CCP Physique 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Modèle d'atmosphère et montgolfière. Quelques problèmes de diffusion thermique.
Principaux outils utilisés statique des fluides, thermodynamique
Mots clefs hydrostatique, aérostat, diffusion thermique

Corrigé

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SESSION 2014 PCP1003 .::=_ CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et aux chiffres significatifs du résultat. PROBLEME 1 UN VOL EN BALLON Données : -- accélération de la pesanteur g = 9, 80 m.s_2 ; -- constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.K_1.mol_1 ; -- masse molaire de l'air A = 29,0 g.mol_]L ; -- masse volumique du mercure dans les conditions standard ,qu : 1, 35 >< 104 kg .m_3 ; -- rayon moyen de la Terre RT : 6 380 km; -- coefficient thermique molaire à pression constante Cp)... : 7R/2. L'espace est repéré a l'aide de coordonnées cartésiennes (a:, y, z) et d'un repère (EUR... @, @) associé. Rappel : Le centre de masse G, d'un corps C de masse volumique homogène ,u, est l'unique point de coordonnées (fig, va, Zç) Vél'lfiâfit : ///(æ--oeç)dædydz= ///(y--y@dædydz= ///(z--z@dædydz=0_ Le moment d'inertie J,, d'un corps solide homogène, par rapport à l'axe passant par le centre de masse G et dirigé suivant le vecteur EUR... est défini par l'équation : J, = u///[(u--m)' + 2tdædydz. 1/9 On a de même, par rapport aux directions EUR}, et EUR; : 4f=M/j/Kæ--ægÿ+lz--agïdææflu J. = u ///m -- yG>2 + <æ -- æG>2idædydz. Les moments d'inertie d'une boule (sphère pleine) homogène de masse M et de rayon R sont : @=@=L=fiWfiä 1.1 Statique des fluides incompressibles - 1.1.1 On considère un fluide incompressible, de masse volumique ,a, au repos dans un champ de pesan- teur uniforme ÿ' . Les hauteurs sont rapportées a un axe vertical (Oz) dirigé vers le haut. En considérant, par exemple, un volume da: dy dz de fluide, établir la relation différentielle liant la pression P, ,a, g (norme de 5?) et ?: (équation de l'hydrostatique). - 1.1.2 Donner l'expression de la fonction P(z), pression fonction de la hauteur, solution de l'équation précédente, en prenant comme constante d'intégration P(O) : PO. - 1.1.3 Enoncer le théorème d'Archimède pour un corps solide quelconque totalement immergé dans le fluide représenté sur la figure 1.1. fluide Figure 1.1 Parallélépipède rectangle plongé dans un fluide Recopier sommairement la figure 1.1 et y représenter graphiquement la résultante des forces de pression exercées sur un objet de forme parallélépipède rectangle homogène, représenté vu de profil sur la figure. Les forces de pression exercent--elles un couple de torsion sur l'objet ? 2/9 1.2 Modèle d'atmosphère isotherme - 1.2.1 L'air est assimilé à un fluide compressible, obéissant à l'équation des gaz parfaits, dont la tempéra- ture est uniforme et constante, indépendante de la hauteur 71. Donner la relation existant entre la masse molaire A, la masse volumique ,u, la pression P, la température T et la constante des gaz parfaits. - 1.2.2 Montrer que, dans ce cas, la solution de l'équation obtenue à la question 1.1.1 est de la forme : P(z) : PO exp (--Ê) où H est une longueur que l'on exprimera en fonction de A, R, T et g, puis que l'on calculera numériquement pour T = 280 K. - 1.2.3 Quelle valeur de la pression ce modèle prédit-il au sommet du Puy de Dôme, d'altitude Zp : l 465 m, lorsque T = 280 K et P0 = l 013 hPa ? - 1.2.4 A l'époque de Blaise Pascal, l'instrument de mesure de la pression atmosphérique le plus com- mode était le tube de Torricelli. Rappeler le principe de fonctionnement d'un tube de Torricelli, en s'aidant d'un schéma. Déterminer la hauteur de la colonne dans le tube si le dispositif est installé au sommet du Puy de Dôme. - 1.2.5 Déduire, du profil de pression P (71), l'expression de la masse volumique ,u(z) en fonction de la hauteur. En supposant que l'on puisse négliger la courbure de la Terre, calculer la masse totale de gaz occupant une colonne semi--infinie, de section horizontale & = 1 m2, s'étendant de la hauteur ?: : 0jusqu'à l'infini. Montrer que cette masse s'exprime simplement en fonction de P0, de a et de g supposé constant et uniforme. Ce résultat est-il surprenant? - 1.2.6 Déduire de la question précédente une estimation numérique de la masse totale de l'atmosphère de la Terre. 