CCP Physique PC 2017

Thème de l'épreuve Circulation sanguine et enrichissement de l'uranium
Principaux outils utilisés bilan de masse, mécanique des fluides, effet Doppler, mécanique quantique
Mots clefs circulation sanguine, viscosité, loi de Poiseuille, loi de Murray, équation d'Euler, équation de Navier-Stockes, uranium, énergie de liaison, modèle de Bohr, atome d'hydrogène

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                               

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
              

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2017 PCPH003 un CONCOURSCOMMUNS -.- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE Mercredi 3 mai : 8 h - 12 h N.B. .' le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants. Chaque problème est constitué de parties indépendantes. Leur poids est approximativement de 2/3 pour le problème 1 et de 1/3 pour le problème 2. 1/16 PROBLÈME 1 La circulation sanguine Le 18 décembre 2013 à l'hôpital européen Georges-Pompidou de Paris, le premier coeur 100 % artificiel et autonome était implanté sur un patient. Cette prouesse n'aurait pu être réalisée sans les nombreuses découvertes théoriques et expérimentales qui l'ont précédée. Aussi, nous nous proposons, dans ce problème, d'en étudier un des aspects : la circulation sanguine. Ce domaine de la physiologie est appelé l'hémodynamique. La figure 1 représente le système vasculaire humain. La cavité droite du coeur envoie le sang appauvri en dioxygène dans les poumons à travers l'artère pulmonaire. Les poumons enrichissent le sang en dioxygène. Le sang enrichi en dioxygène retourne dans le côté gauche du coeur et irrigue l'ensemble du corps puis revient au côté droit par la veine cave. Le système vasculaire issu de l'aorte se divise en artères, puis artérioles et capillaires. Le tableau 1 page suivante donne, chez l'homme, le diamètre des différents types de vaisseaux et leur nombre. Le coeur humain pèse environ 0,3 kilogramme et bat environ une fois toutes les secondes lorsqu'il est au repos. À chaque battement, son côté gauche injecte 80 cm3 de sang ar l'aorte à la pression de 16 kPa. La puissance mécanique massique totale du coeur est de 5 W.kg' . Pour une durée de vie d'environ 80 années, cela en fait une source de travail remarquable. Æ"à Circulation [' "-' pulmonaire ' artère veine pulmonaire pulmonaire veine artère aorte cave Circulation générale muscle { _ sang riche en dioxygène 4... -- sang pauvre en dioxygène Figure 1 -- Le système vasculaire humain Le côté gauche du coeur est représenté à droite et le côté droit à gauche. 2/16 Vaisseau Diamètre 2a (mm) Nombre N Artère aorte 101 1 Grandes artères 3 4.101 Branches principales 1 6.102 Branches secondaires 6.10"1 2.103 Branches tertiaires 10"1 8. 104 Artères terminales 5.10"2 106 Branches terminales 3.10"2 107 Artérioles 2.10"2 4.107 Capillaires 8.10"3 109 Tableau 1 -- Diamètres et nombres des différents types de vaisseaux chez l'homme Le biologiste anglais C. Murray a étudié la relation qui existe entre le diamètre d'un vaisseau et le nombre de vaisseaux semblables. La figure 2 où sont portés en échelle logarithmique les nombres de vaisseaux N en fonction de leur rayon a met en évidence cette relation. log N 0 1 2 3 3,74 loga(mn) Figure 2 -- Nombre de vaisseaux N en fonction de leur rayon a Cette relation peut être interprétée par un modèle simple. Le système vasculaire y est alors décrit par deux types de vaisseaux : des artères et des vaisseaux capillaires. Il est supposé être composé de Na artères de longueur La et de rayon r... et de Nc vaisseaux capillaires de longueur LC et de rayon rc (figure 3). Figure 3 -- Modélisation du système circulatoire artériel 3/16 En considérant alors un écoulement laminaire du sang, de viscosité 77, qui se traduit par la loi de Poiseuille, l'expression de la résistance hydraulique de l'ensemble du système, que l'on retrouvera 8'_77. "' _ L L . . . en partie Il, vaut : Riot = { " + c ] . Par a1lleurs, s1 on admet que le corps se constru1t 4 4 Nalra Nc'rc en limitant la résistance hydraulique totale, on peut alors justifier qualitativement la loi de Murray théorique, qui traduit la loi de dépendance entre N... r... Nc et rc. (partie III). Pour une compréhension et une modélisation plus raffinées de la circulation sanguine dans les vaisseaux, il faut garder à l'esprit plusieurs caractéristiques du système vasculaire, qui le différencient d'un réseau d'adduction d'eau, par exemple : - il est alimenté par une source pulsée : le coeur n'injecte du sang dans l'aorte que lors de la contraction du ventricule gauche ; - les vaisseaux sanguins ne sont pas des tuyaux rigides: les tissus qui les constituent possèdent une certaine élasticité ; - le sang n'est