Centrale Physique 1 PC 2009

Thème de l'épreuve Détection pyroélectrique d'interférences d'ondes thermiques
Principaux outils utilisés diffusion thermique, électrocinétique, ondes
Mots clefs ondes thermiques, équation de la chaleur, pyroélectricité, analogie électrocinétique - diffusion thermique, effusivité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve : PHYSIQUE I Filière PC PHYSIQUE I Filière PC PHYSIQUE I Calculatrices autorisées. Détection pyroélectrique d'interférences d'ondes thermiques Aucune connaissance concernant les ondes thermiques n'est nécessaire à la résolution du problème. Les résultats utiles sont établis en cours d'épreuve. Des expériences récentes d'interférométrie d'ondes thermiques ont permis d'étudier de manière fine les propriétés thermiques des gaz. Le but de ce problème est d'analyser de façon détaillée une telle expérience. La Partie I concerne l'étude de la diffusion thermique en régime stationnaire, puis en régime sinusoïdal forcé. Le concept d'onde thermique est alors introduit. La Partie II propose une étude expérimentale de l'équation de diffusion à partir d'un modèle électrocinétique discret. Les capteurs pyroélectriques étudiés dans la Partie III sont des détecteurs très sensibles, développés depuis une trentaine d'années. Ils constituent une pièce maîtresse dans toutes les expériences faisant intervenir des flux lumineux modulés. La Partie IV précise enfin le protocole expérimental de l'expérience d'interférométrie multiple d'ondes thermiques (Thermal Waves Interferometry). Partie I - Étude de la diffusion thermique On cherche à étudier le Refroidissement par circulation phénomène de diffusion Isolant Capteurs de d'eau thermique dans une thermique Résistance température Barre de cuivre chauffante barre cylindrique de cuivre, de diamètre d = 15, 0 mm et de conL z ductivité thermique h . U À cet effet, on creuse z une cavité à l'extrémité z Figure 1 0 de la barre pour y placer une résistance chauffante R ch = 8, 00 1 . Cette résistance est alimentée par un générateur délivrant une tension continue U 0 = 6, 00 V . Afin de rendre les pertes thermiques par la face latérale du cylindre négligeables, le barreau de cuivre est isolé latéralement par une matière plastique de conductivité thermique suffisamment faible par rapport à celle du cuivre. La mesure de température se fait par l'intermédiaire de petits capteurs logés dans des puits creusés latéralement en divers points du cylindre conducteur. Un dispositif de refroidissement par circulation d'eau est placé à l'autre extrémité de la barre de telle sorte que la température du cuivre y soit égale à 20, 0° C . 0 2 1 Concours Centrale-Supélec 2009 1/13 PHYSIQUE I Filière PC Filière PC I.A - Étude du régime stationnaire On se place tout d'abord en régime stationnaire et on suppose que la température, considérée uniforme dans une section droite de la barre, ne dépend que de la position z . I.A.1) Quel est a priori la direction et le sens du vecteur gradT ? Rappeler la loi de Fourier donnant l'expression du vecteur densité de courant thermique j Q . Préciser la signification des différents termes ainsi que leur dimension respective. I.A.2) Exprimer la puissance fournie par l'alimentation continue à la résistance chauffante. En supposant que cette puissance est intégralement transférée à la barre située dans la partie z > 0 , exprimer j Q ( z = 0 ) en fonction de R ch , U 0 et d . Évolution de la température dans la barre I.A.3) Montrer que j Q est uniforme dans la barre. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la température T ( z ) . I.A.4) Exprimer littéralement T ( z ) en fonction des données ci-dessus et de T ( L ) . Les deux capteurs de température placés en z 1 = 8 cm et z 2 = 16 cm indiquent T p1 = 46, 4° C et T p2 = 41, 4° C . Donner l'expression de la conductivité thermique du cuivre h et calculer sa valeur numérique. I.A.5) Le refroidissement à l'extrémité de la barre est assuré par une circulation d'eau de débit volumique d v . En négligeant les fuites thermiques latérales, exprimer grâce à un raisonnement simple la variation de température de l'eau lors de la traversée du système