Centrale Physique 1 PC 2016

Thème de l'épreuve L'effet dynamo, origine du champ géomagnétique ?
Principaux outils utilisés magnétostatique, électromagnétisme dans les milieux conducteurs, induction
Mots clefs effet dynamo, magnétohydrodynamique, dynamo de Bullard, bobines de Helmholtz

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Nous rapportons, de plus, la première observation de renversements erratiques du champ magnétique créé par la dynamo, qui évoquent les renversements spontanés du champ magnétique terrestre. 14 Reflets de la Physique!n°3 Article disponible sur le site http://www.refletsdelaphysique.fr ou http://dx.doi.org/10.1051/refdp/2007039 Figure 1. Schéma de l'expérience VKS2. Dans le cadre de la collaboration VKS (CEA ­ ENS Lyon ­ ENS Paris ­ CNRS), nous avons réalisé au CEA Cadarache (DEN/DTN) une expérience dans laquelle un écoulement tourbillonnaire, dit de von Karman, est produit par le mouvement de deux turbines tournant en sens inverse dans un cylindre rempli de sodium liquide. L'écoulement est pleinement turbulent avec un nombre de Reynolds (voir encadré p. 16) cinétique Re comparable à celui des grandes souffleries aérodynamiques, et il permet d'atteindre des nombres de Reynolds magnétiques Rm de l'ordre de 50. Les dimensions, les conditions aux limites et la forme des turbines ont fait l'objet de nombreuses études théoriques, numériques et expérimentales (en eau, en gallium et en sodium) [1, 2, 3]. La cuve actuelle fait 600 mm de long pour un diamètre de 600 mm et un volume de sodium d'environ 150 litres. Elle comprend une couche de sodium au repos qui entoure l'écoulement, un anneau permettant de stabiliser la couche de cisaillement dans le plan médian et des disques en fer pur (fig. 1). Les mesures de champ magnétique sont réalisées à l'aide de sondes immergées dans l'écoulement. Dans ces expériences, l'apparition de l'effet dynamo a été marquée par l'apparition spontanée d'un champ magnétique auto-entretenu par le mouvement du fluide, pour une vitesse de rotation des disques supérieure à une vitesse critique (de l'ordre de 1000 tours/minute correspondant à Rm 30, cf. fig. 2b) [4]. Environ 50% au-dessus du seuil, l'amplitude de ce champ est de l'ordre de 50 Gauss à la frontière de l'écoulement (environ 100 fois la valeur du champ terrestre) et il présente de très fortes fluctuations (fig. 2a). Lorsqu'il est produit, l'effet dynamo est également marqué par une surconsommation d'environ 15%, mesurée au niveau de l'alimentation des moteurs, 30% au-dessus du seuil d'instabilité. L'évolution de l'amplitude de l'énergie magnétique locale en fonction de Rm correspond à une bifurcation légèrement imparfaite autour de Rm = 30 et est en bon accord avec une loi d'échelle proposée précédemment pour les grands nombres de Reynolds [5]. Il reste encore à établir dans quelle mesure les fluctuations turbulentes favorisent ou inhibent la dynamo, mais ce résultat montre que les dynamos fluides continuent à opérer en présence de turbulence forte. Bibliographie [1] R.Volk, et al., Phys. Fluids 18, 085105 (2006). [2] F. Ravelet, et al., Phys. Fluids 17, 117104 (2005). [3] M. Bourgoin et al., Phys. Fluids 14, 2046 (2002). [4] R. Monchaux et al., "Generation of a magnetic field dynamo action in a turbulent flow of liquid sodium", Phys. Rev. Lett. 98, 044502 (2007). [5] F. Pétrélis et S. Fauve, Eur. Phys. J. B 22, 273 (2001) [6] M. Berhanu et al., "Magnetic field reversals in an experimental turbulent dynamo", Europhys. Lett. 77 (2007), sous presse. [7] C. Letellier, Bulletin SFP 154, 10 (mai 2006). Avancées de la recherche Quelle est l'origine du champ magnétique des objets astrophysiques qui nous entourent : planètes, étoiles, galaxies...? Dans le cas du Soleil, Larmor propose en 1919 que ce champ est engendré par effet dynamo (voir encadré p. 16), c'est-à-dire par la création spontanée d'un champ magnétique dans un fluide