CCP Physique 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude des propriétés d'un ferrofluide ; action d'un champ magnétique sur un milieu ferromagnétique. Propagation dans une ligne électrique de transmission.
Principaux outils utilisés magnétisme de la matière, mécanique du point, mécanique des fluides, électrocinétique, électromagnétisme

Corrigé

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SESSION 2000 PC009 A CONCOURS (0MMUNS POLYTECHNIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC PHYSIQUE 2 DURÉE : 4 heures L 'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont indépendants. PROBLEME I-- SEPARATEUR MAGNETIQUE A FERROFLUIDES Un fluide magnétique est une suspension colloïdale, stable et homogène,de particules ferromagnétiques de diamètre moyen inférieur à 10 nm dans un fluide de base. Le liquide de base confère au ferrofluide ses propriétés hydrodynamiques, tandis que les particules ferromagnétiques assurent une perméabilité magnétique relative de l'ordre des unités. La relation entre les vecteurs ËetË est Ë=uo(IÏI+M), où Ëreprésente le champ magnétique, ËI l'excitation magnétique et M le vecteur aimantation. La relation M = M(H) linéarisée est donnée dans la figure 1 : M X...H pourHH0 ; HOMS=4OmT 5 où x... est la susceptivité magnétique du ferrofluide. Les vecteurs É, M et Ë sont colinéaires et B, M et H représentent le module des vecteurs. On peut donc écrire, pour un fluide non saturé (HHo Expliciter les constantes A1, A2, C1. Pour la suite on prendra A1 = 0,775 8.1. A2 = 2,32.10'2 5.1. C. = 22,2 S.I. L'énergie magnétique du système considéré est localisée entre les pièces polaires avec une 2 2 den51te volum1que W... = H--2-- dans le flu1de magnet1que, et uo ? dans le petit corps. 1.5.2 On note : UË le volume du fluide magnétique o le volume du petit corps et U : UÊ + D Le corps étant très petit, on peut considérer que l'énergie magnétique dans le domaine du H2(Z) 2 0, où 2 est la position du centre de masse du corps. corps est po Exprimer l'énergie magnétique du système comme la somme de deux termes, dont l'un sera indépendant de z et se calcule comme une intégrale sur D , et l'autre fonction de 2. 1.5.3 Retrouver, par des considérations énergétiques, l'expression de la force Fm . 1.6. Traiectoires des particules dans le séparateur magnétigue On considère un petit corps de perméabilité po de masse m , volume 0 et masse volumique p, ----- --. lancé à l'instant t = 0 avec la vitesse initiale V0 Vox +YOZ dans la zone active du séparateur (figure 5). Fig.5 On note Pe la masse volumique du fluide et on néglige la force que le fluide oppose au mouvement du petit corps. 1.6.1 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par f(t) avec 'r' = O_M. 1.6.2 On considère le cas H>Ho et on note : N iCl % champ magnétique. pl; : p [ + la masse volumique apparente du fluide magnétique en présence du Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire du petit corps x(t) et z(t). On considère maintenant V0 : VoüX et on note x* la valeur de x pour 2 = h. 1.6.3 Montrer que dans le cas H>H0 1/2 Tournez la page S. V. P. 1.6.4 Calculer le nombre d'ampères tours N i pour lequel le petit corps reste à la surface du fluide magnétique. Application numérique : pe : 1500 kg/m3 ; p = 8900 kg/m3 et g = 9,81 m/s2 1.6.5 Déterminer z = z(x) pour HI X 0 on modélise un élément de longueur dx par le quadripôle représenté dans la figure 2. i(x,t) R0dx Lodx i(x+dx,t) Fig.2 u(x,t) C dx È G dx u(x+dx,t) 0 0 où R... L.,, G.,, et C0 représentent respectivement la résistance, l'inductance, la conductance et la capacité par unité de longueur de ligne. Les bornes H 'et 2--2' représentent respectivement l'entrée et la sortie d'une ligne de longueur ! . 11.1. Déterminer le système d'équations aux dérivées partielles satisfait par u(x,t) et i(x,t) en appliquant les lois des mailles et des noeuds sur le quadripôle de la figure 2. 11.2. A quelles grandeurs locales du champ électromagnétique correspondent les grandeurs intégrales u(x,t) et i(x,t) ? Pourquoi le mode de propagation réalisé par ce système s'appelle transverse électromagnétique (TEM) ? 11.3. On considère, pour une ligne de longueur EUR , le régime sinusoïdal permanent. On note: Ï2 = (R0 +joeLOXGO +joeCo) avec X=OE+jB ; a=a(oe)>0 ; B=B(oe)>0 où y est la constante de propagation, on la constante d'atténuation, B la constante de phase. A une grandeur sinusoïdale : u(x,t) : U(xficos(oe t+ (p(x)), on associe l'image complexe Q(x) : U(x)e"(x) . 11.3.1 Ecrire le système d'équations différentielles satisfait parQ(x) et 1(x), puis l'équation différentielle satisfaite par Q(X). 11.3.2 Exprimer les solutions Q(X) et 1(x) en fonction de deux constantes A] et A2 , de y et de l'impédance caractéristique de la ligne ' L Ze = --R°--OEÈ--°-- ; on posera Z() : ° G0 + JCOCO C0 11.3.3 lnterpréter chaque terme de la solution 1_J(x)et donner leur expression en fonction de x et de t. Préciser la vitesse de phase et la longueur d'onde. 11.4. Pourquoi le fait que la vitesse de phase v dépende de a) est dérangeant pour une . . R G . . . . communication téléphonique ? Montrer que 51 L--° : C--° , la ligne dev1ent sans d15per51on. () 0 11.5. Déterminer Q(x) et 1(x) en fonction de 3 = Q(o) et I_ = I(o) . 