Centrale Physique 1 PC 2006

Thème de l'épreuve La neige
Principaux outils utilisés changement d'état du corps pur, relation de Clapeyron, lois de Coulomb sur le frottement, rayonnement dipolaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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o...... ...à... _ ...:e_oe>zn_ ää... m8w omäQ:OE .. OEOEÈOEQ mËoocoü . La neige Ce problème aborde divers aspects de la physique du manteau neigeux. Il com- porte trois parties totalement indépendantes. L' énoncé comprend en annexe un document réponse à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve. Partie I - Formation de la neige dans l'atmosphère LA - Équilibre d'un corps pur sous deux phases I. A. 1) Soit un système thermodynamique de température T et de pression P. Rappeler la définition de son enthalpie libre G ainsi que l'expression des déri- vées partielles 8G/ âT ) P et âG/ôP)T. I.A.2) Le système évolue de manière spontanée, sans échanger d'autre tra- vail que celui des forces de pression. Sa température et sa pression restent éga-- les à celles (TO, PO) du milieu extérieur. Montrer que G ne peut que diminuer. Que dire de G dans un état d'équilibre thermodynamique ? ' I.A.3) La transformation de la question précédente correspond àla variation d'une variable d'état x. A quelle co'ndition, portant sur G(T, P, x) , l'équilibre thermodynamique est-t--il établi pour une valeur particulière xeq de cette variable ? I.A.4) On considère une masse m d'un corps pur en équilibre sous deux pha- ses 1 et 2 ayant respectivement des masses m1 et m2 , pour volumes massiques u1 et u2 et pour enthalpies libres massiques gl(T, P) et g2(T, P). a) Exprimer son enthalpie libre G en fonction de m1 , m , g1 et g2. b) Montrer que pour T et P données il se trouve à l'équilibre lorsque g1(T,P) : g2(T,P) ' (1) I.A.5) a) Rappeler la relation entre la chaleur latente massique L1_, 2 de la transfor-- mation 1 --> 2 , la température d'équilibre T et les entropies massiques 51 et 32 de chaque phase. b) En envisageant l'équilibre entre les deux phases à deux températures très proches, démontrer la relation de Clapeyron dP L1_,2 : T(u2--ul)âî, (2) où P et T désignent les pression et température assurant l'équilibre des deux phases et L1_, 2 la chaleur latente massique de la transformation 1 --> 2 . I.B - Formation de cristaux de glace dans un nuage Données : Coordonnées du point triple _3 Tt : 273,16 K, Pt : 6, 1 -- 10 bar de l'eau LU : a -- bT où T est la température Chaleur latente de vaporisation en Kelvin de l'eau ' - a = 3, 08- 1061-kg"1 et b : 2,14-10'.'l--kg"1--K"1 5 --1 Lf = 3,33-10 J-kg , Chaleur latente de fusion de l'eau , _ , supposee indépendante de T Masse molaire de l'eau M = 18 - 10"3 kg -mol'1 , Constante des gaz parfaits R = 8, 31 J- K"1 -m01".1 On notera d'un indice 1 les quantités relatives à l'eau liquide, d'un indice g cel- les relatives àla glace et d'un indice v celles relatives à la vapeur d'eau. Pour traiter les questions suivantes, on négligera les volumes massiques de l'eau liquide et de la glace devant'celui de la vapeur. I.B.1) Le diagramme d'état de l'eau est donné sur la figure 5 (document réponse). Le compléter en précisant, dans chaque case prévue à cet effet, la forme stable de l'eau dans la zone du plan correspondant. Donner les noms des points A et B. I.B.2) Au point triple, exprimer la chaleur latente de sublimation Ls en fonc-- tion de celles fournies par l'énoncé. En utilisant la relation de Clapeyron, justi- fier qu'au voisinage du point triple la pente de la courbe relative à la sublimation est supérieure à celle relative àla vaporisation. I.B.3) On assimile la vapeur d'eau à un gaz parfait. Déterminer l'équation de la courbe du diagramme correspondant à la vaporisation, sous la forme P = f(T). I.B.4) Déterminer de même l'équation de la courbe correspondant àla subli- mation, en supposant que l'expression de la