CCP Physique 1 PC 2009

Thème de l'épreuve Voile solaire. Vibrations transverses.
Principaux outils utilisés mécanique, ondes mécaniques
Mots clefs voile solaire, ondes transverses, corde, mode de vibration, pression de radiation, microbalance à quartz

Corrigé

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 wc.--52-- v " cm.--fifi ...? ....ËOEOEËm 0m Ëfl--A--h .. @DOE--h--OOEQOE ËËOEH ......=o_z=v...-->dca ...z=OEOEOu ...c=ovz°u ' SESSION 2009 A PCPIOO3 CONCOURS (OlRMUNS POlYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l 'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et aux chiffres significatifs du résultat. *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. *** PROBLÈME I VOILE SOLAIRE Ce problème traite de la possibilité de rallier l'orbite de Mars depuis l'orbite terrestre à l'aide d'une voile solaire. Les deux premières parties sont indépendantes. I.1 Orbites héliocentriques Le référentiel héliocentrique est considéré comme Galiléen. Le mouvement des astres y est décrit dans un repère de coordonnées polaires (r, 9) dont le Soleil occupe l'origine S. Les grandeurs vec- torielles seront exprimées dans le repère orthogonal associé (à}, ê'g) représenté sur la figure 1.1. Le Soleil est assimilé à un corps parfaitement sphérique et son champ de gravité est donc un champ de force central. Tous les mouvements orbitaux de ce problème sont plans. Données : -- masse du Soleil : M5 = 2,0 >< 1030 kg -- constante de gravitation : Q = 6, 67 >< 10"11 m3.s"2.kg"1 -- célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 >< 108 ms"1 -- distance moyenne Terre-Soleil : rT : 1, 5 >< 1011 m -- distance moyenne Mars--Soleil : rM : 2, 3 >< 1011 m 1/10 Figure 1.1 - 1.1.1 Rappeler l'expression générale de la vitesse 17 et de l'accélération ä' d'un corps ponctuel dans un repère de coordonnées polaires. - 1.1.2 Exprimer la force de gravitation Ëç exercée par le Soleil sur un corps de masse m situé à distance 7" du centre de l'astre. Citer deux grandeurs conservées lorsque le corps est soumis à la seule force de gravitation Fg. - 1.1.3 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un corps soumis à la seule force de gra-- vitation FS trouvée en I. 1.2. Calculer, en jours, la durée de révolution d'un corps suivant une orbite héliocentrique circu- laire de rayon TM : 2,3 >< 1011 m. - 1.1.4 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un corps soumis à la seule force de gravitation Fg, montrer que dans le cas général, l'équation du mouvement pour la distance radiale r(t) se réduit à : où EÉ, désigne la dérivée par rapport à 7° de l'énergie potentielle effective Ep(r) : 2 Ep(7") -- £ _ "__--ng... 2mr2 7" Que représente la grandeur L dans l'expression ci--dessus ? 2/10 Figure 1.2 - 1.1.5 L'énergie potentielle effective E,,(r) est représentée sur la figure 1.2. Décrire qualitativement la nature des trajectoires suivies par des corps dont les énergies totales seraient respectivement égales à E A, EB et EC schématisées par des lignes horizontales sur la figure. 1.2 Une voile solaire Une voile solaire, supposée légère, est assimilée à une surface plane d'aire S, pourvue d'un revêtement réfléchissant, dont la fonction est de tirer profit de la pression de radiation associée au rayonnement lumineux du Soleil. Figure 1.3 - 1.2.1 Une particule incidente de quantité de mouvement ji}; subit une collision élastique sur la sur- face et repart avec une quantité de mouvement p}, située dans le plan d'incidence (qui coïncide avec le plan de la figure 1.3). L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence oz et les impul- sionsÿ}; et fi,... sont égales en norme: ||p;|| : ||p}|| : p. Exprimer, en fonction de p et a, d'abord dans le repère (ü, ñ) lié à la voile, puis dans le repère (à}, ê};) lié à la direction de la particule incidente, la quantité de mouvement ôp' cédée à la surface par la particule réfléchie. - 1.2.2 La voile est plongée dans un flux de particules incidentes, dont les directions sont toutes pa- rallèles entre elles, c'est-à--dire suivant la direction du vecteur é} de la figure 1.3. On appelle QS,- 3/10 le nombre de