CCP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2021

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SESSION 2021 (@+ PCSMO

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.

Sujet : page | à page 12.
Annexe : page 13 à page 16.

1/16
Modélisation de la fuite de matière d'un réservoir rempli de
dioxyde de carbone gazeux

Présentation générale

Ce sujet repose sur l'étude théorique et numérique d'une fuite de matière au 
sein d'une cuve contenant
du dioxyde de carbone (CO;) gazeux. Il est constitué de trois parties 
indépendantes.
- La première partie est dédiée à l'établissement du modèle thermodynamique du 
phénomène de
fuite de matière contenue dans une cuve à travers un orifice.
- La seconde partie est consacrée à l'étude numérique du problème; la relation 
entre la capacité
thermique molaire CP, du CO, gaz parfait et la température T est admise.
- La troisième partie est consacrée à l'étude de deux modèles pour décrire la 
relation entre CP,, et
T dont les coefficients sont déduits de mesures expérimentales.

Traitement numérique et calcul scientifique réalisés à partir d'un programme 
écrit en langage
Python

Les programmes demandés au candidat seront réalisés dans le langage Python.

On veillera à apporter les commentaires facilitant la compréhension du 
programme et à utiliser
des noms de variables explicites.

Il est demandé de répondre précisément aux questions posées (par exemple, on 
écrira une
fonction uniquement lorsque cela est explicitement demandé).

Une annexe décrivant quelques éléments de langage Python utiles pour ce sujet 
est fournie en
page 15.

Précisions concernant les notations utilisées

Symbole Nom Unité
Cm Capacité thermique molaire à pression constante J-K-!-mol !
Cp Capacité thermique massique à pression constante  J-K"!'-kg"!
D Débit massique kg-s"!
h Enthalpie massique Ike"!
M Masse molaire kg-mol"!
m Masse kg
P Pression Pa
O = 60/dt Puissance thermique W
R Constante des gaz parfaits J-K"!-mol !
T Température K
T' Température critique K
U Énergie interne J
u Énergie interne massique Ike"!
V Volume m°
W = 6W/dt Puissance utile W
& Vitesse des courants de matière ms"!
O Section de fuite m°

2/16
Partie I - Modélisation de la fuite d'un réservoir : mise en équation

Généralités sur les bilans de matière et d'énergie en système ouvert

On s'intéresse au système ouvert décrit par la figure 1. Ce système possède une 
entrée de matière
(notée A), une sortie (notée B). Il reçoit du milieu extérieur une puissance 
thermique Q, et une puissance
de force W,. Il fournit au milieu extérieur une puissance thermique ©, et une 
puissance de force W..

Les grandeurs Q,, Q,, W.,, W., sont définies comme des quantités algébriques. 
En revanche, les débits
massiques D,, A et D,,8 Sont définis comme des quantités positives.

ON

PO N / D

Système d'étude à la
Entrée de matière (A) =} date f > Sortie de matière (B)
Température TA Énergie interne : U(P) Température 7,
Pression PA Masse : m(f) Pression P,
Débit massique Dy.A KL A \ J Débit massique D, B
Vitesse w / \ Vitesse Op
Enthalpie massique AA û Tr Enthalpie massique Ag

Figure 1 - Représentation schématique d'un système ouvert

Q1. Donner l'unité des grandeurs W, Q et D, mentionnées sur la figure 1.
Q2. Le système considéré est supposé évoluer en régime stationnaire. Quelle est 
la relation entre les
débits des courants de matière entrant D,, A et sortant D,,8 ? Justifer.

Q3. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système ouvert 
stationnaire de la fi-
sure 1. Montrer qu'il peut se mettre sous la forme :

(D)

Débit d'énergie | { Débit d'énergie
entrant h sortant |

On explicitera les termes débits d'énergie (homogènes à une puissance) en 
fonction des gran-
deurs introduites par la figure 1.

Q4. Le système étudié de la figure 1 est supposé évoluer en régime transitoire. 
On note m(f), la
fonction représentant l'évolution de sa masse m en fonction du temps f. À 
partir d'un bilan

: 1 dm(f) Le
de matière, déduire la relation existant entre PE Da et D, 8. Proposer une 
interprétation
qualitative du bilan.

