Centrale Physique 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Un parc d'attraction, c'est avant tout (de la) physique !
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrocinétique, optique ondulatoire, mécanique, bilans thermiques
Mots clefs holographie, freinage magnétique, filtrage

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 Ph ' ( ys | q u e 1 : " PC Q 4 heures Calculatrices autorisées N Un parc d'attraction, c'est avant tout (de la ) physique ! Les manèges des parcs d'attraction ont pour but de procurer au visiteur le maximum de sensations. Ils peuvent aussi être l'occasion de stimuler sa réflexion et son sens physique. Ainsi, nous nous proposons d'aborder tour à tour le freinage des wagonnets d'un grand huit, la mesure des pulsations cardiaques de ses passagers et, finalement, de nous perdre dans la 3D de l'holographie. I Freinage du train La plupart des montagnes russes dans les parcs d'attraction disposent d'un freinage magnétique. Nous proposons, dans cette partie, un modèle simple permettant d'en expliquer le principe. I.A -- Préliminaires Soient {RD et 9%, deux référentiels galiléen_s, % est en translation rectiligne uniforme à la vite_sse 17 par rapport à 9î0 ('U << 0). On notera respectivement E0 et E, les champs électriques dans 9% et 9% et B0 et B les champs magnétiques. I.A.1) Donner l'expression des champs électrique ÊO et magnétique ËO en fonction d'un couple de potentiels électromagnétiques X et V. Que deviennent ces expressions lorsque Ëo est indépendant du temps ? Cette hypothèse sera conservée tout au long du problème. I.A.2) Donner les relations liant E,, E,, Ë et D. I.A.3) Considérons un conducteur ohmique de conductivité a immobile dans 9% et localement neutre en tout point. a ) En notant j' le vecteur densité de courant au sein du matériau, rappeler la loi d'Ohm locale. b ) On note p f et p... respectivement les densités volumiques des charges fixes dans 9% et mobiles à la vitesse Ü... dans 9%. Quelle relation peut--on écrire entre pm et pf ? c ) Donner l'expression du vecteur densité de courant î dans SR et, en utilisant la loi de composition des vitesses, celle de je dans 9î0 en fonction des densités volumiques de charges et des vitesses définies précédemment. Que peut-on en conclure ? On admet que tous les résultats établis dans le préliminaire restent valables dans tout le problème. LB -- Un dispositif de freinage magnétique est constitué de deux parties, l'une fixée au wagon, l'autre fixée au niveau des rails. Sous chaque wagon, est placée une plaque fabriquée dans un matériau non magnétique et conducteur ohmique (typiquement du cuivre) de conductivité électrique 0 (voir figure 1). $ Z® Figure 1 On note D, L et 6 respectivement les dimensions de la plaque selon les axes x, y et 2. Le wagon se déplace en translation selon l'axe y et sa vitesse est i} = vê'y. Le référentiel æo est le référentiel terrestre, % est le référentiel lié au wagon. Lorsque le wagon arrive en gare, la plaque passe dans l'entrefer d'un aimant fixé au niveau des rails qui crée un champ magnétique supposé uniforme E, = Boê'z. On fait l'hypothèse que seule la partie grisée P0 de la plaque (voir figure 2) est soumise au champ magnétique ËO. On note respectivement d et l , ses dimensions selon les axes m et y. Dans toute la suite du problème, on suppose que l > d >> 6. Figure 2 I.B.1) Expliquer qualitativement comment un tel dispositif permet de freiner le wagon. I.B.2) On se place dans le référentiel % lié au wagon. On suppose, dans un premier temps, que le champ magnétique créé par les courants induits au sein de la plaque est négligeable devant BO : Boêz. Cette hypothèse sera discutée a la question I.B.5. Ainsi seul le champ magnétique B0 sera donc pris en compte. La détermination du vecteur densité de courant î au sein de la plaque, particulièrement dans la partie de la