CCP Physique 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Thermique d'un réacteur à eau pressurisée, convertisseur tension-fréquence
Principaux outils utilisés thermodynamique, électronique
Mots clefs diffusion thermique, réacteur nucléaire, amplificateur opérationnel, filtre actif, diode

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 PCP2008 ni. CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants et ont sensiblement le même poids. Problème A : thermique dans un réacteur à eau pressurisée Les réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP) exploitent l'énergie libérée par la fission de noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons pour chauffer l'eau d'un premier circuit appelé circuit primaire. Ce dernier va transférer son énergie thermique, via un échangeur appelé générateur de vapeur, à un deuxième circuit appelé circuit secondaire. L'eau du circuit secondaire subit un cycle thermodynamique qui permet la production d'énergie électrique via la mise en rotation d'une turbine reliée à un alternateur. Ce problème a pour objectif d'étudier les aspects thermiques du combustible nucléaire, siège des réactions de fission. Le combustible nucléaire est confiné dans des gaines métalliques cylindriques formant ainsi ce qu'on appelle des << crayons combustibles >>. Ces derniers sont regroupés en une structure d'allure cylindrique. Cet ensemble de crayons combustibles est appelé << coeur >> du réacteur. Dans une première partie, nous allons définir différentes grandeurs utiles à l'étude de la thermique d'un crayon combustible. La deuxième partie présente l'équation de la chaleur dans le cas simple du milieu à une dimension avant de l'appliquer, dans la troisième partie, à la géométrie cylindrique du crayon combustible. Une quatrième partie permettra la détermination du profil axial de température dans le combustible. 1/12 A1- Position du problème Afin d'évaluer les performances thermiques d'un réacteur nucléaire, différentes grandeurs sont utilisées, en voici leur définition : - La puissance produite par les réactions de fission au sein du combustible est appelée puissance thermique, elle est notée P.... - La puissance thermique volumique @ est la puissance thermique produite par unité de volume de combustible. - La puissance thermique surfacique ç05 est la puissance thermique échangée par unité de surface. - La puissance électrique Pe de la centrale est reliée à la puissance thermique à travers le rendement global de la centrale. Nous allons étudier un REP d'une puissance électrique Pe de l 450 MW dont le rendement global 77 = ? est de 34 %. Il possède N = 54 120 crayons combustibles de hauteur H = 4,3 m (dont un est th schématisé en figure 1). Le rayon extérieur de la gaine rg est de 4,5 mm et le rayon du combustible rc = 4,0 mm. L'épaisseur de la gaine e est de 0,5 mm. Gaine : Combustible ? ' ++++4++++ Figure 1 : description d'un crayon combustible A1.1- Donner l'expression littérale de la puissance thermique volumique moyenne ç0_V produite dans le combustible d'un crayon combustible. On notera qu'il n'y a aucune réaction nucléaire de fission au sein de la gaine Calculer ç0_V en W/cm3 . A1.2- Donner, pour un crayon, l'expression littérale de la puissance thermique surfacique moyenne ç0_S en périphérie du combustible, soit pour r = rc. Calculer ç0_S en W/cm2 . A1.3- La fission d'un noyau d'uranium 235 génère environ une énergie Ef de 200 MeV. Déterminer le nombre de fissions Nf réalisées si ce réacteur fonctionne à 100 % de puissance pendant un an. Rappel : 1 MeV = 1,6.10'13 ]. 