On admet dans la suite l'écriture du premier principe en système ouvert, 
étendue aux systèmes immo-
biles en régime transitoire :

dau Débit d'énergie | _ Débit d'énergie | O)

df entrant sortant

où dU'/df désigne la dérivée de l'énergie interne du système étudié par rapport 
au temps f.

Q5. Proposer une interprétation qualitative du bilan d'énergie traduit par 
l'équation (2).

3/16
Écriture d'un modèle décrivant la fuite d'un réservoir adiabatique contenant du 
CO;

On s'intéresse à présent à un réservoir contenant un gaz supposé parfait. Ce 
réservoir indéformable (donc
de volume V fixe) est le siège d'une fuite vers le milieu environnant à la 
température TT, = 293 K et à la
pression Px = 1,01 bar supposées fixes dans tout le sujet. Il n'est pas agité 
mécaniquement. Toutefois,
les propriétés du gaz dans le réservoir sont supposées uniformes à chaque 
instant. Ce réservoir est décrit
par la figure 2.

Réservoir adiabatique

1  Gazdansie ||

; Fuite de gaz (sortie de matière)
réservoir >

Débit massique : D,,8
e masse M(f)

e température 7(f)
e pression P(f) : |
| e volume / fixe Milieu environnant
| + énergie interne U(f)

Température 7.
\ « enthalpie massique A(f) Pression P .
Ex

Figure 2 - Réservoir adiabatique renfermant du gaz et soumis à une fuite de gaz 
vers le milieu environ-

nant

Q6.

Q7.

Le modèle gaz parfait

a) Dans quelle situation limite un gaz réel s'identifie-t-1l exactement à un 
gaz parfait ?

b) Donner la valeur du rapport CP,/R pour un gaz parfait monoatomique. Faire de 
même pour
un gaz parfait diatomique.

c) Pour le CO; gaz parfait, le rapport C?,/R dépend de la température selon une 
loi notée par la
suite f(T). L'étude de la loi f(T') sera l'objet de la partie suivante.

Donner un argument physique expliquant pourquoi, pour le CO;, CPn/R est une 
fonction de la
température contrairement au cas des gaz parfaits mono- et di-atomiques.

d) Donner la relation unissant les variations d'énergie interne molaire dU,, et 
de température dT
à la fonction f(T). En déduire l'expression de du/dT où u désigne l'énergie 
interne massique
d'un gaz parfait pur.

On suppose que les propriétés intensives du gaz dans le réservoir (entre 
autres, sa température
T, Sa pression P et son enthalpie massique h) sont uniformes. On considèrera 
que les propriétés
intensives du gaz sortant sont les mêmes que celles du gaz dans le réservoir. 
On s'intéresse au
système {volume contenant le gaz à T et P dans le réservoir, paroi non 
comprise} représenté
par des pointillés sur la figure 2. Montrer que l'application du bilan de 
matière et du premier
principe au système en pointillés décrit par la figure 2 amène :

dm(t) = _D,,
ik, s
dd --Dy,8 * NE)

On supposera négligeable l'énergie cinétique massique de la matière quittant le 
système.

4/16
Q8. En introduisant la relation entre l'énergie interne massique w (en J-kg"') 
et l'énergie interne U
(en J) du système étudié, montrer que l'équation (3) amène :

du R:T dm

 --  -- 4
d M:m di o
où À et M désignent respectivement la constante des gaz parfaits et la masse 
molaire du gaz.
En déduire que :
dT OT dm
T)-1]-- =-.-- 5
JO) ITS (S)

On cherche à présent à estimer le débit D,,8 de gaz quittant le réservoir. Pour 
ce faire, on s'intéresse à
la zone de l'espace dans laquelle se produit la fuite.

Réservoir adiabatique

Agrandissement au
voisinage de l'orifice à
travers lequel le CO:
s'échappe du réservoir

Gaz dans le
réservoir

Figure 3 - Fuite de CO; gazeux à travers l'orifice dans la paroi du réservoir

On considère le système {orifice dans la paroi du réservoir} ; on supposera que 
:
- l'écoulement de gaz à travers l'orifice est adiabatique et stationnaire ;
- Ja vitesse du gaz en entrée du système est nulle ; elle est notée w en sortie 
;
- la température et la pression du gaz en entrée sont notées T' et P (ce sont 
celles du gaz à l'intérieur
du réservoir); en sortie, elles sont notées 73 et Pp = Paxt = 1,01 bar.