pas un liquide newtonien tel que l'eau. Son caractère non newtonien se traduit par exemple par le fait que sa viscosité dépend du diamètre du vaisseau dans lequel il s'écoule. En s'appuyant sur les éléments donnés lors de l'introduction du problème 1, nous établirons dans la partie I certains résultats généraux de la circulation sanguine. La partie Il nous conduira à justifier l'expression de la résistance hydraulique de l'ensemble du système vasculaire et la partie III nous permettra de comparer les lois de Murray théorique et expérimentale. Dans la partie IV, nous étudierons le rôle de l'élasticité des vaisseaux et la partie V traitera de la mesure de la vitesse de circulation du sang par effet Doppler. Ces cinq parties sont indépendantes. Partie I -- Généralités QI. Calculer le volume de sang qui circule chaque minute dans le système vasculaire. Vérifier qu'il correspond, environ, aux cinq litres de sang contenus dans le corps d'un adulte. Q2. En considérant que le côté droit du coeur développe une puissance mécanique de 0,2 Watt, vérifier que la puissance mécanique massique totale du coeur est de 5 W.kg". On pourra notamment s'appuyer sur une analyse dimensionnelle. Q3. En physiologie, on estime qu'environ 10 % de l'énergie reçue par un muscle est convertie en travail mécanique. A quoi peuvent correspondre les 90 % restants ? Q4. Préciser la relation reliant le nombre de vaisseaux N à leur rayon a. Cette relation correspond à la loi expérimentale de Murray. QS. Estimer la vitesse moyenne du sang dans l'artère aorte. Partie II -- Loi de Poiseuille On considère l'écoulement stationnaire d'un fluide incompressible de masse volumique p et de viscosité 77 dans un tuyau cylindrique immobile dans le référentiel d'étude galiléen, centré sur l'axe horizontal (Ax) de vecteur unitaire ex , de section circulaire de rayon et et de longueur L (figure 4, page suivante). Nous sommes alors en présence d'un écoulement de Poiseuille cylindrique. La pression à l'entrée du tube est P(x = O) = PA et P(x = L) = PB à la sortie. Le champ des vitesses est 4/16 de la forme Î/(M ) : v(r)-eî. Par ailleurs, un élément de fluide limité par une partie du cylindre d'axe (Ax) et de rayon r, de surface latérale E(r) , est soumis de la part du fluide situé entre les rayons r eta à la force de viscosité F = 77- Q6. Q7. Q8. Q9. -- dv(r) -E(r) - e_x . On négligera les effets de la pesanteur. dr Figure 4 -- Loi de Poiseuille pour un tube de section circulaire Pourquoi choisit-on des pressions en entrée et en sortie différentes pour décrire cet écoulement? L'équation locale de la dynamique, ou équation de Navier-Stokes, pour les fluides incompressibles est: ;) - %+p - (Î) - grad)λ = f... --gradP+î7-AÏ». Donner la signification des différents termes de cette équation. À quelle condition l'écoulement peut-il être considéré comme laminaire ? Tester cette condition pour l'écoulement dans l'artère aorte en considérant une viscosité dynamique de 10"3 Pas et une masse volumique du sang de 103 kg.m'3. Commenter. D'après les premiers éléments descriptifs de l'écoulement de Poiseuille cylindrique, simplifier l'équation de Navier-Stokes. Pour définir la loi d'évolution v(r), il faut préciser le terme 77--AÎ) . Pour cela, il nous faut retrouver la densité volumique des forces de viscosité en calculant la résultante des forces de viscosité s'exerçant sur une particule de fluide possédant la forme décrite en figure 5. Figure 5 -- Particule de fluide en géométrie cylindrique 5/16 Q10. Déterminer les expressions de la force de viscosité dF+ appliquée sur la face supérieure de surface latérale Z(r+dr) et de la force de viscosité dE appliquée sur la face inférieure de surface latérale 2( r). Montrer que la résultante des forces de viscosité qui s'exercent sur la particule de fluide est donc: dFvisc =fl-{â(r-%D-dÛ-dx-dr-eî. En déduire la densité r r volumique des forces de viscosité f...... . QI]. La pression dépend-elle de la variable 07 Proj eter l'équation de Navier-Stokes et montrer que P --P le champ des pressions est égal à P(x) =PA --(PA --PB)-% et que v(r) =%-(az --r2). .". Q12. Donner l'expression du débit volumique Dv de cet écoulement. En expliquant l'analogie avec 8 - 77 - L 7z-a4 la résistance électrique, montrer que la résistance hydraulique du tuyau vaut : RH = Ql3. Justifier l'expression de la résistance hydraulique de l'ensemble du système vasculaire RM . Partie III -- Loi de Murray On suppose que l'organisme dispose d'un volume V(J donné de tissus pour réaliser les parois du système vasculaire et que l'épaisseur 6 d'un vaisseau est proportionnelle à son rayon extérieur r : e=a-r avec a<<1. Q14. Exprimer V0 en fonction de N... L... r... Nc, LC, rc et a. En exprimant que le système circulatoire se