particules incidentes traversant une surface unité normale à la direction d'inci- dence ê} par unité de temps. Ces particules n'interagissent pas entre elles et subissent toutes la réflexion décrite à la question précédente. Un calcul simple montre que le nombre de particules N,- qui subissent la collision avec la voile solaire par unité de temps, est égal à : N, : çb,--Scos(a) Exprimer la quantité de mouvement Afi/At transmise àla voile solaire par unité de temps. En déduire la force moyenne F exercée par les particules incidentes sur la voile. Exprimer F dans le repère (ü', ñ'), puis dans le repère {é}, 633). - 1.2.3 Les particules incidentes sont des photons. L'énergie E et la norme de la quantité de mouve-- ment p d'un photon sont liées par la relation E = pc. Etablir une relation entre le flux incident d'énergie lumineuse  : Eçb, et le nombre de pho- tons subissant la collision N,, puis réexprimer la force F en fonction de (I), a, S, c et 755. - 1.2.4 Comment faut-il orienter la voile solaire pour que la composante Fg : Ë'.ë'g soit la plus grande possible ? Calculer, en degrés, la valeur de l'angle &... pour laquelle cette condition est réalisée. - 1.2.5 Calculer la valeur de l'accélération & : Fa / m subie par une voile solaire de surface S = 1000 m2, de masse m = 100 kg, inclinée de a..., située au voisinage de l'orbite terrestre (r : TT) et recevant un flux incident de lumière égal à (I) = 1350 W.m"2. 1.3 Temps de transit - 1.3.1 -- -- ---- -- -- -- _ ----_ _ -- -- --. --. _ _ -- Figure 1.4 On se place dans les conditions de la partie 1.1, et on considère un corps suivant une orbite héliocentrique circulaire r(t) : T0. A un instant donné, on exerce sur le corps une force supplémentaire Ë' : F,...ë} purement radiale, dirigée vers l'extérieur, et d'intensité constante très faible. Le potentiel associé à cette force radiale est représenté sur la figure ci--dessus (fi-- gure 1.4) par une droite décroissante en traits pointillés. On cherche à déterminer la modifica- tion de trajectoire résultant de cette force supplémentaire. 4/10 L'énergie potentielle "radiale" totale, représentée en trait gras sur la figure ci-dessus résulte de l'addition de la fonction représentée en trait fin et de la droite en pointillé. En s'appuyant sur ce schéma, justifier qu'une force purement radiale et de faible intensité n'est pas de nature à modifier de façon significative le rayon de l'orbite héliocentrique. - 1.3.2 On se place dans les conditions de la partie 1.1, et on considère un corps suivant une orbite héliocentrique circulaire de rayon ro. A un instant donné, on exerce sur le corps une force supplémentaire F : F9 ê}; purement orthoradiale, dirigée vers l'avant de la trajectoire, et d'in-- tensité constante très faible. Exprimer la variation temporelle de moment cinétique du corps par rapport au Soleil en fonc- tion de F9 et du rayon r(t). - 1.3.3 Une voile solaire subissant la force calculée à la question 1.2.4 se déplace autour du Soleil. On néglige désormais le terme d2r/dt2 dans la relation issue du principe fondamental de la dynamique, ainsi que l'effet de la composante radiale F,... de la force F. On suppose aussi que l'orbite reste en permanence proche d'une orbite circulaire (c'est une spirale lentement croissante). Montrer qu'alors le rayon r(t) de l'orbite s'accroît avec le temps, obéissant à l'équation différentielle : d.?" (t) Fg = Cr t 3/2-- dt ( ) m où C est une constante que l'on déterminera. Indication : on cherchera une relation entre E et r pour le cas d 'une orbite circulaire. - 1.3.4 Dans le cas de la voile solaire, la force Ë' provient de la pression de radiation, et dépend donc de la distance à l'astre 7°, à travers le flux d'énergie lumineuse (r). Comment (r) dépend-il de la distance au Soleil en l'absence de toute absorption d'énergie lumineuse de la part du milieu interplanétaire ? Si le flux lumineux est de (rT) : 1350 W.m"2 à distance rT : 1, 5 >< 1011 m du Soleil, combien vaut-il àla distance de Mars rM : 2, 3 >< 1011 m '? Montrer que l'équation différentielle pour le rayon de l'orbite devient : dr(t)_ , a dt _C r(t) avec a : F9 /m