CCINP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2025

SESSION 2025

PC7MO

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
____________________

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

______________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes et de deux annexes.
Sujet : page 2 à page 13
Annexes : page 14 à page 16

1/16

Impact de la carbonatation d'un béton sur son intégrité
structurelle
Source : M. Thiery, Modélisation de la carbonatation atmosphérique des 
matériaux cimentaires : prise en
compte des effets cinétiques et des modifications microstructurales et 
hydriques, 2005

Introduction - Contextualisation de l'étude
L'ancrage d'un bâtiment dans le sol est fondamental afin d'assurer son 
intégrité structurelle
(figure 1a). Cette fonction est assurée à la fois par les fondations et les 
murs de soubassement qui
garantissent la stabilité du bâtiment et par la dalle qui relie les fondations 
entre elles et sert ensuite
de base rigide permettant de soutenir les murs. Une structure métallique, 
appelée treillis, intégrée à
la dalle permet une amélioration de ses performances mécaniques en compression 
et d'en assurer
la cohésion.

a.

b.

Figure 1 - Exemple de dalle d'une terrasse (a) et exemple d'un béton carbonaté 
(b)
Il existe de nombreux modes de défaillance d'une dalle de béton tels que la 
fissuration liée à une
déformation excessive et la granulation du substrat de la dalle induit par un 
non-respect des
proportions de sable, gravier et ciment.
Dans ce sujet, nous nous intéresserons à l'une des dégradations les plus 
courantes : la
carbonatation du béton. Le dioxyde de carbone présent dans l'air se dissout 
dans le béton. Ce
phénomène induit une oxydation de l'armature métallique dont le volume varie. 
Il en résulte alors un
écaillage du béton mettant à nu la structure métallique. Des observations 
similaires à la figure 1b
sont caractéristiques de cette dégradation.
Dans le but d'étudier ce phénomène, le sujet sera divisé en trois parties 
indépendantes :
· la partie I visera à déterminer la valeur du pH à la suite de la dissolution 
du dioxyde de
carbone de l'air dans le béton ;
· la partie II abordera la diffusion du CO2 dans le béton ;
· la partie III traitera de l'oxydation de la structure métallique et de son 
impact sur le risque
d'écaillement du béton.
On supposera les bibliothèques numpy et matplotlib chargées. L'annexe 1 
présente des
fonctions usuelles de Python. Les commentaires suffisants à la compréhension du 
programme
devront être apportés et des noms de variables explicites devront être utilisés 
lorsque ceux-ci ne
sont pas imposés.

2/16

Partie I - Acidification du milieu
Cette première partie aborde la dissolution du dioxyde de carbone de l'air 
ambiant dans le béton.
Pour ce faire, l'étude sera divisée en deux sous parties. Tout d'abord, la 
dissolution du CO2 dans la
solution dite interstitielle sera caractérisée afin d'estimer le risque de 
carbonatation du béton. La
réaction de cette solution avec la portlandite, principe actif du ciment, sera 
ensuite étudiée afin de
déterminer la valeur du pH de la solution.

I.1 - Risque de carbonatation à l'air ambiant
Dans la suite de ce sujet, la carbonatation d'une dalle en béton armé de 20 cm 
d'épaisseur (figure 2)
sera analysée et décrite. Le béton étant un milieu poreux, de l'eau prend place 
dans les pores et
dans les interstices du béton. Cette eau sera désignée par liquide interstitiel 
dans la suite du sujet.
On supposera que le géotextile sur lequel repose la dalle empêche tout échange 
d'énergie ou de
matière avec le support de la dalle ou du géotextile (figure 2).
Dans cette sous-partie, la réaction de la dalle avec l'air ambiant, de 
température air = 25°C et de
pression air = 1 bar, est étudiée. La table 1 rappelle la composition de l'air 
et indique la fraction
molaire de chaque composé. La concentration standard et la pression standard 
valent
respectivement  0 = 1mol  L-1 et 0 = 1 bar.
Composant
Fraction molaire en
phase gazeuse

CO2

O2

0,04 %

21 %

N2

78 %

Autres gaz
0,96 %

Table 1 - Composition de l'air

Figure 2 - Schématisation du problème
Q1. Exprimer la pression partielle en dioxyde de carbone CO2 en fonction de sa 
fraction molaire
dans l'air CO2 et de la pression atmosphérique air .