plaque qui n'est pas soumise au champ magnétique, est complexe. Nous allons, dans un premier temps, considérer exclusivement la partie P0 de la plaque soumise a 30 On suppose que le vecteur densité de courant î y est uniforme et porté par l'axe oe. &) Si ] est l'intensité totale traversant la partie P0 de la plaque, donner l'expression de j en fonction de I et des caractéristiques de P0. b} Intégrer l'expression de Ê obtenue a la question I.A.2, de façon a faire apparaître la circulation de ÊO entre les plans oe : --d/2 et oe : +d/2 (voir figure 2). Soit U : V(d/2) -- V(--d/2), la différence du potentiel V entre les plans 55 : --d/2 et a: : +d/2. Déduire des résultats précédents la relation r] = --U + e,, où 7" et 6,- sont des grandeurs a déterminer en fonction des données du problème. Que représente 7" ? Que représente 6, ? Faire un schéma électrique équivalent de P0 faisant apparaître 7", e,, I et U , les grandeurs e,, I et U étant correctement orientées les unes par rapport aux autres. c} On modélise la résistance du reste de la plaque par une résistance R constante de façon a ce que le circuit électrique équivalent de l'ensemble de la plaque soit ,. 6,- celui de la figure 3. © Reproduire la figure 3 sur la copie et placer les grandeurs e,, I et U correctement R orientées. Vous semble--t--il possible d'exprimer simplement R en fonction des caractéristiques Figure 3 de la plaque ? Justifier la réponse. , o o o o o o . {r. ; o . E11m1ner R de l'express1on de I en introduisant la grandeur sans dimens1on oz : î' Dedu1re une express1on 7" de 1 ne faisant intervenir que les données du problème et oz. I.B.3) On s'intéresse au mouvement du wagon, de masse m, dans 9%, le référentiel lié aux rails. Le dépla-- cement du wagon sur les rails se fait sans frottement. À partir des résultats précédents, montrer que le wagon subit une force de freinage dont on donnera l'expression. En appliquant le théorème de la résultante dynamique au wagon, déterminer l'expression d'un temps caracté-- ristique de freinage. Quel est l'inconvénient majeur du freinage magnétique par rapport a un freinage par friction ? Quels sont en revanche les principaux avantages du freinage magnétique ? I.B.4) Même s'il rend bien compte du principe du freinage magnétique, le modèle proposé est simpliste. Quelles hypothèses sont peu réalistes physiquement ? I.B.5) On souhaite discuter dans cette question de la validité de l'hypothèse faite dans la question I.B.2, a savoir que le champ magnétique créé par les courants induits au sein de la plaque est négligeable devant Ë0- L'épaisseur e de la plaque étant très faible devant ses autres dimensions, on considère la plaque comme une surface infiniment mince et infiniment étendue dans les directions $ et y. Dans le cadre de ce modèle, la plaque porte alors un vecteur densité de courant surfacique js. Quelle est l'expression de js en fonction de j déterminé précédemment ? En utilisant les symétries et invariances du problème, déterminer l'expression du champ magnétique ËS créé par cette répartition surfacique de courant. A quelle condition sur la vitesse 0, ce champ est--il négligeable par rapport a B() ? On donne la perméabilité magnétique du vide 110 = 471 >< 10_7 H-m_1. 2014-03-18 10:44:09 Page 2/8 OE:C BY--NC-SA La plaque est constituée d'un alliage contenant environ 90% de cuivre et de 10% de zinc, de conductivité 0 = 5 >< 107 S-m_1, son épaisseur 6 est de l'ordre du millimètre et 04 = 1/3. L'hypothèse est--elle valide pour une vitesse du train 0 % 10 m-s_1 ? I.B.6) Même si l'échauffement de la plaque est limité, il existe. &) Expliquer pourquoi il y a échauffement. () En considérant ue toute l'éner ie cinéti ue du train est dissi ée sous forme de chaleur au sein de N = 18 01 plaques fixées sous les wagons du train, exprimer et calculer l'élévation de température, supposée uniforme dans