Centrale Physique 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Physique des gouttes et des bulles
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, analyse dimensionnelle, thermodynamique
Mots clefs bulles, phénomène de Leidenfrost, loi de Laplace, élaboration d'un modèle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 On_ 995. ' _ ...DÛ_OE>T_n_ ...m>=wñw «dem ooeäQ--OE - ÆOEËOEU 93880 Sur le thème de la physique des bulles et des gouttes, l'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants d'importances inégales. Partie I - Échanges entre une grosse bulle et une petite bulle * " On considère le dispositif expérimental de la (2) figure 1 : deux bulles sphériques d'eau savon-- neuse de rayons différents sont\formées aux extré- mités des deux tubes en soufflant, les robinets(l) " et (2) ' étant ouverts et le robinet (3) fermé. Puis on ferme les robinets (l') et (2) et on ouvre le robi- net (3) qui met en contact les deux bulles. On se Figure 1 propoSe d'étudier l'évolution des bulles.! (1) atmosphère à Po Dans tout le problème on néglige le volume du tube de liaiSon entre les deux bulles. On étudie des évolutions quasi- statiques: dans chaque bulle on peut définir a chaque instant une température T ou T2 et une pression p1 ou p2 uniformes. Par ailleurs l'atmosphère 1mpose une pres- sion uniforme pO à l'extérieur des bulles. L'atmosphère se comporte comme un thermostat à la température T et on Suppose l'équilibre thermique atteint à tout instant: T =( T2 : T. I.A- Loi de Laplace Le robinet (3) étant fermé, pr0p0ser un dispositif simple réalisant un manomè-... tre qui permette de mesurer la différence de pression p1-- po avec une règle gra- duée. L'expérience montre que les pressions sont données a l'équilibre par loi de Laplace: 40' 46 , p1Po =..."-- et p2" p0-- -- _ ' » (A) " 1 " 2 où la constante positive 0 est appelée coefficient de tension superficielle. Dans toute la suite, on suppose que l'équilibre mécanique entre chaque bulle et l'atmosphère est atteint de telle sorte que les relations (A) sont valables à tout instant. LB - Approche qualitative Préciser, en donnant un argument" qualitatif s'appuyant sur les relations (A), l'évolution du système :le rayon des bulles évolue-t-il ? Est-ce la grosse bulle qui se « vide » dans la petite ? Est-ce le contraire ? I.C - Approche quantitative ,, _. I.C.1) Rappeler la définition d'un potentiel thermodynamique. I.C.2) Pour un système fermé, d'énergie interne U *,""d'entropie S et de volume _ V , en évolution monotherme (température extérieure T) et monobare (pression " extérieure p0 ), n'échangeant pas d'autre formede travail avec l'extérieur que ' celui des forces de pression, justifier que G* = U --TS + pOV est un potentiel thermodynamique. ' I. C. 3) On néglige le volume d'air contenu dans le tube de liaison entre (l) et (2) et on étudie le système constitué: ' d' une part de l'air contenu dans les deux bulles et assimilé à un gaz parfait; on note, avec i = 1 ou i _ ---2 selon le compartiment, V le volume,r ,le rayon, _ p, la pression, N le nombre de moles d'air, S, l'entropie de l'air la tempé- rature T est commune aux deux compartiments, ° d'autre part, des membranes d'eau savonne11se qui limitent'les deux bulles, d'épaisseur 'négligeable, d'énergies internes respectives U ,,,, , de températu--* res Tm _ --T ,d'entropies Sm, et de surfaces Em , _ --8nr,2 (double de la surface de la sphère, car il y a deux interfaces air--eau savonneuse), pour lesquelles l'identité thermodynamique fondamentale s'écrit dUm _ --TdSm ,+ odZm a) Montrer que : glG* = dU, + dU2 -- TdS, _ TdS2 + p,,(dle+ dV2) + od2ml + od2m2 b) En déduire à l'aide des relations (A) que : ,. dG* = dU + dU2--TdS _--TdS2 +p,dV, + p2dV2. c) Soit G, =U,- TS, + p, V, l'enthalpie libre de l'air dans la bulle (i). Du fait que le nombre de moles N, varie, l'identité thermodynamique fondamentale s'écrit: