CCP Physique 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Mouvement de charges électriques en milieu neutre. « Contrariétés » expérimentales.
Principaux outils utilisés électromagnétisme, optique géométrique et ondulatoire, électronique
Mots clefs modèle de Drude, Biot et Savart, travaux pratiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 mon...--2-- .v " cm.--fifi « m:o...oeäË om ËmSE - ...ËoE--oËoe mË...ÊË ......=o.z=v--h>dom ":::--«Ou ...oe=ouzou ' Les calculatrices sont autorisées *** Les deux problèmes sont indépendants. Leur poids est approximativement 2/3 pour le premier et 1/3 pour le second *** N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des _ initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLÈME 1 MOUVEMENTS DE CHARGES ELECTRIQUES EN MILIEUX NEUTRES Ce problème se compose de trois parties indépendantes. La première (51) étudie, selon un modèle sommaire classique, le comportement des électrons libres dans un conducteur soumis à un échelOn de, champ électrique. La seconde (52) s'intéresse aux oscillations d'électrons élastiquement liés dans un diélectrique, sous l'action d'un champ électrique variable. La troisième partie (ë3 à 56) considère les effets de rayonnement qui apparaissent aux fréquences élevées ; y sont examinés le cas du dipôle électrique oscillant puis celui d'une antenne demi- onde. ]) Cas d'un milieu conducteur (électrons libres) Soit un milieu conducteur contenant par unité de volume n* noyaux fixes portant chacun la charge électrique +e et n* électrons susceptibles de se déplacer, de masse individuelle m , _ portant chacun la charge électrique --e . On pourra faire abstraction des mouvements individuels désordonnés dus à l'agitation thermique en s'intéressant uniquement au mouvement d'ensemble d'un "nuage électronique " englobant un grand nombre d'électrons. Partant d'un état globalement au repos, si l'on impose, à l'instant t =_ 0 , un champ "électrique Ë (orienté selon l'axe Ox d'un repère cartésien orthon0rmé), celui--ci fait Subir, en moyenne, à l'ensemble des électrons un déplacement î(t) par rapport à leur position initiale. ---> 1.1) Exprimer la force électrique Fe qui s'exerce sur un électron ; préciser son sens par rapport au champ électrique. 1.2) Ecrire l'équation fondamentale de la dynamique pour un électron, lorsque le milieu ajoute à la force exercée par le champ électrique, une force de freinage proportionnelle àla vitesse {; de cet électron, globalement assimilée àla vitesse moyenne du "nuage électronique " : --> «) m F = -- ---- V . 1: - Avec quelle unité doit--on exprimer le paramètre 'c ? Justifier la réponse. - Simplifier l'équation différentielle obtenue en ne retenant que son expression algébrique après projection sur l'axe Ox . En déduire l'évolution de la vitesse v(t) en fonction du temps puis en déterminer la valeur finale voo atteinte en régime stationnaire. Préciser la signification du paramètre t . ' 1.3) En régime permanent, exprimer la densité volumique de courant 5 en fonction de n* , e, v,, puis exprimer } en fonction de la conductivité électrique 7 et de Ë . En déduire y en fonction de n* , e , T et m . 1.4) Etant donnés : * le nombre d'Avogadro JV = 6,02 . 1023 * la charge élémentaire e = 1,60 . 10_19 C * la masse d'un électron m = 0,911 . 10"30 kg * la conductivité électrique du cuivre y= 5,80 . 107 S/m * la masse atomique du cuivre M = 63,5 . 10"3 kg/mol * la masse volumique du cuivre 11 = 8,96 . 103 kg/m3 et en admettant que chaque atome de cuivre libère un électron de valence, lequel est entraîné par le champ électrique, calculer le nombre n* d'électrons libres par unité de volume puis la valeur du paramètre 't . En comparant 1: à la période T d'un signal périodique, estimer l'ordre de grandeur des fréquences et des longueurs d'ondes associées, à partir desquelles ces deux paramètres deviennent comparables. Dans quel domaine, visible ou autre, se situent ces fréquences ? * La vitesse de la lumière dans le vide sera considérée égale à c = 3,00 . 108 m/s . 