de refroidissement. On pourra introduire la masse volumique et la capacité thermique massique de l'eau. I.B - Équation d'évolution de la température en régime variable Le générateur délivre maintenant une tension U ( t ) , ce qui entraîne une variation temporelle de la température en chaque point du barreau. Néanmoins, on conserve l'hypothèse d'uniformité de la température dans une section droite de la barre, ce qui permet d'écrire la température en un point sous la forme T ( z, t ) . Analyse qualitative I.B.1) D'une manière générale, le phénomène de diffusion thermique ne peut faire intervenir que les caractéristiques pertinentes du matériau, à savoir la Concours Centrale-Supélec 2009 2/13 PHYSIQUE I Filière PC conductivité thermique h , la capacité thermique massique à pression constante ­1 ­1 ­3 c p = 380 J u kg u K et la masse volumique l = 8870 kg u m . Montrer à l'aide d'une analyse dimensionnelle, qu'il est possible de construire un coefficient de 2 ­1 diffusion D exprimé en m s à partir de ces trois grandeurs. I.B.2) Le coefficient de diffusion D peut s'exprimer directement en fonction de la résistance thermique linéique r th (résistance thermique par unité de longueur de la barre) et de la capacité thermique linéique c th . Exprimer r th et c th et donner l'expression de D faisant intervenir ces deux grandeurs. Pour le cui­4 2 ­1 vre, la valeur numérique du coefficient de diffusion D est D = 1, 19 u 10 m u s . I.B.3) Quel est l'ordre de grandeur 6t , de la durée nécessaire pour qu'une modification brutale de la température en un point d'abscisse z 1 atteigne un point d'abscisse z 2 = z 1 + 6z ? La barre de cuivre utilisée a une longueur L = 0, 5 m . Donner une estimation de la durée du régime transitoire précédant le régime stationnaire étudié au paragraphe I.A. Quelles conséquences pratiques peut-on en déduire ? Équation de la chaleur I.B.4) Établir l'équation de diffusion thermique, dite « équation de la chaleur », à partir d'un bilan énergétique effectué pour la portion de barre comprise entre z et z + dz . I.B.5) Pourquoi peut-on dire que le phénomène de diffusion thermique est irréversible ? I.C - « Ondes thermiques » Dans cette partie, la tension délivrée par le générateur est sinusoïdale : U ( t ) = U 0 2 cos ( 1t ) . Dans ce cas, en régime périodique établi, la réponse de chaque capteur oscille autour d'une valeur moyenne spécifique à chacun d'entre eux : T ( z, t ) = T p ( z ) + e m ( z ) cos ( tt + ( z ) ) . Par exemple, la figure 2 représente les graphes des fonctions T ( z 1, t ) et T ( z 2, t ) avec z 1 = 8 cm et z 2 = 16 cm . I.C.1) Mesurer sur cette figure les amplitudes e m ( z 1 ) et e m ( z 2 ) ainsi que le déphasage ( z 2 ) ­ ( z 1 ) exprimé en radians. I.C.2) Mettre la puissance électrique dissipée dans la résistance chauffante sous la forme p ( t ) = P 0 + P 0 cos ( tt ) en explicitant P 0 en fonction de U 0 et R ch . Relier t et 1 . Quelle est la fréquence de la tension aux bornes du générateur dans l'expérience dont les résultats sont présentés en figure 2 ? I.C.3) Justifier que e ( z, t ) = e m ( z ) cos ( tt + ( z ) ) vérifie l'équation différentielle de la diffusion thermique. Afin de déterminer les fonctions e m ( z ) et ( z ) , on utilise la représentation complexe pour e ( z, t ) en posant e ( z, t ) = A exp ( j ( tt ­ K z ) ) . Concours Centrale-Supélec 2009 3/13 PHYSIQUE I Filière PC Écrire l'équation vérifiée par le nombre complexe K et montrer qu'il peut se mettre sous la forme 1­ j K = ¡ ----------- avec ¡ = ± 1 . b Exprimer b en fonction de h , l , c p , t puis de r th , c th , t . I.C.4) Préciser la valeur de ¡ sachant que la barre de cuivre peut être considérée comme semi-infinie pour le signal sinusoïdal. En déduire les expressions de e m ( z ) et ( z ) . Une longueur de 50 cm vous semble-t-elle suffisante pour que cette approximation soit valable ? I.C.5) Déterminer à partir des résultats expérimentaux de la figure 2, la valeur numérique de b de deux manières différentes. I.C.6) On utilise souvent le terme « ondes thermiques » à propos de ce type d'expérience. Quels adjectifs utiliseriez-vous pour caractériser cette « onde » ? Evolution