dG, -- ----S,dT+V,dp,+u,dN, où u,( p,, T) est le potentiel chimique de l'air dans la bulle (i)". Montrer que :" (1) On montre dans le cours de chimie que pour un gaz parfait : ui(pi, T) = f (T) + R T ln Pi où f (T) est une fonction de la température, identi- que dans les deux bulles car le gaz est le même. En déduire que : P1 dG*_ - RTln(-- P2 )dN1 ' (B) I.C.4) Justifier que les variables pl, p2, r21, 72, N1 et N 2 sont liées par 5 relations de telle sorte qu'une seule de ces variables suffit à déterminer toutes les autres. Dans la suite on prend r1 comme variable. Montrer que d p /dr' < 0 et dN /dr > 0. Quand r1 croît, en déduire le sens de l'évolution de p1 , N1 , N 2, r2 , et p2. I.C.5) Prévoir l'évolution de deux bulles de rayons initiaux tels que r1 > r2. Que peut-on dire d'un état initial r1 : r2 ? I. D- Transition entre deux comportements dans une expérience ,, analogue On se propoSe d'étudier le même problème en remplaçant les bulles de savon par deux petits ballons de baudruche que l'on supposera sphériques et réalisés dans le même matériau. On donne la loi phénoménologique qui relie la pression pi de l'air dans un ballon a son rayon r : ' 6 , Pi --- Po+K[;--_"îg] ,, V" (O) 'ri _ où "0 est la plus petite valeur possible pour r ,pO la pression extérieure et K une constante positive. ' I.D.1) ,, Le graphe de pi(ri) est représenté sur la figure 2 ; il passe par un maximum pm pour un rayon particulier rm. Quelle conséquence pratique cela a-t-il quand on gonfle un ballon de baudruche »? --- I.D.2) Les figures 3a et 3b fournissent le gra-- phe de dG*/ dr1 f (rl) respectivement dans le cas (a) où N: N +N2 > 8nrmpm/3RT et dans le cas (b) où N: N + N2 < 8nrmpm/3RT (la fonction f (rl) s'obtient en utilisant les rela- tions (B) et (C), ce qu'on ne demande pas de faire). Les parametres associés aux points remarquables de ces courbes ont les propriétés suivantes. ' pointA _. pl(A)-- _ p2(A)' et rl(A)=rch) point B :pl(B)#p2(B) et r1(B)#r2(B) point C : pl(C). : p.2(C) et r1(C) : r,(C) point D :p"D)$pä(D) et rl(D)$r2(D) 'point E :p1(E> = mm et 10202) = pl(A> ; r1(E) = r2(A> ; mm = r1(A) point F : pI/(F) : p2(F) et r1(F) : r2(F) id G* / dr 1 Figure 3a dG* /alr1 Figure 3b a) Tracer l'allure du graphe de G*(r ) d'une part dans le cas (a) et d'autre part dans le cas (b). On placera sur ces graphes les points remarquables A, B, C, D, E, F. On rappelle que G*("1) est définie a une constante additive près. b) En déduire l'état final du système abandonné dans un état initial quelconque d'une part dans le cas (a) et d'autre part dans le cas (b). I.D.3) Montrer que N est une fonction3 croissante de r .À quelle situation particulière correspond la valeur NC _ --8nrmpm/3RT de N assurant le passage d'un cas à l'autre '? Lequel des cas (a) ou (b) donne un comportement analogue a celui des bulles de savon}? Interpréter brièvement a l'aide de la figure 2. I.D.4) Lorsque le paramètre N passe par la valeur Nc -- _8nrmpm/3RT, le système transite entre un état d'équilibre symétrique (r2 --r1-- .. O) et un état d'équilibre dissymétrique (r2 --r17t 0). Cette situation est analogue à la transi- tion paramagnétique-ferromagnétique. Quel est « l'analogue magnétique » de r2 -- r1 ? Quel est « l'analogue magnétique » de N ? Partie II - Le phénomène de Leidenfrost Lorsqu'on dépose une petite goutte d'eau 42 liquide au-dessus d'une plaque chauffante atmosphère à po . plane horizontale maintenue à une tempé- rature nettement supérieure àla tempéra- * ture d'ébullition de l'eau, on constate que la goutte peut rester en lévitation quel- ques dizaines de secondes juste au-dessus Figure 4 | eau hqu1de, ' | / | / vapeur d'eau A de la plaque avant de disparaître (le mou- 1 _ h ff t "T . e vement dela goutte est en général plus P _________ _______ ______________________________________________________________________________ compliqué, au point que la goutte donne 0 l'impression de « danser » sur la plaque). Pour simplifier les calculs, on étudie dans toute la Suite une seule goutte et onla suppose hémisphérique de rayon a(t) , sa 1 face inférieure planeétant à une hauteur e(t) au-dessus de la plaque chauffante, supposée confondue avec le plan d'équa- tion 2 = 0 (cf. figure 4). Le rayon a(t) et la cote e(t) de la face inférieure sont des tenS , fonctions du temps et l'échelle de temps 60 / caractéristique de leurs variations est ' 11 z 50 s pour un rayon initial a0-- _ 1 mm. La figure 5 donne dans ce cas un gra- phe expérimental de a(t). a en mm Figure5 Dans tout le problème on suppose que le champ de pesanteur ê-- _ ---geî est uni- forme avec g = 10 m s--2 et on suppose le référentiel terrestre galiléen. II .A- Approche qualitative L'interprétation qualitative de cet effet Ten S étudié pour la première fois par Leiden- frost en 1756 est la suivante . la plaque, 100 de température plus élevée que celle de la goutte, cède à celle-ci de la chaleur, ce 50 \ qui provoque l'évaporation progressive de la goutte liquide ; cette évaporation, qui n'est pas isotrope, provoque un écou- lement de vapeur d'eau sous la goutte qui permet à celle-ci de léviter au-dessus de la plaque. Justifier qualitativement le sens des variations dela durée de vie 1: de la goutte en fonction de la température T p de la«plaque sur la figure 6. Figure 6 II.B p- Étude thermodynamique Dans cette partie. on modélise le transfert thermique cédé par la plaque à la goutte d'eau liquide en négligeant les phénomènes de convection et de rayonnement : le transfert thermique est dû exclusivement à la diffusion ther-- mique dans la vapeur d'eau, supposée immobile, située entre la plaque et la goutte. On note ?» la conductivité thermique, uv la masse volumique et Cu la capacité thermique massique à volume constant de la vapeur d'eau et toutes ces grandeurs sont supposées constantes. On donne l'expression du laplacien d'une fonction f (r, 6, z) en coordonnées cylindriques : \ 2 2 A,» = 1 _a_(,.a_f)._li ê_£ô_f r 89 82 II.B.1) Rappeler sans démonstration l'équation aux'dérivées partielles (E) dont le champ de température T(r, z, t) est solution. On fera apparaître la diffu- \ sivité thermique Dth dont on rappellera l'expression en fonction de À , uv et\ev . II.B.2) Dans la suite on néglige les dérivées par rapport à r devant les dérivées par rapport à z dans l'expression de AT . A quelle condition sur le rap- port e2/ a peut--on valider cette approximation '? II.B.8) Exprimer par une analyse en ordre de grandeur la durée caractéristi- que 1:* d'un régime transitoire. pour l'équation (E). Dans la suite on raisonne comme si un régime permanent était atteint instantanément et on prend donc : QT : 0 dans l'équation (E). / dt Donner de façon intuitive un critère de validité de cette approximation mettant enjeu 'C* et "El. \ ' ' , .\\ II.B.4) Expliciter la solution T(r,z_, t) sachant que la plaque impose T(r,z : 0, t) : Tp et en supposant que la goutte "liquide impose T(r,z : e(t), t) = T où Te est la température d'ébullition de l'eau sous une pression po . EUR II.B.5) En déduire l'expression du vecteur densité de flux thermique ; : jZeî en fonction de k", T p , Te et e . II.B.6) En déduire l'expression du flux thermique 

O). ° le champ de pression p(M , t) : po est uniforme dans l'atmosphère autour de la goutte. II.C.1) On s'intéresséau système fermé ($*) constitué de l'eau liquide conte- nue à l'instant t dans la goutte. À l'instant t+dt le système est constitué de l'eau qui est restée liquide dans la gôutte et de lgmasse ôm qui s'est vaporisée et qui est sortie de la goutte avec la vitesse --V0 ez . a) Exprimer ôm en fonction de dt , a , V0 et de la masse volumique au de la {vapeur d'eau. b) Exprimer la quantité de mouvement de (S*) à l'instant t + dti en fonction de dt , a et VO. Quelle estSa quantité de mouvement à l'instan_t_t> ? En déduire la variation de