CCP Physique PC 2019

Thème de l'épreuve De l'évolution du concept d'atome au cours du XXème siècle
Principaux outils utilisés mécanique, optique ondulatoire, électromagnétisme, mécanique quantique
Mots clefs atome, Rutherford, Schrödinger, interféromètre, Fabry, Stern, Gerlach, Bohr

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2019 PCPH00S

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Mardi 30 avril:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les six parties de ce problème peuvent être traitées séparément.

Leurs poids respectifs sont approximativement de :

24% pour la partie I
13% pour la partie II
13% pour la partie II
21% pour la partie IV
16% pour la partie V
13% pour la partie VI

1/15
PROBLÈME
De l'évolution du concept d'atome au cours du XX siècle

Ce problème aborde certaines étapes de l'histoire des sciences qui ont permis, 
au cours du XX°
siècle, de préciser la structure et les propriétés de l'atome. Dans la partie 
EL, on s'intéressera à
l'expérience de Æ. Rutherford, qui conduisit à abandonner le modèle de J. J. 
Thomson au profit de
celui de J. Perrin. Les limites de ce modèle feront l'objet de la partie IE, 
limites qui seront
partiellement levées dans la partie IIE avec les postulats de N. Bohr. 
L'expérience historique de
O. Stern et W. Gerlach, décrite dans la partie IV, apportera la preuve de 
l'existence d'un moment
magnétique propre de l'électron. On verra dans la partie V de quelle manière 
l'interprétation
première de cette expérience a été mise en défaut avec l'effet Zeeman. C'est 
finalement la
mécanique quantique qui apporte à ce Jour la description la plus complète de 
l'atome : la partie VI
étudiera le mouvement de l'électron d'un atome d'hydrogène à partir de 
l'équation de
E. Schrüdinger.

Les effets liés à la gravité seront négligés dans l'ensemble du problème.

Le rotationnel d'un champ F(F.F, F.) a pour expression, en coordonnées 
cartésiennes :
h OF. /dy--0F, /dz
rotF =| 0F /dz-0F /ox
OF, /0x--0F, /0y

Données numériques

Constante de Planck h=6,6-10 * J:s

Charge électrique élémentaire e=1,6-10 © C

Masse de l'électron m,=9,1.10 kg

Electronvolt 1eV=1,6-10 % J

Permittivité du vide EUR, =8,9-107 7 A°-s"-kg '-m
Célérité de la lumière dans le vide c=3,0-10* ms!

Partie I - Limite du modèle de J. J. Thomson
à travers l'expérience de E. Rutherford

En 1898, J. J. Thomson fait l'hypothèse que les atomes sont constitués 
d'électrons emprisonnés dans
une sorte de gelée de charges positives. Ce modèle est appelé modèle du "plum 
pudding", car
J. J. Thomson compare les électrons aux raisins du célèbre dessert anglais. Le 
physicien Jean Perrin
imagine, quant à lui, l'atome à l'image du système solaire. Il suppose que les 
électrons gravitent, à
des distances immenses, autour d'un « soleil » d'électricité positive, sur des 
orbites pour lesquelles
force coulombienne et force d'inertie s'équilibrent.

En 1909, Ernest Rutherford, procède à une série d'expériences dans lesquelles 
un faisceau de
particules alpha (noyaux d'hélium 4: ; He), ayant toutes la même énergie 
cinétique, est lancé

contre une mince feuille d'or. Il observe que la majorité des particules alpha 
traversent la feuille
d'or, mais qu'une faible proportion d'entre elles « rebondit » sur celle-ci. Le 
but de cette partie est
de déterminer quel modèle est en accord avec cette observation expérimentale.

2/15
Nous nous plaçons d'abord dans le cadre du modèle de J. J. Thomson, supposant 
une répartition
uniforme de la charge positive dans la feuille d'or.

Q1. Expliquer qualitativement pourquoi le modèle proposé par J. J. Thomson est 
incompatible
avec les observations de Æ. Rutherford.

Nous nous plaçons maintenant dans le cadre du modèle de J. Perrin, supposant 
l'existence d'un
noyau massif de charge positive, et on étudie le mouvement de la particule 
alpha lors de son
passage à proximité de ce noyau.

Le noyau d'or, de charge positive ponctuelle Z.e, supposé ponctuel et immobile 
dans le référentiel

galiléen du laboratoire, se situe au point ©, origine d'un repère cartésien 
orthonormé (o, eee.)
Nous considérons qu'à l'instant initial £ = 0 s, la particule alpha, de masse 
m, et de charge
électrique g4 = + 2.e, vient de « l'infini » avec un mouvement rectiligne 
uniforme caractérisé par un

e,. On désigne par b la distance du point O à la trajectoire de la

vecteur vitesse w =v(1=0)=v"e,
particule à l'infini (figure 1). À chaque instant #, on note d (£) la distance 
entre la particule alpha et
le point ©. La particule alpha est donc repérée par le vecteur position 
OM(1)}=d(t):e,, avec
( e., ee.) une base cylindrique locale directe.