chaleur latente de sublimation obte- nue au I.B.2 reste valable pour toute température voisine de celle du point triple. I.B.5) Application numérique : pour une température de --12° C , calculer la pression Psat' g de la vapeur en équilibre avec la glace et la pression Psat,l de la vapeur en équilibre avec l'eau liquide (que l'on envisage dans un état métasta- ble). Porter sommairement les points correspondants sur la figure 5. I.B.6) On considère un nuage dans lequel la température supposée uniforme est de --12° C . L'eau est simultanément présente sous forme de vapeur, de gout- telettes liquides et de microcristaux de glace (voir figure 6 sur le document réponse). Pourquoi cet ensemble ne peut-il être en équilibre ? I.B.7) On admet que la vapeur est localement en équilibre près des gouttelet-- tes d'eau liquide d'une part, et près des microcristaux de glace d'autre part. Sur la figure 6, représenter la zone deforte pression par des signes + , la zone de basse pression par des signes -- et par une flèche le vecteur grad P. I.B.8) À cause de ce gradient de pression, il apparaît un mouvement de con- vection de la vapeur d'eau. Dans quel sens ? Parmi les deux phases condensées, l'une va disparaître au profit de l'autre. Laquelle ? I.C - Influence de la tension superficielle sur l'équilibre liquide--vapeur Dans cette partie, on note g,(T, P) et g,,(T, P) les enthalpies libres massiques de l'eau liquide et de l'eau vapeur, "1 et uv leurs volumes massiques. On néglige l'influence des pressions partielles en N 2 et 02 de l'air. I.C.1) On considère une masse d'air humide où la pression de vapeur d'eau est P. Elle est refroidie jusqu'à une température T telle que P > Psat(T). Que doit-il se passer ? En réalité, on constate souvent que la vapeur reste sèche, tant que P n'est pas nettement supérieur à P Les questions suivantes en propo-- sent une explication. sat ' I.C.2) Rappeler les expressions de ôgl/aP)T et ôgv/aP)T. I.C.3) On admet que u l est une constante : ul a 1, 00- 10--3m_ °kg_l . Exprimer la différence gl(T, P) -- gl(T, Po) où P et Po sont deux pressions quelconques. 3 1.0.4) On traite l'eau vapeur comme un gaz parfait. Exprimer «gv(T7P)--gv(T'PO)' ' 1.0.5) On considère la situation où la vapeur d'eau coexiste avec de l'eau liquide maintenue en surpression au moyen d'un piston perméable seulement à la vapeur (figure 1). À l'équilibre thermodynamique, la vapeur d'eau possède une pression saturante P'sat et le liquide une pression P'sat + P1, P1 désignant la surpression. En adap- tant la condition d'équilibre de la question I.A.4, montrer que lnî'sat : ... (3) sat où Psat désigne la pression de vapeur saturante usuelle, c'est-à-dire celle qui assure l'équilibre liquide vapeur en l'absence de surpression à la température T. vapeur 1.0.6) Dans un nuage, une gouttelette d'eau sphérique de rayon r se trouve de même en sur-- pression P] par rapport à la vapeur environnante. Cela s'explique par le phénomène de tension superficielle et on admet que P est dans ce cas donnée par P1-- _ Zo/r avec 0 =713 10 3-N m .En supposant que P'Sat-- Psa « P1 , déterminer numéri- quement le rapport a : P'Sat/Psat pour r = 2 nm puis r = 0 lum On prendra T-- _ 273 15 K Imposition d'une surpression sur le liquide au moyen d'un 1.0.7) Expliquer le phénomène cité àla fin de la piston Perméable question 1.0.1. On admettra que la condensation de la vapeur nécessite l'agglomération de molécules d'eau sous la forme de gout- telettes microscopiques (quelques nanomètres). 