sa quantité de mouvement par unité de temps dP*/ dt . II. 0.2) On rappelle que la résultante des forces de pression associéè"à une pression uniforme po sur une surface fermée comme celle limitant la goutte est nulle. _y/ Établir la relation : 2ga ! f vo= / 3qu . + + (2) ) où il,, et ... désignent respectivement la masse volumique de la vapeur et du liquide. , II.C.3) Exprimer le débit massique de vapeur d'eau sous la face plane de la goutte en fonction de V0 , a et de la masse volumique pu de la vapeur d'eau. En déduire par confrontation avec II.B.7-a que : 1 2 2 . ---- 31 T --T - , e = a 2 /___--( P ;) , <3) 2g uv W. H. C. 4) Déduire de la relation (1) l'équation différentielle dont est solution a(t) et déterminer a(t) en fonction de g, ul , uv , t et du rayon initial a0= a(t-- -- 0). H. C. 5) Calculer numériquement la durée de Vie TA d'une goutte d'eau liquide danscemodèleApouruv=O,-7kg m3,g=10m s2,ul= 1,-0 103 kg m3et a0=1mm. II.C.6) Donner trois arguments justifiant le rejet du modèle A. II.D - ModèleB Hypothèses : ' on néglige la variation de e au cours du temps et l'eau liquide dans la goutte " est immobile; ' " 0 la vapeur d'eau est émise uniformément, sur toute 1_)a surface du disque infé- rieur de la goutte avec une vitesse v(r, z_-- --- e)-- _ --V0H ez (V() > O) , \ " ° l'écoulement de vapeur d'eau sous la goutte est incompressible et homogène, ,de masse volumique uv , il est aussi stationnaire, décrit en coordonnées --> --> cylindriques par le champ des vitesses v : u(r)e +w(z)eZ où u(r) est indé- ---> ----> ---> pendant de z et où w(g) est indépendant de r avec w(z- -- e)= --V0 , (e,, ee, ez) est le trièdre local associé aux coordonnées cylindriques (r, 6, z) , ° le champ de pression sous la goutte est de la forme p(r,z) avec p(r : a, z) ": po imposée par l'atmosphère ; le champ de pression au--dessus de la goutte est uniforme égal à po ; 0 on néglige le rôle de la pesanteur sur l'écoulement de vapeur d'eau. II.D.1) On envisage le volume fixe limité par le cylindre d'axe Oz et de rayon 'r 0 qui ne décrit pas la réa-' lité physique du fait du modèle (arrivée d'eau). On admettra que l'erreur ainsi "commise sur p est négligeable dans le calcul de la force pressante totale. II. E. 6) En opérant comme en II. D. 3 (on ne demande pas de le faire), on obtient l'expression 23de la résultante des forces de pression subies par la goutte FC_ -- (3ana2 / e 3)ez V.érifier l'homogénéité de cette expression. II.E.7 ) En opérant comme en II.C.3 (on ne demande'pas de le faire), on obtient la relation: 6 : ---- 2uv ul lv g puis en opérant comme en II.C.4 (on ne demande pas de le faire) on obtient l'évo- lution du rayon d'une goutte de rayon initial ao : 3 3 1/4 , 4 5/4 4 5/4_t£7v(Tp --Te)guv) (10) (11) "a : --a0 3 3 5 5 72nullv Calculer numériquement la durée de vie "CC de la goutte sachant que : À=0,1W-m_l-K_I,Tp AT =3oox,...=o,,7kg-m"" g=10m-s_2,1 lv =2,"1641061-kg .n= 10 Pas et...--10 1o"kg m .Conclure. II E. 8) On se propose de tester la validité de certaines approximations du modèle C. a) Pour a =1 mm2, calculer numériquement e en utilisant la relation (10). Cal- culer le rapport e / a et conclure. ' b) Pour a -- _1 mm ,tester numériquement la validité de l'approximation faite en II. B. 3 sachant que la diffusivité thermique, de la vapeur d'eau vaut pm: 10 4m2-s1 ' c) Pour a _ --1 mm , tester numériquement la validité de l'approximation consis- tant à négliger le terme d'accélération locale en II.E.1. d) En exploitant les relations établies dans cette partie (calculs non demandés) on obtientpour la vitesse radiale un ordre de grandeur U z 0,5 m -- 54 lorsque a z 1 mm. Tester numériquement la validité de l'approximation consistant à négliger le terme d'accélération convective en II.E.1. e) Donner au moins unargument pour invalider le modèle C pour les instants t z 1 . ' 00. FIN ooo

