CCP Physique 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Thermodynamique dans un réacteur à eau pressurisée. Particule chargée dans un champ électromagnétique.
Principaux outils utilisés thermodynamique, forces de Lorentz, mécanique du point
Mots clefs cyclotron, champ magnétique, particule chargée, indice de réfraction, polarisabilité, Clapeyron, turbine, alternateur, centrale à vapeur

Corrigé

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SESSION 2014 PCP2008 .::=_ CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants et ont sensiblement le même poids. PROBLEME A : THERMODYNAMIQUE DANS UN REACTEUR A EAU PRESSURISEE Les réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP) exploitent l'énergie libérée par la fission de noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons pour chauffer l'eau d'un premier circuit appelé circuit primaire. Ce dernier va transférer son énergie thermique, via un échangeur appelé générateur de vapeur, à un deuxième circuit : le circuit secondaire. L'eau du secondaire subit un cycle thermodynamique qui consiste en une vaporisation au niveau de la source chaude, une détente de la vapeur dans une turbine (reliée à un alternateur qui va produire de l'électricité), une condensation de la vapeur sortant à basse pression de la turbine et une compression de l'eau condensée afin de ramener cette eau àla pression initiale. Ce problème a pour objectif d'étudier des aspects thermodynamiques du circuit secondaire et ce, systématiquement, en régime permanent. 1/11 Données : Pression de enthalpies massiques (kJ .kg") entropies massiques (kJ .K'1 kg") sïtÎiiîiiî e à l'état de à l'état de vapeur à l'état de à l'état de vapeur (bar) liquide saturant : saturante : liquide saturant : saturante : 1bar=105 Pa '" "" S' S" 0,05 137,8 2 561,6 0,4763 8,3960 10 762,6 2 776,2 2,1382 6,5828 70 1267,4 2773,5 3,1219 5,8162 Tableau 1 On rappelle que l'enthalpie massique h d'un mélange diphasique de titre massique en vapeur x est donnée par la relation : h : x.h" + (1-x).h', où h" et h' sont respectivement les enthalpies massiques à l'état de vapeur saturante et à l'état de liquide saturant. Par ailleurs, l'entropie massique s d'un mélange diphasique de titre x est donnée par la relation : s : x.s" + (1-x).s', où s" et s' sont respectivement les entropies massiques à l'état de vapeur saturante et à l'état de liquide saturant. A1- Etude thermodynamique du circuit secondaire simplifié Le circuit secondaire est constitué du générateur de vapeur (G.V.), d'une turbine (T) reliée à un alternateur, d'un condenseur (C) et d'une pompe d'alimentation secondaire (P), comme précisé en figure 1. _, > = Turbine (T) 1 Circuit primaire @ Alternateur ° G.V. O 2 |» il 0 CD Condenseur (C) Pompe (P) 3 Figure 1 : circuit secondaire simplifié Pour l'ensemble du problème, nous négligerons les frottements ainsi que les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du fluide secondaire. L'expression du premier principe pour une masse m = 1 kg de fluide en écoulement au travers d'une machine est : Ah : W,- + qe, où Ah représente la différence hs --he entre les enthalpies massiques (en k] .kg") du fluide à la sortie hs et a l'entrée he de la machine, W, le travail massique indiqué, c'est-à-dire le travail massique (en kJ.kg") échangé entre une masse m = 1 kg de fluide et les parois mobiles de la machine, qe le transfert thermique entre le kilogramme de fluide et la machine (en k] kg"). Dans le condenseur et le générateur de vapeur il n'y a pas de pièce mobile. 