CCP Physique 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Fibre optique et effet de réverbération
Principaux outils utilisés ondes, milieux diélectriques, optique géométrique et ondulatoire, acoustique, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 PCP2009 A CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** Les deux problèmes sont indépendants. Leur poids est approximativement 2/3 pour le premier et 1/3 pour le second *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ' *** PROBLÈME 1 - FIBRE OPTIQUE Ce problème présente cinq questions indépendantes, bien que d'inégales longueurs. L'accent est notamment mis sur les propriétés des lames quart--d'onde antireflet qui, déposées sur les faces d'entrée et de sortie, conditionnent -- comme dans tout système optique - la propagation d'une onde progressive. Le principe d'un capteur gyroscopique à fibre optique sera abordé pour terminer. 1) Equations de Maxwell et relations de passage 1.1.a) -- Rappeler, en donnant leur nom, les 4 équations de Maxwell dans le vide (ni charges ni courants) caractérisé par sa permittivité diélectrique 30 , et sa perméabilité'magnétique % . 1.1.b) - Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en déduire la vitesse de propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide. 1.1.c) - Réécrire l'équation de Maxwell-Ampère dans le cas d'un milieu diélectrique linéaire homogène transparent, caractérisé par une permittivité diélectrique relative réelle sr . 1.1.d) -- Définir alors la vitesse de propagation v d'une onde électromagnétique dans un tel milieu en fonction de 8 = 80 Br , 80 et c. V - Comment appelle - t - on le rapport : ---8-- '? 80 1.2). - Préciser les relations de passage pour le champ électromagnétique, à la surface de séparation entre deux milieux diélectriques, en l'absence de charges et de courants. 1.3) Le champ électrique d'une onde incidente se propage, selon un axe x' x , dans un milieu A d'indice nl avec la vitesse de propagation VI en conservant une amplitude constante E . Il est défini dans un repère cartésien orthonormé (O,x,y,z) par ses composantes, telles que : O --> A Ei : E cosoe{t--£) vl () 1.3.a) - Préciser les trois caractéristiques principales de cette onde. 1.3.b) - Rappeler la relation de structure de l'onde plane progressive puis en déduire l'expression --+ ' --+ du champ magnétique Bi associé au champ électrique Ei . 1.3.c) - Démontrer que la puissance moyenne incidente Pi rayonnée par cette onde à travers une surface S perpendiculaire à la direction de propagation est donnée par la relation : n1Ê2 21400 1.4) Cette onde vient frapper en x = 0 la frontière - constituée par le plan yOz - avec un second milieu d'indice , n2 , semi-infini pour x > O et dans lequel elle possède une vitesse de propagation v2 . Pi = s ----> --> 1.4.a) - En écrivant le champ électrique réfléchi Er et le champ électrique transmis Et sous la forme: 0 0 ----> , - X _ _, A X Br.--_-- pEc05oe[t+--] et E: tEcosoe(t------] V1 V2 0 0 déduire des relations de passage en x = 0 , une première relation liant entre eux les coefficients de réflexion p et de transmission 1 . --> --> 1.4.b) -- Exprimer les champs magnétiques Br et Bt associés aux champs électriques respectifs puis, toujours à l'aide des relations de passage, écrire une seconde relation reliant les coefficients de réflexion p et de transmission 't . =n1--n2 et T: 2n1 111+I12 Il1+112 1.4.c) -- Démontrer alors que : p 1.4.d) - La puissance moyenne réfléchie Pr et la puissance moyenne transmise Pt étant définies dans les mêmes conditions que la puissance moyenne incidente Pi en (1.3.c), exprimer le rapport R = Pr/Pi puis le rapport T = Pt / Pi . 2) Lame antireflet 2.1) - La face d'entrée d'une fibre optique d'indice N = 1,69 est éclairée, en incidence normale, par un faisceau laser en transit dans l'air d'indice n = 1 (Figure 1). Calculer la valeur numérique des coefficients p et 1. En déduire la proportion d'énergie réfléchie par la face d'entrée et la proportion d'énergie transmise à la fibre optique. Fibre optique Rayon laser (Il) Figure 1 2.2) Une couche mince de cryolithe (Na3 Al F 6) d'indice n' et d'épaisseur D égale au quart de la longueur d'onde À de la lumière dans ce milieu, est déposée sur la face d'entrée de la fibre optique (Figure 2). ' 2.2.a) - Quelle relation y a--t--il, pour une onde de fréquence donnée, entre sa longueur d'onde X dans un milieu d'indice n et sa longueur d'onde % dans le vide ? 