les plaques, en fonction des données : masse du train M = 7000 kg vitesse du train 0 = 12 ms--1 dimension de chaque plaque 6 = 6 mm, L = 0,8 m, D = 0,2 m masse volumique des plaques p = 8,7 >< 103 kg-m_3 capacité calorifique massique des plaques 0 = 385 J -kg_1-K_1 c} Avant un nouveau départ du train, il faut s'assurer que le frein a suffisamment refroidi. Expérimentalement, on trouve, qu'après l'arrêt du train, la température T de la plaque diminue d'environ 0,1 K par seconde. Quel est l'ordre de grandeur de la durée d'attente nécessaire entre deux voyages ? d} On souhaite tester l'hypothèse d'un refroidissement par transfert de type conducto--convectif entre l'air ambiant a la température Text et les deux plus grandes surfaces de la plaque. On rappelle que ce type de transfert thermique est correctement modélisé par la loi de Newton : la puissance algébrique surfacique reçue par une surface unité de la plaque a la température T est égale à p : h(Text -- T). On donne le coefficient de transfert conducto--convectif h = 17 VV-m_2-K_1 pour un transfert entre l'air au repos et le cuivre. Déterminer l'équation différentielle dont T la température de la plaque, toujours supposée uniforme, est solution. En déduire un temps caractéristique de refroidissement par transfert conducto--convectif. Le calculer. Que faut--il penser de l'hypothèse d'un refroidissement exclusivement par transfert de type conducto--conveetif avec l'air ? Proposer d'autres causes possibles. Il Mesure de la fréquence cardiaque Certains manèges proposent aux passagers d'évaluer leur « peur >> en mesurant leur rythme cardiaque. Le rythme cardiaque varie d'environ 60 battements par minute pour un sujet au repos jusqu'à 200 battements lors d'un effort physique intense ou d'une forte émotion. La contraction d'un muscle, le coeur en particulier, crée un signal électrique. La détermination du rythme cardiaque sur les manèges passe par la mesure de la différence de potentiel électrique entre les deux mains du passager. Sur le garde corps du manège, sont fixées deux électrodes où le passager pose ses deux mains. La différence de potentiel est de l'ordre de quelques dizaines de mV. Le rapport signal sur bruit est en général plutôt faible. Il est donc nécessaire de mettre en forme le signal avant de pouvoir extraire la fréquence cardiaque. Cette partie se propose d'étudier les différentes étapes de mise en forme du signal. Après amplification (non étudiée), le signal est soumis a deux opérations de filtrage. Pour tout signal sinusoïdal u(t), la grandeur complexe associée sera notée @. Tous les amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux. II.A -- Premier filtrage Le signal amplifié est appliqué en entrée d'un filtre dont la structure est donnée figure 4. R2 R2 A 0-- --o 01 Cl H B :: EUR1(t) 31(t) R1 Figure4 2014-03-18 10:44:09 Page 3/8 OE=C BY-NC-SA On donne les valeurs des composants : R = R1 : R2/2 : 16 M) et C : Cl : C'2/2 : 0,1 pF. 1 2RC ' II.A.1) En étudiant de façon qualitative le comportement basses et hautes fréquences, justifier qu'il est légitime de dire que le filtre de la figure 4 est un filtre réjecteur. Ce filtre est un filtre réjecteur : il ne transmet pas les signaux dont la pulsation est voisine de wo : II.A.2) Calculer la valeur de la fréquence fo associée à wo. Pourquoi ce filtre est--il important dans le cas présent ? II.B -- Deuxième filtrage : filtre passe-bande La fréquence des battements cardiaques étant comprise dans un intervalle relativement restreint et de façon a s'affranchir au maximum de parasites hautes et très basses fréquences, on applique un filtre passe--bande au signal obtenu en sortie du filtre précédent. La structure du circuit utilisé est donnée figure 5. 