CCP Physique PC 2015

Thème de l'épreuve Thermohydraulique, lunette astronomique et récupération d'énergie vibratoire
Principaux outils utilisés diffusion thermique, thermodynamique, mécanique des fluides, optique géométrique, mécanique, électrostatique
Mots clefs bilans en mécanique des fluides, pertes de charge, lunette astronomique, diaphragme de champ, diaphragme d'ouverture, résonance, filtre, condensateur

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SESSION 2015 PCPH003 _:â=_ CONCOURS COMMUNS - - POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE Durée : 4 heures N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Les trois problèmes sont indépendants. Leurs poids respectifs sont approximativement de 50 %, 15 % et 35 %. PROBLEME A : ELEMENTS DE THERMOHYDRAULIQUE Ce problème a pour objectif d'étudier des aspects de thermohydraulique du combustible nucléaire des réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP). Les REP exploitent l'énergie libérée par la fission de noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons pour chauffer l'eau d'un premier circuit, appelé circuit primaire. Le combustible nucléaire est le siège des réactions de fission. Il est confiné dans des gaines métalliques. La forme chimique de l'uranium qui a été retenue pour le combustible des REP est l'oxyde UO2, qui est plus stable chimiquement avec l'eau, en cas de rupture de la gaine. Si le combustible nucléaire possède généralement une géométrie cylindrique, il peut être parallélipédique comme dans le présent problème, il est alors qualifié de combustible << plaque >>. Pour limiter les températures de la gaine et de l'UOg, il faut maintenir une circulation minimale de l'eau du circuit primaire. Ce débit dépend directement des pertes de pression dues à la circulation du fluide. Dans une première partie, nous allons étudier la thermique simplifiée d'une plaque de combustible nucléaire sans sa gaine. La deuxième partie conduit à l'élaboration du profil radial de température du combustible avec sa gaine. La troisième partie permet l'évaluation des pertes de pression, ce qui fixe une première contrainte quant au dimensionnement de la pompe associée au circuit primaire. Les trois parties A.1, A2 (à l'exception de la question A.2.2 liée à la partie A1) et A3 sont indépendantes. 1/15 A.1- Thermique (simplifiée) d'une plaque de combustible nucléaire sans la gaine Soit une plaque de combustible nucléaire dans laquelle des réactions nucléaires, réparties uniformément, dégagent une puissance thermique volumique % constante. % = 500 W.cm'3 est la puissance thermique produite par unité de volume de combustible. Cette plaque parallélipédique est d'épaisseur 2 -e = 4,0 mm, de largeur ] = 7,5 cm et de hauteur H= 1,0 m (figure 1). Le combustible nucléaire est un corps solide homogène de masse volumique p, de capacité thermique massique (: et de conductivité thermique  = 3,65 W.m'l.K'l. Nous supposerons que p,  et (: sont indépendants de la température. Dans tout ce problème, on se placera en régime permanent, dans le plan (sz) et à une cote z fixe pour établir les profils de température T (x) selon l'axe des x. On suppose qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par conduction et selon la direction x. Dans ces conditions, la plaque est réfrigérée à gauche par un fluide 1 qui impose une température de paroi T1 = T (x = --e) et à droite par un fluide 2 qui impose une température de paroi T,=T(x=e). On rappelle que l'expression générale de l'équation de la chaleur s'écrit : p - c - % = % + /1 - AT , où AT représente le laplacien de la température T. En coordonnées cartésiennes, l'opérateur laplacien 2 2 2 . T T T ATapourexpress10n: AT=a 2 +8 2 +8 2 . dx dy 82 Axez + +Axez : . l : A: 5 i : UO2 > : H { ? Fluide 1 : Fluide 2 : ,v Axe y A Ë2.e_ : .»' ' 1 ' _._._._._._O.l_.:.æ_'ïî_ -.-. ..... > : _,-"" : Axex ___._._ V! ........ >AXÛX /_,-' | x=-e ! x=+e , ' Figure 1 : plaque de combustible nucléaire sans gaine avec son refroidissement A.1.1- Donner l'expression littérale de la puissance thermique Eh produite dans le combustible, puis calculer sa valeur. A.1.2- Donner l'expression littérale de T (x) en fonction de ça... T1, T,, e et À. En déduire l'expression littérale de x max 9 valeur de x pour laquelle la température est maximale, ainsi que cette dernière, T max 9 en fonction de % , T1 , T2 , e et À. 2/15 A.1.3- Dans le cas où T1 = T2 = 540 K, calculer les valeurs de xmaX et T % , puis tracer le profil de m température T (x) dans la plaque A.1.4- Dans le cas où T1 = 580 K et T2 =540 K, calculer les valeurs de xmaX et T max 9 puis tracer le profil de température T (x) dans la plaque On considère que les fluides de refroidissement arrivent a la même température et a la même pression en bas de la plaque combustible (Z = 0) mais possèdent des vitesses d'écoulement différentes : v1 pour le fluide l et v2 pour le fluide 2. En justifiant votre réponse, dire lequel de ces deux fluides possède la vitesse d'écoulement la plus élevée pour avoir T1 > T2 . A.2- Profils de température A.2.1- On considère un solide formé de deux parties parallélipédiques distinctes A et B, de même hauteur H, de même largeur ], mais d'épaisseurs différentes, respectivement el et 62 (figure 2). Leurs propriétés physiques sont homogènes mais différentes. On leur associe respectivement les conductivités thermiques ÂA et ÂB. Il n'y a aucun dégagement de puissance dans ces deux solides qui, par ailleurs, sont reliés sans résistance thermique. Les températures TO =T(x=0) et T2 =T(x=e1 +e,) sont fixées. A AXGZ ! I ']: 61 62 H _", ----- > Axex x_ | 36:61 x=el+e2 Figure 2 : solide composé de deux parties A et B On suppose qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par conduction et selon la direction x. Déterminer, en le justifiant, si chacun des quatre profils de température T (x) proposés (figure 3, page suivante) est, en régime permanent, possible ou non. Pour le ou les profils possibles, vous préciserez le sens du vecteur densité de flux thermique ainsi que la ou les valeurs de la température en x = 61 en fonction de M, ÂB, e1 , EUR, , T0 et T2 . 3/15 Î T(x) :profiln°l + T(X) :profil 1102 T1 | | 05 61 EUR1+EUR2 05 61 EUR1+EUR2 | | À T(x) :profil n°3 {T(x) :profil n°4 81 el + 62 0 81 81 + 82 Figure 3 : profils de température dans un solide composé de deux parties A et B A.2.2- Représenter, schématiquement, le profil de température radial T (x) en régime permanent, a z fixé et compris entre 0 et H, dans la gaine et dans le combustible U02 d'une plaque combustible gainée (figure 4). Le fluide de refroidissement arrive, de part et d'autre du combustible plaque, à la même température et a la même pression en bas de la plaque combustible (z = O) et possède la même vitesse d'écoulement. Il n'y a pas de fission dans la gaine. L'UOg et la gaine sont reliés sans résistance thermique. + Axe 2 | Z = H " "'T'T'T'T'T'T'T'T" UOZ !H++û+++H Ëñ*+*+*ü*+*+**ñ Fñ*+*+*ü*+*+*"ñ F**+* i*ñ - a--a--aaaaxaa--a-- Game hË*ü*+***+*+*+*ë }H++ü+++H ÉË*+*+*ü*ü*ü*ü*fl -+*++ +++e H++ ++H. Ë** gm Gaine -+*+ +* HHHËËHËHËË %Häü%ä*ä -++++++**+o iH++ü+++H rä+:+:+ä+ä+ä+ä !H++ü+++ü;l ñä*+* **+îfl Fluide de refroidissement Fluide de refroidissement z=O ------+ Axex Figure 4 : élément combustible plaque avec sa gaine 4/15 A.3- Pertes de pression dans une conduite Le combustible nucléaire, isolé par sa gaine, est réfrigéré par une circulation d'eau appelée << eau primaire >>. Cette eau s'écoule de façon unidimensionnelle ascendante dans une conduite de section rectangulaire et constante, de surface S, de largeur ] = 7,5 cm égale à la largeur de la plaque combustible et d'épaisseur d = 5,0 mm (figure 5). Cette conduite est aussi appelée canal. Au cours de son parcours dans le canal, l'eau primaire est chauffée à puissance constante sur toute la hauteur H = 1,0 m de la conduite. La pression en sortie de la conduite (2 = H) est maintenue constante à 6,89 MPa. Les caractéristiques du fluide en entrée en 2 = 0 sont : température Te = 477 K, enthalpie massique he = 872 kJ.kg'l, masse volumique pe = 858 kg.m'3 , viscosité dynamique ,de = 1,35 .10'4 Pas. Les propriétés physiques de l'eau a 6,89 MPa sont: température de saturation T = 558 K, sat enthalpie massique à l'état de liquide saturant h' =l 260 kJ.kg'l, enthalpie massique à l'état de 2 770 kJ.kg'l. vapeur saturante h rrff++ ;+++++ 535355 jj}? Section de passage S = l - d r+++++ .+++++, ÆËËËËË Fÿ-ÿ+ÿ+ÿ+ÿ+ÿ+ ÈËhfifi* ÈËËËË ++++++ h+++++ l|"+"'+'+'+"' "' + + + + Ëflfifififi ËËËËË ++-+++4 ++++++ Ëflfifififi ËËËËËË Fflfifififi PËËËËË ++-+++4 ++++++ flflfifififi FËËËËË -++++++ -+++++ ++-+++4 ++++ÿ . -+++++ - +++ h+ËË+ hfififiÊ +-++ ++++ -+++++ -++++ - .|. .|. l- -+++++ - - -++ - p+fifip 1n _} '+ü++++ - + ü.+ -.