conducteur en mouvement. Quant au champ magnétique terrestre, il est très probablement créé par le mouvement du fer liquide du noyau. Cet effet est l'analogue des dynamos industrielles (Siemens, 1867) et les équations qui régissent ce phénomène sont connues : équations de Maxwell et loi d'Ohm, équation de NavierStokes. Cependant, si l'on peut mener à bien des calculs analytiques dans le cas d'écoulements simples et indépendants du temps, la prédiction théorique s'avère difficile pour les milieux naturels dans lesquels les mouvements se développent librement et les fluides sont très turbulents. Les simulations numériques ne permettent pas non plus d'atteindre ­ et ce pour longtemps encore ! ­ les gammes de paramètres des dynamos naturelles, contrairement aux expériences qui en sont plus proches. Les premières dynamos induites par des écoulements de sodium dans des géométries contraintes reproduisant des solutions analytiques modèles ont été observées en 2000 à Riga et à Karlsruhe. Depuis, plusieurs équipes aux USA, en Russie et en France tentent d'obtenir une dynamo à partir d'écoulements moins contraints, plus proches des systèmes naturels et susceptibles d'engendrer des régimes dynamos plus riches. Pour en savoir plus H.K. Moffatt, Magnetic Field generation in electrically conducting fluids, Cambridge University Press, U.K. (1978). R. Moreau, Magnetohydrodynamics, Kluwer Academic Publishers (1990). F. Daviaud pour l'équipe VKS, « Expérience VKS : vers la dynamo turbulente ? », Bulletin SFP 135, 24 (juillet-août 2002). Liste des participants à l'expérience VKS2 : M. Berhanu, M. Bourgoin, A. Chiffaudel, F. Daviaud, B. Dubruille, S. Fauve, C. Gasquet, L. Marié, R. Monchaux, N. Mordant, M. Moulin, P. Odier, F. Pétréli, J.-F. Pinton, F. Ravelet, R. Volk. Figure 2. (a) Évolution temporelle des trois composantes du champ magnétique lorsque la vitesse de rotation F = /2 est augmentée au-dessus du seuil (contra-rotation exacte). La composante la plus élevée, By , est tangente au cylindre à l'emplacement de la mesure (voir fig. 1) ; (b) évolution des valeurs moyennes des trois composantes du champ magnétique en fonction du nombre de Reynolds magnétique Rm. L'ajustement linéaire de By (droite rouge) définit la valeur seuil de Rm : Rmc ~ 31. Reflets de la Physique!n°3 15 Figure 3 : Évolution temporelle présentant les inversions erratiques du champ magnétique lorsque les deux turbines ne tournent pas à la même vitesse (F1 F2). By est en rouge, Bx en bleu et Bz en vert. Les écoulements qui sont à l'origine des dynamos naturelles sont pour la plupart en rotation globale importante, à cause du mouvement d'ensemble de la planète ou de l'étoile. Dans nos expériences, on peut imposer une rotation de ce type en faisant tourner une turbine plus rapidement que l'autre. Nous avons alors découvert que le champ magnétique créé par l'effet dynamo, au lieu d'être statistiquement stationnaire comme lorsque les turbines tournent à la même vitesse, évolue au cours du temps avec des renversements erratiques de sa direction (fig. 3) [6]. Ce comportement, avec inversions aléatoires du champ et excursions, est très similaire à ce que l'on sait de l'évolution du champ terrestre au cours des âges. Les observations paléomagnétiques montrent en effet une alternance d'orientations Nord-Sud et Sud-Nord qui marquent les renversements du champ magnétique terrestre. Comme dans l'expérience en sodium, le temps mis pour un retournement (quelques milliers d'années pour la Terre, quelques secondes ici) est très court devant la durée moyenne d'une plage de champ magnétique de polarité donnée (quelques centaines de milliers d'années pour la Terre, quelques centaines de secondes ici). Ce résultat de l'expérience VKS2 montre que certaines caractéristiques de la dynamo terrestre peuvent être reproduites et étudiées « au laboratoire » dans des situations bien contrôlées. De plus, la