CCP Physique 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Oscillateurs à relaxation. Effet Doppler et ondes sonores.
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, électrocinétique, thermodynamique, ondes sonores
Mots clefs vase de Tantale, multivibrateur astable, oscillations de relaxation, effet Doppler, approximation acoustique, vélocimétrie Doppler

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SESSION 2010 PCP1003 A coucouns connus Pouncamou:s EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et a ux chiffres si gnifica tifs du résultat. * * * N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. * * * PROBLÈME 1 OSCILLATEURS A RELAXATION Cette partie traite d'un modèle d'oscillateur hydraulique. On notera p la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, et on prendra pour valeurs numériques : p == 103 kg.m"3 9 == 9, 8 ms"2 (2) Figure 1.1 SESSION 2010 PCP1003 A coucouns connus Pouncamou:s EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et a ux chiffres si gnifica tifs du résultat. * * * N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. * * * PROBLÈME 1 OSCILLATEURS A RELAXATION Cette partie traite d'un modèle d'oscillateur hydraulique. On notera p la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, et on prendra pour valeurs numériques : p == 103 kg.m"3 9 == 9, 8 ms"2 (2) Figure 1.1 I.1 Vidange d'un réservoir On considère un réservoir cylindrique dont la section horizontale est un disque d'aire S. Les hauteurs sont repérées à l'aide d'un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, et dont l'origine coïncide avec le fond du réservoir (voir figure 1.1 à gauche). Ce réservoir est rempli d'eau jusqu'à une certaine hauteur h. et percé d'un orifice situé au niveau du point B, à hauteur 23. Cet orifice possède une sec- tion droite a. On nomme D, le débit volumique d'eau sortant par l'orifice B associé à l'écoulement de vidange du réservoir. La surface libre du réservoir (d'aire S) et l'extrémité de l'orifice B sont en contact avec l'air entourant le réservoir, à pression atmosphérique PO 3 1 bar. Tous les écoulements considérés dans cette partie seront assimilés à des écoulements non visqueux, incompressibles et laminaires. La variable de temps est notée t. -- 1.1.1 On assimile la vidange du réservoir à un écoulement stationnaire, en faisant l'hypothèse que la hauteur h(t) de la surface libre varie lentement par rapport aux vitesses caractéristiques de l'écoulement. Tracer l'allure plausible des lignes de courant associées à cet écoulement. -- 1.1.2 Énoncer et appliquer le théorème de Bernoulli le long de ces lignes de courant, et déterminer, dans le cadre des hypothèses ci-dessus, et pour des sections droites S et a quelconques, la vitesse du fluide UB au niveau de l'orifice B. Que vaut alors le débit D, '? --- 1.1.3 En déduire la valeur algébrique de h : dir/dt. Que deviennent les expressions de "03 et h dans la limite où la section droite 0' est très petite devant S ? Dans toute la suite on considère valide l'approximation 0 << S . --- 1.1.4 Calculer la valeur numérique du débit D, lorsque h = 2 m, 23 = 0,1 m et a == 2 cm". Exprimer votre résultat dans les unités du système international (81), puis en litre par seconde ( L.s"'). 1.2 Influence du siphon Un siphon est une portion coudée de conduite, de section constante 0, dont la hauteur maximale, représentée par le point C de la figure 1.1, page précédente à droite, se trouve à une hauteur .zc supérieure àla hauteur Z}; de l'orifice d'entrée de la conduite. Un siphon peut se trouver dans deux états. Dans l'état amorcé, le siphon ne contient pas d'air, et l'on peut considérer que le théorème de Bernoulli s'applique d'une extrémité à l'autre du siphon. L'extrémité D située à l'opposé du réservoir se trouve alors en contact avec l'air à pression atmosphérique PO. Dans l'état désamorcé, le siphon contient de l'air, la continuité de l'écoulement dans le siphon est rompue, et le débit à travers la conduite est nul. On supposera qu'une fois amorcé, le siphon reste dans cet état jusqu'à ce que de l'air pénètre par l'orifice situé en B. Le siphon est toujours amorcé lorsque le niveau d'eau excède zC. _ 10201 Lorsque le siphon est amorcé, le réservoir se vide avec un débit sortant D,, que l'on exprimera en fonction de h., 9, 0 et de la hauteur d'un des trois points B, C ou D. - 1.2.2 Donner une équation différentielle du premier ordre en t pour l'évolution temporelle de la hau-- teur h de la surface libre, dans le régime où le siphon est amorcé. Le réservoir n'est alimenté par aucune source. -- 1.2.3 Trouver la solution de cette équation différentielle, en partant d'une condition initiale h.