Q9. Montrer que le débit massique D,,8 de fluide à travers la section de 
l'orifice est donné par :

_Q-og-M:Pex
_ R Th

DB (6)
où la surface Q désigne la section de passage du fluide à travers l'orifice.

Q10. Expression de wg en fonction de T;z
En appliquant l'expression du premier principe en système ouvert stationnaire, 
donnée par
l'équation (1), au système {orifice dans la paroi du réservoir} délimité par 
des pointillés sur
la figure 3, montrer que la vitesse de sortie du CO, a pour expression :

R fr
OB = \ ui J. J(T)AT. (7)

5/16
Q11. Méthode de calcul de T}
a) En négligeant les frottements au sein du système considéré, on peut supposer 
l'écoulement
réversible. Montrer, par application du second principe, que cette hypothèse 
amène à suppo-
ser l'écoulement isentropique massique (ou molaire) (1.e., à entropie massique 
- ou molaire -
constante).
b) Montrer que la variation d'entropie massique d'un gaz parfait pur s'écrit :

R |CpmdT  dP
ds = | - -- (8)
M|IRT P
En déduire que T} est solution de l'équation :
"8 f(T P R-T
[ JO 7 + In = 0 avec P -- 77 (9)
T T Poxt M ° V

Finalement, en réunissant les équations (3), (5), (6), (7) et (9), le modèle 
ainsi constitué est représenté
par le système suivant :

[dr T dm
dt m[f(T)-1] dr

4 T 10
am Peu Y2 f,, SCDAT do)
dt

avec 72 solution de :
18 f(T -RT
[ Ja) ar en |- O. (11)
T T M ° V ° Poxt

Partie II - Modélisation de la fuite d'un réservoir : traitement numérique

Dans cette partie, on fera référence au modèle défini par les équations (10) et 
(11).

Données numériques utiles pour cette partie :

R = 8,3144 J : mol ! -K'!
M = 44: 107 kg/mol

Tax = 293 K
Pexi = 1,01 bar
V=lm
Q = 1 cm"
T en K
Modèle pour CpmlR : f(T) = À; + r avec A _ 810
A3 -- 485,6

T(0) = 473,15 K
m(0) = 11,0 kg

Conditions initiales :

6/16
Q12.

Q13.

Intégration numérique

a) Donner le code de la fonction integ1(T1,T2) réalisant le calcul analytique 
de l'intégrale
D

f(T)dT (T1 et T2 sont des arguments d'entrée de la fonction integl1 qui 
désignent les
T
bornes de l'intégrale).

b) Donner le code de la fonction integ2(T1,T2) réalisant le calcul numérique de 
l'intégrale

T> T
[ eo ar (T1 et T2 sont des arguments d'entrée de la fonction integ2 qui 
désignent les
T

bornes de l'intégrale).

La méthode des rectangles sera adoptée pour estimer l'intégrale ; l'intervalle 
des températures
sera divisé en 100 sous-intervalles).
Ces deux fonctions pourront être appelées autant de fois que nécessaire par la 
suite.

La fonction chercheTB(T,m) fournie ci-dessous renvoie, pour des valeurs connues 
des variables
T et m, la valeur correspondante de T} obtenue par résolution de l'équation 
(11) selon la méthode
de Newton :

import numpy as np

A1 = 8.303; A2 = -2810.; A3 = 485.6

TO = 473.15; m0 = 11.0

Pext = 1.01e5; Mw = 44e-3; Volume = 1.0; Text = 293.

R = 8.3144

def chercheTB(T,m):
TB = 300.
[instruction!1]

while residu > 1e-10:
eq = [instruction2]
deq = [instruction3]
TBold = TB
TB = TB - eq/deq
residu = [instruction4]
return TB

Pour compléter la portion de code ci-dessus, indiquer par quelles instructions 
1l convient de
remplacer les séquences [instruction1] à [instruction4]. Justifier.

La fonction chercheTB(T,m) pourra être appelée autant de fois que nécessaire 
par la
suite.

