CCINP Physique PC 2025

SESSION 2025

PC2P

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
____________________

PHYSIQUE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

______________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées.

Le problème est composé de trois parties.
Les résultats établis et donnés dans la partie I seront utiles dans la partie 
II.
La partie III est indépendante des deux autres.

1/13

Autour des générateurs thermoélectriques
En 2017, un rapport de l'agence de l'environnement et de la maîtrise de 
l'énergie (ADEME)
estimait à 3,6 milliards de kWh l'énergie thermique perdue uniquement par les 
Data Center en
France. Dans une logique de réduction de nos consommations énergétiques, on 
cherche
aujourd'hui à récupérer et à valoriser cette énergie, appelée  chaleur fatale , 
issue principalement
de l'industrie et des transports.
Ce sujet s'intéresse au générateur thermoélectrique, dispositif capable de 
convertir la chaleur
fatale en travail électrique.
Dans la partie I, on étudie l'effet Seebeck à la base du fonctionnement de ces 
générateurs avec
en sous-partie I.1 la présentation et une interprétation microscopique de cet 
effet, puis en souspartie I.2 une analyse de l'expérience historique à 
l'origine de sa découverte.
Dans la partie II, on décrit le principe de fonctionnement d'un générateur 
thermoélectrique et on
calcule son rendement.
L'utilisation première des générateurs thermoélectriques a été l'alimentation, 
sur des périodes de
plusieurs dizaines d'années, de sondes spatiales. Pour arriver jusqu'aux 
confins de notre système
solaire avec une quantité limitée de carburant, ces sondes ont utilisé 
l'assistance gravitationnelle
dont on propose une présentation dans la partie III. Après quelques généralités 
de mécanique
céleste en sous-partie III.1, puis le calcul en sous-partie III.2 du rayon 
d'influence de la planète
Jupiter, on évalue l'économie d'énergie réalisée grâce à cette assistance en 
sous-partie III.3.

Données
 Perméabilité magnétique du vide : µ0 = 1,3 10-6 H  m -1
 Constante de gravitation universelle :  = 6, 7 10-11 m3  kg -1  s -2
 Masse du Soleil : M=
2, 0 1030 kg
S
 Masse de Jupiter : M=
1,9 1027 kg
J

2/13

Partie I - L'effet Seebeck
I.1 - Découverte du phénomène
On considère un matériau conducteur électrique, homogène et isotrope, occupant 
un cylindre droit

d'axe (O, u x ) , de section S et de longueur L (figure 1). Les deux sections 
droites qui limitent le
cylindre sont portées aux potentiels électriques V ( =
x 0)
= V1 et V (=
x L=
) V2 avec V1 > V2 . Le
régime étant supposé stationnaire, le matériau est parcouru par un courant 
électrique de densité

volumique jél = jél u x uniforme. On note  la conductivité électrique du 
matériau.

L
O

S

ux
V2

V1

Figure 1 - Conducteur électrique soumis à une différence de potentiel

Q1. Rappeler la loi d'Ohm locale reliant le vecteur densité volumique de 
courant électrique jél au

champ électrique E . Préciser, en justifiant, le sens du champ électrique dans 
le conducteur.
Établir l'expression de la résistance électrique Rél du cylindre : Rél =

L
.
S

Le matériau considéré est également un conducteur thermique, de conductivité 
thermique  . Par
contact avec deux sources idéales, les deux sections droites qui limitent le 
cylindre sont portées
aux températures T ( =
x L=
) T2 avec T1 > T2 . Le régime étant toujours supposé
x 0)
= T1 et T (=

stationnaire, le matériau est parcouru par un flux de chaleur de densité 
volumique jth = jth u x
uniforme.
Q2. Rappeler la loi locale de Fourier reliant le vecteur densité volumique de 
courant thermique

jth au gradient de température grad(T ) . En précisant les analogies avec le 
résultat
précédent, donner l'expression de la résistance thermique Rth du cylindre.
Lorsque le matériau conducteur est uniquement soumis à un gradient de 
température, ce gradient

est aussi source d'un champ électrique qui s'écrit en régime stationnaire : E = 
 grad(T ) . Cet effet
est appelé effet Seebeck.  est le coefficient Seebeck du matériau.
On considèrera dans toute la suite du sujet que les coefficients  ,  et  sont 
indépendants de
la température.

