Centrale Physique 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude de quelques microscopes
Principaux outils utilisés optique géométrique, mécanique du solide, thermodynamique, électromagnétisme dans les milieux

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PHYSIQUE I Filière PC PHYSIQUE | Les trois parties du problème sont largement indépendantes. Les réponses non justifiées aux questions qualitatives ne seront pas prises en compte. Partie I - Généralités sur la microscopie I.A - Ordres de grandeur Un microscope optique permet d'observer des globules sanguins, un microscope électronique des défauts d'une structure cristalline, un microscope à sonde locale des atomes. Quels sont les ordres de grandeur des objets observés et du pouvoir de résolution minimal de chacun des microscopes utilisés ? I.B - Microscope optique ; étude géométrique Un microscope optique porte les indications suivantes. Sur son objectif : x40 ; sur l'oculaire : X10. La notice constructeur précise : ouverture numérique de l'objectif (00 = O, 65 , intervalle optique A = 16 cm. La signification de ces indications sera précisée dans la suite. Le microscope sera modélisé par deux lentilles minces convergentes. Il est réglé pour donner une image à l'infini d'un objet réel AB, perpendiculaire à l'axe optique, A étant placé sur l'axe, légè- rement en avant du foyer objet de l'objectif. Cette image est observée par un oeil emmétrope placé au voisinage du foyer image de l'oculaire. L' oeil nu voit nette- ment des objets situés entre la distance 6 = 25 cm et l'infini. I.B.l) Faire un schéma du dispositif (sans respecter l'échelle) et tracer soi- gneusement la marche de 2 rayons lumineux issus du point B de l'objet AB, l'un émis parallèlement à l'axe optique, l'autre passant par F1 foyer objet de la len- tille L1 équivalente à l'objectif de centre optique 01. I.B.2) a) L'indication portée sur l'oculaire (x10) est le grossissement commercial, c'est- à-dire le rapport de l'angle sous lequel on voit l'image à l'infini d'un objet à tra- vers l'0culaire seul et l'angle sous lequel on voit ce même objet à l'oeil nu lorsqu'il est situé à la distance minimale de vision distincte. Déterminer f"2, distance focale image de l'oculaire. b) L'intervalle optique correspond à la distance F'1F2 . La valeur absolue du grandissement de l'objet AB par l'objectif est : x40. Calculer f'1 , distance focale image de la lentille équivalente à l'objectif. Calculer la distance 01A permettant de positionner l'objet. Concours Centrale-Supé/ec 2000 1/10 PHYSIQUE I Filière PC Fil'ère PC c) Déterminer la latitude de mise au point, c'est-à-dire la variation de la dis- tance 01A compatible avec une vision nette de l'image finale par l'observateur, dont l'oeil est au foyer image de l'oculaire. Interpréter le résultat obtenu. (1) Calculer dans le cas d'une image finale à l'infini le grossissement commercial du microscope. I.B.3) L'ouverture numérique du microscope, (oO, correspond à nsinu, n indice du milieu dans lequel plonge l'objectif, u angle maximum des rayons issus de A arrivant sur l'objectif. Calculer u pour un objectif plongé dans l'air. Le microscope est-il utilisé dans les conditions de Gauss ? Quel type d'aberra- tions doit-on corriger ? Quel est l'ordre de grandeur du diamètre de la monture de l'objectif ? I.B.4) Déterminer la position et la taille du cercle oculaire, image de la mon- ture de l'objectif à travers l'oculaire. Quel est l'intérêt de placer l'oeil dans le plan du cercle oculaire ? On serait tenté pour augmenter le grossissement du micros- cope de prendre un oculaire de grossissement élevé ; est-ce judicieux ? Justifier votre réponse. I.C - Pouvoir séparateur Pour déterminer le pouvoir séparateur du microscope, on considère que l'objet est un réseau périodique dont la distance entre 2 traits est d , éclairé sous inci-- dence normale par une lumière monochromatique de longueur d'onde "0 = 586 nm . 