des températures en deux points de la barre 50 48 Température en °C 46 44 42 40 38 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Temps en s Figure 2 : températures en deux points de la barre Concours Centrale-Supélec 2009 4/13 PHYSIQUE I Filière PC Partie II - Analogie électrocinétique et discrétisation de l'équation de diffusion Les ondes thermiques abordées dans la section I.C peuvent être étudiées expérimentalement sur un modèle électrocinétique discret, facilement réalisable dans le laboratoire de votre lycée. On considère tout d'abord une chaîne infinie de cellules, associant chacune un conducteur ohmique de résistance R et un condensateur de capacité C . Cette ligne est alimentée par un générateur idéal de tension sinusoïdale de force électromotrice e ( t ) = U 0 costt . En régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes du nième condensateur est de la forme u n ( t ) = U n cos ( tt + n ) , représentée en notation complexe par u n . u0 u1 un un 1 un+1 un + 2 Figure 3 II.A - Chaîne de cellules RC en régime sinusoïdal forcé II.A.1) Établir la relation de récurrence liant les amplitudes complexes u n des diverses tensions aux bornes des condensateurs. On pourra utiliser la loi des noeuds exprimée à l'aide des tensions. n II.A.2) On cherche une solution de la forme u n = k u 0 . Montrer que de telles solutions existent si k vérifie une condition à expliciter. II.A.3) On se place dans l'hypothèse RCt « 1 . Montrer que k · 1 ± ( 1 + j ) RCt / 2 au deuxième ordre près en RCt . II.A.4) Interpréter physiquement le caractère complexe de k . Déterminer k au même ordre d'approximation que précédemment. Lever alors l'indétermination de signe dans l'expression de k . II.B - Choix du nombre de cellules II.B.1) Comme RCt « 1 , k est proche de l'unité. Montrer que l'amplitude U n de u n ( t ) présente alors une décroissance quasi exponentielle du type U n / U 0 · exp ( ­ n / n 0 ) . Exprimer n 0 . II.B.2) En pratique, on peut se contenter d'un nombre fini de cellules électrocinétiques. Combien de cellules faut-il prendre, à R , C et f fixés, pour que l'on puisse considérer la chaîne ci-dessus comme infinie ? Concours Centrale-Supélec 2009 5/13 PHYSIQUE I Filière PC II.C - Validation expérimentale Le tableau ci-dessous consigne des résultats expérimentaux à R et C fixés. On s cherche à savoir si ces données sont modélisables sous la forme n 0exp = A f : Fréquence f 200 350 500 650 n 0exp 4,0 3,0 2,5 2,2 II.C.1) À l'aide d'une représentation graphique simple, montrer que le modèle proposé est en accord avec les données expérimentales. Estimer la valeur de s . Comparer aux résultats de la question II.B.1. II.C.2) Sachant que R = 1, 0 k1 , calculer la valeur numérique de la capacité des condensateurs utilisés. II.D - Discrétisation de l'équation de diffusion Les condensateurs sont repérés par leur position x n = na où a est la taille caractéristique d'une cellule. On introduit une fonction u ( x, t ) , des variables x et t , telle que la tension u n ( t ) (non nécessairement sinusoïdale) aux bornes du nième condensateur se note u n ( t ) = u ( na, t ) = u ( x n, t ) . II.D.1) On suppose que la variation spatiale de la fonction u ( x, t ) est petite sur une échelle de distance de l'ordre de a . Montrer alors que u ( x, t ) vérifie l'équation différentielle 2 , 1 , u ----- u ( x, t ) = ----- --------2- . ,t rc ,x Préciser l'expression du produit rc en fonction de R , C et a , ainsi que son unité. II.D.2) On désire construire une analogie entre la diffusion thermique dans la barre isolée latéralement (étudiée dans la Partie I ) et la propagation de signaux électriques dans la chaîne de composants électriques abordée dans cette seconde partie du problème. Reproduire et compléter sur votre copie le tableau ci-dessous qui regroupe les grandeurs physiques analogues. Thermique T ( x, t ) ­ T 0 lc p un + 1 ­ un -------------------------R Électrocinétique rc b R 2 II.D.3) Soit la grandeur ( u n + 1 ­ u n ) / ( RT ) , où T désigne la température de la pièce où a lieu l'expérience. Cette grandeur possède-t-elle un équivalent dans le cas de l'expérience thermique ? Quel rapprochement peut-on