construit en utilisant une quantité minimale et donc un volume V0 minimal de . , . dr . Ussus, determmer C en fonct10n de Na, L... r... Nc, LC, rc. dra Q15. Le corps se construit aussi de façon à minimiser la résistance hydraulique totale R,... du système circulatoire. Montrer que cela entraîne une relation entre N... ra, Nc, rc. que l'on identifiera comme étant la loi de Murray théorique. Q16. Proposer des interprétations à l'écart entre la loi de Murray théorique et la loi expérimentale obtenue à la question Q4. Toute démarche construite, même inachevée, développant une réflexion physique sur les limites de la modélisation, sera prise en considération dans l'évaluation. Partie IV -- Le rôle de l'élasticité des vaisseaux Q17. Il est souvent affirmé que «l'élasticité de l'aorte et des artères contribue à lisser le flux sanguin. ». Expliquer qualitativement pourquoi. 6/16 Pour étudier ce phénomène, nous considérons un tube élastique de longueur infinie que l'on repère par un axe (Ox) représenté sur la figure 6 et nous supposerons le problème à une dimension x. A l'intérieur du tube, en un point d'abscisse x et à un instant [ donnés, un fluide de masse volumique p(x,t)=pÛ+fi(x,t) circule à la vitesse v(x,t) sous une pression P(x,t)=R,+P(x,t). Les grandeurs p(J et P0 correspondent respectivement à la masse volumique et à la pression du fluide dans son état de repos. Les grandeurs fi(x, t) et P(x, t) correspondent respectivement aux variations de la masse volumique et de la pression du fluide par rapport à son état au repos. Nous supposerons que po >> p(x t) et que P >> P(x, t); p(x, t), P(x, t) et v(x, t) sont des infiniment petits du premier ordre. Par ailleurs, les effets de la pesanteur sont négligeables. Enfin, nous considérerons ici que le sang se comporte comme un fluide parfait sans viscosité. oü. 0 A(xat) _1--> ...X Figure 6 -- Modélisation de l'artère Pour décrire l'élasticité du vaisseau, nous avons besoin de nous intéresser à la surface de sa section A(x,t) et à sa distensibilité D. Sa section se décompose en : A(x,t) : A0 + A(x,t)où A0 correspond à la surface de la section du vaisseau au repos et Â(x,t) est un infiniment petit du premier ordre. La distensibilité a pour expression D- -- -- A-{a--Al où (%)--A) désigne la dérivée de la S BP BP surface A en fonction de la pression P à entropie S constante. En l'absence de viscosité, l'entropie 1 A est maintenue constante et DNÂ.P' Enfin, le sang sera considéré ici comme légèrement . . . . ,. . 1 Bp 1 ;) compress1ble, de compres51b1hte15entrop1que % =---- 5" ,qui est ici assimilable a % ------ -;. 5 po Q18. Donner l'expression de l'équation d'Euler. En tenant compte des termes d'ordre le plus bas, prouver que l'équation d'Euler se réduit à l'équation suivante : ôv_ _Ê p°aÎ ax" Q19. Établir le bilan de masse entre les instants t et t+dt dans le volume A(x,t)-dx délimité par le vaisseau entre les sections situées aux abscisses x et x+ dx. Q20. Cette équation conduit, après avoir retenu les termes d'ordre le plus bas, àla relation. dv BA 8 po'Ao'_x+po'_+ _P= dt a: En déduire qu'elle correspond àla relation : (D + ;{5 ) Ê--Î= --? . x 7/16 Q21. À partir des résultats précédents, montrer que Î3 obéit à une équation d'onde de type d'Alembert. Préciser cette équation. En déduire l'expression de la vitesse de propagation c de l'onde de pression en fonction de p.,, D et 13. Donner la forme de la solution de cette équation. Quelle est la dénomination usuelle de ce type d'onde '? Vérifier que si le sang est . , , . . . ] consdere comme un fluide 1ncompress1hle, alors c = -- . Dans ce cas, c est de l'ordre du po 'D mètre par seconde, commenter cette valeur. Partie V -- Effet Doppler Avec l'âge apparaît une dégénérescence du tissu artériel liée à une calcif1cation de la paroi. Pour une surpression inchangée, on observe une souplesse de l'artère très diminuée. Pour assurer le même débit et donc obtenir la même augmentation de volume de l'artère, le coeur est donc contraint d'imprimer une plus grande surpression : c'est l'hypertension. Pour étudier, entre autres, ce type de pathologie, on cherche à employer des méthodes non invasives. Ainsi, dans cette partie, nous allons nous intéresser à la mesure de la vitesse de circulation du sang par effet Doppler. Lorsqu'un émetteur E, en déplacement à la vitesse VE dans un référentiel (% ), émet une onde à la fréquence 1%, de vitesse de propagation 6, alors un récepteur R en déplacement à la vitesse % évaluée dans ce même référentiel perçoit un signal à la fréquence fR (figure 7). Figure 7 -- Effet Doppler 1_ "ER "'le La theorie nous 1nd1que que f R f E î , avec uER le vecteur unitaire dirigé de E vers R. 1_ "ER VE c Considérons une sonde fixe associée au référentiel (9î). Elle émet, dans