Centrale Physique 1 PC 2007

Thème de l'épreuve Étude de certains phénomènes colorés
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, mécanique du point, optique ondulatoire, dipôle oscillant
Mots clefs absorption, réseau, lame mince, spectre lumineux, bleu du ciel, indice optique, irisation, plume de paon

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2007 Épreuve : PHYSIQUE I Filière PC PHYSIQUE ! Filière PC PHYSIQUE l Le problème étudie l'interprétation de certains phénomènes colorés de la vie quotidienne. L'usage de tout type de machine à calculer est autorisé mais inutile pour cette épreuve. Les applications numériques ne portent que sur des ordres de grandeur aisément détermina- bles « a la main ». Les différentes parties sont largement indépendantes. Tout résultat fourni par l'énoncé pourra être utilisé dans la suite sans justification. Données : on note j le nombre de partie imaginaire positive et de carré --1 . Masse du proton : 1, 7 - 10_27 kg Charge de l'électron : -- e = --1, 6 - 10_19 C Célérité de la lumière dans 8 --1 le vide: 3 10 m S Masse de l'électron : 9, 1 - 10_31 kg Perméabilité magnétique du vide : u0 : 4u10_7(SI) Formulaire : pour deux grandeurs a et ?) variant sinusoïdalement en fonction du temps avec une pulsation commune 0) , a(x, y, z, t) : Re(al(x, y, z)e"oe') et b(x, y, z, t) : Re(bl(x, y, z)e'°") , la moyenne temporelle de leur produit est {ab} : %Re(a1 - b1*) , où Z"< désigne le conjugué de Z. Partie I - Couleurs « par transparence » I.A - Le spectre lumineux humainement visible I.A.1) Entre quelles longueurs d'ondes se situe le spectre des ondes lumineu- ses humainement visibles ? I.A.2) Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux cou- leurs rouge et violette. On s'intéresse dans la suite de cette partie à la propagation d'ondes electroma- gnétiques dans un milieu diélectrique non magnétique, linéaire, homogène, iso-- tr0pe, en l'absence de charges et de courants libres. Concours Centrale-Supé/ec 2007 1/12 PHYSIQUE ! Filière PC Filière PC I.B - Détermination de la permittivité diélectrique relative complexe gr du milieu dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié Lorsqu'une onde lumineuse se propage dans un milieu diélectrique, son champ électromagnétique interagit avec les électrons (de charge --e , de masse m) des atomes du milieu. L'étude de cette interaction permet de caractériser le milieu diélectrique par la constante macroscopique gr. Le noyau d'un atome, supposé fixe, est situé au point 0 . La position d'Ëlectron de cet atome, situé au point M , est repérée par le vecteur position OM : r. Les interactions électrostati-- ques exercées sur l'électron par les agtres charges de l'atome se réduisent à une force de rappel élastique notée --moeä r. I.B.1) Quelle est la dimension de la grandeur oe0 '? Que représente-t-elle '? Le déplacement de l'électron est cqntrarié par des forces de friction : leur résul-- tante, qui s'oppose à la vitesse v : dr /dt de l'électron, est notée --my v (où y est une constante positive). I.B.2) Écrire l'équation du mouvement de l'électron lorsqu'il est de plus sou- mis au champ électromagnétique extérieur. I.B.3) a) Comparer la taille d'un atome aux longueurs d'ondes du spectre visible. Quelle hypothèse peut--on faire alors quant au champ électromagnétique de l'onde lumineuse à l'échelle de l'atome ? b) Pourquoi peut-on négliger l'influence du champ magnétique de l'onde lumineuse ? \ c) Pourquoi est-il possible de limiter notre étude a un champ électrique monochromatique ? (1) Est-il légitime de se borner à l'étude d'un champ électrique à polarisation rectiligne ? On a désormais recours à la notation complexe et on écrit le champ électrique E : Eee]... , où EO est un vecteur constant et uniforme et m une pul-- sation du domaine du visible. I.B.4) On étudie le mouvement de l'électron en régime permanent. a) Qualifier d'un adjectif