'Il/[IIIA piston liquide Figure 1 1.0.8) Dans un nuage, la présence de poussières autour desquelles les molé- cules d'eau peuvent s'agglomérer favorise la formation de gouttelettes d'eau. Interpréter, en supposant que la taille des poussières est de l'ordre du dixième de micromètre. Partie II - À propos des avalanches II.A - Rôle des coefficients de frottement Dans une avalanche, une masse de neige se détache sur une pente et la dévale en entraînant avec elle de la matière supplémentaire. Il en résulte une amplifi- cation qui conduit à un phénomène violent même à partir d'un déséquilibre fai- ble. II.A.1) On considère un bloc de neige de masse m reposant sur un plan incliné dont la pente est repérée par l'angle en (figure 2). Le contact entre la neige et ce plan, décrit par les lois de Coulomb sur le frottement, est caracté-- risé par des coefficients de frottement statique Us et dynamique "d' On rap- pelle que Md 5 us. On note g = 9, 8 ms"2 l'accélération de la pesanteur. Montrer que l'équilibre est possible tant que a s de et exprimer l'angle critique a Figure 2 -- Masse de neige reposant sur un plan incliné c . II.A.2) La masse de neige en équilibre sur une pente d'angle ac subit une légère perturbation qui lui donne une vitesse initiale v0ux , vo > 0 . Exprimer sa vitesse ultérieure v(t) et son énergie cinétique Ec(t). ' II.A.3) L'énergie acquise sert en fait à mettre en mouvement de nouveaux blocs de neige, conduisant à l'amplification de l'avalanche. Les valeurs approxi- matives de Us et pd sont données dans le tableau ci-dessous pour différents types de neige. D'après la question précédente, quel type de neige conduit aux avalanches les plus violentes ? On justifiera la réponse. neige fraîche Jusqu a 10 Md 03 0,7 0,4. neige à grains ronds Ms neige en gobelets II.A.4) Animée d'une vitesse v1 , la masse de neige arrive dans une région où l'angle on prend une valeur plus faible, constante. A quelle condition portant sur a le mouvement est-il ralenti puis stoppé '? II.A.5) ' Expliquer comment l'observation de nombreuses avalanches permet de déduire des valeurs numériques pour Us et "al telles que celles données dans le tableau. II.B- Modèle de frottement sur sol rugueux Lorsque l'avalanche rencontre dans sa course un sol rugueux, elle est soumise à de nouvelles forces de frottement dont on étudie ici une modélisation (figure 3). D' La masse de neige en mouve-- ment est assi- milée à un parallélépipède surface de rectangle l'avalanche d'épaisseur d mo (selon y ), de ' © _ _ a longueur 1 ,\ _ _ _ © _ ©Îï\. (selon x) et de SOI ®_ä rugueux . largeur L (selon . _ _ f b z). Le contact g 1 Ar "_ avec le sol a _ x s'effectue donc Figure 3. Modèle d'avalanche sur sol rugueux sur un rectangle d'aire S : Ll. L'avalanche est formée de paquets de neige sphériques de masse m0 descendant la ligne de plus grande pente avec une vitesse v = v ux . Ces blocs sont empilés en couches distantes de b perpendiculairement à la pente. Dans une couche donnée, parallèle au plan (Oxz), les blocs sont en moyenne distants de a selon les directions x et z . Au niveau du sol, ils rencontrent des aspérités assimilées à des cylindres de section circulaire et d'axe parallèle à (Oz) , séparés d'une dis-- tance Ar. Ces chocs, caractérisés par l'angle d'incidence i fixé, sont supposés mous : après l'impact, le vecteur vitesse du bloc est tangent à la surface de l'aspérité cylindrique au point de contact. D'autre part, la composante tangentielle de sa vitesse est conservée dans le choc. II.B.1) Un bloc se déplaçant selon x avec une vitesse moyenne v , exprimer la fréquence f des chocs qu'il subit. ' II.B.2) Quel est le nombre moyen N1 de blocs dans la couche en contact avec le sol ? II.B.3) Combien de chocs l'avalanche dans son ensemble subit-elle, pendant dt ? On notera dN ce nombre. II.B.4) Pendant un choc, un bloc subit un changement de quantité de mouve- ment A Po- Déterminer sa projection --Ap0x sur l'axe x. II.B.5) Soit P : Pux la quantité de mouvement de l'avalanche. En déduire la variation de quantité de mouvement chhoes causée par les chocs durant dt . II.B.6) En déduire que la force de frottement rugueux s'exerçant sur l'avalan- che est : 2 2. moSv cos 1 F...? : -----2----ux (4) a Ar II.B.7 ) Soit m la masse totale de l'avalanche. Montrer