Pour résoudre une équation différentielle mise sous la forme y'(f) = f(f,y(t)), 
on peut utiliser le schéma
d'Euler dont on rappelle l'expression :

VC + At) = y(r) + f(£,y()) x At. (12)

Dans le cas d'un système d'équations différentielles d'ordre 1, de la forme 
y'(f) = f(r,y(r)), on peut
généraliser le schéma d'Euler de la manière suivante :

VE + At) = y(t) + É(L,y(E)) x At (13)

où y(f) désigne le vecteur des fonctions inconnues évaluées à la date courante 
f.

7/16
Q14. Donner l'algorithme général du calcul numérique des fonctions temporelles 
T', m et P entre f = 0
et f = 105, par résolution du système difrérentiel (10) reposant sur 
l'utilisation du schéma d'Eu-
ler généralisé (on choisira comme pas de temps : Af = 0,105).
Cet algorithme sera fourni sous la forme d'un logigramme. On veillera à 
mentionner les pro-
cédures d'initialisation des processus itératifs ainsi que leurs critères 
d'arrêt. Quand cela sera
nécessaire, on fera appel à la fonction chercheTB(T ,m) sans détailler sa 
structure.

Q15. Écrire le code mettant en oeuvre l'algorithme proposé à la question 
précédente. On pourra faire
appel à toutes les fonctions programmées précédemment.

Q16. Intuitivement, quand la fuite s'arrêtera-t-elle en pratique ?

Partie III - Développement de corrélations pour la capacité thermique à
pression constante molaire du dioxyde de carbone

On dispose d'un faible nombre de mesures expérimentales du rapport CP»/R du CO; 
gazeux sur un
large domaine de températures T sous pression atmosphérique (où CP, désigne la 
capacité thermique
molaire à pression constante et RÀ, la constante des gaz parfaits).

Ces mesures (au nombre de 6) sont consignées dans un fichier cP.txt (voir 
tableau 1). La première
colonne donne la température en K, la seconde fournit les mesures 
expérimentales de la quantité Cp,,/R.

100.0 3.513
506.0 5.367
1000.00 6.532
2006.06 7.257
3000.00 7.475
4000.00 7.586

Tableau 1 - Contenu du fichier cP.txt

Dans cette partie, on cherche à développer une corrélation de la propriété 
CP,/R en fonction de la
température. Le modèle est noté f(T) par la suite :

(Cpm/R)modèle -- JT). (14)

Les coefficients intervenant dans la corrélation seront déterminés de manière à 
reproduire efficacement
les données expérimentales (T°, (C»/R)...) dont on dispose. Pour y parvenir, 
deux stratégies sont envi-
sagées et testées :

- un premier modèle de la forme :

Exp

A

modèle 1(1) = À; + 15
fmodèle 1(7) = Ai TA, (15)
où À, À) et À; sont des constantes ;
- un Second modèle de forme polynomiale :
fmoæie2(T) = D Bi: T}  avecT, = T/T, (16)
i=0

Où 1} = 304,21 K désigne la température critique du CO;, n, le degré du 
polynôme. Les B; sont
les coefficients réels du polynôme.

8/16
Q17. Les valeurs des capacités thermiques reportées dans le tableau 1 ont été 
mesurées par calori-
métrie. Il existe de nombreuses techniques de mesures calorimétriques. Décrire 
succinctement
le principe d'une technique expérimentale de mesure de la capacité thermique 
d'un liquide ou
d'un gaz par calorimétrie que vous connaissez; en particulier, fournir un 
schéma pour illustrer
le principe de la mesure et préciser comment la valeur de la capacité thermique 
est déduite de la
mesure.

Q18. Montrer par une analyse dimensionnelle que le rapport C?,/R est sans 
dimension.

Q19. Programme de lecture des données
Indiquer la syntaxe à utiliser pour charger le fichier cP. txt qui contient les 
données expérimen-
tales et stocker celles-ci dans deux tableaux de réels temp (pour les 
températures) et CpR_exp
(pour les valeurs expérimentales du rapport CP/R).
De plus, déterminer automatiquement le nombre de points expérimentaux N.,, 
présents dans le
fichier chargé.