Q3. Déduire de la relation entre le champ électrique E et le potentiel V dont 
il dérive que le
gradient de température induit une tension ou force électromotrice (f.é.m.)
e=
V (x =
0) - V ( x =
L) =
V1 - V2 qu'on exprimera en fonction de  et de l'écart de
température T1 - T2 .
On souhaite interpréter qualitativement l'effet Seebeck. On suppose pour cela 
que le matériau est
un métal et que les porteurs de charges mobiles forment un  gaz  d'électrons 
libres.

3/13

Q4. On sépare tout d'abord fictivement le matériau en deux compartiments  et  de
températures uniformes TA et TB , avec TA > TB . Dans quel compartiment la 
vitesse
moyenne des électrons est-elle la plus élevée ?
Partant d'une situation où la densité volumique en électrons libres est 
supposée identique
dans les deux compartiments, comment vont évoluer les densités des 
compartiments par
passage des électrons d'un compartiment à l'autre ? En transposant désormais 
cette
analyse à une variation continue de la température dans le matériau, indiquer 
comment va
évoluer la densité d'électrons libres sous le seul effet de ce gradient de 
température.
Q5. L'inhomogénéité de la densité d'électrons libres dans le matériau cause 
l'apparition d'un
champ électrique. Déterminer qualitativement le sens de ce champ. En déduire le 
signe du
coefficient Seebeck que prévoit cette analyse physique.
Q6. La mesure des coefficients Seebeck du cuivre et de l'aluminium donne 
respectivement :
 Cu =
+1, 2 V  K -1 et  Al =
-2, 2 V  K -1 . L'analyse qualitative précédente (question Q5)
est-elle conforme aux données expérimentales ? Justifier brièvement.

I.2 - Étude de l'expérience historique de Seebeck
La figure 2.a représente le dispositif expérimental qui permit à Seebeck en 
1821 de mettre en
évidence l'effet qui porte aujourd'hui son nom. On modélise l'ensemble par un 
cadre rectangulaire
CDD ' C ' (figure 2.b). La portion C ' C est en bismuth, de coefficient Seebeck
 Bi =
-72, 0 V  K -1 et de conductivité électrique  Bi =
8, 7 105 S  m -1 . Le reste est en cuivre de
coefficient Seebeck  Cu =
+1, 2 V  K -1 et de conductivité électrique  Cu =6, 0 107 S  m -1 . On

suppose que la longueur L des portions C ' C et D ' D est très grande devant la 
longueur d des
portions CD et C ' D ' . La portion C ' D ' est laissée à la température 
ambiante T0 et la portion CD
est portée à la température T > T0 .
a.

b.

D'

Cu

D

T0

T > T0

d

Bi
C'

L

C

Figure 2 - Expérience de Seebeck
a. Dispositif expérimental b. Modélisation du dispositif
Q7. En circuit ouvert, donner les expressions des forces électromotrices eBi
= VC - VC ' et

eCu
= VD - VD ' dans les portions respectivement en bismuth et en cuivre en 
fonction des
coefficients  Bi ,  Cu et de l'écart de température T - T0 (question Q3).

4/13

En circuit fermé, il faut en outre tenir compte des résistances électriques Rél 
,Bi et Rél ,Cu des
portions respectivement en bismuth et en cuivre (question Q1). On donne dans 
ces conditions le
schéma électrique équivalent du cadre CDD ' C ' (figure 3).

Rél ,Cu

D'
eCu

D

Rél ,Bi

C'

C

eBi
Figure 3 - Schéma électrique équivalent du cadre
Q8. Préciser le sens du courant d'intensité I > 0 dans le cadre.
Q9. La portion C ' C en bismuth est une tige rectangulaire de longueur L = 40 
cm et de section
S = 10 cm 2 . En négligeant Rél ,Cu devant Rél ,Bi , calculer l'intensité I du 
courant pour

T - T0 =
40 K .

