CCP Physique 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Effet d'écrantage. Moment cinétique intrinsèque de la lumière.
Principaux outils utilisés thermodynamique, électrostatique, électromagnétisme
Mots clefs entropie, énergie libre, dipôle électrostatique, moment cinétique

Corrigé

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SESSION 2011 PCP1003 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et aux chl'ffles significatifs du résultat. * * * PROBLÈME 1 UN MODÈLE D'ÉCRANTAGE Ce problème traite, de manière simplifiée, le phénomène d'écrantage dans un électrolyte faible- ment concentré. Données : -- permittivité diélectrique du vide : 50 = 8, 85 >< 10"12 F.m" -- charge électrique élémentaire : q = 1, 60 >< 10"19 C; -- constante des gaz parfaits : R = 87 31 J.mol"1.K_1 ; -- nombre d'Avogadro : NA = 6, 02 >< 1023 mol"1 ; -- charge élémentaire molaire (Faraday) : _7-" = NAq = 96500 C.mol"1. L'espace est repéré au moyen de coordonnées cartésiennes (ac, y, z) et d'un repère (656, EUR... el) associé. 1 . 7 On rappelle l'énoncé du théorème de Gauss pour l'électrostatique : le flux sortant du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la charge électrique Q contenue dans le vo-- lume délimité par la surface S, divisé par 50. Figure 1.1 1.1 Champ électrique créé par la surface chargée d'un conducteur métallique -- 1.1.1 On assimile le volume d'un conducteur au demi--espace défini par x < 0, et la surface de ce conducteur au plan infini défini par a: = O. Le demi-espace x > 0 est vide. La surface du conducteur métallique parfait porte une charge surfacique uniforme positive égale à 0 (fi- gure 1.1). Le champ électrique régnant à l'intérieur du volume du conducteur est nul. Déterminer, par des arguments de symétrie, la direction du champ Ê0 régnant en dehors du conducteur. À l'aide du théorème de Gauss, déterminer la valeur du champ Ê0 en tout point du demi--espace vide x > O, et exprimer le résultat en fonction de la charge surfacique a et d'une constante fondamentale de l'électr0statique. - 1.1.2 Énoncer la relation existant entre le potentiel électrostatique VO(:c) et le champ électrique Ê0 trouvé à la question précédente. Déterminer, à une constante près, l'expression de Vo(oe) en tout point du demi-espace a: > 0. 1.2 Écrantage par une densité volumique de charge uniforme Z 7 Figure 1.2 Au voisinage du conducteur métallique se trouve une distribution volumique uniforme de charge, dont la densité volumique de charge est notée p. La distribution volumique de charge est répartie dans la tranche comprise entre les valeurs m = 0 et a: = L, où L est une épaisseur caractéristique que l'on se propose de déterminer ultérieurement. La charge volumique p est de signe opposé à la charge surfacique a et ne perturbe pas celle--ci. La charge volumique est nulle pour toute valeur a: > L (figure 1.2). - 1.2.1 Comme dans la partie précédente, déterminer, par des arguments de symétrie, la direction du champ électrique É... en considérant à la fois les distributions de charge surfacique a et volumique p. Par application du théorème de Gauss, déterminer la valeur du champ électrique Ê...(oe) en tout point &: appartenant à l'intervalle [O, L]. Montrer que É... (a:) est uniforme pour toute valeur a: > L. -- 1.2.2 On dit que la distribution de charge volumique écrante la distribution surfacique de charge lorsque le champ Ê...(oe) s'annule pour tout :c > L. Cela signifie que pour tout observateur situé à une distance supérieure à L, la surface métallique apparaît non chargée. Donner la relation, portant sur a, p et L, pour laquelle la condition d'écrantage, ou d'électro-- neutralité, est satisfaite. Dans toute la suite du problème, on supposera la condition d'écrantage, ou d'électro- neutralité, satisfaite. - 1.2.3 On suppose la condition d'électroneutralité satisfaite, le champ É... est donc nul pour toute valeur cc > L. Donner l'expression du potentiel électrostatique V...(æ) en tout point du demi- espace 55 > 0. On distinguera les intervalles 0 < a: S L et 95 > L, et on choisira convention- nellement V...(L) = O. -- 1.2.4 Représenter graphiquement l'allure de l'amplitude ||Ë...(at)|l en fonction de $, pour a: > O. Tracer également l'allure du carré du champ EÏ0t (oe). - 1.2.5 La théorie de l'électromagnétisme permet d'établir l'expression de la densité volumique d'éner-- gie électrostatique, égale à 50E2 / 2, où Ê désigne le champ électrique. Afin de déterminer l'énergie électrostatique associée à la distribution de charge, représentée sur la figure 1.2, on définit : # u : /°° aEä..