CCP Physique 2 PC 2010

Thème de l'épreuve Interférométrie à deux ondes. Gain de temps et économies d'énergie.
Principaux outils utilisés électromagnétisme, optique ondulatoire, thermodynamique
Mots clefs OPPM, interférences, résistance thermique, pompe à chaleur, analogie diffusion thermique électrocinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2010 PCP2008 A CONCOURS (OMMUNS POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** Les deux problèmes sont indépendants et de poids sensiblement équivalents *** N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLÈME 1 INTERFÊROMÉTRIE A DEUX ONDES Après quelques questions essentielles concernant la propagation des ondes électromagnétiques et leurs interférences, ce problème s'intéresse à un dispositif permettant de recomposer deux ondes planes issues d'une même source puis soumises à des parcours différents, l'un servant de référence et l'autre présentant une particularité que l'analyse des interférences obtenues permet de caractériser. 1) Le champ électromagnétique dans le vide 1.1) Le vide est caractérisé par sa permittivité diélectrique 80 et sa perméabilité magnétique u0 . 1.1.1) Rappeler les unités usuelles de ces deux grandeurs, incluant le Farad pour l'une et le Henry pour l'autre. 1.1.2) Ecrire, en précisant leur nom, les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et de courants. 1.2) Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en déduire la vitesse de propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide. --> --> --> --> --> --> Rappel : A E : grad div E -- rot rot E SESSION 2010 PCP2008 A CONCOURS (OMMUNS POLYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** Les deux problèmes sont indépendants et de poids sensiblement équivalents *** N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLÈME 1 INTERFÊROMÉTRIE A DEUX ONDES Après quelques questions essentielles concernant la propagation des ondes électromagnétiques et leurs interférences, ce problème s'intéresse à un dispositif permettant de recomposer deux ondes planes issues d'une même source puis soumises à des parcours différents, l'un servant de référence et l'autre présentant une particularité que l'analyse des interférences obtenues permet de caractériser. 1) Le champ électromagnétique dans le vide 1.1) Le vide est caractérisé par sa permittivité diélectrique 80 et sa perméabilité magnétique u0 . 1.1.1) Rappeler les unités usuelles de ces deux grandeurs, incluant le Farad pour l'une et le Henry pour l'autre. 1.1.2) Ecrire, en précisant leur nom, les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et de courants. 1.2) Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en déduire la vitesse de propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide. --> --> --> --> --> --> Rappel : A E : grad div E -- rot rot E 2) L'onde progressive unidirectionnelle dans le vide 2.1) On recherche si le système d'équations aux dérivées partielles obtenu admet, pour le champ électrique, une solution correspondant à une propagation unidirectionnelle telle que : Eposoe(t--£] c _) E : E2 cosco(t--£] c E3 cosco(t -- --X--] e Les composantes indiquées sont définies dans un repère cartésien orthonormé (O,x,y,z) et les amplitudes E, , E2 et E3 sont supposées constantes. 2.1.1) Quels sont la direction et le sens de la propagation de l'onde associée à ce champ électrique ? Démontrer, à l'appui de la relation de Maxwell-Gauss, que la composante du champ électrique le long de cette direction de propagation ne peut être que nulle. % 2.1.2) De l'équation de Maxwell-Faraday déduire les composantes du champ magnétique B. --> --> EUR _ Le vecteur unitaire orienté dans le sens de propagation étant désigné par ux, calculer uXA ---- puis c --> --> --> donner, en lajustifzant, une représentation graphique des vecteurs E , B , u x . Quel nom donne-t--on à cette onde ? En préciser la signification physique. % 2.1.3) Définir le vecteur de Poynting R associé à l'onde étudiée et préciser le sens physique de son flux à travers une surface interceptant cette onde. En définissant l'éclairement 8 d'une surface comme la moyenne temporelle de la puissance interceptée par unité d'aire, exprimer cet éclairement sous incidence normale en fonction de po , c , E2 et E3 . 