CCP Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Effets de moyenne en régimes oscillatoires rapides. Propagation le long de lignes à constantes réparties.
Principaux outils utilisés ondes, interférences, diffraction, électrocinétique, transfert thermique
Mots clefs moyenne temporelle, circuit RC, effet Joule, détection synchrone, différence de marche, réseau holographique, battements, effet Doppler, onde évanescente, conductance thermique, convection, conduction, bilan thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 mon...--2-- .v " cm.--fifi « m:o...oeäË om ËmSE - ...ËoE--oËoe mË...ÊË ......=o.z=v--h>dom ":::--«Ou ...oe=ouzou ' A PCP2008 CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES SESSION 2009 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** Les deux problèmes sont indépendants. Leur poids est approximativement 60% pour le premier et 40% pour le second *** N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. *** PROBLÈME 1 EFFETS DE MOYENNE EN RÉGIMES OSCILLATOIRES RAPIDES Lorsque, sous l'action d'une sollicitation périodique, un système présente une trop grande inertie pour pouvoir changer rapidement d'état, on admet en général qu 'en régime établi, au terme d'un grand nombre de périodes, ce système tend à se positionner dans un état d'équilibre proche d'une valeur moyenne calculée pendant une période. Un tel eflet peut aflecter les mesures d'un grand nombre de capteurs, dans tous les domaines de la physique. Quelques exemples variés, débouchant sur des applications notables, sont présentés dans ce problème. Formulaire : 200sa cos b : cos(a -- b) + cos(a + b) 20052 a = 1 + cos(2a) a+b a--b cosa+cosb=2oes( 2 )cos( 2 ] --ia eia _ e--ia 2i On considérera que la lettre i désigne le nombre complexe de module unité et d'argument n/2 . eia+e . cosa=------------ ' s1na= 2 , Avertissement : Dans tout ce qui suit, par le terme de "moyenne", utilisé sans autre précision, on entendra "valeur moyenne temporelle"'et, sauf indication contraire, on fera l'hypothèse que toute "moyenne" est definie dans un intervalle de temps très supérieur à la période la plus élevée de tous les termes sinusoïdaux à considérer. 1/11 1) Questions préliminaires 1.1) Le développement en série de Fourier d'une fonction périodique p(t) se trouve quelquefois limité à un petit nombre de termes; ce déve10ppement peut alors, parfois, s'obtenir à l'aide de formules trigonométriques simples. Déterminer ainsi le développement de Fourier de la fonction périodique suivante : p(t) =cos(oet) cos(oet+cp). En préciser la pulsation fondamentale et ses harmoniques éventuels. Quel lien existe-t-il entre la composante continue d'un tel développement et la valeur moyenne de p(t) pendant une période ? 1.2) On considère la somme s(t) de deux sinusoïdes de même pulsation oe , présentant entre elles un déphasage (p : s(t) : A cos est + B cos ( oet + (p) . Exprimer la moyenne < sz(t) > du carré de cette somme. 1.3) On considère maintenant deux sinusoïdes de pulsations différentes : co et Q . Exprimer la moyenne du produit P(t) : cos(oet) cos(Qt + (p) puis en déduire la moyenne < 82( t) > du carré de la somme S(t) : A cosoet + B cos (Qt + (p) . 2) Effet d'inertie thermique Lorsqu'un radiateur électrique, de résistance R , est branché sur le secteur dont la fréquence est égale à 50 Hz , son équilibre thermique ne peut évoluer aussi rapidement que le courant électrique qui l'alimente. Sa température se fixe sur une moyenne qui dépend de la puissance moyenne dissipée par effet Joule. 2.1) Exprimer cette puissance moyenne PJ dans le cas où la tension secteur v(t) est perturbée par la présence d'un harmonique de pulsation 3co : A v(t) : V [cosoet +0,18 cos(3oet + (p)] . 