que Frug se met sous la forme 2 F...g : --mâÏ ux ' (5) en donnant l'expression du paramètre de rdgosité & en fonction de g , Ar , b et i . II.B.8) Expliquer pourquoi & dépend de la nature du sol sur lequel l'avalanche s'écoule. II.B.9) Certains paramètres du modèle pourraient dépendre de la vitesse, de sorte que & en dépendraît aussi. Lesquels selon vous ? II.C - Dynamique de l'avalanche L'avalanche de masse m et d'épaisseur d dévale désormais une pente d'angle a sous les effets conjugués de son poids, du frottement sec obéissant aux lois de Coulomb (partie II.A) et du frottement rugueux de la partie II.B décrit par la relation (5d). On rappelle que a2du2_u : -- aargth(a ---> et fthu du : ln(ch u)... II.C.1) Déterminer l'équation du mouvement selon x" sous la forme d'une équation différentielle pour v(t). Il. C. 2) Exprimer la vitesse limite vl atteinte par l'avalanche et la calculer numériquementpour on -- _35°, Md" _ 0,3, d= 2m etë =103m-s 2. II.C.3) Comment l'énergie cinétique de l'avalanche varie-t-elle avec son épais- seur d , toutes choses égales par ailleurs ? II.C.4) Exprimer l'évolution v(t) de la vitesse de l'avalanche, avec la condition initiale v(0) : 0. On éliminera on et ad au profit de vl. II.C.5) Déterminer la distance x(t) parcourue par l'avalanche depuis son point de départ. II.C.6) Application numérique : quelle distance l'avalanche a-t-elle parcourue lorsque elle atteint sa vitesse limite à 10 % près II.C.7 ) L'avalanche ayant atteint sa vitesse limite "1 rencontré un brusque changement de pente, dont l'angle avec l'horizontale passe d'une valeur a à une autre valeur a'. La vitesse limite va prendre, après une certaine distance de transition, une nouvelle valeur v'l. On suppose que la largeur L de l'avalanche reste la même, l'épaisseur d pouvant par contre être modifiée. En admettant que le débit volumique de neige est le même de part et d'autre de ce changement de pente, démontrer la loi d'invariance : v3 v '3 l l s1na--udcosa s1na --udcosa "1 et v'l désignant respectivement la vitesse de l'avalanche avant et après la rupture de pente. II.C.8) Application numérique : l'angle on passe de 35° à 30° . De quel pourcen- tage la vitesse est-elle réduite ? Partie III - Appareil de recherche des victimes d'avalanche Les chances de survie d'une personne accidentellement ensevelie par une ava- lanche dépendent de façon cruciale du temps mis par les sauveteurs pour la retrouver sous la couche neigeuse. Pour cette raison, des appareils de recherche des victimes d'avalanche (ARVA) ont été mis au point depuis les années 90. La victime étant équipée d'un émetteur portable d'ondes hertziennes, un sauveteur muni d'un récepteur peut rapidement la localiser. Cette partie aborde le prin- cipe d'utilisation de ces dispositifs. En notant (r, 6, cp) les coordonnées sphériques usuelles et (u,, ue, ucp) les vec- teurs de la base locale associée, on a af 1 af , 1 af -- -- -- + . -- . âru"+ r 66u9 r s1n8 âcpuCP 1 La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide est c = 3, 00 - 108 ms" . grad f(r, 9. CP) = III.A - Champ rayonné par une petite antenne Dans les questions suivantes, on demande de préciser 4 conditions successives justifiant certains calculs approchés. Elles seront désignées par C1 , 02 , C3 et C 4 . Vous les présenterez sous la forme x « y , x et y étant deux grandeurs physi-- ques. Par exemple la condition Co s'écrit m « m antenne victime ' III.A.1) On considère un dipôle électrique statique de moment dipolaire cons- tant p : Pouz et d'extension spatiale a placé à l'origine 0 des coordonnées. Le potentiel électrostatique qu 'il produit en un point M de l'espace, repéré par r = OM et 6 : (az, OM) est donné par: p cos9 VO(M) : ° 2 . 