2/12 A2- Equation de la chaleur dans un milieu à une dimension Pour établir l'équation de la chaleur dans un milieu à une dimension, nous allons considérer un corps solide homogène de masse volumique p, de conductivité thermique  et de capacité thermique massique EUR, dont la température T ne dépend que de l'abseisse x et du temps t. Nous supposerons que p,  etc sont indépendantes de la température. A2.1- On considère l'élément de volume cl V, de masse dm, compris entre les abseisses x et x+dx, de section S (figure 2). Donner la relation entre la variation de son énergie interne dU et la variation de sa température dT , en faisant intervenir son épaisseur dx. On supposera que l'énergie interne et la température sont homogènes dans l'élément de volume cl V. dV S v . ÆÆ/ :} ' ? _______ ------)--.- ___ ___-____-___- ("s(xaï) z' % (x+dx,t) x x+dx Âxex Figure 2 : transfert thermique à travers le volume cl V A2.2- En supposant qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par conduction selon la direction x et en s'appuyant sur le premier principe de la thermodynamique, exprimer la variation d'énergie interne dU de l'élément de volume cl V entre deux instants proches [ et t+dt, en fonction des puissances thermiques surfaciques % (x,t) et {05 (x + dx,t) , de la section S et de dt. On considèrera % (x,t) et {05 (x + dx, [) constantes pendant la durée dt. A2.3- Comment est modifié ce bilan si l'élément de volume cl V est le siège de réactions nucléaires de fission qui produisent une puissance thermique volumique % (x, t) ? A2.4- L'évolution de la puissance surfacique ç05 le long de l'abseisse x est telle que: $S(x+dx,t)--%(x,t)=%-dx. Déduire alors, des étapes précédentes, l'expression de la açÛs x variation de température dT de l'élément de volume cl V en fonction de et de % (x, t). A2.5- Rappeler l'expression générale de la loi de Fourier qui rend compte du phénomène de . . , . . . BT . . . conducüon therm1que. En dedu1re l'express1on de % (x,t) en fonct10n de -- s1 on cons1dere que x l'échange par conduction se fait uniquement selon l'axe x. A2.6- En déduire l'équation aux dérivées partielles selon les variables x et [ vérifiée par la température T. Cette équation est appelée équation de la chaleur. Remarque: la variation de température dT pendant une durée dt s'effectuant à une abseisse x . T donnée, on pourra écr1re dT = %-- - dt . [ 3/12 A3- Profil radial de la température du crayon combustible L'expression générale de l'équation de la chaleur, obtenue en A2.6 à une dimension, s'écrit : T . p - c - %-- : % + /1- AT, où AT représente le laplaoeen de la température T. [ Dans la suite du problème, on se placera en régime permanent. De plus, on supposera que les transferts thermiques dans le crayon combustible se font uniquement par conduction et ce, de façon radiale. L'axe du crayon combustible sera l'axe 02 comme indiqué dans la figure 3. Par ailleurs, la puissance volumique dans le combustible à une cote z donnée, % (z) , sera considérée comme constante et on prendra % (z) =ç0_V=365 W/cm' . Enfin, les conductivités thermiques du combustible et de la gaine sont respectivement : Âc = 3,65 W.m".K'1 et Âg = 12,3 W.m".K". + Axe 2 Z = +H/2 ñ*++ _ _ _ Z = 0 ++;ËÎÊÎ Z = -H/2 Figure 3 : repère et dimensions du crayon combustible A3.1- En remarquant que le système possède une symétrie de révolution autour de l'axe Oz, exprimer l'équation de la chaleur en géométrie cylindrique à une cote z donnée. En coordonnées cylindriques, l'opérateur laplacien AT a pour expression : 1 a M 1 82T a'r AT=----- r--- + 2 2 --2. r dr dr r 89 82 A3.2- En déduire, en régime permanent, l'expression de l'évolution selon r de la température dans le combustible T (r), àla cote z donnée, en fonction de la température au centre T (r = O) = T 0- Exprimer alors l'écart de température moyen AT comb = TO --Tc (avec T (r = rc") = T c ) entre le centre et la périphérie du combustible en fonction de la puissance volumique àla cote 2. Calculer ATC = TO -- Tc. amb 4/12 A3.3- Expression de l'évolution de la température dans la gaine T (r). A3.3.1- En utilisant l'équation de la chaleur, donner l'expression, en régime permanent, de l'évolution