+ +!- ' ' ' + ll:ll'+_i_+ 1 + +J-+J- } + U02 + ++ fi; +Ë #+Ë+ _+ +++ ++- +: EUR? .|. + + + + + .|. E + + + + + .I- .|. ..OEâ' Ë+ I+Ï :| _._+ + + .I- ' +++- +ëflfl+ -++++ ++++ flflflfl+- -++++++ _+ää@ - +++ + .I-F + + 3- J- + h + + :--*' .+I+ + .|.+: + .|. + + + + + ": fi- + fi- 15|;. + + .I- E + :? + + + .|. + + + + + + } -+ hfl£+ p+flfl -+1ÊÊ -++qp + + E' + T:|;. fi- fi- ï:--ï ?" + 111 ++ fl+ fifi} + -l-+-l- . + '+'+ +++ .|. + 'h fi- +.n. :--*' III + .|. _+ + 1+ 'ä fi- _._+ .|. + + +1: .:|;1'+ J- += + + + fi- ll- :--*' +_._+ + .|. + 1+ ++ + ++ + + fi- ll- .|.+: ++ "'.-. ++ + ? fi- + + + + + à- ! £: .*.+ I- ' + 1,5- E:- +.]. .i_+ Il_+ + +.n. :|: fi- fi- + + d' .+Ï' i+++ ++ I:I=I fi- + +.]. ++ + 'h -Ë '- 'ä fi- + + *+ ;-- @+?" + + + .Il- :â'-' .|. + fi- =+ 'h } f + I @+ J- ++ + + J- + +: + + .:|;1' .I- + T:|;. fi- + .I+ + + ++ + + + .T:|; + + + + + fi- + 3- + + + + +1 + + | |: ++ _ ' '+_ ËË?ËË @ J$flfiF+ +++ ++ + ?... . + à- Fluide primaire (H20) + + d' fi+ + +++ +++++ .i+fi.ü+fi+ ll- ' ' '+'+'+ +++ ++++++ . _ " '+H+++ ++-+++4 Il.+L-L+A+L+fl Figure 5 : fluide dans une conduite de section rectangulaire Pour les questions A.3.1-, A.3.2- et A.3.3-, on considérera la pression de l'eau primaire constante à 6,89 MPa dans toute la conduite. A.3.1- On rappelle que l'équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source ni a M -- puits s'écrit: %+div(p(M,t)-v(M,t)) = 0 avec p(M,t) la masse volumique du fluide en un point M et a un instant [ donné, Î)(M,t) le vecteur vitesse du fluide en un point M de la conduite et a un instant [ donné. On considère un fluide monophasique liquide qui s'écoule de façon ascendante selon l'axe des 2. Il possède, à la cote 2, une masse volumique p(z) et une vitesse v(z) (figure 5). 5/15 Montrer que, lorsque l'écoulement est en régime permanent, la vitesse massique G(z) : ,a (z) - v(z) et le débit massique D... (z) : p(z)-S -v(z) sont indépendants de la cote z. Ils seront désormais notés respectivement G et Dm. A.3.2- On considère comme système un volume de conduite fixe cl V, de section constante S (figure 6), parcouru, de façon ascendante, par un fluide. Le fluide entre dans le volume cl V a la cote z, a la pression P(z) , avec une vitesse v(z) et une enthalpie massique h(z) , il en sort a la cote z+dz , a la pression P(z + dz) , avec une vitesse v(z + dz) et une enthalpie massique h (z + dz). Fluide Combustible plaque avec sa gaine Système : volume de conduite fixe cl V : + ++ : +_._+++ :++ ++ Y :++ +++--|- _++++++ ++ ++ -+++++ ...:A : W & +++++ Z + ++;- "'-|. 5' "'-|. _;El: "'-|. + + + +1: "'-|. + + H: | | | | | ..*+I+I + + ++ ll+= +.l. . . . ._|_ .+. + + ++++ + + ++ ++ + + ++ + + + ++ - -l - + + + + + - 55551 555555 +.+.+.H.+. +.+.+.+.+.+ Figure 6 : volume de conduite fixe traversé de façon ascendante par le fluide Le bilan de conservation de l'énergie interne effectué sur le volume cl V = S - dz permet d'obtenir, 8 u pour un fluide non visqueux, la relation :%-S - dz : D... -h (z) --D... -h(z + dz) + % -dz où % est t la puissance thermique échangée par unité de longueur, supposée ici indépendante de z, D... est le débit massique et u la densité volumique d'énergie interne du fluide. dh(z) dz l'expression littérale de l'enthalpie massique du fluide à la sortie de la conduite h, = h(z = H) en fonction de: he, @, H et D...- On donne % =150 kW.m", D... = 0,10 kg.s'1 et H= 1,0 m, calculer la valeur de h,. Qu'en concluez-vous '? Calculer la cote zeb de transition Montrer qu'en régime permanent cette relation se traduit par : D... : %. Déterminer alors monophasique/diphasique dite cote d'ébullition. Pour la suite du problème, afin de garantir un écoulement monophasique liquide, nous considérerons désormais un débit massique de 1 kgs". Dans ces conditions, la masse volumique du fluide en sortie de conduite ,0, sera égale à 806 kg.m'3 . A.3.3- Vérifier, qu'avec ces nouvelles conditions, l'écoulement demeure monophasique liquide. 