2) Cas d'un milieu diélectrique (électrons élastiquement liés) 2.1) En négligeant dans ce cas toute déperdition par "freinage", écrire l'équation fondamentale de ..) la dynamique pour un électron, lorsqu'en réaction à son mouvement r , le milieu ajoute à la _) force exercée par le champ électrique, une force dérappel élastique F = -- mQ2 r . Démontrer que le paramètre Q est homogène à une pulsation. - Ecrire, en projection sur l'axe Ox , l'équation différentielle régissant la vitesse v en fonction de la derrvee -- . Pour resoudre cette equation dans le cas d'un regime etabh smusoïdal, on se fit , place dans le plan complexe et, la lettre i désignant le nombre complexe de module unité et d'argument n/2, on écrit alors : E_ = E ei "" . électrons liés, en déduire l'expression de la densité de courant associée j . -- Donner l'expression de v puis, en supposant que chaque unité de volume contienne n**' "' 8 E - Exprimer finalement j en fonction de --à--t-- . 2.2) Equatioris de Maxwell 2.2.a) Rappeler, en donnant leur nom, les 4 équations de Maxwell dans le vide (ni charges ni courants) caractérisé par sa permittivité diélectrique 80 et sa perméabilité magnétique uo . 2.2.b) Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en déduire la vitesse de propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide. 2.2.c) Ecrire l'équation de Maxwell--Ampère globale, tenant compte de la présence d'une densité __) volumique de courant j dans un milieu restant globalement neutre. 2.2.d) Lorsqu'on se place dans un milieu diélectrique linéaire homogène, l'équation de Maxwell- . . , , . .. . v "* "* ôE Ampere globale peut etre reecr1te de la mamere su1vante : rotB= no EUR ---- où 8 représente la ôt permittivité absolue du milieu, reliée àla permittivité relative a, par la relation : 8 = 80 a, . - Déterminer alors la vitesse de pr0pagation v d'une onde électromagnétique dans un tel milieu en fonction de a, 80 et c. -- Dans le cas d'une onde lumineuse, définir l'indice optique 11 en fonction des vitesses v et c puis l'exprimer en fonction de la permittivité relative. 2.3) On se place dans le milieu étudié question (2.1). 2.3.a) En identifiant l'expression de rotB fournie en (2.2.d) avec celle obtenue en (2.2.c), **2 ne "exprimer l'indice n en fonction des paramètres . oep : , Q et w . mao Dans le but de simplifier les calculs dans tout ce qui suit, on se placera dorénavant dans le cas ' particulier où Q : (op . ' 2.3.b) Montrer que lorsque (0 est très inférieur à Q , une approximation au premier ordre b conduit' a écrire: nz a + ---- 71.2 -- Quelle formule bien connue retrouve--t-on de la sorte ? -- Comment appelle--t- -on le phénomène physique que cette formule met en évidence ? - Calculer la valeur numériqùe de la pulsation (D,, et Cezlsle des coefficients a et b, dans le cas d'un verre où l'on peut considérer que n"'*=3,2.1028 électrons liés par unité de volume et sachant que la permittivité duvide est égale à 80 = 8,84 . 10--12 F/m . - Expliquer pourquoi, lors d'une réfraction, un faisceau de lumière polychromatique se décompOse en plusieurs faisceaux de lumière monochromatique. 2.4) Afin d'obtenir une photographie illustrant ce phénomène, on éclaire en lumière blanche parallèle, perpendiculairement à sa face d'entrée, un prisme d'angle A (Figure 1) et d'indice n dépendant de la longueur d'onde %. . Pour une longueur d'onde particulière ?... , l'indice correspondant étant nommé no , on intercepte le faisceau en sortie du prisme avec une lentille mince (L) perpendiculaire à ce faisceau lequel converge alors vers un foyer image F 'o . L'angle de réfraction de ce faisceau, en sortie du prisme, sera nommé ro". , Pour toute autre longueur d'onde %. le faisceau qui émerge du prisme, réfracté sous un angle (ro + 9) , présentera par rapport à l'axe de la lentille, un très petit écart angulaire 9 et convergera vers un foyer secondaire CD ' voisin du foyer image principal F' correspondant à l'indice n . - Exprimer sin ro en fonction de no et de A . -- Sachant que 9 est très petit devant ro donner de sin(n,+9) un développement limité au premier ordre en 9 puis exprimer 6 en fonction de n , n() et A . Figure 1 (P) La lentille mince (L) possède une face plane et une face