défini et calculé à la question 1.2.5, et C' une autre constante à déterminer. - 1.3.5 Intégrer l'équation précédente et calculer le temps de transit tTM nécessaire pour rallier à la voile solaire l'orbite de Mars (r : rM), en partant de l'orbite terrestre (r : TT), en ne considérant que la force de gravité du Soleil et la force de pression de radiation. Indication : la solution de l'équation différentielle du premier ordre : ' dr K dt _ \/F entre les instants 0 et t vérifie : r(t)3/2 -- 7«(0)3/2 = â--Kt 5/10 PROBLÈME II VIBRATIONS TRANSVERSES Ce problème porte sur la variation de fréquence d'un dispositif vibrant lorsque l'on y dépose une masse perturbatrice. Il aborde également le principe de fonctionnement d'un instrument très précis : la microbalance à quartz (QCM : quartz crystal microbalance). II.1 Ondes stationnaires le long d'une corde tendue Une fine corde métallique homogène, quasi--inextensible et sans raideur, de masse linéique ,u, est soumise à une tension d'équilibre T. Ses déformations dans le plan (a:, y) sont décrites par une fonction de hauteur y : h(æ, t). Dans tout le problème, les déformations de la corde par rapport à l'axe horizontal sont supposées suffisamment faibles pour que : -- l'angle d(æ, t) que fait la courbe h avec l'horizontale soit un infiniment petit d'ordre 1, tout comme la dérivée Ôh / 6:13. -- les déplacements d'un point matériel lié à la corde n'aient qu'une composante verticale, les déplacements horizontaux étant négligeables. Les extrémités de la corde sont dénommées A et B, d'abscisse respective 513,4 et 1135. Le milieu de la corde est noté C, d'abscisse :cC (Figure 11.1). Tout au long du problème, on négligera les effets de pesanteur devant les forces de tension de la corde. Figure II.] -- II.1.1 Soit un point 0 d'abscisse 5130 situé dans l'intervalle [AB] (a:A < 330 < a: B). La partie de la corde située à droite du point 0 (a: > 330) exerce à chaque instant sur la partie de la corde située à sa gauche une certaine force Ê(æg, t). Comment s'exprime, en fonction de T et d'une dérivée de h(oe, t), la composante verticale (suivant y) de cette force Ê' '? - II.1.2 Etablir, dans le cadre des hypothèses énoncées ci--dessus, l'équation de d'Alembert vérifiée par h(:c, t). Exprimer la célérité c associée en fonction des paramètres # et T. - II.1.3 Peut--on observer des discontinuités spatiales de la dérivée Ôh/Ôæ en des points autres que A et B ? Justifier votre réponse. - II.1.4 La corde est fixée en ses deux extrémités A et B à une hauteur nulle, soit h(oeA, t) = 0 et h(æB, t) = 0. La longueur de la corde entre ces deux points est 2L, et l'on choisit l'origine du 6/10 repère de façon à avoir æA : 0 et 5133 = 2L. On recherche les ondes stationnaires de vibration de la corde sous la forme : h(a:, t) : Z sin(koe + (b) cos(wt) où Z est une amplitude arbitraire. Donner, en la démontrant, la relation existant entre au, le et C. 11.15 Les valeurs admissibles de !: (norme du vecteur d'onde) forment une suite de valeurs discrètes k... où n = 1, 2, 3 . . . est entier positif. Donner l'expression des k,, admissibles, des pulsations propres au..., et des fréquences f,, as- sociées. Comment choisir la phase gb '? II.1.6 Tracer soigneusement l'allure de la déformation associée au mode de vibration fondamental k1, telle qu'on pourrait l'observer à l'aide, par exemple, d'une caméra rapide ou d'une lampe stroboscopique. Tracer de la même façon l'allure des déformations associées à la première, deuxième et troisième harmonique (respectivement @, kg, 164). Compter et faire figurer sur votre schéma, à chaque fois, le nombre de "noeuds" et de "ven-- tres" associés à ces modes de vibration. II.1.7 On peut montrer que l'énergie mécanique par unité de longueur e(oe, t) associée à l'onde est égaleà: _H_ @ 2 z ÊΣ 2 e(""')" 2 [(ât) " (83: Calculer la valeur moyenne temporelle (EUR) en un point quelconque a: de la corde, pour le mode de vibration fondamental. II.1.8 En déduire l'énergie totale associée à la vibration du mode fondamental. On exprimera le résultat en fonction de la tension T de la corde, de sa demi-longueur L et de l'amplitude Z des vibrations. Application numérique : Que vaut l'amplitude Z des vibrations lorsque l'énergie totale du mode est égale à 0,1 ], avec L =1m, T = 100 N'? 