6/15 A.3.4- Un bilan de conservation de quantité de mouvement, projeté sur l'axe 2 et effectué sur le système cl V décrit précédemment, permet d'obtenir, pour un fluide monophasique non visqueux, la relation : 8 m -v %=,0(2)-S-(v(z))2 --p(z+d2)-S-(v(z+d2))2 +P(z)-S--P(z+d2)-S--p(z)-g-S-dz. I Comment est encore appelé ce bilan de conservation de quantité de mouvement en mécanique lorsque la masse volumique p est constante '? Identifier les différents termes de la relation ci-dessus. Montrer qu'en régime stationnaire nous obtenons la relation : d(P(z))_ d(p(z)-(v(z)Y) ? dz --p(z)'g- ZS d(p(z)(v(z))2) ZS A.3.5- Les quantités J-- ai -dz et j--p(z)- g-dz représentent respectivement les 2 Ze Ze pertes de pression dites par accélération AP et les pertes de pression dites par gravité AP .Dans acc grav' le cas général d'un fluide visqueux, des frottements doivent être prisf en compte et se traduisent par -dz. Ces dernières font des pertes de pression dites par frottement APfrott_ =î_ 2 DH ,Û(Z ) 1nterven1r plus1eurs parametres dont le d1ametre hydraul1que DH = ? , avec la sect10n de passage m S qui correspond a la section a travers laquelle le fluide peut s'écouler et Pm = 2-l le périmètre mouillé qui correspond au périmètre des parois solides de la section en contact avec le fluide. Le coefficient f est un facteur de frottement sans dimension relié au nombre de Reynolds Re, par la relation de Poiseuille : f = % pour Re < 2 500 ou par la relation de Blasius : f = 0,316-R5 °'25 6 pour Re > 2 500. A.3.5.a- On note P, =P(z=zs =H ) la pression du fluide à la sortie de la conduite et P = P(z = z = 0) la pression du fluide à l'entrée de la conduite. Exprimer la perte de charge totale AP= P-- P en fonction de AP AP et AP acc ' gmv frott' A.3.5.b- Calculer, dans un premier temps, la valeur de la vitesse massique G, puis évaluer la valeur des pertes par accélération APacc A.3.5.c- Pour calculer les pertes de charge par gravité, on définit une masse volumique moyenne _ + S _ p =-- '0EUR 2 'OS et on considère alors que APg..._ -- _[ --,0 - g - dz. Evaluer APng Ze , . p-v-DH . . . , . A.3.5.d- L express1on du nombre de Reynolds est Re = _ ou ,a est la v1scos1te dynam1que ,u du fluide. Que représente physiquement ce nombre adimensionnel '? Calculer sa valeur en entrée de conduite puis la valeur du facteur de frottement f associé 7/15 Pour la suite du problème, nous considérerons un facteur de frottement f constant tout le long de la conduite et égal à 0,015. Calculer alors les pertes de charge par frottement en considérant également une masse volumique _ [Oe+IOS moyenne ,a = ? constante le long de la conduite. A.3.5.e- Qu'apportent les calculs précédents sur le dimensionnement de la pompe couplée au circuit primaire '? La puissance de la pompe Wpompe dépend de la perte de charge totale AE , de Dm et de pe. A l'aide d'une équation aux dimensions, donner l'expression de Wpompe en fonction de AB , Dm et pe. L'application numérique donne Wpompe = 18 W, qu'en pensez-vous '? A.3.5.f- Un REP possède plusieurs centaines d'éléments combustibles regroupés en une structure d'allure cylindrique appelée << coeur >>. L'ensemble du coeur contient N = 2 000 canaux identiques et parallèles. Quelle relation y-a-t-il entre la perte de charge totale dans le coeur AP et AB '? COEURZÆI" Quelle relation y-a-t-il entre le débit massique dans le coeur D et Dm '? m _ coeur En déduire la puissance de la pompe couplée au circuit primaire du REP. PROBLEME B : LUNETTE ASTRONOMIQUE La lunette astronomique est un systéme centré constitué d'un objectif et d'un oculaire. L'objectif est assimilé à une lentille mince convergente de centre optique 01, de distance focale f '1 et de diamètre D1. L'oculaire est une lentille mince convergente de centre optique 02, de distance focale f'2 et de diamètre D2. L'objectif donne, d'un objet éloigné, une image réelle appelée image objective. Cette dernière est observée au moyen de l'oculaire. B.1- B.1.1- A quelle condition l'oeil d'un observateur, supposé sans défaut, n'accommode pas (ne se fatigue pas)? En déduire la position relative de l'objectif et de l'oculaire. Ce système optique possède-t-il des foyers '? Comment se nomme un tel système optique '? B.1.2- Rappeler les conditions de Gauss. Réaliser un schéma, sans respecter les échelles, montrant le devenir d'un rayon incident faisant un angle 9 avec l'axe optique et émergeant sous un angle 9' dans les conditions de Gauss (figure 7). 