ce référentiel une onde ultrasonore de 1fréquence f-- -- 4 MHZ qui se propage dans le corps humain à la vitesse c-- -- 1,5.103 m. s'1 .Le globule rouge est mobile et circule a la vitesse V: V- u L.e vecteur d' onde k fait un angle 9 avec le vecteur unitaire ux (figure 8, page suivante). Le globule perçoit alors une fréquence f '. Assimilé à une sphère de diamètre de 7 um, il rétrodiffuse une partie de l'onde qu'il reçoit. La sonde ultrasonore, qui peut également fonctionner en réceptrice, réceptionne alors une onde de fréquence f 8/16 Figure 8 -- Principe de la mesure de la circulation sanguine avec une sonde ultrasonore Q22. En figure 8, quel est l'intérêt du gel situé entre la sonde et la peau ? Q23. Que représente la direction du vecteur d'onde ? Calculer sa norme. Q24. Donner l'expression de la fréquence f ' en fonction def, V, c et EUR. En déduire l'expression de la fréquence f " en fonction des mêmes grandeurs. Q25. En considérant que V<< c, donner l'expression de V en fonction def, f ", c et EUR. Q26. Pour un angle EUR = 45°, calculer le décalage en fréquence Af : f " -- f pour une vitesse du sang dans l'aorte de ] m.s'1 et de 10"3 ms" dans un capillaire. Décrire une méthode expérimentale permettant de mesurer ce décalage en fréquence. En pratique, les dispositifs actuels envoient des signaux sous forme d'impulsions. Chaque impulsion transporte le signal de la fréquence f utilisée pour l'effet Doppler. La fréquence d'émission de ces impulsions est calculée pour que la durée de l'aller-retour du signal puisse être mesurée, ce qui permet d'évaluer la distance de la source à l'objet mobile réémetteur. C'est ainsi qu'est reconstruite l'image vue sur l'échographie. Les fréquences des objets réémetteurs situés à différentes profondeurs sont séparées par analyse de Fourier. Plusieurs modes de représentation sont utilisés. Dans l'un d'eux, l'image obtenue par échographie est complétée avec des couleurs représentant les différentes vitesses des parties en mouvement. Q27. Traditionnellement, les vitesses correspondant à des objets qui s'éloignent sont codées en bleu alors que les objets qui se rapprochent sont codés en rouge. Expliquer en quoi ce choix va à l'encontre des conventions auxquelles est habitué le physicien. Q28. Le phénomène d'hypertension peut s'aggraver lorsque des dépôts de graisse se forment sur la paroi intérieure des artères. L'artère se bouche peu à peu et même avec une forte surpression le coeur ne peut plus distendre suffisamment les parois. Comment le coeur peut-il assurer, malgré tout, un bon débit ? 9/16 PROBLÈME 2 Enrichissement de l'uranium Les réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP) exploitent l'énergie libérée par la fission de noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons : 511 + 29325U + PF 1*+ PF 2*+ 2 à 3 311 . La fission génère des noyaux radioactifs (les produits de fission: P.F.) et libère également des neutrons qui peuvent, à leur tour, générer des fissions. Une réaction en chaîne peut alors se développer: neutrons + fissions + neutrons + fissions +... Cependant, pour maintenir la réaction en chaîne, il faut un nombre de fissions par unité de volume et de temps satisfaisant et donc une teneur volumique minimum en uranium 235. Le terme « enrichissement >> indique la teneur en isotope d'un élément. Par ailleurs, il désigne également le processus physique par lequel cette teneur est accrue. Pour ce problème, l'enrichissement de l'uranium N correspond à l'enrichissement massique en muz35 uranium 235 : N = , où mU235 et mU238 sont respectivement les masses de l'ensemble mu235 + mU238 des atomes contenant des noyaux d'uranium 235 et 238 présents par unité de volume. Un combustible nucléaire à base d'uranium naturel, c'est-à-dire un combustible pour lequel les proportions en noyaux d'uranium 235 et 238 correspondent à celles du minerai d'uranium extrait de la mine, a un enrichissement de 0,7 %. Il ne convient pas aux REP (nous n'en développerons pas ici les raisons). Le combustible nucléaire des réacteurs à eau pressurisée nécessite un uranium enrichi entre 3 et 5 %, ce qui va être obtenu grâce à l'opération d'enrichissement. Ce problème a pour objectif d'étudier le principe d'un des procédés d'enrichissement envisagé par le commissariat à l'énergie atomique et aux énergies alternatives (CEA) : le procédé par Séparation Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique (SILVA). Il est basé sur l'ionisation des atomes contenant des noyaux d'uranium 235 à travers la mise en oeuvre de lasers. Dans un premier temps, nous préciserons certains aspects généraux associés à l'opération d'enrichissement (partie 1). Puis, dans un deuxième temps, nous spécifierons, dans le cadre de l'atome d'hydrogène, l'influence de la masse du noyau sur les énergies de liaison des électrons (partie II) puisque c'est précisément sur cette propriété que repose le procédé d'enrichissement SILVA dont nous étudierons certains aspects en partie III. Ces trois parties sont indépendantes. Les effets liés àla gravité seront négligés dans l'ensemble du problème. 