richesse des régimes observés dans l'expérience laisse entrevoir la possibilité de comprendre pourquoi des dynamos très différentes sont souvent observées pour des objets naturels a priori similaires : la Terre a un champ magnétique, Vénus n'en a pas ; notre Soleil a un cycle d'activité magnétique périodique de 22 ans [7], très particulier dans la diversité des comportements stellaires. Les perspectives de l'expérience VKS2 concernent maintenant la recherche des ingrédients nécessaires dans l'expérience à l'effet dynamo, l'étude quantitative de la bifurcation et l'exploration des dynamiques complexes observées dans le cas où les turbines ne tournent pas à la même vitesse. Nombres de Reynolds Le nombre de Reynolds cinétique (nombre sans dimension) est défini par : Re = UL/, où U et L correspondent respectivement à une vitesse et une taille caractéristiques de l'écoulement, et à la viscosité cinématique. Il caractérise l'importance relative du transport de quantité de mouvement d'une part, par advection1 par le champ de vitesse U et, d'autre part, par diffusion visqueuse. En général, le fluide devient turbulent au-delà d'un nombre de Reynolds critique (Rec ~ 3000 pour l'écoulement de von Karman). Dans l'expérience VKS2, Re est de l'ordre de 106 à 107 à comparer à 108 pour le noyau de fer liquide dans la Terre et 103 - 104 dans les simulations numériques. Le nombre de Reynolds magnétique est : Rm= µUL, où µ correspond à la perméabilité magnétique et à la conductivité électrique du fluide. Il traduit l'importance de l'advection du champ magnétique par rapport à la diffusion. On choisit le sodium malgré les problèmes de sécurité qu'il pose, car c'est le meilleur fluide conducteur de l'électricité autour de 100-150°C. Dans l'expérience VKS2, Rm augmente avec U et donc avec la vitesse de rotation des turbines, jusqu'à atteindre une valeur de l'ordre de 50 à comparer à 102 pour le noyau liquide dans la Terre. 1. Advection est le terme utilisé couramment pour parler « d'entraînement » et pour le distinguer de la convection d'origine thermique. Induction unipolaire et effet dynamo (a) La rotation à vitesse angulaire d'un disque conducteur soumis à un champ magnétique B0 engendre une force électromotrice proportionnelle à et B0 entre A et P. Si l'on ferme le circuit à l'aide de balais, un courant I circule donc dans la résistance. (b) La difficulté rencontrée par Siemens et Wheatstone, qui utilisaient des dispositifs beaucoup plus compliqués que celui de la figure, consistait à engendrer un courant sans appliquer un champ magnétique externe B0. L'idée est de choisir la géométrie du circuit électrique afin d'utiliser le courant induit pour engendrer le champ magnétique B nécessaire. On est ainsi conduit à un problème typique d'instabilité : une perturbation de champ engendre un courant qui à son tour amplifie le champ si le sens de rotation est choisi convenablement en fonction de l'induction mutuelle entre le circuit et le disque et si ce dernier tourne suffisamment vite pour compenser les pertes par effet Joule. 16 Reflets de la Physique!n°3 -a-b-

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 Centrale Physique 1 PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Cyril Jean (ENS Ulm) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Le problème étudie les conséquences du mouvement d'un fluide conducteur électrique en présence de champ magnétique. Il se focalise sur l'effet dynamo et tente d'expliquer l'origine du champ magnétique terrestre. · La première partie, de magnétostatique, présente le dispositif de type « bobines de Helmholtz » qui permet de mesurer le champ magnétique terrestre. Les propriétés du dispositif sont discutées à partir du champ magnétique produit par une spire sur son axe, puis on explique comment l'utilisation d'un dipôle magnétique couplé avec les « bobines de Helmholtz » permet une mesure du champ géomagnétique. · La