CCP Physique 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Spectroscopie. Métrologie par opposition.
Principaux outils utilisés optique, électrocinétique
Mots clefs prisme, collimateur, goniomètre, réseau diffractant, montages à amplificateurs opérationnels, effet Hall

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012 PCP2008 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. Leur poids est approximativement 2/3 pour le premier et 1/3 pour le second. PROBLÈME I SPECTROSCOPIE L'étude de la répartition spectrale de la lumière émise par une source ou diffusée par les milieux matériels nécessite un appareillage possédant une forte dispersion associée à une bonne luminosité. Après quelques questions d'ordre général, puis un rappel des propriétés du spectroscope à prisme, on s'intéressera au principe d'un spectromètre à réseau réflecteur, de manière à déterminer l'intérêt de celui-ci. 1) Quelques questions d'ordre général 1.1) Qu'appelle-t-on spectre lumineux ? 1.2) Préciser la bande passante de l' il humain en fonction de la longueur d'onde dans le vide puis en fonction de la fréquence. Indiquer chaque fois la couleur associée aux bornes citées. 1.3) Donner une définition concise de la dispersion : quel effet en fonction de quel paramètre ? 1/12 Tournez la page S.V.P. 2) Spectroscope à prisme Avertissement : dans tout le problème, les résultats numériques concernant les angles doivent obligatoirement être exprimés en degrés. 2.1) On considère un prisme en verre dont l'indice évolue en fonction de la longueur d'onde b suivant la loi de Cauchy n " a ! 2 . Ce prisme est plongé dans l'air dont l'indice est considéré égal à l'unité. Son angle au sommet mesure A = 60 ° . Il est éclairé par un pinceau de lumière parallèle blanche, sous une incidence i = 60 ° par rapport à la normale à la face d'entrée du prisme. La lumière émerge sous un angle #( ) par rapport à la normale à la face de sortie du prisme. Effectuer un dessin du dispositif en précisant de quel côté de la normale (vers le sommet ou vers la base du prisme) il convient de positionner le rayon incident pour éviter toute réflexion totale. Compléter la figure en détaillant tout le trajet suivi par un rayon monochromatique. Définir les angles utiles et les orientations adoptées, puis écrire les formules associées du prisme. Conclure en exprimant sin(#) en fonction de A , i et n exclusivement. 2.2) La longueur d'onde étant celle du rayonnement incident et son unité étant le nanomètre, les coefficients de Cauchy sont définis par a " 1,620 et b " (102,2 nm )2 . Calculer la valeur numérique de l'indice n pour un rayonnement de longueur d'onde correspondant au centre du doublet jaune du mercure. En déduire la valeur numérique de l'angle d'émergence # . " 578 nm Un calcul littéral (non demandé) conduit à l'expression suivante de la dispersion angulaire : Da " d# 2b "$ 3 d sin A sin 2 i cos # 1 $ 2 n Quel sens physique peut-on attribuer à cette grandeur ? Calculer sa valeur numérique, exprimée en °/%m , pour . = 578 nm . En déduire l'écart angulaire à l'émergence entre les deux raies ( 1 " 577 nm et 2 " 579 nm) du doublet du mercure. Est-il observable à travers une lunette afocale de grossissement égal à 10, par un il dont la limite de résolution (plus petit écart angulaire discernable) est de 1' (une minute d'angle) ? 