le régime d'oscillations. b) Donner l'expression de la position î" de l'électron. I.B.5) Concours Centrale-Supé/ec 2007 2/12 PHYSIQUE ! Filière PC a) Déterminer l'expression du moment ?? du dipôle électrique constitué par l'électron et un proton du noyau. On appefie n la densité volumique d'électrons du milieu sensibles à l'onde lumineuse. Tous ces électrons sont caractérisés par les mêmes constantes (00 et y . b) Exprimer le vecteur--polarisation ?, densité volumique des moments dipo- laires 2 ,en fonction de à 0), 80, oe...y,l_fÎ et (op : ./ne2/(eom). I.B.6) On souhaite évaluer l'ordre de grandeur de (op . a) En supposant que le milieu est dense et que chaque atome possède un seul électron sensible au champ électromagnétique extérieur, donner un ordre de grandeur numérique de la densité n d'électrons, puis de la pulsation (op . b) À l'aide des données fournies en début d'énoncé, justifier a posteriori l'hypo-- thèse d'immobilité des noyaux des atomes. I.B.7) On rappelle que dans un milieu diélectrique linéaire, homogène, iso-- % trope, £ s'exprime par : + + + È : 80(ër--1)1Ë : 80XeE° où gr est la permittivité diélectrique relative du milieu ; g,. et >_çe sont a priori complexes. a) Quel nom donne-t-on à la grandeur >_çe '? Préciser sa dimension. b) Quelle valeur, exprimée en fonction de y et (00 , faut-il donner à la constante Q pour pouvoir écrire . >_> ? (1) Pour l'aigue--marine, oe0 z 4, 5 - 1014 rad -- s_1 . Quelle est sa couleur « par transparence >> ? I.E.3) a) L'eau possède-t--elle des valeurs de 000 dans le visible ? b) L'eau d'une piscine chauffe au soleil, pourquoi ? I.E.4) Une application à la mesure en chimie Certaines solutions aqueuses sont colorées. Comment varie la norme de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting moyen  t12 : nl + 112 r _ n1--n2 ) 12 -- nl + n2 Concours Centrale-Supé/ec 2007 8/12 PHYSIQUE ! Filière PC III.A - En lumière monochromatique L'onde incidente est une onde plane monochromatique de longueur d'onde dans le vide >». III.A.1) En incidence normale, évaluer numériquement le rapport lE1/EO| des amplitu- des des rayons (1) et (O). III.A.2) Évaluer de même |E2/Eol» lE2/El| et lE3/E21. Justifier qu'on peut désormais se limiter aux rayons réfléchis (1) et (2) uniquement. On fait l'hypothèse que les rapports d'amplitudes précédents restent inchangés quels que soient les angles d'incidence et les polarisations des ondes considé- rées. III.A.3) a) Ecrire l'intensité lumineuse réfléchie sous la forme I : 10{1+Ccos(â--Ïô)] où C est un coefficient que l'on déterminera en fonction de lE2 /E1l et 6 la diffé- rence de marche entre les rayons (1) et (2). Évaluer numériquement C. Que dire de la visibilité des franges ? Tracer l'allure de la courbe I (ô)/ I . b) Établir l'expression / 2 ô=2ne 1--Ê1-Ï-l--Ï+}â. n 2. c) Pour la valeur de n considérée, la valeur de f (i) = /1 -- Sii; décroît de 1 à n2 environ 0,75 lorsque i varie de 0 a at/ 2 . Esquisser l'allure de la courbe f (i )) pour ce domaine de variation. d) Pour 6 : À/ 10 , la fonction . _ 43me 1 sin2i g(z)- }» _? décroît de 4OJt à 3071: lorsque i varie de 0 à at/2. Tracer l'allure de la courbe I (i)/ I 0 pour ce domaine de variation. III.B - Irisations La couche d'huile est éclairée en lumière blanche. III.B.1) Expliquer la présence d'irisations. III.B.2) Comment s'y prendre concrètement pour observer les différentes tein-- tes à la surface de la couche d'huile '? Concours Centrale-Supé/ec 2007 9/12 PHYSIQUE ! Filière PC III.B.3) Donner un ordre de grandeur de la valeur maximale de l'épaisseur d'huile permettant l'observation des différentes teintes colorées. Comment nomme-t--on la couleur observée si l'épaisseur d'huile devient supérieure à cette valeur seuil ? Partie IV - Couleurs par diffraction On envisage un réseau par transmis-- sion constitué d'une surface plane ne lais- @ sant pas passer la lumière et percée de N fentes