1.0.1) Établir par des considérations simples la relation donnant les direc- tions dans lesquelles la lumière est transmise par le réseau. 1.0.2) Montrer que le premier ordre contient une information sur le pas du réseau utilisé. En déduire une condition sur l'angle maximal du rayon arrivant sur l'objectif pour que cette information soit transmise par le microscope. 1.0.3) En déduire une relation entre le pouvoir séparateur du microscope, c'est-à-dire la plus petite distance dmin discernable entre 2 objets, et l'ouverture numérique de l'objectif, pour un objectif plongé dans l'air. I.C.4) Lorsque le pouvoir séparateur est limité par l'objectif, on utilise le cri- tère de Rayleigh qui indique dm... : O, 61 - ko/ 000 . Justifier la différence avec l'expression obtenue précédemment. Quel serait selon vous un moyen d'amélio- rer le pouvoir séparateur ? Concours Centrale--Supélec 2000 2/10 PHYSIQUE I Filière PC 1.0.5) Le microscope utilisé est-il adapté à l'observation des globules sanguins? 1.0.6) Commenter l'affirmation suivante : « Le microscope est vis-à-vis de la fréquence spatiale l'analogue d'un filtre passe-bas utilisé en électronique »; quelle serait la fréquence de coupure ? I.D - Microscope électronique Pour augmenter le pouvoir séparateur d'un microscope, on peut envisager de remplacer les photons par des électrons et réaliser un microscope électronique. La longueur d'onde associée à un électron de quantité de mouvement p est X = h/ p (relation de de Broglie), avec constante de Planck : h: 6,62- 10--34J - s ; masse de l'électron : m = 9, 1 -- 10_31 kg. I.D.l) Un électron, supposé initialement au repos, est accéléré sous une dif- férence de potentiel de 10 kV . En supposant que l'on peut effectuer le calcul en mécanique classique, calculer la longueur d'onde associée à l'électron. I.D.2) Déterminer, à partir de la relation de Rayleigh, le pouvoir séparateur ultime d'un tel microscope d'ouverture numérique 0,4 et le comparer à celui du microscope optique utilisé. I.D.3) Quelles limites peut-on prévoir à l'utilisation de faisceaux électroni- ques plus énergétiques ? Les limitations évoquées précédemment ont conduit à l'avènement d'une nouvelle famille de microscopes, d'un principe différent, les microscopes à sonde locale. Les microscopes à sonde locale sont des appareils dont la caractéristique commune est d'explorer une sur-- face par des déplacements nanométriques d'une sonde au contact ou au voisinage de cette surface. L'invention du microscope à effet tunnel en 1984 a valu le prix Nobel à G. Binnig et H. Rohrer dès 1986 ; elle a été rapidement suivie par l'invention du microscope à force atomique. Dans le premier cas, la grandeur mesurée est un courant de l'ordre du picoam- père (courant tunnel) circulant entre la sonde et l'échantillon. Dans le second cas, la grandeur mesurée est la force d'interaction entre la sonde et l'échantillon. Partie II - Déformation d'une poutre Dans un microscope à force atomique, on mesure le déplacement de l'extrémité d'une poutre soumise à une force. L'objet de ce paragraphe est de relier la défor- mation d'une poutre aux efforts que subit celle-ci. Le référentiel d'étude est sup- posé galiléen. Concours Centrale-Supélec 2000 3/10 PHYSIQUE I Filière PC II.A - Poutre dans un champ de pesanteur On considère une poutre de faible section, de longueur L, de masse linéique uni- forme À, soumise à un champ de pesan- teur uniforme_> g-- -- --gey ,où ey désigne le vecteur unitaire de la verticale ascen- dante. On admettra que la poutre reste localisée dans un plan vertical (fig. 1 et 3). L'équation de