CCP Physique PC 2020

Thème de l'épreuve Aspects physiques dans l'aviation
Principaux outils utilisés Mécanique des fluides, thermodynamique, mécanique, électrostatique
Mots clefs aviation, avion, ailes, portance, traînée, finesse, polaire, système ouvert, système fermé, bilan, cycle, Brayton, condensateur, capacité, Pitot, tube de Pitot

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 C PC2P

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Lundi 4 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d'un problème constitué de trois parties indépendantes.

Leurs poids respectifs sont approximativement de :

40 % pour la partie I
19% pour la partie II
41% pour la partie III

1/14
PROBLÈME

De la physique de l'aéronef

Ce problème aborde certains aspects de la physique appliqués à un avion dans 
trois parties
indépendantes. Dans la partie I, on s'intéresse à la mécanique du vol avec 
trois sous-parties
indépendantes. Après avoir précisé des généralités dans la sous-partie I.1, on 
étudie la trajectoire
d'un avion dans la sous-partie I.2 puis le décollage d'un avion dans la 
sous-partie I.3. La partie II
aborde des problématiques d'instrumentation et est constituée de deux 
sous-parties indépendantes
avec des études théoriques du tube de Pitot (sous-partie IL.1) et de la mesure 
du givre (sous-partie
IL.2). Enfin, la partie III traite de la propulsion. On calcule d'abord la 
force de propulsion (sous-
partie III.1), puis on aborde l'étude du cycle thermodynamique de Brayton pour 
un turboréacteur
simple flux (sous-partie IIL.2), et on termine par le fonctionnement de la 
tuyère (sous-partie LIL.3).

Les effets de la gravité sur l'air seront négligés dans l'ensemble du problème.

Partie I - Mécanique du vol

La figure 1 représente un schéma simplifié des principales caractéristiques 
géométriques du profil
d'une aile d'avion. L'extrados est la surface supérieure du profil et 
l'intrados est la surface
inférieure du profil. La distance ZL entre le bord d'attaque et le bord de 
fuite est appelée corde du
profil.

On travaille dans le référentiel de l'aile. Dans ce référentiel, loin de 
l'aile, la vitesse de l'air est
notée v,. L'angle entre la corde et v, est l'angle d'incidence i. La vitesse de 
l'avion par rapport à

--

7

a

--

V

OO

l'air est notée V, avec V -- = y

oO e

Dans cette partie, la vitesse de l'avion sera suffisamment faible devant la 
célérité du son dans l'air
pour considérer l'air en écoulement incompressible.

Za RE
extrados Bord \ jé NE
Bord +
. de fuite \ =
d attaque =: mem mm mn mm te me + à + mm : \
intrados Le
D X

2 Corde du profil L

Figure 1 - Caractéristiques géométriques du profil d'une aile d'avion

2/14
L.1 - Généralités

Q1. Définir la notion de ligne de courant associée aux particules de fluide. 
Est-ce une description
de nature eulérienne ou lagrangienne ?

Q2. Dans la figure 2 sont représentées les lignes de courant pour un profil 
donné. En analysant ces
lignes de courant, expliquer pourquoi l'écoulement stationnaire de l'air, 
supposé parfait,
homogène et incompressible, génère une force de portance de l'avion.

re
it _--

HRK

Figure 2 - Lignes de courant autour du profil d'une aile d'avion

Q3. En pratique, pour étudier la répartition de pression P le long de 
l'intrados et de l'extrados, on
définit une pression adimensionnée appelée coefficient de pression :
P --P
C, = -------- |

2
-- © °V
9 Ps OO

où P., p, et v, sont respectivement la pression, la masse volumique et la 
vitesse de
l'écoulement incident loin de l'aile. On représente C, pour l'intrados et 
l'extrados en

fonction de x/L la position par rapport à la corde (figure 3). Justifier à 
quelle courbe, Cp1 ou
CP2, on associe l'intrados et l'extrados.