2/12 3) Spectroscope à réseau réflecteur échelette 3.1) Montage goniométrique Le goniomètre étant l'instrument le mieux adapté à la mesure d'angles, on se placera dans le cas de la figure 1, le réseau réflecteur posé sur la platine. La lumière, issue d'une lampe spectrale est émise sous forme d'un faisceau parallèle grâce à l'interposition d'un collimateur dont l'orifice d'entrée O est accolé à la lampe. Une lunette de visée, autocollimatrice, permet l'observation à l'infini du faisceau réfléchi. Lunette Oeil L3 xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx R xxxxxxxxxx L2 xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx ur y y' L1 Lampe spectrale xxxxxxx ui S' x F O x x x xxxxxxx x O' x' x Collimateur N.B. : Les axes Oz et O'z', non dessinés, sont perpendiculaires au plan de figure. Figure 1 3.1.1) Le collimateur Confection d'un large faisceau de lumière parallèle, à partir d'une source ponctuelle. Une lentille L1 en verre d'indice n (figures 1 et 2) possède une face d'entrée sphérique de centre O , de sommet S et de rayon R = OS = 3 cm . (Toute donnée N cm sous-entendra N,00 cm). Sa face de sortie est un ellipsoïde de sommet S' , de révolution autour de l'axe Ox d'un repère orthonormé cartésien (O,x,y,z) et dont la coupe axiale dans le plan xOy a pour équation : x $ 2!2 y2 # " 1 où x et y sont exprimés en cm. On a ainsi OS' = 5 cm . 9 5 y A (P) M 1 cm R N % O K S 1 cm S' 3 (n) (1) x 4 (1) L1 A' Figure 2 3/12 Tournez la page S.V.P. Une source ponctuelle de lumière est située au centre O de la face d'entrée et l'on souhaite que tous les rayons émergents MK soient parallèles à l'axe optique Ox . 3.1.1.a) Déterminer les coordonnées du point A , puis en déduire la valeur " ! ( Ox, OA) de l'angle d'ouverture du faisceau incident. 3.1.1.b) Exprimer OM 2 puis écrire la longueur OM sous la forme OM = a x + b . 3.1.1.c) Exprimer la distance MK du point M jusqu'au plan tangent au dioptre de sortie. 3.1.1.d) Sachant que la lentille est placée dans l'air, d'indice supposé égal à celui du vide, exprimer le chemin optique L(OMK) et montrer que, pour une valeur particulière de l'indice n de la lentille, ce chemin optique devient indépendant de la position du point M sur la face de sortie. Préciser la valeur numérique de cet indice et la longueur du chemin optique correspondante. 3.1.1.e) Préciser, dans ce cas, la propriété essentielle du plan (P) et conclure quant à la forme du faisceau émergent. 3.1.1.f) Est-il nécessaire de se limiter aux conditions de Gauss pour atteindre l'objectif fixé initialement ? 3.1.2) La lunette La lunette possède un réticule fixe R , un oculaire assimilable à une lentille mobile L3 et un objectif à tirage réglable, assimilable à une lentille mobile L2 . Initialement, la position de la lentille L1 reste à ajuster par rapport à l'orifice O pour obtenir une collimation à l'infini. En outre, on veut rendre la lunette afocale pour une visée à l'infini. Pour effectuer ces réglages, on dispose d'un miroir plan auxiliaire que l'on peut, lorsque nécessaire, poser sur le plateau du goniomètre. Décrire le processus de mise au point en précisant l'ordre chronologique du déplacement des trois lentilles. 3.2) Rediffusion d'une onde plane par des récepteurs ponctuels Considérons (figure 3) une onde plane se propageant dans le vide avec la vitesse c dans le sens d'un vecteur unitaire ui et admettons qu'à réception par deux points matériels O' et M , cette onde soit déviée instantanément, sans modification de fréquence, dans une direction de vecteur unitaire u r (figure 4). Dans tout ce qui suit, on pourra faire abstraction du déphasage au contact des points considérés en le supposant identique en chacun de ces points. ui ur Hi ui Hr "i (P i ) "r M O' O' Figure 3 Figure 4 4/12 ur M (Pr ) Le temps de parcours d'un plan d'onde incident (Pi ) à un plan frontal dévié (Pr) dépend du trajet emprunté ; il est égal à O' via O' et à M via M. Démontrer que la différence = M ! O' a pour expression : # O ' M .( u i ! u r ) " . c En supposant que, dans le plan (Pr), l'état vibratoire transmis via O' puisse être décrit par une fonction scalaire telle que so (t ) " a o cos($ t ) , en déduire, dans ce même plan, la grandeur scalaire sM ( t ) associée à l'onde qui a transité par M . 