Centrale Physique 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Vibrations musicales
Principaux outils utilisés ondes, mécanique des fluides, mécanique du point
Mots clefs onde mécanique, onde sonore, écoulement potentiel, Bernoulli, marimba, glockenspiel, accordéon

Corrigé

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Concours Centrale - Supélec 2010

Épreuve :

PHYSIQUE I

Filière

PC

PHYSIQUE I

Filière PC

PHYSIQUE I
Calculatrices autorisées.

Vibrations musicales
Ce problème aborde les vibrations mécaniques sources de l'émission sonore de
certains instruments de musique. La première partie concerne essentiellement
les claviers à percussion alors que la seconde, largement indépendante de la 
précédente, présente une étude du fonctionnement des instruments à anche libre.
Dans tout le problème, on néglige l'influence des forces de pesanteur.
Valeurs numériques et notations
­3

Masse volumique de l'air

 a = 1, 29 kg  m

Vitesse du son dans l'air

c = 345 m  s

Viscosité dynamique de l'air

 = 1, 85  10

Masse volumique de l'eau

 e = 1, 00  10 kg  m

Viscosité dynamique de l'eau

 e = 1, 0  10

Masse volumique de l'acier

 = 7, 80  10 kg  m

Module d'Young de l'acier

E = 19, 5  10

Masse volumique du bronze

 = 8, 7  10 kg  m

Module d'Young du bronze

E = 1, 1  10

Masse volumique du bois de palissandre

 = 740 kg  m

Module d'Young du bois de palissandre

E = 1, 2  10

­1
­5

Pa  s

3

­3

Pa  s

3

10

10

­3

Pa

3

11

­3

­3

Pa
­3

Pa

Les vecteurs sont notés en caractères gras.

Concours Centrale-Supélec 2010

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PHYSIQUE I

Filière PC

Filière PC
Partie I - Claviers à percussion
Nous étudions dans cette partie certains instruments à percussion tels que le
xylophone, le marimba ou le glockenspiel. Ils sont formés de lames 
parallélépipédiques de bois ou de métal. Chacune d'elles produit, lorsqu'on la 
frappe avec
une baguette, un son de hauteur déterminée.
I.A - Vibrations longitudinales d'une lame parallélépipédique
On envisage pour l'instant
L
y
les vibrations longitudinales
h
d'une lame de longueur L
b
(figure 1). La matière située
x
au repos dans le plan d'abs- z
cisse x se met en mouvex x + dx
ment suite à une excitation.
Figure 1 - Vibrations longitudinales d'une lame
Elle occupe à l'instant t le
parallélépipédique
plan d'abscisse x +  ( x, t ) et
est soumise, de la part de la
matière située à sa droite, à une force F = F ( x, t )u x . On note  la masse 
volumique et E le module d'Young du matériau dont on rappelle la définition : 
pour
porter de l 0 à l 0 + l la longueur d'une tige de section S , il faut exercer 
sur ses
extrémités une force égale à ESl / l 0 .
I.A.1)
a) Exprimer F ( x, t ) en fonction d'une dérivée partielle de  ( x, t ) .
b) Montrer que  ( x, t ) obéit à l'équation de d'Alembert et exprimer la 
célérité c l
des ondes longitudinales.
I.A.2)
Rechercher des solutions sinusoïdales de la forme  ( x, t ) = f ( x ) g ( t ) en
explicitant les fonctions f et g . On introduira une pulsation temporelle  et 
une
pulsation spatiale k .
I.A.3)
Les deux extrémités de la lame n'étant soumises à aucune force, montrer que 
seules certaines valeurs particulières, indexées par un entier n , sont
accessibles à k . Exprimer les fréquences propres f n de la lame.
I.A.4)
Une lame de glockenspiel en acier de longueur L = 24, 3 cm émet un
son de fréquence égale à 785 Hz .

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Montrer qu'il ne peut pas résulter de l'excitation d'une onde longitudinale.