<æ> d.. 0 2 u est assimilée à l'énergie électrostatique par unité de surface du conducteur. Déterminer u et exprimer le résultat en fonction de a, L et 50. 1.3 Entropie d'un gaz parfait L'aspect thermodynamique de la distribution de charges précédente peut être traitée par analogie avec un système de gaz parfait monoatomique, qui fait l'objet de cette partie. On rappelle les relations de thermodynamique suivantes : dU = TdS --PdV dU = C.,dT nR Cv -- 7 _ 1 où U représente l'énergie interne, S l'entropie, T la température, P la pression, V le volume, n le nombre de moles, C., la capacité calorifique totale à volume constant, R la constante des gaz par-- faits, et 7 = CI,/CD le rapport des capacités calorifiques à pression et volume constants. La première relation donne la différentielle de l'énergie interne et s'applique à tout système thermodynamique fermé. Les deux relations suivantes ne concernent que les gaz parfaits. - 1.3.1 À l'aide des expressions ci-dessus, exprimer la différentielle de l'entropie dS en fonction de dT et dV pour un gaz parfait. - 1.3.2 Un système constitué d'un gaz parfait n'échangeant pas de matière avec l'extérieur, subit une transformation isotherme entre un volume initial V} et un volume final Vf. Donner la variation d'entropie AS associée à cette transformation en fonction de n, R, V, et Vf. -- 1.3.3 Le système étant fermé, on définit la concentration molaire c (mole par unité de volume) comme le rapport entre le nombre de moles n et le volume V du gaz. La transformation se fait donc entre un état de concentration c,-- = n/% et un état de concentration Cf = n/Vf. Donner l'expression de la différentielle dS en fonction de dT et dc. Donner l'expression de la variation d'entropie AS entre les états (T, c,) et (T, cf). Vérifier la cohérence du résultat obtenu et de celui de la question précédente. I.4 Entropie et énergie libre d'un gaz parfait inhomogène % _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ K< \"\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\' X Figure 1.3 On considère un gaz parfait occupant deux volumes séparés par une cloison, perméable aux échanges d'énergie, mais imperméable aux échanges de matière. Chacun des deux volumes est en contact avec un même thermostat qui maintient constante et égale leur température T (figure 1.3). Le volume de gauche contient n1 moles dans un volume V1, celui de droite @ moles dans un volume V2. Les volumes sont de forme parallélipipédique et la cloison mobile peut être déplacée le long de l'axe ac. La section verticale de la boite contenant le fluide possède une aire 2, si bien que le volume V1 de la figure 1.3 à gauche est égal au produit 2 >< 33, tandis que V2 = E >< (X -- x). La quantité de matière présente dans chacun des deux volumes reste constante au cours du déplacement de la cloison mobile. - 1.4.1 Exprimer, pour une position 33 quelconque de la cloison, les concentrations 01 et 62 régnant dans chacun des deux compartiments en fonction de :L', X, ..., 712 et E. - 1.4.2 Déterminer, en fonction de X, nl et 712, l'unique position y de la cloison pour laquelle les concentrations de part et d'autre de la cloison sont égales, et donner l'expression de la concen-- tration cO correspondante. - 1.4.3 On déplace au cours d'une transformation isotherme la cloison de la position de référence y vers une position quelconque :c. Déterminer la variation d'entropie AS associée, en fonction de 711, TL2, 01, 02, Co et R. - 1.4.4 Étudier le sens de variation de AS en fonction de :$. En déduire que AS est toujours négative ou nulle, et prend sa valeur maximale lorsque 3: = y. - 1.4.5 Définir l'énergie libre F de ce système. Déduire de la question précédente la position de la cloison qui rend l'énergie libre du système minimale, lorsque le système est maintenu à température constante T. Cette position est--elle une position d'équilibre stable de la cloison ? 15 Longueur d'écran de Debye et Hückel c A amons , ' c 2 8 c ! 