3.3) Rediffusion de la lumière reçue par un plan sous incidence normale 3.3.1) Un miroir, contenu dans le plan (y'O'z') d'un repère cartésien (O',x',y',z') orthonormé, est éclairé par un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde % , en incidence normale selon le vecteur unitaire u i porté par l'axe des abscisses (figure 5). Comme indiqué sur la figure 1, le repère (O',x',y',z') est disposé selon les mêmes bases que celles du repère (O,x,y,z). Seule l'origine O' diffère de O par translation le long de l'axe des abscisses. On peut imaginer que chaque atome en surface du miroir, excité par le rayonnement incident, se comporte comme une source ponctuelle secondaire cohérente qui rayonne de la lumière dans toutes les directions au-dessus du miroir. y' ! h/2 + l/2 y' ui M O' x' z' ! l/2 + h/2 z' Figure 5 5/12 Tournez la page S.V.P. On observe le miroir à travers une lunette réglée sur l'infini et orientée pour recevoir le rayonnement lumineux rediffusé uniquement dans une direction de vecteur unitaire : %(r " u r ) #$ & r ! En caractérisant le rayonnement reçu par la lunette en provenance d'un atome situé au point O' par la grandeur scalaire so ( t ) ) a o cos*, t + , exprimer l'état vibratoire s M(x',y',t) du rayonnement issu % 0" # d'un atome situé en un point quelconque M du plan (x'O'y'), tel que : O' M ) # y' . #$ z '! - 3.3.2) On supposera maintenant (figure 5) que le miroir est réduit à une bande métallique de grande longueur h comprise entre les cotes . h/2 et + h/2 , ayant une fine largeur l comprise entre les ordonnées . l/2 et + l/2 . On dénombre N1 atomes alignés dans le sens des ordonnées et N2 atomes alignés dans le sens des cotes. 3.3.2.a) Exprimer le nombre d'atomes dN contenus dans une surface élémentaire dS' = dy'.dz' en fonction de N1 , N2 , l , h , dy' et dz' . En déduire, sous forme d'une intégrale double, la grandeur scalaire caractéristique de l'onde globale qui atteint le plan (Pr) selon le vecteur u r (figure 4). Développer son expression en faisant apparaître le temps t et les coordonnées y' et z' . Préciser les bornes d'intégrations. Un calcul (non demandé) conduit au résultat suivant : h1 l1 4 4 S ) N 1 N 2 a o sinc 2 6 & r / sinc 2 6 ' r / cos*, t + 50 50 3 3 où : sinc ( x) ) sin*x + . x 3.3.2.b) Dans l'hypothèse où les dimensions h et l restent très supérieures à la longueur d'onde, en déduire dans quelle unique direction il demeure possible d'observer de la lumière dans la lunette. 3.3.2.c) Dans l'hypothèse où seule la longueur h est très supérieure à la longueur d'onde, tandis que la largeur l devient suffisamment fine pour être voisine d'un petit nombre de longueurs d'onde, expliquer pourquoi l'onde lumineuse n'est pratiquement rediffusée que dans le plan &r ) 0 . Simplifier dans ce cas l'expression de l'intégrale S ; situer la position du maximum d'intensité puis les positions correspondant à des zones sombres. Comment nomme-t-on habituellement ce phénomène ? 3.4) Cas d'un arrangement périodique sous incidence normale 3.4.1) Dans l'hypothèse d'une seule longue bande réfléchissante de largeur micrométrique l Dans ce cas, la lunette doit être maintenue dans le plan (x'O'y') et l'amplitude scalaire de l'onde lumineuse réceptionnée se réduit à : 4 l1 S ) N1 N 2 a o sinc 2 6 ' r / cos*, t + . 50 3 Exprimer l'intensité lumineuse correspondante. Est-il matériellement possible d'observer le maximum de luminosité correspondant à ' r ) 0 ? 6/12 On souhaite faire l'observation d'un rayonnement de longueur d'onde % = 578 nm suivant un angle de réflexion égal à O = 30 ° , de sorte que Br = sin® = 0,5 . EUR , . . . ,. . , . En admettant que pour une phase \|1= TE Br î supeneure a TE , les p1cs d1ntens1te se srtuent au . . TE , . . v01s1nage des valeurs w = (2q+ 1)5 , q etant un entrer non nul, quelle est la valeur de cet ent1er q si l'on souhaite travailler avec une largeur @ de l'ordre de 40 um ? Les choix effectués sur les valeurs de ® et de EUR conduisent à une valeur de q élevée. Quel inconvénient en résulte-t-il ? 