Centrale Physique 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Vibrations musicales
Principaux outils utilisés ondes, mécanique des fluides, mécanique du point
Mots clefs onde mécanique, onde sonore, écoulement potentiel, Bernoulli, marimba, glockenspiel, accordéon

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2010 Épreuve : PHYSIQUE I Filière PC PHYSIQUE I Filière PC PHYSIQUE I Calculatrices autorisées. Vibrations musicales Ce problème aborde les vibrations mécaniques sources de l'émission sonore de certains instruments de musique. La première partie concerne essentiellement les claviers à percussion alors que la seconde, largement indépendante de la précédente, présente une étude du fonctionnement des instruments à anche libre. Dans tout le problème, on néglige l'influence des forces de pesanteur. Valeurs numériques et notations ­3 Masse volumique de l'air a = 1, 29 kg m Vitesse du son dans l'air c = 345 m s Viscosité dynamique de l'air = 1, 85 10 Masse volumique de l'eau e = 1, 00 10 kg m Viscosité dynamique de l'eau e = 1, 0 10 Masse volumique de l'acier = 7, 80 10 kg m Module d'Young de l'acier E = 19, 5 10 Masse volumique du bronze = 8, 7 10 kg m Module d'Young du bronze E = 1, 1 10 Masse volumique du bois de palissandre = 740 kg m Module d'Young du bois de palissandre E = 1, 2 10 ­1 ­5 Pa s 3 ­3 Pa s 3 10 10 ­3 Pa 3 11 ­3 ­3 Pa ­3 Pa Les vecteurs sont notés en caractères gras. Concours Centrale-Supélec 2010 1/16 PHYSIQUE I Filière PC Filière PC Partie I - Claviers à percussion Nous étudions dans cette partie certains instruments à percussion tels que le xylophone, le marimba ou le glockenspiel. Ils sont formés de lames parallélépipédiques de bois ou de métal. Chacune d'elles produit, lorsqu'on la frappe avec une baguette, un son de hauteur déterminée. I.A - Vibrations longitudinales d'une lame parallélépipédique On envisage pour l'instant L y les vibrations longitudinales h d'une lame de longueur L b (figure 1). La matière située x au repos dans le plan d'abs- z cisse x se met en mouvex x + dx ment suite à une excitation. Figure 1 - Vibrations longitudinales d'une lame Elle occupe à l'instant t le parallélépipédique plan d'abscisse x + ( x, t ) et est soumise, de la part de la matière située à sa droite, à une force F = F ( x, t )u x . On note la masse volumique et E le module d'Young du matériau dont on rappelle la définition : pour porter de l 0 à l 0 + l la longueur d'une tige de section S , il faut exercer sur ses extrémités une force égale à ESl / l 0 . I.A.1) a) Exprimer F ( x, t ) en fonction d'une dérivée partielle de ( x, t ) . b) Montrer que ( x, t ) obéit à l'équation de d'Alembert et exprimer la célérité c l des ondes longitudinales. I.A.2) Rechercher des solutions sinusoïdales de la forme ( x, t ) = f ( x ) g ( t ) en explicitant les fonctions f et g . On introduira une pulsation temporelle et une pulsation spatiale k . I.A.3) Les deux extrémités de la lame n'étant soumises à aucune force, montrer que seules certaines valeurs particulières, indexées par un entier n , sont accessibles à k . Exprimer les fréquences propres f n de la lame. I.A.4) Une lame de glockenspiel en acier de longueur L = 24, 3 cm émet un son de fréquence égale à 785 Hz . Concours Centrale-Supélec 2010 2/16 Montrer qu'il ne peut pas résulter de l'excitation d'une onde longitudinale. LB - Vibrations transversales Dans les questions qui suivent on analyse les petits mouvements transversaux de la lame (partie gauche de la