Q2. Donner l'équation de dissolution du CO2 (g) dans l'eau en CO2 (aq). On note 
 la constante de
cette équation. En déduire une relation entre la concentration en CO2 (aq) , 
notée [CO2 (aq) ], la
pression partielle CO2 , d , 0 et  0 .

La loi de Henry stipule : « À température constante et à saturation, la 
pression partielle dans la phase
vapeur d'un soluté volatile est proportionnelle à la concentration molaire de 
ce corps dans la solution
liquide ».
3/16

Q3. a. Donner l'équation d'hydratation du dioxyde de carbone dissous CO2 (aq) 
en acide carbonique
H2 CO3 (aq). On note hyd la constante de cette équation.
b. En déduire une relation entre la concentration en acide carbonique notée [H2 
CO3 (aq) ], hyd

et [CO2 (aq) ].

c. Exprimer la constante de Henry  telle que [H2 CO3 (aq) ] = CO2 en fonction 
de hyd, d , 0

et de  0 .

Q4. En déduire l'expression de [H2 CO3 (aq) ] en fonction de CO2 , air et de .

Q5. Rappeler les équations des réactions acide-base permettant la formation du 
CO3 2- (aq) à partir
du diacide H2 CO3 (aq) en milieu basique.

Q6. Donner les expressions des constantes d'équilibre 1 et 2 associées 
respectivement à la
réaction ayant le H2 CO3 (aq) comme réactif et la réaction ayant le CO3 2- (aq) 
comme produit.

Q7. Donner le tracé du diagramme de prédominance du diacide H2 CO3 (aq) en 
fonction du pH. On
donne a1 = 6,4 et a2 = 10,3.

Q8. Rappeler l'équation d'autoprotolyse de l'eau et donner l'expression de sa 
constante d'équilibre
E .

Le ciment est un composé minéral dérivant de la chaux vive obtenu par la 
calcination du calcaire.
L'hydratation de l'oxyde de calcium permet la synthèse du principe actif du 
ciment : l'hydroxyde de
calcium solide, également nommé portlandite et de formule chimique Ca(OH)2 .

Q9. Donner l'équation de réaction de dissolution de la portlandite Ca(OH)2(s) . 
En déduire
l'expression du produit de solubilité de cette réaction, noté p .

Q10. Les ions calcium ainsi libérés dans la réaction précédente précipitent 
avec les ions carbonates
CO3 2- (aq) pour former du carbonate de calcium CaCO3(s). Donner l'équation de 
précipitation du
carbonate de calcium CaCO3(s). Donner l'expression du produit de solubilité du 
carbonate de
calcium CaCO3(s), noté c .

Q11. Déduire des Q6, Q9 et Q10 une expression de la concentration en H2 CO3 
(aq) en fonction de
1 , 2 , c et de p . On donne log1 = 7,6, log2 = 3,7, logp = - 5 et logc = - 
8,4. Donner
la valeur de l'application numérique.

Il y aura risque de carbonatation si O2  0,04%. On donne  = 4  10-2 mol  L-1  
bar -1.

Q12. En déduire la valeur de CO2 . Y a-t-il risque de carbonatation à l'air 
ambiant ? Pourquoi ?

I.2 - Calcul du pH dans la solution interstitielle

Dans cette sous-partie, le pH de la solution interstitielle sera déterminé. On 
rappelle la condition
d'électroneutralité dans la solution interstitielle :
[3 + ] + 2[2+ ] = [3 - ] + 2[3 2- ] + [ - ]

()

Q13. En utilisant les expressions des différentes constantes d'équilibre et 
l'équation (), montrer
que la concentration en  - est régie par l'équation ().
4/16

([ - ]) =

2

2

- ]2
[
[ - ] - [ - ] = 0
+
-
-
[ - ]2 [ - ] 
2 

()