de la température dans la gaine T (r) a la cote z donnée en fonction de la température de la paroi interne de la gaine T (r = rc+) = T g et de la température de la paroi externe de la gaine T (r = rg) = T p. A3.3.2- L'expression obtenue en A3.3.1 ne donne pas accès à l'écart de température moyen AT gaine =Tg --Tp entre la périphérie du combustible et la périphérie de la gaine a la cote 2. Pour l'obtenir, vous suivrez la démarche suivante. Dans un premier temps, vous exprimerez la relation qui existe entre le flux surfacique dans la gaine % (r) en fonction du flux volumique dans le combustible % (z), de la distance r et du rayon du cylindre de combustible de l'élément combustible rc. Puis, dans un deuxième temps, vous utiliserez ce résultat avec la loi de Fourier pour obtenir l'expression de l'évolution de la température dans la gaine T (r) en fonction de % (z) et de la température de la paroi interne de la gaine T (r = rc+) = T g. Enfin, vous exprimerez l'écart de température AT gaine = T g -- T p entre l'intérieur et la périphérie de la gaine a la cote z en fonction de la puissance volumique % (z) . Calculer AT = T g -- T p . gaine A3.4- Il existe un contact thermique imparfait entre le combustible et la gaine. Aussi, la température en périphérie du combustible T 0 n'est pas celle de la paroi interne de la gaine T g. Ce phénomène se modélise par l'introduction d'une résistance thermique de contact, notée R... = l K.W".cm2, tel que : Ê--Tg=RÏh-æs(r=rc). Exprimer l'écart de température AT =Tc--Tg en fonction de la contact puissance volumique % (z) . Calculer AT = Tc -- T g . contact A3.5- De la même façon, le transfert thermique entre la paroi extérieure de la gaine et le fluide caloporteur (le fluide du circuit primaire) impose un écart de température. Ce dernier est donné par la loi de Newton: çaS(r = rg) = oz-(Tp (z)--T]. (z)) où Tf(z)=î} et Tp(z)=Tp sont respectivement les températures du fluide primaire et de la paroi externe de la gaine àla cote z. Le coefficient a, appelé coefficient de convection, est constant tout le long du crayon combustible. Exprimer AT = T p -- T f en fonction de la puissance volumique % (z) , du coefficient de COHV convection ades rayons rc et rg. Calculer AT = T p -- T f , sachant que a = 3,25 W.cm'2.K'l. COHV A3.6- Montrer que, a la cote z donnée, l'écart de température moyen AT =TO --Tf entre le crayon centre du combustible et le fluide primaire peut s'écrire sous la forme : AT = A - % (2) où A est crayon une constante que vous préciserez. Calculer/l et AT crayon ' A3.7- Représenter, schématiquement, le profil de température dans le crayon combustible. A4- Profil axial de température d'un crayon combustible Le nombre de fissions dans le combustible n'est pas identique en tout point de ce dernier. Ainsi, la puissance volumique dépend de la cote z et on modélise cette dépendance par la relation : % (z) =%-çaî-cos (%) où ç0_V est la puissance thermique volumique moyenne de 365 W/cm3 . En conséquence, la température T 0 n'est pas constante mais dépend de la cote 2. 5/12 Zo:oe oe=oä 095533 ::a manne: @@ ©moeoeoeæo %... OE:E@ ...ËBËä îoe...owoäoec® nc... ......moeoeo oä3 n:mË... 9363 005EUR:ËE8 8555 5&Ëo. 33 _mm amsäm A Q... .... bo fic...aoe ©1533 mä... 5 88 N H +OEÈ... : @m.... ...... ?... 83©......5Ë3 @. «N H +OE\OE H &» ®oBË.ËÊË moaa 08.5. 295 oËoe&oäoeää Êo _m Bmmmo A....- mËaBOE ?... ......SoeoeËoa 3Êo @...ä _@ a:...% 38. ::...a %... ...o:mäfi a...oe.&...Ëmoe @ ANV @: 35805 @@ @ ANV . >A.N- H...mo:Ëæo Ê9Ë...Ëa o:æ.o ...aoe 2353 ooBvcmaïom 2 :... mafia Ë...Bm...3 moe @: ...... Ë.omoe...o: 003858. m: âm:moemä _m ä N » maoüo: %... gmmoemo @... _ _ &N m...mcä ... ... <:a m.........m...o @@ ...m mooaos @@ woemmmma &: a=...% Ë....Bm...ä Q...N Zo:oe oe=oä 095533 ::a manne: @@ ©moeoeoeæo %... 