parallèles de largeur e et de / '\ Z . longueur L reguhe-- -- ---------- > L rement espacées. Elles forment ainsi un motif répété Vue de profil périodiquement (période a ). On considère que L » e et que L est très grand devant les longueurs d'onde ?» du domaine visible. L'indice de l'air est pris égal à 1. A l ;-- V A .D-- V \\\\\\\\\» «< ° \\\\\\\\\ IV.A - Seuls des faisceaux lumineux parallèles sont envisagés. La direction de la lumière incidente est contenue dans le plan ( yOz) . Pourquoi peut- on considérer que la direction de la lumière diffractée est également contenue dans ce plan ? IV.B - IV.B.1) On note g0(i, EUR),e, >») l'amplitude diffractée par la première fente (0) dans la direction 6 . Justifier que l'amplitude diffractée dans la même direction par la fente suivante (1) ne diffère de c_zO que par l'ajout d'une phase supplémen- taire cp que l'on déterminera en fonction de i, 6 , a et À la longueur d'onde de la lumière incidente. IV.B.2) On admet que l'amplitude diffractée par le réseau peut s'écrire comme le produit de l'amplitude diffractée par un unique motif (la fente (0) par exem- ple) et d'un terme d'interférence a N ondes, noté % (N , cp) indépendant de la nature des motifs. Montrer que l'intensité diffractéfilans la direction 9 par les N fentes peut s'écrire sous la forme lC--'02lI (N , cp). Exprimer I (N , cp) en fonction de % (N , cp) . A quelle(s) condition(s) portant sur e peut--on considérer c_zO comÊe indépendante de 6 et de i ? On se placera désormais dans ce cas. Concours Centrale-Supé/ec 2007 10/12 PHYSIQUE ! Filière PC IV.B.3) On donne l'allure de la courbe I(N,cp) en fonction du déphasage cp : figure ci--contre. 1/1 1l1 max Pour quelles valeurs ... ... .... A.. > de EUR) l'intensité dif- --4fl3 --2fi 0 \2OE 211: 4113 cP fractée est--elle N maximale lorsque N devient grand ? IV.C - La surface d'un disque compact est modé- lisée par un ensemble de miroirs parallèles identi- ques aux fentes précédentes : IV.C.1) Montrer que le résultat précédent reste valable à condition de remplacer cp par une phase cp'(i, 6', a, >») à déterminer. Pour un dis- que compact a = 1, 6 um. Le disque est désormais éclairé en incidence normale. IV.C.2) Proposer un dispositif expérimental permettant d'observer la lumière diffractée dans les conditions décrites précédemment. IV.C.3) Y a-t--il mélange des ordres en lumière blanche ? IV.C.4) Peut-on voir son propre reflet dans un disque compact comme dans un miroir ? Les couleurs sont-elles modifiées ? IV.D - Les barbules des plumes de paon contiennent des bâtonnets de mélanine (pigment brun foncé qui donne sa coloration à la peau) opaques noyés dans de la kératine (protéine fibreuse transparente d'indice n = 1, 5 ). Chaque bâtonnet constitue un obstacle qui diffracte la lumière (comme les miroirs précédents). Les bâtonnets sont régulièrement répartis dans la kératine au niveau des noeuds d'un réseau cubique simple (N x bâtonnets dans la direc- tion x , N y bâtonnets dans la direction y, NZ bâtonnets dans la direction 2 ). Comme précédemment, seuls les rayons contenus dans le plan ( yOz) sont pris en compte. On suppose l'amplitude diffractée indépendante de Nx : tout se passe comme si les bâtonnets avaient une longueur L dans la direction x très Concours Centrale-Supé/ec 2007 11/12 PHYSIQUE I Filière PC supérieure à a et ?» . On note c_z1 l'amplitude (supposée constante) diffractée par un unique bâtonnet. On s'intéresse à la lumière diffractée par chaque bâtonnet dans la direction r' = -- r de la réflexion spéculaire. IV.D.1) Soit cpy le déphasage entre les ondes diffractées par deux bâtonnets plus proches voisins dans la direction y et de même coordonnée z : bâtonnets (i, j ) et (i + 1, j) . De même, cpz est le déphasage entre les ondes diffractées par deux bâtonnets plus proches voisins dans la direction 2 et de même coordonnée y : bâtonnets (i, j) et (i, j + 1). En utilisant le