Au plus proche du point O, la particule alpha est au point S, la distance 
minimale en ce point est
notée d,. La particule alpha est non relativiste. L'expérience a été réalisée 
sous très faible pression.

e
noyau d'or *

Figure 1 -- Expérience de Ernest Rutherford

Q2. Donner l'expression de la force qui s'exerce sur la particule alpha en 
fonction de e, Z, d, &, et
e. Donner l'expression de l'énergie potentielle Æ, qui y est associée, en 
considérant que

Jim E, (d ) =0, en fonction de e, Z, d'et &,. Réécrire ces deux expressions en 
fonction de
+00

2
K = fre et d.
DIE,

Citer les propriétés de cette force qui permettent d'affirmer que le moment 
cinétique L, par
rapport au point O et l'énergie mécanique E1, de la particule alpha se 
conservent.

3/15
Q5. Déterminer, en fonction de m, et v,, l'énergie mécanique 1, de la particule 
alpha.

Q4. Exprimer le moment cinétique L, , en fonction de b, m,, v, et l'un des 
vecteurs unitaires du

trièdre direct (e,,e,.e.). Pour cela, vous pourrez calculer Z, en Mo, position 
initiale de la

particule alpha telle que OM, = X EUR. +b.e, .

QS. Établir, à un instant / quelconque, l'expression du moment cinétique EL, en 
fonction de

: _ dO .... A

0 = PE ma, d et de l'un des vecteurs unitaires du trièdre direct (e. EUR; e.) .
t

En déduire une relation entre d, b, 0 et v,.

Q6. Au sommet S de la trajectoire, le vecteur vitesse Ve ; de norme v,, de la 
particule alpha est

perpendiculaire au rayon vecteur OS , de norme d,,. Déterminer un polynôme du 
second degré
en d,, et en déduire l'expression de d,, en fonction de K,b, maet v,.

Q7. Malheureusement, b est inaccessible à la mesure. Par contre, l'angle de 
déviation @ est
facilement mesurable. Il faut donc trouver la relation qui lie @ à b. Pour 
cela, vous écrirez le

principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) en fonction de K, d, mx, v et e. 
Projeter le

P.F.D. sur l'axe des x en introduisant la composante v, de la vitesse selon 
l'axe des x, et
l'angle 0 (figure 1, page 3).

Réécrire cette équation en fonction uniquement de v,, 6, 0, K,b,maet v,.

Intégrer cette équation entre 5 = 0 et >, On remarquera que lim 4(r) =.
1--+00

En déduire que la relation qui lie @ à b est : tan re) : _E .
2) bm,.v

On rappelle que : cosg--1=-2-sin" fe) et sn@=2:cos fe) + in 2) .

Q8. À partir de quelle valeur de o les particules alpha rebondissent-elles sur 
la feuille d'or ?
Expliquer pourquoi le modèle de J. Perrin permet d'interpréter les observations 
de
E. Rutherford.

Nous nous proposons maintenant d'évaluer une borne supérieure à la dimension de 
ce noyau.
Q9. Montrer que la relation qui lie d,, à pest : d, =----:| 1+

Ma Vo sin [e)
2

Q10. Pour quelle valeur @, de l'angle @, la distance d'approche est-elle 
minimale ? Déterminer,
dans ce cas, l'expression de d,, en fonction de K, m, et v,.

4/15
Q11. Que vaut b pour @ = @, ? Représenter l'allure de la trajectoire de la 
particule alpha pour cet
angle et faire figurer d,, sur votre schéma. Justifier que d,, constitue une 
borne supérieure du
rayon du noyau.

Sachant que l'énergie typique d'une particule alpha est de 5 MeV et que le 
numéro atomique
de l'or est Z = 79, déterminer numériquement la valeur de d,.

Q12. Justifier que, pour effectuer des expériences de physique nucléaire, 1l 
faut disposer de
particules de haute énergie.

Partie II - Limite du modèle planétaire

Le modèle de J. J. Thomson est écarté et l'on considère que les électrons 
évoluent, avec un
mouvement circulaire uniforme, autour d'un noyau massif de charge électrique 
positive.
Néanmoins, ce modèle est en contradiction avec une loi classique de 
l'électromagnétisme : toute
particule chargée et accélérée émet de l'énergie électromagnétique.

