CCP Physique 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Visibilité d'objets au fond d'un gobelet. Modèles d'électron élastiquement lié et pouvoir rotatoire.
Principaux outils utilisés optique géométrique, électromagnétisme
Mots clefs optique, lentille, focale, électron, oscillation, cercle, hélice, pouvoir rotatoire, Maxwell, dipôle électrique, dipôle magnétique, relation de dispersion, aimantation, polarisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012 PCP1003 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont autorisees Les deux problemes sont independants. On fera l'application numerique chaque fois que cela est possible, en veillant a l'unite et aux chiffres significatifs du resultat. P ROBL EME I O PTIQUE Il existe de petits gobelets amusants (figure I.1.a) possedant la propriete suivante : ­ en l'absence de liquide, le fond du gobelet est constitue d'une lentille spherique qui ne laisse rien apparaitre (figure I.1.b) ; ­ en presence de liquide, une image nette apparait (figure I.1.c). (a) (b) Figure I.1 1/12 (c) Tournez la page S.V.P. L'objet de ce probleme est de proposer une modelisation simple de ce phenomene optique. Les conditions de l'optique de Gauss seront supposees satisfaites tout au long du probleme. Les figures ne sont pas a l'echelle. Les valeurs numeriques considerees dans ce probleme sont realistes. L'approximation des lentilles minces n'est, en revanche, pas vraiment justifiee dans le contexte. I.1 Visibilite d'un objet situe dans le plan focal objet Sur un banc d'optique (figure I.2) sont alignes un objet plan BB', coupant l'axe optique en un point A et une lentille mince convergente L1 situee au point S. B et B' sont symetriques l'un de l'autre par rapport a l'axe optique. La figure represente le foyer principal objet F, confondu avec A, ainsi que le foyer principal image F'. L'oeil d'un observateur est place en un point O de l'axe optique. La pupille de l'oeil est representee comme un disque centre en O, de diametre PP'. Le bord de la lentille est un cercle, assimilable a un diaphragme DD'. Le diametre de l'objet BB' est identique a celui du diaphragme DD'. Donnees : SA = -12 mm, SO = 200 mm, BB = DD = 20 mm, PP = 6 mm. B' A F B D' S P' O F' P D Figure I.2 : montage de la lentille L1 (echelle non respectee) - I.1.1 Rappeler les hypotheses de l'approximation de Gauss en optique geometrique. - I.1.2 Reproduire soigneusement la figure I.2. Construire graphiquement l'allure de deux rayons issus de B et traversant la lentille. Faire de meme avec deux rayons issus de B'. Realiser un trace de taille suffisante, de l'ordre de la moitie de la largeur de la feuille. - I.1.3 Lorsque l'objet est situe dans le plan focal objet de la lentille, l'image se forme a l'infini et seule une fraction minime des rayons issus de l'objet est captee par la pupille de l'oeil PP'. Il s'agit d'estimer cette fraction. Soit un point E, defini par : ­ E appartient au plan de l'objet BB' ; ­ le rayon issu de E, passant par le bord inferieur D du diaphragme, est refracte en un rayon DP' passant par le bord superieur P' de la pupille de l'oeil. De meme, le point E', symetrique de E par rapport a l'axe optique, est defini par les proprietes suivantes : ­ E' appartient au plan de l'objet BB' ; ­ le rayon issu de E', passant par le bord superieur D' du diaphragme, est refracte en un rayon D'P passant par le bord inferieur P de la pupille de l'oeil. 2/12 Reproduire soigneusement la figure I.2. Placer les points E et E', obtenus a l'aide du trace des rayons PD'E' et P'DE. Pour plus de clarte, on tracera une figure distincte de celle de la question I.1.1. - I.1.4 A l'aide du schema precedent, deduire l'expression de la distance EE' en fonction des distances SF, SO, DD' et PP'. Calculer numeriquement EE'. Puis donner la fraction d'aire, definie par le rapport 1 = (EE'/BB')2 , de l'objet visible par l'oeil place au point O. I.2 Visibilite d'un objet situe entre le plan focal et la lentille B' F D' A S B D P' F' O P Figure I.3 : montage de la lentille L2 (echelle non respectee) La figure I.3 represente un montage analogue a celui de la figure I.2. La lentille L1 a ete remplacee par une lentille L2 moins convergente. L'objet BB' coupe l'axe en un point A distinct