CCP Physique 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude d'un transformateur d'impulsions. Étude des guides d'onde diélectriques.
Principaux outils utilisés électrocinétique, transformateur, diodes, propagation d'ondes électromagnétiques, relation de dispersion

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SESSION 2001 PCOO8 A CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC PHYSIQUE 2 DURÉE : 4 heures L'utilisation des calculatrices est autorisée -Les deux problèmes sont indépendants PROBLEME I - ETUDE D'UN TRANSFORMATEUR D'IMPULSIONS Le transformateur étudié sert à déclencher la conduction des thyristors dans les montages d'électronique de puissance. Le primaire et le secondaire ont chacun le même nombre de spires N. Les caractéristiques de chaque enroulement, inductance propre et résistance, sont L = 2 mH et r = 1,2 mQ. Pour deux bobines couplées, si les courants il et i2 ont le même sens par rapport aux bornes marquées (homes homologues -- figure 1), l'inductance mutuelle L12 est positive. i A i l 2 r----+--' L. É -L On note |L12| : |L21| : M . Fig. 1 Le couplage entre les enroulements est parfait, c'est--à-dire L = M (M étant l'inductance mutuelle). Le noyau du transformateur est en ferrite dont on idéalisera la caractéristique d'aimantation par la courbe donnée sur la figure 2. Fig. 2 H [Nm] (l)(t) représente le flux magnétique à travers une section droite du circuit magnétique. Les inductances propres L et mutuelle M ne sont définies qu'en dehors de la zone de saturation. Tournez la page S.V.P. 1.1 Etude à vide (iS : 0) Les notations sont définies sur la figure 3. Fig. 3 V est une tension positive fixe et l'interrupteur k est réalisé par un transistor bipolaire. 1.1.1 A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur k. Exprimer la tension up(t) et le courant ip(t), en déduire le flux (l)(t) et la tension secondaire us(t) en fonction de V et des caractéristiques du transformateur. On négligera pour cette étude la résistance de l'enroulement et on considérera qu'à t = O, ip : iS : 0 (conditions initiales). 1.1.2 Le flux croît alors jusqu'à saturation du circuit magnétique. Exprimer le produit (V.tmax) en fonction de 4).... Le fabricant donne V.tmax : 400 V.us. En déduire la valeur de tmax pour V = 10 V et calculer la valeur de ipmax qui correspond à t,.... 1.1.3 On veut prévoir ce qui se passerait si l'interrupteur k restait fermé au--delà de t...ax. Quelle serait alors la valeur de uS ? Montrer qu'il est nécessaire de tenir compte de r pour calculer ip ; quelle est la valeur de ip ? 1.1.4 A l'instant tl : t...... on ouvre l'interrupteur k. La diode D a une tension de seuil VS : 0,8 V et une résistance interne négligeable (figure 4). u diode idéale 3 Fig. 4 Donner le schéma équivalent du circuit qui permet de calculer ip(t) pour t _>_ tl (on prend en considération la résistance de l'enroulement). - 1.1.5. Ecrire la loi des mailles dans ce circuit. En déduire l'expression de ip(t) pour t 2 tl. 1.1.6 A l'instant t2 le courant ip s'annule. Donner l'expression de td : t2 -- tl. Calculer la valeur numérique de td. 1.1.7 On ajoute une diode zener en série avec D, ce qui a pour effet d'augmenter le seuil de conduction à la valeur (VS + V,). Calculer td pour VZ : 6,8 V. Conclure. 1.1.8 Dans ce cas, calculer uS(t) et représenter pour t E [O, 100 us] l'allure des courbes ip(t), up(t) et us(t). ' 1.2 Etude en charge pour t 5 t1 Le montage à étudier est donné dans la figure 5 . L=2mH r=1,2m£2 R=lOOQ V=IOV M = L (couplage parfait) Fig. 5 D est une diode de commutation idéale. A t = 0, on ferme l'interrupteur k. 1.2.1 Ecrire la loi des mailles pour le primaire et le secondaire du transformateur avec ip(O--)=is(O-)=O 1.2.2 Le flux magnétique (1) étant une fonction continue de t, montrer que ip(o+) : is(o+). Déterminer ip(o+) en utilisant les équations de 1.2.1. 1.2.3 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par ip(t). 1 1.2.4 On note 1: = ---- ( Mr r+R + L). En déduire ip(t) et is(t). r 1.2.5 Exprimer us(t). Calculer us(t) pour t : t1 : 40 ps. Conclure. 