(0) : ]'LQ __>__ zo. En déduire la durée nécessaire tl pour que le siphon se désamorce. 1.3 Réservoir alimenté Le réservoir est désormais alimenté en permanence par un filet d'eau de débit D,, arrivant par l'orifice A, et qui ne perturbe pas l'écoulement de vidange (figure 1.2). Figure 1.2 - 1.3.1 Comment doit--on modifier l'équation différentielle portant sur h.. en présence d'un débit D, venant alimenter le réservoir, le siphon étant amorcé '? ' - 1.3.2 Montrer que l'équation différentielle obtenue admet une solution stationnaire, de hauteur hs constante, que l'on exprimera en fonction de zD, D,, a et 9. Cette solution paraît--elle acceptable si la valeur de hs associée à un débit D,; est telle que hg < 33 '? Justifier votre réponse. --- 1.3.3 Décrire l'évolution de la hauteur h(t) lorsque le siphon est désamorcé. --- 1.3.4 Montrer que si le débit D,; est plus faible qu'une valeur critique D.,, le système représenté sur la figure 1.2 se comporte comme un oscillateur, dont le débit de sortie est une fonction périodique du temps. Déterminer la valeur de D.,. - 1.3.5 On suppose D,-- < DC. Représenter schématiquement l'allure temporelle de la hauteur h.(t) en fonction du temps t. Déterminer, en fonction des paramètres du problème, la période T du phénomène, en négligeant, lorsque le siphon est amorcé, le débit incident D,-- par rapport au débit sortant D,. - 1.3.6 Application Numérique : Calculer DC et T pour les valeurs suivantes des paramètres, dans le cadre de l'approximation de la question précédente : zD : ----0, 2 m, zc : O, 3 m, 23 = O, 1 m, a == 2 cm2, D,- = 4 >< 10'"4 m3.s"1, S ==1m2. I.4 Analogie électronique Le circuit représenté sur la figure 1.3 est construit autour d'un amplificateur opérationnel (AO) supposé idéal et fonctionnant en régime saturé. La tension de sortie V, est donc égale à iV,at suivant la différence de tension observée entre les homes V.,. et V... Un condensateur C et trois résistances R de même valeur sont assemblés autour de l'amplificateur opérationnel; le condensateur et la résistance apparaissant sur le coté gauche du schéma sont reliés àla masse du circuit. C V.. R _ .... VS - - R V+ R //_ Figure 1.3 --- 1.4.1 Établir, pour une valeur donnée constante de la tension de sortie V,, l'équation différentielle que vérifie V.... (t). - 1.4.2 Après un très bref régime transitoire, le circuit produit des oscillations périodiques de la ten- sion de sortie de l'AG. Représenter, en fonction du temps, l'allure temporelle du signal de sortie V,(t), ainsi que celle de la tension V...(t). On justifiera la réponse sans entrer dans le détail des calculs. - 1.4.3 Donner l'ordre de grandeur de la période T de l'oseillateur lorsque R = 100 Ml et C = 1 ,uF. --- 1.4.4 L'oscillateur électronique et l'oseillateur hydraulique ont un fonctionnement analogue. Quel composant joue le rôle du réservoir '? Quelles grandeurs électriques peut-on associer aux hau- teurs ::Bet ch ? D'où vient, dans chaque cas, l'énergie permettant aux oscillateurs de fonction-- ner ? PROBLÈME II EFFET DOPPLER ET ONDES SONORES L'objet de cette partie est d'établir, de deux façons différentes et indépendantes, la variation de fréquence apparente d'un signal périodique associée au mouvement relatif d'une source et d'un observateur. Données : -------- constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J .K'"'1.mol""1 -------- masse molaire de l'air : M = 28, 8 g.mol""1 --------- masse volumique de l'air à température T = 298 K et pression P0 =----- 1,01 >< 105 Pa : [)0 =: 1, 30 kg....w3 II.1 Approche heuristique de l'effet Doppler Dans cette partie, on détermine de façon heuristique (c'est--à--dire en simplifiant volontairement le raisonnement) le