10/16 Données numériques Constante de Planck h = 6, 6 - 10234 J- 5 Charge électrique élémentaire e = 1,610"19 C Electronvolt 1 eV = 1,6.10'19 J Masse de l'électron m = 9,1.10'31 kg Permittivité du vide 80 = % F - m*1 36 - 7z - 10 Rapport des masses de l'électron et du proton & = 5, 4 - 1044 m P , , . m 1 Rapport des masses de l'electron et du deuterrum EUR = 2, 7-10 4 "% Vitesse de la lumière dans le vide c = 3, 0 - 108 m - s'l Partie I -- Quantité d'uranium à enrichir pour un rechargement annuel d'un quart du combustible L'opération d'enrichissement a pour objectif de séparer les isotopes naturels de l'uranium (238U et 235U) du flux d'approvisionnement F (Feed), d'enrichissement NF = 0,7 %, en deux flux. L'un, appelé P (Product), est le flux d'uranium enrichi en 23 5 U, d'enrichissementh. L'autre est le flux W (Waste) d'uranium appauvri en 235U, d'enrichissement NW. Cette étape du cycle du combustible est représentée en figure 9. F, P et W sont les masses d'uranium totales (en uranium 235 et 238) exprimées en tonnes. L'enrichissement du flux appauvri NW est encore appelé teneur de rejet. Elle est fixée par l'électricien (EDF en France) et vaut entre 0,1 % et 0,3 %. / PÏOdUCt P (NP) Feed F (NF) Enrichissement Waste W(NW) Figure 9 -- Principe de l'opération d'enrichissement Dans cette partie, nous allons évaluer la quantité F d'uranium d'enrichissement naturel nécessaire pour un REP de puissance électrique Pe = 1,0 GW, dont un quart du combustible d'oxyde d'uranium U02, enrichi à Np = 3,7 %, est changé tous les ans. 11/16 Q29. Lors de l'étape d'enrichissement, les masses totales d'uranium, et donc le nombre de noyaux ( N P _ NW ) (N.--NW)'P' d'uranium de chaque isotope, sont conservées. Montrer que : F = Q30. Le rendement 77 entre la puissance électrique et la puissance thermique P,;1 provenant des fissions vaut 1/3. Par ailleurs, la puissance thermique volumique (pV qui est la puissance thermique produite par unité de volume de combustible U02 vaut 330 W/cm'. En considérant mu que le rapport des masses de l'uranium et de l'oxyde d'uranium est a = x 0,88 et que la mUO2 masse volumique de l'oxyde d'uranium on2 vaut 10 g/cm', calculer la masse d'uranium provenant du combustible usé, ma], à changer chaque année. En déduire la quantité F d'uranium d'enrichissement naturel nécessaire chaque année, en tonnes, si NW est fixée à 0,3 %. Comment évolue cette quantité si NW diminue ? Partie II -- Energies de liaison de l'électron de l'atome d'hydrogène C'est l'interprétation satisfaisante des raies visibles de l'atome d'hydrogène (série de Balmer, figure 10), qui conduisit Bakr à énoncer deux postulats : << 1) Tout système atomique possède une multiplicité d'états possibles, les «états stationnaires», qui correspondent en général à une série discrète de valeurs de l'énergie ; ces états sont caractérisés par une stabilité particulière, d'après laquelle toute variation d'énergie de l'atome doit être accompagnée d'une << transition » totale de celui-ci d'un état stationnaire à un autre. 2) L'émission et l'absorption de rayonnement par un atome sont liées aux variations possibles d'énergie, la fréquence du rayonnement étant déterminée par la « condition de fréquence >> h-V : E2 --E1, c'est-à-dire par la différence d'énergie entre l'état initial et l'état final du processus de transition considéré. >>. =6 =5 =4 5 ;! ,B & =3 Âô Ây Âfl Âa À(nm) n=2 n=l Figure 10 -- Raies de la série de Balmer du spectre de l'hydrogène 12/16 Pour déterminer les valeurs discrètes des énergies de l'atome d'hydrogène, Bohr va considérer que l'électron tourne autour de son noyau, un proton de masse mp et de charge électrique qp = + e, sur une orbite circulaire de rayon r (figure 11). Tout d'abord, le noyau est considéré, dans le référentiel galiléen du laboratoire, fixe, ponctuel et placé en son centre O. sens de rotation de l'électron Figure 11 -- Le modèle planétaire de l'atome d'hydrogène Pour étudier le mouvement circulaire de l'électron, nous allons utiliser le repère polaire pour lequel, en un point M de la trajectoire décrite par l'électron, on associe deux vecteurs unitaires er et 69 (figure Il). % est le vecteur tangent à la trajectoire au point M et dirigé dans le sens du mouvement. La position de l'électron est repérée par le vecteur position OM =r-eÎ et l'angle 9=(OE, OM). Q31. Exprimer le vecteur vitesse v de l'électron en fonction de e, me, 80 , r et d'un vecteur