2.2) La résistance R est maintenant alimentée par une tension continue V . Exprimer la puissance P'J dissipée par effet Joule dans R . On ajuste la tension V de telle sorte que P] = P'J . Comment est alors appelée la valeur particulière de V obtenue ? /\ 2.3) Calculer la valeur numérique de l'amplitude V sachant que la valeur efficace de la tension mesurée aux bornes du secteur est égale à 230 volts. 3) Effets de moyenne en électrocinétique 3.1) Filtrage des ondulations autour de la valeur moyenne d'un signal /\ 3.1.1) Une tension périodique v(t) : Vcos2 (00 t) est appliquée à l'entrée du circuit schématisé sur la figure 1. Démontrer que la tension u(t) mesurée aux bornes du condensateur de capacité C est A A . , . . , . du V V solut10n de l'equat10n d1fferent1elle : u + 'c a-- : --2---+ îcos(2oet). Préciser la valeur de la constante de temps "[ en fonction de R et de C . 2/11 Figure 1 3.1.2) La solution de cette équation différentielle, représentant le régime forcé (appelé aussi régime établi), peut s'écrire comme la somme des solutions particulières des équations différentielles suivantes : /\ U+TOE=Y-- [l] dt 2 u + T%= %cos(2oe t) [2] a) Dans l'hypothèse où le condensateur ne porte aucune charge à l'instant t=O , résoudre la première [l] de ces équations et déterminer la valeur de sa solution en régime établi. b) A l'aide de la notation complexe, préciser la solution de l'équation [2] en régime établi et démontrer que celle-ci a une amplitude qui tend vers zéro lorsque RC >> 1/(2 @) . 3.1.3) Dans le cas où 0) = 100 n rad/S : déterminer la condition, concernant la résistance R , qui permet d'obtenir, en régime établi, aux bornes d'un condensateur de capacité C = 100 uF , une tension telle que l'ondulation ait une amplitude inférieure au centième de la composante continue. 3.2) Détection synchrone /\ Un signal harmonique v( t) : Vcosoet dont on veut mesurer l'amplitude est bruité par un signal parasite u(t) = Ucos(Qt + (p) de fréquence différente. Alors, la mesure effectivement obtenue se /\ /\ trouve être égale àla somme : s(t) : Vcosoe t + Ucos(Qt + (p) . 3.2.1) Au moyen de procédés électroniques connus, on multiplie dans un premier temps le signal /\ s(t) par un signal auxiliaire synchrone au premier : W(t) = W cos(oet + oc) puis on effectue la moyenne du produit obtenu. Exprimer cette moyenne u = < s(t).w(t) > . 3.2.2) Pour terminer, on règle à 2 volts l'amplitude du signal auxiliaire puis l'on fait varier son déphasage jusqu'à obtenir une moyenne maximale. Pour quelle valeur de on ce maximum est-il atteint ? Quelle est sa relation avec l'amplitude recherchée ? 3/11 4) Effets de moyenne dans les capteurs optiques 4.1) Sensibilité des instruments d'optique 4.1.1) Préciser les longueurs d'onde ainsi que les fréquences du spectre visible pour l'oeil. On prendra pour vitesse de la lumière dans le vide c = 3.108 m/s . 4.1.2) Du fait de la valeur élevée des fréquences lumineuses, l'oeil, comme la plupart des détecteurs de lumière n'est sensible qu'à la valeur moyenne du carré du champ électrique associé à l'onde lumineuse. Dans la théorie scalaire de la lumière, une onde lumineuse est caractérisée, en un lieu donné, par une grandeur scalaire s(t) , appelée aussi vibration lumineuse. Elle produit, en ce lieu, un signal lumineux dont l'éclairement E est défini par la valeur moyenne du carré s2(t) de cette grandeur. Que vaut l'éclairement dans le cas où s(t) : Acos(oe t + (p) ? 4.2) Interférences de deux ondes planes 4.2.1) On étudie la superposition de deux vibrations lumineuses sl(t)=A1 cos(oe1t+(pl) et 52 (t) : A2 cos(oe2 t+ (p2) en un point M d'un écran, les déphasages (p1 et (p2 dépendant de la position du point M sur l'écran. De la réponse à la question (1.3) déduire la valeur de l'éclairement £(M) du signal résultant en M , en fonction des éclairements & et 82 associés à chaque vibration lumineuse sl(t) et s2(t) . Conclure quant à la possibilité d'obtention d'un phénomène d'interférences sur l'écran à partir de deux ondes de fréquences différentes. 