2/11 A1.1- Questions préliminaires A1.1.1- Sur un diagramme de Clapeyron (figure 2) que vous reproduirez, préciser la position du point critique, les parties courbes de rosée et d'ébullition. Indiquer également les domaines du liquide, du mélange diphasique et de la vapeur surchauffée. Mentionner où se trouve le liquide saturant et la vapeur saturante. Pression P (Pa) " Courbe de saturation / > Volume massique v (m3.kg'l) Figure 2 : diagramme de Clapeyron A1.1.2- Sur le diagramme de Clapeyron de la figure 3, l'allure de l'isotherme correspondant à la température T = 306 K a été représentée. Justifier l'allure de cette isotherme pour chaque domaine. On pourra, dans le domaine de la vapeur surchauffée, se référer au modèle du gaz parfait. Tracer l'allure de l'isotherme correspondant à la température T = 559 K sur un diagramme de Clapeyron que vous reproduirez et où apparaît l'allure de l'isotherme correspondant à la température T = 306 K. Pression P (Pa) " Isotherme T = 306 K / / \_ Volume massique v (m3.kg'l) Figure 3 : isotherme dans le diagramme de Clapeyron A1.1.3- Démontrer qu'une transformation adiabatique réversible est une transformation isentropique . A1.1.4- En considérant que l'eau liquide dans une pompe est incompressible et de volume massique v = 10"3 m3.kg'l, calculer le travail massique indiqué w,-p échangé par l'eau circulant dans une pompe, en considérant la transformation adiabatique réversible et une augmentation de pression de AP : 70 bar. On rappelle que la variation élémentaire de l'enthalpie massique dh du fluide peut s'écrire: dh=T--ds+v-dP. 3/11 Ce travail peut être considéré comme négligeable devant les autres échanges énergétiques ; dans toute la suite du problème, le travail indiqué échangé par un liquide sera systématiquement considéré comme nul. En déduire alors, que l'enthalpie massique du liquide reste constante lors de son passage dans une pompe. A1.2- Etude du cycle thermodynamique simplifié Le fluide secondaire subit le cycle thermodynamique suivant : 0 l + 2 : détente adiabatique réversible dans la turbine, 2 + 3 : liquéfaction isobare totale dans le condenseur, 3 + 4 : compression adiabatique réversible dans la pompe d'alimentation secondaire, 4 + 1 : échauffement puis vaporisation isobare dans le générateur de vapeur saturante. Le tableau suivant précise l'état thermodynamique du fluide secondaire en certains points du cycle : Point Pression Tempé- Etat du fluide Enthalpie Entropie (bar) rature secondaire massique massique 1 bar = 105 Pa (K) (kJ.kg") (kJ.K".kg") ] 70 559 Vapeur saturante 2 773,5 5 ,8162 2 0,05 306 Mélange diphasique 3 0,05 Liquide saturant 137,8 0,4763 4 70 Liquide sous-saturé Tableau 2 A1.2.1- Tracer dans un diagramme de Clapeyron l'allure du cycle thermodynamique subi par le fluide secondaire. Y placer notamment les points 1, 2, 3 et 4. A1.2.2- Calculer, en sortie de turbine, le titre X2 et l'enthalpie massique h2 du fluide. En déduire le travail massique indiqué wiT échangé par le fluide dans la turbine. On rappelle que le titre correspond àla fraction massique de la vapeur dans le mélange liquide--vapeur. Une vapeur humide est d'autant plus corrosive pour les pales de la turbine que son titre est faible, que pensez-vous de la détente étudiée ? A1.2.3- Déterminer la température T3 et la valeur du titre X3 du fluide en sortie du condenseur. Calculer la chaleur massique qu échangée par le fluide avec le condenseur. A1.2.4- Calculer la chaleur massique 6]er échangée par le fluide dans le générateur de vapeur. A1.2.5- Calculer le rendement de ce cycle thermodynamique 77...æ puis celui de Carnot 77Camot en utilisant les mêmes sources chaude et froide. D'où provient la différence de rendement entre ces cycles ? A2- Etude thermodynamique du circuit secondaire réel Afin d'optimiser la qualité de la vapeur utilisée (augmentation du titre en sortie de turbine), l'industriel utilise un circuit secondaire plus complexe, représenté àla figure 4 de la page 5. On rappelle qu'à chaque échangeur du circuit à plusieurs entrées/sorties, la conservation de l'énergie impose un bilan de puissance sous la forme générale : sze -he =Z D... -hs , où he et hs sont respectivement les enthalpies massiques d'entrée et de sortie de l'échangeur concerné, Dme et D... les débits massiques d'entrée et de sortie de l'échangeur concerné. 