1} CP1
-0 5 Co D
A7 52 04 > 7/1
0.5| x :
Cp2
1 .
CP

Figure 3 - Coefficient de pression sur l'intrados et l'extrados

Q4. Pourquoi observe-t-on toujours CP < 1 ? 3/14 Par intégration de la différence des coefficients de pression entre intrados et extrados sur toute la corde du profil, on obtient le coefficient de portance, adimensionné, F C, = I < 9 7 Svar Pa Va avec Se la surface de l'aile et F:, la force de portance exercée sur l'aile. Cette force de portance est perpendiculaire à l'écoulement (figure 4). Par ailleurs, la répartition de pression le long de l'intrados et de l'extrados ne se traduit pas uniquement par la force de portance F; qui est perpendiculaire à l'écoulement, mais également par la présence d'une force de traînée F=--C.-S,,-p. -v,", parallèle à l'écoulement et qui s'oppose au déplacement (figure 4). C. est 2 le coefficient de traînée. direction écoulement Figure 4 - Décomposition des efforts aérodynamiques : portance et traînée QS. Vérifier que le coefficient de portance C_ est adimensionné. L'influence de l'angle d'incidence ; sur le coefficient de pression CP est représentée en figure S. incidence 2° ue à mem » me + x incidence 6° extrados Profil de l'aile intrados Figure 5 - Influence de l'incidence sur le Cr 4/14 . Le coefficient de portance est-1l plus important pour une incidence de 2° ou 6° ? Justifier. Q6. L fficient de port C_ est-il pl portant p d de 2° ou 6° ? Justif Q7. Le pilote peut faire varier la surface des ailes en actionnant des surfaces mobiles, les volets. En phase de décollage, indiquer et justifier la configuration que le pilote va choisir : volets rentrés ou sortis ? Q8. On considère un vol en palier, c'est-à-dire avec un vecteur vitesse et une altitude de l'avion constants. Représenter l'ensemble des forces s'exerçant sur l'avion et expliquer comment la force de traînée est compensée. Q9. Pourquoi est-1l intéressant de voler à haute altitude ? Q10. Dans cette question, on se propose d'interpréter physiquement ce que les professionnels de l'aéronautique appellent la finesse f =--= d'une aile. Pour cela, on considère la situation X d'un avion, tous moteurs coupés, ayant un mouvement de translation rectiligne uniforme descendant. On note « l'angle entre la direction de l'écoulement de l'air autour de l'avion et l'horizontale (figure 6). À l'aide d'une représentation des forces sur le schéma de la figure 6, établir le lien entre la finesse f et l'angle &. De quelle distance dy l'avion a-t-1l avancé à l'horizontale lorsqu'il a perdu une altitude dy ? Conclure sur le sens physique de la finesse. 7 _ _ _ Avion Figure 6 - Avion en mouvement rectiligne uniforme sans propulsion Pour apprécier la qualité d'une aile on trace la polaire de l'aile qui est la courbe de son C; en fonction de son C, (figure 7). V Cr \ Figure 7 - Polaire d'une aile 5/14 Q11. Reproduire l'allure de la polaire d'une aile sur votre copie et indiquer les points correspondant respectivement à une traînée minimale, une portance maximale et une finesse maximale. Q12. Quand on va du point pour lequel la traînée est minimale vers le point pour lequel la portance est maximale, comment évolue l'angle d'incidence ? L.2 - Trajectoire d'un avion en présence de vent latéral Un avion doit se déplacer en ligne droite d'un point A vers un point B situés à la même altitude par rapport au sol. Il subit un vent contraire constant de vecteur vitesse v. qui fait un angle @ avec la trajectoire AB comme indiqué sur la figure 8. L'avion vole à