Le cadre CDD ' C ' est situé dans le plan (O, u y , u z ) où l'axe (O, u y ) 
est selon la verticale
ascendante. On assimile les deux portions C ' C et D ' D à deux fils 
conducteurs rectilignes infinis,

parallèles à l'axe (O, u z ) et distants de d , parcourus par un courant 
d'intensité I dans des sens
opposés (figure 4). Le milieu dans lequel est plongé le cadre est assimilé au 
vide.

 ux

uy
O

Cu

I
d

uz

Bi

I

Figure 4 - Modélisation du cadre pour le calcul du champ magnétique
Q10. On repère tout point M de l'espace par ses coordonnées cylindriques (r ,  
, z ) dans la base

locale (ur , u , u z ) . Exprimer en fonction de µ0 , I et de r le champ 
magnétique B f ,Bi ( M )

créé par le fil en bismuth confondu avec l'axe (O, u z ) .

Q11. En déduire l'expression du champ magnétique total B f ( M ) créé par les 
deux fils en un point

M situé dans le plan vertical (O, u y , u z ) , à égale distance d / 2 de ces 
deux fils.

En l'absence de courant (donc d'une différence de température), le cadre est 
orienté de sorte
qu'une petite aiguille aimantée située en son centre et libre de tourner sur un 
axe vertical s'oriente

dans le plan du cadre. On note BT ,h = BT ,h u z la composante horizontale du 
champ magnétique
terrestre. En présence de courant (donc d'une différence de température), on 
constate que
 
l'aiguille tourne d'un angle  <  / 2 dans le plan horizontal ( M , u x , u z ) . 5/13 Q12. Exprimer l'angle  en fonction de la norme des champs B f et BT ,h . Calculer  sachant que BT ,h = 2 10-5 T . On prendra d = 5 cm et I = 6 A . Partie II - Principe d'un générateur thermoélectrique L'étude de l'effet Seebeck dans la partie I suggère la possibilité aux matériaux de convertir de l'énergie thermique en énergie électrique. C'est ce qui est réalisé dans les générateurs thermoélectriques. Un module élémentaire d'un tel convertisseur est constitué de l'assemblage de deux matériaux semi-conducteurs (SC), l'un de dopage de type p (les porteurs de charges majoritaires sont des lacunes électroniques ou  trous  de charge + e ), l'autre de dopage de type n (les porteurs de charges majoritaires sont des électrons de charge -e ). Ces matériaux constituent les  jambes du module qui sont montées électriquement en série et thermiquement en parallèle (figure 5). À l'une des extrémités du module, les matériaux sont reliés entre eux par une connexion métallique mise en contact avec une plaque céramique électriquement isolée et maintenue à une température TC (source chaude). À l'autre extrémité du module, les deux matériaux sont mis en contact avec une plaque céramique identique maintenue à une température TF (source froide) et reliés entre eux par l'intermédiaire d'une charge de résistance électrique Rc . Chaque jambe occupe un cylindre droit d'axe (O, u x ) , de longueur L et de section S , de surface latérale isolée thermiquement. Les matériaux semi-conducteurs ont des coefficients Seebeck  p > 0 et  n < 0 pour des dopages de type respectivement p et n . Source chaude (TC ) O ux Plaque céramique isolée électriquement SC dopé n SC dopé p Connexion métallique L Source froide (TF ) I Rc Figure 5 - Schéma de principe d'un générateur thermoélectrique Ce module fonctionne comme une machine thermique ditherme. On note C et F les puissances thermiques algébriques fournies au module par les sources respectivement chaude et froide, et él la puissance électrique algébrique reçue par le module. 6/13 Q13. Préciser les signes de C , F et él . Définir le rendement  du module. Q14. En régime stationnaire, que dire des variations élémentaires d'énergie interne dU et d'entropie dS du module entre les instants t et t + dt ? On assimile le module à une phase condensée incompressible indilatable. Déduire alors des principes de la thermodynamique que son rendement  a une limite supérieure, appelée rendement de Carnot. Exprimer le rendement de Carnot Carnot en fonction de TC et de TF . À quelle condition sur le fonctionnement du module ce rendement limite pourrait-il être atteint ? Q15. Avec l'orientation choisie pour la définir (figure 5), l'intensité I du courant qui circule dans le module en régime stationnaire est positive. Préciser les sens de déplacement des trous dans le semi-conducteur de dopage de type p et des électrons dans le semi-conducteur de dopage de type n . Aurait-on pu imaginer faire fonctionner un module avec des jambes constituées de semi-conducteurs de dopage de même type ? Justifier. On s'intéresse tout d'abord à l'unique jambe constituée du semi-conducteur de dopage de type p . On note  p et  p respectivement la conductivité électrique et la conductivité thermique de ce matériau. En régime stationnaire, la jambe est parcourue par un courant électrique de densité volumique jél = jél u x uniforme et d'intensité I > 0 . La température en tout 
point M dans la jambe