7/10 II.2 Perturbation par une masse On accroche à la corde une perle de masse m, située exactement au milieu de la corde, au point d'abscisse £L'C : L. Cette masse est supposée ponctuelle (sans épaisseur). Figure II.2 - Il.2.l En considérant les schémas tracés à la question 11. 1.6, déterminer les modes de vibration sus- ceptibles d'être modifiés (changement de fréquence propre) par la présence de la masse m. Déterminer de la même façon les modes qui ne devraient pas être modifiés par la présence de la masse. - II.2.2 En présence de cette masse supposée ponctuelle, les dérivées à gauche et à droite de 8h / 8113 ne sont pas nécessairement égales (la dérivée ô'h/ôæ est discontinue en L). En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PF D), trouver une relation entre T, m, Ô2h/Ôt2(L, t) (accélération suivant y de la masse), Ôh/ÛOE(L' , t) et Ôh/Ôæ(L+, t), où l'on a défini : Ôh L" = l' -- t Ôh/ÔOE( %) OE_{g}_ Ôæ(rv, ) lorsque a: tend vers L par valeur inférieure, et : Ôh L+ : 1° ---- t Ôh/Ôflv( ,t) oe_'ÎÊ+ al,--("" ) lorsque 3: tend vers L par valeur supérieure. Illustrer votre relation par un schéma. - II.2.3 On recherche le mode de vibration fondamental sous la forme d'une fonction symétrique par rapport à L, c'est-à--dire telle que h(oe, t) : h(2L --- a:, t), et donnée sur l'intervalle de gauche 0 5 a: < L par : h(a:, t) : sin(Kæ) cos(wt) où K est un vecteur d'onde à déterminer, et w et K vérifient la relation de dispersion habituelle. Montrer que les conditions aux limites imposent désormais la condition de quantification sui- vante sur les valeurs possibles de w et K : cos(K L) mw2 t KL = ___---- : °° ... ) sin(KL) 2KT 8/10 - II.2.4 Tracer la courbe représentative de cotan(æ) sur l'intervalle ]O, 37r[. Montrer que si la masse m est nulle, on retrouve comme cas particulier de l'équation ci-dessus le vecteur d'onde [cl de la fréquence de vibration de la corde homogène. - II.2.5 Lorsque m est faible, on recherche un développement limité à l'ordre 1 en m du vecteur inconnu K : Koek1+flm où fi est une constante à déterminer en fonction de au, c, T et L. On utilisera en particulier le développement limité suivant de la fonction cotangente, valable pour de petites valeurs de 5 : 7r cotan(--2-- + EUR) : ----5 K est-il plus grand ou plus petit que 141 ? - II.2.6 Déduire de la question précédente le changement relatif de fréquence Af1/f1 du mode de vibration fondamental de la corde lorsque l'on passe du vecteur la au vecteur K. Exprimer le résultat en fonction de m, u et L. La détermination expérimentale de la nouvelle fréquence de vibration permet donc de déter- miner la masse m déposée sur la corde. Application numérique : Calculer m lorsque L = 1 m, T = 100 N, ,a = 10"2 kg.m"1, Af1 : --1 HZ. II.3 Une application : la microbalance à quartz Les oscillations transversales d'un cristal de quartz taillé peuvent être mesurées et entretenues à l'aide de deux fines électrodes métalliques placées de part et d'autre de la lame (propriété piézoélec- trique). La face supérieure du quartz est libre, et par un calcul généralisant celui de la question précédente, on montre que toute masse m déposée sur la face supérieure du quartz modifie sa fréquence de résonance f1 en raison de la loi : A =-- f1 pchS connue sous le nom d'équation de Sauerbrey, dans laquelle pq désigne la masse volumique du quartz, cq la célérité des ondes ultrasonores associées à cette vibration, et S la surface du cristal vibrant. Données : -- masse volumique du quartz : pq : 2650 kg.m" -- célérité des ondes de vibration du quartz : cq : 3340 ms" 3 1 9/10 dépot de masse Figure 11.3 Le phénomène ci-dessus est mis à profit pour mesurer de façon très sensible la variation de masse déposée sur la surface vibrante : c'est le principe de la microbalance à quartz, représentée sur la fi-- gure 11.3. Toute masse m déposée sur la surface entraîne une diminution de la fréquence de résonance du quartz, qui peut être déterminée précisément à