Centrale Physique 1 PC 2017

Thème de l'épreuve Éléments de communication par fibre optique
Principaux outils utilisés électromagnétisme, ondes électromagnétiques, lasers
Mots clefs fibre optique, laser, biréfringence, polarisation, filtre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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t, '» P hysiq ue 1 N °.) , 1--l _/ PC @ tancnuns EENÏHHLE--SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Éléments de communication par fibre optique La technologie WDM (Wavelength Division Multiplexing) utilise le multiplexage en longueur d'onde, ce qui revient à injecter dans une même fibre optique plusieurs signaux de longueurs d'ondes distinctes, qui constituent autant de canaux de transmission de l'information. Une liaison WDM fonctionne selon le schéma synoptique décrit figure 1. Signal 1 Émetteur 1 ' Signal 2 Emetteur 2 ' g à : --â , l l . @ > Récepteur : 5 ' Fibre ! 'Ë | . : % Amplificateur Opthue Amplificateur Ë> Signal n Émetteur n ' optique optique Figure 1 Schéma synoptique d'une liaison WDM Les conventions internationales fixent la bande WDM aux longueurs d'onde comprises entre 1530 nm et 1565 nm. L'espacement entre deux longueurs d'ondes voisines de ces signaux porteurs est environ égal a 1,6 nm. La technologie WDM est dite dense (DWDM) lorsque l'espacement entre deux longueurs d'onde de la bande de transmission est environ égal a 0,8 nm. Ce problème étudie dans trois parties indépendantes la transmission du signal par la fibre optique, son amplifi-- cation et des éléments de démultiplexage. Lorsqu'une longueur d'onde A est évoquée dans l'énoncé, il s'agit de la longueur d'onde dans le vide associée à la fréquence f de ce signal. On trouvera en fin d'énoncé, les valeurs numériques des constantes physiques utiles, un formulaire et une annexe sur les polarisations circulaires droite et gauche. 100 Mesures _ L ------------ Limites théoriques / absorption OH 10 Y E --"*." CD 3 s: 1 .9 Ë'â 5 q 'B à 0,1 absorption infrarouge -->/ 0,01 / 0,6 0,8 1,0 1,2 14 1,6 1,8 7 Longueur d'onde À (pm) Figure 2 Atténuation dans une fibre de silice en fonction de À 2017--03--1508;47:58 Page 1/8 (CÔ BY--NC-SA I Etude de la transmission par fibre optique L'onde lumineuse se propage dans la fibre optique, considérée comme un guide de section S et d'axe de révolution Oz. On note Ë le vecteur de Poynting de l'onde lumineuse, H(z) la valeur de la composante utile de Ë, moyennée sur le temps et sur la section a l'abscisse z et enfin ?(z) la puissance moyenne véhiculée a travers cette section. La communication par fibre permet des débits très élevés. Simultanément, la propagation sur de longues dis-- tances pose un problème d'atténuation. Cette atténuation, mesurée en décibel par kilomètre, s'écrit, pour une propagation entre les abscisses z = 0 et z : d : f1 _ 10 ?(0) A(dB-km )_d(km) log (Îd)) Elle dépend de la longueur d'onde utilisée, selon le schéma donné figure 2. Pour les applications numériques, on envisagera une fibre à température ordinaire, parcourue par un signal de longueur d'onde À : 1550 nm, pour laquelle A oe 0,2 dB'kmfl. La puissance lumineuse injectée dans la fibre est typiquement ?(0) : 300 11W et la puissance minimale détectée par un récepteur vaut ?min : 10 pW. I.A * Longueurs d'onde et canaum utiles I.A.1) Dans quel domaine optique se situent les ondes propagé--es par la fibre '? Donner l'ordre de grandeur des fréquences associées, exprimées en THZ. I.A.2) Justifier le choix de longueur d'onde effectué pour propager le signal dans la fibre. I.A.3) La technologie WDM permet de véhiculer 16 canaux multiplexés. Rapprocher ce nombre des données associées aux normes techniques définies en introduction. Qu'en est--il de la technologie DWDM '? I.B -- Nécessité d'une amplification I.B.l) Rappeler l'expression du vecteur de Poynting Ë(ï,t), en fonction du champ électromagnétique de l'onde lumineuse. Préciser les relations liant Ë(ï", t), H(z) et ?