une vitesse constante V, par rapport à l'air. Le vecteur vitesse associé, V. , fait un angle 0 avec la route au sol AB. u. et u, sont des vecteurs unitaires. A Figure 8 - Tragectoire avion soumis à un vent contraire Q13. À quelle condition entre W.. v,, get 6, l'avion peut-il se déplacer en ligne droite de A vers B ? Q14. Calculer l'angle de correction © que le pilote doit imposer à son avion lorsque @ -- 20°, sachant que v, = 56 km:h'! et V, = 445 km:h. Q15. L'avion doit faire un aller-retour entre les deux points À et B, distants de d = 500 km dans les mêmes conditions de vent. Calculer la durée T du trajet aller-retour en négligeant la durée du demi-tour. Comparer à la durée T" de ce même trajet en l'absence de vent. Commenter. L.3 - Décollage d'un avion Q16. On s'intéresse au décollage d'un quadriréacteur A380 dont la masse au décollage est de 500 tonnes. Sa vitesse au moment où il quitte la piste est de 260 km:h'!. Estimer, en précisant les hypothèses effectuées, un ordre de grandeur de la poussée d'un réacteur lors de phase d'accélération sur la piste. Discuter votre résultat sachant que la poussée maximale d'un réacteur d'A380 est de 370 KN et que la finesse au décollage est proche de 10. Cette question nécessite une prise d'initiative en termes de modélisation de la situation et d'introduction de valeurs numériques pertinentes. Le barème valorise la démarche menée, même si celle-ci reste inachevée. 6/14 Partie IT - Instrumentation II.1 - Tube de Pitot Le tube de Pitot est un des nombreux capteurs qui équipent l'avion. Il permet la mesure de la vitesse de l'avion, donnée essentielle à sa bonne conduite. Il s'agit d'un tube très fin (moins de 5 mm" de surface) qui est placé parallèlement à la direction de l'écoulement de l'air (figure 9). Ce tube possède deux ouvertures en F et G. L'ouverture en Fest la prise dite de pression totale et celle en G est la prise dite de pression statique. On mesure la différence de pression de l'air entre les deux tubes 1 et 2 avec un manomètre différentiel, ce qui permet d'obtenir la vitesse v, de l'écoulement. tube 2 Figure 9 - Tube de Pitot On considère que l'air est un fluide parfait, homogène, incompressible, de masse volumique p, et en écoulement stationnaire. On rappelle que les effets de la gravité sur l'air sont négligés. Loin du tube l'air a une pression P. et une vitesse v.. Q17. Représenter l'allure de la ligne de courant qui aboutit en F et l'allure de la ligne de courant qui longe le tube et passe à proximité de G. Q18. Déterminer, en fonction de P., p.,,et v,, les expressions de la vitesse vr et de la pression Pr du fluide en F ainsi que la vitesse v& et la pression PG du fluide en G. Q19. Dans le manomètre, 1l y a un liquide de masse volumique p,. On mesure une différence d'altitude h entre les deux surfaces du liquide. Déterminer l'expression de la différence de pression, P,, -- P,, entre ces deux surfaces. Q20. Déduire des questions précédentes l'expression de la vitesse de l'écoulement v, de l'air en fonction de p,, p,,g et h. Comment évolue h lorsque la vitesse de l'air augmente ? 