03 l î--l | D 62 @) R3 Figure 5 II.B.1) Comment faut--il relier le circuit précédemment étudié et le circuit de la figure 5 pour que le signal 31(t) obtenu en sortie du filtre réjecteur ne soit pas perturbé par l'ajout du montage de la figure 5 ? II.B.2) Justifier de façon qualitative que l'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire. Montrer de façon qualitative que ce circuit présente bien un caractère passe--bande. II.B.3) On souhaite que la fréquence de coupure basse soit égale à 0,5 Hz et la haute égale à 150 Hz. Ces valeurs sont--elles compatibles avec les fréquences cardiaques humaines ? II.B.4) En évaluant successivement les quotients KD/e2, KE/KD et â2/KE, montrer que la fonction de trans-- fert fi2 : â2 /Ê2 s'exprime comme le produit de trois fonctions de transfert très simples. On précisera le rôle de chacune d'entre elles. II.B.5) Proposer pour R3, R4, C3 et C4 des valeurs permettant de réaliser le filtrage souhaité. Les valeurs proposées devront être compatibles avec les composants couramment utilisés en travaux pratiques. II.B.6) En plus de la fonction filtrage, le filtre proposé possède un deuxième avantage. Lequel ? II. C -- Après amplification et filtrages, l'allure du signal obtenu est donnée figure 6. un battement cardiaque e. & _ _ Figure 6 Le signal électrique ec(t) émis au cours d'un battement cardiaque est complexe. En effet, la figure 6 montre trois phases distinctes : la première (01) correspond à l'action des oreillettes, alors que les deux autres phases (V2 et V3) correspondent à l'action des ventricules. Pour rendre la mesure de la fréquence cardiaque possible a l'aide d'un compteur numérique (non étudié), le signal électrique du coeur est transformé en un signal créneau d'amplitude donnée, où seul le signal de la phase V2 est sélectionné. Cependant, malgré les opérations de mise en forme, le signal de la phase V2 reste complexe, comme le met en évidence la figure 7 qui représente le détail d'un battement cardiaque. II.C.1) Le signal électrique 6305) correspondant aux battements cardiaques est appliqué sur l'entrée + de l'amplificateur opérationnel du montage de la figure 8. La tension V0 est une tension continue et positive. Expliquer le fonctionnement de ce dispositif. Que va être la réponse de ce circuit à un signal du type de celui de la figure 7 ? Ce circuit est--il adapté a la détermination de la fréquence cardiaque ? Justifier la réponse (on pourra s'aider d'un schéma). 2014--03--18 10:44:09 Page 4/8 OE:C BY--NC-SA '|lÿ Figure 8 II.C.2) En réalité, le circuit utilisé est donné figure 9. La tension V0 est une tension continue et positive. On considère dans un premier temps un signal d'entrée sinusoïdal e4(t) : E0 cos(wt). Justifier qualitativement que l'amplificateur opérationnel ne peut pas fonctionner en régime linéaire. 64(Ü .-- _ Ï34(t) ; Figure 9 5 l|--> On souhaite que S4(t) : +Vsat, Vsat étant la tension de saturation de l'amplificateur opérationnel. Montrer que e4(t) doit être supérieure a une tension U1 dont on donnera l'expression en fonction de V0, Vat et des résistances S du circuit. On souhaite maintenant que 34(t) : -- sat. Montrer que e4(t) doit être inférieure a une tension U2 dont on donnera l'expression en fonction de V0, Vsat et des résistances du circuit. Pour quelle valeur de e4(t) se fait le basculement de 34(t) : +Vsat a 34(t) : --V ? Même question pour le sat basculement de 34(t) : --Vsat a 34(t) : +Vsat. Donner la condition pour que U 1 soit positive. Dans ce cas et en supposant que EO > U2, représenter sur un même graphe les fonctions e4(t) et 34(t) en fonction du temps, en faisant apparaître les tensions EO, U 1, U2 et Vsat. Comment s'appelle un tel montage ? II.C.3) Le signal d'entrée e4(t) est a présent le signal cardiaque ec(t) représenté sur les figures 6 et 7. Repré-- senter sur une même figure l'allure du signal cardiaque et celle du signal 34(t) que l'on souhaite obtenir par le filtre. À quelles conditions sur U1 et U2 la fréquence du signal 34(t) obtenu