est alors de la forme T ( M ) = T ( x) . On néglige les résistances de contact 
(électriques et
thermiques) aux interfaces entre le semi-conducteur et les connexions 
métalliques. On pourra ainsi
considérer que T ( =
x L=
) TF .
x 0)
= TC et T (=

Q16. Exprimer jél en fonction notamment de I .

Le champ électrique E au sein de la jambe cède aux porteurs de charges la 
puissance volumique
 
pv = jél .E .
Q17. En effectuant, en régime stationnaire, un bilan thermique entre les 
instants t et t + dt pour la
portion de jambe comprise entre les abscisses x et x + dx , établir l'équation 
différentielle

vérifiée par jth , où jth = jth u x est le vecteur densité volumique de courant 
thermique dans la
jambe. On fera apparaître explicitement la puissance volumique pv .
En fait, un gradient de potentiel au sein du semi-conducteur n'engendre pas 
seulement un courant
électrique, mais aussi un flux de chaleur. Cet effet découvert quelques années 
après l'effet
Seebeck est appelé effet Peltier. On admet que la prise en compte de ces effets 
thermoélectriques
conduit à la généralisation suivante des lois locales d'Ohm et de Fourier 
(questions Q1 et Q2) :

  jél
E
+  grad(T )
=
.

=
 jth  T jél -  grad(T )

d 2T
= -k , où k est une constante
dx 2
positive qu'on exprimera en fonction de I ,  p ,  p et de S .

Q18. Déduire de l'équation différentielle précédente que

Q19. Compte tenu des conditions aux limites, établir l'expression de T ( x) en 
fonction de k , L ,

TC et de T = TC - TF .

7/13

Q20. En faisant apparaître les résistances électrique Rél , p et thermique Rth 
, p de la jambe
(questions Q1 et Q2), montrer que la puissance thermique th , p ( x = 0) 
fournie par la source

0) =
 p ITC +
chaude à la jambe a pour expression : th , p ( x =

T 1
- Rél , p I 2 .
Rth , p 2

On montre de façon analogue que la puissance thermique th ,n ( x = 0) fournie 
par la source
chaude à la jambe constituée du semi-conducteur de dopage de type n a pour 
expression :

T 1
- Rél ,n I 2 , où Rél ,n et Rth ,n sont les résistances respectivement
Rth ,n 2

0) =
th ,n ( x =
- n ITC +

électrique et thermique de la jambe.

Q21. Déduire des résultats précédents l'expression de la puissance thermique 
algébrique C
fournie par la source chaude au module. On introduira le coefficient Seebeck 
global du
module 
=  p -  n et les résistances équivalentes électrique Rél et thermique Rth du
module, à exprimer en fonction de Rél , p , Rél ,n , Rth , p et de Rth ,n .

Q22. On montre de façon analogue que la puissance thermique algébrique F 
fournie par la
source froide au module s'écrit : F =
- ITF -

T 1
- Rél I 2 . En déduire l'expression de la
Rth 2

puissance électrique algébrique él reçue par le module.