7/14 IL.2 - Mesure du givre Divers accidents d'avions ont été liés à la formation de givre sur les sondes Pitot conduisant ainsi à une perte des indications de vitesse. Dans cette sous-partie on se propose d'étudier deux moyens de mesure du givre. IL.2.1 - Mesure capacitive On considère un condensateur plan constitué de deux armatures 41 et 42, parallèles, de surface S, placées dans de l'air de permittivité &,, uniformément chargées en surface et perpendiculaires à l'axe (Oz) de vecteur unitaire associé u. (figure 10). L'armature A1 possède une densité superficielle de charges positives +o et l'armature 42 une densité superficielle de charges négatives -o. Ces armatures sont séparées d'une distance e. Les dimensions des armatures sont importantes par rapport à la distance e qui les sépare. -- -- O Q21. Montrer que le champ électrique entre les armatures a pour expression : E =------:."u.. £0 À 7 @------ armature À] TT Z--eET. To le < armature 4) TT z=0T OT Figure 10 - Condensateur plan Q22. Déterminer l'expression de la capacité C du condensateur plan. On admet que la capacité d'un condensateur plan placé dans un milieu diélectrique de permittivité relative £&. est obtenue en remplaçant, dans l'expression de la capacité C obtenue à la question précédente, &, par &,*EUR.. Q23. La permittivité relative de la glace est &. -- 80, celle de l'air est égale à I. Il est possible de détecter la présence de glace en utilisant des jeux d'électrodes de différentes tailles et de différents espacements. En vous appuyant sur le schéma de principe de la figure 11, expliquer qualitativement le principe de cette mesure dite capacitive. Justifier la nécessité d'utiliser plusieurs capteurs de tailles différentes. 8/14 lignes de champ / " A 4 À aile avion | / X 1 armatures du | / \ / condensateur armatures du condensateur de capacité C2 armatures du condensateur de capacité C3 de capacité C1 capacité C3 7 à Ci D. D épaisseur de glace Figure 11 - Mesure capacitive IL.2.2 - Mesure à ultrasons Q24. Une autre méthode de mesure de l'épaisseur de la couche de glace consiste à analyser Îles échos d'un signal à ultrasons. Expliquer brièvement le principe d'une telle mesure. Partie IIT - Propulsion Pour leur propulsion, les avions sont équipés majoritairement de réacteurs. Cette dénomination usuelle désigne en fait des turboréacteurs qu1 appartiennent à la catégorie des turbomachines encore appelées générateurs ou turbines à gaz. Les turbomachines présentent plusieurs avantages par rapport aux moteurs à pistons, avec notamment un rapport puissance-poids environ trois fois supérieur. En effet, le nombre de pièces mobiles est réduit et leur mouvement est très simple, ce qui permet de les alléger. Ces machines sont inégalables lorsque de grandes puissances sont requises avec des contraintes d'espace ou de poids. Leur inconvénient majeur est que leur efficacité et leur 9/14 réactivité chutent très rapidement à faible puissance : ils ne sont donc pas adaptés au domaine automobile par exemple. Les constituants principaux d'un turboréacteur sont un compresseur, une chambre de combustion et une turbine. Dans cette partie on étudie un turboréacteur dit simple flux (figure 12) pour lequel le gaz entrant dans le réacteur passe dans un diffuseur pour en diminuer la vitesse avant d'être comprimé par le compresseur. Le gaz comprimé arrive dans une chambre de combustion où 1l est chauffé avant d'être détendu partiellement dans la turbine qui fournit la puissance nécessaire au compresseur. En sortie de turbine, le gaz reste à une pression relativement élevée par rapport à la pression extérieure et 1l est détendu dans une tuyère, ce qui permet de l'accélérer : c'est cette accélération qui permet la propulsion de l'avion. Le turboréacteur simple flux est principalement utilisé dans l'aviation militaire. Chambre de Diffuseur combustion Tuvère Air TT fl Gaz > Q
entrant

