M+2 /m bB;MH 
`2ÏmX GBMi2MbBiû `2Ïm2 TQm`
+?[m2 +QmTH2 UBMbiMi- 7`û[m2M+2V 2bi BM/B[mû2 bm` H2 /B;`KK2 2M MBp2mt /2 ;`Bb 
UHû+?2HH2 };m`2 ¨ /`QBi2 /m
/B;`KK2- H2b BMi2MbBiûb KBMBKH2b bQMi 2M #HM+ 2i H2b BMi2MbBiûb KtBKH2b 2M 
MQB`VX

G2 +?Mi /2b #H2BM2b ¨ #Qbb2
.2mt ;`QmT2b /2 #H2BM2b- H2b #H2BM2b ¨ #Qbb2 2i H2b #H2BM2b #H2m2b /2 HP+ûM 
AM/B2M- bQMi +QMMm2b TQm` ûK2ii`2
/2b bQMb `ûTûiBiB7b ¨ /Bzû`2Mi2b 7`û[m2M+2b- +2 [m2 HQM TT2HH2 H2  +?Mi /2b 
#H2BM2b X S?BHBT *HT?K URNNeV#BQHQ;Bbi2 K`BM Kû`B+BM- /û+`BpBi +2 bQM +QKK2  H2 
THmb +QKTH2t2 /m `;M2 MBKH X
G2b #H2BM2b ¨ #Qbb2 UJ2;Ti2` MQp2M;HB2V KH2b M2 b2t2`+2Mi ¨ +2 +?Mi [mm +Qm`b 
/2 H bBbQM /2b KQm`b
2i BH 2bi TQbbB#H2 [m2 +2b bQMb B2Mi mM BKT+i bm` H bûH2+iBQM b2tm2HH2 /2b 
T`i2MB`2bX *2T2M/Mi- MQmb MpQMb
Tb i2HH2K2Mi /BM7Q`KiBQMb- 2M /ûTBi /2b i`pmt bm` H2 bmD2i 2i Hûim/2 /2 +2ii2 
?vTQi?b2 2bi bmD2ii2 ¨ /2
MQK#`2mb2b `2+?2`+?2b +im2HH2bX

kyR3@y9@Ry Re,9N,jk

S;2 efd

G2b +?2`+?2m`b _Q;2` SvM2 2i a+Qii J+ov QMi H2b T`2KB2`b MHvbû +2b +?Mib 2M 
RNdRX *2b bQMb bmBp2Mi mM2
bi`m+im`2 ?Bû``+?B[m2 i`b /BbiBM+i2X GmMBiû /2 #b2 UT`7QBb TT2Hû2 MQi2V 2bi mM 
bQM +QMiBMm /2 7`û[m2M+2
p`B#H2- 2Mi`2 ky >x 2i Ry F>x- [mB /m`2 /2 mM2 ¨ [m2H[m2b b2+QM/2bX Gi`2 ?mKBM 
2bi +T#H2 /2 T2`+2pQB`
H2b bQMb /Mb H ;KK2 ky >x  ky F>x- +2 [mB 7Bi [mBHb MQmb bQMi T`7Bi2K2Mi 
m/B#H2b bMb û[mBT2K2MiX G
p`BiBQM /2 7`û[m2M+2 m +Qm`b /mM2 MQi2 T2mi i`2 mM2 KQ/mHiBQM /2 7`û[m2M+2 , 
p2`b HB;m- p2`b H2 ;`p2- bMb
+?M;2K2Mi /2 TmBbbM+2 c Qm mM2 KQ/mHiBQM /KTHBim/2 , THmb 7Q`i- KQBMb 7Q`i Qm m 
KK2 pQHmK2 bQMQ`2X
*2 [mB 7Bi mM iQiH /2 N mMBiûb bQMQ`2bX
lM2 bmBi2 /2 9 ¨ e mMBiûb 7Q`K2 mM2 bQmb@T?`b2 2i /m`2 2MpB`QM Ry b2+QM/2bX m 
KQBMb /2mt bQmb@T?`b2b
7Q`K2Mi mM2 T?`b2X lM2 #H2BM2 `ûTi2 ;ûMû`H2K2Mi mM2 KK2 T?`b2 T2M/Mi k ¨ 9 
KBMmi2b- +2 [m2 HQM
TT2HH2 mM i?K2X lM2 bmBi2 /2 i?K2b 7Q`K2 mM +?MiX G2b #H2BM2b T2mp2Mi `ûTûi2` 
+2 +?Mi  [mB /m`2
2MpB`QM ky KBMmi2b  T2M/Mi /2b ?2m`2b- pQB`2 /2b DQm`b 2MiB2`bX
.T`b qBFBT2/B

