CCP Physique PC 2021

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2021 (C\ PC2P

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé d'un problème constitué de trois parties indépendantes.

Les points sont répartis approximativement de la façon suivante :

Partie I 30%
Partie II 30%
Partie III 40 %

1/13
De la physique dans le vivant

Au cours de leur évolution, de nombreux systèmes biologiques dans la nature ont 
développé
d'incroyables spécificités pour s'adapter à leur environnement. Ce sujet 
propose l'étude de certaines
de ces spécificités. On s'intéressera ainsi dans la partie I aux qualités 
d'adhésion du gecko, avec
l'étude d'interactions entre molécules polaires en sous-partie I.1, puis le 
calcul de la force
d'adhérence d'un gecko au plafond en sous-partie I.2. Dans la partie II, on 
aborde les facultés
d'isolation thermique du manchot empereur avec quelques généralités sur les 
transferts thermiques
en sous-partie IL.1, avant le calcul du métabolisme d'un manchot en sous-partie 
IL.2. Enfin, la
partie III propose quelques études autour des propriétés de superhydrophobie de 
la feuille de lotus
avec l'analyse de deux expériences : la mesure d'une tension superficielle en 
sous-partie IIL.1 et la
mesure de l'angle de contact d'une goutte posée sur un substrat solide par 
interférométrie optique
en sous-partie IIL.2. La sous-partie III.3 développe une application de la 
superhydrophobie en
microfluidique.

Données

" Opérateur gradient d'un champ scalaire U :

- grad(U) = a, + Ur + OÙ x en coordonnées cartésiennes

X Oy Oz

- orad(U ) = a, + LOU > + OÙ x en coordonnées cylindriques

p 00 "

- orad(U ) = Si + -- LOU ; L Ua en coordonnées sphériques
r

+
r 00 7 r Sin 0 0E

" Opérateur laplacien vectoriel d'un champ vectoriel G=au,+aü, +a,u, en 
coordonnées

2 2 2
cartésiennes : AG = (Aa, )u,+(Aa,)u, +(Aa,)u, où Aa... = _ 0 < + 0 < + 0 î 7 Ôx y  ©z " Permittivité du vide : £&, =8,85-107° F-m - Constante de Boltzmann : k, =1,38-10 7 J-K" « Constante de Stefan : o =5,67-10 ° W:m °-K * « Intensité de la pesanteur : g =9,81 m-s " - Masse volumique de l'eau : p, --1,00-10° kg-m « Viscosité dynamique de l'eau à 20 °C sous 1 bar : 7, =1,00-10* Pa:s - Coefficient de tension superficielle de l'interface eau/air à 20 °C : y, =73-10° Nm « Définition du debye (D) : 1 D =3,33-10 " C:m 2/13 Partie I - Le gecko Source : Autumn K., L'inusable adhésif des pattes du gecko, Pour la Science, n° 343, 2006, p. 82- 88. Le gecko est un petit lézard capable de se déplacer à des vitesses de plusieurs mètres par seconde sur les murs ou les plafonds de pratiquement toutes natures, dans presque toutes les conditions. Des expériences menées en 2002 par l'équipe de l'américain Kellar Autumn ont montré que la spectaculaire faculté d'adhésion de l'animal est uniquement due à des forces de Van der Waals. L'adhésion est possible grâce à l'anatomie particulière des coussinets des doigts du lézard. Ces derniers sont recouverts de poils microscopiques, les sétules, ramifiés en des centaines de branches terminées par une spatule pouvant s'approcher à quelques nanomètres de la surface de contact. L.1 - Interactions entre molécules polaires On considère une molécule polaire située dans le vide, modélisée par un dipôle électrique rigide de moment dipolaire électrique permanent p, = pu. Le dipôle, centré en un point O, est constitué de deux charges ponctuelles opposées, + g et -- g (avec g>0), situées sur l'axe 
(O,%.) aux points

respectifs P et N distants de a=PN (figure 1). On repère tout point M de 
l'espace par ses
coordonnées sphériques (r,0,p) dans le repère (O,u,,u,,u,).