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 Centrale Physique 1 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet propose deux problèmes ayant trait à la physique des bulles et des gouttes ; comme l'indique l'énoncé, ils peuvent être traités indépendamment. · Dans le premier, on étudie l'évolution d'un système constitué de deux bulles sphériques d'eau savonneuse reliées entre elles par un tube. Dans un premier temps, on développe une approche qualitative du problème en s'appuyant sur la loi de Laplace, puis on cherche à prédire l'évolution du système par une approche quantitative consistant à étudier son potentiel enthalpie libre G . Dans un second temps, on s'intéresse aux transitions de phase dans un système analogue où les bulles de savon sont remplacées par des ballons, pour lesquels l'évolution de la pression en fonction du rayon ne suit plus la loi de Laplace. · Le second est consacré à l'étude du phénomène de Leidenfrost, par lequel une goutte d'eau déposée sur une plaque fortement chauffée entre en lévitation. On s'attache d'abord à développer une approche qualitative du problème, puis on étudie trois modèles visant à prédire le temps de vie d'une goutte, l'objectif étant de déterminer lequel est le plus pertinent. Il convient d'insister sur le fait que chacune des hypothèses faites dans le cadre de ces modèles est essentielle : le bon candidat est celui qui sait tirer partie de chacune d'elles, et montrer en quoi elles sont toutes nécessaires. Ce sujet propose une synthèse des différentes notions abordées pendant les cours de thermodynamique et de mécanique des fluides sur un thème original. L'énoncé peut paraître long à première vue, mais il expose clairement les hypothèses et donne de nombreux résultats qu'il n'est pas besoin de redémontrer. Il est peu calculatoire, et requiert un excellent sens physique ainsi qu'une bonne maîtrise de l'analyse dimensionnelle. Indications Première partie I.A Penser au manomètre différentiel à liquide. I.C.2 Relier G au terme de création d'entropie Scréée. I.C.3.b Montrer que p0 dVi + dmi = pi dVi . I.C.3.c L'évolution du système étant monotherme, dT = 0. I.C.3.d Comme on étudie un système fermé, dN2 = -dN1 . I.C.4 Penser à la loi des gaz parfaits, à la loi de Laplace, ainsi qu'à la conservation de la matière. I.D.2.a Étudier la concavité du graphe de G en observant le signe de d2 G /dr1 2 . I.D.3 Utiliser la loi des gaz parfaits pour exprimer Ni en fonction de ri , puis montrer que dNi /dri > 0. Deuxième partie II.B.1 Écrire l'équation de la diffusion thermique. II.B.5 Écrire la loi de Fourier. II.B.7.b Considérer que la masse de vapeur d'eau formée par unité de temps est égale à la variation de masse de la goutte d'eau par unité de temps, puis utiliser le résultat de la question II.B.7.a. Attention lors du calcul du volume car la goutte est une demi-sphère. II.C.2 Utiliser le principe fondamental de la dynamique, ainsi que l'expression de - la variation de la quantité de mouvement par unité de temps dP /dt du système fermé (S ) déterminée à la question II.C.1.b. Faire l'inventaire des forces extérieures agissant sur (S ). II.C.3 Utiliser les résultats établis aux questions II.B.7.a et II.C.2. II.C.4 Écrire l'équation différentielle sous la forme dy = Cte dt y 1/2 On a alors une équation différentielle à variables séparables que l'on sait intégrer. II.D.1 Utiliser la propriété d'incompressibilité de l'écoulement pour justifier la conservation de la masse. II.D.2.b Utiliser le théorème de Bernoulli entre un point quelconque (r, z), et un point au bord de l'écoulement (r = a, z). II.D.3 Étudier séparément la résultante des forces de pression sur la face inférieure et sur la face supérieure de la goutte. II.E.4 Se rappeler que dans le cas d'un écoulement incompressible, div - v = 0. I. Échanges entre une grosse bulle et une petite bulle I.A Loi de Laplace I.A Pour mesurer la différence de pression (p1 - p0 ), on peut utiliser un