D
sortant

Compresseur Turbine

Figure 12 - Schéma de principe d'un turboréacteur simple flux

IIL.1 - Force de propulsion

Le turboréacteur constitue un système ouvert (2). En régime stationnaire, ce 
volume de contrôle

------------

contient à l'instant f une masse d'air M{f) à laquelle on associe une quantité 
de mouvement p(t).
Pour établir le bilan de quantité de mouvement, on doit définir un système 
fermé (2*) qui, à
l'instant , est constitué de A{(f) et d'une masse entrante dans la tuyère Ome à 
la vitesse v, et, à

l'instant { + df est constitué de M{f + df) et d'une masse sortante de la 
tuyère dm, à la vitesse v. . La

pression Po autour du turboréacteur est uniforme. La surface d'entrée du 
turboréacteur est notée Se
et celle de sortie S.

Q25. Donner l'expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé p* 
(1) à l'instant f.

Q26. Donner l'expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé 
p*(t+dt) à
l'instant £ + dr.

10/14
Q27. Des deux questions précédentes déduire, en régime stationnaire, 
l'expression de la dérivée du

dp*(1)
dé

vecteur quantité de mouvement du système fermé à l'instant £. On introduira D, 
Île

débit massique d'air dans le réacteur.
Q28. Effectuer le bilan des forces s'exerçant sur le système.

Q29. Indiquer quelle(s) approximation(s) est/sont nécessaire(s) pour conclure 
que la force

. r r \ 9 -: ' . --= . 5 -- mn
appliquée par le réacteur à l'air a pour expression : F = D, Fr, v.

avion air

Q30. En considérant un réacteur positionné horizontalement avec son entrée à 
gauche comme
indiqué sur la figure 12, représenter qualitativement le vecteur de la force 
exercée par l'air sur

l'avion F ainsi que les vecteurs v, et v. dans le référentiel du réacteur. 
Comparer les

air avion

normes v, et y. des vecteurs vitesses pour que la force exercée par l'air sur 
l'avion soit

propulsive.

III.2 - Cycle thermodynamique de Brayton

Le turboréacteur fonctionne selon le cycle théorique ouvert de Brayton. Les 
conditions d'étude de
ce cycle sont les suivantes :

" |J'air est considéré comme un gaz parfait. Sa capacité thermique massique à 
pression
constante c, est supposée constante, comme le rapport 7 entre les capacités 
thermiques
isobare et isochore. On prendra 7= 1,35 et c, = 1,1 kJ-kg !-K'!,

" les variations d'énergie potentielle sont négligeables,

" |'énergie cinétique est supposée négligeable entre l'entrée du compresseur et 
la sortie de la
turbine.

En entrée du diffuseur, l'air est à l'état (1) : (P1, T1). On considère que le 
diffuseur est idéal, ce qui
revient à dire que l'énergie cinétique du gaz après traversée du diffuseur est 
négligeable devant les
autres termes énergétiques et que la traversée du diffuseur est adiabatique et 
réversible. En entrée du
compresseur, l'air se trouve à l'état (2) : (P2, D) et est amené à l'état (3) : 
(P3 = 10P2, T3) par une
compression adiabatique réversible.

Dans la chambre de combustion, l'air, mélangé au carburant, subit un 
échauffement 1isobare
réversible jusqu'à l'état (4) : (P4, T4 = 1 400 K). Bien que les compositions 
du gaz à l'entrée et à la
sortie de la chambre de combustion soient différentes, pour simplifier la 
modélisation, on suppose
que celle-c1 sert uniquement à réchauffer l'air et que les propriétés de l'air 
ne sont pas modifiées par
ce changement de composition.

L'air parvient alors dans la turbine où 1l subit une détente adiabatique 
réversible jusqu'à l'état (5) :
(P5, T5). Enfin, 1l se détend de façon adiabatique et réversible dans la tuyère 
et arrive dans l'état (6) :
(P6, T6).

On considère un avion qui vole avec une vitesse de croisière V, = 260 m:s! par 
rapport à l'air

considéré au repos. À cette altitude, l'air est à la pression de 34,5 kPa et à 
la température de
-- 40 °C.

L'air entre dans le compresseur avec un débit massique D, =45 kg:s.

11/14
On rappelle que l'expression du premier principe pour une masse m = 1 kg de 
fluide en écoulement

au travers d'une machine est :
2

A++ ge Ar = v, +4,
où Ah représente la différence h --h, entre les enthalpies massiques (en 
kJ-kg"') du fluide à la
sortie h, et à l'entrée }, de la machine,
Av =v"-v"
avec v, et v, les vitesses du fluide à la sortie et à l'entrée de la machine,
Az =Z, --2,
avec z, et z, les altitudes du fluide à la sortie et à l'entrée de la machine, 
w, le travail massique

utile, c'est-à-dire le travail massique (en kJ-kg'!) échangé entre une masse m 
= 1 kg de fluide et les
parois mobiles de la machine, g, le transfert thermique massique entre le 
kilogramme de fluide et la

machine (en kJ-kg'!).