du foyer principal objet F. La distance SA est encore egale a -12 mm, tandis que la distance focale f = SF de la lentille L2 est desormais de 36 mm (figure I.3). La formule de conjugaison d'une lentille convergente, de distance focale f situee en S, entre un point objet A1 de l'axe et son image A2 est rappelee : 1 1 1 = - . f SA2 SA1 - I.2.1 Determiner par le calcul la position de l'image B2 B2 ' de l'objet BB'. Calculer le grandissement B2 B2 '/BB' et la taille de l'image B2 B2 '. L'image est-elle reelle ou virtuelle ? - I.2.2 Calculer la distance entre l'oeil et le plan image B2 B2 '. En deduire que le diaphragme DD' masque une partie de l'image B2 B2 ' a l'observateur dont l'oeil est situe en O. Estimer, dans l'approximation ou les points O, P et P' sont confondus, la fraction surfacique 2 de l'image B2 B2 ' visible par l'oeil de l'observateur situe en O. I.3 Distance focale de lentilles minces accolees Le modele propose pour decrire la situation representee sur la figure I.1.b (absence de liquide) est celui d'une lentille mince plan-convexe de rayon de courbure R (figure I.4.a, page suivante). La lentille est constituee de verre d'indice n2 entouree d'air d'indice n1 . Le modele propose pour decrire la situation representee sur la figure I.1.c (presence de liquide) est la succession d'un dioptre plan entre un milieu d'indice n1 et d'indice n2 , d'un dioptre spherique de rayon de courbure R entre un milieu d'indice n2 et un milieu d'indice n3 , puis d'un second dioptre plan entre le milieu d'indice n3 et le milieu d'indice n1 (figure I.4.b). 3/12 Tournez la page S.V.P. A' n1 n1 n2 n3 S n2 n1 n1 C A (a) (b) (c) Figure I.4 - I.3.1 On donne la formule de conjugaison correspondant a la succession de dioptres representes sur la figure I.4.a : 1 n2 - n1 1 - = . n1 SA CS SA ou CS represente la distance algebrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre spherique, represente sur la figure I.4.c. Reconnaitre la distance focale f1 de la lentille convexe dans l'expression ci-dessus et calculer sa valeur numerique. Donnees : n1 = 1, 00, n2 = 1, 50 et R = 6, 0 mm. - I.3.2 On donne la formule de conjugaison correspondant a la succession de dioptres representes sur la figure I.4.b : 1 1 n2 - n3 - . = n1 CS SA SA ou CS represente la distance algebrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre spherique, represente sur la figure I.4.c. Reconnaitre la distance focale f2 de la lentille plane dans l'expression ci-dessus et calculer sa valeur numerique. Donnees : n1 = 1, 00, n2 = 1, 50, n3 = 1, 33 et R = 6, 0 mm. - I.3.3 L'objet a observer est situe a une distance de 12 mm sous la lentille (voir schema de la vue en coupe du gobelet sur la figure I.5). Pourquoi ne voit-on rien en l'absence de liquide ? Pouquoi l'image devient-elle visible lorsque l'on remplit le verre ? intérieur du gobelet lentille en verre air objet à observer Figure I.5 4/12 P ROBL EME II M OD ELES D ' ELECTRON ELASTIQUEMENT LI E ET POUVOIR ROTATOIRE D ' UN MILIEU Les grandeurs pointees X et X designent respectivement les derivees temporelles premiere et seconde de la grandeur X consideree. Les grandeurs complexes sont soulignees. Dans tout le probleme, c represente la celerite des ondes electromagnetiques dans le vide. Donnees : - masse de l'electron : me = 9, 1 × 10-31 kg ; - 1 eV = 1, 6 × 10-19 J ; - vitesse de la lumiere c = 3, 0 × 108 m.s-1 . II.1 Oscillations unidimensionnelles Un electron assimile a une charge negative ponctuelle q = -e, de masse me , est anime d'un mouvement rectiligne le long d'un axe Oz. L'electron est soumis a un champ electrique sinusoidal ~ 0 cos(t) a l'origine d'une force electrique f~e = qE0 cos(t)~ez , a une force de rappel E0 cos(t)~ez = E elastique f~r = -z~ez et a une force d'amortissement visqueux f~v = -~v , ou ~v est le vecteur vitesse et qui s'exprime dans cette partie comme f~v = - z~ez . La force de rappel elastique represente et remplace, de facon qualitative, l'attraction electrostatique qu'exerce une charge positive immobile situee a l'origine z = 0 de l'axe Oz tenant lieu de noyau atomique (figure II.1). E0 O z Figure II.1 - II.1.1 L'electron est soumis uniquement a la force de rappel elastique f~r . Donner l'expression, en fonction de et me , de la pulsation caracteristique 0 des oscillations libres de l'electron. Que se passe-t-il si un champ electrique de frequence = 0 est applique ? - II.1.2 Donner l'expression de l'energie potentielle elastique Er (z), associee a la force de rappel f~r et definie de facon a ce que Er (0) = 0. Determiner la valeur numerique qu'il faut donner a la constante de raideur pour que l'energie potentielle Er d'un electron situe a distance z = 1, 0 × 10-10 m soit egale a 13,6 eV. En deduire la pulsation caracteristique 0 et la frequence fondamentale f0 de vibration associees a cette valeur de . - II.1.3 Exprimer le principe fondamental de la dynamique applique a l'electron lorsque celui-ci est soumis aux trois forces f~r , f~v et f~e . Projeter la relation sur l'axe Oz. On pourra introduire le parametre = /(2me ). - II.1.4 Une solution du mouvement de l'electron est recherchee sous la forme z(t) = Re(z(t)) ou z(t) = Zejt est une grandeur complexe, en presence d'un champ electrique complexe E0 ejt et ou j 2 = -1. 5/12 Tournez la page S.V.P. Determiner, pour une frequence quelconque du champ electrique applique, l'expression de Z en fonction de E0 , me , q, , et 0 . En deduire l'amplitude des oscillations de z(t). - II.1.5 Alors que l'electron oscille, on introduit le vecteur moment dipolaire p~(t) = qz(t)~ez , ainsi que la grandeur complexe ~p(t) = P ejt~ez associee. Donner l'expression du facteur de polarisabilite p = P /E0 associe au modele d'electron elastiquement lie considere dans cette partie. II.2 Induction dans une boucle circulaire Soit une boucle conductrice circulaire plane, de rayon R et d'epaisseur negligeable, placee perpen~ 1 (t) = B1 cos(t)~ez (figure II.2). diculairement a un champ magnetique B ez B (t) 1 R i(t) Figure II.2 - II.2.1 La boucle conductrice est soumise a un flux magnetique variable. La boucle est assimilee a un circuit electrocinetique associant en serie une resistance interne (r), une inductance (L) et un generateur de tension variable (e(t)). La tension e(t) represente la force electromotrice (f.e.m) ~ 1 (t). Le sens conventionnel du d'induction associee au champ magnetique variable exterieur B courant dans le circuit est choisi de facon a ce que le vecteur unitaire normal a la boucle plane fermee orientee soit egal a ~ez . Tracer le schema electrocinetique correspondant a une resistance, un generateur et une inductance en serie. Donner l'equation differentielle a laquelle obeit le courant i(t) induit dans la boucle par la f.e.m d'induction e(t). - II.2.2 Definir le flux magnetique (t) traversant la boucle. Exprimer la relation liant e(t) au flux (t) traversant la boucle conductrice. Preciser la convention utilisee : generateur ou recepteur. - II.2.3 En raisonnant a l'aide des grandeurs complexes associees, determiner l'intensite i(t) = Iejt par~ 1 (t). courant la boucle en presence de B 6/12 - II.2.4 ~ Le moment magnetique M(t) de la boucle parcourue par un courant i(t) est defini comme : ~ M(t) = R2 i(t)~ez . ~ Comment, pour une frequence donnee, la grandeur complexe M ejt~ez associee a M(t) est-elle liee a B1 ? II.3 Mouvement circulaire d'une charge electrique On rappelle l'expression des equations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et de courants : ~ = 0 divB ~ B - ~ rotE = - t ~ divE = 0 ~ 1 E - ~ . rotB = 2 c t ~ 1 (t) = B1 cos(t)~ez uniforme Le but de cette partie est d'etudier l'effet d'un champ magnetique B et oscillant sur le mouvement d'une charge electrique q astreinte a se deplacer sur un cercle de rayon R (figure II.3). Le mouvement de la particule est repere a l'aide de coordonnees cylindriques (r, , z) et les grandeurs vectorielles exprimees, soit a l'aide du repere local associe aux coordonnees cartesiennes (~ex , ~ey , ~ez ), soit a l'aide du repere local associe aux coordonnees cylindriques (~er , ~e , ~ez ). y B1 R x Figure II.3 - II.3.1 Soit un champ electrique : ~ 1 (x, y, t) = 1 B1 sin(t)~ez (x~ex + y~ey + z~ez ) E 2 ou (x, y, z) sont les coordonnees cartesiennes d'un point quelconque de l'espace considere et le symbole represente le produit vectoriel. ~ 1, B ~ 1 ) verifie les trois premieres equations de Maxwell. Verifier que la paire de champs (E - II.3.2 ~1 1 E est Montrer que la quatrieme equation n'est verifiee que si le terme de deplacement 2 c t neglige. 