IIL.1 - Développement du premier modèle

On cherche à déterminer les coefficients À;, À; et À; du modèle n°1 donné par 
l'équation (15).
Ces coefficients sont inconnus dans cette partie. Pour ce faire, on va utiliser 
une technique de minimisa-
ton. L'idée générale est la suivante :
- on forme une fonction dite objectif, notée jf; rendant compte des écarts 
entre les prédictions du
modèle et les valeurs expérimentales ;
- on va chercher à minimiser cette fonction en jouant sur les valeurs des 
coefficients À;, A; et 43.
La fonction objectif choisie a pour expression :

N exp

Job; (A1,42,43) -- > 65 avec . 0; -- modèle 1(T point exp. n°i) HE (Cpm/R) oint 
exp. ni * (17)
i=]

Q20. Dans l'expression de la fonction objectif, pour quelle raison les écarts 
ont-ils été élevés au carré ?
On range les coefficients recherchés dans le vecteur a = (4;,4;,43).

Q21. Écrire la syntaxe de la fonction delta(vecA,temp,CpR_exp) qui prend comme 
argument d'en-
trée un jeu quelconque de coefficients a (vecA désigne le tableau contenant les 
éléments du vec-
teur a), les tableaux temp et CpR_exp et renvoie en sortie le vecteur Ô 
contenant les éléments 6;
définis par l'équation (17).

Q22. Écrire la syntaxe de la fonction fobj(vecA,temp,CpR_exp) permettant 
l'estimation de la
fonction-objectif pour un jeu quelconque de coefhicients a (vecA désigne le 
tableau contenant
les éléments du vecteur a). On pourra utiliser la fonction delta définie à la 
question précédente.

Un extremum local de la fonction objectif vérifie :

Of. Ob}
ôA;

= 0 pour 1 < j < 3. (18) C'est donc, en particulier, le cas d'un minimum. À présent, on a besoin d'exprimer et d'estimer les Of Ob] j dérivées (pour | < 7j < 3). J 9/16 Ô fmodèle 1 Ô fmodèle 1 et Ô fmodèle 1 OA, OA 043 Q23. Donner les expressions analytiques des dérivées Of. Ob} Q24. Montrer que les expressions analytiques des dérivées peuvent se mettre sous la forme : J Of Ob] Of modèle 1 1-9 6, X --=------ I<7<3. 19 A, > A, pour 1 < (19) et fournir explicitement leurs expressions. Of. Ob} On note f", le gradient de fi, 1.e., le vecteur des 3 dérivées partielles (pour 1 < 7 < 3). j Q25. Écrire la syntaxe d'une fonction deriv_fobj(vecA,temp,CpR_exp) permettant l'estimation de f". Cette fonction pourra faire appel aux fonctions programmées précédemment. Pour résoudre l'équation (18), une méthode de type Newton est envisagée. Les valeurs de a minimisant la fonction-objectif sont obtenues à partir du schéma itératif suivant : aération (k+1) _ aération (k) H ! f' (20) où H et f" sont respectivement la matrice hessienne et le gradient de fr; estimés à l'itération (k). La ma- trice hessienne H de la fonction ji; désigne la matrice (symétrique) de ses dérivées partielles secondes dont l'expression est définie ci-après : for D foi doi Y f 0 ff Of} Ôf; OA  0A10A2 ÔA:04; OA, OA, dAÀ: H -- ® fobi 9 foti 9" fob Of, 0f, jf; Q1) 0A:0A1 GA? 0404; A; 0A 0A © fobi © fobi 9" Job; Of, Ôf, Ôf; | 043041 04304 842 }) (V4: 043 64: On choisit d'estimer numériquement les éléments de la matrice hessienne à partir de l'approximation suivante : , , , of J'(@après ) = j'a) = 1 LU J I -- AU / OÀ; EUR OÙ Après Est égal à a excepté pour la à" composante qui est augmentée de la quantité EUR. Par exemple, si i = 2, On à : &yprès = (A1 ; A2+EUR; A3). pour 1  gazeux avec la 
température (T)

e Expérience
LLonnmmnt TT |
ne Modèle 1 -- =
-- Modèle 2 2
D OT
G:
oe
E
Q.
OU
D.
À.
0 500 1000 1500 2000 2500

3000 3500 4000
T (K)

Figure 4 - Confrontation des points expérimentaux et des valeurs prédites par 
les deux modèles proposés
dans le plan CP,/R versus T

12/16
ANNEXE
Quelques commandes utiles en langage Python

À - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs et 
fichiers) 13
B - Résolution d'une équation non linéaire à une inconnue 15
C - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes) 16

