CCP Physique 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Transmission entre deux arbres. Effet Hall.
Principaux outils utilisés induction, couples mécanique, équations de Maxwell dans un conducteur

Corrigé

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A SESSION2002 coucouas communs rorvrscumou:s PCP2009 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLEME I - TRANSMISSION ENTRE DEUX ARBRES Deux disques conducteurs identiques de rayon a, sont solidaires de deux arbres de rayons négligeables, non couplés l'un à l'autre et coaxiaux. Les deux disques se trouvent dans un champ magnétique, Ë : Bi, uniforme, invariable dans le temps. Les arbres sont reliés électriquement par un fil conducteur, aussi bien que les périphéries des disques, formant ainsi un circuit fermé, de résistance R (Fig. 1). Le premier disque reçoit une puissance mécanique P... et tourne à la vitesse angulaire a} : col uz , tandis que sur l'arbre du deuxième disque, on applique un couple résistant de moment C, : --CfuZ et il tourne en régime permanent a la vitesse angulaire 602 = (02 u, . On note ], le moment d'inertie d'un disque par rapport à son axe. Tournez la page S.V.P. 1. Forces électromotrices. 1.1 En utilisant la circulation du terme (ÇAË) le long du "rayon actif" 01A1 (en pointillés sur la fig. 1) du premier disque, exprimer la force électromotrice e1 induite sur ce rayon, en fonction de a),, a et B . Préciser clairement la convention utilisée pour définir 61- 1.2. Conduire la même démarche pour le calcul de l'expression de la force électromotrice @, induite le long du "rayon actif" ()2A2 du deuxième disque, en fonction de (02, a etB, en précisant également la convention utilisée pour définir @, . 1.3. Exprimer l'intensité induite i parcourant la résistance R. 2. Force et couple. 2.1. En déduire la force de Laplace E,: exercée sur le rayon O2A2. Quel est son point d'application '? La représenter sur un schéma. 2.2. Exprimer le moment de E,: , noté 6î , par rapport au centre 02 du deuxième disque. 2.3. Exprimer puis calculer la vitesse de rotation a), du deuxième disque, en régime permanent, en fonction de a),, Cf, a et B. 2.4. En déduire la valeur maximale C...... du couple résistant ; la calculer numériquement. A.N.: B=lT a=lOcm a)1 : 104,6 rad/s R=Q2Q C, = 10'2 Nm 3. A l'instant t = 0, on supprime le couple résistant sur le deuxième disque et on maintient la vitesse de rotation du premier disque constante : (()1 = Cz)... = constante et C = 0. 3.1. Déterminer (()2 (t) en fonction du temps, si à t = O, 602 (O) = 6020 a2 2 Bz On posera O! = -- ---- 2 R] A.N. : ]: 2,5.10'2 l 0 (fig. 1). Elle est alors placée dans un champ magnétique uniforme B : Buz avec B > O créé par des sources extérieures. Le champ magnétique créé par le courant dans la plaque est négligeable devant Ë . Fig. 1 On suppose qu'en présence du champ magnétique Ë , le vecteur densité de courant est toujours égal à ? = JLZ . I.1 Exprimer le vecteur vitesse l7 des électrons dans la plaque en fonction de ?, n et @. Montrer .... qu'en présence du champ magnétique B en régime permanent, il apparaît un champ électrique appelé champ électrique de Hall Ë,, : --1----Î A F . ne Exprimer les composantes de E ,, . 1.2. On considère deux points 1 et 1' en vis-à--vis des faces A et A' de la plaque. Calculer la différence de potentiel UH : V( 1)-V( 1') appelée tension de Hall. Montrer que UH peut s'écrire : C UH ='--ÉLIB Expliciter la constante C H. A.N. : Pour l'antimoniure d'indium1n Sb CH : 375.10Î6m3.C_1 I=O,lA h=O,3mm B=IT _ , . , . , 3 Calculer UH a1ns1 que la densrte volumique n, en electrons/m . 