Centrale Physique 1 PC 2015

Thème de l'épreuve Son et audition
Principaux outils utilisés ondes sonores, mécanique des fluides, électronique
Mots clefs oreille, fibre nerveuse, audition, trombone

Corrigé

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t '» Physique 1 un %, F| _/ PCQ cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Son et audition L'oreille se compose de trois parties : l'oreille externe, l'oreille moyenne et l'oreille interne. Les deux premières assurent le transfert des ondes sonores à l'oreille interne. L'oreille interne, ou cochlée, transforme ce stimulus en influx nerveux (cf. document 1). I Ondes acoustiques et oreille externe I.A -- Équations des ondes acoustiques On s'intéresse à la propagation unidimensionnelle (selon Oct) d'ondes sonores dans un fluide. Un fluide, supposé parfait et soumis aux seules forces de pression, est caractérisé à l'équilibre par des valeurs uniformes PU de la pression et po de la masse volumique. Du point de vue thermodynamique, ses évolutions sont considérées comme isentropiques, auxquelles correspond le coefficient de compressibilité Xs- Le passage d'une onde sonore crée une perturbation et le fluide se déplace en de petits mouvements autour de l'équilibre, les champs de pression et de masse volumique devenant : P(oe,t) : PO + p(oe, t) et p(oe,t) : po + u(oe,t). I.A.1) Qu'appelle--t-on approximation acoustique ? Quel est l'ordre de grandeur de la surpression p pour des ondes acoustiques dans l'air ? I.A.2) Écrire et linéariser les équations locales de la mécanique des fluides et l'équation traduisant l'hypothèse thermodynamique effectuée. Établir l'équation de propagation des ondes acoustiques pour la surpression. Quelle est la célérité c de ces ondes ? I.A.3) Dans le modèle du gaz parfait, établir la loi de variation de la célérité avec la température. Calculer c dans l'air dans les conditions normales de pression (P0 = 1,0 >< 105 Pa) a la température de 290 K. I.A.4) La célérité des ondes acoustiques dans l'eau est de l'ordre de 1500 m-s'1. Qu'est ce qui peut expliquer cette différence par rapport à celle trouvée dans l'air ? I.A.5) Alors que l'on n'a aucun problème à localiser l'origine d'un son aérien, on est incapable, la tête sous l'eau, de déterminer dans quelle direction se situe un bateau dont on entend le bruit d'hélice. Pourquoi ? I.A.6) À partir des mêmes équations précédentes, on peut établir l'équation &) 1 2 1 2 -- -- -- di 5 = 0 at (2P0U + 2xsp )+ W} ) Quelle est la signification physique de cette équation? Identifier et interpréter chacun de ses termes. Que représente notamment le flux de piî a travers une surface ? Citer une équation analogue dans un autre domaine de la physique. I.B -- Impédance et intensité acoustique I.B.1) On considère une onde plane progressive pour laquelle la surpression et la valeur algébrique de la vitesse des particules de fluide dans la direction de propagation ne dépendent que de la variable t -- oe/c et s'écrivent donc sous la forme p(oe, t) : p(t -- oe/c) et v(oe, t) = v(t -- oe/c). On définit l'impédance acoustique liée à une telle onde comme le quotient Z : [.)/0. Dans un fluide illimité, montrer que cette impédance ne dépend que des caractéristiques du fluide et l'exprimer en fonction de la masse volumique po et de la célérité c. Calculer Z pour l'air et pour l'eau dans les conditions des questions précédentes. I.B.2) On considère maintenant une onde plane progressive monochromatique de pulsation w: g(oe,t) : pOeY(w'_kæ). On définit l'intensité d'une onde acoustique par la valeur moyenne de la norme du vecteur pîî. Exprimer l'intensité I de cette onde en fonction de 10... po et c. I.B.3) On définit le niveau d'intensité acoustique en dB comme [dB : 10log(l/IO), Où I0 est l'intensité acoustique correspondant au seuil d'audition. Quelle serait l'amplitude de déplacement de l'onde sonore incidente au seuil d'audition et au seuil de la douleur pour un son de fréquence 440 Hz ? I.C -- L'oreille eæterne I.C.1) Le pavillon de l'oreille concentre l'énergie sonore. Pourquoi ? 