changement de fréquence associé au mouvement relatif d'une source sonore S et d'un détecteur M (oreille humaine ou microphone), bien connu sous le nom d'effet Doppler. Une source S émet un signal sonore, de période TO, sous forme de « bips » réguliers. On note t,, i entier positif, l'instant où est émis le i-ème bip. La suite des instants t,-- est donc donnée par un terme général : ÏL-z == iTo -- II.1.1 Une source S est immobile en :): = 0. Un observateur M immobile, situé à la distance d, perçoit ce signal. sonore, avec un retard lié au temps de propagation du signal sonore à la vitesse (.: (figure 11. l , cas A). Définir la fréquence fo de ce signal périodique. Calculer le délai séparant l'émission d'un bip sonore par S de sa détection par M. Cas A S M .....-- ..---..-..-......-..-......-..-..-..-..-..-..-.. ...> 0 d X Cas B S M -.....-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-+..-..-..-..-..-..-..--___>..-..- .-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-...-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-. -..-..-..-.. ..3, 0 (1 X Cas C S M ..-..-..4_-....-..-..-+..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-...-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..> 0 d X Cas D S M -..-..-..-..-..... ' .-..-..4__.-..-....-..+-..-..-..- ;, 0 d X Cas E S M . ..-..-..-{-..-..-..-..-...___>.....-. > 0 d X Figure II.] --- II.1.2 La source S, initialement en a: == 0, se déplace à vitesse constante 77 : "z,r0êÎæ en direction de l'observateur M, immobile et situé en a: = d (figure 11. 1 , cas B). La vitesse vo est inférieure à. c. La source émet le même signal sonore périodique. Donner l'expression des instants 9,- cor-- respondant à la réception, par l'observateur, de chacun des signaux sonores, la source restant à gauche de l'observateur. Calculer l'intervalle de temps T(UO) séparant la réception de deux bips consécutifs par l'obser-- vateur immobile. En déduire la fréquence apparente f (vo) du signal périodique perçu par l'observateur. Expri-- mer le résultat en fonction de f... -uO etc. ---- II.1.3 La source S, initialement en 1: = 0 à l'instant t = 0, se déplace à vitesse constante 5 == -------v0 é}, en direction opposée à celle de l'observateur M, immobile et situé en zz: == (1 (figure II.. 1 , cas C). La source émet le même signal. sonore périodique. En procédant comme àla question précédente, calculer l'intervalle de temps T(----'UO) séparant la réception de deux bips consécutifs par l'observateur immobile. En déduire la fréquence apparente f (-------vo) du signal périodique perçu par l'observateur. Ex-- primer le résultat en fonction de fo, vo et c. - [1.1.4 La source 8 est immobile en a: == 0 et émet le même signal sonore. L'observateur M, initiale--- ment situé en a: : ci, se déplace à vitesse -----*z.vOë'æ en direction de la source (figure 11. l , cas D). Déterminer la suite 9; des instants correspondant à la réception du bip t' par l'observateur en mouvement, la source restant à gauche de l'obervateur. En déduire l'intervalle de temps 7" (no) séparant la réception de deux bips consécutifs par l'ob-- servateur en mouvement. Donner la fréquence f' (og) du signal périodique perçu par l'observateur. Exprimer le résultat en fonction de fo, co et c. -- 11.15 La source S est immobile en a: x 0 et émet le même signal sonore. L'observateur M, initia-- lement situé en a: = ci, se déplace à vitesse v0ë'OE en direction opposée à celle de la source (figure II.], cas E). Calculer l'intervalle de temps 7" ( ----«vo) séparant la réception de deux bips consécutifs par l'ob- servateur en mouvement. En déduire la fréquence f' (-----vo) du signal périodique perçu par l'observateur. Exprimer le résultat en fonction de f(), vo et 0. 11.2 Thermodynamique des ondes sonores -- II.2.1 Un gaz parfait diatomique subit une transformation adiabatique réversible entre un état initial de pression PO et de masse volumique po, et un état final de pression P1 et de masse volumique P].- Donner une relation entre P0, P1, [)0, pl et 7 == Cpîm/CU,..., rapport des capacités thermiques molaires à pression constante Cp}... et à volume constant C,,).... Comment varie l'entropie S du gaz lors de cette transformation ? - II.Z.Z On définit le coefficient de compressibilité isentropique XS comme la variation relative, à entropie constante, de la masse volumique par rapport à la pression : ...