1.3. On veut établir la loi d'Ohm locale, c'est--à-dire, la relation entre le champ électrique Ë dans la plaque et la densité du courant Î en présence du champ magnétique Ë . \ Soit Ë'=E'LÎQ la partie du champ électrique colinéaire a ] . On pose Î=O'Ë', 0" étant une grandeur positive. Quelle caractéristique du matériau de la plaque O' représente--t--elle '? Montrer qu'en présence du champ magnétique, on a ? = O'(Ë -- C H ? /\ Ë) . ---+ 1.4. Tracer dans un plan xOy de la plaque les vecteurs --ïÏ--, Ë et CHÎAË et les lignes O' équipotentielles en présence puis en absence de champ magnétique. Faire deux figures en vue de dessus par rapport à la figure 1. 1.5. Soit 6 l'angle entre les vecteurs ? et Ë. Montrer que l'angle 9 ne dépend que de B et du semi-- conducteur. Préciser le domaine de définition de 6 pour le semi-conducteur étudié. 1.6. On veut utiliser la plaque pour mesurer l'induction magnétique B, en mesurant la tension de Hall U H . Il faut donc qu'en absence du champ magnétique U H (B = O) = U HO = 0. Pour cela, il faut souder deux fils conducteurs exactement en vis-à-vis. C'est un problème difficile, vu les dimensions de la plaque. Proposer un schéma de montage, utilisant un potentiomètre, ainsi que le protocole expérimental qui permet d'avoir U H 0 = O . Il. Régime variable dans la plagne On considère une longueur infinie de la plaque selon l'axe des x. Elle est située dans un champ magnétique produit par des sources autres que le courant électrique dans la plaque et que l'on appellera champ magnétique extérieur. Ce champ magnétique extérieur varie dans le temps. Dans un premier temps, la plaque n'est connectée à aucun circuit électrique : on dit que le courant de commande est nul (fig. 2) Tournez la page S.V.P. On veut déterminer la densité volumique du courant électrique et le champ magnétique dans la plaque. On étudiera ensuite l'effet de ces courants sur la tension de Hall. Soit ËZ, Ë et Î les champs suivants : B : Be(t)Z le champ magnétique extérieur, EUR Ë : B( y,t)1î le champ magnétique dans la plaque, __. J = ] ( y,t)Zaî la densité volumique du courant électrique induit dans la plaque. On considère cette fois que le champ magnétique créé par les courants volumiques de la plaque n'est plus négligeable. La densité volumique des charges électriques dans la plaque est nulle. Les propriétés 50 et #0 de la plaque sont celles du vide. 11.1. Ecrire les quatre équations de Maxwell dans la plaque. On considère le régime quasi- stationnaire ; préciser l'approximation qui en découle. 11.2. En déduire div 7 dans la plaque. 11.3. Exprimer rot? en fonction d'une dérivée partielle de Ë en supposant que la loi d'Ohm locale établie en 1.3. est toujours valable. De cette expression de rot] et de l'une des équations de Maxwell, déduire deux relations liant B( y, t) et J(y,t) ou leurs dérivées partielles. 11.4. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par J( y, t). On se place en régime harmonique : Be : Boys/î cos (OIL--£: et _. Î = J(y)ficos(wt + ça(y)) ux A une fonction A(y,t)=A(y)ficos(afi+ça(y))=Re{fiA(y)ejw(ÿ)ew}, on associe l'image ' A . . . . A complexe _A_(y) = A(y)efæm . Donc à a--, on assoc1e 1604 et a êê--, on assoc1e £. dt dy dy wa On pose 0! : 'u°2 et k2 : jw,u00' 11.5. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par l'image complexe de la densité volumique de courant 1( y ). A une date quelconque t, J(y,t) est une fonction impaire de y. Donner la relation liant J(--y) à J( y ), celle liant (p(--y) à ça(y) et celle liant l(y) à _J_(--y). En déduire la solution 1( y ) de l'équation différentielle à une constante multiplicative près. En raisonnant sur les symétries, justifier la parité de J( y, t ) par rapport à la variable y. 11.6. A partir de la solution 1( y ), donner l'expression de _3( y ). Quelle est la parité de cette fonction ? Justifier qualitativement que _lî (i%) : Boe En déduire l'expression complète de l ( y) et de _B_(y) . 