1.2.6 L'interrupteur k est ouvert à l'instant tl ; expliquer le rôle de la diode D1 pour t 2 tl, en s'appuyant sur le résultat de la question 1.1.8 concernant us. Tournez la page S.V.P. PROBLEME II - ETUDE DES GUIDES D'ONDE DIELECTRIS 2UES Le développement des communications avec des fibres optiques confère aux guides diélectriques une importance croissante. Le guide d'onde diélectrique plan est beaucoup utilisé en optoélectronique pour réaliser des coupleurs, des circuits résonants, etc. Les guides diélectriques sont des guides ouverts, pour lesquels la propagation des ondes \ électromagnétiques monochromatiques a lieu pour une fréquence supérieure a une fréquence de seuil. A l'extérieur du guide plan a lieu la propagation d'une onde de surface, à distribution exponentielle dans une section transversale, onde qui se concentre à la surface de séparation des milieux au fur et à mesure que la fréquence augmente. Les nombres d'onde critiques sont fonctionde la fréquence de travail. Toutes ces propriétés seront illustrées dans ce qui suit. On considère une plaque diélectrique dans l'espace vide (figure 1). O'], O'2 et O'3 : conductivités électriques Er : permittivité relative 80 : permittivité absolue du vide ,u0: perméabilité absolue du vide Fig. 1 La composante EZ du champ électrique Ê=Eyuy +E,ü, d'une onde électromagnétique monochromatique de pulsation (0 se propageant dans la direction uZ s'écrit généralement sous la forme : Eze'"z cos< oet -- BZ) = Réel {Eze'<""mz e' °° '} Onnote Ï =a+jB avec a>o et B>o : constante de propagation constante d'atténuation ! a : B = constante de phase et _EZ : Ez(y)e _ÏZ est l'image complexe de Ez(y,z,t) Pour une onde non atténuée y : jB (a = o). 11.1 A partir des équations de Maxwell, déterminer l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ électrique Ë et montrer que l'équation différentielle satisfaite par l_E_Z dans le domaine (1) s'écrit : d2...Ezl 2 v - - 2 + k] E21=0 k1 : nombre d onde cr1t1que dy _ Expliciter kÎ en fonction de y,oe,8, ,un. II.2 Déterminer E en fonction de deux constantes A1 et A2 en considérant kÎ > o. __zl 11.3 Justifier sans calcul que E_Zz(y) et E_z3(y) satisfont chacune à une équation différentielle analogue à En (y) où k1 est remplacé respectivement par k2 et par k3. On choisit k2 : k3 =jK avec K > 0. Déterminer les expressions de Ezz(y) pour y > a (domaine 2) en fonction d'une constante A2 et de EZ3( y) pour y < 0 (domaine 3) en fonction d'une constante A3. Justifier le choix de k2 et k3. 11.4 En considérant les expressions de fdtÊ et f(ÏtË, avec Ë=Bxux, déterminer Eyl'-Bxl ; Ey2,fixz ; Ey3,_läx3, images complexes des composantes du champ électrique Ë et du / - _. - \ , , . .. a . champ magnétique B. On cons1dere les ondes non attenuees su1vant uz, donc -à-- ----> -- JB. On 2 conservera A1, A2, A3, A4, k1 et K comme paramètres de l'onde de pulsation 0). 11.5 Ecrire les conditions de passage en y = a et y = 0 pour les composantes EZ et Ey du champ électrique. II.6 De la question ILS, déduire le système linéaire vérifié par A1 et A3. Montrer que pour obtenir des valeurs non nulles pour A1 et A3, il est nécessaire que les nombres critiques satisfassent la relation : k1 KS ,. on posera tg (p : -- [1.7 On note {lea : q7r Ka : m Montrer que q et r doivent satisfaire le système : ' 2 2 2 (la = ---- --1 q+r LÂ](Er ) 0 75 Cl t ----=--- gq2 r8 ,... Tournez la page S.V.P. \ C 2 1 ou XO = --9-- avec c() = f EUR0"0 7t0 = longueur d'onde dans le vide d'une onde plane monochromatique de fréquence f. 11.8 Pour q = n (entier impair > O), déterminer la valeur de r et en déduire la plus petite fréquence fS et la plus grande longueur d'onde kos pouvant encore se propager dans le guide, en précisant pour quelle valeur de n elles sont obtenues. 11.9 Si on note 7tod : Ji, montrer que la longueur d'onde % = % d'une onde non atténuée se 8I' propageant dans le guide, pour f > fs, s'écrit : 11.10 Utilisant les questions antérieures (ILS, 11.6, 11.7), déterminer les composantes de E et de E dans les trois domaines, en fonction de la constante que multiplie sin k1y dans l'expression de EZ], de r, q, Xo,c0, EUR,. 11.11 Que deviennent ces composantes pour r = 1 et f : fs ? Quels types d'ondes se forment dans les domaines (2) et (3) ? Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 2 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) et Jean-David Picon (École Polytechnique) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants. · Le premier problème étudie un transformateur d'impulsions destiné à déclencher la conduction des thyristors dans les montages électroniques de puissance. La première partie caractérise les propriétés du transformateur à vide, c'est-àdire quand l'intensité dans le secondaire est nulle. La seconde utilise les résultats de la première partie pour l'étude complète du transformateur. · Le second problème est consacré à l'électromagnétisme et plus précisément à l'étude d'un guide d'onde diélectrique. On étudie