La résolution de cette équation étant difficile analytiquement, il est 
nécessaire de développer un
code Python pour en proposer une solution. Ce code proposera la solution de 
l'équation () par la
méthode de Newton, dont l'annexe 2 rappelle les grandes lignes. On supposera 
que les différentes
constantes ont déjà été définies dans le code principal.
Q14. a. Donner en justifiant l'intervalle des valeurs de  considéré usuellement 
de la fonction .
Proposer une valeur initiale pour l'algorithme de Newton.

b. Proposer alors une instruction définissant la variable pH_depart. Proposer 
une instruction
permettant de calculer à partir de pH_depart, la variable OH_depart qui sera 
utilisée comme
point de départ pour la méthode de Newton.

Q15. a. Proposer une fonction Fonction(x) renvoyant l'image de  par la fonction 
 définie par
l'équation ().
b. Déterminer l'expression de   , dérivée de la fonction .

c. Proposer une fonction Derive(x) prenant en argument une variable x et 
renvoyant l'image
de x par la fonction dérivée   .

Q16. Proposer la fonction Newton(g, dg, Pt, Er) prenant en arguments une 
fonction g, sa
dérivée dg, un point de départ Pt et une précision Er, définie auparavant. 
Cette fonction
renvoie la solution de l'équation () par la méthode de Newton.
Q17. Proposer une instruction appelant les fonctions définies aux Q15 et Q16 et 
renvoyant la
grandeur OH_Sol, solution de l'équation ().

On trouve OH_Sol = 10**(-1.6).

Q18. Déterminer le pH de la solution interstitielle. En déduire l'espèce 
prédominante pour le diacide
H2 CO3.

Partie II - Propagation du front de carbonatation

La première partie a permis de montrer l'importance du rôle du dioxyde de 
carbone dans la
carbonatation. Autrement dit, sans CO2 , il ne peut pas y avoir de 
carbonatation et donc de
modification du pH. Toutefois, ce gaz n'est pas naturellement présent dans le 
béton. La dissolution
du CO2 dans le liquide interstitiel explique la carbonatation à coeur. L'objet 
de cette partie sera de
quantifier la propagation du CO2 dans le béton afin de vérifier que le béton 
carbonate aux environs
de l'armature métallique du béton.

II.1 - Mise en équation du problème
Une dalle de béton exposée à l'air libre à une extrémité repose sur un 
géotextile interdisant tout
échange de particules ou d'énergie avec le sol. Au vu des dimensions de la 
dalle, le problème sera
supposé comme plan. Ainsi la schématisation de la figure 3 est adoptée.
Le béton est considéré comme homogène. Les hypothèses suivantes seront retenues 
:
· la carbonatation n'a pas d'impact sur la densité du béton ni sur sa 
microstructure ;
· le taux de CO2 dans l'air ne varie pas au cours du temps ;
· le béton est à l'équilibre hygrométrique avec l'humidité relative ambiante.
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Le CO2 (g) de l'atmosphère pénètre sous forme gazeuse dans le milieu poreux 
qu'est le béton, se
dissout dans la solution interstitielle des pores de la matrice cimentaire et 
réagit sur certains
composés du béton pour former des carbonates de calcium, comme nous l'avons vu 
dans la partie
précédente. La formation du carbonate de calcium peut ainsi colmater 
partiellement les pores. On
note :
·  : la porosité, nombre entre 0 et 1 qui correspond à la fraction volumique 
non occupée par
le matériau ;
·  : le taux de saturation des pores, nombre entre 0 et 1 qui correspond à la 
fraction volumique
des cavités remplies de solution interstitielle.

On admettra que la fraction de CO2 (g) est (1 - ).

Figure 3 - Schématisation du problème

Q19. En appliquant la première loi de Fick dans le cas unidirectionnel, relier 
le vecteur densité de
flux molaire à travers la zone d'échange du CO2 (g), noté 
CO2 , à la concentration en CO2 (g) ,
notée [CO2 (g) ], et au coefficient de diffusion, noté CO2 .