cylindrique de rayon R ; les génératrices du cylindre étant perpendiculaires au plan de figure, on obtient un foyer linéaire normal au plan de figure. Elle est fabriquée avec le même verre d'indice n que) celui du prisme. Sa distance focale est égale à f ': ----B-- et dépend donc aussi de la longueur d'onde À . n -- l En limitant le raisonnement au plan de la Figure 1, exprimer la tangente de l'angle ou entre la droite (F:) (D') et l'axe optique de la lentille. Vérifier que le résultat obtenu est indépendant de l'indice n puis conclure quant à la netteté et à la forme des images obtenues dans le plan (P) perpendiculaire àla figure et contenant la droite (F2, (D'). Calculer l'angle oc sachant que n() = 1,627 et A = 30°. 3) Examen préliminaire de la loi de BIOT et SAVART à la lumière des équations de MAXWELL On considère une charge ponctuelle positive q située à l'origine 0 d'un repère orthonormé (O,x,y,z) dans lequel la position d'un point courant M est exprimée en coordonnées sphériques --> --> ---> (Figure 2), selon les directions de vecteurs unitaires ur , ue et uq, . --> -----) --> Cette charge possède une vitesse v = v uz orientée selon le vecteur unitaire uz porté par l'axe Oz ._ Son déplacement est supposé infimtésimal de sorte qu'elle pourra toujours être considérée au voisinage immédiat du point 0. Figure 2 --) 3.1) A partir de la loi de Biot et Savart exprimant le champ magnétique B créé en un point M __) par un fil conducteur, de longueur d£ , parcouru par un courant I , justifier que le champ ...) ' ' ' " ° , . _) _ P.Q. _) Ex. magnet1que engendre par la charge q peut s ecr1re . -- 4 q VA 2 . 1t , r 3.2) Démontrer que les composantes, en coordonnées sphériques, B; , Be et B.,, de ce champ magnétique sont telles que : B = 0 Be = 0 B.,, = sin 6 'P(r) , où 'P(r) est une fonction exclusive du rayon r . Exprimer T(r) . 68 3.3) Compte tenu de ces résultats et en remarquant en outre que --âï= 0 , l'expression du (P laplacien vectoriel de ce champ magnétique se réduit à : --> 2'P 2 \P -+ AB = Sine (??--+ --'ô------ --22--'P) u(p ôr _ I' Ôl' [ Déduire de la question précédente la valeur de ce laplacien. __) , . . , . , . . -* 62 B 3.4) Des equations de Maxwell dans le v1de, dedu1re que lon d01t av01r : AB = 80 uo ---- ôt2 . ---) Conclure en exprimant la condition sur B qui rend la loi de Biot et Savart compatible avec les équations de Maxwell. 4) Rayonnement d'un dipôle (doublet électrique) oscillant On se place maintenant dans le cas d'une charge q soumise à des oscillations harmoniques de faible amplitude, autour de sa position d'équilibre, le long de l'axe Oz. A . , . - ' ' ' l(Ût \ La valeur algebr1que de la Vitesse de cette charge sera expnmee sous la forme v = V e , ou le paramètre i désigne le nombre complexe de module unité et d'argument n/2 . Alors le champ magnétique évolue de la même manière en fonction du temps. Dans ce cas, force est de constater que la loi de Biot et Savart, sous sa forme classique, devient incompatible avec l'équation donnée au ê3.4. Comme cette dernière reste toujours valable en régime variable, étant issue des équations de Maxwell, il devient donc nécessaire de réviser la formulation de Biot et Savart. (A bien noter dans tout ce qui suit : tous les caractères afi"ectés d'un exposant sous forme d'étoile, restent de simples notations, à ne jamais confondre avec des complexes conjugués). 4.1) Pour généraliser la loi de Biot et Savart, dans le cas d'une variation h...onique de la vitesse, _) V a . * elOEt on recherche une solution telle que B : B qui conserve la symétrie initiale et qui ramène au régime continu lorsqu'on écrit : w = 0 . La symétrie initiale est conservée si les composantes en coordonnées sphériques de la nouvelle __) * expression du champ magnétique B demeurent telles que : B"r = 0 B'}, = 0 B", = sin @ LP'"(r) Ecrire l'équation différentielle à résoudre pour que, dans ces conditions, soit respectée l'équation : --> 2_+ 6 B AB : 8°_ "° aî2" 4.2) La solution générale de l'équation différentielle obtenue dans la question précédente est _: T*=%[I+OE:l exp(--loer]+êZZ--[l--OE] exp(+loer) c c r c c 1 avec