CCP Physique 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Eau et micro-ondes. Écoulement de fluides autour de sphères.
Principaux outils utilisés électromagnétisme, mécanique des fluides, mécanique du solide
Mots clefs absorption, loi de Stokes, théorème de Bernoulli, centre de masse, potentiel, moment d'inertie, micro-onde, sédimentation, fluide visqueux

Corrigé

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Rapport du jury

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 wc.--52-- v " cm.--fifi ...? ....ËOEOEËm 0m Ëfl--A--h .. @DOE--h--OOEQOE ËËOEH ......=o_z=v...-->dca ...z=OEOEOu ...c=ovz°u ' Les calculatrices sont autorisees Les deux problemes sont independants. On fera l'application numerique chaque fois que cela est possible, en veillant a preciser l'unite et a ne donner que les chiffres significatifs du resultat. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** P ROBL EME I E AU ET MICRO - ONDES Ce probleme aborde divers aspects de l'interaction entre les molecules d'eau et un rayonnement micro-onde. I.1 Traitement classique de la rotation d'une molecule d'eau Une molecule d'eau est constituee d'un atome d'oxygene O et de deux atomes d'hydrogene H1 et H2 . La longueur de la liaison O-H, centre a centre, est a = 96 pm, et l'angle entre les deux liaisons O-H est = 104, 5 (figure I.1). Les atomes sont consideres comme des masses ponctuelles. L'eau possede un moment dipolaire permanent ~p (represente sur la figure) : ||~ p || = 6, 11 × 10-30 C.m. y z H H 2 1 p a x O Figure I.1 1/10 On donne les valeurs numeriques des constantes physiques suivantes : - masse d'un nucleon (proton ou neutron) : mn = 1, 67 × 10-27 kg - nombre de nucleons d'un noyau d'oxygene (nombre de masse) : A = 16 - permeabilite magnetique du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1 = 1, 26 × 10-6 .s.m-1 - permittivite du vide : 0 = 8, 85 × 10-12 F.m-1 - constante de Planck : h = 6, 62 × 10-34 J.s - celerite de la lumiere dans le vide : c = 3, 00 × 108 m.s-1 - constante de Boltzmann : kB = 1, 38 × 10-23 J.K-1 - conductivite electrique du cuivre : = 5, 96 × 107 -1 .m-1 On rappelle qu'un picometre (pm) vaut 10-12 m, que le prefixe giga (G) represente 109 , que le symbole de l'unite de resistance ohm est note , et que le henry (H) s'exprime egalement en "ohmseconde" (.s). On donne les valeurs numeriques suivantes : cos(/2) = 0, 61 ; sin(/2) = 0, 79. On donnera si possible le resultat des applications numeriques avec trois chiffres significatifs. - I.1.1 Calculer et donner la valeur, en picometre (pm), des coordonnees xH1 , yH1 du premier atome d'hydrogene, puis des coordonnees xH2 , yH2 du second atome d'hydrogene, en supposant que l'atome d'oxygene occupe l'origine du repere, et que l'orientation de la molecule est telle que representee sur la figure I.1. - I.1.2 Calculer et donner la valeur, en picometre, des coordonnees xG et yG du centre de masse G de la molecule d'eau. Representer, sur un schema semblable a celui de la figure I.1, la position de G par rapport aux autres atomes constituant la molecule d'eau. - I.1.3 Calculer et donner la valeur, en picometre, des coordonnees xO , y O de l'atome d'oxygene, puis des coordonnees xH1 , y H1 , xH2 , et y H2 des deux atomes d'hydrogene, exprimees dans le referentiel du centre de masse de la molecule d'eau. - I.1.4 On definit le moment d'inertie d'un systeme indeformable de N points materiels, indexes par i, de masse mi , par rapport a un axe D comme JD = N X mi d2i (D) i=1 ou di(D) designe la distance du point i a l'axe D. Donner l'unite, dans le cadre du Systeme International, d'un moment d'inertie. Calculer les trois moments d'inertie Jx , Jy et Jz de la molecule d'eau par rapport aux axes passant par le centre de masse G, et orientes respectivement suivant les vecteurs unitaires ~ex , ~ey , ~ez . Faire les applications numeriques. - I.1.5 On considere une molecule d'eau, en rotation a vitesse angulaire constante x autour de l'axe 2/10 (Gx) passant par le centre de masse et oriente par ~ex . Donner l'expression, dans le referentiel du centre de masse, de l'energie cinetique Ecx associee a ce mouvement de rotation, en fonction de x et du moment d'inertie Jx . - I.1.6 Donner, dans les memes conditions, l'expression du moment cinetique x associe a une vitesse angulaire de rotation x autour de l'axe (Gx). En deduire une relation entre Ecx , x et Jx . - I.1.7 Le theoreme d'equipartition de l'energie predit que la valeur moyenne de l'energie cinetique de rotation, notee hEcx i, est egale, pour une temperature T , a hEcx i = kB T 2 Appliquer le theoreme d'equipartition de l'energie a une molecule d'eau en phase vapeur a 100 C. p En deduire la valeur numerique de la vitesse angulaire quadratique moyenne q = hx2 i, la frequence fq , ainsi que la periode q associees a cette vitesse angulaire q . I.2 Les rayonnements micro-ondes - I.2.1 Dans le vide, un rayonnement electromagnetique de frequence f est transporte par des photons d'energie E = hf . Quelle energie, en Joule, est transportee par un photon de frequence f = 2, 45 GHz ? Quelle est la longueur d'onde d'un rayonnement de frequence f = 2, 45 GHz ? Peut-on negliger, dans un circuit electrique dont les fils conducteurs presentent une dizaine de centimetres de longueur, les effets de retard et de propagation d'un tel signal ? - I.2.2 On sait qu'aux frequences elevees, le courant electrique circule au voisinage de la surface des conducteurs metalliques (effet de peau). La profondeur de peau , depend de la conductivite du materiau d'une part, de la frequence du courant f , et de la permeabilite magnetique du vide µ0 d'autre part. Trouver, par un raisonnement d'analyse dimensionnelle, la dependance de la longueur , fonction de , f et µ0 . Estimer dans le cas d'un courant de frequence f = 2, 45 GHz, circulant dans du cuivre. - I.2.3 Dans un four a micro-ondes, on suppose que toute la puissance du four est convertie en rayonnement electromagnetique. Le but des questions suivantes est d'estimer la valeur du champ ~ regnant dans la cavite du four. electrique E 3/10 Flux incident d'énergie Section S ez ey ex Four Modélisation Figure I.2 Pour cela, on commence par modeliser l'onde electromagnetique comme une onde plane monochromatique se propageant dans le vide suivant la direction -~ez (figure I.2) z ~ ~ex E = Re E0 exp 2j f t + j est le nombre imaginaire pur de carre -1, et Re{·} designe la partie reelle des nombres complexes. ~ dans le vide. Rappeler l'expression du vecteur de Poynting ~ du vecteur de Poynting pour l'onde electroQue vaut la valeur moyenne temporelle hi magnetique consideree ici ? - I.2.4 Pour quelle valeur du champ electrique E0 , la puissance de l'onde electromagnetique traversant une section carree S = 0, 1 m2 est-elle egale a 103 W ? - I.2.5 L'application numerique de la question I.1.7 nous montre que la variation temporelle du champ electrique est lente devant la vitesse de rotation des molecules d'eau. Le champ electrique peut donc, a l'echelle de la picoseconde, etre considere comme constant. Donner l'expression de l'energie potentielle d'interaction entre le moment dipolaire p~ permanent de la molecule d'eau, et le champ E~0 = E0~ex precedemment calcule. Calculer en Joule, l'ordre de grandeur de cette energie potentielle. Comparer cette energie a l'energie d'agitation thermique des molecules d'eau en phase vapeur a 100 C. Conclure. I.3 Absorption du rayonnement electromagnetique - I.3.1 A la frequence consideree, le vecteur d'onde k et la pulsation de l'onde electromagnetique ~ 0 exp[j(t + kz)] ayant penetre dans le milieu dielectrique et non conducteur, verifient la E relation : () k2 - r 2 2 = 0 c ou la constante dielectrique relative r () est un nombre complexe qui se decompose en r () = () - j (), avec partie reelle, partie imaginaire et . Que peut-on dire de la nature de l'onde dans un tel milieu ? 4/10 Quelle est la consequence physique, pour ce milieu, du passage de l'onde electromagnetique ? - I.3.2 En 1912, P. Debye a propose un modele theorique pour la variation de r () et obtenu, dans le cas de l'eau, l'expression suivante : r () = 1, 77 + 65, 00 1 + j ou est un temps de relaxation, dependant de la temperature du fluide, et valant a 60 C, (60 C) = 4, 0 × 10-12 s. Donner l'expression litterale, puis l'application numerique, de la partie reelle et imaginaire - de la constante dielectrique a 60 C, pour une onde de pulsation = 1, 54 × 1010 rad.s-1 correspondant a la frequence de 2,45 GHz ci-dessus. - I.3.3 Deduire de la relation de dispersion que le vecteur d'onde k est complexe et se met sous la forme k = k - jk . Donner l'expression de k et k en fonction de , c, et , en faisant l'hypothese que k est grand devant k . - I.3.4 Quelle epaisseur d'eau L a 60 C l'onde devrait-elle traverser pour que son flux d'energie soit divise par 2, dans le cadre du present modele ? Remarques : en pratique, les ondes vont etre reflechies un grand nombre de fois par les bords metalliques de la cavite du four. La constante dielectrique r () depend fortement de la temperature. Le temps de relaxation est du meme ordre de grandeur que le temps de rotation des molecules d'eau determine dans la partie I.1. 