Q23. Sachant que la charge de résistance Rc reçoit la puissance électrique -él 
, exprimer
l'intensité I du courant en fonction de  , T , Rél et de Rc .

Q24. Montrer que la puissance électrique reçue par la charge est maximale 
lorsque Rc = Rél , Rél
et T étant fixés. On évoque l'adaptation d'impédance. Exprimer cette puissance 
él max en

fonction de  , T et de Rél .

Q25. Le module est destiné à alimenter une montre. Il fonctionne grâce à 
l'écart de température
entre la peau en contact avec la montre et l'air ambiant, typiquement T =
1 K . Estimer à
l'aide des données suivantes le nombre N de modules nécessaires à associer 
sachant que
la puissance de fonctionnement de la montre est m = 15 W . On pourra considérer 
qu'un
module fournit la puissance maximale déterminée dans la question Q24.
Semi-conducteur

Dopage type p

Dopage type n

 (V  K )
 (S  m -1 )

162

- 240

1,8·10

9,9·104

L (m)

600

600

2

6,4·10

-1

S (m )

5

3

8/13

6,4·103

On peut montrer que le rendement maximal d'un module dépend du produit Z pnTm , 
appelé facteur
de mérite, avec Tm =

TC + TF
et Z pn une fonction des propriétés de transport ( ,  ,  ) des semi2

conducteurs. La figure 6 indique l'évolution du rendement maximal  max du 
module en fonction de
la température de la source chaude pour plusieurs valeurs du facteur de mérite. 
La température de
la source froide est fixée à 300 K. Dans l'état actuel des technologies, le 
facteur de mérite
n'excède pas 1.
ZpnTm  

Figure 6 - Rendement maximal d'un générateur thermoélectrique élémentaire
Source : Techniques de l'Ingénieur

Q26. Pourquoi cherche-t-on à maximiser le facteur de mérite ?
Estimer le rendement d'un générateur thermoélectrique qui fonctionnerait avec 
les gaz
d'échappement d'une turbine à combustion (centrale thermique destinée à 
produire de
l'électricité) de température de l'ordre de 500 °C. Commenter par comparaison 
aux
rendements usuels des machines dithermes.

Partie III - L'assistance gravitationnelle
Du fait de leur faible rendement, les générateurs thermoélectriques restent 
aujourd'hui confinés à
des applications de niches. Ils sont par exemple utilisés dans la plupart des 
sondes spatiales, avec
du combustible radioactif comme source chaude et l'espace environnant comme 
source froide
(générateur thermoélectrique à radioisotope ou GTR). Les GTR assurent une 
production électrique
stable, permettant de maintenir opérationnels pendant plusieurs années les 
instruments
embarqués dans les sondes au-delà de l'orbite de Mars, où les panneaux solaires 
ne sont plus
efficaces. Lancées par la NASA en 1977, les deux sondes Voyager continuent 
encore aujourd'hui
d'envoyer des informations sur Terre, à plus de 20 milliards de kilomètres de 
distance. Ces sondes
ont collecté d'inestimables données scientifiques sur les planètes extérieures 
Jupiter, Saturne,
Uranus et Neptune, en tirant profit d'une conjonction exceptionnelle de ces 
planètes qui a permis
aux sondes leur survol pratiquement sans dépense de carburant, grâce à 
l'assistance
gravitationnelle.

9/13

III.1 - Généralités
On considère une sonde du programme Voyager, assimilée à un point matériel P de 
masse m .
La sonde est en mouvement dans un champ gravitationnel qu'on supposera 
uniquement dû ici à
Jupiter, relativement au référentiel d'étude  jupiterocentrique   j considéré 
galiléen.
La planète est assimilée à une boule à répartition sphérique de masse, de sorte 
qu'elle se
comporte d'un point de vue gravitationnel comme un point matériel fictif de 
même masse M J que
cette dernière et situé en son centre J .