deuxième partie est dédiée à l'effet dynamo. Elle commence par évoquer les différentes hypothèses qui ont été avancées au fil des siècles, pour tenter d'expliquer l'origine du champ magnétique terrestre. On étudie par exemple le moment magnétique induit par la rotation d'un objet chargé. Ces hypothèses sont discutées à l'aide d'un document d'information sur le noyau terrestre et les matériaux magnétiques. La deuxième sous-partie introduit l'effet dynamo et le nombre de Reynolds magnétique en étudiant la création de champs magnétiques induits lorsqu'une particule de fluide chargée électriquement est en mouvement. La troisième sous-partie présente la dynamo de Bullard, un système expérimental modèle tentant de reproduire certaines caractéristiques du champ géomagnétique. On établit le système d'équations différentielles couplant le mouvement mécanique de la dynamo et le champ magnétique induit. On discute ensuite les caractéristiques du champ magnétique terrestre reproduites par ce modèle expérimental. La dernière sous-partie est consacrée à la discussion du document de l'annexe 2 qui présente un autre modèle expérimental de l'effet dynamo, l'expérience VKS2. · La dernière partie est consacrée à l'équation fondamentale de la magnétohydrodynamique. Les équations de Maxwell dans un milieu conducteur, la loi d'Ohm locale ainsi que la loi de conservation de la charge électrique sont utilisées pour obtenir l'équation d'évolution du champ magnétique, ou équation d'induction, dans un fluide en mouvement. On réalise ensuite une interprétation énergétique de l'équation d'induction et on discute du cas limite de diffusion. On termine en introduisant un nombre caractéristique de l'induction magnétique dans un fluide conducteur qui fait écho au nombre de Reynolds magnétique introduit dans la partie précédente. C'est un sujet long et presque exclusivement consacré à l'électromagnétisme, ce qui peut être déstabilisant. Le thème est attractif et correspond à une thématique de recherche actuelle et complexe. L'ensemble est peu calculatoire, à l'exception de la dernière partie, et de nombreuses questions exigent un traitement qualitatif du problème. Indications Partie I - I.A B est un pseudo-vecteur. Pour trouver la direction du champ au point M, il faut trouver des plans de symétrie de la distribution de courant auxquels appartient M. I.C.2 Les points d'inflexion sont des points pour lesquels la dérivé première présente un extremum, c'est-à-dire que la dérivé seconde de la fonction s'annule. I.E Appliquer le théorème du moment cinétique à l'aiguille écartée d'un petit angle de l'axe d'équilibre. Partie II II.A.2.b Découper la boule en spires élémentaires puis sommer les moments magnétiques élémentaires. II.A.2.c Dans le cadre de ce modèle, qu'est-ce qui peut provoquer des changements de sens du champ magnétique ? II.B.2.b La dimension d'un rotationnel est l'inverse d'une longueur. II.B.3.b Une infinité de champs induits est générée. Il faut donc sommer ces champs. - II.C.3.a Calculer le flux du champ magnétique uniforme B1 sur le disque puis utiliser la loi d'Ohm électrique. II.C.5 Appliquer la loi des mailles au circuit équivalent. II.C.7 Utiliser le théorème du moment cinétique et un couplage électromécanique parfait entre le disque et le circuit. II.C.9 Multiplier, respectivement par et i, les première et deuxième lignes de l'équation II.6 donnée dans l'énoncé pour faire apparaître des termes quadratiques en et en i. Partie III III.B.1 Utiliser la loi d'Ohm locale puis la loi de Maxwell-Gauss. III.B.2 Comparer le temps caractéristique de l'évolution de la densité de charge à un temps caractéristique de l'expérience comme la période de rotation des turbines par exemple. III.D Appliquer le rotationnel à l'équation de Maxwell-Ampère. - III.E Multiplier l'équation d'induction par B /µ0 . III.G Comparer l'expression trouvée au nombre de Reynolds