0 cations & 0 L x Figure 1.4 Un conducteur métallique est plongé dans une solution électrolytique d'ions monovalents (par exemple du chlorure de sodium). Les cations et anions ont chacun une concentration égale à co. La surface acquiert une charge surfacique a supposée positive parce que des charges négatives mo- novalentes quittent la surface pour passer en solution. On ne distingue pas les charges négatives apportées par l'électrolyte de celles ayant appartenu au conducteur métallique. Les ions positifs, su- bissant la répulsion des charges surfaciques, s'éloignent légèrement de la surface, tandis que les ions négatifs sont attirés par celle-ci, créant un excès de charges négatives au voisinage de la surface. Pour modéliser le phénomène, on assimile le profil de concentration des espèces ioniques à une fonction constante par morceaux. Les anions sont en excès co + 50 au voisinage de la surface sur un intervalle de longueur L, tandis que les cations sont en défaut co -- 60 sur ce même intervalle (figure 1.4). La concentration des deux espèces est égale à co aux distances a: > L. La distribution de charges se ramène donc à celle étudiée dans la partie 1.2 et représentée sur la figure 1.2. Le but de cette partie est de déterminer l'ordre de grandeur de l'épaisseur L nécessaire aux ions de la solution pour écranter la charge de surface a. Pour cela on va estimer l'entropie des anions et des cations, puis minimiser une énergie libre F appropriée. - 1.5.1 Montrer qu'il résulte, de la distribution spatiale de charge ci-dessus, une densité volumique de charge p = --2Îôc, où .7--" est le Faraday. A quelle condition portant sur 60, f , L et a les charges surfaciques de la surface métallique sont-elles écrantées ? - 1.5.2 Montrer que le nombre de moles de cations situés entre a; = 0 et a; = L et correspondant à une section de surface 2 est égal à nl = LE(cO -- 60). En déduire le nombre de moles d'anions n'1 situés dans le même volume. - 1.5.3 On considère l'expression de AS obtenue à la question 1.4.3, dans la limite où 02 -- Cg << Cg et 01 -- Cg << Cg. Montrer alors que : C2 -- Co (02 -- Co)2 + --2 Cg 2C0 _ _ 2 ASoen1R C' C° : (C' ?} ln2R Cg 2C0 Indication : le développement limité à l'ordre 2 de ln(1 + 50) est oe -- 122 / 2. L'épaisseur L étant petite devant l'extension de la solution d'électrolyte, il est possible de montrer que la concentration C2 est très proche de Cg, et il est donc légitime de poser C2 = Cg dans l'expression ci-dessus. En admettant que le calcul d'entropie effectué pour un gaz parfait monoatomique s'applique également aux ions en solution, calculer la variation d'entropie to- tale (AS)a...-...5 + (AS)...tions associée au profil de concentration inhomogène représenté sur la figure 1.4. Exprimer le résultat au deuxième ordre en 6 C. - 1.5.4 On forme l'énergie libre F du système de charges en associant l'énergie électrostatique ob- tenue à la partie 1.2 et l'entropie obtenue à la question précédente. Montrer que le résultat est : Représenter l'allure de F en fonction de la longueur L, puis déterminer la valeur d'équilibre LDH de L, les autres paramètres étant maintenus constants. - 1.5.5 Application numérique : calculer la longueur d'écran L D H pour une concentration co = 0,15 mol.L_1 = 150 mol.m_3 à 20°C. Que devient l'expression numérique de la longueur d'écran lorsque l'on remplace la permit- tivité diélectrique du vide eg par celle de l'eau, égale au produit ege7. ? Calculer la valeur correspondante L'DH de la longueur d'écran obtenue pour une constante diélectrique relative e,... = 70. Cette approche permet de calculer la longueur d'écran électrostatique & un facteur numérique de l'ordre de l'unité près. PROBLÈME II LE MOMENT CINÉTIQUE INTRINSÈQUE DE LA LUMIÈRE Données : h -- constante de Planck h = 2-- = 1, 05 >< 10"34 J.s; 7T -- célérité de la lumière dans le vide 0 = 3,00 >< 108 m.s"1. L'espace est repéré à l'aide de coordonnées cartésiennes (a:, y, z) et d'un repère (ëæ, @, @) associé. II.] Polarisation de la lumière -- 11.1.1 Une onde plane monochromatique se propage dans le sens des 2 croissants. Combien de polarisations rectilignes distinctes une telle onde peut--elle présenter ? Comment obtenir expérimentalement une onde polarisée rectilignement ? - 11.1.2 Donner l'expression d'une onde électromagnétique monochromatique E(z, t), polarisée rec- tilignement suivant la direction % (eÎË + êy) et qui se propage dans le vide suivant la direction 2, dans le sens des 2 croissants. On notera k: le module du vecteur d'onde, ou la pulsation et E0 la norme de l'amplitude du champ électrique. - 11.1.3 Soit une onde électromagnétique polarisée circulairement, dont la notation complexe est : --ÿ . E . " Æ(Z,t) : _ej(wt--kz)ëæ + --0EURJ(wt_kz_î)ëy Donner l'expression de Ë(z, t), partie réelle de E. Représenter la trajectoire temporelle de l'extrémité du vecteur E(zo7 t) dans le plan (x, y) lorsque la variable 2 est fixe et égale à zo. -- 11.1.4 Comment, dans une expérience d'optique, peut-on convertir l'onde de polarisation rectiligne introduite à la question II. 1.2 en onde de polarisation circulaire introduite à la question II. 1 .3 ? Justifier votre réponse. 