.QMMû2b miBH2b
*QMbiMi2b 7QM/K2MiH2b
      NT

*ûHû`Biû /2 H HmKB`2 /Mb H2 pB/2

      'N

S2`KBiiBpBiû /BûH2+i`B[m2 /m pB/2

      )N

S2`Kû#BHBiû K;MûiB[m2 /m pB/2

      $

*?`;2 ûHûK2MiB`2

      LH

Jbb2 /2 HûH2+i`QM

      LH

Jbb2 /m T`QiQM
.QMMû2b MmKû`B[m2b

    NT

++ûHû`iBQM /2 H T2bMi2m` i2``2bi`2

      N

_vQM i2``2bi`2

      1BT

oBb+QbBiû /vMKB[m2 /2 H2m ¨ 9 ê*

Jbb2 pQHmKB[m2 /2 H2m HB[mB/2 U¨ 9 ê*V

.2MbBiû /2 H2m Q+ûMB[m2 UT`b /2 H bm`7+2V
S`2bbBQM Q+ûMB[m2 /2 bm`7+2

     LHN

    CBS      1B

   ¯$   ,

h2KTû`im`2 Q+ûMB[m2 /2 bm`7+2
6Q`KmHB`2

HSBE  

EJW 

    EJW 
 
EJW  

  EJW 
HSBE  

 TJO   

TJO 
 TJO  

HSBE 

HSBE EJW 
SPU 
SPU 

TJO  TJO  

TJO 

r r r 6AL r r r

kyR3@y9@Ry Re,9N,jk

S;2 dfd

© Éditions H&K

Centrale Physique 1 PC 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Henri Lastakowski (professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Louis Salkin (professeur en CPGE) et Tom Morel (professeur en CPGE).

Ce sujet est constitué de deux parties indépendantes. Toutes deux concernent le
guidage d'ondes à travers des milieux anisotropes.
· La première partie concerne la propagation d'une onde électromagnétique dans
un plasma. Après un début classique sur le mouvement d'une particule chargée
dans un champ électromagnétique, le sujet aborde un point plus original, celui
de la propagation d'une onde dans la ionosphère en présence du champ magnétique 
terrestre. Dans certaines conditions, ce champ magnétique n'est pas
négligeable et donne naissance à des modes de propagation originaux, guidés
par les lignes de champ magnétique de la Terre. Cette partie mélange des 
raisonnements proches du cours (électromagnétisme et mécanique) et des questions
plus difficiles qui nécessitent de maîtriser les outils d'analyse vectorielle.
· La seconde partie démarre avec l'étude d'une onde acoustique dans un milieu
homogène et isotrope, pour ensuite s'intéresser à la propagation dans un milieu
anisotrope, à savoir le canal SOFAR. Dans ce canal, la vitesse de l'onde 
acoustique est fonction de la profondeur, ce qui provoque des effets de 
réfraction
et conduit à un guidage de l'onde, permettant ainsi son transport sur de très
longues distances.
Cette épreuve constitue un savant mélange de questions de type cours, et de 
questions plus calculatoires, typique d'une épreuve du concours Centrale, et 
constitue un
excellent sujet de révision des chapitres sur la propagation d'ondes dans les 
milieux.
On peut également souligner l'existence de questions moins guidées, s'appuyant 
à la
fois sur l'ensemble d'une partie et sur l'analyse de documents, ce qui est bien 
dans
l'esprit des programmes.

© Éditions H&K

Indications
Q 8 Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron et
montrer que le terme d'accélération est négligeable, sachant que pour une onde,
négliger les échelles d'espace réduites signifie travailler à de grandes 
longueurs
d'onde et donc à de basses fréquences.
Q 10 Se rappeler que pour une onde plane progressive harmonique dans le vide
I0 = huEM ic, où huEM i est la densité volumique moyenne d'énergie 
électromagnétique.
Q 12 Évaluer les ordres de grandeur permet de montrer que le courant de déplace

ment est négligeable. Décomposer le champ électrique suivant -
ex et -
ey pour
aboutir à la relation de dispersion.
Q 14 La masse se conserve.
Q 25 Montrer que le déplacement élémentaire le long d'une surface d'égal chemin

acoustique est perpendiculaire à -
u.
Q 27 En notant  l'angle que fait localement (C) avec la verticale, utiliser la 
loi
de Descartes sur la réfraction pour exprimer sin  en fonction de z. Ensuite,
en admettant que la trajectoire est circulaire de rayon rc , exprimer de façon
géométrique z en fonction de rc ,  et 0 .
Q 29 Exprimer le déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques, et le 
diviser
par la célérité de l'onde pour avoir l'intervalle de temps élémentaire exprimé
en fonction de  et d.
Q 30 Calculer la distance SH en fonction de  et 0 .
Q 31 L'angle  = /2 correspond à une propagation rectiligne horizontale 
s'effectuant à célérité constante.
Q 33 L'angle d'ouverture est régi par la diffraction par la gueule de l'animal. 
Le
signal est brouillé si deux notes émises à des instants différents lors du chant
de la baleine arrivent en même temps à l'émetteur.