2015-03--18 09:49:51 Page 1/8 [_ I.C.2) Pour une onde sonore progressive dans un tuyau rempli d'air, on souhaite réaliser une impédance nulle à l'une de ses extrémités et une impédance infinie a l'autre. Proposer les configurations correspondantes. Quelle est la nature de l'onde résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie ? I.C.3) Le canal auditif externe, tube d'environ 3 cm de long, joue le rôle de caisse de résonance dépendant de la fréquence. Autour de quelle fréquence le son sera--t-il particulièrement amplifié ? Conclure. LD -- Protection acoustique On s'intéresse à la protection auditive d'un tromboniste (documents 2, 3 et 4). La réponse à ces questions nécessite d'y consacrer un temps sufiisant. Le candidat devra préciser la manière dont il eætrait les informations des différents documents. La qualité de la démarche et des eæplications sera évaluée tout autant que le résultat final. I.D.1) En assimilant le trombone à un tuyau sonore de section constante, compléter le tableau 1. Position de la coulisse 1 2 3 4 5 7 Fréquence de la note (Hz) 115,2 Luuuueuuuuuuu  tympan Figure 1 Schématisation de l'oreille moyenne extrémité et ses réactions mécaniques diffèrent selon l'endroit considéré. Ainsi, les hautes fréquences excitent la base de la membrane alors que les fréquences basses en excitent l'extrémité (tonotopie passive). Au milieu du XIXe siècle, Ludvig von Helmholtz émit l'hypothèse que des résonateurs accordés aux différentes fréquences audibles étaient répartis le long de la membrane basilaire. On se propose dans ce qui suit d'étudier ce modèle de résonateurs. III .A -- On considère une cavité sphérique de volume VO ouverte sur l'extérieur par un tube de longueur EUR et de section 3 (figure 2). Le volume V() est supposé très grand devant le volume du tube. L'ensemble contient de l'eau de masse volumique P0 à l'équilibre sous la pression P0 et de coefficient de compressibilité isentropique xs. Figure 2 Cavité sphérique ouverte sur l'ex- térieur par un tube Au voisinage de l'ouverture, une onde acoustique impose une pression PO + p... cos(wt). La masse m de fluide contenue initialement dans le tube constitue un système fermé oscillant sous l'effet de la différence de pression entre le fluide situé à l'extérieur de la cavité et celui situé à l'intérieur de la cavité. On admet que l'évolution du fluide dans la cavité est isentropique. Déterminer l'équation du mouvement du bouchon de fluide et montrer qu'il existe une résonance en position dont on exprimera la pulsation en fonction de c, 3, EUR et VO, où (: est la célérité des ondes acoustiques dans le fluide. III.B -- Expliquer de façon qualitative pourquoi la forme de la membrane basilaire a longtemps permis de donner une explication simple de la tonotopie passive du conduit cochléaire. III .C -- D'autres modèles se sont développés, et certains ont expliqué la différence de sélectivité le long de la membrane des fréquences excitatrices par les différences de rigidité de celle--ci. Par analogie avec un système masse-ressort, comment pourrait--on expliquer cette variation de la sélectivité ? IV L'influx nerveux Les cellules ciliées qui se trouvent sur la membrane basilaire réagissent aux vibrations de celle-ci et les ampli- fient. Leurs cils s'inclinent de quelques millièmes de degré et déclenchent des signaux électriques que les nerfs transmettent au cerveau. I V.A -- Modèle électrique des fibres nerveuses Les axones (ou fibres nerveuses) les plus simples sont formés d'une membrane lipidique enfermant un liquide physiologique riche en ions (l'axoplasme) et baignant dans un liquide cellulaire également riche en ions. Un axone est modélisé par un cylindre