4/11 -- @ Surchauffeur V GV Les turbines haute pression (HP) et basse pression (BP) entraînent l'alternateur. \ _. 110) @@ Turbine HP As sécheur Séparateur V Réchauffeur Pompe alimentaire Turbine BP ' _ Détendeur Alternateur d'extraction Condenseur Pompe l ) Figure 4 : circuit secondaire industriel Le débit massique de vapeur en sortie du générateur de vapeur vaut Dml= 1 500 kgs", le débit massique de vapeur alimentant le surchauffeur est Dm11 : 100 kgs". Le tableau suivant précise l'état thermodynamique du fluide secondaire en certains points du cycle : Point Pression Tempé- Etat du fluide Enthalpie Entropie (bar) rature secondaire massique massique 1 bar = 105 Pa (K) (kJ.kg") (kJ.K".kg") 1 70 559 Vapeur saturante 2 773,5 5 ,8162 2 10 453 Mélange diphasique 3 10 Vapeur saturante 4 10 Liquide saturant 5 10 250 Vapeur surchauffée 2 943,0 6,9259 6 0,05 Mélange diphasique 7 0,05 Liquide saturant 8 10 Liquide sous-saturé 9 10 Liquide sous-saturé 10 70 Liquide sous-saturé 1 1 70 12 10 5/11 A2.1- En considérant qu'une partie du fluide primaire effectue une détente adiabatique réversible dans la turbine haute pression (HP), déterminer les valeurs de l'entropie massique 82, du titre X2 et de l'enthalpie massique h2 au point 2. Calculer le travail massique indiqué w,--THP échangé par le fluide dans la turbine HP. En déduire la puissance PHP développée par la turbine HP. A2.2- Un assécheur-séparateur permet la séparation du mélange diphasique obtenu au point 2 en, d'une part, de la vapeur saturante au point 3 et d'autre part, du liquide saturant au point 4. Ecrire deux relations vérifiées, au niveau de l'assécheur-séparateur, par les débits massiques D D m2 ' m3 ' D...4 et les enthalpies massiques h2, kg et m. Donner l'expression, en fonction de Dm2 , h2, kg et m, des débits massiques D...3 et Dm4 aux points 3 et 4. Calculer la valeur de ces débits massiques. Exprimer les débits massiques D...3 et Dm4 en fonction du titre X2 et du débit massique Dm2 . A2.3- Une partie du fluide issu du générateur de vapeur circule dans un surchauffeur pour échanger une partie de son énergie à la vapeur saturée issue de l'assécheur-séparateur afin de la surchauffer. A partir d'un bilan de puissance sur le surchauffeur, déterminer l'enthalpie massique du fluide km au point 11. A2.4- La puissance PBP développée par la turbine basse pression (BP) vaut PEP =963 MW. Calculer le travail massique indiqué w,--TBP échangé par le fluide dans la turbine BP. Déterminer la valeur du titre x6 au point 6. A2.5- Calculer la chaleur massique qu échangée par le fluide au condenseur. A2.6- Un détendeur est un organe adiabatique qui ne présente pas de parois mobiles et qui permet au fluide d'abaisser sa pression. Montrer qu'une des grandeurs d'état reste constante lors de l'écoulement d'un fluide au travers d'un détendeur. Comment s'appelle ce type de détente ? Est-elle réversible ? A2.7- A l'aide d'un bilan de puissance sur le réchauffeur, déterminer l'enthalpie massique kg au point 9. Quel est le rôle du détendeur ? A2.8- Calculer la chaleur massique 6]er échangée par le fluide dans le générateur de vapeur. En déduire la puissance PGV générée par le générateur de vapeur. A2.9- Calculer le rendement de ce cycle thermodynamique 77...æ. Le comparer avec le rendement du circuit simplifié et en déduire quel pourrait être l'avantage principal du cycle réel. 6/11 PROBLEME B : RAYONNEMENT On suppose, dans ce problème, que la vitesse des particules chargées est très inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide, ce qui revient à négliger toute correction relativiste. Les effets de la gravitation seront également négligés. Données : La charge électrique élémentaire vaut 6 = l, 60 - 10_19 C. La vitesse de la lumière dans le vide vaut c = 3,00.108 m.s'l. La perméabilité et la permittivité du vide valent : ,uO = 4 - 75-10'7 H.m'1 et 80 = W