correspond--elle effectivement à la fréquence du rythme cardiaque? Quel est l'intérêt du circuit effectivement utilisé par rapport a celui de la figure 8 ? II .D -- Le dispositif utilisé dans le manège pour la mesure du rythme cardiaque peut--il être utilisé en milieu médical ? Qu'est--ce qui peut fausser la mesure du rythme cardiaque ? III Holographie Pour faire patienter les passagers des manèges dans les files d'attente qui peuvent souvent être longues, sont proposés des spectacles lumineux avec entre autres des images en 3 dimensions fabriquées à l'aide d'hologramme. L'holographie, contrairement a la photographie, permet de conserver, lors de l'enregistrement de l'image d'un objet, la phase introduite par cet objet. On peut donc, par la suite, obtenir une image « tridimensionnelle >> de cet objet. Nous nous proposons dans cette partie de présenter le principe de l'holographie et d'étudier, dans un second temps, la possibilité de restituer des images tridimensionnelles en couleur. 2014-03-18 10:44:09 Page 5/8 OE=C BY-NC-SA III.A -- Principe de l'holographie Une source laser (LT) émet une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde dans le vide "0 (figure 10). Lame séparatrice A \ Objet \ ' M Plaque photographique Laser > Z Miroir % Figure 10 Cette onde se propage dans l'air dont l'indice sera pris égal à 1. Une lame séparatrice semi--réfléchissante (Sp) permet d'obtenir deux ondes de même amplitude. L'onde transmise par la séparatrice (Sp) traverse un objet (Ob) supposé parfaitement transparent. L'objet a pour seul effet d'introduire un déphasage supplémentaire de sorte que la grandeur lumineuse complexe associée à l'onde issue de l'objet (Ob) et reçue par un point M d'une plaque photographique (Pp) soit de la forme : --+ 40,04) = 40 exp (j (... -- î--Ïüob- OM --90(M))) = 40 exp 0 (out -- soob(M))) où üob est le vecteur unitaire caractérisant la propagation de l'onde traversant l'objet. Dans toute la suite du problème, pour simplifier l'étude, on fera l'hypothèse que la différence de phase introduite par l'objet est indépendante de M : g0(M ) = (00. Le plan d'incidence est le plan 3302: et l'onde issue de l'objet arrive sur la plaque photographique (Pp) sous incidence normale. Elle sera appelée « onde objet >>. L'onde réfléchie par la séparatrice (Sp) subit une réflexion sur un miroir (M 7") de façon a arriver sur la plaque photographique (Pp) sous un angle d'incidence oz (figure 10). Cette onde sera appelée « onde de référence ». Sa grandeur lumineuse associée est de la forme : . 2 4 --+ . gref(M) : AO EURXp (] (Cdt _ À_Ïuref' OM)) : AO EURXp (] (Cdt_ firef(M))) où ü,.ef est le vecteur unitaire caractérisant la propagation de l'onde de référence. III.A.1) &) Donner les coordonnées des vecteurs fäob et üref. b) Citer un objet qui introduit une différence de phase g00 uniforme sur tout l'objet, lorsqu'il est traversé par une onde plane progressive harmonique. c) Justifier que l'intensité lumineuse reçue par un point M de la plaque est de la forme : [(M) : IO(1 + cos A90(M)) où Ag0(M ) : goob(M ) -- g0,.e f(M ) est le déphasage entre l'onde qui a traversé l'objet et l'onde de référence. d) Exprimer Ag0(M ) en fonction de $, po et des données du problème. III.A.2) Une fois développée, la plaque photographique possède une transmittance en amplitude (ou facteur de transparence) de la forme t(M ) = a + b cos Ag0(M ) où a et b sont des constantes. On a obtenu un hologramme. Représenter l'allure de t(M ) en fonction de 33. Quel nom pourrait--on donner a cet hologramme ? Quelle grandeur le caractérise ? III.A.3) L'hologramme (H [) est éclairé sous une incidence oz identique a celle de l'onde de référence utilisée pour l'enregistrement et avec le laser (LT) ayant servi a l'enregistrement de l'hologramme (figure 11). On observe la figure de diffraction obtenue a l'infini dans une direction 9. On note Z et L les dimensions respectives de l'hologramme dans les directions 055 et Oy. On fait l'hypothèse que L >> /\0- &) Pourquoi est--il légitime de limiter l'étude au plan 3602: ? b) Énoncer le principe de Huygens--Fresnel et en déduire l'expression intégrale de l'amplitude complexe q0dü.