} Ê_P_ XS...p ÔP 3 À l'aide du résultat obtenu à la question 11.2.1, calculer XS dans le cas de l'air assimilé à un gaz parfait diatomique (")/ == 1, 40) à température T = 298 K et à pression PO == 1, 01 >< 105 Pa. Approximation acoustique Dans l'approximation acoustique, un fluide est décrit par un champ de masse volumique p(f' , t), de vitesse Ü(ñ t) et de surpression p(f', t) = P (F, t) ------- PO, vérifiant les équations : 85 --------> ---- : ----O'rad -- Ôp ---- : ------ div 17 81EUR Po ( ) où po désigne la masse volumique moyenne, F est le vecteur position et t le temps. On rappelle que le Laplacien scalaire est défini par A : div(grad). -- II.2.3 Trouver une relation thermodynamique linéaire entre la surpression p(ff' , t) (différence entre pression locale instantanée et pression moyenne) et la variation de masse volumique au voisi-- nage de P0, 5K)(ñ t) : P("Ï t) "'" Po- Montrer que la surpression p(ff', t) obéit alors à une équation de d'Alembert, caractérisée par une célérité (: que l'on déterminera, defaçon littérale, puis numérique, dans les conditions de pression et de température de la question 112.2. 11.3 Ondes longitudinales dans un tube L' écoulement unidimensionnel et unidirectionnel d'un fluide compressible, confiné dans un tube, est décrit par un champ de vitesse iÏ(:r t) = v(:r, t)ë}, un champ de masse volumique p(a:, t) et une surpression p(:c, 16) (figure 11.2). _Â___...... ll ! : ...... ...... | | |...... ||... | \.-..-..--..-..-..--..-..-..-..---.-..-..-..--..-..-..--..-..--..--..-..-...--..--.---..--..--..--.._..--.---..-..-. "_..- _..-- Figure II.2 -- II.3.1 On suppose que se propage, sans réflexion dans le tube, une onde sonore créée en a: == 0 par une membrane acoustique. L'onde se propage en direction des a: positifs. La surpression se met sous forme p(æ, t) = P... cos(w0t ---- kom) Donner la relation entre wo et ko. Définir la fréquence fo de l'onde sonore. -- [1.3.2 Exprimer le champ de vitesse v(æ, t) associé au champ de surpression ci-avant. En déduire la valeur du rapport p(æ, t) /v(æ, t). Ce rapport dépend--il du temps t ou de la posi-- tion æ ? -- [1.3.3 Montrer, dans le cas particulier de l'onde sonore unidimensionnelle considérée ici, que la com-- posante v(a:, t) suivant a: du champ de vitesse obéit àla même équation de d'Alembert que le champ de pression p(:c, t). --- [1.3.4 Figure 11.3 Un microphone M, intialement situé en a: = ci, se déplace à vitesse me}, 0 < vo < 0, sans toutefois perturber l'onde sonore qui se propage autour de lui (figure 11.3). La position du mi-- crophone est donc donnée par :c(t) : d + v0t. Déterminer la pression p...(t) mesurée par le microphone au cours de son mouvement. Montrer que le signal p...(t) est sinusoïdal. Déterminer sa pulsation w...(v0) et sa fréquence fm(U0)° Exprimer f...(vo) en fonction de fo, vo etc. - [1.3.5 Figure 11.4 ' La source S initialement située en a: = 0 se déplace à vitesse mé}, 0 < vo < 0, en direction du microphone immobile (figure 11.4). On suppose que pour tous les points situés entre la source et le microphone, la vitesse du fluide s'exprime comme : 'v' a: _>_ v0t ; v(oe,t)ê,, : V... cos(wflî ---- k1æ)ë'æ la vitesse moyenne du fluide restant nulle. Quelle relation vérifient & et cul '? Comment choisir ... pour que l'onde sonore, qui se propage, corresponde à une vibration à fréquence fo de la surface de la source sonore S en mouvement '? En déduire la fréquence f... de l'onde sonore perçue par le microphone. II.4 Vélocimétrie On s'intéresse à la reflexion d'une onde sur une cloison rigide mobile, au voisinage de laquelle la vitesse du fluide suivant a: s'annule. Pour déterminer la vitesse de la cloison rigide, on envoie une onde incidente et on mesure les propriétés de l'onde réfléchie (figure ILS). On recherche donc "une solution de l'équation de d'Alembert comme la superposition d'une onde incidente v,--(a:, t) = V}, cos(w,t -------- le,--r) et d'une onde réfléchie v,...