2.2.b) - Exprimer, en fonction des indices n , n' et N , les coefficients de transmission en amplitude 1:1 , 1:2 , 13 et les coefficients de réflexion en amplitude pl , p2, p3 , notés sur la figure 2. ' SI ' ' S2 . Air Cryolithe Fibre optique (n) , (n') .* (N) fifi E 5 _, l l I ! EUR : : I' . | | ' ' | | l l | l l I l | l l l | | l x o & D--E, D Figure 2 11 pour la transmission de l'air vers la cryolithe 12 pour la transmission de la cryolithe vers la fibre 13 pour la transmission de la cryolithe vers l'air pl pour la réflexion "air - cryolithe -- air" p2 pour la réflexion "cryolithe - fibre -- cryolithe" p3 pour la réflexion "cryolithe - air - cryolithe" 2.2.c) - Exprimer p3 en fonction de pl . 2.3) Dans ce qui suit, tous les champs électriques seront décrits par leur composante algébrique, nommée E , selon l'axe de polarisation. Leur amplitude, indépendante du temps mais éventuellement complexe, sera notée E tandis que E en désignera le module. Le champ électrique incident dans l'air à l'abscisse x = 0 sera désigné par Ei . Il sera représenté en notation complexe par : _E_i(0,t) = .Ê.i ejoet , la lettre j désignant le nombre complexe de module unité et d'argument 1t/2 . Le champ électrique sortant, défini dans le verre, en x = D = M4 , sera désigné par E . ' A l'instant t , au voisinage de la surface S] à l'abscisse & tendant vers zéro, un champ électrique global Ep se propage dans le sens positif de l'axe. Il sera représenté, en notation complexe, sous la forme : Ep(ë,t)=Ep eJ"°t Ce champ résulte de la superposition du champ tl E et d'un champ E23 dont la valeur est égale à celle qu'avait Ep à l'instant t--2D/v {précédemment à un aller--retour à la vitesse de propagation v dans la cryolithe), atténuée par deux réflexions successives. 2.3.a) -- En tenant compte du fait que D : Â- , écrire l'expression complexe _E_23(ë,t) en fonction 4 de E_p(ë,t) et des coefficients p2 et p3 . Ei et de E23 puis en déduire _Ê_P en fonction de Êi et des 2.3.b) -- Exprimer _E_p en fonction de autres données. 2.3.c) -- Exprimer en conséquence le champ globalement réfléchi Er au voisinage de l'abscisse x = 0 puis réduire son expression en fonction des seuls coefficients pl et p2 et de Ei . - En déduire une condition entre pl et p2 qui permette d'annuler ce champ. 2.4.a) -- Transposer la relation précédente en fonction des indices n , n' et N . Ce résultat serait-- il modifié si l'on intervertissait les indices n et N ? -- Calculer la valeur numérique de l'indice de la cryolithe qui réalise cette condition. 2.4.b) - Quelle est alors la proportion d'énergie transmise à la fibre ? 2.4.c) - La face de sortie de la fibre est revêtue d'une même lame mince de cryolithe. Quelle est la puissance transmise en bout de ligne ? Conclure. Quelle est la valeur du coefficient de réflexion global de l'ensemble constitué par la fibre et les deux couches de cryolithe ? 3) Guidage par une gaine réfléchissante Une fibre optique d'indice N = 1,69 et dont les faces d'entrée et de sortie ont subi le traitement antireflet décrit précédemment, est étirée (Figure 3) sous forme d'un cylindre de révolution d'axe Ox. Air (n = 1) Figure 3 - Démontrer que l'angle de pénétration d'un rayon lumineux dans la fibre d'indice N est ' indépendant de la couche d'indice n ', quelle que soit son incidence initiale. - Cette fibre est'gainée par une couche transparente d'indice N' = 1,30 dont l'épaisseur est très supérieure à la longueur d'onde. Expliquer et justifier la raison pour laquelle un rayon lumineux incident, situé dans un plan méridien et incliné d'un angle @ par rapport à l'axe, est conduit le long de l'axe sans jamais traverser la gaine. Avec le présent choix des indices, cette propriété est-- elle vérifiée quel que soit l'angle 9 ou existe--t-il une valeur limite pour 9 ? 