figure 2). Les points situés au repos dans le plan médian de la lame, à l'abscisse x et à l'ordonnée y = 0 , se trouvent à l'instant t du mouvement à l'ordonnée y(x, t) . Dans le plan (Oxy) , ils sont alors représen- tés par une courbe formant avec l'horizontale un angle local 2 (X(X, t) &» â-ï « 1 et de courbure C(x, t) »=« Ë--Ë . On rappelle que C : È : Ë_Ë , x R désignant le rayon de courbure et dL la longueur infinitésimale d'un élément de courbe. Figure 2 - Mouvements transversaux d'une lame Pour établir l'équation du mouvement, on adopte une double décomposition en éléments infinitésimaux (partie droite de la figure 2). D'une part, on analyse le mouvement et les déformations d'une portion de lame occupant les abscisses [x, x + dx] et dont les faces forment entre elles l'angle doc . D'autre part, cet élé- ment peut être considéré comme un assemblage de couches d'ordonnées y(x, t) + u et d'épaisseur du , avec u EUR [--b/2, [9/2] . I.B.1) En flexion, certaines couches se trouvent étirées et d'autres compri- mées. On admet que la couche repérée par u = 0 conserve au cours du mouve- ment une longueur dx inchangée alors que les autres voient leur longueur passer de dx au repos à dL' ;: dx . Exprimer dL' --dx en fonction de u et C. dx I.B.2) a) Quelle est l'aire dS de la section transversale de la couche d'épaisseur du ? En déduire la force dF que cette couche étirée subit puis celle dF' qu'elle exerce réciproquement sur la matière située à sa gauche. PHYSIQUE I Filière PC b) Vérifier la nullité de la résultante de ces forces sur la section entière de la lame. c) Calculer le moment M ( x ) par rapport à l'axe ( A, u z ) des forces exercées par le tronçon de longueur dx sur la matière située à sa gauche. A désigne le point d'abscisse x tel que u = 0 . I.B.3) Au travers d'une section de la lame s'exercent aussi des efforts transversaux : la partie de lame occupant les abscisses supérieures à x exerce sur celle se trouvant à sa gauche des efforts de résultante T T ( x, t )u y . En admettant la relation M --------- ­ T ( x, t ) , x en déduire l'équation des mouvements transversaux sous la forme : 2 2 4 2 y cl b y --------2- + ----------- --------4- = 0 . 12 x t I.B.4) On envisage maintenant des solutions telles que y ( x, t ) = f ( x ) cos ( t + ) . Préciser l'équation différentielle dont f ( x ) est solution. I.B.5) La fonction f s'exprime à l'aide de quatre constantes A , B , C et D sous la forme f ( x ) = A cos ( kx ) + B sin ( kx ) + C ch ( kx ) + D sh ( kx ) . Donner, en la justifiant, la relation entre et k . I.B.6) Dans cette question, les deux extrémités de la barre, d'abscisses x = 0 et x = L , sont liées à des supports fixes par des charnières assurant des liaisons de type pivot parfait d'axes parallèles à u z . En déduire en fonction d'un entier n les valeurs k n permises pour k puis les fréquences propres f n . I.B.7) Pour vibrer correctement, les lames des instruments de percussion reposent sans fixation rigide sur un support. Leurs extrémités ne sont donc soumises à aucune contrainte assujettissant leur position. Exprimer ces conditions en faisant intervenir deux des quatre grandeurs T , M , y et introduites plus haut. En déduire quatre équations portant sur A , B , C et D . Leur résolution, non demandée, conduit aux fréquences propres b 2 f n = -------------------2-c l u n avec u 1 = 3, 01 u 2 = 5, 00 u n 2n + 1 . 