11.7. On considère maintenant que la plaque est connectée à un circuit. Elle est traversée par un _ [ _. \ courant de commande constant d'intensité I et de densité uniforme JO O=BBu se superposant a la densité de courant calculée ci-dessus. Ce courant produit dans la plaque un champ magnétique BO . Justifier que BO = B0(y)iiZ . Quelle relation lie BO(--y) à B0(y) ? Quelle est la valeur de BO(O) ? dBO . d : "OJO. Exprimer alors B0(y). Y Montrer que 11.8. Justifier que la tension Hall instantanée a pour expression : b UH (t) = CH Î(JO + ](y,t))(Bo(y) + B(y,t))dy _2 2 +b/2 Montrer que UH (t)-- ---- ------[BO ( y)B( y t)]_})/2 et exprimer la valeur efficace de la tension de Hall UH6 "0 en fonction de CH, 11, I et Boa. Proposer une conclusion. III. Effet ioule dans la plaque Si les courants induits ne modifient pas la tension de Hall, par contre ils limitent le domaine de fonctionnement de la sonde de Hall. On est toujours dans le cas d'un régime harmonique pour le champ Ê=B [cos cut u et la plaque est traversée par le courant de commande d' intensité I. B()L 111.1. Exprimer la puissance Pn dissipée par effet Joule sur une longueur EUR de la plaque en fonction de O', 1, h, b, et EUR , lorsque BW = 0. 111.2. La loi d'Ohm locale établie en 1.3. étant toujours applicable, montrer que la puissance moyenne P( y ) de l'effet Joule en un point quelconque de la plaque est égale à la somme P 1 + P2( y ) de la puissance P; de l'effet Joule dû à îo et de la puissance moyenne de l'effet Joule P2( y) dû aux courants Î induits dans la plaque. 111.3. Pour déterminer P2( y ) on suppose que le champ magnétique créé par les courants induits dans la plaque est négligeable devant le champ magnétique extérieur B -- --B (t)u. 31 83, Donner la relation liant --(y, t) et dy dl . En déduire J(y), puis P2(ÿ) en justifiant que J(O) : 0 111.4. Exprimer en fonction de O', B06, h, b et EUR et de la fréquence f, la puissance moyenne Pn dissipée par effet J oule dû aux courants induits pour une longueur EUR de la plaque. Tournez la page S.V.P. 111.5. En régime stationnaire, la puissance totale PT : PTI + Pn sera dissipée vers l'extérieur par transfert thermique. La puissance du transfert thermique est égale à aSAT : a est le coefficient de transfert thermique exprimé en W.m'2 .K'1, S est la surface d'échange entre la plaque et l'extérieur, h étant négligeable devant EUR et b. AT est l'écart de température entre la plaque et l'extérieur. En imposant AT, exprimer l'intensité I du courant de commande en fonction de &, AT, O', 17, h , fet Bag. 111.6. On appelle I,, l'intensité du courant de commande pour cette valeur de AT lorsque le champ magnétique extérieur Ë. est indépendant du temps ou nul. . I , ,. . , , . . . . , , Exprimer le rapport -- , I etant lmtens1te def1n1e a la quest10n precedente. ISI AN: h : 3,0.10'4 m b : 3,0.10'3 m B.... =0,10 T a = 40 W.m'2.K'l AT=25K Pour In Sb: a : 2,0.104 ..." Calculer la fréquence f pour laquelle --I-- = 0,5. I S! Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 2 PC -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Éric Armengaud (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce sujet se compose de deux problèmes distincts : · Le premier considère deux arbres reliés électriquement et étudie les moyens de transmettre un couple entre eux uniquement à l'aide des courants induits. Il commence par une étude en régime permanent suivie d'une étude dynamique. Ce problème permet, grâce à des questions de difficulté croissante, de travailler sur l'induction et la notion de couple. · Le second problème propose une modélisation de l'effet Hall dans un conducteur afin de comprendre le fonctionnement d'une sonde de champ magnétique. Il commence par une modélisation en régime permanent, s'intéresse ensuite à ce qui se passe dans le cas d'un champ extérieur variable, pour finir avec une estimation de la chaleur dissipée et de la variation de température que cela entraîne. C'est un problème assez complet pour travailler sur les champs magnétiques, leurs symétries, les équations aux dérivées partielles et la notation complexe. La majorité des questions sont relativement simples ; quelques-unes, plus délicates, demandent de prendre des initiatives. En outre, deux questions de ce problème reposent sur une supposition assez discutable de l'énoncé, ce qui ne rend pas les choses faciles. Indications Premier problème 2.1 Remarquer que le champ des forces de Laplace est uniforme. 