4) Face de sortie focalisante _ La fibre étant utilisée en "monomode", c'est-à-dire en lumière paraxiale pour éviter les réflexions multiples, on recherche un profil de sortie (Figure 4) qui fasse converger vers un foyer F tout faisceau de lumière parallèle à l'axe Ox. Le calcul se fera en négligeant l'épaisseur de la couche antireflet. On désignera par S le sommet de la face de sortie et par f = SF la distance focale. La position du point d'émergence M sera repérée à l'aide de ses coordonnées polaires r et 9 . 4.1) - On considérera ci--après les chemins optiques mesurés jusqu'au point F , à compter d'un plan d'onde (PO) fixe, positionné en H0 sur l'axe optique, à l'intérieur de la fibre. Exprimer alors, en fonction de f , r , 6 et des indices, la différence (A) entre le chemin optique selon un rayon lumineux passant par le point courant M et le chemin optique relatif au rayon particulier confondu avec l'axe optique. X H() | s ' F (N) (n= 1) Figure 4 4.2) - Sachant qu'un foyer lumineux est un point où se superposent un grand nombre d'ondes en concordance de phase, traduire cette propriété par une condition relative à la différence (A). En déduire alors l'équation r = g(6) du profil de la face de sortie dans le plan de figure. Comment se nomme cette courbe '? 4.3) - Les fibres optiques utilisées en monomode ont un diamètre très faible, de l'ordre de 6 um. En supposant que la valeur maximalede la distance HM soit égale à 3 pm , en déduire la distance focale f puis la flèche (HS)max de la face de sortie, si l'on souhaite que le demi-angle au sommet du cône de lumière atteignant le foyer F , c'est-à--dire 7c -- 9 , ait pour mesure 30°. 5) Mesure d'une variation de vitesse giratoire 5.1) T ous les paramètres introduits ci--après le seront dans le référentiel héliocentrique galiIe'en. On considérera une tige de verre d'indice n et de longueur L en mouvement avec la vitesse V, tout d'abord dans le sens de propagation de la lumière (Figure 5. a), puis dans le sens inverse (Figure 5. b). On considérera que la vitesse V est très petite devant la vitesse de la lumière dans le vide c-- -- 3 108 m. S'1. 5.1.3) - L'expérience montre que pendant le temps t1 de la traversée du verre à co-courant (dans le même sens) la distance AOBI entre le point d'entrée de la lumière et son point d'émergence est parcourue avec la vitesse c 1 C1 : "'" + V 1 '-- î n n Pendant le même temps la tige s'est déplacée sur une distance telle que AoBo = V t] . Exprimer la distance AOB1 en fonction de L et de AOBO puis en déduire t1 en fonction des paramètres L, o, n et V. 0 l | | l A B() , A1 B1 A0 Bo A1 131 ? l ' l l l ! l l l | l l } | | | | | | | | | l | l I l . l l . : 1 c ...}. Instant t : Instant t WC{ : , _ : l l ! l ' HV ' :-->V | :. L ,* L___L___,È : | | | Figure 5.2! Figure 5.b 5.1.b) - L'expérience montre que pendant le temps t2 de la traversée du verre à contre-courant la distance A1BO entre le point d'entrée de la lumière et son point d'émergence est parcourue avec lavitesse c 1 c =------V 1---- Pendant le même temps la tige s'est déplacée sur une distance telle que A1B1 = V t2 . Exprimer la distance A1BO en fonction de L et de A1B1 puis en déduire t2 en fonction des paramètres L , c , n et V. 5.1.c) - En effectuant un développement limité au premier ordre en V/(nc) exprimer le décalage temporel At = t1 -- t2 entre les temps de transit dans la tige de verre dans l'un et l'autre sens. - En déduire le déphasage (b qu'auraient deux ondes cohérentes traversant le verre en sens opposés et dont la longueur d'onde dans le vide est donnée par ).0 . 5.2) Un montage astucieux consiste à remplacer la tige de verre par une fibre optique d'indice N, enroulée sur plusieurs tours et refermée de manière à amener en coïncidence les points d'incidence et les points d'émergence précédents. On arrive ainsi à faire circuler, en sens inverse dans la fibre, deux fractions dédoublées d'un même faisceau de lumière cohérente. Il suffit alors de superposer les deux fractions émergentes et de mesurer l'éclairement qui en résulte pour en déduire la vitesse de rotation du système. 