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Leurs tensions de saturation haute et basse seront respectivement + Vcc et -Vcc. B1- Réalisation d'un multivibrateur monostable à base d'amplificateurs opérationnels B1.1- Comparateur simple seuil 7777 Figure 6 : comparateur simple seuil B1.1.1- Expliquer le fonctionnement du montage de la figure 6. B1.1.2- Tracer sa caractéristique VS en fonction de 8 = V+ - V.. B1.2- Comparateur à deux seuils V+ R1 7777 Figure 7 : comparateur a deux seuils B1.2.1- Rappeler le fonctionnement du montage de la figure 7. Définir notamment les seuils bas Vb et haut Vh. B1.2.2- Tracer la caractéristique VS en fonction de V6, en précisant la courbe parcourue selon que Ve croît ou décroît. 8/12 B1.3- Multivibrateur monostable à amplificateurs opérationnels (ADP) Un multivibrateur monostable est un oscillateur dont la sortie possède deux niveaux, un niveau << haut >> correspondant à un << 1 logique >> et un niveau << bas >> correspondant à un << 0 logique >>. La particularité de ce circuit est qu'un niveau est stable alors que l'autre est instable. Ainsi, après application d'un signal de commande, la sortie du système passe de l'état stable à l'état instable pendant une durée Tpuis revient à son état stable initial. R A _ . A V, + C . l | M VC C RZ D î7 ---- A | | T A __ _-- C ' VA R1 V, W 7/777 Figure 8 : multivibrateur monostable à AOP La diode D est supposée parfaite, sa tension seuil est nulle. B1.3.1- La tension de commande V6 est nulle depuis longtemps, la tension de sortie VA est dans un état stable et vaut VA = + Vcc. En vous appuyant sur un schéma équivalent du circuit de la figure 8, justifier l'état passant de la diode D. B1.3.2- Quelles sont les valeurs des tensions aux bornes des condensateurs '? B1.3.3- A t = 0 s, l'injection d'un échelon de tension de commande Ve (t = W) = E va permettre le changement d'état de la sortie (VA = - cc) et le blocage de la diode D. B1.3.3.1- Quelles sont les valeurs des tensions aux bornes des condensateurs immédiatement après l'injection de cet échelon de tension '? B1.3.3.2- A quelle condition sur E, cet échelon de tension permettra le changement d'état de la sortie '? B1.3.3.3- Montrer que la tension aux homes du condensateur C, Vc(t), est régie par une équation différentielle du premier ordre. Donner l'expression de la loi d'évolution, en fonction du temps et de la tension Vc(t). B1.3.3.4- Justifier alors l'état bloqué de la diode. 9/12 B1.3.3.5- Montrer, a partir de la loi des noeuds au point M, que la tension aux bornes du condensateur C', Vc'(t), est régie par une équation différentielle du premier ordre. Donner l'expression de la loi d'évolution, en fonction du temps et de la tension Vc'(t). C'-R,-R, Remarque : on introduira la constante de temps T' = R ] + R, B1.3.3.6- En déduire la loi d'évolution, en fonction du temps, de la tension aux bornes de la résistance R; : V+(t). B1.3.3.7- En étudiant les valeurs finales Vcoe et V... des tensions Vc(t) et V+(t), montrer que la tension de sortie VA va rebasculer vers son état initial VA = + Vcc. B1.3.3.8- On considère que la constante de temps de charge du condensateur C' est très faible comparée à celle du condensateur C. B1.3.3.8.a- Comparer alors les vitesses de charge de ces condensateurs. B1.3.3.8.b- Montrer alors que l'expression simplifiée de la tension 8(t) est : R __t 8(t) z VCC - 2 --eRC . R ] + R, B1.3.3.8.c- En déduire l'instant [ où la tension de sortie VA rebascule vers son état initial. B2- Circuit de mise en forme B2.1- Donner l'expression de la tension VB du montage de la figure 9, en fonction de VA et des résistances R3 et R4. Que devient cette expression dans le cas où R4 =R3 '? R4 VA VB 7777 Figure 9 : circuit inverseur 10/12 B2.2- Dans le montage de la figure 10, la tension VA(t) est un signal rectangulaire compris entre +VCC et --VCC, de période T, dont la durée de l'état bas est T. La diode D' est supposée parfaite, sa tension seuil est