faire avec la question I.B.5 ? II.D.4) Proposer, sans justification, un schéma du montage à réaliser pour simuler les phénomènes thermiques dans une barre présentant des pertes ther- Concours Centrale-Supélec 2009 6/13 PHYSIQUE I Filière PC miques par la surface latérale. La température extérieure est identique à la température à l'extrémité du barreau. Partie III - Étude d'un détecteur pyroélectrique Des matériaux cristallins non centro-symétriques présentent une polarisation volumique spontanée P ( T ) variant fortement avec la température. Cet effet pyroélectrique est particulièrement important dans LiNbO 3 ou LiTaO 3 . Bien que l'effet pyroélectrique soit connu depuis les travaux de Brewster en 1824, il n'a été exploité qu'à partir de 1970 pour développer des capteurs très sensibles et très robustes de flux lumineux modulé, utilisables à la température ambiante. L'effet pyroélectrique d'un matériau est caractérisé par son coefficient pyroélectrique p liant la variation de polarisation à la variation de température. Par exemple, pour un cristal polarisé suivant l'axe Ox , on a en première approximation P x ( T ) = P x ( T 1 ) + p ( T ­ T 1 ) . Nous proposons d'analyser le fonctionnement d'un capteur pyroélectrique formé d'un fin film de LiTaO 3 , métallisé sur les deux faces afin d'assurer les contacts électriques. Les valeurs numériques utilisées dans ce problème correspondent aux données indiquées par le fabricant de ce composant optoélectronique. III.A - Existence d'un courant en régime thermique variable ­5 ­2 ­1 Pour LiTaO 3 , le paramètre pyroélectrique p vaut p = 17 u 10 C u m u K . ,T Établir la relation générale i = Sp ------- liant l'intensité du courant traversant le ,t film cristallin de surface utile S , placé perpendiculairement à l'axe Ox , à l'évolution temporelle de la température du matériau. III.B - Évolution de la température du film de tantalate de lithium LiTaO 3 en régime forcé Film cristallin Le film cristallin, d'épaisseur e = 25+m et Capteur 2 Thermostat Support Fluxlumineux lumineux T (t) de surface S = 4 mm , est fixé sur un sup- Flux pyroélectrique T \ ( t ) 1 T (t) T(t) l port dont la température est maintenue à la valeur T 1 . Les échanges énergétiques par conduction thermique entre le film de ­4 ­1 capacité thermique C T = 3, 1 u 10 J u K et le support sont modélisés par une résistance thermique de valeur RT ­1 R T = 512 K u W . Le cristal est éclairé par Conducteur un laser modulé, délivrant une puissance Figure 4 thermique lumineuse (appelée flux lumineux) \ l ( t ) de la forme \ l ( t ) = \ 0 + \ m cos ( tt ) avec \ m = 1+W . La fréquence de modulation est en général de l'ordre de 1Hz . Tout le flux est absorbé par le capteur pyroélectrique. 0 Concours Centrale-Supélec 2009 7/13 PHYSIQUE I Filière PC III.B.1) On suppose que la température dans le film cristallin est uniforme. On la note T ( t ) . Montrer que cela nécessite que l'épaisseur du film soit faible devant une longueur caractéristique à déterminer. Cette hypothèse est-elle validée, sachant que la conductivité thermique du cristal est voisine de 100 SI ? III.B.2) En exploitant l'unité de la résistance thermique, écrire la relation entre la différence de température T ( t ) ­ T 1 et la puissance thermique cédée par le film au support. III.B.3) Montrer que la température T ( t ) vérifie l'équation différentielle : dT T ­ T 1 + ----------------- = A + B cos ( tt ) . oT dt Exprimer les constantes A , B et o T . III.B.4) Lorsque le flux lumineux n'est pas modulé \ l = \ 0 et la température du cristal prend la valeur T = T 0 . Exprimer T 0 en fonction de T 1 , \ 0 et R T . III.B.5) On pose dans la suite e ( t ) = T ( t ) ­ T 0 et on revient à un flux modulé sinusoïdalement de composante alternative \ a ( t ) = \ m cos ( tt ) . Montrer en utilisant la représentation complexe associée à ces fonctions sinusoïdales que \a RT e = ----------------------- . jto T + 1 III.B.6) On prend une fréquence de modulation égale à 1 Hz . Calculer les valeurs numériques de l'amplitude des oscillations de température et du déphasage entre e ( t ) et \ a ( t ) . III.C - Conversion pyroélectrique III.C.1) Relier en