(z). I.B.2) Justifier par des arguments numériques précis la nécessité d'une amplification du signal, par exemple pour des liaisons entre continents. I.B.3) Quelle distance maximale faut--il envisager entre deux amplificateurs de signal placés sur la fibre '? II Amplification du signal par une fibre dopée à l'erbium II.A * Interaction matière rayonnement L'amplification du signal est réalisée dans une portion, de longueur L, de fibre dopée avec des ions erbium Er3+. Cet ion est modélisé comme un système a deux niveaux, le niveau fondamental 1, d'énergie 51: et un niveau excité 2, d'énergie 52. Il y a n0 ions Er3+ par unité de volume, dont nl dans le niveau 1 et n2 dans le niveau 2. L'interaction entre ces ions Er3+ et le rayonnement se fait suivant les trois processus quantiques illustrés par la figure 3 : -- l'absorption d'un photon du faisceau lumineux incident par un ion Er3+ dans le niveau fondamental 1 qui produit un ion excité dans le niveau 2. La puissance par unité de volume absorbée par les ions au cours de ce processus est a"nl(z)H(z) où a" est une constante caractéristique de l'ion Er3+, appelée section efficace d'absorption ; -- l'émission spontanée d'un photon par les ions dans le niveau excité 2. Si T désigne la durée de vie du niveau dn n2 6 : --. L dt 7' a excité 2, le nombre de photons émis selon ce processus par unité de volume et de temps est direction d'émission des photons ainsi produits est complètement aléatoire ; -- l'émission stimulée d'un photon par interaction résonnante avec le faisceau incident. Ce processus trans-- fère au faisceau incident une puissance par unité de volume égale à oen2(z)H(z), où 06 est une constante caractéristique de l'ion Er3', appelée section efficace d'émission. 52 --O-- 52 photon photo" _.-- 51 _ 51 Absorption Émission spontanée Émission stimulée Figure 3 Interaction matière rayonnement II.A.1) Rappeler la relation entre l'énergie EUR,, du photon, la constante de Planck, la vitesse de la lumière dans le vide et la longueur d'onde du photon. 2017--03--15 08:47:58 Page 2/8 ÎCÔ BY--NC-SA II.A.2) Quelle est la condition sur l'énergie du photon pour qu'il y ait absorption '? II.A.3) Quelle est la longueur d'onde du photon émis par émission spontanée ? II.A.4) En effectuant un bilan d'énergie de l'onde électromagnêtique dans la tranche de fibre comprise entre 2 et 2 + dz, montrer que dH(z) dz : (Gen2 -- U"nl)lÏ(z) (11.1) II.A.5) Justifier qu'il n'y a pas lieu de prendre en compte l'émission spontanée dans ce bilan d'énergie. II.A.6) Déduire de l'équation (11.1) la condition d'amplification du faisceau. II.A.7) Quelle est la dimension de a" et 06 '? II.A.8) Les sections efficaces sont du même ordre de grandeur: a" æ crc. Compte--tenu de la loi de Boltz-- mann, qui indique qu'à l'équilibre thermodynamique, la probabilité d'occupation d'un état d'énergie 5 est 5 thermodynamique et que l'amplification nécessite d'exciter une fraction importante des ions Er3+ dans le niveau 2, voire de réaliser une inversion de population entre les niveaux 1 et 2 (n2 > nl). proportionnelle à exp (-- ), montrer que la condition d'amplification ne peut être satisfaite à l'équilibre II.B * Amplification par pompage optique Le pompage optique des ions Er3+ est réalisé par une diode laser (cf figure 4). ? Fibre dopée à l'erbium fibre S 0 L ? (0) « pompage » Diode laser Figure 4 Amplification par pompage optique Le faisceau pompe, produit par la diode laser, excite les ions Er3+ du niveau 1 vers un niveau 3. Ces ions se désexcitent très rapidement vers le niveau excité 2 par un processus de relaxation non radiatif de durée de vie 7" très courte. Comme précédemment, le faisceau portant le signal induit des transitions entre les niveaux 1 et 2 des ions Er3+ EUR 7 7 7 7 3 désexcitations non 7À' L' L' L' 13 L' 5 radiatives (T'æ0) absorption / émission stimulée induites par 115 pompage 51 Figure 5 Schéma a 3 niveaux de l'ion Er3+ Les grandeurs associées à l'onde électromagnëtique pompe issue