CCINP Physique 2 PC 2010

SESSION 2010 PCP2008

A

CONCOURS (OMMUNS POLYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées
***

Les deux problèmes sont indépendants et de poids sensiblement équivalents
***

N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
***

PROBLÈME 1
INTERFÊROMÉTRIE A DEUX ONDES

Après quelques questions essentielles concernant la propagation des ondes 
électromagnétiques et
leurs interférences, ce problème s'intéresse à un dispositif permettant de 
recomposer deux ondes

planes issues d'une même source puis soumises à des parcours différents, l'un 
servant de référence

et l'autre présentant une particularité que l'analyse des interférences 
obtenues permet de
caractériser.

1) Le champ électromagnétique dans le vide
1.1) Le vide est caractérisé par sa permittivité diélectrique 80 et sa 
splitéabilité magnétique u0 .

1.1.1) Rappeler les unités usuelles de ces deux grandeurs, incluant le Farad 
pour l'une et le Henry
pour l'autre.

1.1.2) Ecrire, en précisant leur nom, les équations de Maxwell dans le vide, en 
l'absence de charges et
de courants.

1.2) Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en déduire la 
vitesse de
propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide.

--> --> --> --> --> -->
Rappel : A E : grad div E -- rot rot E

SESSION 2010 PCP2008

A

CONCOURS (OMMUNS POLYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées
***

Les deux problèmes sont indépendants et de poids sensiblement équivalents
***

N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
***

PROBLÈME 1
INTERFÊROMÉTRIE A DEUX ONDES

Après quelques questions essentielles concernant la propagation des ondes 
électromagnétiques et
leurs interférences, ce problème s'intéresse à un dispositif permettant de 
recomposer deux ondes

planes issues d'une même source puis soumises à des parcours différents, l'un 
servant de référence

et l'autre présentant une particularité que l'analyse des interférences 
obtenues permet de
caractériser.

1) Le champ électromagnétique dans le vide
1.1) Le vide est caractérisé par sa permittivité diélectrique 80 et sa 
splitéabilité magnétique u0 .

1.1.1) Rappeler les unités usuelles de ces deux grandeurs, incluant le Farad 
pour l'une et le Henry
pour l'autre.

1.1.2) Ecrire, en précisant leur nom, les équations de Maxwell dans le vide, en 
l'absence de charges et
de courants.

1.2) Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en déduire la 
vitesse de
propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide.

--> --> --> --> --> -->
Rappel : A E : grad div E -- rot rot E

2) L'onde progressive unidirectionnelle dans le vide
2.1) On recherche si le système d'équations aux dérivées partielles obtenu 
admet, pour le champ
électrique, une solution correspondant à une propagation unidirectionnelle 
telle que :

Eposoe(t--£]
c

_)
E : E2 cosco(t--£]
c

E3 cosco(t -- --X--]
e

Les composantes indiquées sont définies dans un repère cartésien orthonormé 
(O,x,y,z) et les
amplitudes E, , E2 et E3 sont supposées constantes.

2.1.1) Quels sont la direction et le sens de la propagation de l'onde associée 
à ce champ électrique ?
Démontrer, à l'appui de la relation de Maxwell-Gauss, que la composante du 
champ électrique le long
de cette direction de propagation ne peut être que nulle.

%
2.1.2) De l'équation de Maxwell-Faraday déduire les composantes du champ 
magnétique B.
--> --> EUR _
Le vecteur unitaire orienté dans le sens de propagation étant désigné par ux, 
calculer uXA ---- puis
c

--> --> -->
donner, en lajustifzant, une représentation graphique des vecteurs E , B , u x .

Quel nom donne-t--on à cette onde ? En préciser la signification physique.

%
2.1.3) Définir le vecteur de Poynting R associé à l'onde étudiée et préciser le 
sens physique de son
flux à travers une surface interceptant cette onde. En définissant 
l'éclairement 8 d'une surface comme
la moyenne temporelle de la puissance interceptée par unité d'aire, exprimer 
cet éclairement sous

incidence normale en fonction de po , c , E2 et E3 .

3) Superposition de deux ondes monochromatiques et conditions d'interférences
On s'intéresse ici à la superposition de deux ondes monochromatiques 
caractérisées par des champs
électriques de même amplitude E0 et de même polarisation supposée rectiligne 
selon l'axe Oy et se

propageant toutes deux dans le même sens le long de l'axe Ox.

3.1) Donner les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences à partir 
de ces deux ondes.

3.2) Deux sources de lumière réelles distinctes ne peuvent pas engendrer de 
telles conditions.
Expliquer sommairement, en un nombre minimal de lignes, à partir du principe 
d'émission de la
lumière, les causes de cet échec.