Pour mettre en évidence les conséquences de cette loi classique de 
l'électromagnétisme, nous allons
étudier le mouvement de l'électron de l'atome d'hydrogène, de masse m. et de 
charge électrique
qe = -- e, qui tourne autour de son noyau, un proton de masse m, et de charge 
électrique g, = + e, sur
une orbite circulaire de rayon r (figure 2). Le noyau est considéré, dans le 
référentiel galiléen du
laboratoire, fixe, ponctuel et placé en son centre C. Le centre de la 
trajectoire circulaire de l'électron
est donc C.

X

l sens de rotation
de l'électron

Figure 2 --- Modèle planétaire de l'atome d'hydrogène

Pour étudier le mouvement circulaire de l'électron, nous allons utiliser le 
repère polaire pour lequel,
en un point M de la trajectoire décrite par l'électron, on associe deux 
vecteurs unitaires e, et e,

(figure 2). e, est le vecteur tangent à la trajectoire au point M et dirigé 
dans le sens du mouvement.

La position de l'électron est repérée par le vecteur position : CM =r: e, et 
l'angle 0 = (Cx, CM) .
Q13. Déterminer l'expression du vecteur vitesse v de l'électron en fonction de 
e > Mes EUR): F et d'un

vecteur unitaire.

Q14. Exprimer l'énergie mécanique E,, (r) de l'électron sous la forme E,,(r)= 
4: f(r) où À est

une constante négative dont vous préciserez l'expression en fonction de e, EUR, 
et f(r) une
fonction qui ne dépend que de 7 que vous déterminerez également.

S/15
Q15. Une loi classique de l'électromagnétisme indique que toute particule 
chargée et accélérée
émet de l'énergie électromagnétique. Aussi, d'après cette théorie, l'électron 
devrait émettre
un rayonnement électromagnétique de puissance moyenne :

4 2 2
ge :r
P(r)= 3
12-7%:EUR,:c
où west la vitesse angulaire de l'électron et c la vitesse de la lumière dans 
le vide.

Cette puissance peut être mise sous la forme P(r)=A où Æ# est une constante.

--,
r

Déterminer l'expression de F, et son unité.

Justifier que le rayon de la trajectoire de l'électron diminue au cours du 
temps.

dr _F

Q16. Montrer qu'il existe une relation différentielle de la forme : r° a = 4°

Q17. À {= 0, on suppose que l'électron se trouve sur une orbite de rayon À. 
Donner l'expression,
en fonction de À, R et À, du temps f; mis par l'électron pour atteindre le 
noyau.
On donne À = 1,0.10°!° m, calculer t. Commenter le résultat obtenu.

Partie III - Postulats de N. Bohr

Les contradictions théoriques précédentes vont être « levées » par Niels Bohr. 
En 1913, ce dermier
postule, d'une part, l'existence d'orbites circulaires sur lesquelles 
l'électron ne rayonne pas
(postulat mécanique) et, d'autre part, que le mouvement d'un électron d'une 
orbite à l'autre se
traduit par l'émission ou l'absorption d'énergie électromagnétique (postulat 
optique).

Le postulat mécanique traduit la quantification de la norme du moment cinétique 
Z de l'électron par
rapport au centre de l'atome
h
L=nh=-n --
2-7
où n est le nombre quantique principal, ne N° et h la constante de Planck.
e

V4 TE mr

Vous considérerez qu'un électron sur une orbite de rayon r possède une vitesse 
v =

e° 1

STE, F

et une énergie mécanique E,, = --

Q18. Montrer que le postulat mécanique implique que l'électron ne peut se 
trouver que sur
certaines orbites de rayon 7, =r,-n°.

Préciser l'expression de r, en fonction de &,, h, me et e. Calculer la valeur 
de r,.

Q19. En traduisant le fait que l'onde de matière associée à l'électron doit 
interférer
constructivement avec elle-même après un tour sur son orbite, établir une 
relation entre la

longueur d'onde de De Broglie de l'électron À et le périmètre P de son orbite.
Montrer qu'on retrouve alors le postulat mécanique de N. Bohr.

6/15
Q20. Montrer que le postulat mécanique implique que l'électron qui se trouve 
sur une orbite de
: , ee E,

rayon 7, possède une énergie mécanique E,, = ----..
n

Préciser l'expression de Æ, en fonction de &,, h, m. et e. Calculer, en 
électronvolt, la valeur

de Æ,. Que représente physiquement E, ?

Lorsqu'un électron va d'une orbite externe vers une orbite interne, on parle de 
réarrangement du
cortège électronique ou de désexcitation et cela se traduit par l'émission d'un 
photon.

Q21. Montrer que la longueur d'onde du photon émis est liée aux nombres 
quantiques », et n, des
orbites de départ et d'arrivée de l'électron par l'expression de Rydberg - Ritz:

2= Ry É L 2 avec n,>n,. R, est la constante de Rydberg.
nf nn

i
Préciser l'expression de R,, en fonction de Æ,, h et c. Indiquer sa valeur et 
son unité

Q22. Les raies de la série de Lyman sont celles pour lesquelles l'électron est 
revenu à la couche K
(ns = 1). Dans ce cas, la mesure des trois premières raies donne les longueurs 
d'onde
suivantes : À = 121,5 nm ; À = 102,5 nm ; À = 97,2 nm.

