CCINP Physique 2 PC 2008

 

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'

Les calculatrices sont autorisées
***

Les deux problèmes sont indépendants.

Leur poids est approximativement 2/3 pour le premier et 1/3 pour le second
***

N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des
_ initiatives qu'il a été amené à prendre.
***

PROBLÈME 1

MOUVEMENTS DE CHARGES ELECTRIQUES EN MILIEUX NEUTRES

Ce problème se compose de trois parties indépendantes. La première (51) étudie, 
selon un
modèle sommaire classique, le comportement des électrons libres dans un 
conducteur soumis à

un échelOn de, champ électrique. La seconde (52) s'intéresse aux oscillations 
d'électrons
élastiquement liés dans un diélectrique, sous l'action d'un champ électrique 
variable. La

troisième partie (ë3 à 56) considère les effets de rayonnement qui apparaissent 
aux fréquences

élevées ; y sont examinés le cas du dipôle électrique oscillant puis celui 
d'une antenne demi-
onde.

]) Cas d'un milieu conducteur (électrons libres)

Soit un milieu conducteur contenant par unité de volume n* noyaux fixes portant 
chacun la
charge électrique +e et n* électrons susceptibles de se déplacer, de masse 
individuelle m , _
portant chacun la charge électrique --e . On pourra faire abstraction des 
mouvements
individuels désordonnés dus à l'agitation thermique en s'intéressant uniquement 
au mouvement
d'ensemble d'un "nuage électronique " englobant un grand nombre d'électrons. 
Partant d'un état

globalement au repos, si l'on impose, à l'instant t =_ 0 , un champ "électrique 
Ë (orienté selon
l'axe Ox d'un repère cartésien orthon0rmé), celui--ci fait Subir, en moyenne, à 
l'ensemble des
électrons un déplacement î(t) par rapport à leur position initiale.

--->

1.1) Exprimer la force électrique Fe qui s'exerce sur un électron ; préciser 
son sens par rapport
au champ électrique.

1.2) Ecrire l'équation fondamentale de la dynamique pour un électron, lorsque 
le milieu ajoute à
la force exercée par le champ électrique, une force de freinage proportionnelle 
àla vitesse {; de

cet électron, globalement assimilée àla vitesse moyenne du "nuage électronique 
" :
--> «)
m
F = -- ---- V .
1:

- Avec quelle unité doit--on exprimer le paramètre 'c ? Justifier la réponse.
- Simplifier l'équation différentielle obtenue en ne retenant que son 
expression algébrique après
projection sur l'axe Ox . En déduire l'évolution de la vitesse v(t) en fonction 
du temps puis en

déterminer la valeur finale voo atteinte en régime stationnaire. Préciser la 
signification du
paramètre t . '

1.3) En régime permanent, exprimer la densité volumique de courant 5 en 
fonction de n* , e,

v,, puis exprimer } en fonction de la conductivité électrique 7 et de Ë . En 
déduire y en
fonction de n* , e , T et m .

1.4) Etant donnés :
* le nombre d'Avogadro JV = 6,02 . 1023

* la charge élémentaire e = 1,60 . 10_19 C
* la masse d'un électron m = 0,911 . 10"30 kg

* la conductivité électrique du cuivre y= 5,80 . 107 S/m
* la masse atomique du cuivre M = 63,5 . 10"3 kg/mol

* la masse volumique du cuivre 11 = 8,96 . 103 kg/m3

et en admettant que chaque atome de cuivre libère un électron de valence, 
lequel est entraîné par
le champ électrique, calculer le nombre n* d'électrons libres par unité de 
volume puis la valeur

du paramètre 't .

En comparant 1: à la période T d'un signal périodique, estimer l'ordre de 
grandeur des
fréquences et des longueurs d'ondes associées, à partir desquelles ces deux 
paramètres

deviennent comparables. Dans quel domaine, visible ou autre, se situent ces 
fréquences ?
* La vitesse de la lumière dans le vide sera considérée égale à c = 3,00 . 108 
m/s .

2) Cas d'un milieu diélectrique (électrons élastiquement liés)
2.1) En négligeant dans ce cas toute déperdition par "freinage", écrire 
l'équation fondamentale de

..)

la dynamique pour un électron, lorsqu'en réaction à son mouvement r , le milieu 
ajoute à la

_)

force exercée par le champ électrique, une force dérappel élastique F = -- mQ2 
r . Démontrer

que le paramètre Q est homogène à une pulsation.
- Ecrire, en projection sur l'axe Ox , l'équation différentielle régissant la 
vitesse v en fonction de

la derrvee -- . Pour resoudre cette equation dans le cas d'un regime etabh 
smusoïdal, on se

fit ,
place dans le plan complexe et, la lettre i désignant le nombre complexe de 
module unité et

d'argument n/2, on écrit alors : E_ = E ei "" .