notation complexe l'intensité i du courant électrique traversant le film au flux \ a . III.C.2) En déduire l'amplitude des oscillations de courant dans le cristal pyroélectrique pour une fréquence de modulation de 1 Hz , sachant que ­5 ­2 ­1 p = 17 u 10 C u m u K pour LiTaO 3 . Commentaires. III.D - Conversion courant tension Lorsque le film de tantalate de Figure 5 Lithium est soumis à un flux lumineux modulé sinusoïdalement en intensité, il se comporte comme un générateur idéal de courant i ( t ) i(t) associé à un condensateur de capacité C e . Un conducteur ohmique de résistance très élevée Concours Centrale-Supélec 2009 - ' + Ce Re Montage de sortie u(t) 8/13 PHYSIQUE I Filière PC 9 R e = 24 u 10 1 est associé en parallèle au film pyroélectrique. Un montage de sortie construit autour d'un amplificateur opérationnel idéal complète l'ensemble. III.D.1) Quelle est la fonction du montage de sortie ? Sa présence est-elle nécessaire ? Peut-on utiliser dans cette expérience un amplificateur opérationnel du type de ceux utilisés en travaux pratiques ? u III.D.2) Établir l'expression du rapport --- en fonction de R e , C e et t . i III.D.3) En déduire u / \ a et donner l'expression littérale de l'amplitude de la tension de sortie dans les conditions expérimentales définies précédemment. III.E - Fonction de transfert du détecteur Le détecteur pyroélectrique délivre en sortie une tension u image du flux lumineux incident \ en entrée (ou du moins de la composante modulée de ce flux). On définit la fonction de transfert de ce filtre par H = u / \ a . Le fabricant de ce composant optoélectronique fournit le diagramme de réponse du capteur donné figure 6. III.E.1) Montrer que H ( jt ) peut se mettre sous la forme suivante : oT R e pS u 1 H = ------- = --------------- ---------------------- -------------------------------------------------------------------------jto e o T CT ( oT + oe ) £ \a 1 - + 1 + ----------------------¥¦ ¤ ----------------------------jt ( o T + o e ) ( oT + oe ) III.E.2) Quelle est la nature de ce filtre ? III.E.3) Mettre H sous la forme canonique Hm H = ---------------------------------------------. f f 0¥ ¥ £ 1 + jQ £ ---­ ----¤ ¤ f 0 f ¦¦ Expliciter les expressions littérales de H m , Q et de f 0 . III.E.4) Exploitation du diagramme de réponse donné par le constructeur. a) Préciser l'unité de cette fonction de transfert H . Pour quelle fréquence obtient-on une réponse maximale du capteur d'après le diagramme ? Donner la valeur numérique de l'amplitude de la tension de sortie pour cette fréquence. b) Estimer le facteur de qualité Q exp de ce capteur à partir du graphe donné par le constructeur. Justifier votre réponse par un schéma. c) Comparer Q exp au facteur de qualité Q th calculé à partir des valeurs des temps caractéristiques o e = 1, 49 s et o T = 0, 159 s . La figure 6 donne : Concours Centrale-Supélec 2009 9/13 PHYSIQUE I Filière PC · en ordonnée logarithmique : H = u / \ a pour une amplitude du flux lumineux égal à F 1 = 1+W . · en abscisse logarithmique : fréquence de modulation du flux lumineux en Hz ; 10000 1000 100 0,001 0,01 0,1 1 10 100 Figure 6: réponse du capteur pyroélectrique Partie IV - Interférences d'ondes thermiques Un dispositif d'interférométrie thermique comporte trois parties. Cavité thermique LASER Système optique Fréquences Électronique de résonance de traitement de la cavité Modulateur Al Détecteur Figure 7 Concours Centrale-Supélec 2009 10/13 PHYSIQUE I Filière PC Un modulateur fait varier périodiquement la puissance du faisceau lumineux, préalablement élargi, émis par un laser hélium-néon. Cette onde lumineuse éclaire ensuite la face noircie d'un film d'aluminium d'épaisseur 20+m , ce qui provoque une modulation de la température de ce film. L'onde thermique qui en résulte se propage vers le détecteur pyroélectrique à travers une zone remplie du gaz que l'on souhaite étudier. Cette cavité thermique est le siège d'interférences multiples d'ondes thermiques suite aux réflexions sur la feuille d'aluminium et le film du détecteur. La réponse du système est l'image de la température sur la surface de détection. Un traitement de cette réponse à