c : \/---- ; A1 et A2 étant des expressions indépendantes de r. EURoHo - Laquelle des deux "constantes d'intégration" [A1 ou A2] doit--on égaler à zéro si l'on ne s'intéresse qu'à une onde issue du point 0 et se propageant vers l'infini '? - Exprimer la valeur de la constante à retenir, afin de retrouver la loi de Biot et Savart à la limite A ' . où co = 0 , lorsque l'on pose v = V . Exprimer alors B({, : B:}, e"'Üt en remplaçant le rapport EO-- _ c par son expression en fonction de la longueur d'onde À . -- Conclure en donnant l'expression vectorielle du champ magnétique traduisant la loi de Biot et Savart ainsi généralisée. 4.3) A très grande distance, simplifier l'expression de B

_1 -ô----(sin9BQ)--ô--Bfi ur rsm9 69 àp --> --> ' 6 B ----> rsm9 âp r ôr [L&M--dl 4.4) L'expression de BcP obtenue au début de la question (4.3) se présente sous la forme : i(oet--21t î--) B

transférée à travers un élément de surface sphérique dS , de rayon r et de centre O , puis en déduire l'éclairement £(r,9) correSpondant sur une sphère donnée de centre O et de rayon r . 5.3) En associant à cet éclairement un vecteur de longueur 8 , issu du centre O et orienté dans la direction de propagation, on peut dessiner, à distance r donnée, le profil de l'indicatrice d'émission de l'antenne dans un plan contenant l'axe Oz (Figure 4). Figure 4 Calculer, à distance r donnée, le rapport entre l'éclairement dans la direction d'angle 9 = 45° et l'éclairement dans une direction normale à l'axe Oz . 6) Diffusion Rayleigh dans le visible 6.1) Expliquer en quelques mots, sans calculs, ce que l'on entend par diffusion Rayleigh. 6.2) Lors des calculs qui conduisent -- dans ce cas - à l'expression du vecteur de Poynting, on utilise habituellement l'expression de B,p obtenue au début de la question (4.3) telle que i(oet--2n£--) B,, = g(9,r) e '" sans prendre en compte la variation de la différence de marche résultant des différentes positions de l'électron qui oscille autour du noyau. Justifier la raison de ce choix. PROBLÈME 11 "CONTRARIÊTÉS" EXPÉRIMENTALES - Le fait de n'avoir pas suffisammentréfléchi aux propriétés physiques des systèmes ou à ! 'influence des capteurs de mesure sur l'objet de la mesure, réserve parfois quelques surprises à ! 'expérimentateur. Les questions qui suivent, toutes indépendantes les unes des autres, se présentent comme un test de bon sens physique. Elles ne demandent, tout au plus, que de brefs calculs. ]) Un voltmètre récalcitrant ! Une source de tension sinusoïdale de valeur efficace U = 240 V est branchée aux bornes de deux résistances en série, toutes deux égales à R= 10 MQ (Figure 1). 1.1) Calculer la valeur efficace des tensions VMN et VPM entre les noeuds nommés, en l'absence de voltmètre. 1.2) Pour effectuer la mesure de ces tensions, on utilise un voltmètre de résistance interne égale à r = 10 MQ . Indiquer la tension lue sur le voltmètre lorsqu'on le branche successivement : entre M et N, entre P et M puis entre P et N. ' 1.3) Conclure. voltmètre Figure 1 2) Un oscilloscope perturbant ! _ Une source de tension E = 12 V alimente trois résistances égales R disposées en série (Figure 2). Calculer la tension entre les homes A et B dessinées sur le schéma. Pour mesurer cette tension on utilise l'oscilloscope- dessiné sur la même Figure 2, borne A' reliée à la borne A et borne B' reliée à la borne B . Cet oscilloscope a une impédance interne très supérieure à la résistance R et pourtant la tensi0n qu'il mesure n'est pas celle qui a été calculée. Expliquer pourquoi et donner la valeur de la tension mesurée. Oscilloscope 3) Une diode en danger ! _ Un générateur de tension continue égale à 12 volts , une diode orientée dans le sens passant et un condensateur de capacité C = 10 uF sont montés en série (Figure 3a). 10 uF Figure 3a Modélisation de la diode D Figure 3b La caractéristique de la diode est donnée (Figure 3b). Celle-ci se comporte dans le sens direct comme une résistance de valeur RD = 0,6 Q , dans la limite d'un courant de 1 A , au--delà duquel elle est détruite. 3.1) En l'état du montage, supposé en régime stationnaire depuis un temps suffisamment important, quelle est la valeur du courant '? 