électrons liés, en déduire l'expression de la densité de courant associée j .

-- Donner l'expression de v puis, en supposant que chaque unité de volume 
contienne n**'

"' 8 E
- Exprimer finalement j en fonction de --à--t-- .

2.2) Equatioris de Maxwell

2.2.a) Rappeler, en donnant leur nom, les 4 équations de Maxwell dans le vide 
(ni charges ni
courants) caractérisé par sa permittivité diélectrique 80 et sa splitéabilité 
magnétique uo .

2.2.b) Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en déduire 
la vitesse de
propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide.

2.2.c) Ecrire l'équation de Maxwell--Ampère globale, tenant compte de la 
présence d'une densité
__)

volumique de courant j dans un milieu restant globalement neutre.

2.2.d) Lorsqu'on se place dans un milieu diélectrique linéaire homogène, 
l'équation de Maxwell-

. . , , . .. . v "* "* ôE
Ampere globale peut etre reecr1te de la mamere su1vante : rotB= no EUR ---- où 
8 représente la

ôt
permittivité absolue du milieu, reliée àla permittivité relative a, par la 
relation : 8 = 80 a, .
- Déterminer alors la vitesse de pr0pagation v d'une onde électromagnétique 
dans un tel milieu

en fonction de a, 80 et c.
-- Dans le cas d'une onde lumineuse, définir l'indice optique 11 en fonction 
des vitesses v et c

puis l'exprimer en fonction de la permittivité relative.

2.3) On se place dans le milieu étudié question (2.1).

2.3.a) En identifiant l'expression de rotB fournie en (2.2.d) avec celle 
obtenue en (2.2.c),

**2
ne

"exprimer l'indice n en fonction des paramètres . oep : , Q et w .

mao

Dans le but de simplifier les calculs dans tout ce qui suit, on se placera 
dorénavant dans le cas '
particulier où Q : (op . '

2.3.b) Montrer que lorsque (0 est très inférieur à Q , une approximation au 
premier ordre

b
conduit' a écrire: nz a + ----

71.2
-- Quelle formule bien connue retrouve--t-on de la sorte ?
-- Comment appelle--t- -on le phénomène physique que cette formule met en 
évidence ?
- Calculer la valeur numériqùe de la pulsation (D,, et Cezlsle des coefficients 
a et b, dans le cas
d'un verre où l'on peut considérer que n"'*=3,2.1028 électrons liés par unité 
de volume et

sachant que la permittivité duvide est égale à 80 = 8,84 . 10--12 F/m .
- Expliquer pourquoi, lors d'une réfraction, un faisceau de lumière 
polychromatique se
décompOse en plusieurs faisceaux de lumière monochromatique.

2.4) Afin d'obtenir une photographie illustrant ce phénomène, on éclaire en 
lumière blanche
parallèle, perpendiculairement à sa face d'entrée, un prisme d'angle A (Figure 
1) et d'indice n
dépendant de la longueur d'onde %. . Pour une longueur d'onde particulière ?... 
, l'indice

correspondant étant nommé no , on intercepte le faisceau en sortie du prisme 
avec une lentille
mince (L) perpendiculaire à ce faisceau lequel converge alors vers un foyer 
image F 'o .
L'angle de réfraction de ce faisceau, en sortie du prisme, sera nommé ro". ,

Pour toute autre longueur d'onde %. le faisceau qui émerge du prisme, réfracté 
sous un angle
(ro + 9) , présentera par rapport à l'axe de la lentille, un très petit écart 
angulaire 9 et convergera

vers un foyer secondaire CD ' voisin du foyer image principal F' correspondant 
à l'indice n .
- Exprimer sin ro en fonction de no et de A .

-- Sachant que 9 est très petit devant ro donner de sin(n,+9) un développement 
limité au
premier ordre en 9 puis exprimer 6 en fonction de n , n() et A .

Figure 1

(P)

La lentille mince (L) possède une face plane et une face cylindrique de rayon R 
; les génératrices
du cylindre étant perpendiculaires au plan de figure, on obtient un foyer 
linéaire normal au plan
de figure. Elle est fabriquée avec le même verre d'indice n que) celui du 
prisme. Sa distance

focale est égale à f ': ----B-- et dépend donc aussi de la longueur d'onde À .

n -- l
En limitant le raisonnement au plan de la Figure 1, exprimer la tangente de 
l'angle ou entre

la droite (F:) (D') et l'axe optique de la lentille. Vérifier que le résultat 
obtenu est indépendant de
l'indice n puis conclure quant à la netteté et à la forme des images obtenues 
dans le plan (P)

perpendiculaire àla figure et contenant la droite (F2, (D').
Calculer l'angle oc sachant que n() = 1,627 et A = 30°.