l'aide d'un circuit électronique approprié. - [1.3.1 Montrer que l'équation obtenue à la question 11.2.6 est équivalente à l'équation de Sauer-- brey, à condition de remplacer la masse linéique a de la corde par celle pqS du cristal. En l'absence d'autre source d'amortissement, le cristal de quartz peut-être considéré comme un circuit résonant de fréquence f1 : 5 MHz, et de facteur de qualité élevé Q = 2 >< 106. Que vaut alors la largeur en fréquence de la bande de résonance du cristal ? Illustrer le résultat par un schéma. " 110302 En se basant sur la largeur de la courbe de résonance, estimer la variation minimale de fréquence Afl qu'un tel dispositif est susceptible de détecter. En déduire la valeur minimale du rapport m / S (masse déposée par unité de surface) ainsi détectable. Application numérique : donner la sensibilité, en nanogrammes, d'une microbalance à quartz dont la surface de vibration est S = 0,1 cm2. Remarque : Dans la pratique, on utilise pour la mesure des fréquences de vibration harmoniques f3, f5. . . plus élevées que f1. Fin de l'énoncé 10/10

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 CCP Physique 1 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Christophe Tisserand (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Langlois (Enseignant-chercheur à l'université) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants, portant sur des thèmes différents. · C'est un voyage dans l'espace pour rejoindre l'orbite martienne avec une voile solaire qui fait l'objet du premier problème. Après l'étude de l'orbite héliocentrique qu'aurait une voile solaire, on s'intéresse à la pression de radiation, qui est le moteur du mouvement ; dans une troisième sous-partie, on calcule le temps que mettrait, grâce à la pression de radiation, une voile solaire pour atteindre l'orbite de Mars en partant de l'orbite terrestre. · Le deuxième problème traite, quant à lui, des ondes transverses dans une corde métallique. On commence par caractériser le mode fondamental d'une corde. Ensuite, on étudie la modification de ce mode lorsque l'on attache au centre de la corde une petite masse. Enfin, on s'intéresse à une application de cette modification : la microbalance à quartz. Ce sujet, intéressant, comporte peu de difficultés. Par ailleurs, il constitue un excellent moyen de réviser les parties de cours concernant l'équation de d'Alembert et la mécanique. Une très bonne connaissance du cours et un peu de recul sur ce dernier permettent de traiter l'intégralité du problème. Indications Problème I I.1.1 Se souvenir que l'on peut partir de l'expression du vecteur déplacement. I.1.3 Retrouver la troisième loi de Kepler. I.1.5 Penser au mouvement d'une particule soumise à un potentiel. I.2.2 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la voile solaire. I.2.4 Donner les variations de la fonction F (). I.3.2 Appliquer le théorème du moment cinétique au corps de masse m. I.3.3 Projeter le principe fondamental de la dynamique sur - e et - e . r I.3.4 Comment se traduit la conservation de l'énergie lumineuse en l'absence d'absorption ? Problème II II.1.2 Appliquer rigoureusement le principe fondamental de la dynamique à un morceau de corde métallique de longueur dx. II.1.3 Penser à la troisième loi de Newton. II.1.5 Utiliser les deux conditions aux limites en A et B. II.2.2 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse m. II.2.5 Faire un développement limité à l'ordre 1 en m de la relation de dispersion. II.3.1 Se souvenir de la relation, dans un circuit résonant, entre le facteur de qualité et la largeur de la bande passante. Les conseils du jury Le rapport du jury est l'occasion de dresser un bilan de l'épreuve et de prodiguer, en pointant des erreurs, des conseils aux futurs candidats. « L'épreuve de Physique 1 2009 se composait de deux parties indépendantes de longueur et d'importance semblables[, ce qui] en fait un énoncé significativement plus court que ceux des éditions précédentes. De fait, de nombreux candidats ont été en mesure de traiter la totalité de l'épreuve dans le temps imparti, chaque correcteur ayant vu plusieurs