(Û) de l'onde diffractée dans la direction 9. La calculer en faisant apparaître la somme de trois termes. Que représente le terme dans lequel apparaît le facteur exp(--jgoo) ? 2014-03-18 10:44:09 Page 6/8 OE=C BY-NC-SA Hologramme Figure 11 Que va voir un observateur accommodant a l'infini et regardant dans une direction 9 quelconque (figure 11) ? c) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse diffractée IOd,-Jc(9) oc q0dif(9)quü(9)* en faisant l'hypothèse [ >> ÀO / sin oz. Représenter IOd,f(9) en fonction de sin 9. III.A.4) L'hologramme (H [) enregistré précédemment, de même transmittance t(M ), est maintenant éclairé sous la même incidence oz que précédemment avec un laser émettant une onde de longueur d'onde À1 > ÀO. &) Établir l'expression de l'amplitude complexe q1dif(9) de l'onde diffractée dans la direction 9. b) En déduire l'expression de l'intensité lumineuse diffractée 11d,f(9) en conservant l'hypothèse [ >> À1 / sin 04. c) Représenter 11 d, f(9) sur le même schéma que IOd,f(9). Faire clairement apparaître les différences entre les deux intensités. III.A.5) L'hologramme est maintenant éclairé sous la même incidence oz par un faisceau parallèle de lumière blanche. &) Déduire de ce qui précède ce que l'observateur de la figure 11 voit dans la direction 9 = 0, toujours sans accommoder. b} Peut--on observer des images en couleur avec ce type d'hologramme ? III.B -- Holagramme épais La partie précédente a permis d'expliquer qu'il est possible de restituer l'onde objet grâce a la diffraction de l'onde de référence par l'hologramme. Dans cette partie, nous allons nous intéresser aux directions privilégiées qui permettent l'observation d'une onde diffractée d'intensité conséquente. Ainsi, pour simplifier l'étude, l'holo-- gramme sera considéré comme un réseau de pas a et de transmittance égale a 1. Pour toute l'étude, on se place dans les conditions de Fraunhofer. L'hologramme est éclairé par une lumière monochromatique de longueur d'onde dans le vide À0. Le réseau est placé dans un milieu d'indice n. III.B.1) Dans un premier temps, le réseau est constitué d'une surface plane opaque percée de fentes très longues dans la direction Oy et très fines dans la direction 0513 (figure 12). Figure 12 Le pas est noté &. Soient 72 l'angle d'incidence du faisceau incident et 9 la direction d'observation choisie. &) Calculer Ag0OE : 90oe1 -- g0oe2 la différence de phase entre les ondes passant par les deux ouvertures consécutives 1 et 2 (figure 12). b} À quelle condition sur Ag0oe observe--t--on un maximum d'intensité lumineuse dans la direction 9 ? On notera poe l'ordre de diffraction. III.B.2) Un hologramme est en fait constitué d'une couche de gélatine d'épaisseur d selon l'axe Oz. Pour s'affranchir de tout problème de réfraction entre le milieu extérieur et la gélatine, l'indice de la gélatine ng sera pris égal a 71, indice du milieu extérieur : n = n. La gélatine est une émulsion de grains d'une dizaine de nanomètres. Il est donc légitime de considérer que l'onde incidente peut être diffractée en n'importe quel point P du milieu (figure 13). 2014-03-18 10:44:09 Page 7/8 OE=C BY-NC-SA gélatine 71 /P _) d Figure 13 &) Déterminer la différence de phase Ag0Z : g0Z1 -- g0Z2 entre l'onde 1 passant par O et l'onde 2 passant par P de coordonnée z sur l'axe 02: (figure 13). b} En considérant qu'un élément de réseau, de longueur dz centré autour du point P, difiracte, dans la direction 9, une onde dont la grandeur lumineuse est : dA(P) : A0 exp(jAgoz) dz, donner l'expression de la grandeur lumineuse totale difiractée par l'épaisseur d du réseau. 