À quelle partie du spectre électromagnétique ces longueurs d'onde 
correspondent-elles ?
Calculer, à partir de ces valeurs expérimentales, la constante de Rydberg. 
Conclure.

Partie IV - Expérience de ©. Stern et W. Gerlach

En février 1922, Ofto Stern et Walther Gerlach firent la découverte 
fondamentale de la
quantification spatiale des moments magnétiques des atomes. Ce résultat est à 
l'origine de
développements physiques et techniques importants du XX® siècle, comme la 
résonance magnétique
nucléaire, l'horloge atomique ou le laser. Pour cette découverte, Ofto Stern 
reçut le prix Nobel en
1943.

Le dispositif mis en oeuvre est représenté en figure 3, page 8. Il y règne un 
vide poussé. Les atomes
d'argent émergent d'un four pour traverser un collimateur, à la sortie duquel 
seuls les atomes se
propageant selon l'axe (Ox) sont sélectionnés. Ces atomes passent ensuite entre 
les pôles d'un
aimant dont la forme a été choisie pour que le champ magnétique n°y soit pas 
uniforme.

Les lignes de champ magnétique sont représentées en figure 4, page 8. Ce champ 
possède une
composante B; intense, une composante B, moins élevée et nulle au centre, et 
une composante B,
nulle.

Puisqu'un dipôle magnétique de moment magnétique m , situé en un point M où 
règne un champ
magnétique stationnaire B(M), subit une force F={m. grad)B(M ), le jet atomique 
est alors
dévié. En sortant de l'entrefer, 1l continue en ligne droite jusqu'à un écran 
où sont repérés les
impacts des atomes. Il est à noter que les atomes d'argent possèdent un seul 
électron de valence ce

qui fait que, pour l'expérience considérée, ils se comportent de la même façon 
que des atomes
d'hydrogène.

7/15
X

Écran de
| détection
Jet d'atomes

d'argent

Figure 4 -- Lignes de champ magnétique dans l'entrefer

La sous-partie IV.1 traite de généralités qui ont pour objectif d'aboutir, en 
fin de la question Q25, à
l'expression de la pulsation de Larmor Q,. Cette dernière devra être utilisée 
pour répondre à la

question Q30 de la sous-partie IV.2. En dehors de ceci, les sous-parties IV.1 
et IV.2 sont
indépendantes.

IV.1 - Généralités

Q23. Considérons l'électron de l'atome d'hydrogène décrivant un mouvement 
circulaire uniforme
sur son orbite comme indiqué en figure 5, page 9. Donner l'expression du moment

magnétique m associé à la boucle de courant créée par le mouvement circulaire 
de l'électron
en fonction de la vitesse de l'électron v, du rayon r de la trajectoire, de la 
charge électrique

élémentaire e et du vecteur unitaire e..
En déduire que ce moment magnétique est lié au moment cinétique orbital L en C 
de
l'électron par la relation m=7,-L où y, est le rapport gyromagnétique classique 
de

l'électron. Exprimer 7, en fonction de e et me.

S/15
Q24.

Q25.

sens de rotation
de l'électron

Figure 5 --- Modèle planétaire de l'atome d'hydrogène

Un dipôle magnétique de moment magnétique m situé en C et plongé dans un champ
magnétique B(C) subit un moment T(C)=m A B(C). On considère un champ magnétique
orienté selon l'axe (Cz), B(C)=B(C)-e. et indépendant du temps. Il y a donc un 
angle 6

entre l'axe qui porte le moment magnétique (Cz°) et l'axe (C2) (figure 5).
Déduire du théorème du moment cinétique appliqué en EUR à l'atome d' hydrogène, 
que la

norme du moment magnétique |m| = m et sa composante selon z, m, = m- e. sont

indépendantes du temps.

Un point M décrivant un mouvement circulaire autour d'un axe (A), de vecteur 
unitaire w, , à

la vitesse angulaire D= QU, a l'extrémité de son vecteur position OM qui 
respecte la
. dOM _-- ----
relation : Pa = OAOM , avec O un point de l'axe (A).

Justifier alors que l'extrémité du vecteur m tourne autour de l'axe (Cz) en 
décrivant un cercle
e-B
-m

e

à la pulsation de Larmor Q, =

IV.2 - Le dispositif expérimental

Q26.

Q27.

Q28.

Expliquer la nécessité d'un champ magnétique non uniforme dans l'expérience de 
Stern et
Gerlach.