3.2) Cependant, le condensateur étant initialement non chargé, la diode est détruite lors du branchement. Expliquer pourquoi. 3.3) Quelle résistance minimale doit-on monter en série avec la diode pour la protéger ? 4) Un suiveur paralysé ! 4.1) Souhaitant réaliser un montage suiveur, un expérimentateur mal avisé a câblé un amplificateur opérationnel selon le schéma dessiné Figure 4a. Que constate--t--il '? Figure 4a Figure 41) 4.2) En fait cet expérimentateur a oublié que, lorsqu'on considère (Figure 4b) un amplificateur réel de gain A élevé (quelques 105 , par exemple) mais non infini et que l'on écrit que V8 = A (v+--v_) , on admet de manière implicite que la réponse vS à une sollicitation (v+--v_) est instantanée ; or c'est physiquement impossible ! En réalité, la réponse de l'amplificateur est décalée dans le temps, elle est régie par une équation différentielle qui, dans le cas le plus simple d'un amplificateur "compensé", est du type : dv vs : A(v+ -- v_)--r " dt où 1 représente une constante de temps de l'ordre de quelques millisecondes. -- Ecrire, conformément à la réalité décrite, l'équation différentielle reliant la tension de sortie vS à la tension d'entrée ve puis la résoudre dans l'hypothèse où une tension continue égale à 1 uV est appliquée à l'entrée, la tension de sortie étant initialement nulle. Expliquer alors pourquoi le montage présenté ne répond pas correctement. 4.3) Donner le schéma d'un montage suiveur qui fonctionne correctement et le justifier. 4.4) Expliquer ce qui fait l'intérêt d'un "suiveur". 5) Un oscillosc0pe en danger ! Une source de tension continue E = 12 V alimente, à travers un interrupteur fermé (AB), un bobinage assimilable à une auto--inductance L = 1 H en série avec une résistance R = 100 Q (Figure Sa). 5.1) Quelle relation existe-t--il entre la tension aux homes de l'auto-inductance et le courant dans celle--ci. En déduire ce qui est à prévoir en cas d'interruption instantanée du courant. 5.2) Un expérimentateur imprudent connecte un oscilloscope aux extrémités A et B de l'interrupteur afin d'observer l'impulsion de tension qui apparaît aux homes du contact lorsqu'on l'ouvre brutalement, au temps t = 0 (Figure 5b). La notice de l'oseilloscope indique que la résistance ' d'entrée de celui--ci mesure 1 MQ et que la tension maximale admissible est de 400 volts. - Quelle était l'intensité du courant circulant en régime permanent, avant l'ouverture du contact, au temps t== 0" ? _ - Par un raisonnement simple, bien argumenté, déterminer la valeur de la tension Vp atteinte au pic de l'impulsion, au temps t = O'". En effectuer le calcul numériqueppuîs conclure. 5.3) On peut se protéger de cet effet de surtensi0n à l'aide-d'une diode. Comment doit--on la brancher '? En justifier le comportement. ' Oscilloscope Figure 53 Figure 5h 10 115 6) Une mise au point impossible ! On souhaite obtenir d'un objet réel A , une image nette A' , sur un écran situé à une distance de l'objet égale à D = 80 cm. Pour ce faire on utilise une lentille convergente, de distance focale image f ' = 25 cm , que l'on place en un point 0 , entre l'objet et l'écran. Malheureusement, lorsqu'on ajuste la position de la lentille aucun réglage ne convient ! - Expliquer pourquoi. Comment aurait--il fallu choisir la lentille '? Lentille Ecran && 7) Des interférences invisibles ! A partir de deux lampes spectrales identiques, munies d'un même filtre ne laissant "passer qu'une _ seule et même raie de fréquence visible bien déterminée, on réalise deux faisceaux de lumière parallèle. Ces faisceaux sont orientés de sorte qu'ils se superposent, l'un après avoir traversé une lame à face parallèle semi--réfléchissante, l'autre après réflexion sur cette même lame. -- Dessiner le cheminement de ces deux faisceaux de lumière en précisant la valeur des angles à considérer. - En recevant la lumière émergente sur un écran, on espère observer un phénomène d'interférences mais, quels que soient les réglages effectués, on n'y parvient pas. En donner une explication. Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gabriel Bousquet (ENS Ulm) ; il a été relu par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet, relativement long, comporte deux problèmes séparés. · Le premier débute de manière classique. Il revisite, dans les parties 1 et 2, les principales applications du cours d'électromagnétisme rencontrées en deuxième année de prépa : modèle de Drude, propagation d'ondes dans les milieux diélectriques, dispersion. On n'y rencontre que peu de difficultés, d'autant que les questions sont très souvent indépendantes. La troisième partie constitue un tournant. On est amené à transformer la loi de Biot et Savart dans le but de retrouver le rayonnement électromagnétique du dipôle oscillant. Les questions se corsent tandis que le sujet gagne en originalité. · Le second problème est inattendu. Reposant dans sa quasi-totalité sur des notions d'électronique et d'optique rencontrées en première année, il traite à travers une série d'exercices indépendants un certain nombre de « contrariétés expérimentales ». On s'attendrait plutôt à rencontrer ces problématiques lors des oraux ou des épreuves de travaux pratiques. Mais une fois l'effet de surprise passé, l'ensemble se révèle peu calculatoire, intéressant, enrichissant et fort agréable à traiter. Finalement, ce sujet présente peu de difficultés majeures. En outre, les problèmes et même leurs parties demeurent largement indépendants les unes des autres. Nul doute alors que la sélection se faisait moins sur la capacité des candidats à répondre aux questions que sur leur maîtrise du cours ainsi que leur aptitude à traiter les questions vite et bien. Indications Premier problème - 2.2.b La formule du laplacien appliqué à un champ de vecteurs u est - - - - - u = grad (div - u ) - rot (rot - u) 2.3.a On a montré à la question 2.1 que - = - n e 2 E m(2 - 2 ) t 2.3.b On sait grâce à la question 2.3.a. que r r = n = 1 + 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2.b 5.3 p2 - 2 2 Pour trouver , procéder par étapes. On trouve facilement F0 F grâce à la formule de la distance focale. Tracer le rayon passant par O est une initiative très profitable. Exprimer alors tan en fonction de tan . Le résultat de cette question n'est pas réutilisé. , - - Projeter - v sur la base (- u r u , u ) pour faire le calcul du produit vectoriel. (r) est proportionnel à 1/r2 . La formule du laplacien vectoriel donnée à la question 3.3 est toujours valable. L'expression = µ0 qv/(4r2 ) trouvée à la question 3.2 est valide si = 0. Pour revenir à une expression vectorielle, relire la réponse à la question 3.2. La deuxième partie de cette question nécessite le calcul d'un rotationnel en coordonnées sphériques (une formule est donnée sur la page suivante du sujet). Pour le mener à bien, repérer les invariances et les termes nuls avant de commencer. Toutefois, le résultat de cette question n'est pas réutilisé. b elle dépend implicitement de z. La fonction g(r, ) étant proportionnelle à V, Dans le formalisme complexe, la valeur moyenne d'une grandeur quadratique s'exprime grâce à la formule habi = 1/2 Re (a · b ) (où représente le complexe conjugué). L'éclairement s'exprime à l'aide du vecteur de Poynting moyen. Second problème 2 L'oscilloscope est relié à la terre. 3.1 Lorsque le condensateur n'est pas chargé, il est assimilable à un fil. 4.1 Pour avoir un fonctionnement linéaire, la boucle de rétroaction doit-elle être branchée sur l'entrée inverseuse ou non inverseuse ? 4.2 Le terme exponentiel de la solution sera-t-il amorti ou explosif ? 5.2 L'intensité dans une branche de circuit qui contient une inductance est une fonction continue du temps. 5.3 Et si la diode créait un circuit de déchargement ? 6 Qu'est-ce que la « règle des 4 f » ? 