de longueur importante par rapport à son diamètre. La différence de potentiel entre l'axoplasme et le liquide extérieur est de l'ordre de --70 mV. Les données géométriques et électriques des constituants de l'axone sont données figure 3 (la résistivité électrique est l'inverse de la conductivité électrique). Les propriétés passives de l'axone illustrées sur la figure 4 sont déterminées par : -- la résistance de l'axoplasme (Ra) s'opposant au passage du courant le long de l'axone ; -- la résistance de la membrane (R... = 1/Gm ) déterminant la fuite du courant ; -- la capacité de la membrane (C...) capable d'emmagasiner des charges électriques à l'intérieur et a l'extérieur de la membrane. 2015-03-18 09:49:51 Page 3/8 [_ liquide cellulaire membrane résistivité p... = 7,1 >< 104 Q--m permittivité relative e,. = 8 épaisseur 6 = 7 nm axoplasme résistivité pa : 0,5 Q--m diamètre d = 10 pm Figure 3 Vue en coupe schématisée d'un axone Figure 4 Circuit électrique équivalent de l'axone Ainsi un axone peut être assimilé à un câble électrique imparfaitement isolé. IV.A.1) Déterminer 7"... la résistance électrique par unité de longueur de l'axoplasme. Effectuer l'application numérique. IV.A.2) Quelle hypothèse peut-on faire quant au calcul de la capacité par unité de longueur c... et de la conductance de fuite par unité de longueur gm au vu de la valeur du rapport e /d ? IV.A.3) Déterminer c... (on remplacera 80 par 8087, dans les calculs) et g.... Effectuer les applications numé- riques. I V.B -- Constante d'espace Chaque longueur élémentaire de longueur da: de la fibre nerveuse est modélisée par une cellule représentée figure 5. i(oe, t) 7'ad93 i(oe + das, t) > |: > u(oe, t) cmdoe : Hg...doe u(æ + doe, t) --|--|--> 93 oe+dæ Figure 5 Schéma électrique élémentaire d'une fibre nerveuse IV.B.1) Que devient ce schéma en régime permanent ? IV.B.2) Déterminer les équations différentielles vérifiées par u(oe) et i(oe), puis celle vérifiée par u(oe) seulement. Faire apparaitre une constante À, appelée constante d'espace, homogène à une distance. Donner l'expression de À. Effectuer l'application numérique. IV.B.3) Exprimer u(oe) en fonction de u(0) et de À. Préciser la signification physique de À. IV.B.4) Certains axones sont entourés d'une gaine de myéline, sorte de graisse aux propriétés électriques isolantes. Des mesures de tension électrique peuvent être effectuées le long de telles fibres. On obtient des résultats du type de ceux présentés figure 6. En déduire la conductance linéique de fuite de l'axone myélinisé (que l'on notera 97/n par la suite), puis la conductance linéique de la gaine de myéline seule. Conclure. I V.C -- Régime variable On se place en régime dépendant du temps et on supposera que les axones sont myélinisés. On supposera dans un premier temps que la capacité linéique par unité de longueur de l'axone est inchangée par rapport a un axone non myélinisé. IV.C.1) Déterminer les équations différentielles vérifiées par u(oe, t) et i(oe,t) puis celle vérifiée par u(oe, t) seulement. On envisage dans la suite une solution sous forme d'onde plane progressive monochromatique g(oe, t) = u0eÏ(Wt'kæ). 2015-03-18 09:49:51 Page 4/8 [_ u(oe) (unité arbitraire) \ > $ (mm) 1 2 Figure 6 Évolution de la tension le long d'un axone myélinisé IV.C.2) À quelle condition sur au, c... et 97/n l'équation différentielle vérifiée par u(oe,t) se simplifie-t-elle en 8% x t ôu \ % : rue...