3.3) Comment réalise-t-on, en pratique, les conditions permettant l'obtention 
du phénomène
d'interférences ? Indiquer brièvement ce qui en limite l'application.

3.4) On peut répertorier deux grandes familles de systèmes interférentiels ; 
lesquelles ?
Donner un exemple de système pour chaque famille.

3.5) Ecrire la relation entre l'éclairement &, pour une onde seule et 
l'amplitude E0 du champ
électrique de cette onde.

Donner, sans démonstration, l'expression de l'éclairement & résultant de la 
superposition des deux
ondes considérées. On précisera avec soin les différentes grandeurs qui 
interviennent.

4) Dispositif interférentiel

On s'intéresse au dispositif interférentiel de Mach-Zehnder schématisé sur la 
figure 1, que l'on peut
considérer comme un « Michelson déplié » et dans lequel on trouve deux miroirs 
plans (M1) et (M2)
ainsi que deux lames séparatrices (SP1) et (SP2) d'épaisseurs supposées nulles, 
tous ces instruments
étant inclinés à 45° par rapport aux faisceaux optiques. Une source ponctuelle 
S est placée au foyer

objet d'une lentille convergente (L). Le faisceau réfracté par la lentille est 
séparé en deux parties de

même intensité par la lame (SP1) pour être recomposé partiellement au niveau de 
la séparatrice (SP2)
identique à la première, après réflexion sur l'un ou l'autre des miroirs. Le 
faisceau émergent est

ensuite reçu sur un écran (EC).
Ce dispositif est entièrement plongé dans l'air dont on admettra que l'indice a 
pour valeur n0 = l .

(EC)

(SP 1)
Figure 1

4.1) Justifier, sans calcul, qu'en l'état de la figure 1, tous les points 
éclairés sur l'écran (EC) reçoivent
deux ondes en phase. En déduire l'aspect, brillant ou sombre, de la tache 
lumineuse sur l'écran.

4.2) Sur le trajet issu de (M1) et dirigé vers (SP2) on introduit (Figure 2.a) 
une lame à faces parallèles
(L1) d'épaisseur e et d'indice n , perpendiculaire au faisceau. Sur l'autre 
trajet, de (SP1) vers (Mz)
on introduit une lame à faces parallèles (L2) identique à la première (Fig 
2.b), mais faiblement
inclinée, de manière à se présenter sous une faible incidence 9 par rapport au 
faisceau.

4.2.1) Exprimer, pour le parcours de (M,) à (SP2), la différence de marche 
supplémentaire 61
introduite par la présence de lame à face parallèle (L,).

(L1) (L2)

Figure 2.a Figure 2.b

4.2.2) Exprimer, pour le parcours de (SP1) à (M2), le chemin optique £(A'B') 
puis la distance (A'H')
(projection de (A'B') sur l'axe optique) en fonction de l'angle () supposé très 
petit et des données il et
e . En déduire la différence de marche supplémentaire 82 introduite par la 
présence de la lame à
face parallèle (L2).

Les calculs seront développés en les limitant au second ordre (inclus) en 9 .

4.2.3) En supposant que la source (S) émette une onde monochromatique de 
longueur d'onde 7\. dans

le vide, exprimer le déphasage @ des faisceaux au niveau de la tache sur 
l'écran. L'éclairement sur
l'écran est--il alterné ou uniforme ?

4.3) En augmentant lentement l'angle 9 à partir d'une valeur nulle (sous 
réserve qu'il demeure petit),
on peut obtenir sa mesure en relevant celle de l'éclairement et à condition de 
compter le nombre
entier k de passages par un maximum de brillance.

4.3.1) Pour quelles valeurs de 9 a--t-on un éclairement maximal ?

En prenant X = 632,8 nm , n = 1,5 et e = 1 mm , calculer en degrés la valeur 91 
de l'angle
correspondant à k = l .

4.3.2) Si ce dispositif était utilisé pour la mesure d'angles, dans quel sens 
faudrait-il modifier
l'épaisseur de la lame pour gagner en sensibilité ?

4.3.3) En supposant que la source ait une longueur de cohérence lc =lO um , 
quelle condition
devrait--on imposer à l'épaisseur de la lame si l'on voulait mesurer un angle 
de 10 tout en maintenant
k = 1 ?

4.4) La source S est maintenant supposée polychromatique, avec un spectre étalé 
entre les longueurs
d'onde 0,4 mn et 0,8 um . La lame (L2) est positionnée avec l'angle 91 obtenu à 
la question (4.3.1).
On négligera les variations de l'indice il des lames avec la longueur d'onde.

- Montrer que certaines longueurs d'ondes sont absentes sur l'écran. Les 
calculer.
- Comment appelle-t-on la couleur globale obtenue sur l'écran ?