7/12 Tournez la page S.V.P. ~1 1 E A quelle approximation classique de l'electromagnetisme correspond l'hypothese ou 2 est c t negligeable ? - II.3.3 La charge reste a distance R de l'origine du repere. L'estimation dimensionnelle, dans le cas ~ ~ est B1 /R. Quelle est l'estimation dimensionnelle du terme || E1 || ? ~ B|| general, du terme ||rot t En deduire que le rapport : ~1 1 E || || 2 t = c B1 R demeure inferieur a 10-2 pourvu que la frequence de variation de B1 soit inferieure a c , frequence caracteristique que l'on exprimera. Donner la valeur numerique de c lorsque R = 10-10 m. - II.3.4 ~ 1 ,B ~ 1 ) constitue une solution acceptable des equations de Maxwell. La On admet que la paire (E question se pose de determiner l'influence de ce champ electromagnetique sur le mouvement circulaire de la charge q, de coordonnees cylindriques r = R, (t), z = 0. Donner l'expression de la force de Lorentz f~L qui s'exerce sur la charge lorsque celle-ci est animee ~ 1 , ~v et q. ~ 1, B d'une vitesse ~v , en fonction de E - II.3.5 Le mouvement de la particule chargee le long de sa trajectoire circulaire se ramene a l'etude de l'angle polaire (t) en fonction du temps. Exprimer, dans le repere local de coordonnees cylindriques (~er , ~e , ~ez ), les composantes de la vitesse et de l'acceleration. - II.3.6 La particule chargee est soumise a la force de Lorentz f~L , a la force d'amortissement visqueux f~v ainsi qu'a une force de reaction normale a la trajectoire f~R , dont la composante suivant ~e est nulle. En projetant le principe fondamental de la dynamique suivant la direction ~e , etablir l'equation differentielle du mouvement de la particule portant sur (t). - II.3.7 L'intensite d'un courant electrique parcourant une trajectoire circulaire n'est rien d'autre qu'une quantite de charge electrique passant en un point de reference de la boucle par unite de temps. Cela suggere une relation entre la vitesse angulaire de deplacement de la charge et l'intensite i(t) parcourant la boucle : q (t). i(t) = 2 Montrer que l'equation differentielle portant sur est equivalente a l'equation obtenue aux questions II.2.1 et II.2.2, a condition de definir de facon appropriee la valeur de la resistance r et de l'inductance L. Donner les expressions, en fonction de me , q, R et , des resistance et inductance equivalentes r et L. 8/12 - II.3.8 Justifier, a l'aide de l'analogie precedente, la definition suivante du moment magnetique instantane ~ M(t) associe au deplacement de la charge le long de sa trajectoire circulaire : ~ = q R2 ~ez . M 2 II.4 Mouvement helicoidal d'une charge electrique Une courbe helicoidale (en helice, figure II.4) est definie par le jeu d'equations parametriques cylindriques (r, , z) suivant : r = R z = A z y x Figure II.4 La courbe helicoidale se confond avec une boucle circulaire lorsque le parametre A est nul. Elle tend vers une courbe rectiligne lorsque A/R 1. La courbe helicoidale ne possede aucun plan de symetrie ni centre d'inversion. Cela confere au mouvement d'une charge electrique, le long de son contour, des proprietes remarquables vis-a-vis de l'excitation par un champ electromagnetique. La trajectoire helicoidale represente une approximation classique du mouvement d'un electron autour d'un atome appartenant a une molecule chirale, susceptible de conferer, lorsqu'une des formes enantiomeres est pure, un pouvoir rotatoire a une solution transparente contenant cette molecule. Soit une charge mobile le long de l'helice soumise simultanement a une force de Lorentz f~L , a une force d'amortissement visqueux f~v = -(R~e + z~ez ) et a une force de rappel elastique f~r = -(r~er + z~ez ). De plus, une force de reaction normale a la trajectoire f~R maintient la particule chargee sur sa trajectoire helicoidale. La force de Lorentz provient de la contribution de deux composantes electromagnetiques : d'une ~ 0 (t) = E0 cos(t)~ez etudie au cours de la partie II.1 et d'autre part la paire de champs part le champ E ~ 1 (t) = B1 sin(t)~ez (x~ex + y~ey + z~ez ), B ~ 1 (t) = B1 cos(t)~ez ) etudiee dans la partie II.3. Il existe (E 2 ~ 0 associee au premier des deux champs electriques. Mais elle n'intervient bien sur une