de telles copies. » « Le premier problème, Voile solaire, était construit autour du programme de mécanique de première année : forces centrales, dynamique du point. Le second problème, Vibrations transverses, s'appuyait sur le programme de deuxième année : ondes transverses le long d'une corde, ondes stationnaires et résonances. Le sujet ne comportait pas de piège, et les difficultés mathématiques y étaient gommées autant que possible. Les réponses allaient bien dans le sens attendu dans l'ensemble, à l'exception de la question II.1.3 qui s'est révélée confuse et peu satisfaisante. Les parties I.1 et II.1 pouvaient être considérées comme des applications directes du cours. La partie II a été légèrement mieux traitée que la partie I, ce que l'on peut sans doute attribuer au fait que la partie I portait sur le programme de sup. » « Souvent, une démonstration ou justification était demandée. Les résultats sans justification, ainsi que les résultats non homogènes (unité, vecteurs) ont été sanctionnés. Une majorité de copies sont plutôt soignées mais il reste une fraction incompressible de copies illisibles ou destructurées. Certains candidats perdent des points faciles en ne faisant pas les applications numériques demandées, quand bien même ils ont obtenu une expression exacte. » « En dépit d'un barème généreux, tous les correcteurs ont observé un nombre significatif de copies de très faible niveau [, environ un bon quart du total]. L'insuffisance la plus flagrante porte sur la partie I.2, où la projection des vecteurs dans les repères (- er , - e ) et (- n, - u ) a fait des ravages. Il est inadmissible de ne pas savoir projeter un vecteur dans un repère orthogonal lorsqu'on prétend devenir ingénieur. » « Les candidats doivent trouver un juste milieu, entre absence de justification et excès de baratin. Les résultats finaux doivent être clairement mis en évidence, par exemple encadrés ou soulignés. Ne pas hésiter à faire une application numérique lorsque cela est possible, cela peut rapporter beaucoup comparé au temps que l'on y consacre. Nous reprenons à notre compte les conseils formulés par l'un d'entre nous, et qui sont les suivants. Recette du succès, dans l'ordre : 1. Vérifier l'homogénéité dimensionnelle des résultats finaux. 2. Un vecteur n'est pas égal à un scalaire. 3. Vérifier la cohérence de signe. 4. Vérifier la cohérence des résultats sur des cas particuliers. 5. Vérifier la cohérence des applications numériques, l'unité et le nombre de chiffres significatifs. » I. Voile solaire I.1 Orbites héliocentriques - - I.1.1 En coordonnées polaires, la vitesse v a pour expression dans la base ( er , - e ) - v = r - er + r - e - De même, en coordonnées polaires, l'expression de l'accélération a est - - - a = r - r 2 er + 2r + r e Cette expression peut s'écrire sous la forme suivante 1 d 2 - - a = r - r 2 - er + r e r dt En cas de doute, les expressions de la vitesse et de l'accélération en coordonnées polaires se retrouvent facilement. On a besoin, pour la suite, des dérivées temporelles des vecteurs - er et - e de la base polaire. Par définition, - - er = cos - ex + sin - ey et e = - sin - ex + cos - ey En dérivant chacun des vecteurs unitaires par rapport au temps, il vient - d e r = - sin - ex + cos - ey = - e dt - - d e = - cos ex - sin - ey = - - er dt -- Par ailleurs, le vecteur position OM est donné par -- OM = r - e r En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient -- dOM d- er - v = = r - er + r dt dt En remplaçant la dérivée temporelle du vecteur - er par son expression trouvée ci-dessus, on en déduit que la vitesse en coordonnées polaires vaut - v = r - e + r - e r De même, en dérivant cette dernière relation par rapport au temps, il vient d- v d- er d- e - a = = r - er + r + r - e + r - e + r dt dt dt Après simplification, l'accélération en coordonnées polaires s'écrit donc - a = r - r 2 - er + 2r + r - e - I.1.2 La force de gravitation FS exercée par le Soleil sur un corps de masse m situé à une distance r du centre de l'astre vaut, avec G est la constante de gravitation et MS la masse du Soleil, - G MS m - er FS = - r2