3.4.2) Dans le cas d'un réseau de bandes réfléchissantes parallèles Un moyen d'augmenter l'intensité lumineuse consiste à multiplier le nombre de bandes réfléchissantes, avec la condition, évidemment, qu'elles interférent en concordance de phase. On arrive ainsi à un dispositif tel que représenté sur la figure 6. On éclaire ce système, en incidence @ normale, avec un faisceau de lumière de longueur d'onde ?» et l'on s'intéresse à la lumière diffusée par le plan (O',y',z') suivant la direction du vecteur unitaire ü, selon l'angle aigu @ (non orienté) défini sur la figure. N.B. : L'axe O'z' , non dessiné, est normal au plan de figure. Figure 6 3.4.2.a) Exprimer le vecteur &, en fonction de l'angle @ . --> --> Lorsque l'on fait subir à la longue bande précédente une translation de vecteur T = O'Ol = b 2 _) u u . . exprimer le déphasage cp = % O'Ol .(u i-- u r) qu1 en résulte pour l'onde red1ffusée. Pour que les ondes réfléchies par toutes les bandes interférent en phase, le déphasage doit être tel que : (p =27£p , p étant un entier relatif non nul. En déduire une relation [.73] entre les paramètres b, e, @ et p À. 3.4.2.b) L'ordre p étant fixé, une petite variation d de la longueur d'onde entraîne une petite variation d! de la position angulaire du pic considéré. En différentiant membre à membre d! l'équation " R # obtenue, exprimer la dispersion angulaire D a $ . d Justifier la nécessité de choisir un entier p élevé. 3.4.2.c) On fait le choix de b = 40 %m et de p = 64 , tout en conservant ! $ 30 & et $ 578 nm . En déduire la valeur numérique correspondante pour le décalage e . Lors d'une observation à travers la lunette (de grossissement égal à 10), déterminer l'écart angulaire séparant le doublet du mercure ( 1 $ 577 nm et 2 $ 579 nm ) . Comparer au résultat obtenu avec un spectroscope à prisme (question B) et conclure. PROBLÈME II MÉTROLOGIE PAR OPPOSITION La mesure d'une grandeur physique peut se faire de manière directe en observant les effets qui résultent de l'application de cette grandeur. L'inconvénient majeur de ce procédé provient du fait que les lois qui régissent ces effets en fonction de leur cause ne sont pas toujours des plus simples. Un moyen d'échapper à cette difficulté consiste à ramener à son état initial un équilibre modifié sous l'influence de la grandeur à mesurer, en compensant ses effets par une action antagoniste plus facilement mesurable. Le retour à l'équilibre peut se rechercher manuellement comme, par exemple, en déposant des poids dans le plateau d'une balance, l'oeil servant de capteur de position pour le fléau. Il peut aussi être asservi pour plus de confort. Deux exemples simples sont étudiés ciaprès, suivis de nombreuses questions indépendantes. 1) Méthode d'opposition pour la mesure d'une f.e.m. 1.1) Mesure directe au voltmètre P R Générateur '() V + E * Voltmètre M xx Figurexx 1 Un voltmètre de résistance interne ( est connecté (figure 1) aux bornes d'un générateur électrique modélisable par une source idéale de tension continue E en série avec une résistance R . Exprimer la tension V mesurée par le voltmètre en fonction de E et du rapport R/( . A quelle condition est-il possible d'affirmer que le voltmètre mesure correctement la f.e.m. E du générateur ? Dans le cas où R = ( =10 M+ , exprimer numériquement le rapport V/E ; la mesure est-elle satisfaisante ? 8/12 1.2) Mesure par opposition avec réglage manuel Pour mesurer la fem. d'un générateur dont la résistance interne R ne vérifie pas la condition précédente, on peut lui opposer une source électrique de fem. U réglable, de résistance interne r négligeable devant celle du voltmètre (r << p). L'équilibrage est obtenu (figure 2.a) en réglant la tension U jusqu'à ce que le voltmètre incorporé dans le circuit, entre les points P+ et P- , mesure entre ces bornes une tension u nulle. Quelle relation existe-t--il alors entre U et E ? , , Alimentation Generateur , reglable Figure 2.a Générateur Alimentauon réglable Figure 2.b Dans un deuxième temps (figure 2.b), le générateur est déconnecté et le voltmètre est branché directement aux bornes (P-, M) de l'alimentation auxiliaire ainsi réglée. Il mesure maintenant une tension V. Exprimer numériquement le nouveau rapport V/E sachant que : r = 50 Q et R = p = 10 MQ . Préciser l'erreur relative ainsi commise : 8 = (E--V)/E . 