11.2 Couple de polarisation /\ N . _) _ 61 M E . +'1 Figure II.] La figure II.l représente une charge positive +q située au point M et une charge négative opposée --q située au point N, ainsi qu'un champ électrique E uniforme dans la région de l'espace considéré. - 11.2.1 Définir le moment dipolaire 73 associé à une paire de charges opposées telles que représentées sur la figure Il.l. Représenter schématiquement les forces exercées par le champ électrique É. Donner l'expression du couple (moment) & résultant des forces exercées sur le dipôle de charges par le champ électrique en fonction de 73 et Ê . -- 11.2.2 Lorsqu'une onde électromagnétique, de pulsation w, traverse une substance de constante di- électrique e(w ), il apparaît une densité volumique de polarisation P- -- 50(e (w ) -- 1)Ë. Si, de plus, le milieu est absorbant, la constante diélectrique est complexe et possède une partie imaginaire ;(w) = e'(w) -- jc"(w). Exprimer le nombre complexe ; -- 1 = 5' -- je" -- 1 sous la forme Ac", où A est le module et 1/1 l'argument de g -- 1. Déterminer les expressions de A et t/) sachant que 5" est strictement positive. Distinguer les trois cas : s' -- 1 > 0, e' -- 1 = 0 et 5' -- 1 < 0. - [1.2.3 Développer le produit : 4 _ â P = 50AerE où P désigne la polarisation complexe du milieu et É le champ électrique de la question II 1. 3. Déterminer ensuite la partie réelle P de P. -- 11.2. 4 Calculer, dans les conditions de la question précédente, la valeur moyenne temporelle du pro- duit vectoriel P /\ É, ou lon considère P partie réelle de P et É partie réelle de É En déduire qu' une lumière polarisée circulairement, traversant un milieu légèrement absor-- bant, exerce sur ce milieu un couple volumique de force dont on donnera l'expression en fonction de 50, E0, A et tb. Représenter, dans le plan (oe, y), les positions relatives de P et É. Si l'on considère une valeur de z constante et égale à zo, le vecteur P est--il en avance ou en retard sur Ê ? Indication : on pourra, pour calculer la valeur moyenne temporelle de P /\ É, utiliser l'une ou l'autre des formules trigonométriques ci-dessous .' sin(æ -- y) = sin(oe) cos(y) -- sin(y) cos(æ) 1 sin(æ) cos(y) sin(æ + y) + Sin(flî _ ?J) 11.3 Couple exercé sur une bille La partie précédente a permis de montrer que le couple volumique de forces, engendré par la lumière polarisée circulairement, est proportionnel à la partie imaginaire a" de la constante diélectri- que. Il en est de même de la puissance lumineuse absorbée par le milieu. Il est ainsi possible d'établir que chaque photon d'une lumière polarisée circulairement, comme à la question ll.l.4, possède un moment cinétique P = he}, qu'il cède au milieu lorsqu'il est absorbé par celui--ci. Une preuve expérimentale de ce phénomène fut apportée par Richard A. Beth en 1936 (Physical Review 50, p 115). - 11.3.1 Énoncer le théorème du moment cinétique appliqué à un solide par rapport à un point fixe 0. Quelles sont les unités, dans le cadre du Système International, d'un moment cinétique et du moment d'une force par rapport à un point ? [1.3.2 Un laser, de puissance H =100 mW, est entièrement focalisé sur une bille de quelques mi- cromètres de rayon. La lumière, polarisée circulairement, est entièrement absorbée par la bille. La longueur d'onde du laser est A = 0, 8 nm. Chaque photon possède une énergie fin} et un moment cinétique h orienté suivant la direction de propagation z. Calculer numériquement le couple exercé sur la bille par la lumière dans ces conditions. Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) ; il a été relu par Roman Yurchak (ENS Cachan) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Le sujet se compose de deux problème indépendants. · Le premier traite de l'écrantage dans une solution électrolytique. On y aborde des notions d'électrostatique et de thermodynamique. En restant assez proche du cours, l'énoncé débouche sur une expression approchée de la longueur de Debye-Hückel dans un électrolyte faiblement concentré. · Le second problème, plus court, s'intéresse à une expérience de mécanique qui met en évidence la polarisation de la lumière. À partir des connaissances d'électromagnétisme de deuxième année, on établit l'expression du couple volumique de forces engendré par une onde polarisée circulairement, ainsi que l'ordre de grandeur de l'effet mécanique qu'il est possible d'obtenir par cette méthode. Le sujet est assez court et ne présente pas de difficulté particulière. Cependant, peu de résultats intermédiaires sont donnés, ce qui impose une grande vigilance pour ne pas commettre d'erreurs de calcul qui pourraient se révéler dévastatrices. Indications Partie I I.2.1 Utiliser le fait que le champ est nul pour x < 0 en choisissant la même surface de Gauss qu'à la question I.1.2. I.2.5 La condition d'écrantage permet d'éliminer au profit de L. I.4.3 Utiliser la question I.3.3. I.4.4 Calculer la dérivée de S et étudier son signe. I.4.5 Que représente F dans le cas d'une évolution isotherme sans échange de travail ? I.5.1 Utiliser la relation d'écrantage de la question I.2.2. I.5.4 Les cations et les anions entre 0 et L correspondent au compartiment de gauche dans le modèle thermodynamique. Ainsi, pour les cations, c1 - c0 = -c, alors que pour les anions, c1 - c0 = c. Partie II II.1.4 Penser aux propriétés des lames dichroïques vues en cours. II.2.2 Attention au cas - 1 < 0, doit rester compris entre 0 et 2. - - II.2.4 Faire le produit vectoriel en utilisant les expressions réelles de P et E , puis linéariser en utilisant le formulaire donné par l'énoncé. II.3.2 Évaluer le nombre de photons cédant leur moment cinétique pendant une durée appropriée, en remarquant que la bille est de même dimension que la longueur d'onde utilisée. I. Un modèle d'écrantage I.1 Champ électrique créé par la surface chargée d'un conducteur métallique I.1.1 Soit M un point en dehors du conducteur. Tout plan passant par M et orthogonal à (yOz) est plan de symétrie pour la distribution de charges. Or le champ - électrique est un vecteur polaire, donc le champ E0 est dirigé selon l'intersection de tous ces plans, c'est-à-dire - E (M) = E0 - ex - E est uniforme car quel que soit le point M considéré, la distribution de charges vue depuis M ne dépend pas de sa position. La plaque étant infinie, elle est invariante d'échelle. De plus, pour une surface fermée S contenant une charge Qint , le théorème de Gauss s'écrit ZZ - - Qint E · dS = 0 S z Considérons le cylindre de rayon r ci-contre comme surface de Gauss. Le champ électrique étant dirigé selon - ex , son - flux à travers la surface latérale est nul. Par ailleurs, E est nul dans le conducteur, ce qui laisse uniquement r2 r2 E0 = 0 M x - E0 = - ex 0 c'est-à-dire I.1.2 De façon générale, en régime statique, -- - E = - grad V - - Projetons sur ey et ez : V0 V0 = =0 y z - Ainsi, V0 ne dépend que de x. Projetons ensuite sur ex , dV0 E0 (x) = - dx x d'où V0 (x) = - +C 0 (avec C = Cte ) Le champ électrique est uniforme dans tout le demi-espace vide, pourtant V dépend de x (mais pas de y ou z). Cette dépendance est une conséquence de la direction du champ électrique : lors du mouvement d'une particule chargée, la force électrostatique ne travaille que dans la direction (Ox), ce qui requiert une dépendance du potentiel V avec x. I.2 Écrantage par une densité volumique de charge uniforme I.2.1 Les symétries du problème n'ont pas changé, et donc - E tot = Etot - ex Pour tout x [0; L], l'application du théorème de Gauss à la même surface que précédemment conduit à r2 Etot (x) = donc r2 r2 x+ 0 0 - 1 E tot (x) = (x + )- ex 0 pour x [0; L] Lorsque x > L, définissons comme surface de Gauss le cylindre de rayon r compris entre les abscisses x et x + h. z M x x+h L'application du théorème de Gauss sur une telle surface permet d'écrire que -r2 Etot (x) + r2 Etot (x + h) = 0 pour tout x > L donc - - E tot (x) = E tot (x + h) ainsi, - E tot est uniforme pour x > L. I.2.2 Par continuité en x = L, on a - 1 E tot (x) = (L + )- ex 0 pour x>L La condition d'écrantage s'écrit alors L + = 0 L'écrantage tel qu'il est entendu ici n'est donc possible que dans le cas d'une surface infinie. En effet, lorsque l'extension spatiale de la plaque est finie, ce résultat n'est plus valable près des bords, ces derniers brisant les symétries du problème. Le calcul est donc valide dans le domaine de l'espace où on peut négliger les effets de bords, c'est-à-dire suffisamment près de la surface.