PO
PO
,
s
s
s
s
.
,
Le

Y

N(- 9)

Figure 1 - Dipôle électrique centré en un point O

Q1. Expliquer, en prenant l'exemple de la molécule de chlorure d'hydrogène 
(HCT), l'origine du
moment dipolaire permanent de certaines molécules. Donner l'expression en 
fonction de a et
qg du moment dipolaire électrique p, de la molécule polaire.

Q2. Établir l'expression du potentiel électrostatique V (M) créé en M par la 
molécule polaire dans

le cadre de l'approximation dipolaire qu'on explicitera. On donnera le résultat 
en fonction de
P,, & et des coordonnées sphériques du point M.

Q3. En déduire que le champ électrostatique E (M ) créé en M par la molécule 
polaire s'écrit en

coordonnées sphériques : E,(M) = re C cos(@)ü, +sin(0)ü,).
TE

0

3/13
Une seconde molécule polaire, modélisée par un dipôle rigide de moment 
dipolaire électrique
permanent p,, est située au point M sur l'axe (O,u.) tel que 0 = 0, à la 
distance r fixe du point ©.

À un instant donné, son moment dipolaire forme un angle & avec cet axe (figure 
2). Dans ces
conditions, la molécule plongée dans le champ électrostatique dû à l'autre 
molécule située au point

O subit un couple de forces de moment : [= P> AË(M ). On rappelle l'expression 
de l'énergie

potentielle d'interaction des deux molécules : EUR, =-ÿ,.E (M).

Q4.

/

P

Figure 2 - Interaction entre deux molécules polaires

Quel est l'effet du couple de forces subi par la molécule fixée au point M? 
Justifier
l'orientation de son moment dipolaire électrique lorsqu'elle est en équilibre 
stable.

Les deux molécules sont supposées identiques, de moments dipolaires électriques 
de même valeur
P.=p;=p=I1D.

Q5.

Q6.

Estimer l'énergie potentielle d'interaction des deux molécules, distantes de 7 
= 0,5 nm, en
supposant leurs moments dipolaires électriques alignés. Comparer cette énergie 
à l'énergie
d'agitation thermique qui est de l'ordre de X,T où k, est la constante de 
Boltzmann, à la

température ambiante T = 293 K . Conclure.

Du fait de l'agitation thermique, on doit considérer l'énergie potentielle 
d'interaction
moyenne entre deux dipôles situés à une distance 7 dont les orientations 
relatives sont
sujettes à des variations aléatoires. À température suffisamment élevée, on 
montre que cette