A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs et 
fichiers)

Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque numpy a préalablement été 
importée à l'aide de la com-
mande : import numpy as np. On peut alors utiliser les fonctions de la 
bibliothèque, dont voici
quelques exemples :

np.array(liste)
Description : fonction permettant de créer une matrice (de type tableau) à 
partir d'une liste.
Argument d'entrée : une liste définissant un tableau à 1 dimension (vecteur) ou 
2 dimensions (ma-

trice).
Aroeument de sortie : un tableau (matrice).
Exemples : Commande Résultat
np.array([4,3,2]) [4 3 2]
CCS]
np.array([[5]1,[7],[1]1]) [7]
[1]]
np.array([[3,4,10],[1,8,71]) H à 0

Afi;j]
Description : fonction qui retourne l'élément (1 + 1,7 + 1) de la matrice À. 
Pour accéder à l'inté-
gralité de la ligne : + 1 de la matrice À, on écrit Afi, :]. De même, pour 
obtenir toute la colonne
j + 1 de la matrice À, on utilise la syntaxe Af: ,7].
Argument d'entrée : une liste contenant les coordonnées de l'élément dans le 
tableau À.
Aroeuments de sortie : l'élément (4 + 1,7 + 1) de la matrice A.
RAPPEL : en langage Python, les lignes d'un tableau À de taille n X m sont 
numérotées de 0 à
n -- | et les colonnes sont numérotées de 0 à m-- I.

Exemples : Commande Résultat
A=np.array([[3,4,10]1,[1,8,7]1) 10
A[O6,2]
Af1,:] [1 8 7]
Al[:,2] [10 7]
np.zeros((n,m))

Description : fonction créant une matrice (tableau) de taille 7 X m dont tous 
les éléments sont nuls.
Argument d'entrée : un tuple de deux entiers correspondant aux dimensions de la 
matrice à créer.
Aroeument de sortie : un tableau (matrice) d'éléments nuls.

Exemple : Commande Résultat
[[®O 6 © 6]
np.zeros((3,4)) [© 6 © 0]
[© © © 0]]

13/16
np.dot(matl,mat2)
Description : fonction calculant le produit de deux matrices mat 1 et mat2.
Argument d'entrée : matrices mat 1 et mat2.
Argument de sortie : la matrice produit de mat 1 et mat2.

np.linals.inv(mat)
Description : fonction calculant la matrice inverse de la matrice mat.
Argument d'entrée : matrice mat.
Argument de sortie : la matrice inverse de mat.

np.linals.eig(mat)
Description : fonction calculant les valeurs propres de la matrice mat.
Argument d'entrée : matrice mat.
Argument de sortie : c'est un tuple dont le premier élément correspond aux 
valeurs propres tandis
que le second élément contient les vecteurs propres.
Pour accéder aux valeurs propres de mat, on écrira :

np.linalg.eig(mat)[0]

np.linspace(Min,Max,nbElements)
Description : fonction créant un vecteur (tableau) de nbElements nombres 
espacés régulièrement
entre Min et Max. Le premier élément est égal à Min, le dernier est égal à Max 
et les éléments sont
espacés de (Max-Min)/(nbElements-1).
Argument d'entrée : un tuple de 3 entiers.
Aroeument de sortie : un tableau (vecteur).
Exemple : Commande Résultat

np.linspace(3,25,5) | [3 8.5 14 19.5 25]

np.loadtxt('nom_fichier",delimiter="string",usecols=[n])
Description : fonction permettant de lire les données sous forme de matrice 
dans un fichier texte
et de les stocker sous forme de vecteurs.
Argument d'entrée : le nom du fichier qui contient les données à charger, le 
type de caractère
utilisé dans ce fichier pour séparer les données (par exemple, une espace ou 
une virgule) et le
numéro de la colonne à charger (RAPPEL : la première colonne est affectée du 
numéro 0).
Argument de sortie : un tableau.
Exemple :

data=np.loadtxt('fichier.txt",delimiter=' '',usecols-[0])

Dans cet exemple, data est un vecteur qui correspond à la première colonne de 
la matrice conte-
nue dans le fichier fichier.txt.