16 3L I.B.8) Expérimentalement on a mesuré f 2 / f 1 = 2, 71 , f 3 / f 1 = 5, 15 , f 4 / f 1 = 8, 43 pour une lame de glockenspiel. Commenter ces valeurs. Calculer numériquement f 1 pour une lame d'épaisseur b = 9, 15 mm et de longueur L = 24, 3 cm correspondant à la note la plus grave de l'instrument. I.B.9) Les lames d'un marimba basse sont constituées de bois palissandre d'épaisseur b = 2, 31 cm . Quelle valeur faut-il donner à L pour atteindre f 1 = 65 Hz ? Concours Centrale-Supélec 2010 4/16 PHYSIQUE I Filière PC I.B.10) Pour accorder un marimba, on entaille la partie inférieure de la lame de manière à lui donner la forme d'une voûte (figure 3). Qualitativement, cela at-il pour effet d'augmenter ou de diminuer la valeur de L nécessaire pour obtenir une fréquence donnée ? Le facteur de l'instrument ajuste aussi cette voûte de manière à obtenir f 2 / f 1 4 , ce qui produit un son plus harmonieux. Pourquoi ce second point est-il inutile sur un glockenspiel ? tube résonateur I.C - Accord des résonateurs Pour améliorer le rayonnement du son par le y marimba, on place sous chaque lame un tube L résonateur (figure 3). Ce cylindrique creux de diamètre D , d'axe ( Oy ) , présente une extrémité ouverte au voisinage de la lame (en y = 0 ) alors que l'autre, en y = ­ H , est rigidement fermée. y = 0 On note en représentation complexe jt p ( y = 0, t ) = p 0 e la pression de l'onde acoustique produite en y = 0 par la vibration de la lame. H I.C.1) On recherche la pression acoustique dans le tuyau sous la forme j ( t ­ ky ) j ( t + ky ) . p ( y, t ) = Ae +B a) Rappeler sans démonstration la relation de dispersion des ondes acoustiques dans l'air. y = ­H b) Écrire, dans le cadre de l'approximation acoustique, l'équation d'Euler reliant le champ D des vitesses au gradient de pression. c) En déduire l'expression de la vitesse acousti- Figure 3 - Lame de marimba présentant une voûte et que v ( y, t ) en fonction des données de l'énoncé. munie d'un tube résonateur I.C.2) Exprimer les constantes A et B en fonction des données du problème. I.C.3) Quelle est la plus petite valeur de H correspondant à une résonance du tuyau pour une fréquence f donnée ? Faire l'application numérique pour f = f 1 = 65 Hz . Y-a-t-il résonance de l'harmonique de rang 2 accordée sur f 2 4f 1 ? I.C.4) Sur les marimbas de concert, la valeur de H peut être modifiée en déplaçant un bouchon rigide à l'intérieur du tube résonateur. Quel est l'intérêt d'un tel dispositif ? Concours Centrale-Supélec 2010 5/16 PHYSIQUE I Filière PC I.D - Vibration d'une cymbale Les cymbales sont des plateaux circulaires en métal que l'on frappe pour obtenir un son. Contrairement aux lames de clavier étudiées dans les questions précé- dentes, elles ne produisent pas un son de hauteur bien définie. Bien qu'une cym- bale possède une forme incurvée, nous les assimilerons à de fines plaques planes circulaires de rayon R et d'épaisseur b contenues au repos dans le plan (0x2) . Dans ce cadre, les vibrations transversales consécutives à l'excitation de la sur- face par un choc obéissent à une équation voisine de celle de la question I.B.8 2 2 2 4 4 4 ü+----ÜÉ----(ü+ü+z--Êzvlî = 0 avec 0 = 0,34. ôt2 12(1--02) 8x4 624 ôx ôz I.D.1) On envisage la propagation d'une onde plane progressive du type y(x, z, t) : yOexp{ i[oet --k - (xux + zuz)]} . :: (\1 f '2 3 S 9 % oo xo 24 8101214161820 @ <|- 0 comme la source de la question précédente à deux nuances près : d'une part il absorbe un débit linéique infinitésimal dD , d'autre part son diamètre est réputé nul. En déduire le potentiel d ( y, z ) en un Figure 7 - Source de fluide point M ( y, z ) du demi-espace amont ( y > 0 ) . invariante par translation II.B.3) Le liquide entrant dans l'élément de largeur du de l'interstice est évacué dans le jet vers les y < 0 . En déduire l'expression de dD . II.B.4) Exprimer le potentiel ( y, z ) pour y > 0 sous la forme d'une intégrale sur u . Le calculer explicitement pour y = 0 + et z > e . Concours Centrale-Supélec 2010 10/16 PHYSIQUE I Filière PC II.B.5) Calculer la vitesse aux points M ( 0 +, z ) , situés au contact de l'anche ( z > e ). II.B.6) Pour y = 0 et 0 < z < e , la pression vaut P a . À l'aide d'une relation de Bernoulli, exprimer le champ de pression P sur la face supérieure de l'anche, en y = 0+ . II.B.7) La pression dans la zone de fluide mort au-dessous de l'anche vaut P a . Soit F a = F a u y la force exercée par l'air sur la lame. Écrire cette force sous la forme : 1 2 F a = ­ --- a LhV ( 1 ­ A 1 ) 2 où A 1 est une grandeur sans dimension dépendant de e et de h dont on donnera l'expression intégrale. De quelle façon varie F a quand e augmente ? II.B.8) Déterminer à l'ordre le plus bas l'expression du potentiel ( r ) , pour r = 2 2 y +z »e II.C - Écoulement en régime variable On note dans la suite Q = VeL le débit et q = Ve le débit linéique traversant la rigole. On envisage, en vue de l'étude du mouvement de l'anche libre, des situations où l'ouverture e dépend du temps. Il en résulte des variations temporelles de V = V ( t ) , q = q ( t ) et = ( y, z, t ) . L'expression du potentiel des vitesses trouvé dans la partie II.A s'applique encore.On admet le résultat suivant : V q ( t ) Ve ( t ) ( 0, z, t ) ------------------------- = ------------ ­ ---------------- [ 1 + ln z ­ e ] + ------ [ ( z ­ e ) ln z ­ e ­ z ln z ] . t II.C.1) On traite l'air comme un fluide parfait incompressible et on néglige l'influence de la pesanteur. Montrer que : 2 P v C ( t ) = ------ + ----- + ---- est une grandeur uniforme dans l'écoulement. t 2 II.C.2) Soit A le point de coordonnées ( 0, e / 2 ) situé au milieu de l'interstice. On admet que P ( A ) = P a . En déduire l'expression de C ( t ) . II.C.3) Soit P 0 la pression en un point B situé loin en amont, tel que 2 2 r 0 = x + y » e . Que peut-on dire de la vitesse en B ? On pourra utiliser le résultat de la question II.B.8. En déduire l'équation différentielle gouvernant l'évolution du débit q dans l'interstice : P0 ­ Pa 1 2 1 V ( t )e ( t ) ­ --- V ( t ) + -----------------------q ( t ) = -------------- ------------------K 0(t) 2 a Concours Centrale-Supélec 2010 11/16 PHYSIQUE I Filière PC où K 0 ( t ) dépend de r 0 et e ( t ) . Dans la suite r 0 et P 0 sont supposés fixés et numériquement connus. II.C.4) On admet l'expression de la force F a = F a u y exercée par l'air en régime instationnaire : 1 2 F a ( t ) = ­ --- a LhV ( 1 ­ A 1 ( t ) ) + a Lh 2 A 2 ( t )V ( t ) ­ a Lh A 3 ( t )q ( t ) 2 où A 1 , A 2 , A 3 sont des grandeurs sans dimension dépendant de e ( t ) et de h . Expliquer en quelques lignes l'origine des deux nouveaux termes par rapport à l'expression de la question II.B.7. II.D - Paramètres du modèle à un degré de liberté L'anche, de longueur L , de largeur h et d'épaisseur b , oscille selon un mode transversal de vibration défini par y ( x, t ) = f ( x ) g ( t ) ; ses différents points présentent des amplitudes de vibration distinctes. Pour étudier simplement le mouvement, on néglige cet aspect au travers d'un modèle simplifié à un seul degré de liberté (figure 8). Figure 8 Anche