5.2.a) - Tout l'ensemble dessiné (figure 6) est en rotation, avec la vitesse angulaire Q , autour d'un axe fixe passant par le point 0 et perpendiculaire au plan de figure. En s'inspirant du dispositif interférométrique de Michelson, préciser la position de la lame séparatrice. Fibre optique de longueur L (p spires) Coupleur Figure 6 5.2.b) - Le capteur est en fait une cellule photosensible qui mesure l'éclairement 6 (puissance moyennée dans le temps, reçue par unité de surface captrice), dû à la superposition des deux ondes émergentes. En supposant que chaque fraction du faisceau possède une même amplitude Ê , déterminer l'expression de l'éclairement EUR de l'onde résultante au point B en fonction des paramètres po , c , Ê et du déphasagecb . Expliciter ensuite ce déphasage en remplaçant la vitesse V par son expression en fonction du rayon R d'une spire et de la vitesse angulaire Q. Celle-ci devient alors mesurable sous certaines conditions. 5.2.c) - Exprimer la sensibilité |d6 / dQ)| et montrer qu'elle est d'autant plus grande que la - longueur L de la spire est grande, à condition toutefois que le déphasage soit optimisé. - Préciser la valeur du déphasage optimal et celle qui rend ce gyromètre "aveugle". 5.2.d) Dans le cas d'un réglage de phase optimal : - Préciser, en fonction de E , po et c , la valeur particulière 60 de l'éclairement défini précédemment. -- En supposant que c = 3 108 m.s*1 , Ào = 1,55 um et qu'en moyenne R w 10 cm , donner une estimation de la longueur de fibre et du nombre p de spires nécessaires pour mesurer une variation de vitesse angulaire égale à ôQ = 1 degré par seconde, sachant que la limite de sensibilité pour observer le contraste est telle que 86/ 60 = 5 % . *** PROBLÈME 11 - EFFET DE RÉVERBÉRATION Ce problème comporte trois questions indépendantes. - La première se rapporte à la propagation du son dans l'air. -- La seconde étudie le phénomène de réverbération qui apparaît lorsqu'à un signal sonore d'origine se superposent plusieurs échos réfléchis sur différents obstacles, l'ensemble donnant une impression de volume caractéristique du lieu d'audition. Pour ce faire, on se limitera & l'étude d'un seul écho - non atténué - additionné à un signal d 'origine sinusoi'dal. - La troisième question concerne un procédé particulier, anciennement utilisé, capable de reproduire artificiellement un écho avec un retard donné. ]) Propagation du son dans l'air Afin d'étudier la propagation des vibrations acoustiques dans l'air, on peut considérer que celui--ci est enfermé dans un long tube de section S , d'axe horizontal Ox , divisé lui-même en un grand nombre de compartiments de longueur LO renfermant chacun -- au repos - sous la pression PO , un volume V0 = S LO (Figure 1). Sous l'effet d'une perturbation d'origine externe, on peut imaginer que les cloisons de ces volumes élémentaires subissent au cours du temps t des déplacements ë(x,t) très petits devant LO . Bien que ces cloisons soient immatérielles, on peut attribuer à chacune d'elles toute la masse de gaz m0 contenue dans l'un des deux compartiments plus proches voisins. Leur mouvement peut alors s'étudier sous l'action des forces dues aux surpressions exercées à gauche et à droite, consécutives aux variations de volume des deux cellules plus proches voisines. Repos Mouvement ---->--1 u------->4 | I... ! lën-1l ën | | ën+l ! Figure 1 1.1) - Calculer à l'instant t , le volume des deux compartiments jouxtant la cloison de rang 11 positionnée en xn + fin : VG à gauche et VD -à droite. 1.2) On supposera que la pression P de l'air enfermé dans le volume V obéit àla loi de Laplace que l'on écrira sous la forme : " Y V0 1.2.a) - Exprimer le paramètre y en fonction des capacités calorifiques à pression et à volume constant. 1.2.b) - Enoucer les quatre conditions d'application de cette loi. Laquelle est--elle justifiée par la disproportion entre les constantes de temps acoustiques et thermiques '? Préciser comment. - Expliquer pourquoi l'on peut admettre ici que les transformations subies par l'air sont réversibles. 