LB - Vibrations transversales

Dans les questions qui suivent on analyse les petits mouvements transversaux
de la lame (partie gauche de la figure 2). Les points situés au repos dans le 
plan
médian de la lame, à l'abscisse x et à l'ordonnée y = 0 , se trouvent à 
l'instant t
du mouvement à l'ordonnée y(x, t) . Dans le plan (Oxy) , ils sont alors 
représen-

tés par une courbe formant avec l'horizontale un angle local

2

(X(X, t) &» â-ï « 1 et de courbure C(x, t) »=« Ë--Ë . On rappelle que C : È : 
Ë_Ë ,
x

R désignant le rayon de courbure et dL la longueur infinitésimale d'un élément
de courbe.

Figure 2 -
Mouvements transversaux d'une lame

Pour établir l'équation du mouvement, on adopte une double décomposition en
éléments infinitésimaux (partie droite de la figure 2). D'une part, on analyse 
le
mouvement et les déformations d'une portion de lame occupant les abscisses
[x, x + dx] et dont les faces forment entre elles l'angle doc . D'autre part, 
cet élé-
ment peut être considéré comme un assemblage de couches d'ordonnées
y(x, t) + u et d'épaisseur du , avec u EUR [--b/2, [9/2] .

I.B.1) En flexion, certaines couches se trouvent étirées et d'autres compri-
mées. On admet que la couche repérée par u = 0 conserve au cours du mouve-
ment une longueur dx inchangée alors que les autres voient leur longueur
passer de dx au repos à dL' ;: dx . Exprimer

dL' --dx

en fonction de u et C.
dx

I.B.2)

a) Quelle est l'aire dS de la section transversale de la couche d'épaisseur du ?
En déduire la force dF que cette couche étirée subit puis celle dF' qu'elle 
exerce
réciproquement sur la matière située à sa gauche.

PHYSIQUE I

Filière PC

b) Vérifier la nullité de la résultante de ces forces sur la section entière de 
la
lame.
c) Calculer le moment M ( x ) par rapport à l'axe ( A, u z ) des forces 
exercées par
le tronçon de longueur dx sur la matière située à sa gauche. A désigne le point
d'abscisse x tel que u = 0 .
I.B.3)
Au travers d'une section de la lame s'exercent aussi des efforts
transversaux : la partie de lame occupant les abscisses supérieures à x exerce
sur celle se trouvant à sa gauche des efforts de résultante T  T ( x, t )u y . 
En
admettant la relation
M
---------  ­ T ( x, t ) ,
x

en déduire l'équation des mouvements transversaux sous la forme :
2 2

4
2
 y cl b  y
--------2- + ----------- --------4- = 0 .
12 x
t

I.B.4)

On

envisage

maintenant

des

solutions

telles

que

y ( x, t ) = f ( x ) cos ( t +  ) . Préciser l'équation différentielle dont f ( 
x ) est solution.

I.B.5)
La fonction f s'exprime à l'aide de quatre constantes A , B , C et D
sous la forme f ( x ) = A cos ( kx ) + B sin ( kx ) + C ch ( kx ) + D sh ( kx ) 
. Donner, en la justifiant, la relation entre  et k .
I.B.6)
Dans cette question, les deux extrémités de la barre, d'abscisses x = 0
et x = L , sont liées à des supports fixes par des charnières assurant des 
liaisons
de type pivot parfait d'axes parallèles à u z . En déduire en fonction d'un 
entier
n les valeurs k n permises pour k puis les fréquences propres f n .
I.B.7)
Pour vibrer correctement, les lames des instruments de percussion
reposent sans fixation rigide sur un support. Leurs extrémités ne sont donc 
soumises à aucune contrainte assujettissant leur position. Exprimer ces 
conditions
en faisant intervenir deux des quatre grandeurs T , M , y et  introduites plus
haut. En déduire quatre équations portant sur A , B , C et D . Leur résolution,
non demandée, conduit aux fréquences propres
b
2
f n = -------------------2-c l u n avec u 1 = 3, 01 u 2 = 5, 00 u n  2n + 1 .
16 3L

I.B.8)

Expérimentalement on a mesuré f 2 / f 1 = 2, 71 , f 3 / f 1 = 5, 15 ,
f 4 / f 1 = 8, 43 pour une lame de glockenspiel. Commenter ces valeurs. Calculer
numériquement f 1 pour une lame d'épaisseur b = 9, 15 mm et de longueur
L = 24, 3 cm correspondant à la note la plus grave de l'instrument.