réelle (partie gauche) et modèle à un seul degré de liberté (partie droite) K c uy y ( L, t ) anche effective ux L Y (t) Les hypothèses en sont les suivantes : · Le mouvement de l'anche réelle est modélisé par la translation selon u y d'une anche effective plane de mêmes longueur L et largeur h . Son déplacement s'identifie à celui de l'extrémité de l'anche réelle ; son ordonnée Y ( t ) est donc définie par Y ( t ) = y ( L, t ) = f ( L ) g ( t ) . On note M sa masse effective, différente de celle de l'anche réelle. · L'élasticité de l'anche réelle équivaut à une force de rappel exercée par un ressort vertical de raideur K agissant sur l'anche effective. · Les phénomènes dissipatifs se traduisent par une force de frottement visqueux F d = ­ cY ( t )u y . · Au repos, l'anche effective se trouve à l'ordonnée Y 0 > 0 traduisant la courbure vers l'amont de l'anche réelle en l'absence d'écoulement. Concours Centrale-Supélec 2010 12/16 PHYSIQUE [ Filière PC Le but de cette partie est d'obtenir les valeurs numériques des grandeurs M , K et c intervenant dans le modéle. II.D.1) Exprimer sous forme intégrale, en faisant intervenir le champ de vitesse ôy(x, t)/ôt , l'énergie cinétique EC de la lame réelle en vibration. °... v--1 @ v--<_ ..................................................................... o _. _______ ______ . _______ : ______ . _______ . ______ _oe_ CD _0_ 0 0,08 0,07 0,06 0,05 l 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 Figure 9 - Déplacement mesuré pour l'extrémité de l'anche II.D.2) Pour simplifier les calculs littéraux, on évalue l'amplitude f(x), dont l'expression exacte a été abordée dans les questions I.B.5 et II.A.1 par le poly- nôme 2 3 4 f(x)e%f(D (%_%+Ë) En déduire l'expression de EC en fonction de ;" (L), g'(t) et de la masse m de l'anche réelle. On donne : 1 2 3 4 2 fO(6u --4u +u ) du =104/45. II.D.3) La masse M de l'anche effective est définie par EC : %MY'(t)2. En déduire l'expression de M et la calculer numériquement pour une anche d'acier de dimension L = 31,63 mm, h = 3,40 mm, 19 = 0,26 mm. Concours Centrale-Supé/ec 2010 13/16 PHYSIQUE [ Filière PC II.D.4) Dans l'air au repos, on ne considère pas les forces de pression. Écrire l'équation du mouvement de l'anche effective en Y(t) . II.D.5) L'anche réelle est écartée de sa position d'équilibre puis abandonnée sans vitesse initiale. Un capteur permet de suivre l'évolution de y(L,t). Le résultat est représenté sur la figure 9 avec deux échelles de temps distinctes. En déduire les valeurs numériques de K et c . ILE - Mouvement de l'anche effective dans l'écoulement Le mouvement de l'anche effective sous l'effet de l'écoulement est étudié avec les hypothèses suivantes (figure 10). 0 Son déplacement Y(t) demeure suffisamment faible pour appliquer les résul- tats des parties II.B et ILO. 0 On assimile à cha- que instant la lar- y ' ' geur variable e(t) c |Î| intervenant dans II.B a la plus petite distance de la lame Y(t) au châssis. | \\\\\\\\ \o . ». Châssis \ Figure 10 - Mouvement de l'anche effective 0 On note a : 0,2mm1 la valeur minimale \ de e correspondant : \ à l'excès de largeur \ \\\ de la rigole par rap- port a l'anche. II.E.1) Exprimer e(t) en distinguant deux situations selon le signe de Y. II.E.2) Écrire l'équation du mouvement de l'anche. II.E.3) Dans cette question, il s'agit de prouver que le modèle permet effecti- vement de déterminer l'évolution du système couplé de l'anche et du fluide. On le réduit aux trois inconnues Y(t) , Y'(t) et