Q31. Donner l'expression de la température 72 en fonction de 71, V, et c,. 
Effectuer l'application
numérique.

Q32. Donner l'expression de la pression P2 en fonction de P1, T1, T2 et y. 
Effectuer l'application
numérique.

Q33. Établir l'expression du travail massique utile Weom fourni à l'air par le 
compresseur. En
prenant 73 -- 480 K, calculer la puissance P de ce dernier.

comp

Q34. Sachant que le travail fourni par la détente du gaz dans la turbine est 
intégralement reçu par le
compresseur, déterminer l'expression de la température 75 en fonction de T2, T3 
et T4.
Calculer la valeur de 75. En déduire la valeur de la pression P3.

Q35. Donner l'expression de la vitesse de sortie du gaz v, en sortie de tuyère 
en fonction de 75, T6
et ©. Calculer la valeur de v, sachant que 74 -- 680 K.

Q36. Déterminer la puissance liée à la force propulsive.

Q37. Calculer le rendement 77 du turboréacteur qui correspond au rapport entre 
la puissance liée à la
force propulsive et la puissance qui sert à chauffer le gaz dans la chambre de 
combustion
Pehamb = 45,5 MW. Comparer avec le rendement d'autres machines thermiques.

IIL.3 - Étude théorique de la tuyère

La tuyère, dernière partie du turboréacteur, a pour but d'accélérer les gaz et 
d'assurer ainsi la
propulsion de l'avion. Dans cette sous-partie, on va détailler le 
fonctionnement d'une tuyère afin
de montrer quelle géométrie est compatible avec l'accélération souhaitée. Cette 
sous-partie est
toutefois indépendante de la précédente.

On considère une tuyère de révolution d'axe horizontal (x'>x), de section 
lentement variable, dans
laquelle se produit une détente d'air. L'air est assimilé à un gaz parfait, 
évoluant de façon
adiabatique réversible, en écoulement permanent unidirectionnel, de telle sorte 
que les paramètres
physiques : pression P, température T7, vitesse v et masse volumique o ne 
dépendent que de
l'abscisse x.

12/14
En x = 0, à l'entrée de la tuyère de section $:, la pression du gaz est notée 
P+, sa température T+, sa
masse volumique £ et la vitesse ve. La capacité thermique massique à pression 
constante c, et le
rapport 7 entre les capacités thermiques 1sobare et isochore sont supposés 
constants.

À l'abscisse x, au niveau de la section S(x), la vitesse du gaz v(x) de 
pression P(x), a pour
7-1
P e 7

P

EUR

expression : v{x)= [vw "+2-c,-T.. +
Q38. On pose v, =./2:c ,-T, . Vérifier que cette quantité est homogène à une 
vitesse. On évalue

v, à environ 1 000 m:s".

Q39. Montrer que le débit massique D, à l'abscisse x a pour expression : D, = 
p,:v,,*S (x) G(x).

Donner l'expression de la fonction G(x) en fonction de Pe, P(x), ve, v, et 7.

P()

EUR

On pose «a (x) = et on se propose dans les trois questions suivantes d'étudier 
et d'exploiter la

courbe CG associée à la fonction G(@) pour 0 < &< 1 représentée en figure 13. G(a@) À 5 D I L 1 " ñ 1 " ñ 1 D a 0 0,1 ] Figure 13 - Courbe CG associée à la fonction G(a) pour 0 < & 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Physique PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Christophe Tisserand (professeur en CPGE) ;
il a été relu par Émilie Frémont (professeur en CPGE) et Julien Dumont 
(professeur
en CPGE).