1.3) Mesure a l 'aide d'un montage suiveur à amplificateur opérationnel On réalise maintenant un montage "suiveur" en câblant le circuit détaillé sur la figure 3 (page suivante) autour d'un amplificateur opérationnel (réel) dessiné dans le cadre en pointillés. Cet amplificateur présente entre ses deux bornes d'entrée une résistance élevée p et intègre une source modélisée par un générateur de tension U , en série avec une résistance r . Si l'on remarque que le circuit schématisé figure 3 est absolument identique à celui dessiné sur la figure 2.a , on peut travailler à partir de cette figure 2.a . Exprimer alors la tension différentielle d'entrée u en fonction de l'écart E--U et du rapport oc = p/(R+p+r). . . , . , . dU . , La source de tens1on U est en fa1t réglé par l'equat10n : U + I È: A u , la tens1on u etant celle . . , , . , . _ , dU que lon Vient de calculer. Reecnre cette équation sous la forme . U + t -- = u E . dt Exprimer la valeur asymptotique U vers laquelle tend la réponse U(t) . A quelle condition sur le gain A le coefficient pourrait-il être considéré comme rigoureusement égal à l'unité ? _ u r ! S + U R A VS Générateur E M Figure 3 Toujours dans le cas où r # 50 " , R # ! # 10 M" et sachant que A # 2.105 avec U %E calculer la constante de temps $' puis l'écart relatif réellement atteint : & # ' . E $ # 1 ms , 2) Réglage de la vitesse de rotation d'un moteur 2.1) Principe On souhaite régler la vitesse angulaire " d'un moteur qui tourne en entraînant un aimant * permanent devant un bobinage fixe, lequel délivre une tension sinusoïdale : x # X cos(" t ) . En agissant sur la tension d'alimentation du moteur, il devient possible d'assujettir cette vitesse " * comparativement à la pulsation + d'un oscillateur délivrant une tension : y # Y cos(+ t - , ) . Pour ce faire, on peut composer une tension telle que : v # x d2 y d2 x , puis faire évoluer la dt 2 dt 2 vitesse " jusqu'à obtenir un signal v nul. Exprimer v puis démontrer que, quelles que soient les * %y * valeurs crêtes X et Y des tensions considérées, on obtient bien v = 0 lorsque " # + . Les opérations conduisant à la détermination de v à partir des tensions x et y peuvent être réalisées à l'aide de montages électroniques ou bien programmées au moyen de microprocesseurs. 10/12 2.2) Exemple d'un oscillateur sinusoïdal C C R R A + R A + z C y Figure 4 Le montage considéré (figure 4) utilise deux amplificateurs opérationnels supposés idéaux et fonctionnant en régime linéaire. 2.2.a) En considérant le premier amplificateur, à gauche sur la figure, déterminer la relation entre la tension y et la dérivée temporelle de z . 2.2.b) En considérant le second amplificateur, à droite sur la figure, déterminer la relation entre la tension z et la dérivée temporelle de y . 2.2.c) En déduire l'équation différentielle qui régit y , exclusivement ; puis en donner la solution générale et déterminer la pulsation de l'oscillateur. 2.3) Exemple d'un double dérivateur analogique Par exemple, on peut appliquer une tension x à l'entrée du montage schématisé sur la figure 5, en considérant que les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. En pratique, ces hypothèses restent limitées à des fréquences inférieures à quelques kilohertz et la stabilité du montage exige l'ajout, en série avec chaque condensateur, d'une résistance complémentaire de faible valeur, non dessinée ici. On en fera abstraction. R R C C + A + u x x A vx Figure 5 Exprimer la tension ux en fonction de R , C et dx , puis en déduire la tension vx . dt 11/12 Tournez la page S.V.P. 2.4) Exemples de multiplicateurs analogiques 2.4.a) Par effet Hall Un ruban de faible épaisseur (10 m), parallèle au plan