La réaction de carbonatation peut être modélisée par le mécanisme réactionnel 
simplifié suivant :
CO2 (g) + H2 O(l)  H2 CO3 (aq)

Ca(OH)2 (s) + H2 CO3 (aq)  CaCO3 (s) + 2H2 O(l)

()
()

La première transformation () représente la dissolution et l'hydratation du 
dioxyde de carbone
gazeux dans le liquide interstitiel. On supposera que cette dernière est totale 
dans la limite de
saturation . La seconde réaction (), décrivant la réaction de la portlandite 
avec le liquide interstitiel,
est également totale.

On note  la concentration en élément carbone. Le bilan de conservation de la 
matière écrite pour
l'élément carbone C donne l'équation suivante :
C = (1 - ) [CO2 (g) ] +  [H2 CO3 (aq) ] + CaCO3 (s)

où CaCO3 (s) représente la concentration en CaCO3 (s) .

Q20. Interpréter chacun des termes de l'équation ().
6/16

()

La première réaction () est supposée d'ordre apparent 1 par rapport au CO2 (g) 
tandis que la

seconde réaction () est d'ordre apparent 1 par rapport au H2 CO3 (aq) . Les 
constantes cinétiques

apparentes sont notées 1 et 2 , et vérifient 1  2 . La concentration initiale 
en CO2 (g) est notée 0 .

Q21. Exprimer la vitesse de formation de CO2 de la réaction () en fonction de 
[CO2 (g) ] d'une part

et en fonction de [CO2 (g) ] et de 1 d'autre part. Résoudre l'équation ainsi 
obtenue pour obtenir
une expression de [CO2 (g) ] en fonction du temps.

Q22. Exprimer la vitesse de formation de H2 CO3 en fonction de [H2 CO3 (aq) ] 
d'une part, puis en

fonction de [H2 CO3 (aq) ], [CO2 (g) ], 1 et 2 d'autre part. Montrer que 
l'expression de l'équation
() est solution de l'équation de la vitesse de formation.
() =

0 1
( -1  -  -2  )
2 - 1

()

Q23. En déduire que l'on peut écrire [H2 CO3 (aq) ] =  [CO2 (g) ] après un 
intervalle de temps à
préciser. Donner l'expression de la constante  en fonction de 1 et de 2 .
Q24. Exprimer la vitesse d'apparition de CaCO3 d'une part uniquement en 
fonction de CaCO3 et
d'autre part en fonction de [H2 CO3 (aq) ] et 2 .

Q25. Comme le coefficient de diffusion du CO2 (g) en phase gazeuse est 
supérieur à celui des
espèces en phase liquide, on suppose que l'élément carbone se transporte 
uniquement dans
la phase gazeuse par diffusion.
a. En appliquant l'équation de diffusion dans le cas unidirectionnel, relier
[CO2 (g) ].

à CO2 et

b. À l'aide des Q23, Q24 et Q25a, montrer que la relation () se met sous la 
forme de
l'équation de transport suivante :
(1 -  + )

 [CO2 (g) ]

+ 2  [CO2 (g) ] = CO2

 2 [CO2 (g) ]

II.2 - Résolution numérique de l'équation de transport

 2

()

L'objet de cette sous-partie est de déterminer l'instant à partir duquel la 
valeur de la concentration
devient supérieure au seuil défini à la Q12 de la sous-partie I.2. À cette fin, 
la méthode d'Euler sera
mise en place pour intégrer l'équation () afin de déterminer l'évolution de 
concentration en CO2 (g)
au cours du temps en intégrant l'équation () de la Q32. Le script Python 
(figure 4) sera ainsi
exploité. Ce dernier se compose de plusieurs sections :
· la première section définit les grandeurs fixes du problème ;
· la deuxième section initialise les listes résultats ;
· la troisième section permet de déterminer l'évolution en fonction du temps de 
la
concentration ;
· la quatrième section permet de vérifier si la valeur minimale de la 
concentration est
supérieure à la valeur seuil et renvoie la valeur de la profondeur le cas 
échéant ;
· La cinquième section est destinée à la visualisation de ces résultats.