3) Superposition de deux ondes monochromatiques et conditions d'interférences On s'intéresse ici à la superposition de deux ondes monochromatiques caractérisées par des champs électriques de même amplitude E0 et de même polarisation supposée rectiligne selon l'axe Oy et se propageant toutes deux dans le même sens le long de l'axe Ox. 3.1) Donner les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences à partir de ces deux ondes. 3.2) Deux sources de lumière réelles distinctes ne peuvent pas engendrer de telles conditions. Expliquer sommairement, en un nombre minimal de lignes, à partir du principe d'émission de la lumière, les causes de cet échec. 3.3) Comment réalise-t-on, en pratique, les conditions permettant l'obtention du phénomène d'interférences ? Indiquer brièvement ce qui en limite l'application. 3.4) On peut répertorier deux grandes familles de systèmes interférentiels ; lesquelles ? Donner un exemple de système pour chaque famille. 3.5) Ecrire la relation entre l'éclairement &, pour une onde seule et l'amplitude E0 du champ électrique de cette onde. Donner, sans démonstration, l'expression de l'éclairement & résultant de la superposition des deux ondes considérées. On précisera avec soin les différentes grandeurs qui interviennent. 4) Dispositif interférentiel On s'intéresse au dispositif interférentiel de Mach-Zehnder schématisé sur la figure 1, que l'on peut considérer comme un « Michelson déplié » et dans lequel on trouve deux miroirs plans (M1) et (M2) ainsi que deux lames séparatrices (SP1) et (SP2) d'épaisseurs supposées nulles, tous ces instruments étant inclinés à 45° par rapport aux faisceaux optiques. Une source ponctuelle S est placée au foyer objet d'une lentille convergente (L). Le faisceau réfracté par la lentille est séparé en deux parties de même intensité par la lame (SP1) pour être recomposé partiellement au niveau de la séparatrice (SP2) identique à la première, après réflexion sur l'un ou l'autre des miroirs. Le faisceau émergent est ensuite reçu sur un écran (EC). Ce dispositif est entièrement plongé dans l'air dont on admettra que l'indice a pour valeur n0 = l . (EC) (SP 1) Figure 1 4.1) Justifier, sans calcul, qu'en l'état de la figure 1, tous les points éclairés sur l'écran (EC) reçoivent deux ondes en phase. En déduire l'aspect, brillant ou sombre, de la tache lumineuse sur l'écran. 4.2) Sur le trajet issu de (M1) et dirigé vers (SP2) on introduit (Figure 2.a) une lame à faces parallèles (L1) d'épaisseur e et d'indice n , perpendiculaire au faisceau. Sur l'autre trajet, de (SP1) vers (Mz) on introduit une lame à faces parallèles (L2) identique à la première (Fig 2.b), mais faiblement inclinée, de manière à se présenter sous une faible incidence 9 par rapport au faisceau. 4.2.1) Exprimer, pour le parcours de (M,) à (SP2), la différence de marche supplémentaire 61 introduite par la présence de lame à face parallèle (L,). (L1) (L2) Figure 2.a Figure 2.b 4.2.2) Exprimer, pour le parcours de (SP1) à (M2), le chemin optique £(A'B') puis la distance (A'H') (projection de (A'B') sur l'axe optique) en fonction de l'angle () supposé très petit et des données il et e . En déduire la différence de marche supplémentaire 82 introduite par la présence de la lame à face parallèle (L2). Les calculs seront développés en les limitant au second ordre (inclus) en 9 . 4.2.3) En supposant que la source (S) émette une onde monochromatique de longueur d'onde 7\. dans le vide, exprimer le déphasage @ des faisceaux au niveau de la tache sur l'écran. L'éclairement sur l'écran est--il alterné ou uniforme ? 