1.3 Poussée d'Archimède dans un profil exponentiel de pression Le but de la partie 1.3 est de vérifier la validité du théorème d'Archimède dans le cas où le profil de pression est de la forme établie à la question 1.2.2. - 1.3.1 La résultante A des forces de pression s'exprime comme une intégrale autour de la surface extérieure E du corps C , avec 775 vecteur normal sortant de la surface et dS l'élément d'intégration sur la surface :  = Ê/- P ñdS. 2 3/9 On s'intéresse à la composante verticale AZ : ê'Z -  de la résultante  . Montrer que AZ est égale au flux du vecteur --P(z)ëz a travers la surface 2. - 1.3.2 A l'aide du théorème de Green-Ostrogradsky pour tout champ de vecteurî : !%yÏ-ñdS=ïXX/dhæfidoedydz E C exprimer AZ comme une intégrale triple sur le volume occupé par le corps C . - 1.3.3 Développer l'exponentielle exp(--z / H ) autour de la hauteur zG du centre de masse du corps C, au deuxième ordre en (7: -- zG) / H . En utilisant l'identité : 2(Z _ ZG)2 : (Z _ ZG)2 + (33 _ OEG)2 + (Z _ ZG)2 + (y _ yG)2 _ (y _ yG)2 _ (33 _ OEG)2 et la définition des moments d'inertie donnée en préambule, montrer que la résultante AZ des forces de pression se met, a cet ordre du développement, sous la forme : @+@--@ + A=M Z 4H2 où M et J,,, Jy, JZ représentent respectivement la masse et les moments d'inertie d'un corps ho- mogène de masse volumique ,u(zG) (identique a l'air ambiant) et de forme identique a C . - 1.3.4 Estimer l'erreur relative commise sur la résultante AZ lorsque l'on applique le théorème d'Archi-- mède a un ballon sphérique plein de rayon R = 20 m évoluant dans un profil d'atmosphère isotherme. 1.4 Ballon à air chaud dans une atmosphère isotherme Soit un aérostat de volume V supposé constant et dont l'enveloppe et la nacelle sont de masse totale m (la masse de l'air chaud n'étant pas comptée et le volume de la nacelle étant supposé négligable). La pression régnant à l'intérieur du ballon reste égale, à tout instant, à la pression extérieure. La température de l'air a l'intérieur du ballon, supposée uniforme, est plus élevée que la température extérieure de l'atmosphère isotherme. On notera, dans cette partie, la température de l'atmosphère T : Tf. La masse volumique de l'air au niveau du sol, à pression P0 est notée ...) : ,u(0) et on in- troduit la masse m0 : MOV, égale à la masse d'air présente dans le ballon lorsque celui-ci est posé au sol et que la température interne est égale à Tf. - 1.4.1 La température régnant a l'intérieur du ballon est TC, et la masse volumique de l'air situé a l'intérieur est ,de. Déterminer la relation existante entre ,de, TC, Tf et la masse volumique ,u(z) de l'air a l'extérieur du ballon, situé a une altitude ?: quelconque. - 1.4.2 Le ballon se trouve à l'altitude nulle ?: = O, pour laquelle la pression alentour est PO. Déterminer la 4/9 température minimale T...... (m) devant régner dans le ballon, de masse m (air chaud non compris) pour que celui-ci s'élève spontanément. On pourra exprimer le résultat en fonction de Tf, m0 et m. 1.4.3 L'air du ballon est chauffé jusqu'à une température TC > T......(m). Déterminer dans ces condi- tions la hauteur maximale Zmaoe (m, TC) atteinte par le ballon. 1.4.4 Calculer, sur la base du résultat précédent, le volume minimal V d'un ballon permettant d'élever deux passagers, une enveloppe et une nacelle, de masse m = 500 kg, à une hauteur de Z = l 000 m au dessus du sol, sachant que la température maximale de l'air chaud a l'intérieur du ballon est de 60 K plus élevée que la température extérieure Tf : 280 K et que la pression extérieure est de P0 = 1,0 bar. 1.4.5 On cherche à déterminer la quantité d'énergie thermique Q......