14/16
B - Résolution d'une équation non linéaire à une inconnue

La bibliothèque adaptée est chargée par l'instruction : from scipy import 
optimize.
L'équation à résoudre est mise sous la forme : f(x) = 0, où x désigne 
l'inconnue. La fonction f doit
d'abord être définie à l'aide de l'instruction def.
Exemple : si l'équation à résoudre s'écrit log x = 3, la fonction f a pour 
expression : f(x) = log x -- 3.
Codage :| def f(x):

return log160(x) - 3.

La fonction root peut alors être utilisée pour résoudre l'équation. La variable 
x doit être initialisée
à une valeur aussi proche que possible de la solution.

# Valeur initiale de x
Xinit = 1.

# jac = None signifie que la dérivée de f (dont se sert

# la fonction root pour effectuer la résolution)
# n'est pas fournie par l'utilisateur mais estimée
# numériquement par Python.

Xsol = root(f,Xinit,jac=None)

La solution de l'équation est rangée dans le premier élément du vecteur Xsol.x, 
c'est-à-dire :

Xsol.x[0]

15/16
C - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes)

Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples 
ci-dessous, la bibliothèque
matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la commande :

import matplotlib.pyplot as plt

On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques 
exemples :

plt.plot(x,y,' SC')
Description : fonction permettant de tracer un graphique de n points dont les 
abscisses sont conte-
nues dans le vecteur x et les ordonnées dans le vecteur y. Cette fonction doit 
être suivie de la
fonction plt.show() pour que le graphique soit affiché.
Argument d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de n éléments) et un 
vecteur d'ordonnées y
(tableau de n éléments).
La chaîne de caractères * SC" précise le style et la couleur de la courbe 
tracée. Des valeurs pos-
sibles pour ces deux critères sont :

Valeurs possibles pour S (style) :
Description Ligne continue Ligne traitillée Marqueur rond Marqueur plus
Symbole S - - - O +

Valeurs possibles pour C (couleur) :
Description bleu rouge vert noir
Symbole EUR bb T g k

Argument de sortie : un graphique.

Exemple :| x= np.linspace(3,25,5)

y=sin(x)

plt.plot(x,y,'-b') # tracé d'une ligne bleue continue
plit.title("'titre_ graphique') # titre du graphe
plit.xlabel("'x') # titre de l'axe des abscisses
plt.ylabel("y') # titre de l'axe des ordonnées
plit.show()

FIN

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IMPRIMERIE NATIONALE - 211163 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

CCINP Modélisation de systèmes physiques
ou chimiques PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gaëlle Dumas (professeur agrégée) ; il a été relu par
Baptiste Fraïsse (ENS Paris-Saclay) et Julien Dumont (professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur la modélisation de la fuite de matière d'un réservoir. Il se 
divise
en trois parties indépendantes.
· Dans la partie I, on étudie une fuite de gaz à travers un petit orifice dans 
la paroi
d'un réservoir adiabatique. C'est une partie exclusivement de thermodynamique
et de bilans.
· La partie II est consacrée à l'étude numérique de cette fuite de gaz, en 
utilisant la relation entre la capacité thermique molaire Cp,m du gaz considéré
comme parfait et la température T. Cette fois-ci, il n'y a que des questions
d'informatique commune.
· Enfin, dans la partie III, deux modèles qui décrivent la relation entre Cp,m 
et
la température sont étudiés et comparés à des mesures expérimentales. Ici, on
trouve des questions d'informatique mais aussi de mathématiques destinées à
la simulation numérique. De rares questions de physique sont présentes.
La première partie est difficile et nécessite de connaître parfaitement le cours
pour être capable de la traiter. Elle constitue à elle seule un entraînement à 
ce
type de thématique. Les autres parties sont dans la lignée des épreuves des 
années
précédentes, faisant la part belle à la programmation et aux algorithmes du 
cours
dans un premier temps, avant de les perfectionner dans un second. Le concours 
semble
avoir trouver son format type pour cette épreuve, et en ce sens ce sujet est un 
exercice
efficace pour s'y préparer.