1.2.c) - En effectuant un développement limité au premier ordre, exprimer en fonction des paramètres ,y , PO , L0 et des déplacements ëi , la pression PG de l'air dans la cellule à gauche de la cloison de rang Il . 1.2.d) - Dans les mêmes conditions, exprimer la pression PD de l'air dans la cellule de droite. 1.2.e) - En déduire la valeur algébrique Fn selon l'axe Ox , de la résultante des forces agissant sur " " la cloison n 1.3) - Afin d'affiner l'analyse précédente, on peut remplacer le découpage en cellules discrètes de longueur L() par une répartition continue de cellules ayant chacune une longueur dx infiniment petite. Alors, la cellule de rang Il étant positionnée au repos à l'absciSse x , on peut, à un instant donné t, transposer fin en ë(x , t) , transposer E,n__1 en &,(x--dx , t) et ân+1 en ë(x+dx , t). Réécrire, dans ces conditions, la résultante des forces obtenue précédemment en "1.2.e" , laquelle devient alors une fonction continue infinitésimale que l'on écrira an .On pourra, par exemple, simplifier son expression en remplaçant &";(x--dx, t) et ë(x+dx, t) par des développements de Taylor limités au second ordre. hn ô"f n! ôxn X Rappel de laformule de Taylor f(x+h, t)== f(x, t) + nÎ1_ 1.4) - En désignant par no la masse volumique de l'air au repos sous la pression PO , écrire en projection sur l'axe Ox , au temps t , le principe fondamental de la dynamique pour la Cloison affectée de la masse % S dx , qui était positionnée au repos à l'abscisse x . En déduire que son déplacement E,(x , t) est régi par une équation de d'Alembert unidimensionnelle. 1.5.a) - Identifier la vitesse de propagation c du son en fonction des paramètres P0 , po et y . 1.5.b) - En faire le calcul numérique sous une pression PO d'une atmosphère (1013 hPa) et à 20°C , sachant qu'alors la masse volumique de l'air est égale à 110 = 1,2 kg.m"3 et que y = 1,4 . 1.5.c) - La vitesse de propagation du son dans le vide est-elle très différente de sa vitesse dans l'air '? Le son se propage--t-il plus vite dans les solides que dans l'air ou est-ce le contraire '? 2) Superposition de deux signaux sinusoïdaux identiques, décalés dans le temps 2.1) - Le signal acoustique original peut être converti sous forme d'une tension vo(t) et l'écho obtenu artificiellement au moyen d'une copie vr(t) reproduisant la tension vo(t) retardée d'un temps 't . L'effet de réverbération est alors obtenu en réalisant la somme vS = v0 + vr puis en l'appliquant après amplification à l'entrée d'un haut--parleur. Déterminer en fonction de la valeur R des résistances schématisées Figure 2 , la valeur de la résistance X qui permet de réaliser un montage sommateur à amplificateur opérationnel tel qu'en sortie : vS = V0 + vr . On supposera que l'amplificateur fonctionne en régime linéaire et qu'il est idéal : préciser les simplifications qui résultent de l'ensemble de ces hypothèses. Figure 2 /\ A ' 2.2) ---- En supposant que vo(t) = V cos tot et que vr(t) : V cos (out -- 't) _ exprimer la tension de sortie vs(t) du montage puis sa valeur efficace VS en fonction de 00 , 't et de la valeur efficace V0 du signal v0(t). 2.3) - Représenter la transmittance T= VS / V0 en fonction de la fréquence. - Définir l'ensemble des fréquences pour lesquelles la tension de sortie sera nulle. - Situer sur le graphe l'ensemble des bandes passantes définies à -- 3 dB. 2.4) - Quelles sont approximativement les limites de la bande de fréquences auxquelles l'oreille humaine est sensible '? - - Si l'on souhaitait que toutes les fréquences inférieures à 20 kHz appartiennent sans interruption à une même bande passante définie à -- 3 dB , quelle serait la valeur maximale du retard acceptable ? Ce filtrage-ci privilégierait-il les graves ou les aigus '? 3) Reproduction artificielle électromécanique d'un écho 3.1) - En considérant que le son se propage à raison de 340 m/s, calculer le temps de retard ressenti par l'oreille, pour un son réfléchi qui a parcouru, dans l'air, 17 mètres de plus que par le trajet direct. 