4.2.2) Rappeler les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences lumineuses à deux ondes. Comment obtient--on en pratique deux sources lumineuses obéissant à ces conditions '? 4.2.3) Deux ondes planes de même pulsation co et de longueur d'onde identique À , issues de deux sources à l'infini, se propagent dans le vide (Figure 2) selon des vecteurs d'onde contenus dans le plan de figure. Elles sont reçues sur un écran plan (P) perpendiculaire au plan de figure. L'une est dirigée normalement au plan (P) et sa vibration dans ce plan sera représentée par un scalaire : s() : AO cos oet . L'autre, s1 , qui possède une amplitude A1 , est reçue sous l'incidence 9 . (P) On choisira pour origine des abscisses, sur l'intersection du plan (P) avec le plan de figure, un point particulier 0 où les vibrations so et sl sont X 9 en phase. a) En précisant avec soin toutes justifications utiles, exprimer la différence de marche 6 , à l'abscisse x , 9 0 entre les deux rayons issus de chaque source. b) En déduire l'expression de la vibration de l'onde Sl(X,t) . Dans tout ce qui suit, pour simplifier les calculs, ceux--ci ne seront développés que dans le plan de la Figure 2 figure 2 . 4.2.4) Calculer l'éclairement E résultant sur le plan (P), en fonction de x , 9 , X et des éclairements E0 et E1 de chaque vibration s0 et s1 . 4/11 4.2.5) Définir puis calculer l'interfrange et le contraste obtenus dans l'hypothèse où : A. = 633 nm , 9=30° et A0=2A1. 4.3) Principe de ! imagerie par difflaction 4.3.1) Les réponses attendues doivent être brèves et données sans démonstration. - Expliquer en quoi le phénomène de diffraction s'écarte de l'optique géométrique. - Enoncer le principe d'Huygens-Fresnel. 4.3.2) Par un procédé photographique de type "holographique", on réalise un film dont la transparence T(x) , appelée aussi transmittance, est proportionnelle à l'éclairement E dans le plan (P) de la figure 2, soit: T(x)= u E =oc + B cos{2n xs1n9] À Exprimer les paramètres on et B en fonction des résultats obtenus àla question (4.2.4). 4.3.3) On dispose le film à la place de l'écran (P) puis on l'éclaire par le même faisceau 50 que précédemment, mais en ayant supprimé le faisceau sl (Figure 3). De la sorte, l'amplitude de la vibration issue d'un élément de longueur dx , au niveau de la partie droite du plan (P), immédiatement après le film, est égale à : ds : ao T(x) dx . a) Justifier rapidement que a() = A() Z , si EUR représente la largeur de la zone éclairée sur l'écran perpendiculairement au plan de figure. b) L'amplitude complexe de l'onde diffractée par l'élément dx dans la direction 'l' , s'écrit en un 2% 8' À lorsque le rayon passant par O est pris à l'infini comme origine des phases. c) Calculer l'amplitude complexe de l'onde résultante à l'infini, diffractée dans la direction T , onde issue d'un segment limité par les points d'abscisse h/2 et --h/2 . point rejeté à l'infini : ds'= aOT(x) exp(i )dx . Exprimer 6' en fonction de x et de T , (P) 0 Figure 3 4.3.4) Déterminer, dans la limite où h >> À , les directions privilégiées dans lesquelles l'on pourra observer de la lumière à l'infini. 4.3.5) On observe la lumière diffractée dans le plan focal d'une lentille convergente de distance focale égale à f = 30 cm . Dessiner le cheminement de la lumière et déterminer les positions des différents maxima de l'éclairement dans le plan focal, lorsque 9 = 10°. 5/11 4.4) Phénomène de battements On peut admettre qu'un capteur soumis à une excitation périodique n'en détecte que la moyenne temporelle, seulement si son temps de réponse est très nettement supérieur à la période de l'excitation. Cependant, il est des cas où - par exemple - la composition de deux signaux de fréquences élevées produit un effet de fréquence plus basse, auquel le capteur peut être sensible. 