(TC) nécessaire pour élever la température de l'air régnant dans le ballon de sa valeur initiale Tf a sa valeur finale TC. Déterminer la quantité de chaleur Q1 nécessaire pour élever, de façon quasistatique et à pression constante PO, la température de la quantité de fluide initialement présente dans le ballon. Exprimer le résultat en fonction de m0, A, C,,)..., TC et Tf. 1.4.6 La grandeur Q1 déterminée précédement surestime la quantité Q......(Tc) désirée. Lorsque de l'énergie thermique est communiquée au gaz situé a l'intérieur du ballon, la pression augmente progressivement et un excès d'air doit alors être extrait du ballon, au moyen par exemple d'une trappe servant de soupape. Le chauffage de l'air situé dans le ballon a lieu au voisinage du sol (7: = 0), a altitude constante. Une modélisation plus fine de la transformation thermodynamique requise consiste à considérer une suite de N transformations isobares élémentaires associées à des intervalles de température 5Tj , j = l, . . . N , au cours desquelles seule est considérée la masse d'air restant dans le ballon, l'excès étant éliminé au fur et a mesure. Exprimer, d'après la relation établie à la question 1.4.1, la masse volumique ... restant à l'étape j en fonction de ,u0, T, et Tf. En déduire la chaleur (SQ,-- communiquée au fluide lorsque le fluide est chauffé de T, a Tj+1. 1.4.7 En intégrant les accroissements infinitésimaux (SQ,-- jusqu'à l'état final de température TC, détermi- ner la quantité d'énergie thermique Q2 permettant, dans le cadre des approximations précédentes, d'élever la température intérieure du ballon jusqu'à TC. La quantité Q2 est assimilée à la grandeur recherchée Q......(TC). 5/9 PROBLEME II QUELQUES PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE Données : -- Laplacien a 3 dimensions d'une fonction f ne dépendant que de la distance a l'origine 7° : 2 d d2 A = ---- _ _ f(7") , de + d,, (T) 11.1 Gradient de température - II.1.1 Soit un profil de température unidimensionnel T (33), où a: désigne la coordonnée le long d'un axe horizontal. La température est supposée uniforme, égale à T,- sur tout le domaine a: S 0 et uniforme, égale à TEUR sur tout le domaine a: 2 6, où 6 représente une certaine longueur. L'espace situé dans l'intervalle () S a: S e est occupé par un matériau homogène de conductivité thermique À. Le profil de température est supposé stationnaire. En considérant un bilan d'énergie en régime stationnaire, déterminer la nature du profil T(æ) pour tout a: appartenant à l'intervalle [D, 6], puis représenter graphiquement la fonction T (a:) dans le cas où T,- > Te. - II.1.2 Donner l'expression du vecteur densité de courant thermique ÎQ et déterminer le flux thermique (A) traversant une section transversale normale à l'axe a:, d'aire A, située en a: = e / 2, en fonc- tion des données du problème. Préciser la dimension ou l'unité du coefficient de conductivité À. - II.1.3 . /// /// (a) (b) Figure II.] Assemblée de parallélépipèdes représentant des manchots Un manchot se modélise par un parallélépipède rectangle, de section carrée, de côté a et de hau- teur Æ (figure II.1.a). Le manchot, animal à sang chaud, maintient sa température interne T,- au moyen d'un apport métabolique 731 qui compense les pertes par conduction thermique au travers d'un revêtement de plumes d'épaisseur e et de conductivité À, face a une température extérieure T6. Le modèle de transfert thermique proposé à la question précédente est supposé valide dans le cas d'un manchot de géométrie parallélépipédique et la fonction  (A1) rend compte de la déperdition thermique d'un manchot d'aire corporelle A1. Déterminer l'aire totale A1 du parallélépipéde représenté sur la figure II.1.a. 6/9 - II.1.4 