7/16

Le temps sera discrétisé en  points espacés d'un incrément temporel  tandis que 
l'espace sera
discrétisé en  points espacés d'un incrément spatial . On discrétisera 
l'équation () par la
méthode des différences finies afin d'obtenir la relation de récurrence qui 
sera donnée par l'équation ().
On notera (, ) la concentration en dioxyde de carbone, [CO2 (g) ], à un instant 
 et à une profondeur 

(figure 3). La concentration surfacique en CO2 (g) sera notée C0. À l'instant 
initial, la concentration

sera supposée nulle sauf en surface où elle vaut C0.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Section 1 : Définition des données
N_x = 50
N_T = 1000
T_max = 100
L_max = 20
k2 = 3*10**(-7)
S = 0.5
Phi = 10**(-3)
Alpha = 3*10**(-2)
D_CO2 = 10**(-3.4)
C0 = 2.5*10**(-3)
#Section 2 : Initialisation des résultats
#Instruction 1
for i in range(N_T):
#Instruction 2
#Section 3 : Implantation de la méthode d'Euler
#Instruction 3.a
#Instruction 3.b
#Instruction 4
for i in range(0, N_T-1):
for j in range(1,N_x-1):
#Instruction 5
#Section 4 : Application du seuil
def C_seuil(C, Vseuil):
Res = #Instruction 6.a
for i in range(#Instruction 6.b) :
for j in range(#Instruction 6.c):
if #Instruction 6.d:
#Instruction 6.e
break
return Res
#Section 5 : Visualisation des résultats
LT, Front = #Instruction 7.a
#Instruction 7.b
#Instruction 7.c
#Instruction 7.d
#Instruction 7.e
plt.show()

Figure 4 - Script Python permettant de déterminer l'évolution de la 
concentration
Q26. Compléter l'Instruction 1 permettant d'initialiser le tableau C_CO2. Cette 
variable aura
N_x colonnes et N_T lignes et sera remplie de zéros.
Q27. Donner la condition initiale et les conditions aux limites du problème. 
Les implémenter dans le
code à l'aide des Instructions 2.
Q28. En utilisant la durée d'intégration T_max et l'épaisseur de la chape 
L_max, compléter les
Instructions 3.a et 3.b définissant les incréments spatial dx et temporel dt du
problème.
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On rappelle la formule de Taylor Young donnant le développement limité à 
l'ordre 2 d'une fonction
 en fonction de ses dérivées :
  ()
( - )² + (( - )2 )
()
() = () +   ()( - ) +
2
Q29. À l'aide de la formule de Taylor Young, exprimer :
a. (,  + ) au premier ordre par rapport à  ;

b. ( + , ) au second ordre par rapport à  ;

Q30.

c. ( - , ) au second ordre par rapport à .
À l'aide de la question précédente, exprimer :

a.

(,)

b.

2 (,)

en fonction de (,  + ), (, ) et de ;

 2

en fonction de ( + , ), ( - , ), (, ) et de .

On associe à (, ) la discrétisation suivante : , = ( ,  ) avec  =  et  = ,  et  
étant
des entiers.
Q31. En déduire les expressions des discrétisations associées à :
a.

(,)

b.

2 (,)

 2

,
.

Q32. a. En déduire l'expression discrétisée de l'équation () que l'on mettra 
sous la forme de
l'équation ().
On précisera les expressions de , ,  et .

+1, = , + ,-1 + ,+1

b. Compléter l'Instruction 4 permettant de définir ces variables.

()

Q33. Compléter l'Instruction 5 permettant de renseigner les différentes valeurs 
des
concentrations au cours du temps et dans l'espace dans le tableau C_CO2.
La concentration en CO2 (g) limite avant carbonatation vaut Vseuil. L'objectif 
de la section 4 sera
de déterminer la profondeur à partir de laquelle la concentration en CO2 
devient inférieure à cette
valeur. Ainsi, la fonction C_seuil(C_CO2, Vseuil) prendra en arguments le 
tableau de
concentration dans l'espace et dans le temps, et la valeur du seuil. Elle 
renverra le tableau de la
profondeur du front de carbonatation correspondant à chaque valeur du temps. Si 
la valeur seuil
n'est pas atteinte, alors il sera supposé que la profondeur associée soit 0.
Q34. Compléter les instructions 6 permettant de définir cette fonction. 
L'instruction 6.a
initialisera le tableau à une dimension des résultats Res. L'instruction 6.b 
permettra le
parcours des lignes. L'instruction 6.c induira le parcours des différentes 
profondeurs de
la dalle. L'instruction 6.d permettra de comparer la valeur de la profondeur 
associée au
seuil. L'instruction 6.e stockera le résultat dans le tableau Res.
9/16