Pourquoi les lignes de champ magnétique présentées en figure 4 de la page 8 
sont-elles
cohérentes avec l'énoncé ? Préciser la parité en y de la composante B, ( y,z).

Puisque la composante B,(y,z) est une fonction continue et dérivable, sa parité 
impose la

y
Rappeler, sous leur forme locale, les équations de Maxwell dans le vide. 
Utiliser l'une d'entre

. . 0B
relation suivante : z =(.
y=0

y

0B
elles pour démontrer que | ---- =0.
oz L

9/15
Q29. Compte-tenu du résultat précédent, montrer que les atomes d'argent qui 
passent en y -- 0 dans
l'entrefer y subissent une force d'expression :

-- 0B _ _
F(y=02)=m [e tm. (®) 'U:.
dy (x,y=0,z) oz (x.y=0,z)

Q30. La durée de passage des atomes d'argent dans l'entrefer est d'environ 6 
microsecondes. En
considérant qu'il règne un champ magnétique d'environ 1 Tesla, justifier 
quantitativement, à
partir de la pulsation de Larmor obtenue à la question Q23, que la composante 
transverse m,

peut être remplacée par sa moyenne temporelle dans l'expression de la force 
F(x, y=0,z)
exercée dans l'entrefer sur les atomes d'argent.

: : eq - 0B mn
Justifier que cette expression se réduit alors à : F(x, y =0,z)=m, { 3 : | U

Z

(x,y=0,z)

z°

Q31. À partir de l'étude des lignes de champ magnétique de la figure 4 de la 
page 8, justifier que
l'atome d'argent soit dévié vers les z positifs lorsque la composante m, de son 
moment
magnétique est positive.

Q32. Pourquoi, d'un point de vue classique, s'attendrait-on à ce que les 
impacts des atomes
d'argent sur l'écran forment une mince ligne ?

Q33. Ce n'est pas ce que l'expérience a montré. Stern et Gerlach ont observé 
deux zones dans
lesquelles impactaient les atomes. Le faisceau d'atome incident s'était séparé 
en deux
faisceaux filiformes dirigés, respectivement, vers le haut et vers le bas. Que 
pouvez-vous en
conclure ?

Partie V - L'effet Zeeman normal

L'effet Zeeman désigne généralement l'éclatement spectral des raies spectrales 
d'un atome quand
on le soumet à un champ magnétique. En présence du champ magnétique, chaque 
raie se
décompose en plusieurs raies très voisines, dont l'écart en fréquence par 
rapport à la raie unique
observée en l'absence de champ magnétique est proportionnel au module du champ 
appliqué
lorsqu'il est faible. Les premières observations faisaient état d'une raie en 
champ nul se
décomposant en trois raies très proches : effet Zeeman normal (figure 6 de la 
page 11).

Dans cette cinquième partie, seule la question Q34 traite de l'effet Zeeman 
normal, les questions
Q35 à Q45, indépendantes donc de la Q34, portent sur l'interféromètre de 
Fabry-Pérot utilisé pour
sa mise en évidence.

Q34. Avec une lampe à vapeur de cadmium, en l'absence de champ magnétique 
(figure 6a,
page 11), la désexcitation des atomes du niveau d'énergie E(6, Vers le niveau 
d'énergie FE:
s'accompagne de l'émission d'un photon de longueur d'onde À = 643,8 nm. En 
présence
d'un champ magnétique B, cette raie se détriple (figure 6b, page 11). Dans un 
modèle très
simplifié, on interprète ce phénomène comme le fait qu'il n'y a plus un seul 
état d'énergie

E2() mais aussi deux autres états d'énergie E,,, +4,-B et d'énergie E,,, -u,-B 
avec
= e-h
F 4x.m,

Donner l'expression de l'écart de longueur d'onde AJ entre deux raies 
consécutives. Effectuer
l'application numérique pour un champ magnétique de 1 Tesla.

10/15
AE =u,.B
E2() E2() AE °

E; E:

Figure 6a - B=0 Figure 6b -- B=B:e.

Figure 6 -- Effet Zeeman normal

Pour mesurer ce faible écart entre deux longueurs d'onde, on peut utiliser un 
interféromètre de
Fabry-Pérot. Il s'agit d'un dispositif dans lequel une lame d'air d'indice n = 
1 est enfermée entre
deux miroirs semi-réfléchissants identiques, aux faces rigoureusement 
parallèles et traités pour
augmenter leur pouvoir réflecteur. Il est représenté en figure 7. Les miroirs 
sont séparés d'une
distance e. Ils ont les mêmes coefficients de réflexion en amplitude 7 et de 
transmission en
amplitude #.