Cette épreuve traite de la physique d'un aéronef. Elle est divisée en trois 
parties
relativement indépendantes qui peuvent être étudiées séparément.
· La première partie s'intéresse à la physique des ailes d'avion. Elle propose
d'étudier les forces de portance et de traînée ainsi que les notions de finesse 
et
de polaire, qui sont spécifiques à l'aérodynamique. Ces questions font appel à
des connaissances générales en mécanique des fluides.
· La deuxième partie traite de l'instrumentation dans un avion. Dans un premier
temps, un appareil permettant de déterminer la vitesse de l'avion, appelé tube
de Pitot, est analysé. Dans une seconde sous-partie, un condensateur plan 
modifié, permettant de détecter la présence d'une couche de glace et de mesurer
son épaisseur, est étudié à l'aide des lois de l'électrostatique.
· La troisième partie se concentre sur la propulsion de l'avion en étudiant un
turboréacteur d'un point de vue thermodynamique et dynamique. La force
propulsive est calculée à l'aide d'un bilan de quantité de mouvement et le
fonctionnement du turboréacteur est modélisé par un cycle de Brayton. Enfin,
la dynamique d'une tuyère est développée dans une dernière sous-partie.
Ce sujet est intéressant et constitue un excellent moyen de réviser de 
nombreuses
parties des programmes de première et deuxième années. Sa difficulté est 
raisonnable mais il nécessite de faire preuve d'initiative car, dans de 
nombreuses questions,
l'énoncé ne précise pas en fonction de quels paramètres la grandeur physique 
recherchée doit être exprimée.

Indications
Partie I
2 Penser à utiliser la relation de Bernoulli sur une ligne de courant.
3 Utiliser le théorème de Bernoulli sur une ligne de courant.
6 Se souvenir que l'intégrale s'interprète comme l'aire sous la courbe d'une 
fonction.
9 La consommation de kérosène est le critère principal lors d'un vol.
10 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'avion lorsque le 
mouvement est rectiligne uniforme.
15 Dessiner au préalable un schéma du vol entre A et B en ajoutant la vitesse du
-

-

-
vent 
v v et les vitesses de l'avion à l'aller Va et au retour Vr .
16 Utiliser le théorème de l'énergie cinétique entre le départ et l'instant où 
l'avion
quitte le sol.
Partie II
18 Utiliser la loi de Bernoulli sur deux lignes de courant bien choisies.
21 Calculer le champ électrique à l'aide du théorème de Gauss après avoir fait 
une
étude des symétries et des invariances de la distribution de charge.
22 Déterminer la capacité C du condensateur en utilisant le lien entre le champ
électrostatique et la différence de potentiel.
Partie III
27 Utiliser la définition de la dérivée d'une fonction.
30 Penser au principe des actions réciproques ou à la troisième loi de Newton.
32 Calculer la pression P2 à l'aide de la loi de Laplace.
34 Penser que le travail fourni à la turbine est l'opposé de celui reçu par 
l'air de la
part du compresseur.
36 Utiliser la définition de la puissance d'une force.
39 Appliquer la loi de Laplace pour déterminer la relation entre la pression 
P(x) et
la masse volumique (x) au niveau de l'abscisse x.
40 Trouver le profil de la tuyère à l'aide de la conservation du débit massique 
Dm .
42 Utiliser la conservation du débit massique.
43 Relier la pression Pe et la masse volumique e à la température Te à l'aide 
de la
loi des gaz parfaits.

Partie I - Mécanique du vol
1 En mécanique des fluides, une ligne de courant est, par définition, une ligne 
de
-
champ de vitesse 
v (M, t) du fluide. Elle correspond à un lieu de points M tels que
--
la vitesse soit colinéaire au vecteur déplacement élémentaire dOM. Ainsi
-- 
-