nulle. Tracer, sur deux périodes, les chronogrammes des tension VB et VD. V A A + VCC 0 T-T T ZT ; --VCC ................. _ ----------------- _ ------------------ R3 R3 _ Rs _|_ A VA ) VB D VD 77777 Figure 10 : circuit de mise en forme et chrono gramme B2.3- Calculer la valeur moyenne de la tension VD en fonction de la fréquence f = l/T. B2.4- On désire obtenir, à partir de la tension VD, une tension VS proportionnelle àla fréquence f = l/T , tel que : V5 = k.f. En faisant appel à la décomposition en série de Fourier de la tension VD, définir le type de filtrage à utiliser. Préciser alors l'expression de k. Comment choisir la fréquence de coupure de ce filtre (figure 11) ? VD Vs Filtre à préciser Figure 11 : utilisation d'un filtre à préciser 11/12 B3- Etude du filtre Le filtre utilisé est représenté figure 12. C5 R5 R6 _|-- VD C6 Î/7 Figure 12 : filtre ; 'a) B3.1- Mettre la fonction de transfert fi ( jw) = -- J_ ) sous la forme suivante : D ](0 Y H raw-m" w0 Q w0 B3.2- Préciser les expressions de HO , (00 et Q en fonction de R5, R6, C5, C6. © Æ(jw) = B3.3- De quel filtre s'agit-il ? Justifier votre réponse. B3.4- Déterminer Q tel que le module élevé au carré soit de la forme : |H(jw)|2 -%- 1221 " B3.5- Donner alors l'expression de la phase Q( jw) de E ( jw). Fin de l'énoncé 12/12 IMPRIMERIE NATIONALE -- 131166 -- D'aprèsdocumentsf0urnis

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 CCP Physique 2 PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Nicolas Bruot (ENS Cachan) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Ce sujet est composé de deux parties indépendantes. La première porte sur la diffusion thermique en géométrie cylindrique. La seconde propose d'étudier des montages à amplificateurs opérationnels tantôt en fonctionnement saturé, tantôt en fonctionnement linéaire. · La première partie débute par quelques estimations chiffrées reposant sur des calculs élémentaires. On établit ensuite l'équation de la chaleur dans une géométrie unidimensionnelle. Puis, après avoir admis sa généralisation à trois dimensions, on l'utilise pour déterminer le profil radial de température en régime permanent dans un cylindre constitué d'un milieu créateur d'énergie thermique, enveloppé d'une gaine protectrice (l'ensemble étant plongé dans une piscine d'eau). L'étude du profil de température le long de l'axe du cylindre conclut cette partie. · C'est l'électronique qui est au coeur de la seconde partie. Deux montages comparateur à AO sont d'abord étudiés. Sur le second, on connecte une boucle de rétroaction négative afin de construire un multivibrateur monostable comportant une diode. Le caractère « monostable » de ce circuit est expliqué. On abandonne alors partiellement les AO en fonctionnement saturé pour se concentrer sur des montages en régime linéaire : un inverseur, puis un filtre passe-bas actif du second ordre. Cerise sur le gâteau : ces montages sont assemblés pour réaliser une mesure de fréquence. On réalise ainsi un convertisseur tension-fréquence ! Cet énoncé est très fidèle à l'esprit des sujets du Concours Commun Polytechniques, bien que les notations soient parfois un peu déroutantes. Il constitue un bon exercice d'entraînement à ces épreuves mais également un excellent sujet de révision d'électronique ou des méthodes de résolution des problèmes de diffusion thermique. Indications Partie A A.1.1 Le volume total de combustible est N × H rc 2 et d'après l'énoncé, Pth = Pe /. A.1.2 Utiliser que Pth = Pe / et que la surface totale du combustible en contact avec le bain d'eau du circuit primaire est NH 2rc . A.1.3 Écrire de deux manières l'énergie totale générée par la fission pendant une année. A.2.3 Attention aux dimensions de S et V . A.3.2 Prendre la dérivée seconde de T par rapport à z égale à 0. r = 0 appartient au domaine d'intégration. Quelle conséquence cela a-t-il sur T(r) ? Utiliser