de la diode laser seront indicées « p » et celles associées à l'onde électromagnêtique représentant le signal seront indicées « 5 >>. Les sections efiicaces d'absorp-- tion et d'émission stimulée de l'ion Er3+ dépendent de la longueur d'onde et seront donc également indicées s ou p. L'équation (11.1) devient ainsi d11S 2 (12EUR ) (0 n2 --0 n1)l_1 (2) De même dH (z) dÿz : (UZn3 _ U;"1)Hp(z) II.B.1) L'onde pompe issue de la diode laser a une longueur d'onde Àp : 1,48 pm. Déterminer la différence 53 -- 52 et montrer qu'elle est négligeable devant 52 -- EUR 1- Dans la suite on considèrera 53 -- 51 = 52 -- EUR 1. II.B.2) Sachant que la désexcitati0n non radiative du niveau 3 vers le niveau 2 est extrêmement rapide, que vaut 713 '? 2017--03--15 08:47:58 Page 3/8 (ce BY--NC-SA II.B.3) On s'intéresse dans cette question à l'équation gouvernant l'évolution temporelle de n2 (qui dépend ici à priori de z et de t). a ) Calculer le nombre d'ions Er3+ produits par unité de temps et de volume dans le niveau 2 par l'absorption du faisceau pompe (par Hp) suivie de la relaxation non radiative de 3 vers 2. b) Sachant que la puissance du faisceau pompe est partout très supérieure a celle du faisceau porteur du signal, soit H,,(z) >> Hs(z), quels sont les processus contribuant de façon significative à la formation ou a la disparition des ions Er3+ dans le niveau 2 '? 0) En déduire que ôn2 _ 1 aux) "2 Î""ÎÊ--? (H-2) II.B.4) On se place désormais en régime permanent. Exprimer n2 (z) et nl (z) en fonction de U;, Hp(z), EUR,,, 7' et "0- Montrer que pour qu'il y ait inversion de population il faut que Hp(z) dépasse un seuil H; que l'on déterminera. II.B.5) En déduire une relation caractérisant la dépendance spatiale de la puissance de l'onde pompe dans la @@ H* ' fibre dopée a l'erbium et montrer, en notant W(z) : que où D est une longueur caractéristique que l'on déterminera. II.B.6) Amplification du signal a ) Déduire des relations 11.1 et 11.2 une équation caractérisant la dépendance spatiale de la puissance de l'onde portant le signal (Hs) et montrer que mOE:Eâä> en précisant l'expression de la constante H*. np (0) _ Hp (Z) H* Il _ a agnoz+ Hs(2) Hs(0) b) La dépendance spatiale du gain en puissance du signal utile, défini en dB par G(z) : 10 log est représentée sur la figure 6. Justifier qualitativement l'évolution observée pour G (2) . G (dB) 35 30 25 20 15 10 Figure 6 Représentation du gain en fonction de la position 2 6) Quelle longueur a--t--on intérêt à donner a la portion amplificatrice '? Comparer alors son gain à l'effet de l'atténuation naturelle de la fibre non dopée sur une telle longueur. III Filtre optique accordable L'opération de démultiplexage consiste à séparer l'onde issue de la fibre contenant toutes les longueurs d'onde en une ou plusieurs ondes ne comportant qu'une seule longueur d'onde. Chacune de ces ondes est ensuite soit directement démodulée par le récepteur, soit véhiculée par d'autres fibres vers plusieurs récepteurs différents. Le démultiplexage est souvent confié à un élément dispersif passif, en l'occurrence un réseau, qui sépare les n longueurs d'onde en autant de signaux optiques distincts. Mais d'autres configurations de démultiplexage existent. Nous allons étudier ici un filtre accordable en longueur d'onde qui permet de n'extraire qu'une seule onde dont la longueur d'onde peut être choisie par une commande externe. 