--t ? A quelles fréquences cela correspond-il ? Conclure. On supposera cette condition vérifiée par la suite. IV.C.3) Quel est le phénomène décrit par cette équation ? Citer d'autres exemples analogues. IV.C.4) Déterminer la relation de dispersion entre au et k. Montrer que le milieu est dispersif et absorbant. Que valent les vitesses de phase et de groupe ? Quelle relation lie ces deux grandeurs ? IV.C.5) Mettre en évidence une distance caractéristique d'atténuation. Commenter. IV.D -- Ça brûle ! Pour donner une explication et une image simpliste de la transmission des infiux nerveux dans une fibre nerveuse, on pourrait dire que le signal électrique qui se propage par conduction électrique le long de l'axone, est ré--amplifié régulièrement (aux noeuds de Ranvier), ce qui le ralentit (cf. figure 7). __-- __-- m élme Y noeud de Ranvier Figure 7 Schéma d'un axone myélinisé et noeuds de Ranvier Les fibres nerveuses connectées aux cellules sensibles à la douleur sont entourées d'une gaine de myéline (dont la capacité linéique cï'n est inférieure à c...), contrairement à celles sensibles à la chaleur. Expliquer pourquoi, lorsqu'on se brûle, on a mal avant d'avoir chaud. Données numériques Permittivité diélectrique du vide 80 = 8,85 >< 10_12 F-m_1 Perméabilité magnétique du vide ,u0 : 47r >< 10"7 H--m"1 Constante des gaz parfaits R = 8,31 J -K"1--mol_1 Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol"1 Constante de Boltzmann kB = 1,38 >< 10"23 J --K"1 Masse molaire de l'air Mair : 28,8 g--mol_1 Ëîäïfiï ÎÏ.SËËËÏQZÎJËZÊÎ"IOES . = C,... = 2015-03-18 09:49:51 Page 5/8 [_ Document 1 -- L'oreille : un organe fragile et complexe D'après : Suva (http ://www.suva.ch) « Musique et troubles de l'ouïe » Oreille externe Oreille moyenne Oreille interne Elle se compose du pavillon de Les vibrations du tympan sont ampli-- L'oreille interne abrite le limaçon l'oreille (qui aide à localiser les fiées dans l'oreille moyenne, puis trans- (cochlée), de la taille d'un petit sources sonores) et du conduit mises à l'oreille interne par trois osse-- pois. Rempli d'un liquide, celui--ci auditif. Ce dernier se termine lets (le marteau, l'enclume et l'étrier), est partagé en deux dans le sens par le tympan, qui réagit aux les plus petits du squelette humain. Le de la longueur par la membrane variations de pression comme la marteau est relié au tympan et l'étrier a basilaire. membrane d'un microphone. la « platine de l'étrier » qui transmet la vibration au liquide de la cochlée. Oreille externe Oreille Oreille interne moyenne Tympan Osselets Conduit auditif Organe de l'équilibre Nerf auditif Limaçon Membrane basilaire avec cellules ciliées Cellules ciliées La parfaite coordination de ces éléments autorise des performances extraordinaires Les sons font vibrer la membrane basilaire de ma- -- l'intensité acoustique correspondant au seuil nière sélective : les plus aigus sont captés sur la par- d'audition est IO = 1 >< 10--12W-m_2, celle corres- tie antérieure, tandis que les graves pénètrent au pendant au seuil de la douleur Is = 1 W-m"2 ; fond du limaçon. Ce mode de fonctionnement est -- la gamme de fréquence allant de 20 Hz à 10 ou comparable à celui d'un analyseur de fréquence. La 20 kHz (selon l'âge) recouvre trois décadeS. À ce- membrane basilaire est tapissée d'environ 5000 cel-- la s'ajoute une excellente capacité de résolution, lules ciliées, des capteurs qui transforment les vibra- l'oreille distingue des signaux qui restent confus tions sonores en impulsions électriques transmises pour un analyseur sophistiqué, tels que la mélo_ aux nerfs auditifs. Les 20 000 cellules ciliées externes die d'un instrument au sein d'un orchestre ; jouent également un rôle important : véritables am-- -- l'ouïe dispose également d'une capacité de locali- plificateurs, elles permettent d'adapter la réaction sation très développée, qui lui permet d'identifier de la membrane en fonction du signal à traiter. la provenance d'un cliquetis dans l'air à 3° près. 2015--03-18 09:49:51 Page 6/8 Document 2 -- Protecteurs d'0uïe D'après : Suva (http ://www.suva.ch} «Musique et troubles de l'ame » Les protecteurs d'oui'e ont désor-- mais conquis le public, des fosses d'orchestre a la Street Parade. Le manque d'homogénéité de l'atté-- nuation des fréquences hautes et basses altère la sonorité. On