Tout d'abord, nous supposons que le dispositif est éclairé par un rayon 
incident, monochromatique,
de longueur d'onde 1 . Il arrive en O avec un angle d'incidence © par rapport à 
la normale aux
miroirs et possède une amplitude 40. L'épaisseur des miroirs est négligeable et 
nous considérons
que les rayons transmis et réfléchis font tous un angle @ par rapport à la 
normale aux miroirs.

On s'intéresse à l'interférence des rayons émergents à l'infini. Pour observer 
ces interférences, on
les ramène à distance finie en plaçant une lentille convergente de distance 
focale image f à la
sortie de l'interféromètre.

miroirs

=== Lentille Ecran

air air

Figure 7 -- Interféromètre de Fabry -- Pérot

11/15
Q35. On appelle © la différence de marche entre les deux rayons consécutifs 1 
et 2 dans la
direction @ (figure 8). Montrer que 0 = 2-e-cos@. En déduire l'expression de la 
différence de
phase o associée à 6.

Figure 8 -- Différence de marche entre deux rayons consécutifs

Q36. Pour observer la figure d'interférence sur l'écran, comment faut-il placer 
l'écran par rapport à
la lentille ? Quelle figure d'interférence observe-t-on alors ?
Quel autre dispositif permettrait-1l d'avoir une figure d'interférence 
similaire ?

Q37. Pour quelles valeurs de o l'intensité lumineuse est-elle maximale ?

Nous considérons par la suite que l'expression de l'intensité totale est

1
Lu (o) -- Î (0)
1+m:sin° [?)

est le coefficient de finesse de la cavité et Z, l'intensité du rayon incident 
d'amplitude

m2

OÙ m =
d

À, . La fonction Z,,(@) est appelée fonction d'Airy.

Q38. Donner l'expression du coefficient de finesse m en fonction du coefficient 
de réflexion en
énergie À.

2-(1-R)
ue *

La largeur totale à mi-hauteur de la fonction d'Airy est notée 4,,, et vaut: A, 
=

12/15
I
Q39. On a tracé, en figure 9, 3 courbes (a, b et c) de LP) pour 3 valeurs de R 
(0,1 ; 0,5 ; 0,9).
: L

0
Associer à chacune des courbes a, b et c sa valeur À. Pour observer des franges 
lumineuses
fines sur fond obscur, quelle valeur de RÀ choisiriez-vous ?

Lu (®)

g
1
Courbe b
0,11
I k dr 6 ++
1
Courbe c
2 dr 6
. dé (o) :
Figure 9 -- Courbes de ------ pour trois valeurs de R

0

Q40. Justifier physiquement la dépendance de 4,,, avec À.

41. Montrer que l'ordre d'interférence po de la frange centrale est, a priori, 
quelconque. Qu'est-ce
q P £ P q q
que cela signifie pour son éclairement ?

Q42. On considère les anneaux brillants autres que le disque central. Ces 
anneaux brillants sont de
rayon p et on montre que la largeur à mi-hauteur A, de ces anneaux brillants a 
pour

À f°
En déduire, en fonction de 4,,, , un critère simple qui permettrait de 
distinguer deux anneaux

expression : À, = A4,"

brillants voisins, de rayons p, et p,, produits par deux longueurs d'onde 
proches.

13/15
Q43. En notant A4 l'écart entre ces deux longueurs d'onde, ce critère se 
traduit par:

2

A2 > À avec F TVR la finesse de l'interféromèêtre de Fabry-Pérot. En
2-F-e-cos0 1-R

considérant un écart entre les miroirs e = 10 mm, un coefficient de réflexion 
en énergie
R = 0,9 et une longueur d'onde de 643,8 nm, calculer l'écart minimal A14,,;, 
que le Fabry-
Pérot permet d'observer sous une incidence nulle. Ce dispositif est-il adapté à 
l'observation
de l'effet Zeeman normal décrit dans le cas d'une lampe au cadmium soumise à un 
champ
magnétique ?

Partie VI - Orbitales atomiques

Les observations expérimentales et leurs interprétations associées, étudiées 
dans les parties
précédentes, ne représentent que quelques uns des faits expérimentaux qui se 
sont accumulés au
début du XX° siècle sans pouvoir être interprétés globalement. Seule la 
mécanique quantique permit
d'acquérir une vision unifiée et cohérente de l'atome.

Dans cette partie, nous allons étudier quelques apports de la physique 
quantique dans la conception
intellectuelle de l'atome. Nous considérons l'électron de l'atome d'hydrogène 
placé dans le
1 e -- : : à >
---. En régime stationnaire, la fonction d'onde pr)
4TE Fr

associée vérifie l'équation de £. Schrüdinger
h° - - - -
ne APP ef) Ep)
où E est l'énergie d'un état stationnaire de l'électron et À l'opérateur 
Laplacien.

potentiel coulombien V(r)=-

Q44. Par opposition avec les principes de la physique classique, comment est 
décrit le
comportement des particules à l'échelle microscopique en physique quantique ? 
Une réponse
en une phrase est attendue.