4.4.1) Considérons en particulier, la somme de deux signaux de même amplitude et de fréquences très voisines : s(t) : Acos {(CD + ê--29)--) tîl + Acos {(fi) -- %)t} . - Exprimer la moyenne temporelle < s2(t) > du carré de ce signal, lorsque le temps de réponse du capteur reste très supérieur à la période T = 27c/oe , mais - cette fois - demeure très inférieur à la période T = 2n/ôw . On ne peut plus faire abstraction, dans le calcul demandé, de la moyenne temporelle de cos[(ôoe) t] ; au contraire, on doit maintenant considérer qu'elle reste sensiblement égale à cos[(ôoe) t] . - L'oreille humaine se comporte, en première approximation, comme un détecteur quadratique. On suppose qu'elle est soumise à deux vibrations acoustiques simultanées de même amplitude, l'une de fréquence 40,5 kHz et l'autre de fréquence 39,5 kHz. Quelle est la bande passante de l'oreille humaine '? Les deux fréquences sont-elles audibles ou non ? Montrer cependant qu'un son particulier est détecté par l'oreille. En préciser la fréquence. 4.4.2) Une onde lumineuse de fréquence f , qui se propage dans le vide à la vitesse 0 , se réfléchit sur un miroir normal à la direction de propagation (Figure 4). Ce miroir s'éloigne de l'onde incidente avec un mouvement de translation de vitesse v . Miroir E v | c . B(O) --> A(O) Instant t = O ------------o----------D----------------Px X1 0 Miroir v I È c 4-- A... B<1> Instant t =1--0--------4----------------0----+x 0 X2 Figure 4 Considérant l'onde incidente, avec deux maxima A et B qui se succèdent pendant une période T, on suppose que le premier (A) atteint le miroir au temps t=O , à l'abscisse x=O . a) Préciser l'abscisse xl de B au temps t=0 , en B(O) , puis exprimer le temps 1? au bout duquel B atteint le miroir et l'abscisse X2 de l'impact au point B(T) . b) Préciser la distance d = (AO) parcourue par le maximum A pendant le temps t . Que représente la distance (AB) au temps t '? c) En déduire la fréquence f ' de l'onde réfléchie pour un observateur lié au repère fixe. (1) L'onde incidente et l'onde réfléchie se superposent dans l'espace vide en donnant naissance à un phénomène de battements. Justifier et montrer que la fréquence des battements est, au premier ordre en v/c, telle que: f--f'æ 2fv/c . EUR) Cette fréquence est-elle située dans le domaine visible lorsque v = 30 m/s et 7\. = 0,5 um ? 6/11 PROBLEME Il PROPAGATION LE LONG DE LIGNES A CONSTANTES RÉPARTIES Ce problème débute par l'étude, en régime stationnaire, du profil de la tension le long d'une ligne électrique avec déperditions résisfives longitudinales et latérales. Il se poursuit, en régime harmonique, lorsque l'on peut considérer que les fuites latérales sont essentiellement de nature capacifive. Le modèle établi dans ce deuxième cas est alors utilisé, au moyen d'analogies, pour étudier la pénétration dans le sol des variations cycliques imposées par le climat en surface. Pour terminer est considéré le transport industriel de la chaleur le long de longues conduites. ]) Modélisation d'une ligne électrique composée de résistances réparties uniformément Une source de tension continue V0 est branchée à l'entrée (abscisse x = 0) d'une ligne électrique de longueur L . Lorsque cette ligne présente, par unité de longueur, une résistance longitudinale r et une conductance transversale g , elle est modélisable selon le réseau en échelle dessiné Figure 1, chaque maillon correspondant à une portion de longueur infiniment petite dx . A l'extrémité de la ligne, à l'abscisse x = L est connectée une résistance RL . V(X--dX) V(X) V(X+dX) 1- dx r dx | rdx rdx Figure 1 1.1) Ecrire la loi des noeuds au point M en termes de potentiels, incluant V(x) , V(X--dX) et V(X+dx) . - Simplifier le résultat. Pour ce faire, on pourra remplacer V(X+dX) et V(X--dX) par leurs développements de Taylor limités au second ordre. °° hn d nf Rappel de la formule de Taylor : f(x + h) = f(x) + Z --'-- {d n] _ n=1 n° X X -- Montrer alors que V(X) est régi par une équation différentielle du second ordre. 