01 02 Figure 7 : lunette astronomique 8/15 ! Déterminer l'expression du grossissement de la lunette G = ? en fonction de f1' et f2 , et calculer ce grossissement si f1' = 1,0 m et f2 =20 mm. B.2- On considère un faisceau lumineux issu d'un point objet A à l'infini sur l'axe optique de la lunette (figure 8). Sans respect des échelles, représenter le devenir d'un tel faisceau lumineux limité par la monture de la lentille objectif (encore appelée diaphragme d'ouverture). ' Monture de l'objectif + A A A Di 01 02 ; Y " V V ' Figure 8 : lunette astronomique et diaphragme d'ouverture Exprimer le diamètre D du faisceau de rayons issu de l'oculaire en fonction du grossissement G de la lunette ainsi que du diamètre D1 du diaphragme d'ouverture. Après avoir calculé la valeur numérique du diamètre D du faisceau de rayons issu de l'oculaire, montrer que c'est le diaphragme d'ouverture, de diamètre D], qui le limite et non l'oculaire de diamètre D2. On donne D1 = 10 cm et D2 = 6 mm. B.3- On considère un objet ponctuel situé à l'infini en dehors de l'axe optique et dans la direction 9 par rapport a ce dernier (figure 9). Expliquer, de façon qualitative, ce qu'il advient des rayons lumineux lorsque l'angle 9 devient trop important. On dit de la monture de l'oculaire qu'elle est le diaphragme de champ de la lunette. Pouvez-vous justifier cette affirmation ? ' A ' Figure 9 : lunette astronomique et diaphragme de champ B.4- L'objectif d'une lunette astronomique doit être capable de donner une image parfaite d'un point infiniment éloigné. Pour cela, il doit, notamment, être achromatique. D'où provient l'aberration chromatique d'une lentille ? Comment, en physique, qualifie-t-on ce type de milieu ? 9/15 PROBLEME C : RECUPERATION D'ENERGIE VIBRATOIRE Le présent problème traite de la récupération de l'énergie générée par les vibrations ambiantes, telles les vibrations induites par l'utilisation d'appareils domestiques ou industriels. On peut également citer le coeur de l'être humain comme étant une source de vibrations. Chaque source de vibrations aura son propre spectre (figure 10). Les caractéristiques du récupérateur d'énergie en dépendront ainsi que de l'application envisagée. Déplacement (m) 1EOEr. 'lE--[Ew 'FE--ü? J 1EOE4 IEOEa '-FE--lüi 1El1 Accélération (m.s'2) mm_ lfifl]+_ 1Eflii IEOE1_ 1EOE4Ï lE--Dl Figure 10 : spectres des vibrations générées par un four à micro--ondes Dans ce cadre, l'utilisation d'un système mécanique résonant comme récupérateur d'énergie va se révéler pertinente. En effet, supposons que nous souhaitions récupérer de l'énergie d'une source de vibrations à 200 Hz pour une accélération maximale de 5 m.s'2. Dans ces conditions, la structure appelée boîtier, qui vibre, va se déplacer d'une amplitude d'environ 3 um. Puisqu'il est difficile d'imaginer récupérer de l'énergie sur une structure mécanique qui se déplace aussi faiblement, nous allons utiliser une structure mécanique résonante qui permet d'amplifier le déplacement. Son modèle, représenté en figure ll, permet de donner une estimation de l'énergie théoriquement récupérable à une fréquence et une accélération données. Il est composé essentiellement d'un système masse ressort à un degré de liberté. ©»... Figure ll : structure mécanique résonante 10/15 La masse dite sismique m est supposée ponctuelle et est repérée par la position du point M. Il s'agit en fait d'une poutre. Cette dernière est reliée au boîtier vibrant via un ressort et via un amortisseur modélisant un amortissement visqueux Â. Le ressort de constante de raideur k, de longueur à vide lo, a son autre extrémité fixée au boîtier en B. Le support est soumis aux vibrations Zvib (t) du milieu ambiant. On suppose que l'excitation est sinusoïdale et unidirectionnelle. Les points du boitier oscillent donc verticalement a la pulsation a) avec une amplitude Zvib dans le référentiel terrestre (9?) considéré comme galiléen muni d'un _» repere cartes1en (O,ex,ey,ez). Ams1, la pos1t10n du pomt A est reperee par sa cote: zvib (t) = Zvib -sin(ca- [) . Ce déplacement induit un déplacement relatif de la masse sismique. La position de la masse sismique est repérée dans le référentiel de la structure (9%) par sa cote Z(t) sur l'axe (O'z) fixe par rapport au boîtier. L'origine de O' de cet axe correspond a la position d'équilibre de M en l'absence de vibration. Suite a une vibration sinusoïdale, la position de M dans (9%), par rapport a sa position d'équilibre, est de la forme : z(t) = Z -sin(æ-t+ça) . Nous pouvons alors associer à Zvib (t) et Z(t) les notations complexes Zvib ( jw) et Z ( jw) reliées par la fonction &) Z ' --2 de transfert Æ ( jw) :Æ ( jw)= _(](_0) = 600 . (0 représente la pulsation de 2 () Zvib(]w) 1_ w +j..l£ 5002 Q wo résonance et Q