en trouve de différents types et a diffé-- rents prix, du moins cher (tampons auriculaires en mousse de type A) au plus cher (protections otoplas-- tiques de type D). Document 3 -- Le trombone D'après : http ://fr.wikipedia.org et http ://dictionnaire.metronim0.com Le trombone est un instrument de musique à vent et a embouchure de la famille des cuivres clairs. Le terme désigne implicitement le trombone à coulisse caractérisé par l'utilisation d'une coulisse télescopique. Le trombone à coulisse est réputé pour être l'un des instruments les plus difficiles, mais également l'un des plus puissants d'un orchestre. Le trombone peut jouer des variations de nuances (intensités mesurées a 20 cm en sortie du trombone) allant d'une nuance pp (pianissimo : très faible) correspondant a 85 dB a une nuance ff (fortissimo : très fort) correspondant a 115 dB. Le trombone peut, par variation de la position de la coulisse, émettre des sons de hauteurs différentes. On construit la version ténor en sib, en lui donnant, dans sa première position, c'est--à--dire, celle où la coulisse ne fonctionne pas, pour note fondamentale le sib de 115,2 Hz et pour longueur théorique 2,950 m. Les allongements produisent six autres positions, dont le son est chaque fois abaissé d'un demi--ton. Les allongements de la coulisse sont obtenus par les mouvements du bras droit, la main gauche servant avec les lèvres à exercer le degré de pression nécessaire pour obtenir les harmoniques. ***--==-- Position de Fondamentale la coulisse 1 sib 2 la 3 lab ou solfi 4 sol 5 solb ou fafi 6 fa 7 mi On calcule les allongements d'après les différences de longueur de tube qui correspondent a la production des sons fondamentaux. Pour un trombone ténor avec une première position, sib, d'une longueur de 2,950m la deuxième, la (soit un demi--ton en dessous), a une longueur de 3,126 m et la septième de 4,174 m. Grâce aux fréquences harmoniques que l'on peut tirer de l'instrument pour chaque position de coulisse, la tessiture (gamme de fréquences) du trombone s'étend sur trois octaves et une quinte. Une octave est l'intervalle séparant deux sons dont la fréquence fondamentale du plus aigu est le double de celle du plus grave (entre deux do contigus par exemple). La quinte est l'intervalle séparant deux sons dont les fréquences fondamentales sont dans le rapport 2/3. Le ton sépare deux sons dont les fréquences sont dans le rapport 8/9. 2015-03-18 09:49:51 Page 7/8 (ce) BY--NC-SA Document 4 -- Limites d'exposition au bruit ; niveau sonore audible D'après : Centre canadien d'hygiène et de sécurité au travail Le tableau ci--dessous donne les limites d'exposition au bruit en milieu de travail exprimées sous forme de durées maximales d'exposition admissibles pour un niveau de référence de 85 dB et un coefficient d'équivalence de 3 dB. Niveau sonore (dB) Durée quotidienne Niveau sonore (dB) maximale admissible Durée quotidienne maximale admissible 85 8 heures 97 30 minutes 88 4 heures 15 minutes 91 2 heures 7 minutes D'après : norme ISO 389--7:2005 La courbe ci-dessous donne le seuil d'audition pour un individu otologiquement normal, âgé de 18 à 25 ans. Elle correspond à l'écoute binaurale en champ libre d'un son pur (onde plane progressive sinusoïdale) dont la source se trouve directement en face de l'auditeur. Le niveau de pression acoustique est mesuré, en l'absence de l'auditeur, à la position qu'aurait dû occuper le centre de sa tête. Press1on acoust1que (dB, référence 20 pPa) 2015-03-18 09:49:51 80 70 60 50 40 30 20 10 0 --10 10 100 1000 Fréquence (Hz) oooFlNooo Page 8/8 10000 [cc--