I.B.9)
Les lames d'un marimba basse sont constituées de bois palissandre
d'épaisseur b = 2, 31 cm . Quelle valeur faut-il donner à L pour atteindre
f 1 = 65 Hz ?

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PHYSIQUE I

Filière PC

I.B.10) Pour accorder un marimba, on entaille la partie inférieure de la lame
de manière à lui donner la forme d'une voûte (figure 3). Qualitativement, cela 
at-il pour effet d'augmenter ou de diminuer la valeur de L nécessaire pour 
obtenir une fréquence donnée ? Le facteur de l'instrument ajuste aussi cette 
voûte
de manière à obtenir f 2 / f 1  4 , ce qui produit un son plus harmonieux. 
Pourquoi
ce second point est-il inutile sur un glockenspiel ?

tube résonateur

I.C - Accord des résonateurs
Pour améliorer le rayonnement du son par le
y
marimba, on place sous chaque lame un tube
L
résonateur (figure 3). Ce cylindrique creux de
diamètre D , d'axe ( Oy ) , présente une extrémité
ouverte au voisinage de la lame (en y = 0 ) alors
que l'autre, en y = ­ H , est rigidement fermée.
y = 0
On
note
en
représentation
complexe
jt
p ( y = 0, t ) = p 0 e
la pression de l'onde acoustique produite en y = 0 par la vibration de la
lame.
H
I.C.1)
On recherche la pression acoustique
dans
le
tuyau
sous
la
forme
j ( t ­ ky )
j ( t + ky )
.
p ( y, t ) = Ae
+B
a) Rappeler sans démonstration la relation de
dispersion des ondes acoustiques dans l'air.
y = ­H
b) Écrire, dans le cadre de l'approximation
acoustique, l'équation d'Euler reliant le champ
D
des vitesses au gradient de pression.
c) En déduire l'expression de la vitesse acousti- Figure 3 - Lame de marimba
présentant une voûte et
que v ( y, t ) en fonction des données de l'énoncé. munie d'un tube résonateur
I.C.2)
Exprimer les constantes A et B en
fonction des données du problème.
I.C.3)
Quelle est la plus petite valeur de H correspondant à une résonance
du tuyau pour une fréquence f donnée ? Faire l'application numérique pour
f = f 1 = 65 Hz . Y-a-t-il résonance de l'harmonique de rang 2 accordée sur
f 2  4f 1 ?
I.C.4)
Sur les marimbas de concert, la valeur de H peut être modifiée en
déplaçant un bouchon rigide à l'intérieur du tube résonateur. Quel est l'intérêt
d'un tel dispositif ?

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PHYSIQUE I Filière PC

I.D - Vibration d'une cymbale

Les cymbales sont des plateaux circulaires en métal que l'on frappe pour obtenir
un son. Contrairement aux lames de clavier étudiées dans les questions précé-
dentes, elles ne produisent pas un son de hauteur bien définie. Bien qu'une cym-
bale possède une forme incurvée, nous les assimilerons à de fines plaques planes
circulaires de rayon R et d'épaisseur b contenues au repos dans le plan (0x2) .
Dans ce cadre, les vibrations transversales consécutives à l'excitation de la 
sur-
face par un choc obéissent à une équation voisine de celle de la question I.B.8

2 2 2 4 4 4

ü+----ÜÉ----(ü+ü+z--Êzvlî = 0 avec 0 = 0,34.