Déterminer la valeur de la conductivité thermique A du revêtement de plumes correspondant a un métabolisme 731 = 50 W, pour une température intérieure T,- = 37 °C, une température extérieure TEUR : -- 20 °C (y compris au niveau du sol), une épaisseur 6 = 1 cm, un côté a = 0, 10 m et une hauteur EUR = 0, 50 m. - II.1.5 Pour faire face a ces températures extrêmes, neuf manchots se serrent comme représenté sur la figure II.1.b. Le pavage carré étant parfait, seules les faces supérieures, inférieures et latérales péripheriques sont sujettes aux pertes thermiques Calculer l'aire Ag exposée à la température TEUR et la puissance métabolique 739 totale nécessaire au maintien de la température interne des neuf manchots. De combien le métabolisme nécessaire au maintien de la température interne, rapporté à un man- chot, est-il réduit lorsque les neuf manchots se serrent les uns contre les autres (comportement social thermorégulateur) ? II.2 Equation de la chaleur Soit un corps homogène de masse volumique ,u, de coefficient thermique massique cp et de conducti- vité thermique À. Ces coefficients sont supposés indépendants de la température. Lorsque la conduction thermique est seule en jeu, il est possible de montrer que le champ de température obéit à l'équation de diffusion suivante (équation de la chaleur) : T 8-- -- DAT : 0 87EUR où D : À/ (,ucp), coefficient de diffusion thermique, d'unité m2.s_1, s'exprime en fonction de ,a, A et cp. - II.2.1 Rappeler la différence entre la diffusion thermique par conduction et la diffusion thermique par convection. Lequel des deux mécanismes est-il considéré comme plus efficace ? - II.2.2 Vérifier que la fonction Tg(7°, t) ci-dessous est une solution de l'équation de la chaleur, où 7° : \/a:2 + y2 + z2 est la distance euclidienne a l'origine du repère et C : 7117, le produit de la constante de diffusion par un nombre entier n à déterminer. 2 TG(r,t) : (th)_3/2 exp (_ L). Ct - II.2.3 La solution TG représente l'évolution temporelle d'une distribution de température initialement localisée autour du point 0 de coordonnées 3: = 0, y = 0 et z = 0. Déterminer la fonction TO(t) représentant l'évolution temporelle de la température Tg(0, t) du point 0. Déterminer le comportement aux grandes valeurs de t de Tg(0, t). Déterminer le rayon R(t) de la sphère, centrée sur l'origine 0, des points dont la température est supérieure ou égale à TO (t) /2. En déduire que l'énergie thermique diffuse au bout d'un temps t sur une distance d'ordre (Dt)°', où oz est un exposant fractionnaire a déterminer. 7/9 II.3 Diffusion en présence de convection Une sphère pleine métallique homogène de rayon RS est placée au contact d'un milieu a température T6. La présence de convection assure le maintien au voisinage de la surface de la boule d'une température constante T6. La diffusion thermique à l'intérieur de la boule se fait par conduction uniquement. La température a la surface extérieure de la boule est notée T3(t) : T (RS, t). On admet que les pertes thermiques à la surface de la sphère vers le milieu extérieur vérifient la loi : OEs(t) : h(Ts(t) _ Te) où h est un coefficient de transfert thermique qui dépend de l'état de convection du fluide environnant, \113 la puissance quittant la sphère par unité de surface et T3(t) > Te. - II.3.1 Ecrire l'équation de la chaleur en un point 7° quelconque de l'intérieur de la boule. - II.3.2 Justifier par un argument physique la relation ci-dessous : ÔT --À-- =hX(TS--Te). Ô?" T=R3 - II.3.3 Réécrire l'équation de diffusion et la condition de continuité en R8 pour la différence O(7°, t) : T(r, t) -- Te. On pourra introduire la quantité OS : TS -- Te. - II.3.4 On recherche une solution O(7°, t) sous la forme d'un produit de variables séparées f (r)g(t) , où f et g sont supposées partout non nulles. Montrer que : À 2 /7,_ // 7,_ : g/(t) f(7") lrf( '" ( )l g' Justifier que la fonction temporelle g(t) ainsi obtenue décroît exponentiellement avec le temps, comme g(t) : g(0) exp(--t /7'). - II.3.5 Rechercher une solution de l'équation précédente sous la forme : sin(ozr). f(7") = Montrer que l'on obtient bien une solution de l'équation obtenue en II.3.4, a condition de poser CV2D7' : 1. Quelle est la limite de f (7°) lorsque 7° tend vers 0 ? 