la poutre à l'équilibre est y : n(x) . La section de la poutre étant faible, un point M de la poutre est repéré par son abscisse curviligne s ,celle- ci étant comprise entre 0 et la longueur L de la poutre. Les efforts exercés par le tronçon [s, L] sur le tronçon [O, 3 ] sont décrits par une force T(s) appliquée au point M et par un couple F(s). On désignera par et le vecteur unitaire ta __gent en M à la poutre. La direction de T(_s;) sera supposée dans le plan (0, ex ,e ), mais pas nécessairement colinéaire à e,. II.A.1) a) Préciser l'expression de la densité linéique de forces f (3) décrivant les efforts de pesanteur, le champ de pesanteur --gey et la masse linéique À étant unifor-- mes. y Figure 1 b) On prend pour système mécanique le tronçon M M ' compris entre les abscis- ses 3 et s + As ; on appelle G le centre d'inertie de ce tronçon. Représenter sur un schéma les forces s'exerçant sur le système en M , M' et G ; en déduire la résultante des efforts subis par le système. c) Donner les contributions au moment en G respectivement de T(s + As) , Î"(s + As) exercés en M '(s + As) et du poids du système. Donner de même les con- tributions au moment en G des efforts exercés par le tronçon [O, 3] sur le sys- tème en M (s) . En déduire le moment résultant en G . d) Écrire les deux équations vectorielles traduisant l'équilibre du tronçon [s, s + As] . II.A.2) a) Montrer que Tx(3) = TÎÊâ est une constante ; on notera To cette cons- tante. . . . . ----+ --> b) Donner l'équat1on d1fférent1elle rehant Ty(s) : T(s) - ey à X et g (équation : (l)) (1) --) --> _, 0) Montrer que F et T sont l1es par dËîs)+et(S)/\T(S) = 5. (2) Concours Centrale-Supélec 2000 4/10 PHYSIQUE I Filière PC II.B - Application à de petites déformations élastiques d'une poutre On utilise le modèle précédent pour décrire une poutre élastiqueà ; gn intro- duit pour cela l'angle 6 : (ex, et) où le vecteur et est toujours le vecteur tangent àla poutre au point courant. La déforma-- tion du tronçon [s, s + As[ est mesurée par AO : 6(s + As) -- 6(s) . Dans le domaine d'élasticité, le moment des efforts est pro- portionnel à la déformation. D'autre part, un même moment produit une défor-- mation d'autant plus grande que le tronçon est plus long ; la constante de proportionnalité est ainsi elle-même inversement proportionnelle à As . On peut donc poser : -> C --> F -- ÆAG ' ez \ (3) \ --> _ _ ----> ----> ou le vecteur eZ est le vecteur un1ta1re normal au plan (0, ex, e y) dans lequel on suppose localisé le système. Dans l'approximation des petites déformations, 9 reste faible. Cette approxima- tion sera utilisée dans toute la suite. II.B.1) a) Quelles sont alors les relations entre dx et ds , puis entre 6 et n'(x) ? b) Donner l'expression approchée de Î" à partir de l'équation (3) en fonction de n"(x)- c) Montrer que l'équation (2) permet d'exprimer T y en fonction de C , T0 et de dérivées de n(x) . II.B.2) Fléchissement d'une poutre pesante encastrée à une extrémité. On choisit l'origine des ordonnées de telle sorte que n(0) : 0 . L'encastrement est tel que la tangente à la poutre en x = 0 est horizon- tale. a) Compte tenu des conditions aux limites en x = L, donner les valeurs de T0, Ty (x = L) , F (x = L) . b) Établir, à partir de l'équation différentielle (l) et des résultats précédents, l'expression de Ty(x) . 