xOy d'un repère cartésien orthonormé (figure 6), est parcouru par un courant d'intensité I orienté dans le sens Oy. Un bobinage (non dessiné) parcouru par un courant I' soumet ce ruban à un champ magnétique de norme B ! k I' , orienté selon Oz. Des réponses qualitatives sont attendues. z Exprimer et dessiner la force magnétique qui agit sur les charges en mouvement, en supposant qu'elles soient négatives. Comment est-il possible de justifier que les charges restent animées d'un mouvement uniforme suivant Oy sans être déviées par cette force ? Définir en conséquence une grandeur directement mesurable, proportionnelle au produit I.I' . B 1/100 mm 5 mm I O y x 8 mm Figure 6 2.4.b) Au moyen de détecteurs quadratiques Additions et soustractions de tensions peuvent être réalisées à partir de montages à amplificateurs opérationnels. D'autre part, il existe des dispositifs (détecteurs quadratiques) faisant intervenir des composants non linéaires, capables de délivrer en leur sortie une tension proportionnelle au carré d'une tension appliquée à leur entrée. Il est donc possible d'élaborer ainsi des tensions telles que : w1 ! a x " v y 2 et w 2 ! a x # v y 2 , où a est une constante de proportionnalité dont il est demandé de préciser l'unité. Ces tensions peuvent être appliquées aux entrées du montage représenté figure 7, lequel met en uvre un amplificateur opérationnel fonctionnant en régime linéaire. Exprimer alors la tension de sortie vs en fonction du produit xvy et conclure. R R w2 $ w1 R Figure 7 Fin de l'énoncé 12/12 vs IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1242 ­ D'après documents fournis + R

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Fleury (ENS Lyon) ; il a été relu par JeanChristophe Tisserand (Professeur en CPGE) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants. · Le premier problème (optique) aborde la spectroscopie, d'un point de vue essentiellement expérimental. On y compare les performances d'un spectroscope à prisme et d'un spectroscope à réseau, en termes de résolution. De nombreuses thématiques de l'optique géométrique et ondulatoire sont ainsi balayées. Quelques points techniques nécessitent par ailleurs l'utilisation de méthodes élémentaires de géométrie analytique. · Le second problème (électrocinétique), plus court, est construit autour de la notion de mesure par opposition. Il est entièrement abordable en première année, et constitue un bon support de révision en seconde année. Après avoir évoqué le problème classique des mesures de forces électromotrices, le sujet propose l'étude de plusieurs circuits électroniques simples pouvant intervenir dans un dispositif de réglage de la vitesse d'un moteur. Il s'agit dans l'ensemble d'un sujet de longueur normale, contenant une majorité de questions sans grande difficulté et proches du cours. On note toutefois quelques exceptions dans le premier problème. Indications Problème I 2.1 Utiliser les lois de Descartes pour la réfraction, ainsi que la géométrie du triangle formé par le sommet du prisme et les points d'entrée et de sortie du rayon lumineux. 3.1.1.a Caractériser le point A comme l'intersection entre deux figures géométriques. Résoudre le système d'équations associé. 3.1.1.b x est l'abscisse du point M (omission de l'énoncé). Procéder de même qu'à la question précédente. 3.1.1.c Supposer que la portion MK du rayon lumineux est parallèle à l'axe optique. 3.1.1.e Quelle est la propriété essentielle d'un plan d'onde ? 3.2 Quelle distance doit parcourir chaque rayon ? 3.3.2.a Exprimer la contribution au signal lumineux d'une portion dS de miroir, située autour du point M . 3.3.2.b Quelle est l'allure de la fonction x 7 sinc (x), pour grand devant l'unité ? Problème II 1.2 Penser au pont diviseur de tension. 1.3 Le coefficient µ ne peut pas être rigoureusement égal à l'unité, mais seulement de manière approchée. 