1.2) Sachant que la solution générale de cette équation différentielle peut être écrite sous la forme V(X) : A e°' X + B e"°'X , préciser la valeur du paramètre oc . 1.3) Dans l'hypothèse d'une ligne infiniment longue, justifier la valeur qu'il convient de choisir pour la constante d'intégration A . Préciser, dans ces conditions et en fonction des données, la valeur qui doit être attribuée à la constante d'intégration B puis écrire l'expression qui en résulte pour V(X) . La valeur de RL intervient-elle dans le résultat obtenu ? 7/11 2) Modélisation d'une ligne électrique infinie composée de résistances longitudinales et de capacités transversales réparties uniformément /\ Une source de tension harmonique v(t) : Vcosoet, représentée sous forme complexe par /\ . 1oet , \ , . . , . . . V = V e , est branchee a l'entree (absc1sse x = 0) d'une 11gne electr1que 1nfime. Lorsque cette ligne présente, par unité de longueur, une résistance longitudinale r et une capacité transversale y , elle est modélisable selon le réseau en échelle dessiné Figure 2, chaque maillon correspondant à une section d'épaisseur infiniment petite dx . On se propose de déterminer le potentiel à l'abscisse x sous la forme complexe : v(x, t) : V(x) eioet , la lettre i désignant le nombre complexe de module unité et d'argument n/2 . v(x-dx , t) v(x , t) V(x+dx , t) Figure 2 2.1) Donner l'expression de l'impédance complexe du condensateur de capacité y dx . - Au moyen d'une analogie formelle avec la ligne résistive précédente, déterminer le lien qui en résulte entre g et y . -- En déduire, sous forme complexe, l'équation différentielle que vérifie V(x) . 2.2) Montrer que la solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme : ...< Donner l'expression de k . Comment appelle-t--on cette dernière relation '? 2.3) Montrer que l'amplitude de l'onde de tension diminue exponentiellement au cours de la propagation. Exprimer alors, en fonction des données, la profondeur de pénétration ô , c'est--à--dire la valeur de x à partir de laquelle l'amplitude de la tension est divisée par e = 2,718 . - Exprimer, en fonction des données, la vitesse de phase v.p de l'onde de tension. 1 . . On pose a = ---- , paramètre appelé dfiusivité . Ecr1re alors 6 et V(p en fonct10n de a et co . 1' Y 3) Propagation de la chaleur dans le sol Afin d'étudier comment se transmettent dans la terre les variations de température imposées par le climat au niveau du sol, il est possible d'utiliser, par analogies, les résultats précédents (2.2 et 2.3) en considérant que l'axe Ox est un axe vertical descendant et que l'origine est prise sur le sol. 8/11 Si l'on s'intéresse à un tube vertical possédant une section égale à l'unité de surface, la résistance thermique par unité de longueur de ce tube correspondra à r tandis que la capacité thermique par unité de longueur correspondra à y . L'atmosphère impose au niveau du sol, en x=0 , une variation périodique de température qui peut /\ . être exprimée sous la forme complexe : Q : 0e...)t , par analogie avec la tension harmonique délivrée par la source de la figure 2. On recherche alors une solution de la même forme : @ x,t : @ X e""t , donnant l'évolution tem orelle de la tem érature en tout oint d'abscisse x . P P P 3.1) Déterminer, par analogie avec la question (2), l'expression de Q(x,t) . 