11.6. Entre les bornes 2 - 2', on branche un dipôle d'impédance Z . Tournez la page S. V. P. Calculer l'impédance d'entrée : z =ËL 11 _e en fonction de Z, && Que devient cette expression pour une ligne sans atténuation (RO= 0 ; Go= O)? Exprimer U(x) et l(x) dans ce cas. . , . À , . . Il.6.l Pour une ligne sans attenuatron de longueur [ = --, determiner Ze 51 entre le bornes 2 - 2' on 4 branche un condensateur de capacité C. II.6.2 Pourquoi un générateur n'apprécie pas une ligne de longueur EUR = , sans atténuation, Z connectée à ses homes l - l' '? II.7 On considère le montage suivant : llT1 IN l' EUR 2' [1.7.1 Déterminer le courant l(x) en fonction de E,Zg,ZC et des coefficients de réflexion en courant 6 _Z A , Ze _Zg ,. , , , p = " * cote charge et p = cote generateur. _} ZC+Z _2 Zc+Zg E --2 On note 10 : --Z et oc=p,p,e YZ Zg + _c [1.7.2 Pour des charges Z passives la] < 1 . l 1--oc En développant en série, interpréter les termes de l(x). Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 2 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Franck Stauffer (ENS Lyon) ; il a été relu par Yannick Alméras (ENS Ulm) et Péter Horvai (ENS Ulm). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Dans le premier problème, on se propose de faire l'étude d'une solution ferrofluide placée dans l'entrefer d'un électroaimant qui constitue un séparateur magnétique. Si les questions préliminaires relèvent du cours, le problème va bien plus loin, et toutes les connaissances sur le magnétisme dans la matière y sont largement exploitées. On met notamment en évidence l'analogie entre la poussée d'Archimède et la force exercée par un ferrofluide sur un corps de perméabilité µ0 . Le second problème traite, quant à lui, de la propagation des ondes électromagnétiques dans une ligne de transmission. Bien qu'un peu plus calculatoire que le précédent, il se révèle intéressant et fait partie des « classiques » qu'il faut savoir traiter. On y détaille notamment les problèmes liés à la propagation dans ces lignes, dans différentes situations et pour différentes conditions aux limites. Indications Problème I I.2.1 Utiliser les propriétés magnétiques du fer. I.2.2 Penser à évaluer la circulation sur une ligne de champ. I.2.4 Il faut utiliser les résultats de la question I.2.3. I.3 En considérant l'action du champ sur les particules du fluide, établir l'existence d'un gradient de pression. I.4.1 Ne pas oublier que l'on fait l'hypothèse que le champ magnétique et le moment magnétique sont alignés. I.4.3 Faire une simple analogie avec la question I.4.1. I.5.1 Penser à utiliser la formule de Green-Ostrogradsky. I.5.3 Faire un bilan d'énergie pour le système {corps + fluide}, afin d'évaluer l'énergie à fournir pour faire passer le corps de z à z + dz. I.6.1 Faire le bilan de toutes les forces qui s'exercent sur le corps. I.6.5 Adapter le résultat de la question I.6.1. Problème II II.1 Pour cette question, se limiter au premier ordre en dx. II.3.1 Exprimer l'opérateur de dérivée temporelle en notation complexe. II.6 Déterminer la condition imposée par la présence de Z. II.7.1 Adapter le raisonnement de la question II.6. II.7.2 Penser à une analogie optique. Problème I I.1 Séparateur magnétique à ferrofluides Questions préliminaires I.1.1 On appelle cycle d'hystérésis d'un milieu ferromagnétique, la courbe représentant la variation du champ magnétique total B en fonction de l'excitation magnétique H du matériau. Voici la courbe que l'on obtient : B pente µ0 Br -Hc pente µ0 Hc H -Br ­ L' induction rémanente Br est définie comme la valeur de B pour une excitation magnétique H nulle. ­ Le champ coercitif Hc est défini comme la valeur de H pour un champ magnétique B nul. La modélisation physique des systèmes ferromagnétiques peut être réalisée de diverses manières. Il y a notamment le modèle (approché) du champ moléculaire de Weiss, qui a l'avantage d'être simple à résoudre et de donner des résultats satisfaisants ; des considérations de mécanique quantique permettent de justifier cette approche. On peut aussi citer le modèle d'Ising, qui compte parmi les modèles les plus utilisés. Moins approximatif que le précédent, il est aussi plus difficile à résoudre et n'a d'ailleurs aucune solution exacte pour les systèmes tridimensionnels. Actuellement il n'existe pas de modèle exact du ferromagnétisme. I.1.2 Voici le schéma d'un dispositif permettant d'obtenir le cycle d'hystérésis d'un matériau ferromagnétique (représenté par un tore). i1 i2 Rp Y n1 u1 E Rs n2 u2 C X Le générateur délivre une tension sinusoïdale d'amplitude 24 V à une fréquence de 50 Hz. En pratique, les ordres de grandeur des composants sont les suivants : n2 n1 = 500 spires 2 Rp quelques Rs 10 k C 10 µF On peut montrer que, dans ces conditions, UX H et UY -B. En effet, si l'on note l la longueur moyenne du circuit magnétique, le théorème d'Ampère donne Hl = n1 i1 + n2 i2 Le choix des composants impose par ailleurs |n2 i2 | |n1 i1 |, donc H= n1 UX Rp l Par ailleurs, S désignant la section moyenne du milieu ferromagnétique, et B le flux du champ magnétique à travers cette surface, Z 1 UY = u2 dt Rs C Z 1 dB =- Rs C dt Z 1 dB UY = - n2 S dt Rs C dt donc B=- Rs C UY n2 S