7° - II.3.6 Exploiter la condition en R3 obtenue aux questions II.3.2 et II.3.3, et montrer que le produit a: : aRS vérifie l'équation transcendante : cos(a:) hRS l -- = = N a: sin(a:) À 11 où le produit sans dimension Nu est appelé nombre de Nusselt. 8/9 - II.3.7 Donner le premier terme du développement limité en a: = 0 de la fonction 1 -- a: cotan(æ), puis tracer l'allure de celle--ci. En déduire que, quelle que soit la valeur de Nu, il existe une racine positive de l'équation obtenue à la question précédente. - 11.33 La plus petite racine positive de l'équation ci-dessus contrôle le comportement asymptotique aux temps longs de la température de la sphère. Montrer que le temps de décroissance exponentielle de la température de la sphère se comporte alors comme : "7": 8 si Nu<<1; - II.3.9 Calculer numériquement le temps caractéristique 7' pour une sphère de plomb, caractérisée par les grandeurs suivantes : h = 5, 8 W.K_1.m_2, R8 = O, 1 m, cp : 130 J.K_1kg_1, u = 1,13 >< 104 kg.m_3, A = 35 SI. Fin de l'énoncé 9/9

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Virgile Andreani (ENS Ulm) et Jimmy Roussel (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de deux parties indépendantes consacrées à la thermodynamique au sens large. Elle peut être traitée intégralement dans le cadre du nouveau programme. · La première partie s'intéresse au vol d'un ballon. Elle développe progressivement certains outils fondamentaux, parmi lesquels les lois de l'hydrostatique, la poussée d'Archimède et le nivellement barométrique de l'atmosphère terrestre, permettant ensuite d'appréhender les aspects physiques impliqués dans le vol d'un aérostat. · La seconde partie traite de trois situations relatives à des phénomènes de diffusion thermique. La première repose sur la résolution de l'équation de la chaleur en régime stationnaire, et la deuxième étudie un exemple de solution en régime non stationnaire. Enfin, la troisième fait intervenir à la fois la conduction et la convection thermiques. De difficulté raisonnable, cette épreuve permet véritablement de faire le point sur ses connaissances en thermodynamique, acquises en première année (problème I) ou en deuxième année (problème II). Indications Problème I I.2.6 Choisir pour section a2 la surface d'une sphère de rayon RT . I.3.3 Utiliser un développement en série de Taylor poussé à l'ordre 2. Exploiter l'identité fournie par l'énoncé, puis reconnaître dans les intégrales des termes quadratiques les définitions des moments d'inertie données en préambule. I.4.1 Exploiter l'égalité des pressions entre l'intérieur et l'extérieur du ballon. I.4.3 Réutiliser la forme du profil de masse volumique µ(z) déterminée précédemment. Le ballon arrête de monter lorsque la poussée d'Archimède devient égale, en intensité, au poids total de l'aérostat. Problème II II.2.2 Il est conseillé de prendre le soin de calculer chaque terme de l'équation de la chaleur séparément, puis de procéder par identification. II.3.2 Exploiter la continuité du vecteur densité de courant thermique. II.3.4 Si une fonction dépendant uniquement de r est égale à une autre fonction dépendant uniquement de t, alors elles sont nécessairement égales à une même constante. II.3.5 Même conseil qu'à la question II.2.2. II.3.7 Partir du développement limité à l'ordre 3 de la fonction tangente. II.3.8 Pour les petits nombres de Nusselt, utiliser le développement limité déterminé à la question précédente. Pour les grands nombres de Nusselt, examiner pour quelles valeurs de x la fonction 1 - x cotan x