4.3) En augmentant lentement l'angle 9 à partir d'une valeur nulle (sous réserve qu'il demeure petit), on peut obtenir sa mesure en relevant celle de l'éclairement et à condition de compter le nombre entier k de passages par un maximum de brillance. 4.3.1) Pour quelles valeurs de 9 a--t-on un éclairement maximal ? En prenant X = 632,8 nm , n = 1,5 et e = 1 mm , calculer en degrés la valeur 91 de l'angle correspondant à k = l . 4.3.2) Si ce dispositif était utilisé pour la mesure d'angles, dans quel sens faudrait-il modifier l'épaisseur de la lame pour gagner en sensibilité ? 4.3.3) En supposant que la source ait une longueur de cohérence lc =lO um , quelle condition devrait--on imposer à l'épaisseur de la lame si l'on voulait mesurer un angle de 10 tout en maintenant k = 1 ? 4.4) La source S est maintenant supposée polychromatique, avec un spectre étalé entre les longueurs d'onde 0,4 mn et 0,8 um . La lame (L2) est positionnée avec l'angle 91 obtenu à la question (4.3.1). On négligera les variations de l'indice il des lames avec la longueur d'onde. - Montrer que certaines longueurs d'ondes sont absentes sur l'écran. Les calculer. - Comment appelle-t-on la couleur globale obtenue sur l'écran ? 5) La lame (L1) étant maintenue en place, la lame (L2) est remplacée (Figure 3) par une lame à face parallèles (L3) , de même épaisseur e , perpendiculaire au faisceau optique et présentant un gradient d'indice, de norme y . Ce gradient est parallèle à l'axe Oy du repère cartésien orthonormé (O,x,y,z) dont l'axe Ox est confondu avec la direction de propagation de la lumière et l'axe Oz (non dessiné) est normal au plan de figure. Dans tout ce qui suit, on supposem que la source est à nouveau monochromatique, de longueur d'onde dans le vide égale à 7\. . (SP1) (M 2) Figure 3 5.1) L'indice n' de la lame (L3) évolue de manière linéaire entre les deux limites de cette lame où y=h et y=--h , de sorte que: n'=n--y y. On considérera que h = 1 cm , n = 1,5 et y = 10 m"1 . 5.1.1) Dans quel sens de l'axe Oy le gradient de l'indice n' se trouve-t--il orienté ? 5.1.2) Exprimer, en fonction de n , e , y et y , la différence de marche supplémentaire & engendrée par l'interposition de la lame (L3), pour le seul rayon du plan de figure atteignant la lame (L,) avec un décalage y par rapport à l'axe optique. 5.1.3OEacer le cheminement complet de ce rayon, de la source jusqu'à l'écran. Quelle sera l'ordonnée Y : QM de son point d'impact M sur l'écran (EC) ? 5.1.4) En déduire la différence de marche globale 8 entre les deux rayons, issus de S et interférant en M . 5.2) Décrire l'aspect de la figure obtenue sur l'écran, puis préciser la valeur de l'interfrange i lorsque À=546nm et e= 1 mm. PROBLÈME rr GAIN DE TEMPS ET ÉCONOMIES D'ÉNERGIE Le temps et / 'énergie sont des biens précieux dont i/ faut savoirfl1ire le IIICÏ/lc'lll' usage. notamment dans le cac/re de l'habitat. Il eonrient en particulier de réduire le clé/ai de mise en température d'un logement et de limiter la eonsonuuation néeessaire a son e/zautîàrge. Que/ques procédés en ee sens sont présentés dans ee problème, sous forme de questions inclépencla;ttes. 1) Approche simplifiée du comportement thermique d'un habitat ; optimisation du temps de mise en température. 1.1) Modélisation sommaire 1.1.1) Dans un réseau électrique la notion de résistance électrique R traduit une relation de proportionnalité entre la différence de potentiel AV existant entre deux ensembles équipotentiels et le courant 1 qui circule de l'un a l'autre. Par analogie. dans un réseau thermique, définir la notion de résistance thermique R... en fonction de la différence de température AB existant entre deux ensembles isothermes et le flux thermique CD qui circule de l'un a l'autre. Préciser les unités des grandeurs thermiques utilisées. 