résultat donné a la question IV.B.2, montrer que l'intensité diffractée est proportionnelle à \@1'\1(Ny,cpy) -I numerique. . . (O, 0). (07.1) (O., N2_ 1) IV.D.5) On se place en incidence normale i = 0. Que valent alors cpx et cpy ? En observant les taches colorées des plumes de paon on peut voir un centre bleu-noir (bâtonnets distants de O, 16 um) entouré d'une tache ovale tur- quoise (bâtonnets séparés de O, 17 um) ceinte d'une couronne extérieure brun-- rouge (bâtonnets séparés de 0,21 um ). Interpréter ces différentes teintes. ooo FIN ooo Concours Centrale-Supé/ec 2007 12/12

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 Centrale Physique 1 PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par Corentin Coulais (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet propose d'étudier l'interprétation de certains phénomènes colorés de la vie quotidienne. Il se compose de quatre parties très largement indépendantes. · La première partie, de loin la plus longue, étudie l'influence de l'absorption sur la couleur des diélectriques, en se basant sur le modèle de l'électron élastiquement lié. Une bonne maîtrise des calculs est nécessaire pour pouvoir interpréter correctement les situations proposées en fin de partie. · Dans la deuxième partie, on étudie le problème de la diffusion de la lumière par un dipôle oscillant, qui conduit à l'interprétation classique du bleu du ciel. La dernière question fait appel à des notions hors programme (diffusion de Mie). · La troisième partie traite du problème des couleurs observées à la surface d'une goutte d'huile flottant sur l'eau. C'est une application presque directe du cours, aussi cette partie est-elle la moins délicate de l'ensemble du problème. · Enfin, la dernière partie traite des couleurs obtenues lors de la diffraction par un réseau. Si son début est relativement classique, sa fin est assez difficile mais elle permet de comprendre l'origine des couleurs du paon. Ce problème est, comme à l'accoutumée pour le concours Centrale, particulièrement long. Il aborde un grand nombre de points du programme de PC : électromagnétisme dans les milieux, rayonnement du dipôle oscillant, interférences et diffraction. La variété des situations présentées permet de faire le lien entre des modèles parfois abstraits et des situations rencontrées dans la vie courante, ce qui en fait un problème de révision intéressant. Il reste cependant très proche du cours pour la quasi-totalité des questions. Indications Partie I I.B.2 Négliger la pesanteur devant les autres forces. I.B.3.b Estimer le rapport entre les deux termes de la force de Lorentz, en supposant que l'onde incidente est plane. I.B.6.a Comme milieu dense, on peut considérer par exemple l'eau liquide à pression et température ambiante. I.C.4 Chercher une relation entre B0 et E0 en insérant la solution proposée pour le champ dans l'équation de Maxwell-Faraday. I.D.2.a La puissance volumique moyenne cédée par le champ aux charges s'écrit - - 1 Pmilieu = h- pol · E i = Re (- pol · E ) 2 I.E.1.c Comment se simplifie l'expression de l'indice complexe si r est négligeable ? I.E.2.a Simplifier l'égalité r - j r = (n - j n )2 en supposant n 1. I.E.4 Le milieu étudié étant peu concentré, on peut faire l'hypothèse r 1. Les sources de lumière utilisées ici ont une grande largeur spectrale : on ne se limite pas uniquement à la longueur d'onde d'absorption. Partie II II.A.2 Quelle est la relation entre le champ électrique et le champ magnétique ? II.B.3 Comparer la concentration des centres diffuseurs dans la fumée de cigarette et dans l'air. La fumée expirée contient, tout comme le brouillard, des gouttelettes d'eau de taille supérieure à la longueur d'onde. Peut-on dès lors appliquer les résultats des questions précédentes ? Partie III III.A.3.b Ne pas oublier le déphasage de à l'interface huile/eau, l'huile étant plus réfringente que l'eau. III.A.3.d