3) Examen préliminaire de la loi de BIOT et SAVART à la lumière des équations de
MAXWELL

On considère une charge ponctuelle positive q située à l'origine 0 d'un repère 
orthonormé

(O,x,y,z) dans lequel la position d'un point courant M est exprimée en 
coordonnées sphériques

--> --> --->
(Figure 2), selon les directions de vecteurs unitaires ur , ue et uq, .

--> -----) -->

Cette charge possède une vitesse v = v uz orientée selon le vecteur unitaire uz 
porté par l'axe

Oz ._ Son déplacement est supposé infimtésimal de sorte qu'elle pourra toujours 
être considérée au
voisinage immédiat du point 0.

Figure 2

--)
3.1) A partir de la loi de Biot et Savart exprimant le champ magnétique B créé 
en un point M

__)
par un fil conducteur, de longueur d£ , parcouru par un courant I , justifier 
que le champ

...)
' ' ' " ° , . _) _ P.Q. _) Ex.
magnet1que engendre par la charge q peut s ecr1re . -- 4 q VA 2 .
1t , r

3.2) Démontrer que les composantes, en coordonnées sphériques, B; , Be et B.,, 
de ce champ
magnétique sont telles que : B = 0 Be = 0 B.,, = sin 6 'P(r) , où 'P(r) est une 
fonction
exclusive du rayon r . Exprimer T(r) .

68
3.3) Compte tenu de ces résultats et en remarquant en outre que --âï= 0 , 
l'expression du
(P
laplacien vectoriel de ce champ magnétique se réduit à :
--> 2'P 2 \P -+
AB = Sine (??--+ --'ô------ --22--'P) u(p
ôr _ I' Ôl' [
Déduire de la question précédente la valeur de ce laplacien.
__)
, . . , . , . . -* 62 B
3.4) Des equations de Maxwell dans le v1de, dedu1re que lon d01t av01r : AB = 
80 uo ----

ôt2

. ---)
Conclure en exprimant la condition sur B qui rend la loi de Biot et Savart 
compatible avec les

équations de Maxwell.

4) Rayonnement d'un dipôle (doublet électrique) oscillant

On se place maintenant dans le cas d'une charge q soumise à des oscillations 
harmoniques de
faible amplitude, autour de sa position d'équilibre, le long de l'axe Oz.

A .
, . - ' ' ' l(Ût \
La valeur algebr1que de la Vitesse de cette charge sera expnmee sous la forme v 
= V e , ou le

paramètre i désigne le nombre complexe de module unité et d'argument n/2 . 
Alors le champ
magnétique évolue de la même manière en fonction du temps.

Dans ce cas, force est de constater que la loi de Biot et Savart, sous sa forme 
classique, devient
incompatible avec l'équation donnée au ê3.4. Comme cette dernière reste 
toujours valable en
régime variable, étant issue des équations de Maxwell, il devient donc 
nécessaire de réviser la

formulation de Biot et Savart.

(A bien noter dans tout ce qui suit : tous les caractères afi"ectés d'un 
exposant sous forme
d'étoile, restent de simples notations, à ne jamais confondre avec des 
complexes conjugués).

4.1) Pour généraliser la loi de Biot et Savart, dans le cas d'une variation 
h...onique de la vitesse,

_)

V a .
*
elOEt

on recherche une solution telle que B : B qui conserve la symétrie initiale et 
qui ramène

au régime continu lorsqu'on écrit : w = 0 .

La symétrie initiale est conservée si les composantes en coordonnées sphériques 
de la nouvelle
__)

*
expression du champ magnétique B demeurent telles que :
B"r = 0 B'}, = 0 B", = sin @ LP'"(r)
Ecrire l'équation différentielle à résoudre pour que, dans ces conditions, soit 
respectée l'équation :

--> 2_+
6 B
AB : 8°_ "° aî2"
4.2) La solution générale de l'équation différentielle obtenue dans la question 
précédente est _:

T*=%[I+OE:l exp(--loer]+êZZ--[l--OE] exp(+loer)
c c r c c
1

avec c : \/---- ; A1 et A2 étant des expressions indépendantes de r.
EURoHo

- Laquelle des deux "constantes d'intégration" [A1 ou A2] doit--on égaler à 
zéro si l'on ne

s'intéresse qu'à une onde issue du point 0 et se propageant vers l'infini '?
- Exprimer la valeur de la constante à retenir, afin de retrouver la loi de 
Biot et Savart à la limite

A ' .
où co = 0 , lorsque l'on pose v = V . Exprimer alors B({, : B:}, e"'Üt en 
remplaçant le rapport EO--
_ c

par son expression en fonction de la longueur d'onde À .