Q(t) . Leurs valeurs numériques Y(t0) , Y'(t0) et Q(to) à un instant particulier du mouvement sont supposées connues. Montrer précisément qu'on peut obtenir les valeurs de leurs dérivées premières au même instant, i.e Y'(t0), Y"(t0) et Q'(t0) . II.E.4) D'après la question précédente, la résolution du problème se ramène à celle d'un système différentiel du type 9--['(t) : F('J--[ ) où 9--[ est un vecteur à trois composantes. Expliquer en quelques lignes quel type d'approche vous uti- liseriez pour le résoudre avec un logiciel mathématique. Concours Centrale-Supé/ec 2010 14/16 PHYSIQUE I Filière PC II.F - Commentaire des résultats Le modèle théorique développé ici montre que l'anche, initialement au repos, se met progressivement en mouvement sous l'effet de l'écoulement d'air. En régime permanent, toutes les variables présentent un comportement périodique. La figure 11 permet de confronter les prédictions du modèle théorique (courbes de gauche) et des résultats expérimentaux (courbes de droite) pour une anche produisant dans l'instrument des sons de fréquence égale à 795 Hz , caractérisée par ­5 M = 1, 13 10 kg , Y 0 = 0, 2 mm , L = 22, 9 mm et K = 285, 2 N m ­ 1 , a = 0, 14 mm . Les grandeurs représentées sont : · le déplacement Y ( t ) de l'anche ; · la pression aérodynamique P aéro dans l'écoulement au voisinage de l'anche, déduite de P ( 0, z ) ; · le débit dans l'orifice Q ( t ) ; · la pression acoustique p ac ( t ) correspondant au son produit à quelques décimètres. Sa détermination ne sera pas abordée ici. Par translation suivant l'axe des abscisses, on a supprimé le décalage de p ac associé au temps de propagation de l'onde acoustique. II.F.1) Commenter la valeur de la fréquence des signaux. II.F.2) Mettre en relation les variations du débit, de la pression aérodynamique et de la pression acoustique avec la « fermeture » et « l'ouverture » de la rigole par l'anche. II.F.3) Comparer les résultats expérimentaux à ceux du modèle. En proposer des améliorations. Concours Centrale-Supélec 2010 15/16 PHYSIQUE I Filière PC Position de l'anche Y (trait plein) et variations du débit Q (pointillés, unités arbitraires) Y(m) -3 Y( unité arbitraire) 2,0×10 -3 1,0×10 0,0 0,8 0,801 0,802 0,803 0 0,001 0,002 0,003 -3 -1,0×10 -3 -2,0×10 t(s) t(s) Pression aérodynamique près de l'anche Pression aérodynamique mesurée près de l'anche Paero (Pa) Paero (Pa) 100,0 50,0 50,0 0,0 0,0 0,8 0 0,801 0,802 0,001 -50,0 -50,0 0,002 0,003 0,803 t(s) t(s) Pression acoustique Pression acoustique mesurée Pac (unité arbitraire) Pac (Pa) 20,0 10,0 0,0 0,8 0,801 0,802 0 0,001 0,002 0,003 0,803 -10,0 t(s) t(s) Figure 11 ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2010 16/16

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 Centrale Physique 1 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) ; il a été relu par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet original propose de s'intéresser à l'émission de sons par deux familles d'instruments rarement étudiées : les claviers à percussion (famille du xylophone) et les instruments à anche libre (famille de l'accordéon). · La première partie porte sur les claviers à percussion. Dans les premières sousparties, on envisage successivement les modes de vibration longitudinaux et transversaux d'une barre parallélépipédique, avec construction des spectres associés en fonction des conditions aux limites. La troisième sous-partie est consacrée à l'ajout d'un tube résonateur sous la barre