5/10 P ROBL EME II M OUVEMENT DE SPH ERES DANS LES FLUIDES On definit le repere de coordonnees spheriques (figure II.1 ci-dessous) : z er M O r e e y x Figure II.1 La relation entre coordonnees spheriques et cartesiennes est : x = r sin() cos() y = r sin() sin() z = r cos() Les champs de vecteurs au point M (r, , ) seront exprimes dans le repere local (~er , ~e , ~e ). L'axe (Oz) designe la verticale ascendante du referentiel d'observation. On pourra, tout au long du probleme, utiliser le formulaire d'analyse vectorielle suivant, pour les champs scalaires : -- f 1 f 1 f grad(f ) = ~er + ~e + ~e r r r sin() 2f 2f 1 2f cos() f 1 2 f + 2 + 2 2 + 2 + 2 2 f = r r r r r sin() r sin () 2 ~ = Xr~er + X~e + X~e : et pour les champs vectoriels X 2 Xr cos() 1 X 1 X Xr + + X + + r r r sin() r r sin() cos() 1 X 1 X - ~ ~er + X - rot(X) = r r sin() r sin() 1 Xr X X ~e - - + r sin() r r X X 1 Xr + + - ~e r r r ~ = div(X) 6/10 On utilisera, pour les applications numeriques, les donnees suivantes : - viscosites dynamiques de l'air et de l'eau dans les conditions usuelles : air = 1, 8 × 10-5 Pl ; eau = 1, 0 × 10-3 Pl - masses volumiques de l'air et de l'eau : air = 1, 3 kg.m-3 ; eau = 103 kg.m-3 . - acceleration de la pesanteur g = 9, 8 m.s-2 . II.1 Fluide parfait dans un champ de pesanteur - II.1.1 On note la masse volumique du fluide, ~g le champ de pesanteur, Pt la pression et ~v le champ de vitesse. Ecrire l'equation d'Euler pour un fluide parfait, en supposant le referentiel d'observation galileen. - II.1.2 En deduire, a une constante pres, la valeur de la pression hydrostatique Ph (z), lorsque le fluide, suppose incompressible, est au repos dans le referentiel galileen. II.2 Ecoulement stationnaire d'un fluide parfait autour d'une sphere immobile On note la masse volumique du fluide et ~v le champ de vitesse. On definit la surpression P comme la difference entre la pression Pt et la pression hydrostatique Ph definie dans la partie precedente. Dans toute cette partie, on remplacera dans l'equation d'Euler la pression Pt par la surpression P , et on negligera totalement l'influence du champ de pesanteur. - II.2.1 Donner la condition d'incompressibilite de l'ecoulement. - II.2.2 -- On considere un ecoulement potentiel, ~v (~r) = grad (~r) , ou est une fonction arbitraire de ~ l'espace, et r = ||OM|| la distance a l'origine du repere de coordonnees spheriques. Que vaut alors le rotationnel du champ de vitesse ~v ? - II.2.3 Soit le potentiel u (~r) = uz, avec u une constante. Reconnaitre le champ de vitesse ~vu associe. - II.2.4 Exprimer u a l'aide des coordonnees spheriques r, , . Exprimer dans la base locale (~er , ~e , ~e ) le champ de vitesse ~vu associe a u . - II.2.5 On donne maintenant le potentiel b s (r, , ) = ur + 2 cos() r ou b est une constante. Calculer le champ de vitesse ~vs associe. - II.2.6 Verifier que le champ de vitesse ~vs correspond bien a un ecoulement incompressible. - II.2.7 Montrer que pour une valeur particuliere a de la distance r, la composante radiale de la vitesse 7/10 (c'est-a-dire la composante orientee suivant ~er ) s'annule. Exprimer b en fonction de u et de a. Reecrire le champ de vitesse en fonction de u, a, r et . - II.2.8 On s'interesse desormais a la region de l'espace r a, exterieure a la sphere de rayon a, et on souhaite representer sur un schema l'allure du champ de vitesse dans le demi-plan defini par = 0 et [0, ]. Reproduire et completer le tableau de valeurs ci-dessous, pour une constante u egale a 1. r a 0 a /4 a /2 a 3/4 a vr v r 2a 0 2a /4 2a /2 2a 3/4 2a vr v - II.2.9 A l'aide des valeurs du tableau, representer graphiquement le champ de vitesse pour r a. Tracer l'allure de quelques lignes de courant. - II.2.10 On rappelle que dans le cas d'un ecoulement potentiel, le terme de derivee convective peut-etre mis sous la forme : -- -- ~v 2 ~v · grad (~v ) = grad 2 Deduire de l'equation d'Euler pour un ecoulement parfait potentiel stationnaire, en l'absence de