l'aide d'un montage électronique permet de déterminer les fréquences de résonances thermiques. Par la suite, on note l la distance entre le film métallique et le détecteur pyroélectrique. IV.A - Élargissement du faisceau laser IV.A.1) Pourquoi la face avant du film d'aluminium est-elle noircie ? IV.A.2) Afin d'éclairer la plus grande surface possible du film métallique, il est nécessaire d'élargir le faisceau laser. Le dispositif optique utilisé comporte deux lentilles minces convergentes espacées de 12 cm . Le diamètre du faisceau parallèle en entrée est de 5 mm tandis que celui du faisceau parallèle de sortie vaut 25 mm . Faire un schéma indiquant la marche des rayons lumineux à travers ce système et calculer les valeurs numériques des deux distances focales. IV.B - Réflexion d'ondes thermiques à l'interface de deux milieux h 1 l 1 c p1 h 2 l 2 c p2 À l'interface de deux matériaux présentant des paramètres thermiques différents, des phénomènes de réflexion et de transmission d'ondes Milieu 1 Milieu 2 thermiques peuvent se produire. Nous nous limiterons à une analyse monodimensionnelle z 0 largement suffisante dans nos conditions expéFigure 8 rimentales. Dans ce contexte, nous considérons trois ondes e i ( z, t ) , e r ( z, t ) et e t ( z, t ) respectivement incidente, réfléchie et transmise. En l'absence d'ondes thermiques, la température sera supposée uniforme. IV.B.1) Quelle relation lie les fonctions e i ( z = 0, t ) , e r ( z = 0, t ) et e t ( z = 0, t ) ? IV.B.2) Traduire la conservation de l'énergie au niveau de l'interface. En déduire une relation entre les trois dérivées spatiales prises en z = 0 . IV.B.3) On suppose maintenant que l'onde thermique incidente est de la forme : z z e i ( z, t ) = A i exp £ ­ -----¥ cos £ tt ­ ----- + ¤ ¤ b 1¦ b1 Concours Centrale-Supélec 2009 ¥ , avec A > 0 i i¦ 11/13 PHYSIQUE I Filière PC On admet que les expressions des ondes réfléchies et transmises correspondantes s'écrivent : z b1 z · e r ( z, t ) = A r exp £¤ + -----¥¦ cos £¤ tt + ----+ z z¥ · e t ( z, t ) = A t exp £¤ ­ ----¦ cos £¤ tt ­ ----- + b2 ¥ pour l'onde réfléchie, avec A positif. r r¦ b1 b2 ¥ pour l'onde transmise, avec A positif. t t¦ Justifier la forme des expressions données ci-dessus. IV.B.4) Pourquoi peut-on utiliser la représentation complexe des fonctions sinusoïdales dans le cas du phénomène étudié ici ? Dans ce contexte, on notera : e i ( z, t ) = A i exp ( j ( tt ­ k 1 z + i ) ) = A i exp ( ­ jk 1 z )exp ( jtt ) ; e r ( z, t ) = A r exp ( + jk 1 z )exp ( jtt ) ; e t ( z, t ) = A t exp ( ­ jk 2 z )exp ( jtt ) . IV.B.5) Écrire deux relations liant les amplitudes complexes A i , A r et A t en utilisant les paramètres h 1 , b 1 , h 2 et b 2 . IV.B.6) On introduit les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude r = A r / A i et t = A t / A i . Déterminer les expressions littérales de ces coefficients en fonction de h 1 , b 1 , h 2 et b 2 puis en fonction des effusivités e 1 = h 1 l 1 c p1 et e 2 = h 2 l 2 c p2 . IV.B.7) Commenter physiquement les cas limites e 1 « e 2 et e 1 » e 2 . IV.C - Traitement de la réponse du détecteur En régime sinusoïdal forcé, la réponse du détecteur est de la forme u s ( l, t, t ) = f ( l, t ) costt + g ( l, t ) sintt et le modulateur délivre par ailleurs une tension u mod ( t ) = U mod costt . Les données pertinentes concernant le gaz étudié sont obtenues à partir de la fonction g ( l, t ) que l'on détermine à l'aide du montage électronique ci-dessous. Sortie du détecteur Figure 9 u us détec Sortie du modulateur R1 R1 Multiplieur Filtre à définir mod uumod R2 udeph umult u filt C2 Concours Centrale-Supélec 2009 12/13 PHYSIQUE I Filière PC IV.C.1) Montrer que le bloc (entouré en pointillés) construit autour de l'amplificateur opérationnel fonctionnant en régime linéaire permet de déphaser le signal u mod ( t ) . Montrer que u deph ( t ) et u mod ( t ) sont en quadrature de phase à condition d'imposer une relation, supposée vérifiée par la suite, liant R 2 , C 2 et t. IV.C.2) Le multiplieur est un composant analogique dont la tension de sortie ­1 u mult ( t ) est égale à u mult ( t ) = kv × u s ( t ) × u deph ( t ) avec kv = 0, 1 V . Exprimer u mult ( t ) et montrer que sa moyenne temporelle est de la forme < u mult ( t ) > = Cte × g ( l, t ) . IV.C.3) La fréquence de modulation du flux lumineux de chauffage est comprise entre 10 Hz et 1 kHz . Proposer un montage et des valeurs réalistes de composants, afin que le filtre situé en sortie du multiplieur délivre une tension de sortie u filt proportionnelle à g ( l, t ) . IV.D - Balayage en fréquence On fait varier très lentement la fréquence de modulation du flux lumineux pour l = 2, 00 mm . Les quatre premières fréquences de résonance de la cavité valent f 1 = 17, 4 Hz , f 2 = 70, 0 Hz , f 3 = 157 Hz et f 4 = 280 Hz . IV.D.1) Montrer que les fréquences de résonance f n s'expriment aisément en fonction de n . IV.D.2) Comment peut-on définir une longueur d'onde thermique R ther, n associée à l'onde étudiée ? Déterminer la dépendance de R ther, n en fonction de n . IV.D.3) Pouvez-vous proposer une analogie avec d'autres types d'ondes ? IV.D.4) Quelle information peut-on tirer de ce protocole expérimental au sujet du gaz étudié ? ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2009 13/13

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 Centrale Physique 1 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Jérôme Ropert (Professeur en CPGE), Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Ce sujet traite d'une méthode de mesure des propriétés thermiques d'un matériau : l'interférométrie d'ondes thermiques. Il est constitué de quatre parties. · Dans la première, on étudie l'équation de la chaleur à une dimension, tout d'abord en régime permanent. En la résolvant ensuite en régime sinusoïdal forcé, on introduit la notion d'ondes thermiques. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la propagation d'une onde électrocinétique dans une chaîne de cellules RC. On développe ensuite une analogie entre ce système et les ondes thermiques étudiées précédemment. · La troisième partie aborde la conversion d'un signal thermique en signal électrique à travers l'étude d'un détecteur pyroélectrique associé à un convertisseur courant-tension. · Enfin, dans la dernière partie, on étudie le comportement d'une onde thermique au passage d'une interface entre deux milieux. On applique ceci aux interférences d'ondes thermiques dans une cavité remplie d'un gaz et à leur utilisation comme méthode de mesure. Le sujet est très long et fait appel à de nombreuses parties du programme : il nécessite de bien maîtriser les cours de thermodynamique, de diffusion thermique, d'électrocinétique (notamment les filtres) et de manière générale la physique des ondes. En outre, il fait aussi intervenir plus brièvement des notions d'autres domaines comme l'optique géométrique. Il contient beaucoup de questions proches du cours, mais aborde parfois aussi des thèmes classiques sous des angles inhabituels. De plus, il comporte de nombreuses questions qualitatives nécessitant du recul et un bon sens physique. Indications Partie I I.A.5 Exprimer l'énergie transmise au barreau de cuivre pendant un temps t. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au volume d'eau V = dv t, en négligeant le travail des forces de pression. I.B.2 Calculer la capacité thermique globale de la barre, puis la rapporter à sa longueur. Procéder de même pour la résistance thermique qui vérifie T(0) - T(L) = Rth P. I.B.5 L'équation décrivant un phénomène irréversible n'est pas invariante par renversement du temps. I.C.1 Pour identifier les deux profils, utiliser le fait que la température moyenne est plus élevée en z1 qu'en z2 . I.C.4 La barre peut être considérée comme infinie si l'amplitude de l'onde thermique est négligeable en z = L. I.C.5 Utiliser l'information concernant l'amplitude des signaux et leur déphasage. Partie II II.A.1 Utiliser la loi des noeuds en tension, ou le théorème de Millman, pour déterminer un en fonction de un+1 et un-1 . II.D.2 Dans le tableau de l'énoncé, lire T(z, t) - Tp (z) à la place de T(x, t) - T0 , remplacer R par R/a, et cp par cp d2 /4. II.D.3 La grandeur considérée a la dimension de la dérivée par rapport au temps d'une entropie. Faire le bilan de l'entropie échangée et de