manomètre différentiel à liquide, appelé aussi tube piézométrique. On raccorde à la bulle un tube en U, rempli d'un liquide de masse volumique . L'autre bras du tube en U étant à la pression atmosphérique normale p0 , il y a une différence de pression (p1 - p0 ) entre les deux extrémités du tube, qui se manifeste par une différence de niveau du liquide entre les deux bras. On mesure h avec une règle graduée. Comme p1 = p0 + g h, on peut déterminer la différence h de pression entre l'air dans la bulle et l'atmo sphère : r 1 p1 - p0 = g h Pour améliorer la sensibilité de ce type de mesure, il faut utiliser un liquide de faible masse volumique : de cette manière, on réduit l'incertitude de mesure. I.B Approche qualitative I.B Prenons le cas où r1 > r2 : selon la loi de Laplace, cela implique que p1 < p2 . Du fait de cette surpression dans la bulle (2), des molécules de gaz sont chassées de la bulle (2) vers la bulle (1), entraînant une augmentation du nombre de moles de gaz N1 dans la bulle (1). Comme dpi /dri < 0, dp1 < 0 et dp2 > 0 : ceci implique que p1 diminue et que p2 augmente, donc que la différence de pression entre les deux bulles augmente. En conclusion, le rayon des bulles évolue du fait de la différence de pression entre les deux bulles, et c'est la petite bulle qui se vide dans la grosse. Ce résultat est lié au fait que dpi /dri < 0 : une différence de pression entre les deux bulles ne peut qu'augmenter. I.C Approche quantitative I.C.1 On appelle potentiel thermodynamique toute fonction qui permet de caractériser l'évolution d'un système sous des conditions extérieures données. Un potentiel thermodynamique · doit décroître lors d'une évolution spontanée du système ; · présente un minimum lorsque le système est à l'équilibre thermodynamique. I.C.2 D'après le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne du système s'écrit U = Q + Wext . Comme il n'échange pas de travail autre que celui des forces de pression avec l'extérieur, il vient Wext = -p0 V, d'où U = Q - p0 V. Or, on considère une transformation monotherme (T = 0) et monobare (p0 = 0), donc G = U - T S + p0 V soit G = Q - T S En outre, dans le cas d'une transformation monotherme, on a d'après le second principe de la thermodynamique : Q S = Séchangée + Scréée = + Scréée où Scréée > 0 T Par conséquent, G = -T Scréée 6 0 Il reste à déterminer si G vérifie les deux propriétés énoncées à la question I.C.1. D'une part, l'entropie créée Scréée est une grandeur positive pour toute transformation, donc G décroît lors d'une évolution spontanée du système. D'autre part, on dit qu'il y a équilibre thermodynamique quand le système est dans un état stationnaire et que Scréée = 0 si bien que lorsque le système est à l'équilibre thermodynamique, G = 0 et par conséquent G présente bien un minimum. I.C.3.a Comme le système est en évolution monotherme (dT = 0) et monobare (dp0 = 0), on a dG = dU - T dS + p0 dV L'énergie interne du système {gaz + membranes} s'écrit U= U +U | 1 {z }2 donc + Um1 + Um2 | {z } Énergie interne de Énergie interne l'air dans les deux bulles des membranes dU = dU1 + dU2 + dUm1 + dUm2 De même, l'entropie du système {gaz + membranes} s'écrit S= d'où S +S | 1 {z 2} + Sm1 + Sm2 | {z } Entropie de Entropie l'air dans les deux bulles des membranes T dS = T dS1 + T dS2 + T dSm1 + T dSm2 Enfin, le volume du système {gaz + membranes} s'écrit V = V1 + V2 , donc p0 dV = p0 (dV1 + dV2 ) On peut ainsi écrire dG = dU1 +dU2 -T dS1 -T dS2 +p0 (dV1 + dV2 )+dUm1 +dUm2 -T dSm1 -T dSm2 Or, les énergies internes des parois des deux bulles vérifient l'identité thermodynamique dUmi = T dSmi + dmi soit dUmi - T dSmi = dmi On trouve finalement dG = dU1 + dU2 - T dS1 - T dS2 + p0 (dV1 + dV2 ) + dm1 + dm2 Les énergies internes Ui et Umi , les entropies Si et Smi et les volumes Vi sont bien additifs car ce sont des grandeurs extensives qui se rapportent à des systèmes disjoints.