ôt2 12(1--02) 8x4 624 ôx ôz

I.D.1) On envisage la propagation d'une onde plane progressive du type
y(x, z, t) : yOexp{ i[oet --k - (xux + zuz)]} .

::

(\1

f

'2

3

S
9 %

oo

xo
24 8101214161820 @
<|- 0 comme la
source de la question précédente à deux nuances
près : d'une part il absorbe un débit linéique infinitésimal dD , d'autre part 
son diamètre  est

réputé nul. En déduire le potentiel d ( y, z ) en un
Figure 7 - Source de fluide
point M ( y, z ) du demi-espace amont ( y > 0 ) .
invariante par translation
II.B.3) Le liquide entrant dans l'élément de largeur du de l'interstice est 
évacué dans le jet vers les y < 0 . En déduire l'expression de dD . II.B.4) Exprimer le potentiel  ( y, z ) pour y > 0 sous la forme d'une intégrale
sur u . Le calculer explicitement pour y = 0 + et z > e .

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PHYSIQUE I

Filière PC

II.B.5) Calculer la vitesse aux points M ( 0 +, z ) , situés au contact de 
l'anche
( z > e ).
II.B.6) Pour y = 0 et 0 < z < e , la pression vaut P a . À l'aide d'une relation de Bernoulli, exprimer le champ de pression P sur la face supérieure de l'anche, en y = 0+ . II.B.7) La pression dans la zone de fluide mort au-dessous de l'anche vaut P a . Soit F a = F a u y la force exercée par l'air sur la lame. Écrire cette force sous la forme : 1 2 F a = ­ ---  a LhV ( 1 ­ A 1 ) 2 où A 1 est une grandeur sans dimension dépendant de e et de h dont on donnera l'expression intégrale. De quelle façon varie F a quand e augmente ? II.B.8) Déterminer à l'ordre le plus bas l'expression du potentiel  ( r ) , pour r = 2 2 y +z »e II.C - Écoulement en régime variable On note dans la suite Q = VeL le débit et q = Ve le débit linéique traversant la rigole. On envisage, en vue de l'étude du mouvement de l'anche libre, des situations où l'ouverture e dépend du temps. Il en résulte des variations temporelles de V = V ( t ) , q = q ( t ) et  =  ( y, z, t ) . L'expression du potentiel des vitesses trouvé dans la partie II.A s'applique encore.On admet le résultat suivant : V q ( t ) Ve ( t ) ( 0, z, t ) ------------------------- = ------------ ­ ---------------- [ 1 + ln z ­ e ] + ------ [ ( z ­ e ) ln z ­ e ­ z ln z ] . t II.C.1) On traite l'air comme un fluide parfait incompressible et on néglige l'influence de la pesanteur. Montrer que : 2 P v C ( t ) = ------ + ----- + ---- est une grandeur uniforme dans l'écoulement. t 2 II.C.2) Soit A le point de coordonnées ( 0, e / 2 ) situé au milieu de l'interstice. On admet que P ( A ) = P a . En déduire l'expression de C ( t ) . II.C.3) Soit P 0 la pression en un point B situé loin en amont, tel que 2 2 r 0 = x + y » e . Que peut-on dire de la vitesse en B ? On pourra utiliser le résultat de la question II.B.8. En déduire l'équation différentielle gouvernant l'évolution du débit q dans l'interstice : P0 ­ Pa 1 2 1 V ( t )e ( t ) ­ --- V ( t ) + -----------------------q ( t ) = -------------- ------------------K 0(t) 2 a Concours Centrale-Supélec 2010 11/16 PHYSIQUE I Filière PC où K 0 ( t ) dépend de r 0 et e ( t ) . Dans la suite r 0 et P 0 sont supposés fixés et numériquement connus. II.C.4) On admet l'expression de la force F a = F a u y exercée par l'air en régime instationnaire : 1 2 F a ( t ) = ­ ---  a LhV ( 1 ­ A 1 ( t ) ) +  a Lh 2 A 2 ( t )V ( t ) ­  a Lh A 3 ( t )q ( t ) 2 où A 1 , A 2 , A 3 sont des grandeurs sans dimension dépendant de e ( t ) et de h . Expliquer en quelques lignes l'origine des deux nouveaux termes par rapport à l'expression de la question II.B.7. II.D - Paramètres du modèle à un degré de liberté L'anche, de longueur L , de largeur h et d'épaisseur b , oscille selon un mode transversal de vibration défini par y ( x, t ) = f ( x ) g ( t ) ; ses différents points présentent des amplitudes de vibration distinctes. Pour étudier simplement le mouvement, on néglige cet aspect au travers d'un modèle simplifié à un seul degré de liberté (figure 8). Figure 8 Anche réelle (partie gauche) et modèle à un seul degré de liberté (partie droite) K c uy y ( L, t ) anche effective ux L Y (t) Les hypothèses en sont les suivantes : · Le mouvement de l'anche réelle est modélisé par la translation selon u y d'une anche effective plane de mêmes longueur L et largeur h . Son déplacement s'identifie à celui de l'extrémité de l'anche réelle ; son ordonnée Y ( t ) est donc définie par Y ( t ) = y ( L, t ) = f ( L ) g ( t ) . On note M sa masse effective, différente de celle de l'anche réelle. · L'élasticité de l'anche réelle équivaut à une force de rappel exercée par un ressort vertical de raideur K agissant sur l'anche effective. · Les phénomènes dissipatifs se traduisent par une force de frottement visqueux F d = ­ cY ( t )u y . · Au repos, l'anche effective se trouve à l'ordonnée Y 0 > 0 traduisant la 
courbure vers l'amont de l'anche réelle en l'absence d'écoulement.