L'exécution du code a permis d'obtenir la figure 5.

Figure 5 - Évolution de la profondeur du front de carbonatation au cours du 
temps
Q35. En déduire l'instant à partir duquel il y a risque de carbonatation aux 
alentours de l'armature
métallique sachant que l'armature se trouve à 15 cm de profondeur.
Q36. Compléter les Instructions 7 de la figure 4 afin d'obtenir les résultats 
de la figure 5 :
a. l'Instruction 7.a permet de remplir le tableau des temps noté LT qui varie 
de 0 à
100 jours en N_T échantillon et de remplir le tableau Front qui correspond à la 
profondeur à
partir de laquelle il y a carbonatation pour un seuil Vseuil = 410-4 molL-1 ;
b. l'Instruction 7.b permet de tracer le front en fonction du temps en rouge 
continu ;
c. l'Instruction 7.c génère le titre de l'axe des abscisses ;
d. l'Instruction 7.d génère le titre de l'axe des ordonnées ;
e. l'Instruction 7.e nomme le graphique « Profondeur de carbonatation ».

Partie III - Oxydation des armatures
La première partie du sujet a permis de montrer que la carbonatation diminuait 
la valeur du pH du
milieu. La deuxième partie a permis de montrer que la carbonatation pouvait 
avoir lieu aux environs
de l'armature métallique. Dans cette dernière partie, nous étudierons 
l'oxydation de ces armatures.
Dans un premier temps, l'oxydation du fer et son impact sur le volume occupé 
par son oxyde seront
étudiés. Dans un second temps, la vitesse de variation de volume sera validée 
expérimentalement.

III.1 - Oxydation de l'armature
Le sujet d'étude de cette sous-partie est l'oxydation de l'armature métallique 
par la solution
interstitielle dont le pH a été déterminé dans la partie I. Le problème peut 
être modélisé par la
figure 6. Les hypothèses suivantes sont formulées :
· le liquide interstitiel est assimilé à une solution aqueuse basique ;
· le liquide interstitiel entoure entièrement et uniformément les armatures ;
10/16

·
·

l'armature est uniquement composée de fer pur Fe ;
la réaction de carbonatation est totale.

La corrosion de l'acier dans le béton est un phénomène électrochimique. La 
solution interstitielle du
béton constitue l'électrolyte (milieu basique aéré) et l'armature est le siège 
à la fois d'une oxydation
et d'une réduction.

Figure 6 - Modélisation du problème
La corrosion peut être décrite comme suit :
· oxydation anodique du fer solide en Fe2+ (),
· réduction cathodique de l'oxygène en ions hydroxides,
· formation du précipité d'hydroxyde de fer Fe(OH)2 () à la surface de l'acier.

Q37. Écrire les demis-équations d'oxydation et de réduction et la réaction de 
formation du précipité.
L'hydroxyde de fer (II) qui se forme n'est pas stable en solution aqueuse aérée 
: en présence
d'oxygène, il peut selon le pH donner d'autres formes. On étudie figure 7 le 
diagramme de Pourbaix
du fer.

Figure 7 - Diagramme de Pourbaix du fer
Q38. Tracer le diagramme de Pourbaix sur votre copie et positionner dessus les 
espèces chimiques
suivantes : Fe ,Fe2+ , Fe3+ , Fe(OH)2 et Fe(OH)3 .