Utiliser e = 10 au lieu de e = /10. III.B.3 Comparer le déphasage relatif entre les deux extrémités du spectre visible. Partie IV IV.D.1 Évaluer d'abord l'amplitude diffractée par un plan, puis celle diffractée de plan à plan. IV.D.2 Penser à prendre en compte l'indice du milieu dans le calcul de la différence de marche entre deux plans. IV.D.3 La condition de diffraction doit être satisfaite à la fois pour y et z . I. Couleurs « par transparence » I.A Le spectre lumineux humainement visible I.A.1 Le spectre des ondes lumineuses humainement visibles va de 400 nm (violet) à 800 nm (rouge) environ. Ces valeurs ne sont qu'un ordre de grandeur, chaque oeil ayant sa sensibilité propre, qui est maximale vers 550 nm, soit pour la couleur jaune-vert. I.A.2 La longueur d'onde (ici dans le vide) est reliée à la fréquence par la relation c avec c = 3.108 m.s-1 = On en déduit l'ordre de grandeur de la fréquence pour les couleurs rouge et violette. Couleur rouge : r 4.1014 Hz Couleur violette : v 8.1014 Hz Pour évaluer un ordre de grandeur, il n'est pas nécessaire de tenir compte d'un éventuel indice du milieu. I.B Détermination de la permittivité diélectrique relative complexe r du milieu dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié I.B.1 La force de rappel élastique subie par l'électron du fait des interactions avec les autres charges s'écrit - 2 - [F] 2- F = -m 0 r donc, dimensionnellement 0 = [m - r] D'après le principe fondamental de la dynamique 2 M.L.T-2 - [ F ] = M.L.T-2 donc 0 = M.L On en conclut [0 ] = T-1 0 a la dimension d'une pulsation. Elle représente la pulsation des oscillations libres de l'électron autour de sa position d'équilibre. On peut justifier la dépendance linéaire en - r de la force de rappel entre les différentes charges, en supposant que l'électron ne s'éloigne pas trop de sa position d'équilibre. La force d'interaction des autres charges sur l'électron étant d'origine électrostatique, elle dérive d'une énergie potentielle. À l'ordre le plus bas autour de la position d'équilibre, l'énergie potentielle d'interaction est quadratique et donc la force dont elle dérive est linéaire. L'appellation force de friction pour le terme -m - v est un abus de langage : l'origine de cette force n'est pas un frottement subi par l'électron mais le rayonnement électromagnétique engendré par son mouvement, qui lui fait perdre de l'énergie. Le choix d'une dépendance en - v pour cette force est purement phénoménologique. I.B.2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron, évoluant dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On néglige l'effet de la gravité devant les autres forces en présence. L'électron est alors soumis - · à la force de rappel Fr = -m 0 2 - r ; - · à la force de frottement F = -m - v ; f · à la force de Lorentz due à l'interaction avec le champ électromagnétique exté - - - rieur Fl = -e ( E + - v B ). L'équation du mouvement de l'électron s'écrit donc d- - - d2 - r d- r r 2- m = -m 0 r - m -e E + B dt2 dt dt Pour un champ électrique appliqué relativement faible de 1 V.m-1 mg 1.10-30 × 10 5.10-11 1 eE 1,6.10-19 × 1 Le poids de l'électron est donc toujours négligeable. I.B.3.a La taille typique d'un atome a pour ordre de grandeur d 10-10 m, c'està-dire, pour les longueurs d'onde du spectre visible, d Le champ vu par l'atome apparaît donc uniforme. On peut donc en négliger la dépendance spatiale. I.B.3.b Comparons l'ordre de grandeur des deux termes composant la force de Lorentz, l'onde lumineuse incidente étant assimilée à une onde plane. - - - - k- v Bk kBk v kEk v - car kBk = - c c kEk kEk Soit une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se pro - pageant dans le vide de vecteur d'onde k réel. L'équation de Maxwell­ Faraday s'écrit, en notation complexe, - - - j k E = j B - - - Dans le vide, la base ( k , E , B ) est directe. Il en résulte - k - 1 - kBk = kEk = kEk c