5) La lame (L1) étant maintenue en place, la lame (L2) est remplacée (Figure 3) 
par une lame à face
parallèles (L3) , de même épaisseur e , perpendiculaire au faisceau optique et 
présentant un gradient
d'indice, de norme y . Ce gradient est parallèle à l'axe Oy du repère cartésien 
orthonormé (O,x,y,z)
dont l'axe Ox est confondu avec la direction de propagation de la lumière et 
l'axe Oz (non dessiné)

est normal au plan de figure.

Dans tout ce qui suit, on supposem que la source est à nouveau monochromatique, 
de longueur
d'onde dans le vide égale à 7\. .

(SP1) (M 2)

Figure 3

5.1) L'indice n' de la lame (L3) évolue de manière linéaire entre les deux 
limites de cette lame où
y=h et y=--h , de sorte que: n'=n--y y.
On considérera que h = 1 cm , n = 1,5 et y = 10 m"1 .

5.1.1) Dans quel sens de l'axe Oy le gradient de l'indice n' se trouve-t--il 
orienté ?

5.1.2) Exprimer, en fonction de n , e , y et y , la différence de marche 
supplémentaire &
engendrée par l'interposition de la lame (L3), pour le seul rayon du plan de 
figure atteignant la lame
(L,) avec un décalage y par rapport à l'axe optique.

5.1.3OEacer le cheminement complet de ce rayon, de la source jusqu'à l'écran. 
Quelle sera l'ordonnée
Y : QM de son point d'impact M sur l'écran (EC) ?

5.1.4) En déduire la différence de marche globale 8 entre les deux rayons, 
issus de S et interférant
en M .

5.2) Décrire l'aspect de la figure obtenue sur l'écran, puis préciser la valeur 
de l'interfrange i lorsque
À=546nm et e= 1 mm.

PROBLÈME rr
GAIN DE TEMPS ET ÉCONOMIES D'ÉNERGIE

Le temps et / 'énergie sont des biens précieux dont i/ faut savoirfl1ire le 
IIICÏ/lc'lll' usage.
notamment dans le cac/re de l'habitat. Il eonrient en particulier de réduire le 
clé/ai de mise en
température d'un logement et de limiter la eonsonuuation néeessaire a son 
e/zautîàrge. Que/ques

procédés en ee sens sont présentés dans ee problème, sous forme de questions 
inclépencla;ttes.

1) Approche simplifiée du comportement thermique d'un habitat ; optimisation du 
temps
de mise en température.

1.1) Modélisation sommaire

1.1.1) Dans un réseau électrique la notion de résistance électrique R traduit 
une relation de
proportionnalité entre la différence de potentiel AV existant entre deux 
ensembles équipotentiels
et le courant 1 qui circule de l'un a l'autre. Par analogie. dans un réseau 
thermique, définir la
notion de résistance thermique R... en fonction de la différence de température 
AB existant entre
deux ensembles isothermes et le flux thermique CD qui circule de l'un a 
l'autre. Préciser les unités
des grandeurs thermiques utilisées.

1.1.2) Dans un réseau électrique. la notion de capacité électrique C traduit 
une relation de
proportionnalité entre la dérivée temporelle dV/dt et le courant 1 lié a la 
modification de la charge

d'un condensateur dont l'une des armatures est fixée au potentiel V et l'autre 
est maintenue à un

potentiel de référence nul. Par analogie. dans un réseau thermique, définir la 
notion de capacité
thermique C... en fonction de la dérivée temporelle dG/dt et du flux thermique 
(1) lié a la
modification de l'enthalpie d'un objet matériel porté à la température 6 , la 
mesure de l'enthalpie
étant référencée a un niveau de température nulle. Préciser les unités des 
grandeurs thermiques
utilisées.

1.1.3) Le schéma électrique proposé (Figure 1) est l'image d'un système 
thermique élémentaire
qui permet de frxer globalement les idées concernant le comportement thermique 
d'un habitat.
L'ensemble des radiateurs. alimentés par la chaudière, est assimilé à une 
source de courant.

Pour simplifier. dans toutes /es questions qui suivent, la température 
extérieure 96 sera toujozus
supposée stationnaire ; ainsi le milieu extérieur sera assimilé à une source de 
tension continue.

La température 9(t) de l'habitat sera supposée uniforme dans tout son volume et 
la capacité
thermique de celui--ci sera réduite a C... .

Entre l'habitat et l'extérieur est représentée la résistance thermique R... de 
l'isolation.