composante B pas dans l'etude de la trajectoire de la charge, si bien que l'on n'en tient pas compte. ~ 1 s'exprime egalement dans le repere local associe aux coordonnees cylindriques On notera que E comme : ~ 1 = B1 R sin(t)~e . E 2 9/12 Tournez la page S.V.P. - II.4.1 Exprimer la vitesse de la particule chargee dans le repere local de coordonnees cylindriques. En deduire la valeur de l'energie cinetique de la particule en fonction de A,R, me et . - II.4.2 Donner les expressions de la puissance de la force de rappel elastique f~r , de la puissance de la force de reaction normale a la trajectoire f~R et de la puissance de la force d'amortissement visqueux f~v . - II.4.3 ~ 0, E ~ 1 et B ~ 1. Donner l'expression de la puissance de la force de Lorentz f~L associee aux champs E - II.4.4 Enoncer, puis appliquer le theoreme de la puissance cinetique a la particule chargee. Montrer que l'equation differentielle a laquelle obeit la variable (t) est donnee par : B1 2 2 2 2 2 2 me (A + R ) + (A + R ) + A = q AE0 cos(t) + R sin(t) . 2 - II.4.5 Calculer l'amplitude complexe des oscillations de (t) = Re(ejt ) induites, en regime permanent, par les composantes E0 et B1 du champ electromagnetique exterieur. - II.4.6 Le deplacement spatial de la charge est decompose en une composante de moment dipolaire p~(t) ~ et une composante de moment magnetique M(t) definies comme suit : p~(t) = Re(P ejt )~ez = qz(t) ~ez ; q ~ M(t) = Re(M ejt )~ez = R2 (t) ~ez . 2 Montrer que P et M obeissent au systeme lineaire suivant : P = p E0 - jB1 ; M = jE0 + m 2 B1 . Donner l'expression des trois coefficients complexes p , m et . On posera, pour simplifier l'ecriture des resultats : D(j) = A2 02 + 2j(R2 + A2 ) - 2 (R2 + A2 ). - II.4.7 Comment changent les coefficients p , m et lorsque le pas de l'helice est inverse, c'est-a-dire lorsque l'on change A en -A ? 10/12 11/12 Tournez la page S.V.P. - II.5.5 Etablir de la meme facon la relation de dispersion associee a la propagation de l'onde : ~ - = B- (~ey - j~ez )ej(t-k- x) . B - II.5.6 2 2 Exprimer la difference k- - k+ en fonction de µ0 , r , , et dans la limite ou et sont suffisamment petits pour etre consideres comme des termes de perturbation. ~ - se propagent a des celerites differentes, et que le milieu ~ + et B En deduire que les ondes B possede donc un pouvoir rotatoire. - II.5.7 Justifier, par des considerations de symetrie, qu'un milieu possedant un centre d'inversion ou un plan de symetrie ne peut avoir de coefficients et non nuls. 12/12 IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1241 ­ D'après documents fournis Fin de l'enonce

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 CCP Physique 1 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Christophe Tisserand (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Rémy Hervé (Professeur en CPGE) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux problèmes totalement indépendants. Le premier porte sur l'optique géométrique et le second, sensiblement plus long et plus difficile, sur l'électromagnétisme. · Le premier problème traite de la visibilité d'objets placés au fond de petits gobelets ludiques, cette visibilité dépendant du remplissage ou non du gobelet. Il se décompose en deux temps qui correspondent à trois sous-parties. Les deux premières sous-parties s'intéressent à la visibilité (caractérisée par la fraction de surface visible) d'un objet en fonction de son positionnement par rapport à une lentille, sans lien apparent avec le problème posé. Enfin, dans une troisième sous-partie, on résout le problème initial de la visibilité d'un objet placé au fond du verre mais en laissant au candidat la charge de faire le lien avec ce qui a été étudié précédemment. · Le second problème aborde différents types de mouvement d'un électron soumis à des champs électromagnétiques oscillants. Des mouvements unidirectionnel, circulaire et hélicoïdal sont notamment analysés et leur étude permet d'introduire les notions de moment dipolaire et de moment magnétique. Le but est de parvenir à une modélisation de la réponse microscopique de certains milieux particuliers (milieux à biréfringence circulaire ou polarisation rotatoire) lors du passage d'une onde électromagnétique. Enfin, on peut