Concours Centrale-Supélec 2010

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PHYSIQUE [ Filière PC

Le but de cette partie est d'obtenir les valeurs numériques des grandeurs M , K
et c intervenant dans le modéle.

II.D.1) Exprimer sous forme intégrale, en faisant intervenir le champ de
vitesse ôy(x, t)/ôt , l'énergie cinétique EC de la lame réelle en vibration.

°...
v--1

@
v--<_ ..................................................................... o _. _______ ______ . _______ : ______ . _______ . ______ _oe_ CD _0_ 0 0,08 0,07 0,06 0,05 l 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 Figure 9 - Déplacement mesuré pour l'extrémité de l'anche II.D.2) Pour simplifier les calculs littéraux, on évalue l'amplitude f(x), dont l'expression exacte a été abordée dans les questions I.B.5 et II.A.1 par le poly- nôme 2 3 4 f(x)e%f(D (%_%+Ë) En déduire l'expression de EC en fonction de ;" (L), g'(t) et de la masse m de l'anche réelle. On donne : 1 2 3 4 2 fO(6u --4u +u ) du =104/45. II.D.3) La masse M de l'anche effective est définie par EC : %MY'(t)2. En déduire l'expression de M et la calculer numériquement pour une anche d'acier de dimension L = 31,63 mm, h = 3,40 mm, 19 = 0,26 mm. Concours Centrale-Supé/ec 2010 13/16 PHYSIQUE [ Filière PC II.D.4) Dans l'air au repos, on ne considère pas les forces de pression. Écrire l'équation du mouvement de l'anche effective en Y(t) . II.D.5) L'anche réelle est écartée de sa position d'équilibre puis abandonnée sans vitesse initiale. Un capteur permet de suivre l'évolution de y(L,t). Le résultat est représenté sur la figure 9 avec deux échelles de temps distinctes. En déduire les valeurs numériques de K et c . ILE - Mouvement de l'anche effective dans l'écoulement Le mouvement de l'anche effective sous l'effet de l'écoulement est étudié avec les hypothèses suivantes (figure 10). 0 Son déplacement Y(t) demeure suffisamment faible pour appliquer les résul- tats des parties II.B et ILO. 0 On assimile à cha- que instant la lar- y ' ' geur variable e(t) c |Î| intervenant dans II.B a la plus petite distance de la lame Y(t) au châssis. | \\\\\\\\ \o . ». Châssis \ Figure 10 - Mouvement de l'anche effective 0 On note a : 0,2mm1 la valeur minimale \ de e correspondant : \ à l'excès de largeur \ \\\ de la rigole par rap- port a l'anche. II.E.1) Exprimer e(t) en distinguant deux situations selon le signe de Y. II.E.2) Écrire l'équation du mouvement de l'anche. II.E.3) Dans cette question, il s'agit de prouver que le modèle permet effecti- vement de déterminer l'évolution du système couplé de l'anche et du fluide. On le réduit aux trois inconnues Y(t) , Y'(t) et Q(t) . Leurs valeurs numériques