4.1 Écrire le théorème du moment cinétique pour chacun des disques, et introduire . 4.2 Prendre la somme des équations obtenues à la question 4.1. 4.3 Penser à faire un bilan d'énergie. Second problème I.1 La force de Lorentz dévie les électrons sur les bords et engendre une accumulation de charge sur les bords, ce qui crée un champ électrique. Calculer sa valeur à l'équilibre. - - I.3 Exprimer E en fonction du champ total E et reporter le résultat dans la loi d'Ohm. I.6 Montrer que mettre un potentiomètre entre deux points le long du même côté permet en quelque sorte de « déplacer » la soudure. II.2 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère. - II.5 Pour justifier la parité de J , remarquer que le système est laissé invariant par une symétrie axiale. II.6 Écrire les relations de continuité du champ en y = ±b/2. - - II.7 Supposer que h b et que cela se traduit par B0 = B0 (y). II.8 Pour calculer UH , ne pas expliciter B et B0 mais utiliser les questions II.3 et II.7. Exprimer le résultat en fonction de h et non de n. III.1 Écrire la résistance du conducteur envisagé en fonction de sa conductivité. III.3 Utiliser un résultat de la question II.3 et justifier que J(0) = 0 de la même manière qu'à la question II.5. III.5 Ne pas oublier que la plaque a deux côtés ! Premier problème Transmission entre deux arbres , - - Pour plus de clarté, on note - u r u et uz les vecteurs de base des coordonnées cylindriques d'axe (O1 O2 ). 1. Forces électromotrices 1.1 En se plaçant dans le référentiel du disque, on observe un champ électrique - - E induit = - v B où - v est la vitesse du point considéré dans le référentiel du laboratoire. Cette formule n'est vraie que pour un changement de référentiel galiléen ­ et pour des vitesses faibles. Cependant, on peut à chaque instant attacher un référentiel galiléen à chaque point de la roue, ce qui permet d'étendre cette relation à notre cas qui n'est pas galiléen. - - dV = - E · d Puisque on a V(A1 ) - V(O1 ) = Z = Z O1 - - E induit · d A1 O1 - - - v B · d A1 - - v =- r = r 1 - u 1 Comme - - - ) = r B - v B = r 1 B (- u u u z 1 r on a Ici, l'énoncé nous demande explicitement de calculer cette intégrale le long du rayon O1 A1 . Il convient cependant de vérifier qu'elle ne dépend pas du - chemin d'intégration. E induit est radial et ne dépend que de r, son rotationnel est donc nul. Il s'agit bien d'un champ dérivant d'un potentiel ­ son intégrale le long d'un chemin ne dépend que des points initial et final. On veut calculer une force électromotrice. On travaille donc en convention générateur (flèches orientant le courant et la tension dans le même sens). e1 est donc la différence de potentiel entre A1 et O1 . Comme on intègre le long du rayon O1 A1 , on a - d = dr - u r Z a donc e1 = V(A1 ) - V(O1 ) = 1 B r dr r=0 c'est-à-dire e1 = 1 B a2 2 1.2 On obtient avec le même raisonnement qu'à la question précédente a2 2 Cependant le courant traverse le disque dans l'autre sens, donc en conservant la convention générateur, on a V(A2 ) - V(O2 ) = 2 B e2 = V(O2 ) - V(A2 ) e2 = -2 B a2 2 1.3 Le circuit total est équivalent à i On en déduit e1 R d'où Ri = e1 + e2 i= B a2 (1 - 2 ) 2R e2 2. Force et couple - 2.1 La force de Laplace qui s'exerce sur un élément de conducteur d traversé par un courant i est donnée par - - - d FL = i d B - où i est compté positivement s'il va dans le sens de d . Ici, on modélise la distribution de courant sur le disque par une ligne de courant le long de [O2 A2 ]. En intégrant de A2 à O2 , on obtient la force sur tout le rayon Z O2 - - - FL = i d B A2 =i Z O2 A2 ! - - d B --- - = iA2 O2 B - FL = i B a - u - Ici, on intègre de A2 à O2 pour que i soit dans le sens de d .