0) L'épaisseur d est typiquement de l'ordre de 100 pm. La longueur d'onde ÀO étant située dans le visible, montrer qu'il n'existe que deux directions 9 pour lesquelles l'intensité lumineuse difiractée prend des valeurs notables. d} Une seule de ces deux valeurs a de l'intérêt en holographie. Préciser de laquelle il s'agit. On conservera cette valeur pour toute la suite. III.B.3) Un réseau est considéré comme épais si seul l'ordre de diffraction poe : --1 conduit a une intensité difiractée notable. En prenant en compte les résultats des questions III.B.1 et III.B.27 montrer qu'il n'existe qu'une seule valeur possible pour l'angle d'incidence 72 qui permette d'obtenir une onde difiractée d'intensité lumineuse notable. C'est la loi de Bragg. III.B.4) Le pas du réseau est choisi de façon a ce que la loi de Bragg soit vérifiée pour une longueur d'onde /\0 et un angle d'incidence 730 donnés. On éclaire ce réseau avec un faisceau parallèle de lumière blanche sous le même angle d'incidence 710. Qu'observe--t--on ? III.B.5) Sur le même principe que celui présenté figure 10, on réalise, sous le même angle d'incidence 730, l'enregistrement d'un hologramme épais en utilisant non pas un mais trois lasers: un laser a argon dont on sélectionne la longueur d'onde À1 : 476 nm, un laser Nd--YAG doublé en fréquence (À2 : 532 nm) et un laser a krypton (À3 = 647 nm). &) Pourquoi avoir choisi ces trois longueurs d'onde ? b} Pourquoi obtient--on trois figures d'interférence distinctes dans l'émulsion de gélatine ? c} Les conditions opératoires sont telles que les pas des trois réseaux vérifient la loi de Bragg. Qu'observe--t--on si on éclaire, sous l'angle d'incidence 720, l'hologramme développé en lumière blanche ? Depuis la découverte de l'holographie en 1947 par Gabor (Prix Nobel 1971), les techniques d'enregistrement avec le développement de lasers à différentes longueurs d'onde et l'élaboration d'émulsions de grains très fins permettent l'obtention d'images holographiques en couleur de qualité exceptionnelle. oooFINooo 2014--03--18 10:44:09 Page 8/8 OE=C BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique 1 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Bruno Salque (ENS Lyon) ; il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Ce sujet invite à réfléchir sur les mécanismes physiques à la base des technologies utilisées dans une fête foraine. Ses questions sont conformes aux nouveaux programmes, dont il respecte également l'esprit puisqu'il faut poser des hypothèses, les vérifier et questionner les résultats obtenus. Les trois parties sont totalement indépendantes. · Dans la première partie, on étudie les différentes étapes du freinage magnétique. Chacune est décortiquée : on commence par l'induction, on poursuit par la mécanique et on termine par la dissipation d'énergie. Ne nécessitant pas de calculs trop lourds, cette partie est la plus variée du problème. · Dans la deuxième partie, on est invité à construire pas à pas un appareil de mesure du rythme cardiaque en étudiant plusieurs modules d'amplification et de filtrage et en les agençant pour obtenir l'appareil voulu. Les calculs de cette partie sont nombreux, mais classiques. · Enfin, la dernière partie consiste à comprendre l'holographie, sur plaque mince puis épaisse. Elle est beaucoup plus calculatoire que les deux précédentes, tout en restant proche du cours. Ce problème de difficulté raisonnable permet de tester ses connaissances sur le phénomène d'induction, le filtrage analogique et l'optique ondulatoire. Il utilise des notions des cours de magnétisme, mécanique, optique, thermique et électronique. Indications Première partie I.A.3.b Penser à la neutralité électrique. - I.B.2.b Utiliser les relations précédentes : la loi d'Ohm et l'écriture de E . - - I.B.3 Utiliser l'expression volumique