le facteur de qualité. Ainsi, si on ajuste la fréquence de résonance a celle des vibrations, avec un facteur de qualité de 100, l'amplitude de vibration de la masse sismique est de 300 um. C'est sur ce principe que fonctionnent les micro générateurs résonants. Il existe trois méthodes différentes de transduction utilisables pour transformer l'énergie mécanique en énergie électrique : électrostatique, électromagnétique ou piézoélectrique. Les deux premières seront étudiées dans les parties C.3- et C.4-. La troisième méthode, qui met en oeuvre des matériaux piézoélectriques, ne sera pas étudiée ici. Le tableau suivant compare les densités d'énergie récupérables pour les trois types de transduction. Type de transduction Electrostatique Electromagnétique Piézoélectrique Densité d energie. 4 mJ.cm'3 4 mJ.cm'3 18 mJ.cm'3 maximum en pratique Dens1te d energie 44 mJ.cm'3 400 mJ.cm'3 335 mJ.cm'3 maximum en théorie 11/15 C.1- Généralités C.1.1- Quelles sont les limitations d'un récupérateur d'énergie vibratoire ? C.1.2- Quels sont l'avantage et le risque d'appliquer des vibrations avec des accélérations importantes à un dispositif récupérateur d'énergie ? C.1.3- La méthode de récupération d'énergie ambiante est-elle utilisable pour recharger un téléphone portable de type smartphone ? C.1.4- Vérifier qu'une structure qui vibre à 200 Hz avec une accélération de 5 m.s'2 a une amplitude de déplacement de 3 um. Quel est l'ordre de grandeur de l'énergie maximale théorique récupérable pour une masse de 1 gramme ? C.2- Fonction de transfert Le vecteur vitesse du point M dans le référentiel (9%) est noté VM/ËKS . Les amortissements visqueux sont modélisés par la force de frottement F = -- - VM/ÈRS . C.2.1- En l'absence de vibration, déterminer l'expression de la longueur à l'équilibre leq du ressort en fonction de m, g, k et lo. C.2.2- En présence de vibrations zvib(t)=Zvib-sin(a)-t), trouver l'équation différentielle du mouvement de la masse sismique dans le référentiel non galiléen du boîtier. C.2.3- Etablir l'expression de la fonction de transfert Æ ( jw). Qualifier très précisément le type de filtre dont il s'agit. Justifier votre réponse. C.2.4- Donner l'expression de la pulsation de résonance (00 en fonction de k et m. Vérifier que le Jk---m facteur de qualité Q a pour expression Q = . À C.2.5- Justifier l'intérêt que la fréquence de résonance corresponde àla fréquence des vibrations. C.3- Transduction électrostatique Les microgénérateurs électrostatiques produisent de l'énergie électrique grâce à la variation d'une capacité constituée d'un conducteur mobile (la poutre vibrante) et d'un conducteur fixe associé à la structure. Si cette capacité est initialement chargée par une source de tension continue U, alors la variation de cette capacité permet de multiplier l'énergie de la source d'alimentation. L'énergie W . , . 2-7z . , . . produ1te sur une per1ode T :_ par cette capac1te var1able C, de valeur compr1se entre Cmax et a) C..., vaut: W=l-(Cmax --Cmin)-&-UZ. 2 C min 12/15 C.3.1- C.3.l.a- Considérons un plan infini uniformément chargé en surface, perpendiculaire à l'axe (02) de vecteur unitaire associé EUR et centré en O (figure 12). La densité superficielle de charges est positive et vaut +0". Rappeler le théorème de Gauss. Préciser les caractéristiques des vecteurs champs électriques E+ et E_ créés respectivement dans chacun des deux demi--espaces z > 0 et 2 < 0 et séparés par ce plan. Ce plan est placé dans de l'air, de permittivité 80 . / O---- +V Figure 12 : plan infini uniformément chargé en surface C.3.l.b- Considérons deux plans infinis parallèles P1 et P2, uniformément chargés en surface et perpendiculaire à l'axe (02) de vecteur unitaire associé EUR (figure 13). Le plan P1 possède une densité superficielle de charges positives +0" et le plan P2 une densité superficielle de charges négatives -0'. Ces plans sont séparés d'une distance 6. Préciser les caractéristiques des vecteurs champs électriques E existant entre les plans ainsi que E et E z>e z<0 créés respectivement dans chacun des deux demi--espaces z > EUR et 2 < 0. Ces plans sont placés dans de l'air, de permittivité 80 . AZ / z=e---- +V 4-- PlanP1 EUR : PlanP2 / z=O---- -V Figure 13 : plans infinis parallèles uniformément chargés en surface C.3.l.c- Un condensateur plan n'est pas constitué de plans infinis mais d'armatures de grandes