F m . fl' . B1- Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme -->-->--> B1.1- On considère un référentiel 9î galiléen muni d'un repère cartésien (O,ex,ey,ez). Une _» particule chargée de charge q positive et de masse m pénètre avec un vecteur vitesse 170) = vo -ex au point 0 de coordonnées (0,0,0) dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme Ë =B-eî perpendiculaire à 170) (figure 1). Montrer que cette particule décrit, à vitesse . . . . m-v constante, une trajectone plane et c1rcula1re de rayon de courbure R = BO . Pour cela, vous q. pourrez, notamment, introduire la quantité complexe @ (t) = x(t) + j - y(t) . -->A ey VO _) ---------- >-------- - O \_\\--> ex @ ez \ @ B ? Figure 1 : trajectoire d'une particule de charge q positive dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme B1.2- Pour séparer les deux isotopes naturels de l'Uranium, l'uranium 238 et l'uranium 235, il avait été envisagé d'utiliser un spectrographe de masse. Cet appareil comporte trois parties, représentées en figure 2, page 8, où règne un vide poussé. Les atomes d'uranium sont ionisés dans une chambre d'ionisation en ions U + de char e électri ue + =e d'où ils sortent ar la fente F1 avec une g q % P vitesse négligeable. Ces ions sont accélérés par un champ électrostatique uniforme imposé par une tension W = VP2 --VP1 entre deux plaques P1 et P2. Enfin, les ions pénètrent dans une chambre de déviation où règne un champ magnétique uniforme Ë (B = 0,1 T) perpendiculaire au plan de la figure. Ils décrivent alors deux trajectoires circulaires de rayons R1 et R2 et parviennent dans deux collecteurs C1 et C2. Calculer la tension W pour que la distance entre les collecteurs soit égale à d = 2 cm. Les masses de l'uranium 235 et de l'uranium 238 sont: m... = 235 u.m.a. et mU8 = 238 u.m.a.. Une unité de masse atomique (uma) vaut : l u.m.a. : 1,66.10'27 kg. 7/11 Chambre d'ionisation Rayon R1 Rayon R2 Figure 2 : schéma de principe du spectrographe de masse B2- Le cyclotron Le cyclotron est formé de deux demi--cylindres conducteurs creux D1 et D2 dénommés dees et séparés par un intervalle étroit. Un champ magnétique uniforme Ë (B = 1,0 T) règne à l'intérieur des dees, sa direction est parallèle à l'axe de ces demi-cylindres. Un champ électrostatique variable Ë peut être établi dans l'intervalle étroit qui sépare les dees en appliquant entre les dees une tension alternative sinusoïdale u(t) qui atteint sa valeur maximale U m = 105 V lorsque le proton traverse cet espace. Les protons, de masse mp : 1,67.10'27 kg et de charge électrique qp : 6, sont injectés au centre du cyclotron avec une énergie cinétique négligeable. Dans chaque dee, ils décrivent des trajectoires demi--circulaires de rayon croissant. Le rayon de la trajectoire des protons a la sortie du cyclotron est RS : 50 cm. A @@ ®ë V V dee D1 dee D2 u(t)=Um-Sin(2-7Z-f-t) Figure 3 : schéma de principe du cyclotron 8/11 B2.1- Donner l'expression littérale de la durée T1/2 mise par un proton pour effectuer un demi-tour en fonction de mp, 6 et B. Qu'en déduisez-vous '? B2.2- Justifier le choix d'une tension u (t) alternative sinusoïdale. B2.3- En déduire l'expression, puis la valeur de la fréquence f de la tension alternative sinusoïdale u(t)=Um -sin(2-7z- f -t) pour que les protons subissent une accélération maximale à chaque traversée. On négligera le temps de parcours d'un dee a l'autre. B2.4- Déterminer l'expression, puis la valeur de l'énergie cinétique ECS des protons a la sortie du cyclotron. B2.5- Déterminer l'expression du nombre de tours N effectués par les protons dans le cyclotron jusqu'à leur sortie en fonction de : e, R,, B, mp et U.... Effectuer l'application numérique. B2.6- Puissance rayonnée. Pour une particule non relativiste, toute particule chargée de charge q et d'accélération a rayonne P =fl0'q2 , -a2. On rappelle que c est la 6-75-c une puissance Pr, donnée par la formule de