-- Conclure en donnant l'expression vectorielle du champ magnétique traduisant 
la loi de Biot et
Savart ainsi généralisée.

4.3) A très grande distance, simplifier l'expression de B

_1 -ô----(sin9BQ)--ô--Bfi ur
rsm9 69 àp
--> --> ' 6 B ---->
rsm9 âp r ôr

[L&M--dl

4.4) L'expression de BcP obtenue au début de la question (4.3) se présente sous 
la forme :

i(oet--21t î--)
B

transférée à travers un élément de surface sphérique dS , de rayon r et de 
centre O , puis en

déduire l'éclairement £(r,9) correSpondant sur une sphère donnée de centre O et 
de rayon r .

5.3) En associant à cet éclairement un vecteur de longueur 8 , issu du centre O 
et orienté dans la
direction de propagation, on peut dessiner, à distance r donnée, le profil de 
l'indicatrice
d'émission de l'antenne dans un plan contenant l'axe Oz (Figure 4).

Figure 4

Calculer, à distance r donnée, le rapport entre l'éclairement dans la direction 
d'angle 9 = 45° et
l'éclairement dans une direction normale à l'axe Oz .

6) Diffusion Rayleigh dans le visible
6.1) Expliquer en quelques mots, sans calculs, ce que l'on entend par diffusion 
Rayleigh.

6.2) Lors des calculs qui conduisent -- dans ce cas - à l'expression du vecteur 
de Poynting, on
utilise habituellement l'expression de B,p obtenue au début de la question 
(4.3) telle que

i(oet--2n£--)
B,, = g(9,r) e '"

sans prendre en compte la variation de la différence de marche résultant des 
différentes positions
de l'électron qui oscille autour du noyau. Justifier la raison de ce choix.

PROBLÈME 11
"CONTRARIÊTÉS" EXPÉRIMENTALES

- Le fait de n'avoir pas suffisammentréfléchi aux propriétés physiques des 
systèmes ou à ! 'influence
des capteurs de mesure sur l'objet de la mesure, réserve parfois quelques 
surprises à
! 'expérimentateur. Les questions qui suivent, toutes indépendantes les unes 
des autres, se présentent

comme un test de bon sens physique. Elles ne demandent, tout au plus, que de 
brefs calculs.

]) Un voltmètre récalcitrant !

Une source de tension sinusoïdale de valeur efficace U = 240 V est branchée aux 
bornes de deux
résistances en série, toutes deux égales à R= 10 MQ (Figure 1).

1.1) Calculer la valeur efficace des tensions VMN et VPM entre les noeuds 
nommés, en l'absence

de voltmètre.
1.2) Pour effectuer la mesure de ces tensions, on utilise un voltmètre de 
résistance interne égale à

r = 10 MQ . Indiquer la tension lue sur le voltmètre lorsqu'on le branche 
successivement :
entre M et N, entre P et M puis entre P et N. '

1.3) Conclure.

voltmètre

Figure 1

2) Un oscilloscope perturbant ! _
Une source de tension E = 12 V alimente trois résistances égales R disposées en 
série (Figure 2).

Calculer la tension entre les homes A et B dessinées sur le schéma. Pour 
mesurer cette tension on

utilise l'oscilloscope- dessiné sur la même Figure 2, borne A' reliée à la 
borne A et borne B' reliée
à la borne B . Cet oscilloscope a une impédance interne très supérieure à la 
résistance R et

pourtant la tensi0n qu'il mesure n'est pas celle qui a été calculée. Expliquer 
pourquoi et donner la
valeur de la tension mesurée.

Oscilloscope

3) Une diode en danger ! _
Un générateur de tension continue égale à 12 volts , une diode orientée dans le 
sens passant et un
condensateur de capacité C = 10 uF sont montés en série (Figure 3a).

10 uF
Figure 3a Modélisation de la diode D

Figure 3b

La caractéristique de la diode est donnée (Figure 3b). Celle-ci se comporte 
dans le sens direct
comme une résistance de valeur RD = 0,6 Q , dans la limite d'un courant de 1 A 
, au--delà duquel

elle est détruite.

3.1) En l'état du montage, supposé en régime stationnaire depuis un temps 
suffisamment important,
quelle est la valeur du courant '?