diverge. I. Un vol en ballon I.1.1 Considérons dans le fluide un petit - ez volume parallélépipédique de dimensions dx, - ey dy et dz selon les axes respectifs x, y et z. - ex Notons d = dx dy dz le volume de cet élé - g ment. Le fluide étant au repos, les seules dz forces s'exerçant sur ce petit volume sont les dx forces de pression et de pesanteur. Projetons - dy la résultante dF de ces forces : P dFx = [P(x, y, z) - P(x + dx, y, z)] dy dz = - d x P dFy = [P(x, y, z) - P(x, y + dy, z)] dx dz = - d y dFz = [P(x, y, z) - P(x, y, z + dz)] dx dy - µg d = - P + µg d z - En l'absence de mouvement, dF s'annule. On en déduit que la pression P ne dépend ni de x, ni de y. La variation de P selon z s'exprime finalement comme dP = -µg dz Cette relation constitue l'équation de l'hydrostatique. I.1.2 Le fluide étant incompressible, sa masse volumique µ est homogène dans tout l'espace. L'intégration de la relation différentielle précédente fournit le profil de pression P(z) suivant : P(z) = P0 - µgz en ayant respecté la condition P(0) = P0 . I.1.3 Le théorème d'Archimède stipule que tout corps plongé dans un fluide au repos est soumis de la part de celui-ci - à une force verticale dirigée de bas en haut, dont la norme est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps. - fluide - g corps En présence d'un fluide incompressible et d'un corps solide homogène, le centre de poussée est confondu avec le centre de gravité du solide. Par conséquent, les forces de pression n'exercent aucun couple de torsion sur le solide. I.2.1 Soit un volume d'air V de masse m et contenant n moles d'air. Appliquons à ce volume l'équation d'état des gaz parfaits PV = nRT Divisons chaque membre de cette équation par m afin de faire apparaître les quantités intensives µ et A, désignant respectivement la masse volumique et la masse molaire de l'air. Il vient alors P RT = µ A I.2.2 Injectons dans l'équation de l'hydrostatique l'expression de µ tirée de la relation obtenue à la question précédente : dP Ag =- P dz RT La résolution de cette équation différentielle, compte tenu de la condition aux limites P(0) = P0 , conduit au profil exponentiel de pression : P(z) = P0 e -z/H avec H= RT = 8,19 · 103 m Ag La grandeur H s'interprète comme la longueur caractéristique de décroissance de la pression avec l'altitude. I.2.3 P(1 465 m) = 847 hPa I.2.4 Le principe du baromètre de Torricelli consiste à remplir un tube de mercure puis à le retourner dans - ez un bassin également rempli de mercure. Le niveau de vide z+h mercure dans le tube baisse alors jusqu'à atteindre une hauteur stationnaire h dictée par les lois de l'hydroh air statique. Alors que la pression en bas de la colonne z de mercure est imposée par la pression P(z) de l'air Hg environnant, le haut de la colonne est soumis à une pression nulle puisque le mercure est surmonté par du vide en haut du tube. L'application de la relation obtenue à la question I.1.2 dans la colonne de mercure entre les positions z et z + h conduit à la relation P(z) = µHg gh Mentionnons que le mercure liquide est en réalité surmonté d'une vapeur de mercure dans le tube, dont la pression est suffisamment faible à la température considérée pour pouvoir faire l'approximation P(z + h) = 0. Par ailleurs, remarquons sur le schéma ci-dessus que les interfaces séparant le mercure et l'air apparaissent parfaitement horizontales. Ceci devient faux au voisinage des parois solides du tube et du récipient, près desquelles un ménisque courbé, généralement de taille millimétrique, se forme. La tension de surface est à l'origine de ces ménisques. Notion régulièrement abordée dans les problèmes de concours, la tension superficielle a fait son apparition dans le nouveau programme de seconde année. Appliquons la formule précédente au sommet du Puy de Dôme. À l'aide du résultat de la question I.2.3, la hauteur de la colonne liquide vaut h= P(z P ) = 640 mm µHg g