1.1.2) Dans un réseau électrique. la notion de capacité électrique C traduit une relation de proportionnalité entre la dérivée temporelle dV/dt et le courant 1 lié a la modification de la charge d'un condensateur dont l'une des armatures est fixée au potentiel V et l'autre est maintenue à un potentiel de référence nul. Par analogie. dans un réseau thermique, définir la notion de capacité thermique C... en fonction de la dérivée temporelle dG/dt et du flux thermique (1) lié a la modification de l'enthalpie d'un objet matériel porté à la température 6 , la mesure de l'enthalpie étant référencée a un niveau de température nulle. Préciser les unités des grandeurs thermiques utilisées. 1.1.3) Le schéma électrique proposé (Figure 1) est l'image d'un système thermique élémentaire qui permet de frxer globalement les idées concernant le comportement thermique d'un habitat. L'ensemble des radiateurs. alimentés par la chaudière, est assimilé à une source de courant. Pour simplifier. dans toutes /es questions qui suivent, la température extérieure 96 sera toujozus supposée stationnaire ; ainsi le milieu extérieur sera assimilé à une source de tension continue. La température 9(t) de l'habitat sera supposée uniforme dans tout son volume et la capacité thermique de celui--ci sera réduite a C... . Entre l'habitat et l'extérieur est représentée la résistance thermique R... de l'isolation. La référence de température sera prise ici égale à 0°C ; par analogie avec une référence de potentiel nul, on pourra la représenter par le symbole d'une "masse" dans un réseau électrique. a) Quelle loi de Kir'chhoff appliquée au réseau électrique. traduit--elle le bilan thermique de l'habitat ainsi représenté '.' Exprimer ce bilan. b) Lorsque le régime permanent est atteint pour une température de consigne constante @@ . expliquer pourquoi l'on peut faire abstraction de la capacité C... . -- En déduire directement. en fonction de 60 . et et R... exclusivement. la puissance (flux) thermique (DO nécessaire au maintien de la température de consigne. -- En préciser la valeur numérique. sachant que : 9e = 5°C , BC = 20°C et R... = 2,5 mK/W. (D Habitat Rth 5 Isolation Chaudière + radiateurs â9(t) / / Symbole d'un thermostat Symbole d'une source de chaleur (par analogie avec une source de tension) (par analogie avec une source de courant) Figure 1 1.2) Mise en température NB : Dans toute la suite de cette question on posera : TO : R... Cth 1.2.1) Mise en température sous flux constant La température initiale de l'habitat étant supposée égale à la température extérieure, on met celui-ci en chauffe au temps t = 0 s , en imposant un échelon de flux égal à (Do . a) Résoudre l'équation différentielle qui résulte du bilan thermique. b) Sachant que C... = 3 MJ/K , calculer le temps nécessaire pour atteindre la température @@ à 5 % près, c'est-à-dire lorsque : ÊQÏ--9--(--Q : 5 % . eC -- ee Ce temps pouvant être jugé trop important, on peut accélérer la mise en température en augmentant la puissance de chauffe au démarrage puis en la réduisant progressivement de manière à ne jamais dépasser la consigne choisie. Ceci est rendu aisé grâce aux progrès de l 'e'lectrom'que numérique qui permettent la programmation des sources de chaleur (sources électriques notamment) de manière à faire évoluer leur puissance selon des lois dépendant du temps et de divers paramètres fixés (consignes) ou variables (températures existantes}. Deux procédés distincts sont proposés ci-après, en (1.2.2) et (1.2.3). 1.2.2) Chauflage forcé au départ puis réduit en fonction du temps Dans la mesure où la chaudière est apte à fournir, par exemple, une puissance transitoire dix fois supérieure au flux (Do qui s'impose en régime établi, on peut programmer une puissance de chauffe selon la loi : net : q>i _ @@ = G (ei _ ee) . Préciser la valeur numérique de ce flux net dans les conditions indiquées. 