3.2) Calculer successivement pour les variations diurnes et pour les variations annuelles, la profondeur à partir de laquelle l'amplitude est réduite à 1% de sa valeur en surface. Calculer dans chaque cas la vitesse de propagation de l'onde et l'exprimer en centimètres par jour. On pourra considérer qu'en moyenne la diffusivité du sol vaut a = 0,35. 10"6 m2/s . 4) Transport industriel de la chaleur 4.1) Pour évaluer la puissance thermique transférée (flux CD) le long d'un câble en cuivre de longueur L , entouré d'une gaine réalisant une isolation thermique parfaite vis-à-vis de l'extérieur, on peut procéder par analogie, à partir de la figure 1, en négligeant les fuites transversales. Par exemple, en supposant que l'on veuille transférer de cette manière, en régime stationnaire, de la chaleur par conduction sur une centaine de mètre, quelle devrait être la température au départ (x=0) de la ligne pour obtenir à l'arrivée (x=L) un flux CD = 10 kW à 80°C ? La résistance thermique linéaire du câble en cuivre est donné égale à : 0,3 K.W"'.m'1 . Serait-il raisonnable d'envisager un tel moyen de transport pour la chaleur ? 4.2) En fait, le transport industriel de la chaleur s'effectue ordinairement par circulation d'un fluide caloporteur dans une canalisation. On peut penser, par exemple, à une station de chauffage collectif alimentant en eau chaude, en boucle fermée, au moyen de canalisations enterrées (aller et retour), les radiateurs de plusieurs pavillons situés à une centaine de mètres autour d'elle. Il devient alors intéressant d'étudier le profil de température dans une conduite de longueur L = 100 m , compte tenu des déperditions - en réalité non négligeables - au travers de la gaine isolante. Cette canalisation (tube en cuivre) sera supposée rectiligne et protégée par une gaine présentant, vis-à--vis de l'ambiance extérieure une conductance thermique g par unité de longueur. La paroi du tube sera supposée suffisamment fine pour qu'il soit possible de négliger sa conduction thermique dans le sens longitudinal. L'eau sera supposée entraînée avec un débit indépendant du temps et suffisamment intense pour considérer que le transfert de chaleur par entraînement est prépondérant devant la conduction thermique dans le volume d'eau, laquelle sera négligée de ce fait. 00 désignera la température d'entrée d'eau dans la conduite, 0L sa température de sortie et 0... la température extérieure de la gaine enterrée (température du sol). 9/11 Afin de modéliser le transfert thermique dû à la circulation de l'eau dans la conduite, il convient de s'intéresser à l'enthalpie emportée par une masse dm lorsqu'elle quitte une position où elle avait une température donnée 9(x) (Figure 3). 5523523282:""'î'fiî'î'55 "? Z" Xî""Zîîflîïfi$$!ZZZYZX'Y.Z ' """"Z'ä AAAAAA AA AA AAAAAAA ! 0 x x+dx L Figure 3 L'enthalpie emmagasinée dans un corps, ne peut être définie que par référence à une température donnée, que nous choisirons ici égale à 0°C. Dans ces conditions, une masse d'eau dm , de chaleur massique c , qui quitte une position (x) où sa température Celsius était 9(x) , emporte avec elle une enthalpie dH = dm c O(x) . De la sorte, si ce mouvement s'effectue pendant le temps dt , le flux thermique évacué, exprimé en watts, s'écrit (par référence à un flux qui serait extrait à 0°C) : CD = %} : %?-- c 9(x) : Dm c 9(x) . 4.2.1) Comment nomme--t--on D... '? 4.2.2) Sur une portion de conduite de longueur dx , ce flux ne dépend que de la température en amont 9(x) et non pas de la différence de température entre le point de départ (abscisse x) et le point d'arrivée (abscisse x+dx) du fluide. Ainsi, entre deux points de températures respectives 9(x) et 9(x+dx), le transfert de chaleur par circulation de fluide ne peut plus être symbolisé par une résistance thermique. Nous conviendrons de représenter ce transfert par le symbole graphique ci- après où le flux thermique issu, dans le sens du mouvement, d'un point à la température 9(x) s'écrit sous la forme :  9(x+dx) Figure 4 Exprimer la conductance fluide d'un courant d'eau en fonction de la masse volumique p de l'eau, de son débit volumique DV et de sa chaleur massique c , toutes ces grandeurs étant supposées constantes. 