2017--03--15 08:47:58 Page 4/8 (CC) BY--NC-SA Les cristaux liquides sont des matériaux biréfringents dont le comportement dépend de la tension appliquée aux bornes de deux électrodes contrôlant le comportement d'une cellule de géométrie appropriée. Cette propriété est utilisée lors de la conception du filtre qui est constitué d'une association de cellules formées d'une lame de calcite biréfringente suivie d'une lame à cristaux liquides. Dans toute la suite, l'espace est repéré par le système de coordonnées cartésiennes (O,üoe, üy, üz). III.A + Propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique III.A.1) On considère un milieu diélectrique, linéaire, homogène, isotrope, magnétiquement parfait, de permit-- tivité diélectrique relative eT réelle. On rappelle que les équation de l'électromagnétisme dans un tel milieu sont analogues à celles écrites dans le vide en remplaçant la permittivité du vide 50 par ere,). Écrire les équations de Maxwell dans un tel milieu, dépourvu de charges et de courants libres. En déduire l'équation différentielle de propagation satisfaite par le champ électrique É (M , t). III.A.2) On s'intéresse à la propagation dans un tel milieu d'une onde plane sinus0i'dale, dont la représentation complexe du champ électrique s'écrit É : EO exp ( j(wt -- kz)). Établir la relation de dispersion de cette onde. Quelle est sa vitesse de propagation '? Définir l'indice optique n du milieu et le relier à la permittivité diélectrique relative eT. III.A.3) Pourquoi le champ électrique de l'onde plane est--il transverse '? Discuter de l'état général de polarisa-- tion de cette onde. III.B -- Lame biréfringente Un matériau biréfringent est un matériau anisotrope dont la permittivité diélectrique relative dépend de la direction du champ électrique. Les matériaux biréfringents utilisés ici sont tels que la vitesse de propagation d'une onde électromagnétique se propageant selon üz diffère selon la direction du champ électrique et donc selon la polarisation de l'onde. Les lames biréfringentes utilisées ici sont telles que les ondes lumineuses polarisées linéairement selon deux directions orthogonales, appelées axes neutres de la lame, se propagent selon 112 comme elles le feraient dans un milieu isotrope (cf III.A), mais avec des indices optiques différents. Les deux axes neutres de la lame sont notés (033) et (Oy) et on désigne par 11,6 (respectivement ny) l'indice optique de la lame pour l'onde électromagnétique se propageant selon fil et polarisée selon 1196 (respectivement selon fly). On néglige tout phénomène d'absorption dans le milieu biréfringent et on choisit nm > ny. III.B.1) L'axe neutre de la lame biréfringente pour lequel la vitesse de propagation de l'onde est plus élevée est appelé axe rapide. L'autre axe neutre est appelé axe lent. Dans le cas où n,, > ny, déterminer l'axe rapide. III.B.2) La lame d'épaisseur e occupe l'espace 0 g 2 < 6. L'onde traverse la lame perpendiculairement, a ;; croissant. On représente son champ électrique à l'entrée de la lame par : É(z : 0+,t) : (E...üoe + E0yejwüy) ejlm+Xl : E0m (üOE + aejfiûy) ej 0 et en z : 0+. Pourquoi parle--t--on de « lame à retard » '? III.B.4) Dans toute la suite, on admet que la transmission sous incidence normale d'une onde plane progressive sinusoidale entre deux diélectriques transparents, d'indices réels différents, n'affecte pas les valeurs de cp et de oz : la transmission n'affecte pas l'état de polarisation. Exprimer 90' a la sortie de la lame biréfringente sous la , 27T5 \ \ . . forme 

< 108 m-sÏ1 Masse de l'électron m : 9,11 >< 10*31 kg Charge élémentaire @ = 1,60 >< 1049 C Perméabihté magnétique du vide #0 : 47r >< 104 HmÎ1 Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 1042 F-mÎ1 Constante des gaz parfaits R = 8,31 J -Kfl'molfl Constante d'Av0gadro NA : 6,02 >< 1023 molf1 Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10*23 JOEÇ1 Constante de Planck h : 6,63 >< 10f34k Js Formulaire _» Îot(rÎ>t /Î) : grad(div Â) -- AA Annexe : Polarisations circulaires (ou elliptiques) droite et gauche Une onde plane monochr0matique qui se propage selon l'axe (Oz) est dite avoir une polarisation circulaire (ou elliptique) gauche si, en un point donné de l'espace (2 : zo), le champ électrique Ë(z... t) de cette onde tourne dans le sens trigonométrique direct (figure 10). Si le champ électrique Ê(z... t) tourne dans le sens opposé, l'onde a une polarisation circulaire (ou elliptique) droite. Ay E sens de propagation / d04% Z Figure 10 oooFlNooo 2017-03--15()8:47:58 Page 8/8 (cc) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique 1 PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Valentin Raban (doctorant ENS Lyon) ; il a été relu par Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à l'université) et Julien Dumont (professeur en CPGE). Le sujet est centré sur la physique du transport de signaux électromagnétiques par les fibres optiques, dont l'impact technologique est gigantesque. Par exemple, toutes les données téléphone et internet échangées entre les continents sont transmises par des fibres optiques sous-marines. L'énoncé est construit en trois parties indépendantes, très inégales en longueur et difficulté. · La première partie, très courte, est une introduction au sujet. En se fondant sur la courbe de l'atténuation dans la fibre, elle permet de justifier d'une part les longueurs d'onde employées et d'autre part la nécessité d'amplifier le signal. · La deuxième partie se concentre justement sur le procédé d'amplification. Le mécanisme se basant sur l'émission stimulée, on commence par montrer qu'un milieu constitué d'ions à seulement deux niveaux ne peut pas convenir à cause de l'impossibilité de l'inversion de population. Un système à trois niveaux est proposé, aboutissant au calcul du gain en décibels par mètre, qui est alors comparé à l'atténuation naturelle de la fibre. · La troisième partie se focalise sur la physique d'un système de démultiplexage, s'appuyant sur la polarisation des ondes électromagnétiques. On commence par étudier l'effet de la traversée d'une lame biréfringente sur la polarisation. Ensuite, des lames de différents types (calcite et cristaux liquides) sont accolées et placées entre un polariseur et un analyseur afin de réaliser un filtre accordable en longueur d'onde. La partie II n'est pas très longue et assez proche de la physique des lasers. Elle constitue ainsi un bon exercice de révision sur le sujet. La partie III, plus longue et plus technique, porte sur le phénomène de biréfringence. Bien que le phénomène ne soit pas au programme, l'utilisation en travaux pratiques des lames /4 et /2, qui sont en fait des lames biréfringentes, l'est. À ce titre, les parties III.A, III.B et III.C constituent un excellent exercice d'approfondissement des travaux pratiques sur la polarisation des ondes électromagnétiques. Indications Partie I I.A.2 Utiliser la figure 2 de l'énoncé. I.B.3 La puissance du signal ne doit pas être inférieure à la puissance minimale détectable par un récepteur. Partie II II.A.4 Il y a deux sources pour l'onde électromagnétique : l'émission stimulée qui augmente l'énergie et l'absorption qui la diminue. II.A.5 La direction des photons émis spontanément est aléatoire. II.B.3.a Le nombre d'ions produits par absorption du faisceau pompe est aussi le nombre de photons absorbés. C'est donc, par unité de temps, la puissance absorbée divisée par l'énergie d'un photon. II.B.3.b L'hypothèse p (z) s (z) revient à négliger tous les processus liés au faisceau signal. II.B.3.c Effectuer un bilan du nombre d'ions dans l'état 2. Utiliser alors l'équation II.1 modifiée pour le faisceau pompe avec n3 = 0. II.B.4 Utiliser l'équation II.1 modifiée pour le faisceau pompe avec n3 = 0 et la conservation du nombre d'ions n0 = n1 + n2 . II.B.5 Remplacer n1 par son expression dans l'équation II.1 pour p . II.B.6.a Remplacer n1 = n0 - n2 puis remplacer n2 par son expression dans l'équation II.1 du faisceau signal s . II.B.6.c Le gain doit être maximal. Partie III III.A.3 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss pour l'onde plane sinusoïdale. III.B.2.c Repasser en notation réelle pour tracer la trajectoire. III.B.5 Il faut = /2 (resp. ) pour obtenir une polarisation circulaire droite (resp. rectiligne) en sortie. III.C.1 Produire d'abord une polarisation rectiligne puis ensuite la polarisation circulaire droite. Pour que la polarisation soit circulaire (et non seulement elliptique) il faut |Ex | = |Ey |, ce qui s'obtient en orientant