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 Centrale Physique 1 PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Étienne Thibierge (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Ce problème propose d'étudier certains des mécanismes physiques mis en oeuvre dans le processus d'audition. Il se compose de quatre parties globalement indépendantes, organisées en suivant la structure biologique de l'oreille. · La première partie traite de la propagation des ondes acoustiques dans un fluide et du fonctionnement de l'oreille externe. Elle commence par des questions de cours permettant d'établir les équations de propagation dans le cadre de l'approximation acoustique et de rappeler les notions utiles d'impédance acoustique et d'intensité sonore. Les conditions de résonance d'un tuyau sonore sont ensuite exploitées pour modéliser l'oreille externe et un trombone à coulisse. Il est à noter que la sous-partie traitant du trombone à coulisse se présente sous forme de questions ouvertes, peu guidées, recourant à l'analyse de plusieurs documents. · L'oreille moyenne fait l'objet de la deuxième partie. De nouvelles questions de cours abordent la réflexion et la transmission d'une onde acoustique à une interface. L'analyse de ces phénomènes permet de mettre en évidence l'importance de la chaîne d'osselets. · La courte troisième partie se focalise sur l'oreille interne. Le modèle du résonateur de Helmholtz y est utilisé pour modéliser le comportement de la membrane de la cochlée, dont la réponse aux ondes acoustiques diffère selon l'endroit excité de la membrane. · Enfin, la propagation de l'influx nerveux est au coeur de la quatrième partie. Celle-ci commence par une modélisation électromagnétique d'une fibre nerveuse en termes de résistance et capacité linéiques. Un modèle électrocinétique à constantes réparties qui s'en déduit est ensuite étudié, en régime stationnaire puis en régime dépendant du temps. Ce modèle permet d'analyser l'atténuation de l'influx nerveux le long de la fibre. Une bonne partie de ce sujet est composée de questions proches du cours et présentant peu de difficultés supplémentaires. Seule la dernière partie est plus originale. La propagation des ondes acoustiques constitue naturellement le thème le plus utilisé par le problème, qui traite l'ensemble chapitre. Des notions d'électromagnétisme des milieux conducteurs et de propagation dispersive des ondes sont nécessaires pour aborder la quatrième partie. Il est à noter que la partie I.D, posée sous forme de questions peu guidées et s'appuyant sur une étude de documents, peut être abordée indépendamment du reste du problème. Un lecteur souhaitant seulement se familiariser avec ce type d'exercice peut donc décider de la travailler isolément. Indications Partie I I.A.3. Écrire la loi de Laplace en fonction de la masse volumique et calculer sa différentielle. I.A.5. La provenance d'un son est identifiée grâce au décalage temporel perçu lors de la réception par les deux oreilles. I.B.3. Le déplacement de fluide associé à l'onde sonore est relié à la vitesse d'écoulement par intégration. I.C.2. Certaines hypothèses sont implicites : l'onde incidente est supposée harmonique et elle est imposée à une extrémité du tuyau. I.D.1. Exploiter d'une part le fait que les fréquences de deux notes séparées d'un ton sont dans un rapport 8/9 et, d'autre part, la condition de quantification des fréquences de résonance d'un tuyau sonore. Partie II II.A.2. L'onde réfléchie se propageant dans le sens des x décroissants, la relation entre surpression et vitesse acoustique s'écrit avec un signe moins. II.B.2. Utiliser le lien entre intensité sonore et surpression établi à la question I.B.2. Partie III III.A. Étudier la variation de masse volumique puis la surpression induites dans la cavité par un petit déplacement du bouchon fluide emplissant le tube d'ouverture. Appliquer ensuite le principe fondamental de la dynamique connaissant les pressions exercées à chaque extrémité du bouchon. Partie IV IV.A.3. L'hypothèse de la question IV.A.2 permet d'utiliser astucieusement le résultat de la question IV.A.1 pour calculer la conductance