unitaire. Q32. Exprimer l'énergie mécanique E de l'électron en fonction de sa quantité de mouvement p et de sa masse me. Commenter le signe de E. Le premier postulat de Bohr reflète la quantification de la norme du moment cinétique L de , h . . . l'electron par rapport au centre de l'atome : L = n -- h = n--- . n est le nombre quant1que pr1nc1pal, 2-7z ne N'. h est la constante de Planck. Ce postulat impose que l'électron ne peut se trouver que sur certaines orbites de rayon r = ro - n2 avec ro : 0,5-10"°m. Q33. Montrer qu'il implique également que l'électron qui se trouve sur une orbite de rayon r E _0 2 71 me et 6. Calculer, en électronvolt, la valeur de E0 . possède une énergie mécanique E = -- . Préciser l'expression de E0 en fonction de 8... h, Q34. Que représente la valeur absolue de l'énergie jEj ? Ces valeurs sont tabulées dans des tableaux à deux entrées : Z qui caractérise le nombre d'électrons de l'atome et n qui indique la couche sur laquelle est l'électron. À Z fixé, justifier l'évolution de |E| en fonction de n. 13/16 Lorsqu'un électron va d'une couche externe vers une couche interne, on parle de réarrangement du cortège électronique ou de désexcitation et cela se traduit par l'émission d'un photon. Q35. Montrer que la longueur d'onde du photon émis est liée aux nombres quantiques n, et nf des 2 nf VL 1 couches de départ et d'arrivée de l'électron par l'expression: %=R-l:L--Lî:l. R est la constante de Rydberg. Préciser son expression en fonction de E0 , h et c. Indiquer son unité. Pour la suite, on prendra R = 1,1.107 U.S.I. . Q36. Calculer la longueur d'onde /la issue du mouvement d'un électron de la couche M (n, = 3) vers la couche L (n f = 2). Justifier alors la dénomination de postulat optique du deuxième postulat de Bakr. Dans les calculs précédents, nous avons supposé que l'électron tourne autour du noyau immobile. Ceci serait vrai si la masse du noyau était infinie devant celle de l'électron. Cette hypothèse est valable en première approximation, mais lorsqu'on observe les spectres émis par plusieurs isotopes du même élément, on constate de légers écarts. Effectivement, en toute rigueur, ce n'est pas le noyau qui est fixe mais le centre de masse du système noyau -- électron. Ainsi, les calculs faits s'appliquent au mouvement réduit, autour du centre de masse, d'une particule ayant la masse redu1te # = ' , avec mN la masse du noyau concerne. L'energ1e de l'electron depend donc, en me 1+ mN partie, de la masse du noyau et peut être reliée aux calculs précédents en remplaçant la masse de l'électron par la masse réduite ,a. Dans ce cadre, lorsque le noyau de l'atome d'hydrogène est un proton, son énergie mécanique est notée EH. Lorsque le noyau est un noyau de deutérium, son énergie mécanique est notée E D . Le deutérium est un noyau composé d'un proton et d'un neutron. Q37. Montrer que, pour n fixé, ED--EH ={L--LJ-me-E avec md la masse du noyau de mp md deutérium. Évaluer, en électronvolt, E D -- E H pour n = l. , . , , - Â"a H _ Âa D Q38. Evaluer pu1s commenter 1 ecart relat1f _" a,H de l'atome d'hydrogène lorsque le noyau est un proton et la longueur d'onde À...; de la raie 0: lorsque le noyau de l'atome d'hydrogène est un noyau de deutérium. entre la longueur d'onde %... de la raie 05 Partie III -- Procédé SILVA Actuellement, l'industrie de l'enrichissement repose principalement sur le procédé de l'ultracentrifugation. Néanmoins, le CEA a travaillé sur la mise en oeuvre d'un procédé qui repose sur l'ionisation sélective d'une vapeur atomique d'uranium en utilisant un laser. Ce procédé, SILVA (Séparation Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique), nécessite un canon à électrons pour vaporiser un lingot d'uranium métallique contenu dans un creuset refroidi. La détente de la vapeur 14/16 s'effectue sous vide et les atomes d'uranium pénètrent dans la zone d'interaction avec le faisceau laser (zone d'ionisation). Les atomes, dont le noyau est de l'uranium 235, sont ionisés puis extraits par un champ électrique sur des plaques de recueil du produit riche polarisées négativement. La vapeur d'uranium appauvri continue son ascension jusqu'à un collecteur appelé toit pauvre. La figure 12 en présente le principe. '[IIIIIIIIIII"II""IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII' Toit pauvre Plaques /riches\ \\ \ l./ /\J Dilution Zone 6 d'ionisation Détente dela vapeur d'uranium Encelnte--o sous Vide \\\\\\\\\'\\'\\'\\\\\\\\\\\\\\'\\\\\\\\\\\\\\\\\ Bombardement électronique Figure 12 -- Le principe du procédé SILVA Source : Techniques de [ 'ingénieur, BN 3601 L'ionisation sélective des atomes d'uranium dont le noyau est de l'uranium 235 est possible car l'énergie de première ionisation de l'atome d'uranium dépend légèrement de son noyau. Ainsi, pour ioniser un atome d'uranium possédant un noyau d'uranium 235 il faut 6,180 eV, alors que pour un noyau d'uranium 238 il faut 6,194 eV. On se place maintenant dans le référentiel du laboratoire muni d'un repère cartésien orthonormé (O,ê,eî,eî) comme indiqué dans la figure 13 de la page suivante. On considère que nous sommes en régime permanent, que l'uranium métal est à sa température de vaporisation T ...