Larmor: vitesse de la lumière dans le vide. B2.6.1- Montrer qu'une particule chargée de charge q, de vitesse v, qui décrit une trajectoire circulaire de rayon R, rayonne une puissance P,, de la forme : R = a-v4. Exprimer le coefficient 0! en fonction de q, (2, ,ng et R. B2.6.2- Calculer l'énergie rayonnée par le proton dans le cyclotron lors de sa dernière trajectoire demi-circulaire de rayon R, = 50 cm. Conclure. B3- Modèle microscopique de l'électron élastiquement lié Lorsqu'une onde électromagnétique rencontre un atome, elle interagit avec les électrons de cet atome. Il apparaît ainsi un moment dipolaire oscillant, source d'émission d'un rayonnement de même fréquence que l'onde incidente excitatrice. Nous allons considérer ici que le milieu est suffisamment dilué (atomes peu nombreux par unité de volume) pour que le champ électrique créé par les atomes excités dans le milieu soit négligeable devant le champ électrique incident. B3.1- On envoie dans le milieu une onde électromagnétique monochromatique, plane, progressive, polarisée rectilignement selon l'axe (02), de champ : {Ê(M,t) ; Ë(M,t)}. Donner l'expression littérale de la force de Lorentz F a laquelle est soumis un électron, possédant un vecteur vitesse ; situé en M. B3.2- L'atome va être modélisé de la façon suivante. Le centre d'inertie sera placé en O et un électron de masse me, de charge électrique qe= - 6, situé au point M, sera soumis a une force de , une force de Lorentz F , rappel élastique : --me wâ -OM , une force de frottement : --me -F- où (00 et F sont des constantes caractéristiques de l'atome. 9/11 . . . , E' - , ° , r \ B3.2.1- Pour un m1heu d11ue, on aura : B, E --'. En cons1derant que la v1tesse de l electron est tres (: petite devant la vitesse de la lumière dans le vide (approximation non relativiste), simplifier l'expression de la force de Lorentz a laquelle il est soumis. B3.2.2- Montrer, qu'au niveau atomique (dimension de l'ordre du dixième de nanomètre), nous pouvons négliger la variation spatiale d'une onde électromagnétique excitatrice associée à de la lumière visible. B3.2.3- Rechercher l'expression complexe du mouvement forcé de l'électron E = O_M = a - exp(jæt) en considérant Ê(O,t)= É, - exp(jæt) . B3.3- Puissance rayonnée. B3.3.1- En considérant que l'onde incidente est polarisée rectilignement selon l'axe (02) de vecteur unitaire EUR : É (M, [) = EO -exp ( jwt) - EUR , donner l'expression littérale de l'amplitude pg du moment dipolaire ; acquis par l'atome. En déduire, en utilisant la formule de Larmor sous la forme: 4 2 P,(a))=flo.w 'P0 12 , l'expression de la puissance moyenne P, (a)) alors rayonnée. -7z - c B3.3.2- Représenter l'allure de la puissance moyenne P,(a)) rayonnée. Préciser, en particulier, l'expression de la pulsation a), pour laquelle elle est maximum (considérer que F> 8; > 0 , trouver l'expression de n' en fonction de e, N, me, 80 , F, (00 et a). 10/11 B3.4.3- Montrer qu'à basse fréquence (w<< (00) et lorsqu'il y a une faible dissipation (F << (00 ), on retrouve la loi de Cauchy n'(Â)=1+B+%. Pour cela, vous utiliserez l'approximation: @: _ 1 . 2 (1 + 9) z 1+ 9- 05 lorsque 19-04 << 1 , en cons1dérant que -- - N_62 << 1 . Donner les 2 80 -me -w0 expressions littérales de B et C en fonction de : e, N, me, 80 , (00 etc. On peut rendre compte des mesures de n'(Â) du dihydrogène gazeux dans les conditions normales de pression et de température (0 °C, 1 bar), pour des longueurs d'onde comprises entre 500 nm et 9,210" 600 nm, par la relation : n' /1 =1+1,365-10'4 + où  est ex rimé en m. /12 p En admettant que les résultats précédents se généralisent a une vapeur moléculaire et en remarquant que la molécule de dihydrogène possède deux électrons actifs, en déduire une valeur de la masse de l'électron me. Commenter le résultat obtenu. Données : Constante d'Avogadro N A : 6,02.1023 mol--1. Volume molaire d'un gaz parfait (à P = 1 bar, T = 0 °C) : V... : 22,4.10'3 m3.mol'l. Fin de l'énoncé 11/11