0) Déterminer n'(0), n"(L) et n"'(L). Concours Centrale-Supélec 2000 5/10 PHYSIQUE I Filière PC d) Déterminer la loi d'élongation n(x) donnant la forme de la poutre à l'équili- bre. e) Préciser le déplacement n(L) de l'extrémité libre. f) Application numérique : Calculer numériquement le déplacement de l'extré- mité libre8 pour L = 100 mn, g = 9,81m-s_2, C = 2,12-10_12N-m2, % = 2, 93 10 8-kg m 1. H. B. 3) La poutre étant toujours soumise aux efforts de pesanteur envisagés précédemment, elle est en outre soumise à une force F= Fey appliquée ponc- tuellement a son extrémité x -- --L . a) Montrer que FL3 _4ÀgL 3--0 8C' b) À partir de quelle valeur de F les effets de pesanteur peuvent-ils être négligés '? n(L)-- _ (4) c) Application numérique : Calculer numériquement le déplacement de l'extré- mité libre pour L =100um, g = 9,81 m-s--2, C : 2,12-10_12N-m2, À : 2, 93 - 10_8 kg - nf1 , lorsqu'on applique une force F = --10"8 N à l'extrémité de la poutre. Partie III - Microscopes à sonde locale Il est bien sûr essentiel, pour reconstituer des détails fins de la surface, de contrôler de façon extrêmement fine la position de la sonde d'exploration. Ce contrôle peut être réalisé au moyen de cales piézo--électriques, dont le principe sera étudié dans le troisième paragraphe. III.A - Approche de l'origine de la force atomique III.A.1) Interaction entre ULJ(J) Figure4 deux atomes. L'interaction entre deux atomes distants de r peut être décrite par une énergie potentielle de Lennard- Jones (figure 4). B A ULJ(r)-- _ -1--2----6 avec r r ' _10 --10 6 5 - 10"10 1010 15-10 Modèle de Lennard-Jones A = 10"77 J-m 12 B = 10"134 J-m Concours Centrale-Supélec 2000 6/10 PHYSIQUE ! Filière PC a) Représenter l'allure de la courbe représentative de la force d'interaction F(r) en fonction de la distance r. Préciser si cette force est attractive ou répulsive. b) Déterminer numériquement la distance inter atomique rEUR à l'équilibre. c) Calculer numériquement F(O, 9 - re) et F(1, 1 -re) . Commenter. III.B - Modes statiques : mode à hauteur constante et mode asservi Le mode de fonctionnement le plus direct, dit mode à hauteur constante, consiste à déplacer la sonde dans un plan au-dessus de l'échantillon (figure 5). On enre- gistre alors la valeur de la force d'interaction entre l'échantillon et la pointe en fonction des coordonnées x, z dans ce plan. On utilise également un autre mode de fonctionnement, dit mode asservi, dans lequel la force mesurée est maintenue constante au cours du balayage, en ajustant, en chaque point x, z de mesure, la position en y de la sonde. La cale piézo-électrique en y est contrôlée par une boucle d'asservissement qui impose un balayage à force constante de l'échan- tillon. y Figure 5 y Figure 6 Trajectoire de la pointe Trajectoire de la pointe Mode à hauteur constante Mode à hauteur asservie III.B.1) Justifier la représentation dans la figure 6 d'une trajectoire de la pointe parallèle à la surface de l'échantillon. III.B.2) Ces deux modes de fonctionnement permettent--ils de déterminer la forme de la surface de l'échantillon si l'on ignore la loi d'interaction entre la pointe et l'échantillon ? III.B.3) Quels sont, selon vous, les avantages respectifs de ces deux modes ? III.B.4) Comment peut-on procéder pour accéder à la loi d'interaction ? Dans la partie HID, on envisagera un troisième mode de fonctionnement du microscope : le mode vibrant. Concours Centrale-Supélec 2000 7/10 PHYSIQUE I Filière PC III.C - Étude d'une lame de quartz piézo-électrique On considère une lame de quartz cylindrique d'axe Ox et de section S constante ; sur les faces extrêmes d'abscisses au repos x = --e/ 2 et x : +e/ 2 sont collées deux électrodes métalliques entre lesquelles on établit la dif- férence de potentiel u(t) = V(-- %, )--V(â, ). Le cristal est légèrement déformable et on note ë(x, t) l'élongation de la section d'abscisse x au repos. Soit F(x, t) la force exercée par la fraction de lame située au repos dans l'intervalle d'abscisses ] x, e/ 2 ] sur la fraction située au repos dans l'intervalle d'abscisses [ --e/2, x [. En négligeant les effets de bord, on _peut considérer que le champ électrique E et le déplacement électrique D: sOE + P, où P est le vecteur polarisation, sont de la forme: --> --> --> --> : E(x, t) ex et D : D(x,t) ex. Au voisinage d'un état d'équilibre, on admet les relations phénoménologiques : F_ ÊË. ËEax--g +hD _D .