de la force de Laplace d F = - B d . I.B.5 Utiliser le théorème de Maxwell-Ampère. Ne pas oublier l'argument de symétrie permettant de relier les champs au-dessus et en dessous de la nappe. I.B.6.b Utiliser l'expression de l'énergie cinétique et l'analyse dimensionnelle pour trouver l'énergie dissipée. Deuxième partie II.A.1 Utiliser les comportements équivalents d'un condensateur à basses et hautes fréquences. II.B.4 Faire appel à la formule du diviseur de tension. II.B.5 L'énoncé suggère de choisir des valeurs usuelles des différents composants que l'on pourrait rencontrer en séance de TP. II.C.2 Faire attention à la borne à laquelle est reliée la rétroaction. Troisième partie III.A.1.d Utiliser le théorème de Malus. III.A.3.b Calculer d'abord l'intégrale de ei K x . Ne pas oublier de mettre en facteur l'angle moitié pour faire apparaître un cosinus ou un sinus. III.A.3.c Négliger les termes en sinus cardinal dont les arguments sont différents. III.A.4.a Attention : la transmittance est établie par rapport à 0 mais la longueur d'onde du laser est désormais 1 . III.B.2.a Appliquer le théorème de Malus. III.B.2.d L'un des deux angles d'observation de l'hologramme est éblouissant. I Freinage du train I.A.1 Le cours d'électromagnétisme dit que - -- - A E 0 = - grad V - t - - - B 0 = rot A et - - Si B 0 est indépendant du temps, alors A l'est également. Ces expressions deviennent -- - E 0 = - grad V et - - - B 0 = rot A I.A.2 Comme la translation rectiligne uniforme du référentiel R par rapport à R0 se fait à la vitesse non relativiste - v , on a (- - - E = E0 + - v B0 - - B = B0 I.A.3.a La loi d'Ohm s'écrit - = - E I.A.3.b La neutralité locale du conducteur ohmique impose tot = f + m = 0 I.A.3.c Le vecteur densité de courant - correspond au déplacement des charges dans R. Par définition, - = m - v m Dans R , les charges contribuant à voyagent à une vitesse globale - v . D'après la 0 f formule de composition des vitesses fournie, + - - - 0 = m - v m+ v f v = (m + f ) - v + m - v m Grâce à la question précédente, remplaçons f par -m dans l'expression : - 0 = m - v m Il apparaît que dans un conducteur neutre, le vecteur densité de courant est invariant par changement de référentiel galiléen et - = - 0 On travaille ici dans l'ARQS (Approximation des Régimes Quasi Stationnaires) magnétique car v c et c/ j. I.B.1 Dans un premier temps, le mouvement du conducteur dans un champ magnétique fixe génère des courants de Foucault dans la plaque par induction de Lorentz. Visualisons la situation dans la section P0 . z x z x · - B0 e d/2 y y - d/2 B Dans la partie de la plaque traversée par un champ magnétique, ces courants donnent lieu à une force de Laplace s'opposant au mouvement. Enfin, les courants provoquent un échauffement par effet Joule. Ce montage conduit globalement à une conversion de l'énergie cinétique initiale en énergie thermique. I.B.2.a L'intensité totale mesurée I est générée par le déplacement microscopique de charges dans le conducteur. Intégrons donc sur une surface de P0 orientée paral lèlement à - selon - ex . Par définition de l'intensité, Z e Z /2 - - I= dS 0 -/2 · · · - ez Or j est uniforme sur une section de P0 , e - - · · · · I = ej e y - ex Inversons cette relation : - = I - ex e - Le choix de l'orientation de d S fixe le sens positif de I. - I.B.2.b Écrivons la circulation de E entre -d/2 et d/2 : Z d/2 Z d/2 - - - E · dx - ex = E0 + - v B 0 · dx - ex -d/2 -d/2 Utilisons la loi d'Ohm trouvée précédemment : Z d/2 Z d/2 Z d/2 - - 1- - - - · dx ex = E 0 · dx ex + v B 0 · dx - ex -d/2 -d/2 -d/2 D'après la question I.B.2.a, - = (I/e ) - ex , d'où Z d/2 Z d/2 Z d/2 - 1 I - dx = E 0 · dx - ex + v B0 dx ey - ez · - ex -d/2 e -d/2 -d/2 De même, la question I.A.1 permet d'écrire Z d/2 Z d/2 Z d/2 1 I V dx = - dx + v B0 dx x -d/2 e -d/2 -d/2 Intégrons : d 1 I = V (-d/2) - V (d/2) + v B0 d e