magnétique introduit dans l'annexe 2. L'effet dynamo, origine du champ géomagnétique ? I. Une mesure du champ géomagnétique I.A Tout plan orthogonal au plan de la spire et contenant le point M est un plan d'antisymétrie de la distribution de - courant. Comme le champ magnétique B spire est un pseudo - vecteur, B spire appartient à l'intersection de tous ces plans et est donc dirigé selon le vecteur - u x . Par ailleurs, comme la spire est orientée positivement par rapport à - u x (en suivant la règle - - de la main droite), B est selon +u . Finalement, · O - B spire (x) · x M x spire - µ0 I B spire = 2R I x 2 -3/2 - 1+ u x R - I.B Par translation du centre de chaque bobine de + - e/2 ex et par linéarité des équa - tions de Maxwell, le champ magnétique B bobines (x) créé en un point M d'abscisse x de l'axe commun aux deux bobines est 2 !-3/2 2 !-3/2 - x - e/2 x + e/2 µ0 NI - B bobines(x) = 1+ + 1+ u x 2R R R I I · e - 2 · O · e 2 x Ces deux bobines constituent un dispositif de « bobines de Helmholtz ». I.C.1 Dans le cas où la séparation e entre les deux bobines est supérieure à la distance critique e0 , le champ magnétique total présente deux maxima distincts autour de x = -e/2 et x = e/2 ainsi qu'un minimum local en x = 0. - - B bobines B bobines µ0 NI 2R - e 2 0 e > e0 µ0 NI 2R e 2 x 0 e e - 2 2 e < e0 x Dans l'autre cas, lorsque la séparation entre les deux bobines est inférieure à la distance critique e0 , le champ magnétique total ne présente plus qu'un maximum en x = 0. En passant d'un minimum local à un maximum local en x = 0 lorsque la séparation entre les bobines diminue, on passe par un cas critique où la courbe est plate : le champ magnétique est alors localement uniforme entre les deux bobines. Pour e = e0 , le champ magnétique est localement uniforme entre les deux bobines. Lorsque les courants dans les deux bobines ont des sens opposés (dispositif « anti-Helmholtz »), le champ magnétique autour du centre du dispositif a une dépendance linéaire en x. On obtient un piège magnétique qui a notamment permis certaines des premières expériences de piégeages d'atomes au milieu des années 1980. I.C.2 La fonction Bspire est paire et présente un maximum en x = 0. Comme la dérivée d'une fonction paire est impaire, on sait que la dérivée B spire de Bspire est telle que, pour tout x, B spire (x) = -B spire (-x) De plus, la dérivée seconde B spire de Bspire est paire. B spire s'annule en deux points symétriques qui correspondent aux pentes minimales et maximales de la courbe représentative de Bspire . On pose e0 la distance telle que pour e = e0 , B spire s'annule en x = + - e0 /2. On a donc B spire (-e0 /2) = B spire (e0 /2) = 0 Par ailleurs, la dérivée troisième B spire de Bspire est impaire. On considère donc deux bobines placées en x = -e0 /2 et x = e0 /2 qui produisent respectivement un champ B-e0 /2 et Be0 /2 . Le développement limité à l'ordre 3 de ces deux champs autour de zéro s'écrit 2 3 + B + O(4 ) B-e0 /2 () = B-e0 /2 (0) + B-e0 /2 (0) + B-e0 /2 (0) -e0 /2 (0) 2 6 3 2 Be /2 () = Be /2 (0) + B (0) + B (0) + B (0) + O(4 ) 0 0 e0 /2 e0 /2 e0 /2 2 6 avec B-e0 /2 (0) = -Be0 /2 (0), B (0) = -B (0) et B (0) = B-e0 /2 (0) = 0. -e0 /2 e0 /2 e0 /2 Le champ résultant d'un dispositif de Helmholtz, Bbobines() = Be0 /2 () + B-e0 /2 () vaut donc Bbobines () = Be0 /2 (0) + B-e0 /2 (0) + O(4 ) La fonction Bbobines est donc constante à l'ordre 3 au voisinage de 0 pour une séparation particulière e = e0 . y I.D On applique le théorème du moment cinétique à l'aiguille aimantée dans le référentiel galiléen terrestre. En sup - M posant que la liaison pivot selon z est parfaite, l'aiguille ai- - - + mantée n'est soumise qu'au couple magnétique = M B . On a z x - - =- B J - u M B z - - - L'aiguille magnétique occupe une position d'équilibre lorsque M B = 0 . Les - - positions d'équilibre sont donc telles que M et B sont colinéaires. Considérons que