4ueOr Préciser la condition C] qui permet d'obtenir ce résultat approché. Donner l'expression du champ électrique EO(M ) correspondant. III.A.2) Déterminer l'équation polaire des lignes de champ sous la forme r = f (6) . Ces courbes sont représentées sur la figure 7 de l'annexe. La compléter en traçant l'allure de 3 lignes équipotentielles et en représentant par une flèche le veCteur moment dipolaire po . III.A.3) Déterminer de même l'équation polaire des lignes de niveau de ||Eoll , c'est-à-dire des courbes sur lesquelles le champ électrique garde, en norme, une valeur constante. Ces courbes sont représentées sur la figure 8 avec la même orientation de po. III.A.4) L'antenne portée par la victime, dont la dimension a est de l'ordre du centimètre, se trouve à l'origine 0 des coordonnées, orientée parallèlement à u 2. Elle est parcourue par des courants de fréquence f = 457 kHz. Déterminer numériquement la longueur d'onde ?. du rayonnement qu'elle émet. III.A.5) Le champ magnétique rayonné par l'antenne est donné par 6 ' ' où p : p(t)uz est le moment dipolaire de l'antenne. Outre la condition C1 , ce résultat suppose que l'on traite toute l'antenne comme un dipôle unique. Plus explicitement, cette expression néglige les déphasages entre les ondelettes émi-- ses parles différents points de l'antenne vers le point M. À quelle condition 02 cela est-il valable. '7 III.A.6) Le champ électrique E(M, t) rayonné par l'antenne est alors donné par : * _ 1 _p_ 19 _fi_ 2. p ;] E 4OE80|:2 COSO(r2c + r3)_> u + Sine(rc2 + r2c + r3)u " Expliciter sans calculs le raisonnement conduisant a cette expression. Les lignes de champ correspondantes sont représentées, à un instant donné, sur la figure 9. La compléter en représentant par une flèche le vecteur moment dipo- laire p. ' III. A. 7) Dans quelle partie de l'espace, appelée zone statique, E(M, t) s 'identi- fie-t-il à chaque instant au champ électrostatique qui serait créé par le dipôle permanent de moment 'p(t) ? Écrire en la justifiant la condition C3 qui définit cette région. III.A.8) Définir par une condition C4 la zone dite de rayonnement. Donner l'expression simplifiée de E dans ce cas. III.B - Localisation de la victime III.B.1) Le sauveteur est muni d'une antenne réceptrice reliée à un système audio. Il détecte le signal émis par l'appareil de la victime. À sa recherche, il par- court quelques dizaines de mètres autour de O. Discuter numériquement la validité de chacune des conditions C1 à C 4. Le sauveteur se trouve-t-il dans la zone de rayonnement de l'antenne ou dans la zone statique ? Les questions suivantes présentent deux méthodes utilisables par le sauveteur pour localiser la victime. Elles appellent des constructions graphiques que vous rendrez. sur le document réponse. Le sauveteur en déplacement sur la pente nei- geuse sera représenté par un point décrivant une courbe dans le plan de la figure. On suppose que l'antenne émettrice de la victime est parallèle à la sur-- face du sol et enfouie à faible profondeur. Les figures 7, 8 et 9 sont alors tracées dans le plan de la surface neigeuse sur laquelle se déplace le sauveteur. III.B.2) ' Recherche directionnelle : la direction dans laquelle pointe l'antenne réceptrice du sauveteur est repérée par un vecteur unitaire u contenu dans le plan de la figure et le signal perçu est proportionnel à la valeur efficace de E - u. Immobile en un point, le sauveteur fait tourner son récepteur jusqu'à percevoir un signal maximal, puis avance de quelques pas dans la direction de l'antenne. Il s'arrête alors et réitère cette opération jusqu'à se trouver tout près de la vic-- time. Le long de quelle courbe se déplace-t--il approximativement ? Partant de l'un des points A0, 30 ou CO placé sur les figures 7, 8 et 9 (à vous de choisir le point le plus approprié), tracer le chemin suivi par le sauveteur jusqu'à la vic- time. III.B.3) Recherche en croix : dans cette méthode, l'orientation du récepteur n'est pas aussi fondamentale. Seules sont pertinentes les variations du signal lors du déplacement du sauveteur. Pour simplifier, nous