un guide d'onde plan. Le guide étant limité transversalement, l'onde qui s'y propage ne peut être plane. On suppose par conséquent que l'amplitude - - des champs B et E dépend de y. On utilise alors les équations de Maxwell pour déterminer la forme de cette dépendance. Puis, grâce aux conditions de passage, on trouve les fréquences qui peuvent se propager dans le guide et on achève le calcul des constantes d'intégration. Le sujet n'est pas particulièrement difficile mais sa résolution est rendue plus compliquée par quelques incohérences dans l'énoncé. Indications Premier problème I.1.1 Le flux s'écrit a priori = Lip + Mis mais is est nul et L = M. I.1.4 Montrer que la diode D est passante après ouverture de l'interrupteur. I.2.1 Attention, is a changé de sens ! Le flux dans la bobine du primaire s'écrit désormais 1 = Lip - Mis et celui dans la bobine du secondaire 2 = -Lis + Mip . L'hypothèse L = M assure 1 = 2 . I.2.2 Montrer que la diode D1 est passante à t = 0+ . Soustraire les deux relations obtenues au primaire et au secondaire pour trouver une relation entre ip et is . I.2.3 Dériver par rapport au temps l'équation précédente et reporter le résultat dans la relation obtenue au primaire. I.2.5 us vaut simplement Ris . Deuxième problème - - - II.1 Calculer rot rot E pour déterminer l'équation de propagation. Remplacer ensuite le champ électrique dans l'équation de propagation par la forme donnée dans l'énoncé. II.2 Intégrer l'équation différentielle obtenue à la question précédente sous la forme d'une combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus. II.3 Dans les milieux 2 et 3, r vaut 1. Intégrer ensuite les deux équations différentielles et justifier qu'on supprime les termes exponentiels croissants. - - - E pour en déduire Bx et Ey à II.4 Expliciter l'équation de Maxwell rot B = µ0 t partir de Ez déterminé à la question précédente. - II.5 Les composantes tangentielles du champ électrique E sont égales de part et d'autre de l'interface entre deux diélectriques tout comme les composantes nor - males du vecteur champ de déplacement D . II.6 Éliminer A2 et A4 dans le système obtenu à la question précédente. Pour que le système ne soit pas de rang 2, il faut que son déterminant soit nul. De plus 2 tan x = x -1 x tan - tan 2 2 II.7 Utiliser la question précédente et les définitions de q et de r. II.8 Connaissant r, on déduit de la deuxième équation établie à la question précédente la valeur de 0 en fonction de q. II.9 Exprimer à partir de la définition de k1 . II.10 À l'aide du système obtenu à la question II.5, exprimer A1 , A3 et A4 en fonction de A2 et des constantes du problème. I. Étude d'un transformateur d'impulsions I.1 Étude à vide (is = 0) I.1.1 À la fermeture de l'interrupteur, la tension up (t) est égale à la tension V : up (t) = V Dans le cas où l'on néglige la résistance interne de la bobine, up et ip sont reliés par : up = L On en déduit que ip = dip dt V t L Dans les conventions de signe explicitées ci-dessous, le flux dans la bobine du primaire a pour expression : 1 = Lip + Mis et le flux dans la bobine du secondaire : 2 = Lis + Mip ip is up us Dans cette partie, is étant nul, 1 vaut simplement Lip et 2 est égal à Mip . De plus, L et M sont égaux, donc 1 est égal à 2 ; l'énoncé note leur valeur commune. En conséquence, et us = d2 ont pour expression : dt (t) = Vt us (t) = M V=V L I.1.2 V.tmax s'exprime simplement en fonction de sat : V.tmax = sat Application numérique : tmax = 40 µs ipmax = 0, 2 A I.1.3 Au-delà de tmax , est égal à sat . Alors : us = d =0 dt Si l'on ne tient pas compte de r : d =0 dt On aboutit donc à une contradiction : il faut tenir compte de r. On en déduit : V= ip = Application numérique : V r ip = 8330 A Cette valeur très importante de l'intensité fait qu'on a tout intérêt à ce que le flux magnétique dans la bobine n'arrive pas à saturation. Cette situation est prise en compte dans la question suivante où l'on ouvre l'interrupteur à t = tmax . I.1.4 ip est égale à ipmax qui est positive, donc la diode D est passante. Le schéma équivalent est alors : ip r Vs L I.1.5 La loi des mailles donne : rip + L dip = -Vs dt dip Vs r ip + =- L dt L ou encore La solution de cette équation est constituée de deux termes : r · un terme exponentiellement décroissant A exp - t qui est solution de l'équaL tion dip r + ip = 0 dt L Vs solution particulière de l'équation différentielle. r sat Pour trouver A, il suffit d'écrire que ip vaut ipmax = en t = t1 : L r sat Vs A= + exp t1 L r L · un terme constant -