2.1.2) Récupération de chaleur sur l'air extrait avec un échangeur à contre--courant Un procédé économique consiste à réchauffer l'air neuf entrant en lui communiquant, sans mélange d'air, une partie de la chaleur de l'air sortant, grâce à deux conduites séparées, accolées sur une grande longueur L , en étroit contact thermique, mais isolées de l'extérieur (Figure 2) . Section droite ' aäaWar«aa & ref g,%gä "& ,;Ê%% \\ \ Isolation / \ Pl d' ' h ' L \ aque ec anges thermiques Figure 2 La paroi qui sépare les deux conduites est très fine, en cuivre, pour permettre un bon échange transversal. Le transfert par conduction longitudinale dans cette paroi peut être négligé devant celui correspondant aux flux déplacés par les mouvements d'air. Pour modéliser les échanges qui se produisent au niveau d'une portion de conduite de longueur dx , située à l'abscisse x, on peut considérer qu'entre l'air chaud à la température 90 (x) et l'air froid à la température 9f(X) , existe une résistance thermique 1/( g dx) transversale (Figure 4). Cependant, pour modéliser les flux de chaleur transférés par circulation de fluide, il faut prendre garde au fait qu' ils ne dépendent que de la température en amont du mouvement et non pas de la différence de température entre le point de départ et le point d'arrivée. Ainsi, entre deux points de températures respectives 9(x) et 9(x+dx) , le transfert de chaleur par circulation de fluide ne peut plus être symbolisé par une résistance thermique. Si, par exemple, le fluide circule dans le sens positif de l'axe Ox, nous conviendrons de représenter ce transfert par le symbole graphique ci-après (Figure 3) emprunté, par analogie, à la représentation d'une source de courant liée : 6(x)  (x): 6900 :}: 9(x+dx) Figure 3 Ce symbolisme est reporté sur la figure 4 pour représenter les transferts par circulation de l'air chaud dans le sens positif de l'axe et par circulation de l'air froid en sens inverse. 6c(x-dx)  

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Fleury (ENS Lyon) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants. · Le premier problème (optique) étudie les interférences entre deux ondes. On s'intéresse d'abord à la structure générale d'une onde plane monochromatique polarisée rectilignement, puis au principe des interférences, avant d'en étudier plusieurs applications faisant intervenir un interféromètre de MachZehnder. · Le second problème (thermodynamique) aborde quelques aspects du chauffage d'un habitat. L'ensemble de l'étude utilise une analogie entre systèmes thermodynamiques et circuits électriques. On s'intéresse d'abord à l'optimisation du temps de chauffage de l'habitat ; ensuite, aux économies réalisables avec un échangeur thermique ; enfin, la dernière partie aborde le principe de fonctionnement d'une pompe à chaleur. L'ensemble est d'une longueur raisonnable. Le premier problème est dans l'ensemble très proche du cours ; le second est plus original mais reste bien guidé. Indications Problème I - - - 1.2 Utiliser la relation donnée par l'énoncé et exprimer rot (rot E ) en utilisant successivement les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère. 2.1.3 Dans le cas de l'incidence normale, l'éclairement est la norme du vecteur de Poynting moyen. 3.2 Considérer deux atomes rayonnants et penser à la notion de train d'onde. 3.5 Utiliser le résultat de la question 2.1.3. 4.2.2 Utiliser les lois de Snell-Descartes et les relations de trigonométrie dans un triangle rectangle pour calculer A B et A H . 4.2.3 Remarquer que le déphasage entre les deux voies est lié à la différence 2 - 1 . 4.3.2 Le système est sensible vis-à-vis de la mesure d'angle si une petite variation de conduit à une forte variation de . 4.3.3 Les interférences sont observables si la différence de marche est petite devant la longueur de cohérence. Que vaut le déphasage maximal si l'on ne veut voir passer qu'un seul maximum de brillance ? Problème II 1.1.3.a Appliquer l'analogue thermique de la loi des noeuds. 1.2.2.a Remarquer que le problème est identique à celui de la question 1.2.1.a, à condition de remplacer 0 par 1 (t). 