de fuite. IV.B.3. Attention, l'équation différentielle est différente de celle d'un oscillateur harmonique. Utiliser si besoin l'équation caractéristique pour la résoudre. IV.C.4. Les vitesses de phase et de groupe sont définies à partir de la partie réelle du vecteur d'onde complexe. Son et audition N.B. La lecture de l'ensemble des documents est conseillée avant d'entamer la composition car ils sont utiles dès les premières questions. I. Ondes acoustiques et oreille externe I.A.1 L'approximation acoustique considère l'onde acoustique comme une petite perturbation par rapport à l'état de repos du fluide. Traduit mathématiquement, cela signifie que p/P0 1 et µ/0 1. En outre, cela suppose également que la vitesse typique de l'écoulement induit par l'onde acoustique est faible devant la célérité de l'onde. La surpression dépend de l'intensité sonore. Elle vaut typiquement 10-5 Pa au seuil d'audition, 10-2 Pa à 60 dB et 60 Pa au seuil de douleur de 130 dB. I.A.2 En notant - v (x, t) le champ de vitesse de l'écoulement induit par l'onde acoustique, l'équation d'Euler s'écrit ! -- - -- - v - + ( v · grad ) v = - grad P t Notons v l'échelle de vitesse typique de l'écoulement, t l'échelle de temps et L l'échelle de longueur. Alors, -- - v v v 2 et (- v · grad )- v t t L Ainsi, l'accélération convective est négligeable devant l'accélération locale dès lors que v L /t . Supposons cette condition vérifiée. Pour une onde plane harmonique, L correspond à sa longueur d'onde et t à sa période. La condition se reformule alors en v c où c est la célérité de l'onde acoustique, introduite dans la suite de la question. L'approximation acoustique considère en outre que v /c est un infiniment petit du même ordre que p/P0 et µ/0 . Par ailleurs, le champ de pression P ne dépend par hypothèse que de x, soit -- P - grad P = ex x Comme le fluide est initialement au repos, les projections de l'équation d'Euler sur - ey et - ez permettent d'en déduire que le champ de vitesse est porté par - ex - - v (x, t) = v(x, t) e x Ce résultat peut sembler évident mais n'était pas prouvé jusqu'ici. L'équation d'Euler projetée sur - e s'écrit par conséquent x v P =- t x ce qui devient, en ne gardant que les termes du premier ordre, 0 v p =- t x Dans le membre de gauche, le terme µ v/t est un terme du second ordre, alors que dans le membre de droite le terme P0 du champ de pression est constant et sa dérivée est donc nulle. Considérons maintenant l'équation de conservation de la masse div (- v)+ =0 t Comme le champ de vitesse est un terme du premier ordre porté par - ex , cette équation se linéarise en négligeant les termes d'ordre supérieur en 0 v µ + =0 x t Enfin, les champs de pression et de masse volumique sont reliés par une équation thermodynamique. Le coefficient de compressibilité est défini par 1 S = P S 1 P qui s'écrit au premier ordre S = d'où µ = 0 S p Par analogie avec d'autres phénomènes ondulatoires, les champs de vitesse v et de surpression p apparaissent comme les grandeurs couplées caractéristiques des ondes acoustiques. Les équations d'Euler et de conservation de la masse réécrites en termes de surpression sont les équations couplées, les constantes de couplage étant la masse volumique au repos 0 et la compressibilité isentropique S . Établissons maintenant l'équation de propagation pour la surpression. Commençons par combiner les équations thermodynamique et de conservation de la masse pour substituer la surpression à la masse volumique, v p + 0 S =0 x t Dérivons ensuite cette équation par rapport au temps 0 2v 2p + 0 S 2 = 0 t x t et l'équation d'Euler par rapport à x 0 2v 2p =- 2 x t x Comme les variables d'espace et de temps sont indépendantes, le lemme de Schwartz permet d'inverser les dérivées partielles croisées, ce qui conduit à 0 2p 2p - 0 S 2 = 0 2 x t Il s'agit d'une équation de d'Alembert de célérité 1 c= 0 S