, C
énergie potentielle d'interaction moyenne est de la forme: (E) =---< où r° Ï p° Ce = -- k,T\2TE, Donner un ordre de grandeur de C, à la température ambiante 7 = 293 K. Vérifier que la force F, qui dérive de cette énergie potentielle est attractive. On rappelle que --_ Fin = grad (£, ). 4/13 1.2 - Calcul de la force d'adhérence du gecko au plafond La force, calculée à la question précédente, correspond à une interaction de Van der Waals entre molécules polaires. Si on considère maintenant deux plans infinis parallèles, distants de D et séparant chacun un milieu solide (figure 3), on montre en prenant en compte l'ensemble des interactions de Van der Waals que la force surfacique entre les deux milieux s'écrit : f (D) = A 6rD*°_ La constante 4, appelée constante de Hamaker, dépend de la nature des interactions de Van der Waals et des densités moléculaires des deux solides en interaction. Q7. Q8. Q9. Milieu solide ) D Vide Y Milieu solide Figure 3 - Deux milieux plans infinis en interaction Vérifier que la constante de Hamaker À est homogène à une énergie. Un gecko de masse m = 50 g est suspendu par ses quatre pattes au plafond. Le gecko possède au total 6 millions de sétules, comportant chacune en moyenne 500 spatules. En modélisant une spatule par une surface carrée de 0,2 um de côté située à une distance D =1 nm du plafond, estimer le pourcentage de sétules utilisées par le gecko pour soutenir sa masse. On prendra A=10 "" J et on négligera tout effet de bord. Sachant que l'équipe de Kellar Autumn a constaté qu'un gecko de 50 g utilise à son maximum d'adhérence uniquement 0,04 % de ses sétules pour soutenir sa masse, peut-on bien imputer les facultés d'adhérence du gecko aux interactions de Van der Waals ? Pourquoi le gecko mobilise-t-1l certainement davantage de sétules pour assurer son adhérence ? À un instant pris pour origine, on suppose que le gecko lâche le plafond et chute de 10 cm avant de se rattraper à l'aide d'une patte à une surface verticale. Sachant que l'équipe de Kellar Autumn a pu mesurer une force de cisaillement (opposée au glissement) de l'ordre de 10 N par patte, estimer la distance que doit parcourir le gecko lorsque sa patte est en contact avec le mur pour s'arrêter. On supposera qu'il mobilise 50 % de la capacité de cisaillement maximale de sa patte. Cette question fait appel à une démarche de résolution de problème. IT est notamment attendu de préciser chaque notation introduite, de présenter de façon claire les hypothèses retenues, de mener de bout en bout un calcul littéral, puis d'effectuer l'application numérique attendue. 5/13 Partie II - Le manchot empereur Source : Gilbert C. ef al, Energy saving processes in huddling emperor penguins : from experiments to theory, Journal of Experimental Biology, vol. 211, 2008, p. 1-8. Le manchot empereur Aptenodytes forsteri est la plus grande espèce de manchots, avec en moyenne une taille de 1,2 m et une masse corporelle de 30 kg. Ce manchot est capable d'affronter sur de longues durées les conditions climatiques extrêmes de l'Antarctique, caractérisées par des températures moyennes de -- 40 °C lors des longues nuits polaires du mois de juin et des températures ressenties atteignant les -- 200 °C lorsque le blizzard souffle au plus fort. Le secret de cette exceptionnelle capacité d'isolation thermique réside dans toute une série d'adaptations, en particulier physiologiques et comportementales. Du point de vue des échanges thermiques, on modélise un manchot par un cylindre d'axe (O,u.), de rayon À = 10 cm, de longueur / = 1,2 m, recouvert successivement : - d'une couche de graisse d'épaisseur e,--=2,0cm et de conductivité thermique À, = 0,20 W:m '.K; - d'une couche de filaments duveteux enfermant une épaisseur e, =1,0 cm d'air de conductivité thermique 2, =0,026 W:m -K- : - d'une couche très dense de plumes courtes et raides, disposées en diagonale et imbriquées les unes dans les autres pour former un véritable «coupe-vent » imperméable à l'eau, d'épaisseur e, =2,0 cm et de conductivité thermique À, = 0,035 W.: m -K''. En régime stationnaire, le métabolisme de l'animal fournit une puissance P, permettant de maintenir sa température interne 7: constante. IL.1 - Généralités On considère deux cylindres de même axe (O,u,), de longueur £ et de rayons À et k,, de surfaces latérales 1sothermes portées aux températures respectives T et T,  

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Physique PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Charlie Leprince (ancien élève de l'ENS 
Paris-Saclay) ;
il a été relu par Étienne Martel (doctorant en physique) et Émilie Frémont 
(professeur
en CPGE).