Q27. Justifier à l'aide du théorème du moment cinétique que le moment cinétique 
LJ par rapport
au point J de la sonde se conserve. En déduire que le mouvement de la sonde est 
plan.
On repère la sonde par ses coordonnées cylindriques (r ,  , z = 0) de centre J 
. On choisit

l'axe ( J , u z ) de sorte que LJ = LJ u z . Montrer que la quantité C = r 2 
est constante.
Q28. Établir l'expression de l'énergie potentielle  p (r ) dont dérive la force 
gravitationnelle subie
par la sonde. On prendra  p (r  +) = 0 .
Q29. Justifier que l'énergie mécanique m de la sonde se conserve. Établir son 
équation radiale

1 2
mr +  p ,eff (r ) , où  p ,eff (r ) désigne une énergie potentielle effective
2
dont on donnera l'expression en fonction de m , C , r et de  p (r ) .
sous la forme =
: m

Représenter qualitativement  p ,eff (r ) . Expliciter les différents états 
possibles de la sonde en
précisant la forme de sa trajectoire selon la valeur de son énergie mécanique m 
.
Q30. Donner l'expression de la vitesse minimale v qu'il faudrait communiquer à 
la sonde à la
distance r du centre J de Jupiter pour qu'elle se libère de l'attraction 
gravitationnelle de
Jupiter. Cette vitesse est appelée vitesse de libération de la sonde.

III.2 - Sphère de Hill de Jupiter
Dans la sous-partie précédente, seule l'influence de l'attraction 
gravitationnelle de Jupiter sur le
mouvement de la sonde a été considérée. On se propose dans cette sous-partie 
d'établir une
condition quantitative pour négliger l'influence de l'attraction 
gravitationnelle du Soleil devant celle
de Jupiter.
On considère pour cela que le centre J de Jupiter décrit une trajectoire 
circulaire de rayon
 
d 7,8 108 km autour du centre S du Soleil dans le plan orbital ( S , u x , u y 
) , relativement au
référentiel héliocentrique h considéré galiléen. On note  la vitesse angulaire 
à laquelle tourne

le point J dans le sens direct de l'axe ( S , u z ) dans ce référentiel (figure 
7). On suppose, comme
pour Jupiter, que le Soleil se comporte d'un point de vue gravitationnel comme 
un point matériel
fictif de même masse M S que ce dernier et situé en son centre S .

10/13

uy'

 uz

uy

r

ux '
S

P

ux

J
Orbite de Jupiter dans le
référentiel héliocentrique

d

Figure 7 - Position considérée de la sonde dans le plan orbital de Jupiter
Q31. Établir, à partir de la 2e loi de Newton, les expressions de  et de la 
vitesse VJ ,h de Jupiter
dans le référentiel héliocentrique h en fonction de  , M S et de d . Calculer 
VJ ,h .
On raisonne dans la suite de cette sous-partie dans le référentiel  ' auquel 
est lié un repère de

centre S dont les axes ( S , u x ' ) et ( S , u y ' ) tournent autour de l'axe 
( S , u z ) , dans le sens direct et à

la vitesse angulaire  dans le référentiel héliocentrique h , avec u x ' = SJ / 
d .
Q32. Le référentiel  ' est-il galiléen ? Justifier.

Q33. On considère la configuration où la sonde P est située dans le plan 
orbital ( S , u x , u y ) de
Jupiter et telle que S , P et J soient alignés dans cet ordre (figure 7). On 
cherche la
distance r de la sonde au centre J de Jupiter à laquelle elle est en équilibre 
dans le
référentiel  ' . Donner les expressions des forces s'exerçant sur la sonde P en 
fonction de
m , M J , M S ,  ,  , d et de r . On se limitera pour les forces d'origine 
gravitationnelle à
celles dues au Soleil et à Jupiter.
Q34. Montrer que la condition d'équilibre conduit à : M J d 3 (d - r ) 2 =
- M S r 2 ( ( d - r )3 - d 3 ) .