ôîj, +hâ_x où % est le module d'Young du quartz et c sa permittivité diélectrique absolue ; ces deux coefficients, ainsi que les coefficients piézo-électriques h et h' sont des constantes. III.C.1) Examiner les cas particuliers D = O, & quelconque, puis & = O, D quelconque. Commenter. III.C.2) Comparer les dimensions physiques des coefficients h et h' . Proposer des unités pertinentes pour ces coefficients. III. C. 3) a) Dans le cadre de l'approximation des rég)mes quasi- permanents, écrire les équations de Maxwell relatives à divD et rotE ,simplifier ces équations dans le cas où le champ magnétique, ainsi que la densité volumique de charges libres sont nuls: _ --0 et phbre-- -- 0. b) Montrer que le vecteur D est uniforme dans le quartz. c) À la séparation de deux milieux 1 et 2, on rappelle que la discontinuité de la composante normale du déplacement électrique est liée à la densité surfacique Concours Centrale-Supélec 2000 8/10 PHYSIQUE / Filière PC _ \ _ + --> ---> --> de charges fibres a l'interface par n12 - (Dz--D1) : oliboe, ou n12 est le vecteur unitaire normal à la surface de séparation orienté du milieu 1 vers le milieu 2. --> , _ --> Sachant que D est nul dans les électrodes métalhques, expr1mer D dans le quartz en fonction de la charge q(t) de l'électrode située en x = --e/ 2 et de l'aire S des électrodes. III.C.4) a) u désignant la masse volumique du cristal, établir l'équation différentielle du mouvement d'une tranche de cristal comprise au repos entre les sections x et x + Ax . b) Montrer que ë(x, t) est solution d'une équation de d'Alembert et préciser l'expression de la célérité de propagation c en fonction du module d'Young % et de la masse volumique u . Vérifier l'homogénéité dimensionnelle du résultat. c) Application numérique: Pour le quartz, on a ê" : 8,6-1010 Pa et u = 2, 7 - 103 kg - m--3 . Calculer numériquement c et commenter. III.C.5) On applique maintenant une force ? constante sur la section d'abs- cisse initiale x = e/ 2 , la section d'abscisse x = --e/ 2 étant maintenue immobile. Cette opération est réalisée de façon quasi-statique, tandis qu'un générateur maintient une différence de potentiel continue u entre les deux électrodes. a) Déterminer l'expression de l'élongation locale E,(x) à l'équilibre en fonction de e , x et de l'allongement total X = &(e/ 2) . b) Exprimer le champ électrique en fonction de u et de e . c) Établir l'identité thermodynamique dU : Td 5"+ FdX +eSEdD où U dési- gne l'énergie interne, T la température thermodynamique et .? l'entropie du quartz. d) Montrer que les coefficients piézo-électriques h et h' s'expriment simple- ment en fonction de S et de dérivées secondes de U . En déduire une relation entre h et h'. e) Application numérique : On donne e = 1 mm, h = 4,3 - 109 8.1. ,et 8 = 4,5 - 80 = 4- 10'11 F - m_1. Calculer l'allongement X du cristal soumis à une force F nulle et à une tension continue u = 100 V ; commenter. III.D - Mode vibrant Une alternative aux modes statiques décrits précédemment est une étude du comportement de la poutre en régime d'oscillations forcées. III.D.1) Pour simplifier l'étude du mouvement de la pointe liée à la poutre, on considérera que ce mouvement est identique à celui d'un système masse-ressort, l'élongation de la masse correspondant au déplacement transversal de l'extré- mité de la poutre. Concours Centrale--Supé/ec 2000 9/10 PHYSIQUE ! Filière PC a) Soit un ressort de raideur k , à l'extrémité inférieure duquel on accroche une masse m . On désigne par n l'écart par rapport à la position d'équilibre. Établir