(æ, t) === % cos(w.rt + ka). Les grandeurs V,; et le,; sont supposées connues, tandis que les grandeurs V,... et le,... sont à déterminer. Figure II.5 --- II.4.1 La cloison est dans un premier temps immobile, placée en a: == 0. Déterminer w... le,... et W pour que la condition aux limites soit satisfaite. --- [1.4.2 La cloison se déplace maintenant en direction de l'expérimentateur 0 à vitesse constante à" == -------uEUR,,. Sa position est donc :cc(t) == ----ut. On néglige les effets de l'écoulement ma- croscopique de fluide engendré par le déplacement du fluide autour de la cloison, pour ne considérer que les ondes incidente et réfléchie se propageant comme si le fluide environnant était au repos. Déterminer les grandeurs w... k,... et V,... sachant que la condition aux limites est satisfaite. En déduire que les pulsations des ondes sonores incidente et réfléchie sont différentes. Expri-- mer la pulsation ca,. de l'onde réfléchie en fonction de celle au, de l'onde incidente, de la vitesse u de déplacement de la cloison et de la célérité (: des ondes acoustiques. -- II.4.3 Donner la fréquence de l'onde sonore réfléchie f,... en fonction de celle de l'onde incidente f,, de u et de 0. Montrer que ce résultat coïncide avec celui que l'on obtiendrait en combinant les résultats des questions ll.l.4 et Il.l.2, c'est--à--dire en supposant que le signal émis par la source est perçu par un observateur en mouvement (la cloison) puis réémis par celui--ci en direction de la source. - II.4.4 Application numérique. Calculer la fréquence fr et la variation de fréquence f,... ---- f,-- pour les valeurs suivantes des paramètres de la question précédente : u = 10 cms--1, f,--_ = 2 >< 104 Hz, (: = 340 m.s"1. 11.5 Conclusion Pourquoi ne trouve-t--on pas le même résultat lorsque la source est en mouvement et l'obser-- vateur immobile, et lorsque la source est immobile et l'observateur en mouvement ? Cela contredit-il le principe d'invariance galiléenne ? Ces calculs s'appliquent-ils aussi aux ondes électromagnétiques dans le vide ? Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Julie Zutter (Professeur en CPGE). Cette épreuve se compose de deux problèmes indépendants. · Le premier porte sur les oscillateurs à relaxation. L'étude débute par le classique vase de Tantale. On commence par étudier le cas d'un réservoir seul, puis la modification du débit sortant quand on lui adjoint un siphon. Le but est de déterminer les conditions nécessaires à l'observation d'oscillations du niveau d'eau dans le vase. Toute cette partie utilise des notions de mécanique des fluides. Ensuite, on s'intéresse à un analogue électronique, le multivibrateur astable. · La second problème couvre différents aspects de l'effet Doppler dans le cas d'ondes acoustiques. Après avoir examiné quelques cas simples, on procède à quelques rappels sur la propagation du son dans le cadre de l'approximation acoustique. On étudie ensuite le cas d'un tube unidimensionnel, puis l'exemple de la vélocimétrie Doppler. Cette partie aborde principalement la physique de la propagation d'ondes sonores, et requiert une bonne compréhension de l'approximation acoustique. Ce sujet ne comporte pas ni difficultés majeures, ni développements calculatoires excessifs. Il est bien adapté pour vérifier que le cours est assimilé. Indications Problème I I.2.1 Utiliser le fait que la surface libre du fluide et l'orifice sont à la pression atmosphérique P0 . I.3.1 Prendre en compte le débit incident Di . I.3.2 Utiliser le résultat de la question I.3.1, et chercher la valeur de h telle que h = 0. I.3.3 Le siphon se réamorce lorsque la continuité de l'écoulement du fluide dans le siphon est rétablie, c'est-à-dire lorsque le niveau de la surface libre atteint zC . I.3.5 Dans le cas où l'on peut négliger le débit incident Di par rapport au débit sortant Ds , l'équation différentielle, qui décrit l'évolution temporelle du niveau d'eau dans le réservoir h(t), est identique à celle établie à la question I.2.2. I.4.1 Utiliser le fait que l'amplificateur opérationnel est considéré comme idéal pour écrire que les courants d'entrée sont nuls, puis appliquer la loi des noeuds. I.4.3 En mode saturé, les tensions d'entrée sont différentes. Ceci permet de justifier le basculement