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 CCP Physique 2 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Le Roux (Doctorant en physique) ; il a été relu par Rémi Lehe (ENS Ulm) et Rémy Hervé (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux parties parfaitement indépendantes traitant de thermodynamique et d'électromagnétisme. Ces deux problèmes rentrent complètement dans le cadre des nouveaux programmes en vigueur depuis la rentrée 2014. · Dans la première partie, on étudie le cycle thermodynamique d'un réacteur à eau pressurisée. Après quelques questions de cours, le problème s'ouvre par l'étude d'un cycle simplifié ne comportant qu'une seule turbine. Ce cycle n'est pas optimal, notamment à cause d'un problème de corrosion des pales. L'énoncé propose alors l'ajout d'un soutirage de vapeur et d'une seconde turbine pour remédier à ce problème. Cette partie demande de bien maîtriser les bilans thermodynamiques. Elle est très répétitive, le même raisonnement étant appliqué plusieurs fois à différentes parties du cycle réel. Bien que sans grande difficulté, c'est une partie couperet : sécher sur une question empêche de traiter les suivantes. · La seconde partie traite des phénomènes de rayonnement et fait appel à un vaste éventail du cours. Dans une première sous-partie, on s'intéresse au mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique et au rayonnement de cette particule accélérée. Plusieurs applications sont ensuite envisagées : séparation isotopique, cyclotron et modèle de réponse d'un atome au passage d'une onde électromagnétique. Cette deuxième partie se traite assez facilement, à condition de rester vigilant dans les calculs, qui nécessitent de manipuler des expressions complexes. Cette épreuve est un bon entraînement pour revoir les machines thermiques ou le mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique. Elle n'est pas d'une grande complexité, si ce n'est que certains calculs peuvent poser problème. Enfin, de nombreuses applications industrielles et scientifiques sont présentées, ce qui donne l'occasion d'enrichir sa culture. Indications Problème A A1.1.2 La température du point critique de l'eau vaut 674 K. A1.1.3 La variation élémentaire d'entropie s'exprime sous la forme dS = Sc + Se . A1.2.3 Le condenseur ne comporte pas de paroi mobile. A1.2.4 Le générateur de vapeur ne comporte pas de paroi mobile. A1.2.5 Le rendement d'un cycle de Carnot vaut Carnot = 1 - TF /TC avec TF la température de la source froide et TC la température de la source chaude. A2.1 Cette question traite du fluide secondaire, et non du primaire comme indiqué dans l'énoncé. A2.2 Utiliser la conservation de l'énergie et de la masse. A2.3 Le dessin montre que les deux fluides ne se mélangent pas dans le surchauffeur et l'enthalpie massique au point 5 est donnée dans le tableau de l'énoncé. A2.5 Le condenseur ne comporte pas de paroi mobile. A2.7 Afin de comprendre l'utilité du détendeur, comparer les pressions en sortie de l'assécheur séparateur, de la pompe d'extraction et du surchauffeur. A2.9 Comparer les titres en vapeur du cycle simplifié et du cycle réel. Problème B B1.1 Par combinaison linéaire des équations données par le principe fondamental de la dynamique, on obtient une équation différentielle sur u = x + jy. Combiner les expressions de x (t) et y (t) pour obtenir l'équation d'un cercle. B1.2 Exprimer la conservation de l'énergie mécanique entre P1 et P2 afin d'exprimer v 0 en fonction de m, e et W. B2.5 Le proton reçoit une énergie supplémentaire 2eUm à chaque tour. B2.6.1 Calculer l'accélération en coordonnées cylindriques et l'exprimer en fonction de la vitesse. B2.6.2 Comparer l'énergie perdue pendant T1/2 à l'énergie cinétique. B3.2.1 Utiliser le fait que v c afin de comparer les deux membres de la force de Lorentz. B3.2.2 L'échelle caractéristique de