Centrale Physique 1 PC 2018

Thme de l'preuve Ocans, atmosphre et communications
Principaux outils utiliss mcanique, ondes lectromagntiques, mcanique des fluides, acoustique
Mots clefs ondes, lectromagntisme, ionosphre, SOFAR, ocan

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique 1 PC 2018 -- Corrig Ce corrig est propos par Henri Lastakowski (professeur en CPGE) ; il a t relu par Louis Salkin (professeur en CPGE) et Tom Morel (professeur en CPGE). Ce sujet est constitu de deux parties indpendantes. Toutes deux concernent le guidage d'ondes  travers des milieux anisotropes.  La premire partie concerne la propagation d'une onde lectromagntique dans un plasma. Aprs un dbut classique sur le mouvement d'une particule charge dans un champ lectromagntique, le sujet aborde un point plus original, celui de la propagation d'une onde dans la ionosphre en prsence du champ magntique terrestre. Dans certaines conditions, ce champ magntique n'est pas ngligeable et donne naissance  des modes de propagation originaux, guids par les lignes de champ magntique de la Terre. Cette partie mlange des raisonnements proches du cours (lectromagntisme et mcanique) et des questions plus difficiles qui ncessitent de matriser les outils d'analyse vectorielle.  La seconde partie dmarre avec l'tude d'une onde acoustique dans un milieu homogne et isotrope, pour ensuite s'intresser  la propagation dans un milieu anisotrope,  savoir le canal SOFAR. Dans ce canal, la vitesse de l'onde acoustique est fonction de la profondeur, ce qui provoque des effets de rfraction et conduit  un guidage de l'onde, permettant ainsi son transport sur de trs longues distances. Cette preuve constitue un savant mlange de questions de type cours, et de questions plus calculatoires, typique d'une preuve du concours Centrale, et constitue un excellent sujet de rvision des chapitres sur la propagation d'ondes dans les milieux. On peut galement souligner l'existence de questions moins guides, s'appuyant  la fois sur l'ensemble d'une partie et sur l'analyse de documents, ce qui est bien dans l'esprit des programmes. Indications Q 8 crire le principe fondamental de la dynamique appliqu  un lectron et montrer que le terme d'acclration est ngligeable, sachant que pour une onde, ngliger les chelles d'espace rduites signifie travailler  de grandes longueurs d'onde et donc  de basses frquences. Q 10 Se rappeler que pour une onde plane progressive harmonique dans le vide I0 = huEM ic, o huEM i est la densit volumique moyenne d'nergie lectromagntique. Q 12 valuer les ordres de grandeur permet de montrer que le courant de dplace ment est ngligeable. Dcomposer le champ lectrique suivant - ex et - ey pour aboutir  la relation de dispersion. Q 14 La masse se conserve. Q 25 Montrer que le dplacement lmentaire le long d'une surface d'gal chemin acoustique est perpendiculaire  - u. Q 27 En notant l'angle que fait localement (C) avec la verticale, utiliser la loi de Descartes sur la rfraction pour exprimer sin en fonction de z. Ensuite, en admettant que la trajectoire est circulaire de rayon rc , exprimer de faon gomtrique z en fonction de rc , et 0 . Q 29 Exprimer le dplacement lmentaire en coordonnes cylindriques, et le diviser par la clrit de l'onde pour avoir l'intervalle de temps lmentaire exprim en fonction de et d. Q 30 Calculer la distance SH en fonction de et 0 . Q 31 L'angle = /2 correspond  une propagation rectiligne horizontale s'effectuant  clrit constante. Q 33 L'angle d'ouverture est rgi par la diffraction par la gueule de l'animal. Le signal est brouill si deux notes mises  des instants diffrents lors du chant de la baleine arrivent en mme temps  l'metteur. Ocans, atmosphre et communications Q 1 Prenons comme systme la particule de charge q et de masse m constante tudie dans le rfrentiel terrestre suppos galilen. La seule force considre tant la force magntique de Lorentz, le principe fondamental de la dynamique s'crit - d- v m = q- v B0 dt Projetons dans la base cartsienne dvx qB0 = vy , dt m dvy qB0 =- vx dt m dvz =0 dt et La dernire quation indique que vz est constant au cours du temps, gale  v// . Par ailleurs, la force magntique tant perpendiculaire au vecteur vitesse de la particule, sa puissance est nulle. Le thorme de la puissance cintique implique 2 donc que l'nergie cintique de la particule est constante et avec elle - v . - - Q 2 Le vecteur vitesse peut s'crire - v = - w +- v // avec w perpendiculaire  ez . Rcrivons le principe fondamental de la dynamique avec cette dcomposition d- v - - d- w q - // + = w B0 + - v// B0 dt dt m - - - - Or - v // et B0 sont colinaires, donc v// B0 = 0 . Ainsi d- v d- w q - // + = - w B0 dt dt m - La force de Lorentz n'agit pas suivant - ez , ainsi d- v // /dt = 0 . On obtient alors q - d- w = - w B0 dt m Q 3 D'aprs la premire question, la norme de la vitesse et vz sont constants. Par consquent, la norme de - w l'est galement et est gale  |v |. D'aprs la question 2, d- w q - = - w B0 dt m - - q- d- w Avec c = - B0 , = c - w m dt Cette expression est caractristique d'un mouvement circulaire uniforme  vecteur - vitesse angulaire de rotation c . Ainsi c = - qB0 m Par ailleurs, le mouvement tant circulaire uniforme, la norme de l'acclration est v 2 /c avec c le rayon de la trajectoire. En prenant la norme du principe fondamental de la dynamique, on a par suite v 2 |qB0 | = |v | c m et par consquent c = mv qB0 Q 4 Le champ magntique terrestre est de l'ordre de 10-4 T (1 Gauss). Ainsi, |c | 107 rad.s-1 pour un lectron, et |c | 104 rad.s-1 pour un proton. Soulignons qu'en raison de leurs charges opposes, les sens de rotation de ces deux particules le sont aussi. Remarquons galement que la question 9 demande d'effectuer le mme calcul, avec la valeur B0 = 5  10-5 T, proche de celle retenue. Q 5 En choisissant  nouveau d'tudier la particule charge dans le rfrentiel terrestre suppos galilen, la seule force applique tant la force de Lorentz, on trouve - q - d- v = E1 + - v B0 dt m soit aprs projection dvx q = (E1 + vy B0 ), dt m dvy qB0 =- vx dt m et dvz =0 dt - Q 6 On cherche une solution constante de la forme - v = Vd = Vdx - ex + Vdy - ey . En injectant cette solution dans les quations prcdentes, on obtient 0= Ainsi En conclusion, q (E1 + Vdy B0 ) m Vdy = - E1 B0 et et 0=- qB0 Vdx m Vdx = 0 - E1 - Vd = - ey B0 On obtient bien une unique solution de vitesse constante. Q 7 crivons la relation fondamentale de la dynamique applique  la particule de - vitesse - v =- u + Vd , - - - d- u q - = E1 + - u B0 + V d B0 dt m - - - q - Or, d'aprs la question 6, 0 = E 1 + V d B0 m En soustrayant les deux dernires quations, il vient - d- u q - = u B0 dt m - Le vecteur vitesse est alors la somme de deux termes, Vd associ  un mouvement rectiligne uniforme dans la direction - ey et - u associ  un mouvement circulaire uniforme dans le plan (Oxy). Le mouvement tant alors la superposition de ces deux mouvements : la trajectoire est cyclodale.