supposerons donc que ce signal est fonction uniquement de NE" . Partant d'un point M 0 le sauveteur marche en ligne droite en écoutant croître le signal. Il s'arrête au point M1 où le signal atteint sa valeur maximale. Là, il part dans la direction orthogonale produisant une augmentation du signal pour atteindre un nouveau maximum en M 2 . Il réitère ce processus jusqu'à se trouver tout près de la victime. ' En choisiSsant pour M o' l'un des points AO , Bo ou Co (à vous de choisir à nouveau le plus approprié) et démarrant dans la direction définie par le vecteur de la figure 10, tracer le chemin suivi par le sauveteur. On pourra considérer que la victime est atteinte après 2 ou 3 itérations. III.B.4) En pratique, la recherche en croix peut s'avérer plus Complexe que dans le cas simple décrit ci-dessus. Dans le cas particulier d'une antenne émet- trice enfouie profondément et normale à la surface de la neige, l'antenne récep- trice étant tangente au champ neigeux, que dire du signal reçu quand le sauveteur arrive au-dessus de la victime ? .... FIN ooo >:Ë...&oe.&= oeË.OE... && OEëæoe5:oe & 56. 033 8598 mo...» mfi.m ....mEËoe m<æoe ...oem ...Eîmoe ooËoeoe. >äoebâo? = S...... --5:OE.m ©oeoe ®S.oe mm:<ä a...m:fi.æ OEËBÉm...Ë @@ om ...ËËËOEË. ...... Ëmfi.oe m. U...moe--mËBoe a...ÈË... %... ......oem: . eau liquide m1cro ' cristaux Figure 8 - Lignes de niveau de H E 0" Figure 7 - Lignes de champ créées par un dipôle statique Figure 9 - Lignes du champ électrique rayonné par un dipôle oscillant Figure 10 - Direction initiale du mouvement du sauveteur dans la recherche en croix

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 Centrale Physique 1 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Marc Legendre (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Centrée sur le thème général de la neige, cette épreuve est composée de trois parties indépendantes consacrées chacune à un domaine de la physique : · la première partie s'intéresse aux changements d'état qui conduisent à la formation de la neige dans l'atmosphère ; · dans la deuxième, on envisage l'influence du frottement et de la nature du terrain sur la stabilité d'une masse de neige à risque, puis la dynamique d'une avalanche ; · enfin, la troisième partie est consacrée au champ électrique rayonné par une antenne émettrice et à son utilisation dans le cadre d'un dispositif de recherche des victimes d'avalanche. Les concepts physiques mis en jeu dans cette épreuve sont relativement peu nombreux (changement d'état du corps pur, lois de Coulomb du frottement solide, rayonnement électromagnétique du dipôle oscillant). Si les questions de cours de la première partie sont chose habituelle au concours Centrale, les raisonnements graphiques demandés dans la troisième partie sont, quant à eux, beaucoup plus originaux. L'énoncé est limpide, directif, assez simple et bien adapté à la durée de l'épreuve. La sélection sur une telle épreuve se fait donc surtout sur l'efficacité et sur la capacité à mener rapidement les raisonnements demandés. Indications Première partie I.A.2 Différentier G en supposant T et P constantes et utiliser les premier et second principes de la thermodynamique. I.A.4.b Considérer que m2 = m - m1 et utiliser la question I.A.3 avec la variable d'état m1 . I.A.5.b Justifier que dg1 = dg2 sur la courbe d'équilibre. I.B.6 Que dire de la pression dans un tel ensemble ? -- I.B.7 Le vecteur grad P pointe vers les fortes valeurs de P. I.B.8 Dans quel sens se déplacent les équilibres locaux liquide-vapeur et glacevapeur lors du mouvement de la vapeur ? Deuxième partie II.A.1 Introduire les forces de contact tangentielle et normale. Prendre garde à leurs orientations. II.A.5 Comment repérer les angles limites associés à µs et µd ? II.B.1 La fréquence f est liée à la distance r. II.B.4 Faire un dessin soigné présentant l'angle i et les quantités de mouvement