La référence de température sera prise ici égale à 0°C ; par analogie avec une 
référence de
potentiel nul, on pourra la représenter par le symbole d'une "masse" dans un 
réseau électrique.

a) Quelle loi de Kir'chhoff appliquée au réseau électrique. traduit--elle le 
bilan thermique de
l'habitat ainsi représenté '.' Exprimer ce bilan.

b) Lorsque le régime permanent est atteint pour une température de consigne 
constante @@ .
expliquer pourquoi l'on peut faire abstraction de la capacité C... .

-- En déduire directement. en fonction de 60 . et et R... exclusivement. la 
puissance (flux)

thermique (DO nécessaire au maintien de la température de consigne.
-- En préciser la valeur numérique. sachant que : 9e = 5°C , BC = 20°C et R... 
= 2,5 mK/W.

(D Habitat Rth

5 Isolation

Chaudière + radiateurs

â9(t)
/
/ Symbole d'un thermostat
Symbole d'une source de chaleur (par analogie avec une source de tension)
(par analogie avec une source de courant)
Figure 1

1.2) Mise en température
NB : Dans toute la suite de cette question on posera : TO : R... Cth

1.2.1) Mise en température sous flux constant
La température initiale de l'habitat étant supposée égale à la température 
extérieure, on met celui-ci

en chauffe au temps t = 0 s , en imposant un échelon de flux égal à (Do .
a) Résoudre l'équation différentielle qui résulte du bilan thermique.
b) Sachant que C... = 3 MJ/K , calculer le temps nécessaire pour atteindre la 
température @@ à
5 % près, c'est-à-dire lorsque : ÊQÏ--9--(--Q : 5 % .

eC -- ee
Ce temps pouvant être jugé trop important, on peut accélérer la mise en 
température en augmentant
la puissance de chauffe au démarrage puis en la réduisant progressivement de 
manière à ne jamais
dépasser la consigne choisie. Ceci est rendu aisé grâce aux progrès de l 
'e'lectrom'que numérique

qui permettent la programmation des sources de chaleur (sources électriques 
notamment) de
manière à faire évoluer leur puissance selon des lois dépendant du temps et de 
divers paramètres

fixés (consignes) ou variables (températures existantes}.
Deux procédés distincts sont proposés ci-après, en (1.2.2) et (1.2.3).

1.2.2) Chauflage forcé au départ puis réduit en fonction du temps
Dans la mesure où la chaudière est apte à fournir, par exemple, une puissance 
transitoire dix fois
supérieure au flux (Do qui s'impose en régime établi, on peut programmer une 
puissance de

chauffe selon la loi : net : 
q>i _ @@ = G (ei _ ee) .

Préciser la valeur numérique de ce flux net dans les conditions indiquées.

2.1.2) Récupération de chaleur sur l'air extrait avec un échangeur à 
contre--courant
Un procédé économique consiste à réchauffer l'air neuf entrant en lui 
communiquant, sans mélange
d'air, une partie de la chaleur de l'air sortant, grâce à deux conduites 
séparées, accolées sur une

grande longueur L , en étroit contact thermique, mais isolées de l'extérieur 
(Figure 2) .

Section droite

' aäaWar«aa
&

ref
g,%gä

"&

,;Ê%%

\\ \ Isolation /
\ Pl d' ' h '
L \ aque ec anges thermiques

Figure 2

La paroi qui sépare les deux conduites est très fine, en cuivre, pour permettre 
un bon échange
transversal. Le transfert par conduction longitudinale dans cette paroi peut 
être négligé devant
celui correspondant aux flux déplacés par les mouvements d'air.

Pour modéliser les échanges qui se produisent au niveau d'une portion de 
conduite de longueur

dx , située à l'abscisse x, on peut considérer qu'entre l'air chaud à la 
température 90 (x) et l'air
froid à la température 9f(X) , existe une résistance thermique 1/( g dx) 
transversale (Figure 4).

Cependant, pour modéliser les flux de chaleur transférés par circulation de 
fluide, il faut prendre
garde au fait qu' ils ne dépendent que de la température en amont du mouvement 
et non pas de la

différence de température entre le point de départ et le point d'arrivée. 
Ainsi, entre deux points de
températures respectives 9(x) et 9(x+dx) , le transfert de chaleur par 
circulation de fluide ne

peut plus être symbolisé par une résistance thermique.
Si, par exemple, le fluide circule dans le sens positif de l'axe Ox, nous 
conviendrons de

représenter ce transfert par le symbole graphique ci-après (Figure 3) emprunté, 
par analogie, à la
représentation d'une source de courant liée :

6(x)  (x): 6900 :}: 9(x+dx)

Figure 3

Ce symbolisme est reporté sur la figure 4 pour représenter les transferts par 
circulation de l'air
chaud dans le sens positif de l'axe et par circulation de l'air froid en sens 
inverse.

6c(x-dx)