Ce sujet consiste à étudier certains phénomènes physiques qui se manifestent au
sein de systèmes biologiques. Ce faisant, il aborde des thématiques variées 
dans les
domaines de l'électromagnétisme, de la diffusion thermique, de l'optique 
ondulatoire
et de la mécanique des fluides notamment. Ses trois parties sont totalement 
indépendantes.
· Dans la partie I, on s'intéresse aux propriétés remarquables d'adhésion du 
gecko, un petit lézard dont les doigts sont recouverts de poils microscopiques
ramifiés en un grand nombre de spatules. La première sous-partie traite ainsi
de l'interaction entre deux dipôles électrostatiques, nécessaire à la 
description
dans la suivante des capacités d'adhésion du gecko au plafond et à un mur. Cette
première partie comporte assez peu de questions mais elles exigent du soin et
du temps, notamment la question 9 qui nécessite une démarche de résolution
de problème.
· La partie II propose l'étude du comportement thermique d'un manchot empereur, 
que l'on modélise comme un cylindre rempli d'eau et recouvert de plusieurs
couches isolantes. Les transferts conductifs mais aussi radiatifs et 
convectoconductifs sont pris en compte dans l'étude, qui vise à déterminer la 
résistance
thermique équivalente du manchot avant de s'achever sur une discussion quant
à la pertinence du modèle.
· Enfin, la troisième partie, subdivisée en trois sous-parties indépendantes, 
s'appuie sur l'exemple de la feuille de lotus pour s'intéresser à différents 
effets de
surface. On est amené dans un premier temps à considérer un dispositif 
permettant de mesurer la tension superficielle entre l'air et l'eau savonneuse, 
puis
dans un deuxième temps à déterminer l'angle de contact d'une goutte déposée
sur un substrat solide via une méthode interférométrique. Enfin, le sujet 
propose d'étudier un écoulement de Poiseuille plan avec des conditions aux 
limites
de glissement sur les parois solides jusqu'à l'établissement de l'expression de 
la
résistance hydraulique caractérisant ce type d'écoulement.
Les parties II et III sont plus faciles que la première. Elles permettent de 
revoir
efficacement le cours sur la diffusion thermique notamment, ainsi que la 
mécanique
des fluides à travers l'exemple classique de l'écoulement de Poiseuille plan. 
Le sujet
est globalement peu calculatoire mais il est long. Il comporte un grand nombre 
d'applications numériques, qui permettent souvent de conclure quant à la 
pertinence des
modèles utilisés.

Indications
Partie I
9 Décomposer la chute du gecko en une phase de chute libre puis une phase au 
cours
de laquelle sa patte est en contact avec le mur. Déterminer dans un premier 
temps
l'instant auquel le gecko se rattrape à la paroi, puis la distance qu'il 
parcourt avant
que sa vitesse s'annule.
Partie II
12 Décomposer le flux thermique total à travers le système comme un flux entrant
en  et un flux sortant en  + d puis réaliser un développement limité.
14 On peut calculer le rayon à partir de la masse et de la masse volumique du
cylindre, toutes deux connues.
Partie III
23 Appliquer le principe fondamental de la statique des fluides à la portion 
d'eau
dans le manomètre.
30 Remarquer que p(r) diminue quand r augmente, r variant de 0 à d/2.
31 Relier m et rm de façon à effectuer une régression linéaire.
37 Pour comprendre la signification de Lg , comparer la valeur des plans z0 où 
le
champ des vitesses s'annule avec le cas habituel de non glissement du liquide 
sur
la paroi.

De la physique dans le vivant
I. Le gecko
1 Lorsque l'on considère une liaison chimique entre deux atomes 
d'électronégativités
différentes, la densité électronique n'est pas répartie équitablement entre les 
deux
atomes. La liaison est alors dite polaire. C'est le cas de la molécule de 
chlorure
d'hydrogène, le chlore étant plus électronégatif que l'hydrogène. Cette 
différence de
répartition de la densité électronique est à l'origine du moment dipolaire
permanent de la molécule. On peut en effet associer à chaque atome une charge
partielle opposée (la molécule restant globalement neutre), et le moment 
dipolaire est
ainsi égal au produit de la charge partielle par la distance entre les atomes, 
orienté
de la charge négative vers la charge positive.
+q