Y(t0) , Y'(t0) et Q(to) à un instant particulier du mouvement sont supposées connues. Montrer précisément qu'on peut obtenir les valeurs de leurs dérivées premières au même instant, i.e Y'(t0), Y"(t0) et Q'(t0) . II.E.4) D'après la question précédente, la résolution du problème se ramène à celle d'un système différentiel du type 9--['(t) : F('J--[ ) où 9--[ est un vecteur à trois composantes. Expliquer en quelques lignes quel type d'approche vous uti- liseriez pour le résoudre avec un logiciel mathématique. Concours Centrale-Supé/ec 2010 14/16 PHYSIQUE I Filière PC II.F - Commentaire des résultats Le modèle théorique développé ici montre que l'anche, initialement au repos, se met progressivement en mouvement sous l'effet de l'écoulement d'air. En régime permanent, toutes les variables présentent un comportement périodique. La figure 11 permet de confronter les prédictions du modèle théorique (courbes de gauche) et des résultats expérimentaux (courbes de droite) pour une anche produisant dans l'instrument des sons de fréquence égale à 795 Hz , caractérisée par ­5 M = 1, 13  10 kg , Y 0 = 0, 2 mm , L = 22, 9 mm et K = 285, 2 N  m ­ 1 , a = 0, 14 mm . Les grandeurs représentées sont : · le déplacement Y ( t ) de l'anche ; · la pression aérodynamique P aéro dans l'écoulement au voisinage de l'anche, déduite de P ( 0, z ) ; · le débit dans l'orifice Q ( t ) ; · la pression acoustique p ac ( t ) correspondant au son produit à quelques décimètres. Sa détermination ne sera pas abordée ici. Par translation suivant l'axe des abscisses, on a supprimé le décalage de p ac associé au temps de propagation de l'onde acoustique. II.F.1) Commenter la valeur de la fréquence des signaux. II.F.2) Mettre en relation les variations du débit, de la pression aérodynamique et de la pression acoustique avec la « fermeture » et « l'ouverture » de la rigole par l'anche. II.F.3) Comparer les résultats expérimentaux à ceux du modèle. En proposer des améliorations. Concours Centrale-Supélec 2010 15/16 PHYSIQUE I Filière PC Position de l'anche Y (trait plein) et variations du débit Q (pointillés, unités arbitraires) Y(m) -3 Y( unité arbitraire) 2,0×10 -3 1,0×10 0,0 0,8 0,801 0,802 0,803 0 0,001 0,002 0,003 -3 -1,0×10 -3 -2,0×10 t(s) t(s) Pression aérodynamique près de l'anche Pression aérodynamique mesurée près de l'anche Paero (Pa) Paero (Pa) 100,0 50,0 50,0 0,0 0,0 0,8 0 0,801 0,802 0,001 -50,0 -50,0 0,002 0,003 0,803 t(s) t(s) Pression acoustique Pression acoustique mesurée Pac (unité arbitraire) Pac (Pa) 20,0 10,0 0,0 0,8 0,801 0,802 0 0,001 0,002 0,003 0,803 -10,0 t(s) t(s) Figure 11 ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2010 16/16