Un béton sain aura un pH avoisinant les 13 tandis que le potentiel de 
l'armature sera situé entre
-0,2 et 0,3 V. Un béton carbonaté aura lui un pH proche de 9 et le potentiel 
électrique de l'armature
sera proche de -0,5 V.
Q39. Donner l'état du fer dans un béton sain et dans un béton carbonaté.
11/16

Le fer pur a une masse volumique 1 et l'hydroxyde de fer Fe(OH)2 une masse 
volumique 2 .

Q40. Déduire la variation de volume  induite par l'oxydation du fer en 
fonction, entre autres, de
1 et 2 .

La loi de Faraday permet d'établir la relation () entre les entités suivantes :
· , la constante de Faraday ;
· , la masse molaire de l'hydroxyde Fe(OH)2 ;
· , l'intensité du courant induit par la réaction d'oxydo-réduction ;
· , le temps ;
· (), la masse de l'hydroxyde Fe(OH)2 formée à l'instant t ;
· , la valence de l'hydroxyde Fe(OH)2 .

() =

()

Q41. a. À l'aide de la loi de Faraday, déterminer l'expression du volume 
d'oxyde formé au cours du
temps.

b. On modélise l'ossature de l'armature par un cylindre de longueur . On note  
le rayon de
l'ossature saine et () le rayon de l'ossature quand il y a oxydation. 
Déterminer l'expression
du volume d'oxyde formé en fonction de , () et de  .

c. Montrer que l'évolution temporelle de la section induite par l'oxydation de 
l'armature est
régie par l'expression suivante où on donnera les expressions de  et de 0 : () 
=   + 0 .

III.2 - Validation numérique

Cette partie est consacrée à la validation numérique de l'expression définie à 
la Q41c. Pour ce faire,
diverses photos à intervalles de temps réguliers ont été prises. Les conditions 
dans lesquelles
reposait le béton seront supposées identiques à chaque prise de vue. Des coupes 
ont été faites
dans le béton permettant d'obtenir des vues similaires à celles de la figure 8 
dans laquelle  et
+ représentent les diamètres de l'armature aux instants  et  + . L'objectif de 
cette sous-partie
sera de mettre en place un programme permettant de déterminer le diamètre de 
l'armature.

Figure 8 - Vue du béton et coupe

Un post traitement a permis de convertir l'image de l'armature en une image en 
noir et blanc et
d'isoler une armature, qui sera supposée être au centre de la photo. L'image 
ainsi obtenue sera de
forme carrée de  pixels de côté. Un pixel noir sera supposé de valeur 0 et un 
pixel blanc aura une
valeur de 1. Tout d'abord, les contours de l'image permettant de délimiter 
l'armature du béton seront
identifiés. Les coordonnées du contour seront stockées dans la liste Contour. 
Le contour sera
identifié par l'ensemble des pixels noirs entourés d'au moins un pixel blanc 
(figure 9).

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Figure 9 - Définition du contour

Q42. La variable image est un tableau bidimensionnel de dimension NpxNp où 
chaque élément
représente un pixel de la photo. La valeur 0 sera associée à la présence 
d'armature. Remplir
la série d'instructions de la figure 10 permettant de stocker dans la liste 
Contour les
coordonnées des points du contour de l'armature.
a. Compléter l'Instruction 1 permettant d'initialiser la liste Contour.
b. Compléter les Instructions 2 et 3 permettant de parcourir le tableau image.
c. Compléter l'Instruction 4 permettant de déterminer les pixels définissant le 
contour de
l'image.
d. Stocker ces pixels dans la liste Contour à l'aide de l'Instruction 5.
[Instruction 1]
for i in range([Instruction 2]):
for j in range([Instruction 3]):
I = image[i,j]
if I==0 and ( ... or ... or ...):#[Instruction 4]
[Instruction 5]

Figure 10 - Script permettant de déterminer les coordonnées des points du 
contour d'une
armature

Le diamètre de l'armature sera déterminé à partir de la plus grande distance 
séparant deux points
distincts du contour.

Q43. Proposer une fonction Distance permettant de déterminer la distance 
euclidienne entre deux
points de coordonnées X et Y. Cette fonction prendra en arguments deux listes de
coordonnées CoordA et CoordB et renverra la distance entre ces deux points.