7 Adapter l'expérience des franges d'égale inclinaison du Michelson. Les deux sources sont-elles cohérentes ? Les conseils du jury Le rapport du jury est l'occasion de dresser un bilan de l'épreuve et de rappeler quelques recommandations générales pour guider le travail des futurs candidats en pointant des erreurs récurrentes. « Cette épreuve, composée pour 2/3 de questions sur le programme de « spé » et pour 1/3 sur le programme de « sup », a été plutôt bien traitée par les candidats : il y a moins de très mauvaises copies que par le passé et surtout un nombre plus élevé de copies substantielles, agréables à lire, incluant parfois d'excellents commentaires. » « L'épreuve a, semble-t-il, permis aux candidats de donner leur pleine mesure. Des étudiants qui, dans une épreuve moins guidée et comportant moins de questions indépendantes, auraient rendu copie blanche ont pu montrer qu'ils avaient acquis des connaissances au cours de leurs classes préparatoires et ont pu être classés efficacement. Quant aux candidats les plus brillants, ils ont montré leur qualité en répondant aux questions délicates et surtout en traitant une grande partie de l'épreuve, laquelle a probablement été perçue comme trop longue dans la majorité des autres cas. » « On note globalement un effort particulier pour la présentation et la clarté de la rédaction bien qu'encore trop de présentations restent difficiles à décrypter, regrettablement brouillonnées et parfois à la limite du lisible. Parallèlement, force est de constater une détérioration inquiétante de l'orthographe et de la grammaire ! » « Toutes les questions ont été abordées bien que de manières très inégales. Le premier problème, proche du cours, a été en général bien réussi, ce qui n'a pas été le cas du second, plus en rapport avec l'expérimentation. À ce propos, il semble utile de rappeler que la filière PC est ­ d'abord ­ une filière expérimentale et que les questions posées ne faisaient appel qu'à des connaissances de base que tout étudiant de cette filière devrait maîtriser. » Le rapport relève ensuite quelques erreurs qu'il serait bon que les futurs candidats ne commettent plus : · « des erreurs dans les questions de cours ; attention aux signes ! » · des inhomogénéités, égalités entre vecteurs et scalaires, erreurs de manipulations des opérateurs vectoriels, etc ; · « des intégrales sans terme infinitésimal » ; · « des applications numériques absentes ou bâclées, données trop souvent sans indication d'unité ou dont l'ordre de grandeur est aberrant (une constante de temps = 1, 4.10357 s, une densité négative, ...) » ; · « des absences de schémas, inadmissibles en optique ou en électrocinétique » ; · « des résultats définitifs non simplifiés ». I. Mouvements de charges électriques en milieux neutres 1. Cas d'un milieu conducteur (électrons libres) 1.1 Comme la charge de l'électron est -e, la force électrique qu'il subit - - Fe = -e E - Le sens de la force qui s'applique sur l'électron est opposé à celui de E car sa charge est négative. 1.2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron de masse m soumis à la force électrique ainsi qu'à la force de freinage mentionnée par l'énoncé m m - d- v = -e E - - v dt (E) Réécrivons l'équation dimensionnellement h m i M.L.T-1 [F] = M.L.T-2 = v = [ ] ce qui prouve que [ ] est un temps, il s'exprime donc en secondes dans les unités du système international. C'est la méthode la plus générale, mais souvent la plus longue. Il est aussi possible d'observer (E) et de remarquer que la force de freinage ressemble beaucoup au membre de gauche de l'équation. On voit immédiatement que [ ] = [dt] = T. Moralité : le choix d'une équation appropriée permet de réduire sensiblement les calculs dans une question d'analyse dimensionnelle. Dans une équation dimensionnelle, l'emploi des crochets signifie « dimension de ». Les dimensions sont, quant à elles, écrites en majuscules. Ainsi, « la dimension de est un temps » s'écrit [ ] = T On utilise les lettres majuscules L (longueur), M (masse), T (temps), etc. qui correspondent à des dimensions et non à des unités, qui ne représentent qu'une façon de mesurer ces grandeurs. Projetons l'équation sur l'axe Ox, en prenant le produit scalaire de l'équation précédente avec le vecteur unitaire fixe - ex . On obtient dv v eE + =- dt m Résolvons cette équation différentielle. Une solution particulière en est la solution stationnaire e v = - E m Les solutions de l'équation homogène associée s'écrivent v = Ae -t/ La solution générale est donc v = Ae -t/ + v