}, _ --3 858 K et que l'on vaporise l'uranium avec un débit m de 10 kg par heure. L' enthalpie massique de vaporisation de l'uranium vaut ! -- --2, 0 MJ. kg"'. Le creuset froid est adiabatique et nous négligerons les interactions entre les électrons et la vapeur d' uranium. Les électrons du canon à électrons sont générés en G avec une vitesse vG nulle (figure 13, page suivante). Ces derniers sont accélérés entre G et H grâce à l'application d'une tension UHG Ils arrivent en H avec une vitesse vH (VH =vH -ey) dans une zone où règne un champ magnétique permanent et stationnaire B . Ils atteignent le creuset en 1 avec une vitesse v; (v, = --v, e}, ). 15/16 25958 85 Sa...... EMEA... ; | woBvoeaOE--Bä OEaofiôbfiä EUR... 8505 » OEoofiôä Que. me:... EH 7% OEoofiôboe ...mmÇoe &: 8505 89: SH Që.88...3 ËËP o...8fim...ä @@ Svôb ...... 2 &... oobfio ©... :...  êä=...... ®mäo &: %ooË... OEoo....85oeæbâfifio 028 EURbm:oeE a...oEä ooäoemcoba-o=@ ...» CAN. 05%... 5 übommo m...uoe0fiæ...æ && 5oeoOE QE ...... coeêOE a......BoemËfi on 900%». 5mo...oe$ oo n:@ 85 m...æbfi...æ. OÈ. WOÇBÇO... oe-....-o: wo_oeamm bmæoeü 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Vincent Freulon (professeur en CPGE) et Julien Dumont (professeur en CPGE). Le sujet est composé de deux problèmes indépendants dont les parties sont elles aussi indépendantes. Le premier problème étudie la circulation sanguine dans le corps humain. · La première partie permet d'établir des résultats généraux sur la circulation sanguine. Elle est courte et ne demande que de savoir calculer un débit volumique et exprimer une puissance à partir d'une force de pression. · La deuxième partie établit une expression de la résistance hydraulique de l'ensemble du système vasculaire. Elle est plus compliquée que la première mais reste de difficulté modérée si le cours sur l'équation de Navier-Stokes est connu. · La troisième fait établir une loi théorique reliant le nombre de vaisseaux sanguins à leurs rayons, que l'on compare à une loi empirique. · La quatrième partie étudie l'élasticité des vaisseaux sanguins à partir de l'équation d'Euler et établit l'équation de propagation d'une onde de surpression dans ces vaisseaux. Sa difficulté est modérée si le cours sur les ondes acoustiques est maîtrisé. · La dernière partie traite de la mesure de la vitesse de circulation du sang par effet Doppler. Elle peut être compliquée si c'est la première fois qu'on étudie ce phénomène. Plusieurs questions font appel au sens physique et ne demandent aucun calcul. Le second problème étudie la séparation isotopique par laser sur vapeur atomique, procédé envisagé par le commissariat à l'énergie atomique et aux énergies alternatives pour enrichir le minerai d'uranium naturel en uranium 235. Le problème est divisé en trois parties. · La première partie demande de faire un bilan de masse et d'écrire le rendement en puissance. · La deuxième partie propose une étude des énergies de liaison via le modèle de Bohr. C'est la partie la plus difficile du sujet même si l'étude est guidée pas à pas par l'énoncé. · La troisième partie étudie plusieurs généralités du procédé d'enrichissement : mouvement d'un électron dans un champ magnétique constant et uniforme, puissance nécessaire pour vaporiser un solide, ionisation par absorption d'un photon. Le sujet permet de travailler ou réviser de nombreuses notions : équations d'Euler et de Navier-Stokes, résistance hydraulique, bilans de masse et de puissance, effet Doppler, modèle de Bohr, mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique, énergie de vaporisation. Indications Problème 1 : la circulation sanguine 2 Exprimer la puissance mécanique fournie par le côté gauche en fonction de la surpression dans l'aorte et du débit volumique de sang. 5 Le débit volumique de sang dépend de la vitesse moyenne de celui-ci. 11 On détermine les constantes d'intégration à partir des conditions aux limites : dv/dr est finie en r = 0 et v(a) = 0. 13 Les Nc capillaires sont en parallèle. Même remarque pour les Na artères. L'ensemble de celles-ci est en série avec l'ensemble des capillaires. 15 Utiliser le résultat de la question 13 pour trouver une seconde expression de drc /dra . Utiliser ensuite le résultat de la question 14. 16 Étudier la validité des hypothèses faites par l'énoncé. 