l'équation différentielle en n si l'extrémité supérieure est fixe et les frottements négligeables. b) On impose à l'extrémité supérieure un mouvement oscillant de loi horaire B(t) : BO sinoet . Déterminer l'amplitude H des oscillations de la masse m et la pulsation (00 pour laquelle cette amplitude présente une singularité. c) Expérimentalement, on trouve H = 100 S pour (0 = (00. Montrer que ce résultat est compatible avec un frottement proportionnel à la vitesse de la masse m et préciser la valeur du facteur de qualité Q de l'oscillateur. d) Outre la force de frottement précédente et la force de rappel élastique, la masse m est soumise à une force F(n) dépendant de la position de cette masse. La position d'équilibre du système est alors no. On effectue un développement limité à l'ordre 1 de F au voisinage de n ; montrer que l'on obtient alors un oscillateur amorti de pulsation oe* : Jk*/m, où k* est une raideur effective s'exprimant en fonction de la raideur k du ressort et d'une dérivée de F. IH.D.2) a) On applique le modèle dynamique précédent au microscope à force atomique. En utilisant l'équation (4), déterminer la valeur du coefficient de raideur k en fonction de C et L. b) Estimer l'ordre de grandeur de la masse oscillante m et en déduire celui de la pulsation propre d'un microscope utilisant la poutre étudiée dans la seconde partie. c) Justifier pourquoi on dit qu'en mode vibrant, le microscope à force atomique est sensible aux gradients de force ? d) Un déplacement du pic de résonance vers les basses fréquences indique-t-il une force attractive ou répulsive ? III.D.3) Les valeurs des déplacements mesurés avec les cales piézo-électriques nécessitent d'analyser l'influence de l'agitation thermique sur les oscillations erratiques de l'extrémité de la poutre. En considérant que l'oscillateur a un seul degré de liberté, un théorème de Mécanique Statistique, le théorème d'équipar- tition de l'énergie, indique que l'énergie cinétique moyenne et l'énergie poten- tielle moyenne valent chacune (1/ 2) kBT , où kB : 1, 38 - 10_23 J - K_1 . Déterminer l'écart quadratique moyen de la position de la masse par rapport à sa position d'équilibre dû à l'agitation thermique. Faire l'application numérique pour la température ambiante. Y a-t-il lieu de refroidir le système expérimental ? 00. FIN 000 Concours Centrale-Supélec 2000 10/10

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique 1 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Patrick Charmont (ENS Lyon) ; il a été relu par Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon) et Jean-Yves Tivenez (ENS Lyon). Cette épreuve propose d'étudier différents aspects de la microscopie, par des méthodes différentes et pour observer des objets de tailles différentes. Dans la première partie, on étudie en détail un microscope optique et on fait une comparaison avec un microscope électronique. La deuxième partie est purement mécanique : on étudie la déformation d'une poutre soumise à son poids et à une force extérieure, ce qui sera repris dans la troisième partie pour l'étude du microscope à sonde locale. La dernière partie est assez vaste ; elle fait appel à quelques notions d'atomistique, d'électromagnétisme et de thermodynamique. Indications I.B Soigner le schéma : tous les calculs géométriques s'y voient bien. I.C.1 Penser à la condition pour avoir des interférences constructives. I.C.6 S'aider du réseau. II.A.1 Bien se rappeler qu'un couple est un moment indépendant du point. II.A.2.c Penser à faire des D.L. au premier ordre. II.B.1 Tout découle d'un D.L. de au premier ordre. II.B.2.d Prendre garde aux nombreuses conditions limites sur les dérivés de . III.C.4 L'équation de d'Alembert se démontre de la même façon que pour les ondes