précédente, en vue d'améliorer l'émission du son. Enfin, une dernière sous-partie réinvestit les résultats sur les modes transversaux dans l'étude rapide d'une cymbale. Cette première partie repose essentiellement sur l'obtention d'équations d'onde par décomposition en éléments infinitésimaux, et sur leur résolution. Notons également l'exploitation de résultats expérimentaux dans l'étude de la cymbale, qui nécessite une bonne compréhension de la notion de vitesse de phase et du phénomène de dispersion. · La seconde partie est consacrée à l'étude d'un écoulement d'air autour d'une anche libre. Une première sous-partie délimite le problème par le biais des nombres de Reynolds et de Strouhal. Les deux sous-parties suivantes sont dédiées à l'étude d'un écoulement parfait autour de l'anche, d'abord en régime stationnaire, puis en régime variable. Dans les sous-parties D et E, c'est la dynamique de l'anche qui est envisagée. Enfin, la dernière sous-partie propose l'interprétation des résultats de simulations numériques et leur confrontation aux résultats expérimentaux. Cette partie, très centrée sur les écoulements potentiels, nécessite d'être à l'aise avec le théorème de Bernoulli et ses différentes constructions, afin de pouvoir le retrouver et l'adapter à de nouvelles situations. Elle suppose également une certaine aisance avec les oscillateurs amortis, pour de ne pas perdre de temps à retrouver des résultats usuels. Enfin, elle fait tout du long appel à un sens physique aiguisé, tant pour discuter les hypothèses que pour interpréter les résultats. Faisant très peu appel explicitement au cours, ce problème est un véritable exercice de raisonnement, mobilisant beaucoup de connaissances supposées usuelles sans qu'elles soient retrouvées ou redémontrées. Il s'adresse en priorité aux étudiants voulant approfondir leur maîtrise de l'étude des ondes et des écoulements potentiels. Indications Partie I I.A.1.a Considérer la portion de lame délimitée par x et x + dx. - I.A.3 L'absence de force exercée sur les extrémités implique que F (x, t) s'y annule. I.B.1 La relation dL = R d n'est vraie que pour la portion non déformée de la lame (u = 0). Que devient-elle pour u non nul (avec dL ) ? I.B.2.a La couche d'épaisseur du a le module d'Young E. I.B.6 Des liaisons pivots parfaites garantissent M(0, t) = 0 = M(L, t) I.B.10 Noter que le rapport 4 produit un son plus harmonieux. I.C.3 Il y a résonance lorsque l'un des coefficients (au moins) devient très grand. I.C.4 La vitesse du son dans l'air dépend de la température. I.D.3 Quelles ondes se propagent le plus vite ? Partie II II.A.2 Utiliser Bernoulli entre le soufflet et la rigole. -- II.A.4.a Le terme - v · grad - v traduit le transport d'impulsion dans le fluide le long d'une ligne de courant. II.A.4.c D'après l'énoncé, la fréquence du son ne dépend pas de la vitesse d'écoulement dans la rigole. II.C.1 Pour un écoulement irrotationnel, -- - -- v 2 - v · grad v = grad 2 II.C.4 Il ne faut pas chercher à interpréter physiquement chacun des termes, mais expliquer en quoi les différences entre les régimes envisagés dans les sousparties II.B et II.C justifient l'apparition de ces nouveaux termes. II.E.1 Pour Y > 0, e est la distance au coin du châssis ; pour Y < 0, e est la distance au bord du châssis. II.E.3 Vérifier que toutes les grandeurs intervenant dans les relations des questions II.E.2 et II.C.3 sont connues ou calculables à t0 . II.F.2 La pression aérodynamique est directement proportionnelle