21 Utiliser les résultats des questions 18 et 20. 24 L'expression de f s'obtient en considérant que la sonde reçoit l'onde de fréquence f émise par le globule rouge. Problème 2 : enrichissement de l'uranium 29 La masse d'uranium est conservée. 30 Utiliser l'expression de la question 29 pour trouver F. 31 Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à l'électron. 33 Relier L et p, trouver l'expression de r0 et exprimer E en fonction de L pour en déduire E0 . 37 Remplacer me par µH et µD dans le résultat de la question 33. 38 Remplacer me par µH et µD dans le résultat de la question 35. 39 Étudier la force de Lorentz qui s'applique aux électrons. La force centripète et celle de Lorentz sont de même module. 40 Exprimer la puissance nécessaire pour vaporiser l'uranium avec le débit massique dm/ dt. Considérer que la puissance transportée par les électrons est totalement utilisée lors de cette vaporisation. Problème 1 : la circulation sanguine 1 Le coeur injecte un volume V c = 80 cm3 de sang dans le système vasculaire à la fréquence f c = 60 min-1 . Le volume total de sang injecté en une minute est par conséquent V c f c = 80 × 10-3 × 60 = 4,8 L.min-1 Cette valeur correspond environ aux cinq litres de sang contenus dans le corps d'un adulte. Ainsi, chaque minute, la totalité du sang passe par le coeur. 2 La puissance mécanique massique totale du coeur P c,m est égale à la somme des puissances mécaniques des côtés droit (P d = 0,2 W) et gauche (P g ) du coeur divisée par la masse du coeur mc Pd + Pg P c,m = mc La puissance P g est le produit de la fréquence des battements f c et du travail de la force de surpression V c Pc , avec Pc = 16 kPa. Ainsi P g = Pc V c f c On en déduit l'expression de P c,m P c,m = P d + Pc V c f c 0,2 + 16 × 103 × 80 × 10-6 × 1 = = 5 W.kg-1 mc 0,3 Cette valeur est bien celle annoncée par l'énoncé. 3 Des réactions chimiques convertissent l'énergie reçue par le muscle en travail mécanique. En moyenne, ces réactions chimiques sont exothermiques et une grande partie de l'énergie reçue par le muscle est convertie en énergie thermique, ce qui maintient la température du corps à 37 degrés Celsius. L'énergie restante est utilisée pour le fonctionnement interne de la cellule (transport de molécules par exemple). 4 D'après la figure 2, une loi linéaire lie log N et log a : log N = 1 log a + 1 L'ordonnée en log a = 0 donne 1 = 10 et l'abscisse log a = 3,74 pour log N = 0 permet d'écrire : 1 1 = - = -2,7 3,74 Finalement, on a N = 1010 a-2,7 avec a en micromètres. On peut aussi utiliser les valeurs du tableau 1 pour tracer N en fonction de a en échelle logarithmique, réaliser un ajustement linéaire et obtenir la loi : N = 1010 a-2,8 avec a en micromètres. 5 Le débit volumique V c f c s'exprime en fonction de la section de l'artère aorte aa 2 et de la vitesse moyenne v a du sang dans celle-ci, selon V c f c = aa 2 v a On en déduit va = Vc f c 80 × 10-6 × 1 = = 1,0 m.s-1 aa 2 × (5 × 10-3 )2 6 Pour mettre en mouvement le sang, il faut une différence de pression. La viscosité du fluide implique aussi une perte de charge par frottement, ce qui explique que la pression décroît le long du tuyau cylindrique considéré. 7 Dans le membre de gauche, est la masse volumique, v/t l'accélération locale -- -- et - v . grad - v l'accélération convective. Dans le membre de droite, grad P est la - force volumique de pression, - v représente la force volumique de viscosité et f vol est la résultante des autres forces volumiques s'appliquant aux particules de fluide. 8 Si le nombre de Reynolds R est inférieur à 103 , l'écoulement peut être considéré comme laminaire. Ici, R= 103 × 1 × 5 · 10-3 v aa = = 5 · 103 > 103 10-3 L'écoulement ne peut donc pas être considéré comme laminaire dans l'aorte. En revanche, dans les vaisseaux de diamètres plus petits, la condition est vérifiée. 9 D'après l'énoncé, on a · - - v = 0 car l'écoulement est stationnaire ; t -- - vx - - · ( v . grad )- v = vx ex = 0 car vx = - v .- ex = v(r) est indépendant de x ; x - - · f vol = 0 puisque les effets de pesanteur sont négligés. Finalement, l'équation de Navier-Stokes se simplifie en -- grad P = - v L'hypothèse d'un écoulement laminaire est implicitement faite par l'énoncé puisque - v = v- ex , ce qui est contradictoire avec la question précédente. 10 L'énoncé donne l'expression de la force appliquée par le fluide situé entre les - rayons r et a sur la face supérieure en r. On en déduit directement dF+ qui s'applique sur la face supérieure en r + dr. - dF+ = dv dr (r + dr) - ex r+ dr - Pour obtenir la force dF- qui s'applique sur la face inférieure en r, on applique la - troisième loi de Newton selon laquelle dF- est égale à l'opposé de la force appliquée sur la face supérieure en r. Il vient - dF- = - dv dr (r) - ex r