ensuite que T(0) = T0 . A.4.1 Montrer que L (z) = V (z) rc 2 . A.4.5 Utiliser les expressions de L obtenues aux questions A.4.1 et A.4.4. A.4.7 Réécrire la combinaison linéaire de cosinus et sinus dans T0 sous la forme d'un cosinus et d'une phase. z max est la valeur de z qui annule l'argument de ce cosinus. Partie B B.1.2.1 Supposer que l'amplificateur opérationnel est en saturation positive. En déduire l'expression de V+ . L'AO est en saturation positive seulement si V+ > V- ; en déduire l'expression de Vh . Procéder de même avec la saturation négative pour déterminer Vb . B.2.3 Par définition de la valeur moyenne de VD , Z 1 T VD (t) dt VD = T 0 Décomposer cette intégrale en deux contributions. B.2.4 On cherche à enregistrer la valeur moyenne VD du signal qui correspond à la composante à fréquence nulle. B.3.1 Appliquer la loi des noeuds aux noeuds situés à chaque borne de R6 . B.3.4 Calculer explicitement le module de l'expression de H obtenue à la question B.3.1. En déduire que Q = 1/ 2. A. Thermique dans un réacteur à eau pressurisée A.1 Position du problème A.1.1 D'après l'énoncé, Pth = Pe Or, la puissance thermique totale est le produit de la puissance thermique volumique moyenne V multipliée par le volume total de combustible N×H rc 2 . Par conséquent, Pe = V NH rc 2 d'où V = Pe = 3,6.102 W.cm-3 NH rc 2 A.1.2 En régime stationnaire, toute l'énergie libérée par la fission est évacuée par la surface des crayons. La puissance thermique totale est le produit de la puissance thermique surfacique moyenne S multipliée par la surface totale du combustible en contact avec le bain d'eau du circuit primaire N × 2rc H. Ainsi, Pe = S 2N Hrc donc S = Pe = 73 W.cm-2 2N Hrc A.1.3 L'énergie totale générée par la fission pendant une année (dont la durée est notée Tan ) est Nf Ef = Alors, Nf = Pe × Tan Pe Tan = 4,2.1027 Ef soit une dizaine de milliers de moles ! L'expression « 100% de puissance » peut être déroutante. Il faut bien voir que le rendement d'une centrale nucléaire ne doit jamais dépasser une valeur seuil (fixée ici à 0,34). En effet, augmenter le rendement conduirait à une augmentation de température du coeur (pour le comprendre, on peut penser au rendement de Carnot qui est d'autant plus élevé que l'écart en température entre les sources chaude et froide est important) et à un risque de dégradation des crayons. Par « 100% », il faut comprendre que l'on suppose que la centrale fonctionne avec le rendement 0,34 pendant une année. Ce n'est jamais le cas en pratique, EDF adapte sa production à la demande ou peut décider d'arrêter un réacteur pendant quelques mois, pour effectuer des travaux d'entretien. A.2 Équation de la chaleur dans un milieu à une dimension A.2.1 D'après le cours de thermodynamique, pour une phase condensée, dU = dm cdT = c Sdx dT A.2.2 La variation d'énergie interne de la tranche durant dt est égale à la différence entre l'énergie entrant dans la tranche par la face située à l'abscisse x et l'énergie sortant par celle située en x + dx, dU = (S (x, t) - S (x + dx, t)) S dt La notation adoptée est déroutante. Il faut bien comprendre que - = - u th S x c'est-à-dire que S est un flux surfacique. A.2.3 Il faut ajouter le terme de création volumique V (x, t) dt multiplié par le volume Sdx de la tranche. Soit dU = (S (x, t) - S (x + dx, t) + V (x, t)dx) S dt A.2.4 Utilisons le développement proposé par l'énoncé pour réécrire l'expression de dU obtenue à la question précédente, S + V (x, t) Sdx dt dU = - x Or d'après la question A.2.1, d'où dU = c Sdx dT 1 dT = c S V (x, t) - dt x -- A.2.5 La loi de Fourier s'écrit - th = - grad T où - th est le vecteur flux surfacique d'énergie thermique. Cette relation s'écrit ici S (x, t) = - T x A.2.6 D'après la question A.2.4 et l'énoncé, T 1 S = V (x, t) - t c x Injectons le résultat de la question précédente pour obtenir c T 2T = V (x, t) + 2 t x