4.2.3) A l'aide de la modélisation analogique schématisée Figure 5, écrire le bilan thermique au point M de température 9(x) , en fonction des températures convenables et de la conductance thermique g dx . En utilisant ensuite un développement de Taylor limité au premier ordre, écrire l'équation différentielle qui régit le comportement de la température 9(x) le long de la canalisation. 10/11 0 (x--dx) {} 9 (x) {} 9(x+dx) 1 gdx Figure 5 4.2.4) Résoudre l'équation différentielle obtenue puis préciser l'expression de l'écart relatif : e. : 9 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet, de longueur bien calibrée, est constitué de deux problèmes indépendants qui balayent différentes thématiques du programme de physique, aussi bien de première que de deuxième année. · Le premier problème étudie les effets de moyenne sur différents exemples de régimes oscillatoires, essentiellement en électricité et en physique des ondes. Il permet de présenter succinctement des applications concrètes, comme la détection synchrone ou l'effet Doppler, et de vérifier sa bonne compréhension du cours d'optique ondulatoire. Un certain nombre de résultats sont fournis par l'énoncé au fur et à mesure : comme souvent, il était payant de commencer l'épreuve par une lecture complète du sujet. · Le second problème traite de la propagation de signaux le long de lignes à constantes réparties. Après avoir présenté la modélisation électrique d'une telle ligne, on étudie deux problèmes de thermique : la propagation dans le sol et le transport industriel de la chaleur. L'aspect calculatoire du problème est fortement réduit grâce à l'utilisation d'analogies, ce qui permet de se concentrer sur la compréhension des phénomènes. Seule la dernière partie s'éloigne un peu du cours et nécessite plus de recul. Cette épreuve est bien structurée, l'énoncé étant directif, de difficulté raisonnable et constante. Abordant un certain nombre de parties du programme, elle peut être utilisée comme problème de synthèse. Indications Problème I 1.1 Utiliser le formulaire. La valeur moyenne de la fonction cos(t) est nulle. 2.1 Appliquer le résultat de la question 1.3. 3.1.2.b La fonction cos(2t) s'écrit en notation complexe e 2it . 3.1.2.b Afin de trouver rapidement l'amplitude, écrire la solution complexe sous la forme module et argument. 4.2.1 Développer l'expression de E(M) et utiliser la question 1.3. 4.2.3.a Quelle est la différence de marche entre deux rayons parallèles provenant de l'infini ? 4.3.3.a En l'absence de la source S1 , y a-t-il un déphasage entre les différents rayons venant frapper l'écran ? 4.3.3.c Développer la fonction cosinus en utilisant sa forme complexe. Intégrer le résultat en utilisant la fonction sinus cardinal définie par sinc (u) = sin u/u. 4.3.4 Où se situe le pic principal de diffraction associé à la fonction sinc ( u) ? Comment est modifiée cette figure si augmente ? 4.4.2.c La célérité c de la lumière est indépendante du référentiel d'étude. Problème II 1.3 La ligne est supposée infinie et est constituée uniquement d'éléments passifs. Que peut-on en déduire sur la tension à l'infini ? 2.1 L'analogie formelle fait aussi intervenir la pulsation . 2.3 Séparer les parties réelle et imaginaire de k. Que vaut alors l'amplitude ? La vitesse de phase s'écrit v = / Re (k). 4.1 Comment est modifié le schéma de la figure 1 en l'absence de pertes ? Quel est l'équivalent électrique du flux thermique ? De la température ? Pour discuter de la pertinence d'un tel mode de transport, regarder la valeur de la température de la source. 