sonores. III.C.5 Bien se rappeler de l'expression du travail d'un générateur dans un circuit électrique : W = udq. III.D.1.c Il y a une bizarrerie dans l'énoncé, il faudrait lire H = 1000 plutôt que H = 100S. III.D.2.d Prendre garde à l'orientation des axes. I Généralités sur la microscopie I.A Un globule sanguin a un diamètre de l'ordre de 10 µm (10-5 m), une structure cristalline (maille élémentaire) a une taille de l'ordre de 10-9 m, et un atome est caractérisé par l'angström (10-10 m). En définissant un pouvoir de résolution R = x par analogie avec le pouvoir de résolution d'un spectromètre (R = ) on x prend pour x la taille de l'objet observé, et pour x une longueur caractéristique (par exemple 1 m), ce qui permet de comparer les microscopes entre eux : ­ microscope optique R = 105 ; ­ microscope électronique R = 109 ; ­ microscope à sonde locale R = 1010 . I.B.1 Notons L1 la lentille de l'objectif, et L2 celle de l'oculaire (on doit avoir F2 = A pour obtenir une image à l'infini). L1 L2 B O1 A F1 F2=A' F'2 O2 F'1 B' I.B.2.a Un petit objet placé à une distance de l'oeil sera vu sous l'angle : = AB et à travers l'oculaire, s'il est placé au foyer objet (image à l'infini) : = d'où G = 10 = et f2 = AB f2 = f2 = 2, 5 cm 10 I.B.2.b On a = F1 F2 = 16 cm. En notant A l'image de A à travers l'objectif, on a forcément A = F2 , pour que l'image donnée ensuite par l'oculaire soit à l'infini. A B D'où 1 = 40 = = (triangles semblables : le théorème de Thalès permet AB f1 O1 H A B d'écrire : = et on a O1 H = AB.) O1 F1 F1 F2 = 4 mm 40 f1 = et Le grandissement étant aussi 1 = soit O1 A O1 A f + = 1 , on a O1 A = 40 40 O1 A O1 A = 4, 100 mm I.B.2.c L'oeil peut voir des objets situés entre et l'infini. En notant L L 1 2 A - A - A on avait A à l'infini précédemment. En plaçant A tel que F2 A = , on a F2 A · F2 A = -(f2 )2 = F2 A = d'où et F1 A = F1 F2 + F2 A = + F1 A · F1 A = -(f1 )2 = F1 A = - Finalement, O1 A = O1 F1 + F1 A = soit -f1 (f2 )2 (f2 )2 -1 (f2 )2 2 = -(f ) + 1 F1 A (f1 )2 - (f1 )2 -1 (f2 )2 + O1 A = 4, 098 mm La latitude de mise au point est donc extrêmement faible si l'oeil de l'observateur est fixé en F2 . On peut aussi en conclure que la profondeur de champ est de l'ordre du micromètre. I.B.2.d L'angle sous lequel on voit l'objet à travers l'oculaire est (voir schéma) = D'où soit G= A B f2 A B A B = × = × = × f2 AB f2 f1 f2 AB G = 400 C'est le produit du grossissement de l'oculaire par le grandissement de l'objectif. I.B.3 En approximant l'indice de l'air à 1, on a 0 = n sin u = sin u = 0, 65 d'où u = 0, 71 rad = 40, 5 L'angle est beaucoup trop grand pour que le microscope soit utilisé dans les conditions de Gauss. En pratique, on utilise un système secondaire pour ramener les rayons dans les conditions de Gauss, afin de supprimer d'éventuelles aberrations géométriques. En notant D le diamètre de l'objectif, on a aussi : tan u = D/2 f1 d'où D = 2f1 tan u soit D 6, 8 mm I.B.4 Cherchons l'image de O1 à travers L2 . 1 1 1 - = f O2 O1 O2 O1 2 O1 O2 = f1 + + f2 Or d'où soit 1 O2 O1 = 1 1 1 1 1 1 = - = - + f2 f2 f2 f1 + + f2 O2 O1 O1 O2 O2 O1 = 2, 88 cm Le cercle oculaire est donc à 3, 8 mm du foyer de l'objectif. En plaçant l'oeil à cet endroit, on récupère tous les rayons issus de l'objet, donc on a une meilleure luminosité. Pour calculer le diamètre D du cercle oculaire, on utilise le grandissement de L2 : = d'où D = D D O2 O1 = D O2 O1 O2 O1 1 mm O2 O1 En prenant un oculaire de grossissement élevé, on diminue f2 donc on éloigne la position du cercle oculaire. En mettant naturellement l'oeil proche de l'oculaire, on n'aura pas une luminosité maximale (sans compter qu'un angle trop élevé ne vérifiera plus les conditions de Gauss) et on fait augmenter D donc l'oeil ne peut plus collecter toute la lumière.