Q45. Que représente physiquement, pour l'électron de l'atome d'hydrogène, la 
norme au carré de la
2
?

fonction d'onde associée w(r)

Q46. Concernant l'orbitale 1s (n = 1, / = 0), la résolution de l'équation de 
Schrôdinger conduit à

27
10

- 1 re 2 1
(1) ee et PAU) Cr)
0

avec 7, le rayon de Bohr de la question Q18.

'EUR

Nommer puis expliquer la propriété qui permet de justifier dans l'expression de 
A (nf la

provenance du coefficient =.
Zn

14/15
Q47.

Q48.

Q49.

À partir de l'équation de Schrôdinger, établir l'expression de l'énergie E1,, 
correspondant à
l'énergie d'un état stationnaire de l'électron lié à l'orbitale 1s de l'atome 
d'hydrogène, en
fonction de &,, h, me et e. Comparer son expression à celle de l'énergie Æ, du 
modèle de
Bohr de la question Q20.

L'expression du laplacien d'une fonction scalaire f(r) en coordonnées 
sphériques est :

(ee 40)

La densité de probabilité de présence d'un électron sur une sphère de rayon r, 
encore appelée
densité radiale de probabilité, est notée P(r). Dans le cas de l'orbitale 1s, 
montrer que la

densité radiale de probabilité P(r) de trouver l'électron à une distance r du 
noyau est :
2 27

G)

La courbe de la figure 10 représente P(r) pour l'électron 1s de l'atome 
d'hydrogène. On

1

P(r)=4:

: , 3
montre que la distance moyenne entre l'électron et le noyau est (r) : 3. Fi:

En vous appuyant sur la figure 10, expliquer pourquoi cette distance est 
différente du
maximum de P(r).

P(r)
0.,6/r0
0,5/r0
0.4/r0
0,3/r0
0,2/r0
0,1/r0

0 r/ro

Figure 10 -- Densité radiale de probabilité P(r)

FIN

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Physique PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Christophe Tisserand (professeur en CPGE) ; il
a été relu par Gaëlle Dumas (professeur agrégé) et Julien Dumont (professeur en
CPGE).

Cette épreuve est constituée de six parties qui retracent l'évolution du concept
d'atome au cours du XXe siècle. L'ensemble du sujet porte sur la mécanique, 
l'électromagnétisme, l'optique ondulatoire et la mécanique quantique. Ces six 
parties sont
relativement indépendantes et peuvent donc être étudiées séparément.
· La première partie traite de l'expérience de Rutherford qui a conduit à 
valider
le modèle de l'atome de Jean Perrin. Elle fait appel à des connaissances en
mécanique de première année.
· La deuxième partie évoque les limites du modèle planétaire en montrant qu'en
mécanique classique, la matière ne pourrait exister. Les questions sont centrées
sur des considérations mécaniques et énergétiques.
· La troisième partie utilise les postulats mécanique et optique énoncés par 
Niels
Bohr et fait apparaître la notion de quantification.
· La quatrième partie étudie le dispositif utilisé par Otto Stern et Walter 
Gerlach pour mettre en évidence expérimentalement la quantification du moment
magnétique d'un atome. L'électromagnétisme et plus spécifiquement la 
magnétostatique sont les domaines principalement abordés.
· La cinquième partie est basée sur l'étude d'un interféromètre de Fabry-Pérot
qui permet de mettre en évidence l'effet Zeeman normal. À l'exception d'une
question, toute cette partie utilise l'optique ondulatoire. Le sujet devient 
alors
plus difficile car il fait appel à des notions à la limite du programme.
· La sixième et dernière partie met en lumière l'équation de Schrödinger qui
permet une vision unifiée de l'atome. À l'interface entre la chimie quantique et
la physique quantique, les questions de cette partie utilisent uniquement des
notions de mécanique quantique.
Ce sujet est intéressant car il constitue un excellent moyen de réviser de 
nombreuses parties du programme de deuxième année. Sa difficulté est 
raisonnable et les
questions les plus délicates se trouvent dans les deux dernières parties.