4.2.2 Le fluide étudié est incompressible. Quelle est alors la relation entre le débit massique et le débit volumique ? 4.2.3 Le flux entrant est égal à la somme du flux sortant et des pertes. Pour évaluer les pertes, utiliser l'analogie électrique. 4.2.5.c Faire un bilan thermique sur le pavillon, puis exprimer les flux entrant et sortant à l'aide de la conductance fluide G. Les conseils du jury En introduction de son rapport, le jury rappelle quelques idées simples mais importantes. Cet extrait peut servir de guide pour les deux années de préparation... · « On note globalement un effort pour la présentation et la clarté de la rédaction bien que certaines copies restent rédigées sans soins : méthodes et calculs développés sans la moindre explication, résultats insuffisamment mis en valeur, écriture parfois indéchiffrable. » · « Le second problème de l'épreuve a été en général moins bien achevé que le premier. On peut conseiller aux futurs candidats de prendre le temps de parcourir les deux sujets, pour commencer par celui qui pourrait leur être le plus favorable. » · « Parmi les erreurs les plus communes, on relève des formules inhomogènes, des résultats numériques sans unité, des raisonnements irrecevables, des phrases dénuées de sens. Rappelons que la vérification de l'homogénéité permet d'éliminer bon nombre d'erreurs et que son absence est, de ce fait, impardonnable ! » · « Les connaissances mathématiques de base (comme la résolution d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, voire d'une équation du premier ordre ; la maîtrise des nombres complexes) ne sont pas toujours acquises. » · « Enfin, il semble qu'un grand nombre de candidats peinent à se servir de leurs calculatrices, dans la mesure où des expressions littérales correctes sont souvent suivies d'applications numériques fausses. D'un point de vue pragmatique, il n'est pas raisonnable de se priver des points systématiquement attribués aux applications numériques et plus fondamentalement, pour l'ingénieur et l'industriel, le résultat final se traduit par un nombre ! » Le rapport énonce également un commentaire général sur le sujet. « Cette épreuve, très modulaire, recouvrant une grande partie du programme de PC et associant des questions faciles, des questions de cours et d'autres demandant un bon esprit de modélisation, a été globalement bien réussie par les candidats sérieux ayant une bonne connaissance transversale du programme ; toutes les questions ont reçu pour le moins un petit nombre de réponses satisfaisantes. D'un nombre appréciable de très bons scores, à quelques copies étonnamment bien en deçà du niveau exigible, la répartition des notes s'est trouvée très étalée. » I. Effets de moyenne en régimes oscillatoires rapides 1. Questions préliminaires 1.1 Développons la fonction p(t) = cos( t) cos( t + ) en utilisant la première relation du formulaire de trigonométrie. On trouve p(t) = 1 [cos + cos(2 t + )] 2 On reconnaît alors le développement en série de Fourier d'une fonction de pulsation fondamentale 2 et ne présentant aucun harmonique. La fonction p(t) étant périodique, on peut calculer hpi sur sa période T = / : Z 1 T hp(t)i = p(t) dt T 0 Z T 1 = (cos + cos(2 t + )) dt 2T 0 1 cos 2 hp(t)i = la moyenne temporelle d'une fonction sinusoïdale étant nulle. La valeur moyenne de la fonction p(t) s'identifie à la composante continue de son développement en série de Fourier. p(t) cos hp(t)i 0 t 1.2 La moyenne temporelle du signal s2 (t) s'écrit hs2 (t)i = h[A cos( t) + B cos( t + )]2 i = A2 hcos2 ( t)i + B2 hcos2 ( t + )i + 2 A B hcos( t) cos( t + )i Sachant que hcos2 ( t)i = 1 T Z T cos2 ( t) dt = 0 1 2T Z T (1 + cos(2 t)) dt = 0 on obtient, en utilisant le résultat de la question 1.1, hs2 (t)i = A2 + B2 + A B cos 2 1 2