H

Cl

-q

-

p
Avec le paramétrage de la figure 1, le moment dipolaire s'écrit

-

p1 = qa-
u
z
2 L'approximation dipolaire consiste à considérer que le point M où l'on
observe le potentiel (ou le champ) électrique se situe à grande distance
du dipôle, soit
r = OM  a
Cette approximation facilite le calcul du potentiel en se limitant au premier 
terme
non nul dans le développement limité en a/r.
Établissons l'expression du potentiel électrique créé par le dipôle. Par 
superposition, il s'agit de la somme des potentiels créés par chaque charge du 
doublet, soit

q
q
q
1
1
V1 (M) =
-
=
-
40 PM 40 NM
40 PM NM
On considère par convention que le potentiel est nul à l'infini, d'où l'absence 
de
constante. On peut déterminer géométriquement les distances PM et NM
--
PM2 = kPMk2
- --
= kPO + OMk2
- --
= PO2 + OM2 + 2 PO · OM
PM2 = PO2 + OM2 + 2 PO · OM cos( - )
Comme PO = a/2 et OM = r, on en déduit, avec cos( - ) = - cos 
 2
 12
a
2
PM =
+ r - ar cos 
4
et de la même façon

d'où

NM2 = NO2 + OM2 + 2NO · OM cos()
 2
 12
a
2
NM =
+ r + ar cos 
4

Ainsi, le potentiel électrique du dipôle s'écrit
"
- 12  2
- 12 #
q
a2
a
V1 (M) =
+ r2 + ar cos 
-
+ r2 + ar cos 
40
4
4
En factorisant par r2 dans chaque racine de l'expression précédente, on obtient
"
- 12 
- 21 #
q
a
a2
a
a2
V1 (M) =
1 - cos  + 2
- 1 + cos  + 2
40 r
r
4r
r
4r
Dans le cadre de l'approximation dipolaire, on considère r  a, ce qui nous 
permet
de réaliser un développement limité à l'ordre 1 en a/r de l'expression 
précédente.
En utilisant la relation (1 + )  1 +  et en négligeant tous les termes d'ordre 2
en a/r, on trouve alors
 
i
a
a
q h
1+
cos  - 1 -
cos 
V1 (M) =
40 r
2r
2r
soit finalement

V1 (M) =

qa cos 
40 r2

Comme p1 = qa, on peut réécrire cette expression à l'aide du moment dipolaire
V1 (M) =

--

-
p1 cos 
p1 · OM
=
40 r2
40 OM3

-

3 Le champ électrique E1 (M) dérive du potentiel V1 (M) selon la relation
-

--
E1 (M) = -grad V1 (M)
Le champ V1 ne dépend pas de . Le gradient de ce champ en coordonnées 
sphériques,
rappelé dans l'énoncé, s'écrit alors
--
V1 -
 + 1 V1 -

u
u
grad V1 (M) =
r

r
r 
On trouve donc
 
-

1 -

p1 cos  
 - p1

u
(cos ) -
u
E1 (M) = -
r

40 r r2
40 r3 

-

p1 
-
 + sin  -

d'où
E1 (M) =
2
cos

u
u
r

40 r3

-
-

-
4 La molécule située en M subit le couple de forces  = 
p2  E1 (M), or
-

E1 (M) =

p1 -

u
z
20 r3
=-
 au point M. Comme 
-
car  = 0 et -
u
u
p2 forme un angle  supposé non nul avec
r
z
-

l'axe (O, uz ) alors ce couple de force est non nul. On applique le théorème du 
moment
cinétique au dipôle 2 dans le référentiel lié au repère, supposé galiléen, 
suivant l'axe 
, 
-
-
 
- -
passant par M et orthogonal au plan (M, -
u
z p2 ), orienté de façon à ce que (uz , p2 , u )
forme une base directe. Notons L le moment cinétique du dipôle suivant l'axe .
Si J est le moment d'inertie du dipôle rigide suivant l'axe , on a L = J et
p1
dL
-
) · -
=
(
p2  -
u
u
z

dt
20 r3