variation spatiale de l'onde est sa longueur d'onde. -- B3.3.1 Dans le cas présent, le moment dipolaire a pour définition - p = -eOM. B3.3.2 Poser X = 1/ 2 et chercher la valeur de X pour laquelle 1/Pr est minimal. B3.3.3 Pour l'air, 0 est dans l'UV lointain. B3.4.1 Lier le moment dipolaire au vecteur polarisation du milieu, puis le vecteur polarisation au champ électrique pour obtenir la susceptibilité électrique. B3.4.2 Pour interpréter n et n , on peut se rappeler que l'indice est lié au nombre d'onde par k = n . c B3.4.3 S'assurer au préalable que l'on a bien r r avec les hypothèses de l'énoncé. Pour calculer la masse de l'électron, éliminer 0 en manipulant B et C. Problème A thermodynamique dans un réacteur à eau pressurisée A1.1.1 L'état liquide étant une phase condensée, on le trouve dans les régions de faible volume molaire, tandis que la phase gaz est pour les grands volumes molaires, la région les séparant correspondant à l'équilibre diphasique. P (Pa) er ed e mélange diphasique vapeur surchauffée o sé cour rb co u liquide be d 'ébu llitio n point critique (m3 .kg-1 ) Le liquide saturant se situe sur la courbe d'ébullition, la vapeur saturante sur la courbe de rosée. A1.1.2 L'isotherme à 306 K présente 3 parties : · Dans le domaine liquide : l'eau pouvant être considérée comme incompressible, le volume massique est indépendant de la pression donc la pression diminue à volume massique constant ; ainsi, l'isotherme est verticale. · Dans le domaine liquide + vapeur : puisqu'il s'agit d'une isotherme, la température est fixée et donc la pression lors du changement d'état du corps pur l'est également. Ainsi, lorsque le volume massique augmente du fait du changement d'état, l'isotherme reste horizontale. · Dans le domaine vapeur : l'équation d'état des gaz parfaits relie la pression et le volume massique selon P= 1m RT RT = VM M L'isotherme décroît proportionnellement à 1/, ce qui est conforme à l'allure de la courbe dans l'énoncé. Le point critique de l'eau se situant à 674 K, l'isotherme à 559 K passe par le domaine du mélange diphasique. Pour un fluide, à volume fixé, plus la température est élevée, plus la pression l'est également. Ainsi, l'isotherme à 559 K se situe au-dessus de l'isotherme à 306 K. P (Pa) T = 559 K T = 306 K (m3 .kg-1 ) L'énoncé ne précise pas les coordonnées du point critique de l'eau, donnée pourtant indispensable afin de répondre correctement à la question. On pouvait cependant se douter que l'isotherme passait par le domaine de coexistence du liquide et de la vapeur en regardant les valeurs de température indiquées dans l'énoncé sur la page suivante. En effet, le tableau indique que le fluide est à la pression de vapeur saturante à T = 590 K, ce qui implique qu'un équilibre liquide-vapeur est possible à cette température. Dans l'absolu, il peut être utile de retenir que la température critique de l'eau se situe aux environs de 400 C sans se préoccuper de la pression. A1.1.3 Lors d'une transformation élémentaire, l'entropie se décompose en un terme d'entropie créée (Sc ), traduisant le caractère irréversible de la transformation, et un terme d'entropie échangée par le système avec son environnement (Se ), directement lié à l'échange de chaleur Q par Q Se = T Q soit dS = Sc + Se = Sc + T Or, si la transformation est réversible, l'entropie créée Sc est nulle. En outre, si la transformation est adiabatique, Q Se = =0 T Une transformation adiabatique réversible est ainsi isentropique. A1.1.4 La transformation étant adiabatique réversible, elle est isentropique d'après la question A1.1.3, d'où dh = dP soit en intégrant h = P Par ailleurs, h = wiP car q e = 0 pour une transformation adiabatique, d'où (car reste constant) wiP = P = 7 kJ.kg-1 Si ce travail est considéré comme nul et que la transformation est adiabatique, alors h = 0 : l'enthalpie massique du liquide reste constante lors de son passage dans une pompe.