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Océans, atmosphère et communications
Q 1 Prenons comme système la particule de charge q et de masse m constante
étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La seule force 
considérée étant
la force magnétique de Lorentz, le principe fondamental de la dynamique s'écrit

-

d-
v

m
= q-
v  B0
dt
Projetons dans la base cartésienne
dvx
qB0
=
vy ,
dt
m

dvy
qB0
=-
vx
dt
m

dvz
=0
dt

et

La dernière équation indique que vz est constant au cours du temps, égale
à v// . Par ailleurs, la force magnétique étant perpendiculaire au vecteur 
vitesse de
la particule, sa puissance est nulle. Le théorème de la puissance cinétique 
implique
2

donc que l'énergie cinétique de la particule est constante et avec elle -
v .

-

-
Q 2 Le vecteur vitesse peut s'écrire -
v = -
w +-
v
// avec w perpendiculaire à ez .
Réécrivons le principe fondamental de la dynamique avec cette décomposition

d-
v
-
  -

d-
w
q -
//

+
=
w  B0 + -
v//  B0
dt
dt
m
-

 -

-
 -
Or -
v
// et B0 sont colinéaires, donc v//  B0 = 0 . Ainsi

d-
v

d-
w
q -
//
+
= -
w  B0
dt
dt
m

-

La force de Lorentz n'agit pas suivant -
ez , ainsi d-
v
// /dt = 0 . On obtient alors

q -
d-
w
= -
w  B0
dt
m
Q 3 D'après la première question, la norme de la vitesse et vz sont constants. 
Par

conséquent, la norme de -
w l'est également et est égale à |v |. D'après la question 2,

d-
w
q -
= -
w  B0
dt
m

-

-
 
q-
d-
w
Avec c = - B0 ,
= c  -
w
m
dt
Cette expression est caractéristique d'un mouvement circulaire uniforme à 
vecteur
-

vitesse angulaire de rotation c . Ainsi
c = -

qB0
m

Par ailleurs, le mouvement étant circulaire uniforme, la norme de l'accélération
est v 2 /c avec c le rayon de la trajectoire. En prenant la norme du principe
fondamental de la dynamique, on a par suite
v 2
|qB0 |
=
|v |
c
m

et par conséquent

c =

mv
qB0

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Q 4 Le champ magnétique terrestre est de l'ordre de 10-4 T (1 Gauss).
Ainsi, |c |  107 rad.s-1 pour un électron, et |c |  104 rad.s-1 pour un proton.
Soulignons qu'en raison de leurs charges opposées, les sens de rotation
de ces deux particules le sont aussi.
Remarquons également que la question 9 demande d'effectuer le même
calcul, avec la valeur B0 = 5 · 10-5 T, proche de celle retenue.
Q 5 En choisissant à nouveau d'étudier la particule chargée dans le référentiel
terrestre supposé galiléen, la seule force appliquée étant la force de Lorentz, 
on trouve

  -

q -
d-
v
=
E1 + -
v  B0
dt
m
soit après projection
dvx
q
=
(E1 + vy B0 ),
dt
m

dvy
qB0
=-
vx
dt
m

et

dvz
=0
dt

-

Q 6 On cherche une solution constante de la forme -
v = Vd = Vdx -
ex + Vdy -
ey . En
injectant cette solution dans les équations précédentes, on obtient
0=
Ainsi
En conclusion,

q
(E1 + Vdy B0 )
m
Vdy = -

E1
B0

et
et

0=-

qB0
Vdx
m

Vdx = 0

-

E1 -

Vd = -
ey
B0

On obtient bien une unique solution de vitesse constante.
Q 7 Écrivons la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule 
de
-

vitesse -
v =-
u + Vd ,

  -
 -
 -

d-
u
q -
=
E1 + -
u  B0 + V d  B0
dt
m
 -
 -

-
q -
Or, d'après la question 6,
0 =
E 1 + V d  B0
m
En soustrayant les deux dernières équations, il vient

-

d-
u
q -

=
u  B0
dt
m
-

Le vecteur vitesse est alors la somme de deux termes, Vd associé à un mouvement

rectiligne uniforme dans la direction -
ey et -
u associé à un mouvement circulaire
uniforme dans le plan (Oxy). Le mouvement étant alors la superposition de ces 
deux
mouvements : la trajectoire est cycloïdale.