Q44. Proposer une valeur permettant l'initialisation du diamètre.

Q45. Proposer les instructions permettant de calculer la valeur du diamètre de 
l'armature métallique.

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Annexe 1 - Quelques commandes utiles en langage Python
Bibliothèque NUMPY
Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque numpy a préalablement été 
importée à l'aide de la
commande : import numpy as np. On peut alors utiliser les fonctions de la 
bibliothèque, dont
voici quelques exemples :
·

·

·

·

np.linspace(start, stop, N_point) :
o Description : renvoie un nombre d'échantillons espacés uniformément, calculés 
sur
l'intervalle [start, stop] ;
o Argument d'entrée : début, fin et nombre d'échantillons dans l'intervalle ;
o Argument de sortie : un tableau.
Z

Z

np.linspace(1, 4, 5)

[1., 1,75, 2,5, 3,25, 4.]

np.zeros(i) :
o Description : renvoie un tableau de taille i rempli de zéros ;
o Argument d'entrée : un scalaire
o Argument de sortie : un tableau.
Z

Z

np.zeros(5)

[0, 0, 0, 0, 0]

np.array(liste) :
o Description : crée une matrice (de type tableau) à partir d'une liste.
o Argument d'entrée : une liste définissant un tableau à 1 dimension (vecteur) 
ou
2 dimensions (matrice).
o Argument de sortie : un tableau (matrice).
Z

Z

np.array([4, 3, 5])

[4, 3, 5]

A[i,j] :
o

o
o

Description : retourne l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A. Pour accéder à
l'intégralité de la ligne i + 1 de la matrice A, on écrit A[i, :]. De même, 
pour obtenir
toute la colonne j + 1 de la matrice A, on utilise la syntaxe A[: , j].
Argument d'entrée : une liste contenant les coordonnées de l'élément dans le 
tableau
A.
Argument de sortie : l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A.
Z

Z

A = np.array([[1, 2, 1],[4, 6, 3], [1, 3, 8]])
A[1, 2]

3

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Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT

Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples 
ci-dessous, la
bibliothèque matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la 
commande :
import matplotlib.pyplot as plt.
o Description : fonction permettant de tracer un graphique de n points dont les
abscisses sont contenues dans le vecteur x et les ordonnées dans le vecteur y. 
Cette
fonction doit être suivie de la fonction plt.show() pour que le graphique soit 
affiché.
o Argument d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de n éléments) et un 
vecteur
d'ordonnées y (tableau de n éléments). La chaîne de caractères 'SC' précise le 
style
et la couleur de la courbe tracée. Des valeurs possibles pour ces deux critères 
sont :

o

Argument de sortie : un graphique.
x = np.linspace(3, 25, 5)
y = np.sin(x)
plt.plot(x,y,'-b') # tracé d'une ligne bleue continue
plt.title(`titre_graphique') # titre du graphe
plt xlabel(`x') # titre de l'axe des abscisses
plt ylabel(`y') # titre de l'axe des ordonnées
plt.show()

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Annexe 2 - L'algorithme de Newton
Présentation de la méthode :
L'algorithme de Newton est une méthode consistant à faire converger une suite ( 
) vers la
solution de l'équation () = 0 dont on note  la courbe représentative. Cette 
méthode se
décompose en plusieurs étapes.
· Initialisation de 0 à une valeur quelconque.
· Calcul de 1 à partir de la tangente à  en 0 . Cette dernière intersecte l'axe 
des abscisses
en 1 .
· Calcul de +1 en fonction de  tant que la distance |+1 -  | est supérieure à 
l'erreur
souhaitée.

Cette tangente coupe l'axe des abscisses si :  = 0.
On a ainsi :   ( )(+1 -  ) + ( ) = 0.

( )
.
Soit : +1 =  - 
 ( )

FIN

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I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 25 1052 ­ D'après documents fournis

Formule de récurrence :
Par définition, +1 est l'abscisse du point d'intersection de la tangente  en  
avec l'axe des
abscisses. L'équation de la tangente est donc :  =   ( )( -  ) + ( ).