3.2) -- On peut provoquer artificiellement ce retard grâce à un moyen électromécanique, en construisant des dispositifs (Figures 3.a ou 3.b) dans lesquels les vibrations de la membrane d'un haut--parleur actif (alimenté par un amplificateur) se propagent le long d'un ressort à boudins. Dans le cas de la figure 3.a, le ressort transmet les vibrations à la membrane d'un haut--parleur passif. Dans le cas de la figure 3.b, les vibrations reviennent interférer sur l'émetteur après réflexion sur un obstacle immobile. Châssis Figure 3.a . Figure 3.b On se limitera dans ce qui suit au cas de la Figure 3.a Afin d'étudier la propagation des vibrations d'un haut--parleur à l'autre, connaissant la masse M , la longueur L et la raideur K du ressort de liaison, on peut modéliserce ressort" selon une succession de masses dM séparées par des liaisons élastiques identiques (quant à elles dépourvues de masse), de longueur au repos dx et de raideur individuelle k (Figure 4). On peut imaginer que ces masses effectuent, à partir de leurs positions d'équilibre respectives x--dx , x et x+dx , de petites oscillations ê(x--dx , t) , E__(x , t) et ë(x+dx , t) , comptées positivement dans le sens de l'axe Ox . Exprimer, à l'instant t , la résultante dFe des forces élastiques qui s'exercent sur la masse dM en mouvement autour de l'abscisse x . On pourra - comme en (1.3) - simplifier l'expression obtenue en faisant usage de développements de Taylor limités au second ordre. '----æ<--------+dxdx} ' dM dM ' dM Repos WWW--W k : k } k : k O+--------------------------*------>x | . | | ' | ' | ' | ' | ' | | . Mouvement | M...... | : | Ï------>| %--------» | { -------->| ël(x -dx ,t) 2';(x,t)l È(x +dxl , t) Figure 4 3.3.a) -- Un nombre N de ressorts en série, de longueur L0 et raideur k est équivalent à un ressort unique de longueur L = N L() et de raideur globale K : démontrer que K = k/N . - A partir de ce résultat, exprimer k en fonction de K , de L et de dx . 3.3.b) - Ecrire, en projection sur l'axe Ox , le principe fondamental de la dynamique qui régit le déplacement ë(x,t) , abstraction faite des frottements. Simplifier cette équation en remplaçant k par l'expression qui vient d'être trouvée et la masse dM par son expression en fonction de M , L et dx. 3.3.c) -- Faire apparaître une équation de d'Alembert et identifier la vitesse de propagation c' des ébranlements dans le ressort. Montrer que le retard 't de l'onde transmise entre les deux haut- parleurs peut se déduire de la connaissance de K et de M exclusivement. 3.3.d) - En supposant que le ressort ait une raideur globale K = 24 N/m et une masse linéique égale à 2 g/cm , calculer sa longueur L afin de simuler le retard considéré plus haut (3.1). Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Antoine Senger (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Ces derniers se décomposent en sous-parties quasiment autonomes qui abordent plusieurs aspects essentiels du programme de PC. · Le premier problème propose l'étude détaillée d'une fibre optique. Le début, très proche du cours, s'intéresse à la propagation des ondes dans les diélectriques. On calcule alors les coefficients de réflexion et de transmission à l'interface entre deux diélectriques. Le principe de la couche anti-reflet est ensuite traité de manière originale. La partie se termine sur des considérations d'optique géométrique et ondulatoire avec l'étude de l'interféromètre de Sagnac. · Le second problème est plus court et aborde tout d'abord un modèle original modélisant la propagation du son dans l'air. La simulation du phénomène d'écho est ensuite réalisée à l'aide d'un montage électronique à amplificateur opérationnel. Le problème se termine par une étude de la propagation du son le long de ressorts. L'ensemble est long mais reste accessible même si certaines questions ne sont pas faciles. Il n'est pas nécessaire de traiter linéairement le sujet puisque les huit sousparties peuvent être résolues indépendamment et constituent une série d'exercices de longueur et de difficulté variables. Les candidats ont dès lors intérêt à traiter en priorité les exercices qui leur semblent les plus abordables et à avancer le plus possible dans les problèmes. Indications Partie I 1.2 Ne pas donner la relation de passage qui concerne la composante normale du champ électrique. 