Indications
Partie I
5 Utiliser la base cylindrique pour calculer le moment cinétique.
6 Penser à utiliser la conservation de l'énergie mécanique entre le point M0 et 
le
sommet S de la trajectoire où la vitesse est uniquement orthoradiale.
7 Ne pas oublier la conservation de l'énergie mécanique entre t = 0 et t = +.
Partie II
13 Penser à utiliser la seconde loi de Newton.
16 Appliquer le théorème de la puissance mécanique en faisant attention au 
signe de
la puissance rayonnée.
Partie III
19 Utiliser la relation de de Broglie entre la quantité de mouvement p de 
l'électron
et sa longueur d'onde .
Partie IV
23 Se souvenir que la charge d'un électron est négative dans le calcul de 
l'intensité
sur la boucle de courant.
27 Dessiner le champ magnétique en M', symétrique de M par rapport à Oz, pour
déterminer la parité de ce dernier.
30 Calculer la valeur moyenne temporelle de la force lors du passage de l'atome 
dans
l'entrefer.
31 Penser que le champ magnétique est à flux conservatif et utiliser la 
courbure des
lignes de champ.
Partie V
35 Appliquer un raisonnement géométrique pour déterminer .
37 Relier R et T grâce à la conservation de l'énergie.
42 S'aider d'un dessin représentant la figure d'interférence.
Partie VI
49 Penser à l'asymétrie de la fonction densité radiale de probabilité.

I. Limite du modèle de J. J. Thomson à
travers l'expérience de E. Rutherford
1 Si les électrons de charge négative sont répartis dans une sphère uniformément
chargée positivement, la force électrostatique ressentie par les particules  
est nulle
car la sphère totale modélisant l'atome d'or est globalement neutre. Avec cette
modélisation, les particules  ne sont pas déviées et il est impossible de
comprendre pourquoi certaines « rebondissent » sur les atomes.
2 La force de Coulomb exercée sur la particule  par le noyau d'or est
-

F =

1 2 e × Z e-
Z e2 -

er =
er
2
4  0
d
2  0 d2

Par définition, la force électrostatique, conservative, est reliée au gradient 
d'énergie
potentielle Ep par la relation
dEp
Z e2
=
dd
2  0 d2
En intégrant cette équation, il vient
Z
Z e2
Z e2 + dd
=
-
Ep (+) - Ep (d) = -
2  0 d
d2
2  0 d
En prenant l'infini comme origine de l'énergie potentielle, on obtient
-

Ep =
En posant K =

Z e2
2  0 d

Z e2
, les deux expressions précédentes deviennent
2  0
-

K-
F = 2
er
d

et

Ep (d) =

K
d

-
Puisque F est la seule force qui s'exerce sur la particule , son énergie 
mécanique

-
totale EM est conservative. La force électrostatique F étant centrale, le moment
-
cinétique LO est constant.
3 L'énergie mécanique étant constante, elle peut être évaluée à l'instant 
initial au
point M0 situé à l'infini. Ainsi
EM = Ec (M0 ) + Ep (M0 ) =
d'où

EM =

1
m v0 2 + 0
2

1
m v0 2
2

-
4 Le moment cinétique LO étant constant, il peut être évalué à l'instant 
initial au
point M0 situé à l'infini. Ainsi

X
m v0
- ---

-
LO = OM0  m v0 =  b    0 
0
0

Le calcul du produit vectoriel donne

-

LO = -b m v0 -
ez

-
5 Le moment cinétique LO en un point M quelconque, dans la base cylindrique, est
   
d
d
- --
-

LO = OM  m vM = m 0  d  
0
0

Après calcul du produit vectoriel, on obtient

-

LO = m d2  -
ez
En égalant cette expression avec celle obtenue à la question 5, on a
d2  = - b v0
6 La conservation de l'énergie mécanique entre un point M quelconque et le point
M0 implique que
 K
1
1
m d2 + d2 2 +
= m v0 2
2
d
2
Au niveau du sommet S de la trajectoire, la vitesse est perpendiculaire au 
vecteur
-
OS et par conséquent elle est uniquement orthoradiale. On en déduit que dm = 0 
et
2
1
K
1
m dm 2 m +
= m v0 2
2
dm
2
De plus, la conservation du moment cinétique entre les points S et M0 donne
m dm 2 m = -b m v0
Ainsi, la vitesse angulaire en S vaut
b v0
 m = - 2
dm
En remplaçant la vitesse angulaire dans l'équation de conservation de l'énergie 
mécanique, on obtient

2
1
b v0
K
1
m
+
= m v0 2
2
dm
dm
2
1
1
c'est-à-dire
m v0 2 dm 2 - K dm - m v0 2 b2 = 0
2
2
d'où

dm 2 -

2K
dm - b2 = 0
m v0 2

Le discriminant  de ce polynôme du second degré

4 K2
4 K2
b2 m 2 v0 4
2
=
+4b =
1+
m 2 v0 4
m 2 v0 4
K2
est strictement positif. L'équation admet donc deux solutions réelles. En ne 
gardant
que la racine positive, on aboutit à
r

K
b2 m 2 v0 4
dm =
1
+
1
+
m v0 2
K2
7 L'application du principe fondamental de la dynamique à la particule  
assimilée
à un point matériel dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen donne
m

d-
v
K
= 2-
er
dt
d