-
v (M, t)  dOM = 0
Cette notion correspond à une description eulérienne de l'écoulement du fluide 
car
-
elle fait appel au champ de vitesse 
v (M, t).
Une description lagrangienne correspond à une description avec les trajectoires 
d'une particule fluide, ce qui se confond avec la description eulérienne
-
si l'écoulement est stationnaire, c'est-à-dire si le champ de vitesse 
v (M, t)
ne dépend pas explicitement du temps t.
2 Si l'air, assimilé à un fluide parfait, est en écoulement incompressible, 
stationnaire
et homogène, l'équation de Bernoulli s'écrit sur une ligne de courant
1 2
 v + P +  g z = C
2
où P est la pression de l'air en un point de la ligne de courant,  la masse 
volumique
en ce point, v la vitesse de l'écoulement et C une constante déterminée loin de 
l'aile
d'avion. Sachant que les effets de la gravité sont négligés dans l'ensemble de 
cette
partie, on a simplement
1 2
 v + P = C
2
La constante C est alors identique pour toutes les lignes de courant. Or, les 
lignes
de courant au niveau de l'extrados sont plus resserrées que les lignes de 
courant
au niveau de l'intrados. La vitesse v E au niveau de l'extrados est, par 
conséquent,
supérieure à la vitesse v I au niveau de l'intrados. Puisque  v E 2 /2 est 
supérieur à
 v I 2 /2, on en déduit, d'après la relation de Bernoulli, que la pression PI 
sous l'aile
est globalement supérieure à la pression PE sur l'aile, d'où l'existence d'une 
force
de portance ascendante à cause de cette différence de pression.
3

Il faut faire attention à l'orientation de l'axe des ordonnées dans cette 
question. En effet, l'axe est orienté vers le bas sur la figure.
D'après la question 2, la relation de Bernoulli sur une ligne de courant est
1
1 2
 v + P = C  =   v 2 + P 
2
2
où  , P et v sont respectivement la masse volumique, la pression et la vitesse
de l'écoulement loin de l'aile. Par conséquent, le coefficient de pression Cp 
s'écrit de
façon équivalente sous la forme
Cp =

P - P
 v2
=
1
-
 v 2 /2
  v 2

L'écoulement étant homogène, la masse volumique est uniforme et on aboutit à
v2
v 2
D'après la question précédente, la vitesse v E au niveau de l'extrados est 
globalement
supérieure à la vitesse v I au niveau de l'intrados. Ainsi
Cp = 1 -

Publié dans les Annales des Concours

vI 2
vE 2
>
v 2
v 2
1-

et

vE 2
vI 2
<1- 2 v v 2 Le coefficient de pression de l'extrados est par conséquent inférieur à celui de l'intrados. En conclusion, Cp 1 renvoie à l'extrados et Cp 2 à l'intrados. 4 D'après la question 3, le coefficient de pression s'écrit sous la forme Cp = 1 - v2 v 2 Puisque v 2 /v 2 est toujours positif ou nul, on en déduit que Cp 6 1 5 Les dimensions d'une vitesse, d'une masse volumique, d'une surface et d'une force sont les suivantes v = L.T-1 ] = M.L-3 Fz ] = M.L.T-2 Sref ] = L2 Ainsi, la dimension du coefficient de portance est Fz ] M.L.T-2 = Cz = 2 = 1 Sref  v 2 ] L2 × M.L-3 × L.T-1 En conclusion, le coefficient de portance Cz est sans dimension. 6 Puisque le coefficient de portance Cz est calculé en intégrant la différence des coefficients de pression entre l'intrados et l'extrados, plus cette différence est marquée plus la valeur du coefficient de portance est importante. Or, sur la figure 5, la différence entre les coefficients de pression est plus grande pour une inclinaison de 6 que pour une inclinaison de 2 . Ainsi, le coefficient de portance avec une inclinaison de 6 est plus élevée qu'avec une inclinaison de 2 . 7 D'après la question 6, en augmentant l'inclinaison, on augmente le coefficient de portance. Ainsi, pour faire décoller l'avion, le pilote doit sortir les volets pour augmenter la force de portance. 8 Comme on peut le voir ci-dessous, lors d'un vol en palier, quatre forces s'exercent sur l'avion pour maintenir à la fois son vecteur vitesse et son altitude constants. F~z u~z u~x F~x F~moteur P~