noter que le sujet X PC 2 de 2011 traite du même modèle. Ce sujet est assez intéressant et constitue un excellent moyen de révision pour l'optique géométrique de première année et l'électromagnétisme de seconde année. Enfin, une très bonne connaissance du cours, et un peu de recul sur ce dernier, suffisaient à traiter une bonne partie du problème. Indications Problème I I.1.2 Utiliser un rayon passant par le centre optique et un parallèle à l'axe optique. I.1.3 Considérer des rayons émergents parallèles à D P (ou à DP ) et passant par le centre optique. I.2.2 Introduire E2 et E2 , respectivement intersection des droites (DO) et (D O) avec le plan (B2 B2 ). I.3.1 Penser à la définition du foyer image. I.3.3 Rapprocher les deux situations des problèmes traités en I.1 et I.2. Les résultats des questions I.1.4 et I.2.2 sont nécessaires pour conclure. Problème II II.1.1 Comment répond un oscillateur libre lorsqu'on le force à sa fréquence propre ? II.2.2 L'orientation de la surface qui s'appuie sur la boucle de courant doit être en accord avec l'orientation du courant lui-même. II.3.1 On rappelle qu'en coordonnées cartésiennes x Ax - - Ay rot A = y Az z - II.3.3 Utiliser l'expression de E1 fournie pour établir l'ordre de grandeur de E1 . II.3.7 Identifier la relation avec l'équation différentielle obtenue à la question II.2.3. II.5.1 Déterminer l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique pour un milieu diélectrique ordinaire. II.5.4 Remplacer le champ magnétique dans l'équation de propagation par l'onde circulaire. II.5.5 Reprendre le raisonnement précédent. Quel est le seul terme à modifier ? II.5.6 Une onde polarisée rectilignement se décompose en une polarisée circulaire gauche et une circulaire droite. II.5.7 Quel est l'effet des symétries proposées sur la structure spatiale des ondes polarisées circulaire gauche et circulaire droite ? Problème I : Optique I.1 Visibilité d'un objet situé dans le plan focal objet I.1.1 En optique géométrique, pour qu'un dioptre centré travaille dans les conditions de Gauss, il faut d'une part que les rayons aient un angle d'incidence faible par rapport à l'axe optique et d'autre part que la hauteur d'incidence de tous les rayons soit faible devant le rayon de courbure du dioptre. Au final, on peut résumer ces deux hypothèses en disant que Les rayons doivent être paraxiaux. I.1.2 En utilisant les règles de construction des rayons, il vient B AF B D S F O D Comme on peut le voir sur le schéma ci-dessus, les images des points B et B sont situées à l'infini. Pour les tracer, on a utilisé les propriétés suivantes : · Un rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince convergente n'est pas dévié. · Un rayon incident parallèle à l'axe optique d'une lentille mince convergente émerge en passant par le foyer image F'. I.1.3 Le point E est le foyer secondaire objet associé au rayon D P. De la même manière, le point E est le foyer secondaire objet associé au rayon DP . B E A E B D S F K P O P D EE délimite ce qu'on appelle l'aire imagée de l'objet par le système optique constitué de la lentille et de l'oeil. KS = E SA, il vient par définition de la tangente \ [ I.1.4 En utilisant l'angle = D tan = AE SD + PO = SA SO AE = Ainsi, SD + PO SA SO d on obtient [ = ASE, En raisonnant de même avec l'angle = SKD EA DS + OP = SA SO tan = d'où EA = DS + OP SA SO Par conséquent, en additionnant les deux dernières relations et puisque le point A est confondu dans cette partie avec le point focal objet F, on trouve EE = DD + PP SF = 1, 6 mm SO Enfin, en utilisant la valeur calculée précédemment, la fraction d'aire 1 vaut 1 = I.2 EE BB 2 = 0, 6 % Visibilité d'un objet situé entre le plan focal et la lentille I.2.1 En utilisant directement la relation de conjugaison 1 1 1 - = f SA2 SA la position de l'image A2 du point A est SA2 = SA f = -18 mm SA + f D'après le théorème de Thalès, le grandissement est égal à B2 B2 SA2 = = 1, 5 BB SA Pour visualiser la situation étudiée et aider au calcul du grandissement, la construction de l'image B2 B2 de l'objet BB a été réalisée sur le schéma cidessous. Pour déterminer la position de l'image, on a trouvé la position du point B2 situé à l'intersection du prolongement du rayon passant par le centre