l'entropie créée par un tronçon de barre de cuivre. Partie III III.A La variation de polarisation génère une densité de courant électrique - P - = t III.B.1 Calculer la longueur sur laquelle l'onde thermique s'atténue. Attention à l'unité de CT pour calculer la diffusivité thermique du film cristallin ! Partie IV IV.C.1 Écrire le théorème de Millman à l'entrée + et à l'entrée - de l'amplificateur opérationnel. IV.C.3 Utiliser un filtre passe-bas pour éliminer la composante continue d'un signal. Conseils du Jury Le rapport mentionne que « les aspects expérimentaux occupaient une large place dans le problème, en accord avec l'esprit de la filière PC », et qu'« il était nécessaire d'avoir de bonnes connaissances, et de savoir les adapter pour mener à bien cette étude originale. Cela nécessitait des qualités de réflexion et d'adaptation, qualités essentielles au métier d'ingénieur. » Si le barème était à peu près équilibré entre les quatre parties, les candidats ont passé beaucoup plus de temps sur la partie I, et le jury regrette que la partie IV n'ait pas pu être plus traitée à cause de la longueur du sujet, alors qu'elle constituait « une belle étude originale et intéressante. » Le rapport note toutefois que « l'aspect varié du sujet avec de nombreuses questions largement indépendantes a permis à tous les candidats de pouvoir valoriser leurs connaissances dans l'un au moins des domaines abordés. » Le rapport du jury insiste également sur plusieurs points : · Ce n'est pas parce que l'expression à démontrer est donnée par l'énoncé qu'il faut « mener des raisonnements totalement aberrants » ou changer les signes des expressions en cours de calcul pour la trouver à tout prix. « Cette attitude est lourdement sanctionnée. » · « Les candidats devraient réfléchir à tous les phénomènes de transport rencontrés dans le cadre du programme, et à la signification du vecteur densité de courant associé. » Dans la partie II, « si les questions d'électrocinétique ont été relativement bien traitées, l'analogie avec la diffusion thermique n'a pas été vue, même par les très bons candidats. » · Les questions de cours, en particulier, doivent faire l'objet de beaucoup de rigueur dans la rédaction. Enfin, le jury déplore que « les mesures graphiques aient été rarement traitées, les applications numériques rarement faites, et souvent fausses, ou données avec trop de chiffres significatifs. » La lecture du graphique en échelle logarithmique (figure 6) a également posé beaucoup de difficultés. I. Étude de la diffusion thermique I.A Étude du régime stationnaire I.A.1 La barre de cuivre est chauffée en z = 0 et refroidie en z = L. La tempéra-- est ture T ne dépendant que de z, le vecteur gradient thermique grad T = dT/dz - u z orienté dans le sens des z décroissants. La loi de Fourier s'écrit -- - Q = - grad T · Le flux thermique à travers la section S du barreau, d'aire S = d2 /4, étant ZZ - - P= Q · d S = S jQ S [P] M la densité de courant thermique est une puissance surfacique : [- Q ] = 2 = 3 ; L T -- · le gradient de température a pour dimension [grad T] = ; L [P] ML = 3 . · enfin est la conductivité thermique du matériau : [] = L T On peut également s'aider d'un raisonnement en termes d'unités : - Q s'ex-2 -- -1 -1 -1 prime en W.m , grad T en K.m et en W.m .K . Toutefois, comme le souligne le rapport, il faut veiller à ne pas confondre les notions de dimension et d'unité de mesure. I.A.2 La résistance chauffante fournit au barreau de cuivre, par effet Joule, une puissance U0 2 P ch = Rch Cette puissance étant intégralement transmise au barreau, P = P ch et le flux thermique surfacique en z = 0 est - Q (z = 0) = 2 P - = 4 U0 - u u z z d2 /4 d2 Rch I.A.3 Le régime étant stationnaire et les parois latérales du barreau isolées, l'énergie dans un tronçon de la barre compris entre les surfaces d'abscisses z et z + dz est conservée. En l'absence de source thermique interne au barreau, et de travail mécanique, il en découle l'égalité des flux thermiques S jQ (z) = S jQ (z + dz) soit djQ =0 dz Le flux thermique surfacique est donc uniforme. D'après la loi de Fourier introduite à la question I.A.1, il vient d2 T =0 dz 2