2.2.a Introduire les courants des branches portant les condensateurs. Exprimer chacun d'entre eux de deux manières différentes, en prenant garde aux conventions de signe (récepteur ou générateur) dans les relations courant-tension. 2.4.a Quelle est l'allure de la trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique ? Quel effet cela produit-il sur la distribution globale des charges au sein du conducteur ? Enfin, comment une telle distribution rétroagit-elle sur le mouvement des charges ? I. Spectroscopie 1. Quelques questions d'ordre général 1.1 Le spectre S() d'un signal lumineux est la répartition de son énergie dans l'espace des longueurs d'onde dans le vide. Ainsi, dI = S() d représente la portion d'intensité lumineuse contenue entre les longueurs d'onde et + d. À titre d'exemple, on donne ci-dessous l'allure du spectre de la lumière émise par une ampoule à incandescence. Il s'agit d'un rayonnement de type thermique (dit du « corps noir ») causé par l'agitation des atomes constituant le filament. Ceux-ci rayonnent alors comme des dipôles oscillants. S() (u.a.) 0 400 800 (nm) Le spectre ci-dessus est continu, au sens où toutes les longueurs d'onde situées dans une large bande y sont présentes. Le spectre d'émission d'une lampe au sodium, par exemple, est au contraire discret (spectre de raies) : son allure est très piquée autour de certaines longueurs d'onde bien particulières. La notion de spectre n'est pas limitée à l'optique. Dans le cadre général de l'étude et la caractérisation des signaux en physique, on définit ainsi le spectre d'un signal comme sa densité fréquentielle de puissance. 1.2 En moyenne, l'oeil humain perçoit les signaux lumineux allant de l'infrarouge à l'ultraviolet. Les longueurs d'onde et fréquences concernées sont 800 nm IR > > UV 400 nm 375 THz IR 6 6 UV 750 THz On rappelle que le lien entre la fréquence et la longueur d'onde d'un signal monochromatique est la célérité c de ce signal, selon = c/. Dans le cas d'une onde lumineuse se propageant dans le vide, c = 3,0 · 108 m.s-1 . Le préfixe T dans THz se lit « téra » et signifie 1012 . 1.3 On dit que la propagation d'une onde est dispersive lorsque sa vitesse de phase dépend de sa fréquence (ou de sa longueur d'onde). Une petite confusion pouvait ici gêner le candidat. Il est en effet plusieurs fois question dans la suite du problème de la dispersion angulaire d'un rayon lumineux, qui est une notion tout à fait différente. 2. Spectroscope à prisme 2.1 On représente ci-contre la marche d'un rayon lumineux à travers le prisme. Le rayon incident doit provenir du côté base du prisme afin d'éviter toute réflexion totale lors de la traversée du second dioptre verre/air. L'application des lois de SnellDescartes aux points I et E donne sin i = n sin r sin = n sin S air i I A C E r verre Par ailleurs, dans le triangle SEI, on a A + (90 - r) + (90 - ) = 180 soit A=r+ Enfin, l'angle de déviation , non utilisé dans la suite, vérifie =i+-A En utilisant les trois premières formules du prisme établies ci-dessus, il vient d'où sin = n sin(A - r) = n(sin A cos r - cos A sin r) p = n sin A 1 - sin2 r - cos A sin i p sin = sin A n2 - sin2 i - cos A sin i car r [0,/2] 2.2 L'indice optique du verre est donné par la formule de Cauchy, n( = 578 nm) = 1,65 En utilisant ce résultat, ainsi que A = i = 60 , dans la formule donnant sin établie à la fin de la question précédente, on obtient sin = 0,783 soit = 51,6 La dispersion angulaire Da = d/d représente la propension du prisme à séparer les composantes spectrales du rayon lumineux incident. Au voisinage de = 578 nm, cette quantité vaut Da = -10,1 /µm Attention, la valeur de Da obtenue par substitution est en unités S.I., donc en rad/µm. Il faut convertir les radians en degrés pour obtenir la valeur demandée. Les deux raies du doublet jaune du mercure ayant des longueurs d'onde voisines, on peut estimer leur écart angulaire en sortie du prisme par un développement limité (1 ) - (2 ) Da (1 - 2 )