dimensions par rapport a la distance les séparant, ce qui permet de négliger les effets de bord. Aussi, l'expression de l'intensité du champ électrique E régnant entre les armatures sera considérée identique a celle trouvée, entre les plans, à la question précédente. Les densités superficielles de charges, +0'pour l'armature 1 et -0'pour l'armature 2, sont dues à une source de tension continue U positive qui les relie (figure 14, page 14). Déterminer l'expression de la capacité C du condensateur plan constitué de ces deux armatures métalliques très fines, de surface S, distantes de e = d et séparées par de l'air, de permittivité 80 . Donner l'expression de l'énergie électrostatique We emmagasinée dans le condensateur en fonction de C et de U. 13/15 Armature 1 A U () : Armature 2 Figure 14 : champ électrique entre les armatures d'un condensateur plan A C.3.2- La distance entre les deux armatures n'est plus constante mais vaut e(t) =d +z(t) avec z(t) = Z -sin(æ-t+ça) ; l'armature 1 correspond à la poutre vibrante et l'armature 2 reste fixe par rapport au boîtier. Le condensateur ainsi constitué possède une capacité variable C(z) comprise entre Cma et Cmi X et Cmin . Donner les express1ons de Cma X en fonction de 80 , S, d et Z. Il C.3.3- Le condensateur variable va fonctionner à charge constante. Le principe de fonctionnement sur une période T (un cycle) est le suivant. Il fait référence à la figure 15. Lorsque la poutre (armature l) est en Z(t) = --Z , la capacité est initialement chargée à q = Cmax -U (interrupteurs K1 fermé et K2 ouvert). On ouvre K1 et l'armature mobile s'éloigne pour effectuer son parcours. Lorsqu'elle est parvenue en z(t) = +Z , l'énergie W emmagasinée dans le condensateur variable a changé Cette énergie est alors transférée à un circuit récupérateur d'énergie CRE (interrupteurs K1 ouvert et K2 fermé). Puis, l'armature mobile revient en Z(t) = --Z où la capacité va être rechargée. )_Cmax 'U2. C min L'énergie maximum récupérable sur une période T vaut W = . (Cmax _ Cmin l 2 C.3.3.a- Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie w d'un condensateur plan en fonction de la permittivité du diélectrique 80 et de l'intensité du champ électrique E régnant entre les armatures. C.3.3.b- Montrer que l'énergie W emmagasinée par le condensateur variable sur une période T vaut W =l.(C'max _C'min).&.lj2 ' 2 Cmin K1 K2 A _; l Figure 15 : principe transducteur électrostatique 14/15 C.4- Transduction électromagnétique A partir du schéma de principe indiqué en figure 16, expliquer le principe de la transduction électromagnétique en indiquant notamment la loi physique sur lequel il repose. Poutre Bornes de /' la bobine \» <'£>Î' """"" _ Figure 16 : principe transducteur électromagnétique Bobine fixée à la poutre Aimant permanent Fin de l'énoncé 15/15

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 CCP Physique PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de trois problèmes indépendants. · Le premier porte sur la thermohydraulique d'un réacteur nucléaire à eau pressurisée. On étudie tout d'abord quelques aspects thermiques en établissant le profil de température dans le combustible et dans la gaine qui l'isole thermiquement. On décrit ensuite l'écoulement du fluide de refroidissement en cherchant notamment à exprimer ses diverses pertes de charge, qui sont compensées par la pompe couplée au circuit primaire. · Le deuxième problème aborde le principe de fonctionnement d'une lunette astronomique, notamment au rôle des diaphragmes de champ et d'ouverture de cet instrument. · Enfin, le troisième problème présente plusieurs systèmes de récupération d'énergie ambiante. Partant d'une structure mécanique résonante, l'énergie récupérée peut alors être convertie par transduction électrostatique au sein d'un circuit comportant un condensateur à capacité variable, ou par transduction électromagnétique en exploitant le phénomène d'induction. Cette épreuve de difficulté raisonnable aborde de nombreux domaines du programme de première et de deuxième années. Des résultats intermédiaires (équations, valeurs numériques) sont régulièrement fournis, ce qui permet de ne jamais rester bloqué. Indications Partie A A.1.4 L'utilisation du premier principe pour un système ouvert en régime permanent permet de comparer les vitesses v1 et v2 . A.2.1 Exploiter la continuité de la température et du flux