1.4.b Remarquer que le champ réfléchi se propage selon -- u pour utiliser la relation x de structure. 2.3.a Exprimer Ep (, t - 2D/v) en fonction de Ep (, t). 2.3.c Simplifier à l'aide des relations montrées à la question 2.2.b. 2.4.c Utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour traiter le bout de ligne par analogie avec l'entrée. 3 Montrer que la condition de réflexion totale à l'interface fibre-gaine est vérifiée dans le cas = /2. 4.2 La concordance de phase correspond à une différence de chemin optique nulle. 2 en considérant que 5.2.b Calculer cos t + cos(t - ) hcos ti = 0 et cos2 t = 1 2 5.2.c Le réglage est optimal lorsque |sin | = 1. Partie II 1.2.c Si || 1, (1 + ) 1 + . 1.4 Bien remarquer que L0 = dx. 1.5.c Le son se propage-t-il dans le vide ? 2.1 Utiliser le théorème de Millman aux entrées - et +. 2.2 On rappelle que la valeur efficace de la fonction f est l'indication de la question 5.2.b de la première partie. p hf 2 i. Utiliser alors 2.4 La bande passante à -3 dB est l'ensemble des fréquences telles que T(f ) > Tmax / 2. 3.3.a Utiliser le principe des actions réciproques pour justifier que la force de rappel est constante le long des N ressorts en série. L'allongement du ressort équivalent est la somme des N allongements. I. Fibre Optique 1.1.a Rappelons les équations de Maxwell dans le vide dans lequel il n'existe ni - charges ( = 0), ni courants (- = 0 ). div div - E =0 - B =0 - B - - rot E = - t - - - rot B = µ0 0 E t Maxwell-Gauss Maxwell-flux Maxwell-Faraday Maxwell-Ampère 1.1.b Les formules d'analyse vectorielle donnent -- - - - - - - rot rot E = grad (div E ) - E = - E Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday - - - - - B rot rot E = - rot t En dérivant l'équation de Maxwell-Ampère par rapport à t et en permutant dérivées temporelle et spatiale, on obtient alors - - 2 E E = 0 µ0 2 t Le champ électrique obéit à l'équation de d'Alembert tridimensionnelle avec 1 c= 0 µ0 1.1.c Dans un diélectrique linéaire homogène et transparent de permittivité relative r , l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit - - E - rot B = µ0 r 0 t 1.1.d On obtient, en raisonnant comme à la question I.1.b, l'équation de propagation du champ électrique - - 2 E E = 0 r µ0 2 t C'est une équation de d'Alembert avec une vitesse de propagation 1 c v= =p 0 r µ0 /0 La vitesse de p propagation est telle que v = c/n où n est l'indice optique du milieu. Le rapport /0 est donc l'indice optique du milieu. 1.2 En l'absence de courants surfaciques, les relations de passage à la surface de séparation entre deux diélectriques s'écrivent pour la composante tangentielle du champ électrique et pour le champ magnétique - - E T2 = E T1 et - - B2 = B1 L'énoncé indique qu'il n'y a ni charges, ni courants ; il s'agit bien sûr de charges et de courants non liés. Des courants et charges de polarisation sont a priori présents. Seule la relation de passage concernant les composantes tangentielles du champ électrique est au programme de PC dans l'étude des diélectriques. La relation concernant les composantes normales est hors programme. Pour information, elle s'écrit - - 1 EN1 = 2 E N2 1.3.a L'onde est · plane puisque le champ est uniforme dans tout plan perpendiculaire à la direction de propagation x ; · progressive et se propage selon les x croissants car le signal est de la forme f (t - x/v1 ) ; · harmonique puisque la fonction f est sinusoïdale. Rappelons que l'onde se propage vers les x croissants car le signal f (x, t) en un point x à l'instant t est identique à f (x + x, t + t) en x = v1 t car x + x x f t + t - =f t- v1 v1 1.3.b La relation de structure caractérisant la propagation d'une onde plane progressive selon - u x dans un milieu transparent d'indice n1 est - - - - n1 - ux E u x E B = = c v1 Rappelons qu'on retrouve rapidement cette relation de structure en écrivant en notation complexe l'équation de Maxwell-Faraday. Le champ magnétique est donc b - E x - Bi = cos t - u z v1 v1