entre + - Vsat de la tension de sortie, et donc les oscillations. Problème II II.1.2 Lorsqu'un bip est émis à l'instant i par la source en mouvement, il lui faut parcourir la distance (d - i (v0 0 )) pour atteindre l'observateur. II.1.4 Entre l'instant ti où le bip est émis par la source, et celui où il est détecté par l'observateur en mouvement i , l'onde sonore, ainsi que le détecteur, parcourent la distance qui les sépare (d - i (v0 0 )) à leur vitesse respective c et v0 , soit (v0 + c) (i - ti ) = d - i (v0 0 ) II.2.1 Utiliser la loi de Laplace. II.2.2 Écrire la différentielle logarithmique de la loi de Laplace. II.2.3 Combiner l'équation de conservation de la masse à l'équation d'Euler linéarisée, pour retrouver l'équation de d'Alembert, vérifiée par le champ de surpression. II.3.2 On peut par exemple partir de l'équation d'Euler linéarisée, telle qu'elle est rappelée à la question II.2.3, que l'on intègre par rapport au temps. II.4.2 En supposant que les ondes incidente et réfléchie se propagent au voisinage de la cloison comme si le fluide qui l'entoure était au repos, la condition de continuité de la vitesse normale reste valable lorsque celle-ci est en mouvement. Utiliser à nouveau le fait que les ondes incidente et réfléchie vérifient l'équation de d'Alembert pour écrire leur relation de dispersion respective. Cette dernière relie respectivement les pulsations i et r aux vecteurs d'onde k i et k r . I. Oscillateurs à relaxation I.1 Vidange d'un réservoir I.1.1 Une ligne de courant à un instant donné est en tout point tangente au vecteur vitesse dans le fluide. Les lignes de courant sont orthogonales à la surface libre : en effet, à ce niveau la pression est uniformément égale à la pression atmosphérique, et le champ de pesanteur est lui aussi identique en tout point. Par conséquent, la vitesse du fluide est en tout point égale au niveau de la surface libre. On peut donc représenter schématiquement l'allure plausible des lignes de courant dans le cas du réservoir. - Si l'on considère un champ de vitesse - v (t), ainsi qu'un élément d d'une ligne de courant, il vient - - d - v (t) = 0 Pour déterminer les lignes de courant, il faut donc résoudre à t fixé le système d'équations différentielles dx dy dz = = vx vy vz I.1.2 Pour l'écoulement d'un fluide parfait incompressible et homogène, en régime permanent, tel que toutes les forces dérivent du potentiel , le théorème de Bernoulli établit que 1 P + + v 2 = Cte 2 Dans le champ de pesanteur, = g z, d'où P + gz + 1 2 v = Cte 2 En particulier, entre un point de la surface libre du réservoir où v = h, P = P0 , z = h, et l'orifice B où P(B) = P0 , on trouve 1 1 P0 + g h + h2 = P0 + g zB + vB 2 2 2 La vitesse du fluide au niveau de B s'écrit donc q vB = 2 g (h - zB ) + h2 Le débit sortant Ds est le produit de la vitesse du fluide au niveau de l'orifice B, par la section droite de ce dernier, soit q Ds = 2 g (h - zB ) + h2 I.1.3 La valeur algébrique de h est reliée au débit d'eau Ds sortant par B selon q S h = -Ds = - 2 g (h - zB ) + h2 car h < 0 d'où Soit finalement, (S2 - 2 ) h2 = 2 2 g (h - zB ) p h = - 2 g (h - zB ) 2 2 S - Dans la limite où la section droite de l'orifice B est très petite devant celle du réservoir, il vient 2 2 S S - Alors, l'expression de la vitesse de la surface libre h se simplifie selon h = - Ainsi vB = p 2 g (h - zB ) S s 2 2 g (h - zB ) 1 + S Comme /S 1, à l'ordre le plus bas, on trouve p vB = 2 g (h - zB ) Ceci revient à négliger la vitesse de la surface libre du fluide dans le réservoir par rapport à celle au niveau de B, ce qui est pleinement justifié lorsque S. On retrouve la formule de Torricelli. I.1.4 On peut donc estimer la valeur du débit sortant Ds pour les paramètres donnés dans l'énoncé. Ds = 1.10-3 m3 .s-1 = 1 L.s-1 I.2 Influence du siphon I.2.1 Lorsque le siphon est amorcé, celui-ci ne contenant pas d'air, on peut écrire le théorème de Bernoulli entre la surface libre du réservoir où v vD , et l'extrémité du siphon D, qui sont tous deux en contact avec l'air à pression atmosphérique P0 P 0 + g h = P 0 + g zD + d'où vD = 1 vD 2 2 p 2 g (h - zD ) Par conséquent, le réservoir se vide avec un débit Ds , tel que p Ds = 2 g (h - zD )