à Fa . Regarder comment varie V lors de l'ouverture et de la fermeture. Vibrations musicales I. Claviers à percussion I.A Vibrations longitudinales d'une lame parallélépipédique I.A.1.a La matière située au repos dans le plan d'abscisse x occupe à l'instant t le plan d'abscisse x+(x, t). De même, la matière initialement située dans le plan x+dx se trouve à l'instant t dans le plan d'abscisse x + dx + (x + dx, t). Ainsi, la portion de lame initialement comprise entre les plans d'abscisse x et x + dx, de longueur au repos 0 = dx, a la longueur 0 + = x + dx + (x + dx, t) - x - (x, t) = dx + (x + dx, t) - (x, t) à l'instant t, soit une variation de longueur = dx (x, t) x - - Le système est soumis aux forces F (x + dx, t) à droite et - F (x, t) à gauche. La somme de ces forces est responsable du déplacement du système en vertu du principe fondamental de la dynamique, tandis que 1 (F(x, t) + F(x + dx, t)) F(x, t) 2 est responsable de sa compression. On en déduit : F(x, t) = E S = ES (x, t) 0 x Le jury regrette que l'expression de F(x), bien que le plus souvent juste, soit « parachutée ». La définition du module d'Young étant donnée dans l'énoncé, il faut proposer un raisonnement se basant sur cette définition pour arriver à l'expression de la force. I.A.1.b Reprenons la portion de lame de la question précédente sur laquelle s'ap - - plique F (x + dx, t) à droite et - F (x, t) à gauche. Le principe fondamental de la dynamique appliqué dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen donne -- d2 OG - m = F(x + dx, t) - u x - F(x, t) ux dt2 où m = S dx est la masse du système, G son centre d'inertie et O l'origine du repère. Le système étant homogène, à l'ordre le plus bas en dx, on a -- 1 OG = (x + (x, t) + x + dx + (x + dx, t)) - ux (x + (x, t)) - u x 2 d'où S dx 2 - F - u ux x = dx t2 x En utilisant le résultat de la question précédente, on en déduit alors S 2 2 = ES 2 2 t x 1 2 2 = 2 2 c t x2 et donc avec c = r E I.A.2 Posons (x, t) = f (x) g(t). L'équation de d'Alembert en devient f (x) g (t) = c 2 f (x) g(t) f (x) g (t) = c 2 g(t) f (x) soit f et g désignant les dérivées secondes de f et g par rapport à leur unique variable. Le membre de gauche de cette équation ne dépend que de t, tandis que le membre de droite ne dépend que de x. Ces variables étant indépendantes, on en déduit qu'il existe une constante réelle K telle que g (t) f (x) = K = c 2 g(t) f (x) L'équation différentielle sur g s'écrit g (t) = K g(t) Une telle équation n'admet de solution oscillante que pour K négatif. On pose donc K = - 2 avec une pulsation temporelle strictement positive. On a alors g(t) = g0 cos( (t - t0 )) où g0 et t0 sont des constantes. L'équation différentielle sur f se réécrit 2 f (x) c 2 En introduisant la pulsation spatiale k = /c , il vient f (x) = - f (x) = f0 cos(k (x - x0 )) avec f0 et x0 des constantes. On obtient finalement, en posant 0 = f0 g0 , (x, t) = 0 cos( (t - t0 )) cos(k (x - x0 )) Attention, les équations différentielles étant du second ordre, l'expression finale doit faire apparaître deux constantes d'intégration pour f et deux pour g. Tout au plus est-il possible de réduire ce nombre de quatre à trois après réunion des deux fonctions comme nous l'avons fait. Le jury s'étonne que plus d'un tiers des candidats ne donne qu'une partie des constantes d'intégrations. I.A.3 Les extrémités de la lame n'étant soumises à aucune force, on doit avoir F(0, t) = 0 = F(L, t) On en déduit ( 0 cos(kx0 ) = 0 0 cos(k (L - x0 )) = 0