3.2) Cependant, le condensateur étant initialement non chargé, la diode est 
détruite lors du
branchement. Expliquer pourquoi.

3.3) Quelle résistance minimale doit-on monter en série avec la diode pour la 
protéger ?

4) Un suiveur paralysé !
4.1) Souhaitant réaliser un montage suiveur, un expérimentateur mal avisé a 
câblé un amplificateur
opérationnel selon le schéma dessiné Figure 4a. Que constate--t--il '?

Figure 4a

Figure 41)

4.2) En fait cet expérimentateur a oublié que, lorsqu'on considère (Figure 4b) 
un amplificateur réel
de gain A élevé (quelques 105 , par exemple) mais non infini et que l'on écrit 
que V8 = A (v+--v_) ,
on admet de manière implicite que la réponse vS à une sollicitation (v+--v_) 
est instantanée ; or
c'est physiquement impossible !

En réalité, la réponse de l'amplificateur est décalée dans le temps, elle est 
régie par une équation
différentielle qui, dans le cas le plus simple d'un amplificateur "compensé", 
est du type :

dv
vs : A(v+ -- v_)--r "
dt
où 1 représente une constante de temps de l'ordre de quelques millisecondes.
-- Ecrire, conformément à la réalité décrite, l'équation différentielle reliant 
la tension de sortie vS à la

tension d'entrée ve puis la résoudre dans l'hypothèse où une tension continue 
égale à 1 uV est

appliquée à l'entrée, la tension de sortie étant initialement nulle. Expliquer 
alors pourquoi le
montage présenté ne répond pas correctement.

4.3) Donner le schéma d'un montage suiveur qui fonctionne correctement et le 
justifier.
4.4) Expliquer ce qui fait l'intérêt d'un "suiveur".

5) Un oscillosc0pe en danger !

Une source de tension continue E = 12 V alimente, à travers un interrupteur 
fermé (AB), un
bobinage assimilable à une auto--inductance L = 1 H en série avec une 
résistance R = 100 Q

(Figure Sa).

5.1) Quelle relation existe-t--il entre la tension aux homes de 
l'auto-inductance et le courant dans
celle--ci. En déduire ce qui est à prévoir en cas d'interruption instantanée du 
courant.

5.2) Un expérimentateur imprudent connecte un oscilloscope aux extrémités A et 
B de l'interrupteur
afin d'observer l'impulsion de tension qui apparaît aux homes du contact 
lorsqu'on l'ouvre
brutalement, au temps t = 0 (Figure 5b). La notice de l'oseilloscope indique 
que la résistance '

d'entrée de celui--ci mesure 1 MQ et que la tension maximale admissible est de 
400 volts.

- Quelle était l'intensité du courant circulant en régime permanent, avant 
l'ouverture du contact, au
temps t== 0" ? _

- Par un raisonnement simple, bien argumenté, déterminer la valeur de la 
tension Vp atteinte au pic
de l'impulsion, au temps t = O'". En effectuer le calcul numériqueppuîs 
conclure.

5.3) On peut se protéger de cet effet de surtensi0n à l'aide-d'une diode. 
Comment doit--on la
brancher '? En justifier le comportement. '

Oscilloscope

Figure 53 Figure 5h 10 115

6) Une mise au point impossible !

On souhaite obtenir d'un objet réel A , une image nette A' , sur un écran situé 
à une distance de
l'objet égale à D = 80 cm.

Pour ce faire on utilise une lentille convergente, de distance focale image f ' 
= 25 cm , que l'on
place en un point 0 , entre l'objet et l'écran. Malheureusement, lorsqu'on 
ajuste la position de la
lentille aucun réglage ne convient !

- Expliquer pourquoi. Comment aurait--il fallu choisir la lentille '?

Lentille Ecran

&&

7) Des interférences invisibles !

A partir de deux lampes spectrales identiques, munies d'un même filtre ne 
laissant "passer qu'une
_ seule et même raie de fréquence visible bien déterminée, on réalise deux 
faisceaux de lumière

parallèle. Ces faisceaux sont orientés de sorte qu'ils se superposent, l'un 
après avoir traversé une

lame à face parallèle semi--réfléchissante, l'autre après réflexion sur cette 
même lame.
-- Dessiner le cheminement de ces deux faisceaux de lumière en précisant la 
valeur des angles à

considérer.
- En recevant la lumière émergente sur un écran, on espère observer un 
phénomène d'interférences

mais, quels que soient les réglages effectués, on n'y parvient pas. En donner 
une explication.

Fin de l'énoncé