1.2.3.a Reprendre le raisonnement de la question 1.2.2.a. 1.2.3.b Expliciter l'équation caractéristique de degré deux portant sur r et exprimer sa solution dans le cas du régime critique. 1.2.3.c Utiliser les conditions initiales sur et d/dt. 2.1.2.d Montrer que les dérivées premières de c et f sont égales et que leurs dérivées secondes sont nulles. En déduire la forme générale de ces deux fonctions. 2.2.1 Au bout d'un cycle, une fonction d'état n'a globalement pas varié. 2.2.2 Introduire la durée d'un cycle. 2.2.3.c Utiliser n1 + n2 = n et l'équation des gaz parfaits pour chaque compartiment. 2.2.3.d Exprimer S comme une intégrale sur V. Montrer que T1 + T2 - 2 T1 T2 est positif. Comparer Ji à Qi en utilisant les valeurs de S et I. 2.2.4 Donner le lien entre la vitesse angulaire et la durée d'un cycle. Interférométrie à deux ondes 1. Le champ électromagnétique dans le vide 1.1.1 Dans le jeu d'unités suggéré, 0 s'exprime en farads par mètre (F.m-1 ) et µ0 en henrys par mètre (H.m-1 ). Une manière de retrouver ces unités à l'aide de relations usuelles est · pour 0 , utiliser l'expression de la capacité d'un condensateur plan C = 0 S/e où S et e désignent respectivement la surface des armatures et la distance qui les sépare ; · pour µ0 , utiliser l'expression de l'inductance propre d'un solénoïde infini L = µ0 n S où n désigne son nombre de spires par unité de longueur et S la surface engendrée par une spire. Cette relation n'est pas rigoureusement au programme ; elle se démontre rapidement en utilisant l'expression du champ magnétique créé par un solénoïde infini, et la relation = L I reliant l'inductance propre L d'un circuit filiforme fermé à l'intensité I le traversant et au flux du champ magnétique auto-induit à travers toute surface engendrée par le circuit. Enfin, on peut tester le résultat à l'aide de 0 µ0 = 1/c2 et en se rappelant que le produit d'une inductance et d'une capacité est un temps au carré. 1.1.2 Dans le vide, en l'absence de charges et de courants, les quatre équations de Maxwell s'écrivent - Maxwell-flux div B = 0 - B - - rot E = - Maxwell-Faraday t - div E = 0 Maxwell-Gauss - E - - rot B = 0 µ0 Maxwell-Ampère t Les deux premières équations sont indépendantes du milieu (relations intrinsèques au champ électromagnétique), les deux autres traduisent l'interaction entre les charges et les champs (relations extrinsèques) et s'écrivent dans le cas le plus général - div E = 0 - E - - rot B = µ0 - + 0 µ0 t - où et désignent respectivement les densités volumiques macroscopiques de charges et de courants dans le milieu. 1.2 On utilise la relation d'analyse vectorielle fournie par l'énoncé -- - - - - - E = grad (div E ) - rot (rot E ) -- - - grad (div E ) = 0 or - - - - rot (rot E ) = rot de plus - (Maxwell-Gauss) - B t (Maxwell-Faraday) En admettant que les fonctions étudiées sont de classe au moins C 2 , le théorème de Schwarz s'applique et l'on peut permuter les dérivées partielles, ainsi - - - 2 E - - - rot (rot E ) = - (rot B ) = -0 µ0 (Maxwell-Ampère) t t2 - - - 1 2 E E - 2 = 0 c t2 d'où avec 1 = 0 µ0 c2 L'équation de propagation du champ électrique est une équation de d'Alembert tridimensionnelle. Les solutions sont des ondes progressives de célérité c = 3.108 m.s-1 2. L'onde progressive unidirectionnelle dans le vide 2.1.1 Le champ électrique au point M à t peut s'écrire - E0 = (E1 , E2 , E3 ) -- - - - E = E0 cos t - k · OM avec - k = - ux c Les surfaces équiphases sont donc des plans orthogonaux à - u. x L'onde se propage dans la direction et le sens de - ux à la vitesse c. Calculons la divergence du champ électrique : h Ex Ey - Ez x i div E = + + = E1 sin t - x y z c c Pour satisfaire l'équation de Maxwell-Gauss en tout point et à chaque instant, il faut donc E1 = 0, d'où - - E · k =0 On dit que l'onde est transverse électrique. 2.1.2 On cherche, pour le champ magnétique, une solution sous forme d'onde plane monochromatique : h - - x i B = B0 cos t - c - h - B x i ainsi = - B0 sin t - t c