la lame à retard de 45 par rapport à la polarisation rectiligne incidente. III.C.2 Chercher à éliminer la composante circulaire gauche. Pour cela, il faut la transformer en polarisation rectiligne puis la couper grâce à un polariseur incliné à 90 . III.D.3.b Essayer les trois valeurs de p pour les longueurs d'onde minimale et maximale. III.E.1.a Le champ voit sa composante selon Y1 être changée en son opposée. De même ensuite avec Y2 . III.F.1.b Si s'éloigne de 0 , les lames ne sont plus accordées et la polarisation en sortie est elliptique plutôt que rectiligne. Éléments de communication par fibre optique I. Étude de la transmission par fibre optique I.A.1 Une onde de longueur d'onde = 1 550 nm appartient au domaine des infrarouges. La fréquence f associée est f= c = 193 THz I.A.2 La figure 2 indique que l'atténuation dans une fibre en silice est minimale pour des ondes de longueurs d'onde comprises entre 1 500 nm et 1 650 nm, ce qui justifie le choix de la longueur d'onde utilisée. I.A.3 Seize canaux de largeur spectrale 1,6 nm occupent au total 25,6 nm, ce qui est effectivement inférieur à la largeur de la bande WDM. On peut s'attendre à avoir deux fois plus de canaux DWDM, soit 32, pour la même largeur de bande, car ils ont une largeur spectrale deux fois plus petite que ceux de la technologie WDM. I.B.1 Le vecteur de Poynting s'écrit - - - - - E ( r , t) B (- r , t) R ( r , t) = µ0 D'après la définition de : (z) = 1 S ZZ - - hRi · d S S où h·i désigne la moyenne temporelle. Enfin, la puissance moyenne s'écrit ZZ - - P(z) = h R i · d S = S (z) S I.B.2 Pour une atténuation A donnée, la puissance moyenne à la distance d est, d'après la formule de l'énoncé, P(d) = 10-dA/10 P(0) Sur l'exemple d'une traversée de 5 000 km (océan Atlantique), cela conduit à P(d) = 10-100 P(0) P min Il faut donc amplifier le signal pour pouvoir le détecter en sortie. I.B.3 Un critère pourrait être que la puissance ne doit jamais être inférieure à P min . Pour cela, il faut que la distance d vérifie 10 P(0) d < dmax = log 74 km A P min II. Amplification du signal par une fibre dopée à l'erbium II.A.1 Un photon de longueur d'onde a une énergie E = hc II.A.2 La conservation de l'énergie à l'absorption impose E + E 1 = E 2 , soit E = E2 - E1 II.A.3 La conservation de l'énergie à l'émission impose encore E 2 = E + E 1 . En utilisant la question II.A.1, hc = E2 - E1 II.A.4 Effectuons un bilan d'énergie de l'onde comprise dans la tranche située entre z et z + dz entre les instants t et t + dt. La variation d'énergie E de l'onde à la traversée de la tranche est d E = -(z) S dt + (z + dz) S dt = S dt dz dz Cette variation d'énergie résulte du bilan entre, d'une part, l'énergie gagnée par l'onde lorsque les ions se désexcitent par émission stimulée et, d'autre part, l'énergie perdue par l'onde pour faire passer les ions du niveau 1 au niveau 2 par absorption, soit E = e n2 - a n1 dt dz S Après division par S dt dz, le bilan conduit bien à d e = n2 - a n1 dz II.A.5 Les photons émis spontanément n'ont pas de direction privilégiée. Ainsi, il y en a autant qui sont émis dans une direction donnée et dans la direction opposée : ils ne participent pas à l'amplification du faisceau. A contrario, les photons émis par émission stimulée ont un comportement anisotrope puisqu'ils ont la même direction que les photons inducteurs. II.A.6 Le faisceau est amplifié si d(z) > 0 c'est-à-dire lorsque dz e n2 > a n1 II.A.7 L'équation (II.1) de l'énoncé montre que e n2 et a n1 sont en m-1 . Puisque n2 et n1 sont en m-3 , on déduit que a et e ont la dimension d'une surface et s'expriment en m2 , d'où le nom de section efficace. II.A.8 Les sections efficaces étant du même ordre de grandeur, la condition d'amplification se traduit par n2 > n1 . Or, à l'équilibre thermodynamique, puisque E2 > E1 , la loi de Boltzmann conduit à n1 > n2 et donc cette condition n'est pas satisfaite. C'est pourquoi il est nécessaire de réaliser une inversion de population.