avant et après le choc. - dPchocs - II.B.6 On peut considérer que = F rug . dt II.B.9 Que dire de la compacité de l'empilement lorsque la vitesse augmente ? II.C.4 Séparer les variables pour intégrer. Troisième partie - - - III.A.2 Utiliser E d = 0 le long d'une ligne de champ et en déduire une équation différentielle intégrable par variables séparées. III.A.7 En faisant intervenir r et , donner un ordre de grandeur des différents termes - de E mettant en jeu le moment dipolaire. III.B.1 Comparer les ordres de grandeur de a, r et . III.B.3 Le signal est maximal lorsque le sauveteur coupe la ligne de niveau la plus « proche » du centre. - III.B.4 Comment est le champ E par rapport à la surface, si l'antenne émettrice est normale ? La neige I. Formation de la neige dans l'atmosphère A. Équilibre d'un corps pur sous deux phases I.A.1 L'enthalpie libre G est définie à partir de l'énergie interne U par G = U + PV - TS G est aussi appelée fonction de Gibbs et peut s'écrire G = H - TS à partir de l'enthalpie H. Rappelons l'identité thermodynamique fondamentale dU = T dS - P dV et différentions l'expression de G : dG = dU + P dV + V dP - T dS - S dT = -S dT + V dP G est donc une fonction d'état des variables T et P et par identification avec G G dG = dT + dP T P P T on obtient G T = -S P et G P =V T I.A.2 Commençons par différentier G = U + PV - TS en supposant P = P0 et T = T0 constantes : dG = dU + P dV - T dS En l'absence d'autre travail que celui des forces de pression extérieures W = -P0 dV, le premier principe donne, avec P0 égale à P, dU = Q - P dV Le système étant en contact thermique avec le milieu extérieur de température T0 égale à T, on écrit, en accord avec le second principe, Q dS = + Sp T où l'entropie produite Sp est positive ou nulle si l'évolution est réversible. On obtient alors facilement en remplaçant les expressions de dU et dS dans celle de dG : dG = -T Sp 6 0 Ainsi, G ne peut que diminuer au cours de toute évolution spontanée et puisque par définition, à l'équilibre, aucune évolution spontanée n'est possible, c'est que G y est minimale. Sous ces conditions, G est donc un potentiel thermodynamique du système. I.A.3 La condition nécessaire pour que xeq corresponde à un minimum de G est G (T, P, xeq ) = 0 x (T,P) I.A.4.a En l'absence d'interaction entre les deux phases (telle que le phénomène de tension superficielle étudié ultérieurement), on peut sommer leurs énergies internes, entropies et volumes. Ainsi, à T et P constantes, U = U1 + U2 S = S1 + S2 V = V1 + V2 donne G = (U1 + U2 ) + P(V1 + V2 ) - T(S1 + S2 ) = G1 + G2 soit, avec les enthalpies libres massiques g1 et g2 , G = m1 g 1 + m2 g 2 Avec m2 = m - m1 , on obtient G = m1 (g1 - g2 ) + mg2 On a utilisé ici l'additivité de l'enthalpie libre G. Rappelons à ce propos que les propriétés d'extensivité et d'additivité ne sont pas équivalentes. Ainsi, U, S, V, et donc G, sont en toute généralité extensives mais ne sont pas toujours additives. Par exemple, le mélange d'un volume d'eau et d'un volume d'éthanol donne une solution de volume inférieur à la somme des deux volumes pris séparément. C'est bien l'absence d'interaction entre les phases 1 et 2 qui assure un comportement disjoint de celles-ci et permet d'utiliser l'additivité. I.A.4.b Considérons la variable d'état m1 . D'après la question I.A.3, il y a équilibre lorsque G (T, P, m1 eq ) = 0 m1 (T,P) Comme g1 (T, P) et g2 (T, P) sont constantes avec T et P imposées par le milieu extérieur, il vient G (T, P, m1 eq ) = g1 (T, P) - g2 (T, P) = 0 m1 (T,P) À l'équilibre, on a donc g1 (T, P) = g2 (T, P) Cette égalité permet de trouver une relation implicite entre les pression P et température T à l'équilibre. Cette relation P = f (T) définit la courbe de changement d'état dans le diagramme d'état. La valeur de m1 eq n'est pas imposée. Les fractions massiques d'un corps pur sous deux phases peuvent être quelconques.