On suppose que r  d . En effectuant un développement limité à l'ordre le plus 
bas possible
en r / d de chaque terme de l'égalité précédente, établir l'expression de la 
distance r = rH

en fonction de M J , M S et de d .
On admet que cette expression reste valide en première approximation pour toute 
valeur de
l'angle  repérant la position de la sonde depuis le centre de Jupiter. 
L'ensemble des points
de l'espace tels que la sonde P soit en équilibre dans le référentiel  ' est 
donc
approximativement une sphère centrée en J , de rayon rH , appelée sphère de 
Hill. Calculer

rH .
Désormais, nous négligerons donc l'influence du Soleil devant celle de Jupiter 
sur la sonde dès
lors que cette dernière se trouve dans la sphère de Hill.

11/13

III.3 - Principe de l'assistance gravitationnelle
On considère dans cette dernière sous-partie que la sonde arrive à l'entrée de 
la sphère de Hill de

Jupiter avec une vitesse ve , j = ve , j u x relativement au référentiel  
jupiterocentrique   j . Elle passe

 derrière  Jupiter, puis sort de la sphère de Hill avec une vitesse vs , j . On 
note D l'angle entre

vs , j et ve, j (figure 8).

vs , j

VJ ,h

uy

Sphère de Hill

uz ux

ve, j

J

D

Figure 8 - Déviation de la sonde dans le référentiel  jupiterocentrique 
On suppose la durée de passage dans la sphère de Hill suffisamment courte pour 
pouvoir

considérer d'une part le référentiel  jupiterocentrique   j galiléen, et 
d'autre part la vitesse VJ ,h

du centre J de Jupiter dans le référentiel héliocentrique h constante et selon 
+u y pendant cette
durée. On suppose enfin que le plan orbital de la sonde dans le référentiel  
jupiterocentrique   j

est confondu avec le plan orbital ( S , u x , u y ) de Jupiter dans le 
référentiel héliocentrique h .
Q35. En traduisant la conservation de l'énergie mécanique de la sonde, montrer 
que ve , j = vs , j .
On notera simplement par la suite =
v j v=
vs , j . On prendra pour les applications numériques
e, j

vj

10 km  s -1 .

Q36. Pourquoi la vitesse v j de la sonde est-elle nécessairement supérieure ou 
égale à sa vitesse
de libération v à la distance rH (question Q30) ? Vérifier par une application 
numérique que
c'est bien le cas.

Q37. On note ve ,h et vs ,h les vitesses de la sonde dans le référentiel 
héliocentrique h
respectivement à l'entrée et à la sortie de la sphère de Hill. Déduire de la 
loi de composition

des vitesses les expressions de ve ,h et vs ,h en fonction de ve , j , vs , j 
et de VJ ,h .

12/13

Q38. Reproduire la figure 8 sur la copie et y représenter les vitesses ve ,h et 
vs ,h . Vérifier
qualitativement que la norme de la vitesse de la sonde a bien augmenté dans le 
référentiel
héliocentrique à la sortie de la sphère de Hill. Dans quelle configuration 
l'augmentation de
vitesse serait-elle maximale ?

Q39. Exprimer ve ,h et vs ,h en fonction de v j , VJ ,h et de D .

Q40. Sachant que D= 60° , calculer ve ,h et vs ,h en prenant la valeur de VJ ,h 
calculée à la question
Q31. En déduire les valeurs numériques de la variation vh = vs ,h - ve ,h de la 
vitesse de la
sonde relativement au référentiel héliocentrique à l'issue de son passage à 
proximité de

1 2 1 2
mvs ,h - mve,h réalisée grâce à l'assistance
2
2
2
gravitationnelle de Jupiter. On prendra =
m 7, 2 10 kg .

Jupiter, puis de l'économie d'énergie c=
,h

D'où vient le gain d'énergie cinétique de la sonde ?

Q41. La sonde Voyager dispose de 16 petits propulseurs identiques brûlant des 
ergols liquides et
utilisés à la fois pour les modifications de trajectoire et pour les 
changements ou corrections
d'orientation. En brûlant 50 % de sa quantité d'ergols liquides embarquée, on 
estime que
l'accroissement de vitesse correspondant de la sonde serait de 60 m  s -1 . 
Comparer à
l'accroissement de vitesse obtenu grâce à l'assistance gravitationnelle et 
conclure.

FIN

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