© Éditions H&K

Indications
Partie I
1 Les unités des grandeurs demandées sont indiquées dans le formulaire de la
page 2 de l'énoncé.
3 Les grandeurs W et Q sont algébriques : We et Qe sont positives tandis que Ws
et Qs sont négatives.
4 Veiller à bien définir le système étudié. Un schéma peut être utile ici.
5 Pas besoin de réécrire l'équation (2) avec les termes utilisés à la question 
3 car
seule une interprétation qualitative de cette équation est demandée.
7 Utiliser les résultats des questions 3 et 4 et l'écriture du premier principe 
donné
à la question 5.
8 Ne pas oublier de dériver la masse dans la relation U = mu.
9 Montrer que les paramètres sont uniformes sur la section.
11b Utiliser la deuxième identité thermodynamique sans la démontrer.
Partie II
12a Écrire la forme analytique de la dérivée sans utiliser une méthode 
numérique.
14 Il ne faut pas écrire de code Python ici mais uniquement l'algorithme sous 
forme
d'un logigramme.
Partie III
18 Ne pas hésiter à s'aider du formulaire donné par l'énoncé en début d'épreuve.
19 Utiliser les fonctions définies dans l'annexe.
27 La trame de l'algorithme est donnée dans l'énoncé après la question 26.
28 La fonction à utiliser est donnée en annexe.
30 Dans ce modèle, la température est normalisée par la température critique Tc 
.
34 Donner les avantages et inconvénients des deux modèles que l'on voit sur la
figure puis justifier lequel on retient.

Publié dans les Annales des Concours

© Éditions H&K

Modélisation de la fuite de matière
d'un réservoir rempli de CO2 gazeux
1 Les quantités W et Q sont des puissances, leur unité est le watt ou encore le
joule par seconde. La grandeur Dm est un débit massique, c'est-à-dire une masse
par unité de temps. Il s'exprime en kilogramme par seconde.
2 En régime stationnaire, le débit massique se conserve, on a ainsi la relation
Dm,A = Dm,B
3 Le premier principe industriel de la thermodynamique appliqué au système 
ouvert
de la figure 1 en régime permanent s'écrit, avec les grandeurs massiques,
h + ec = wu + q
avec h la variation d'enthalpie massique, ec la variation d'énergie cinétique 
massique du système ouvert, wu le travail utile massique échangé entre le 
système et le
milieu extérieur et q le transfert thermique massique. En utilisant les 
notations de
l'énoncé, on trouve
h = hB - hA
B 2
A 2
-
2
2
wu = we + ws

ec =

q = q e + q s
On peut alors écrire le premier principe en termes de puissances en multipliant 
celui-ci
par les débits massiques Dm,A et Dm,B , ce qui conduit à
A 2
B 2
- Dm,A ×
= We - Ws + Qe - Qs
2
2
Notons les deux signes associés au travail et à l'échange thermique de sortie, 
indiqués
sortants sur le schéma.
Multiplions le premier principe industriel avec le débit massique entrant Dm,A :
Dm,B × hB - Dm,A × hA + Dm,B ×

Dm,A h + Dm,A ec = Dm,A wu + Dm,A q
ce qui se réécrit
Dm,A hA - Dm,A hB + Dm,A

B 2
A 2
- Dm,A
= Dm,A we + Dm,A ws + Dm,A qe + Dm,A qs
2
2

Comme Dm,A = Dm,B ,
A 2
B 2
- Dm,B
= Dm,A we + Dm,B ws + Dm,A qe + Dm,B qs
2
2
Or, d'après les conventions de signes associées au travail et à l'échange 
thermique de
sortie,

Dm,A hA - Dm,B hB + Dm,A

Dm,A we = -We

Dm,B ws = Ws

Dm,A qe = -Qe

Dm,B qs = Qs

et on obtient bien la relation « débit d'énergie entrant = débit d'énergie 
sortant ».

A 2
B 2
Dm,A hA +
+ We + Qe = Dm,B hB +
+ Ws + Qs
2
2

© Éditions H&K

4 On effectue un bilan de matière sur le système ouvert considéré entre les 
instants
t et t + dt, en notant respectivement dme et dms les masses entrante et sortante
pendant cette durée dt. Comme il n'y a ni création ni destruction de matière 
dans le
système, la variation de masse du système est uniquement liée à la matière qui 
entre
et qui sort, ce qui aboutit à

m(t + dt) = m(t) + dme - dms = m(t) + Dm,A dt - Dm,B dt

Le bilan de matière s'écrit alors

dm
= Dm,A - Dm,B
dt