thermique. A.3.5.b Pour l'évaluation de Pacc , remarquer que (z)v(z)2 = G2 (z) A.3.5.e Chercher la puissance Wpompe sous la forme Wpompe = Pt Dm e puis déterminer , et par analyse dimensionnelle. A.3.5.f Penser à une analogie électrocinétique. Partie B B.1.1 Une lunette astronomique est utilisée pour observer des objets à l'infini. B.1.2 Pour le tracé de rayons, positionner les foyers des lentilles et utiliser des rayons auxiliaires. Dans les conditions de Gauss (petits angles), tan et tan . B.2 La comparaison des diamètres D et D2 permet de conclure. Partie C C.1.3 On pourra prendre pour le smartphone une puissance P = 5 W. C.2.2 Attention à ne pas oublier les forces d'inertie dans un référentiel non galiléen. C.2.3 Passer l'équation différentielle en notation complexe. Comme pour l'étude d'un filtre électrique, analyser les comportements asymptotiques de la fonction de transfert à basse et haute fréquences. C.3.1.c Connaissant le champ électrique, en déduire la différence de potentiel U aux bornes du condensateur. C.3.3.b Puisque le condensateur fonctionne à charge constante, le champ électrique et la densité volumique d'énergie électrostatique w restent également constants pendant le cycle. Utiliser l'expression de w établie à la question précédente. C.4 Remarquer que la bobine est en déplacement relatif par rapport à l'aimant permanent posé au fond du boîtier. A. Éléments de thermohydraulique A.1.1 La puissance thermique Pth s'obtient en intégrant la puissance thermique volumique V sur le volume de la plaque combustible : Z e Z /2 Z H Pth = V dx dy dz x=-e y=-/2 z=0 Puisque V est uniforme dans la plaque, il vient après intégration Pth = 2e H V = 1,5 · 105 W A.1.2 En régime permanent, l'équation de la chaleur se simplifie selon V Puisque la température ne dépend que de la variable x : T = - d2 T V =- dx2 L'intégration de cette équation différentielle permet d'obtenir V 2 T(x) = C1 + C2 x - x 2 où les constantes d'intégration C1 et C2 sont déterminées à l'aide des conditions aux limites T(-e) = T1 et T(e) = T2 : V 2 e T1 = C1 - C2 e - 2 T2 = C1 + C2 e - V e 2 2 La somme de ces deux équations permet d'accéder à C1 : V 2 T1 + T2 = 2C1 - e soit C1 = T1 + T2 + V e2 / 2 La différence des équations du système donne la valeur de C2 : C2 = T2 - T1 2e Le profil de température s'écrit finalement T(x) = T1 + T2 + V e2 / T2 - T1 V 2 + x- x 2 2e 2 La température est extrémale lorsque sa dérivée première s'annule ; xmax vérifie alors dT T2 - T1 V (xmax ) = - xmax = 0 dx 2e xmax = (T2 - T1 ) 2e V On en déduit finalement Tmax = T(xmax ) : V 2 T1 + T2 + V e2 / T2 - T1 + xmax - x 2 2e 2 max 2 T1 + T2 + V e2 / T2 - T1 1 1 = + - 2 V e 4 8 2 T1 + T2 + V e2 / T2 - T1 + = 2 8V e Tmax = donc Tmax L'étude du signe de la dérivée seconde permet de vérifier que cet extremum de température est bien un maximum : V d2 T =- <0 dx2 Après cette question assez calculatoire, il est conseillé de s'assurer de la pertinence des expressions obtenues : vérification des conditions aux bords, homogénéité, analyse du cas symétrique T1 = T2 . A.1.3 Pour T1 = T2 = 540 K, on retrouve par symétrie xmax = 0, puis Tmax = T1 + T2 + V e2 / = 814 K 2 Le profil de température, de la forme V 2 T(x) = Tmax - x 2 correspond graphiquement à une parabole concave et paire. T(x) T1 et Tmax = 834 K ex 0 -e T(x) A.1.4 Pour T1 = 580 K et T2 = 540 K, xmax = -7,3 · 10-2 mm Tmax T1 Puisque xmax e, le sommet de la parabole reste très proche de l'axe x = 0. Tmax T2 ex 0 -e Sous l'effet de la puissance thermique produite dans le combustible, les fluides en écoulement voient leur température augmenter. D'après le premier principe pour les systèmes ouverts en régime permanent, en négligeant toute source de dissipation (viscosité), ainsi que les variations d'énergie cinétique et potentielle macroscopiques : h = q avec h la variation d'enthalpie massique et q le transfert thermique massique reçu. En introduisant le débit massique Dm , il vient Dm h = Pth où Pth est la puissance thermique reçue. Si on considère le fluide comme une phase condensée, sa variation d'enthalpie massique est reliée à sa variation de température par la relation h = cf T, avec cf la capacité thermique massique du fluide. Ainsi, pour une puissance thermique reçue identique, l'écoulement de plus fort débit subit une variation de température plus faible. Avec T1 > T2 , on en déduit v1 < v2 .