pesanteur, l'existence d'une quantite C dependant de ~v , et P , et dont la valeur est uniforme dans l'espace. Quel nom donne-t-on a ce resultat ? En faisant tendre r vers l'infini, et en faisant l'hypothese que limr P (r) = 0, determiner la constante C. - II.2.11 En deduire la valeur de la surpression P (r = a, , ) au voisinage de la sphere r = a. La sphere subit-elle de la part de l'ecoulement une force de trainee, c'est-a-dire une force dirigee suivant ~ez ? (repondre sans faire de calcul.) II.3 Sphere en mouvement de translation dans un fluide visqueux : approche qualitative Une sphere de rayon a en mouvement de translation a vitesse ~u dans un fluide de viscosite , subit de la part de ce fluide une force de trainee F~ egale a F~ = -6a~u, pourvu que cette vitesse de deplacement soit suffisamment faible (loi de Stokes). - II.3.1 Une bille de rayon a et de masse volumique b est lachee sans vitesse initiale dans un fluide de viscosite et de masse volumique . La bille et le fluide sont soumis a l'influence de la pesanteur, dont l'acceleration est notee ~g . Etablir l'expression de la vitesse de la bille, fonction du temps, ainsi que la vitesse limite ~u atteinte par celle-ci, dans le cadre de la loi de Stokes. 8/10 - II.3.2 Calculer la vitesse limite de chute associee respectivement a une gouttelette de brouillard (rayon 1 µm), puis a une goutte de pluie (rayon 1 mm) dans l'air. Ce dernier resultat vous parait-il realiste ? - II.3.3 Pour juger de la validite de la formule de Stokes, il faut calculer le nombre de Reynolds associe a l'ecoulement du fluide autour de la bille. Proposer une expression du nombre de Reynolds Re associe au mouvement de chute d'une bille dans un fluide de viscosite . A quelle condition peut-on considerer que la loi de Stokes est valable ? Cela est-il le cas dans les exemples de la question precedente ? Comment se comporte la force de trainee a grande vitesse ? II.4 Interactions hydrodynamiques dans un fluide visqueux Les interactions hydrodynamiques sont des forces transmises par le fluide sur les objets qui s'y deplacent. Elles expliquent divers effets observes durant la sedimentation de petits objets (processus par lequel des particules dans un fluide au repos se deposent), comme la tendance de ceux-ci a tomber les uns a la verticale des autres, ou a tomber a une vitesse differente s'ils sont proches les uns des autres. Lorsqu'une bille spherique se deplace verticalement vers le bas a vitesse ~u = -u~ez , elle cree un deplacement du fluide autour d'elle, dont le champ de vitesse a grande distance et dans un repere de coordonnees spheriques dont l'origine est occupee par la particule, est donne par (forme d'Oseen) : ~v (~r) = 3au [-2 cos()~er + sin()~e ] 4r (voir figure II.2 a gauche). L'expression ci-dessus, que l'on admettra, n'est valable que pour des distances r tres superieures au rayon a de la bille qui se deplace. Le champ de vitesse ~v (~r) represente la vitesse d'ecoulement du fluide dans le referentiel du laboratoire. z r er e d u u Figure II.2 - II.4.1 Reproduire et completer le tableau de valeurs suivant, pour une valeur de la constante 3au/(4r) egale a 1 (ou vr et v designent respectivement les composantes radiales et orthoradiales du champ de vitesse) : 9/10 0 /4 /2 3/4 vr v - II.4.2 Neuf billes identiques occupent les positions de la figure II.2 a droite. Les huit billes exterieures sont a egale distance d de la bille centrale et immobiles par rapport au fluide. La bille centrale est animee d'un mouvement vertical, et d'une vitesse ~u dirigee vers le bas. Reproduire la figure II.2 de droite sur la copie, puis dessiner l'allure des forces exercees par le deplacement de la bille centrale sur chacune des huit billes peripheriques voisines, supposees immobiles, et causees par la nature visqueuse de l'ecoulement. - II.4.3 A B d u u Figure II.3 Deux spheres identiques A et B soumises a leur poids et a la friction visqueuse du fluide descendent a la meme vitesse ~u (figure II.3). On note ~rA et ~rB les positions respectives des spheres A et B, ~rAB la separation ~rB - ~rA , et d la distance ||~rAB ||. On suppose que le deplacement de la bille A cree au point B un champ de vitesse ~v (~rAB ) par rapport au referentiel du laboratoire. La bille B subit donc de la part du fluide une force de friction de Stokes egale a : F~s = -6a[~u - ~v (~rAB )] En faisant un bilan des forces exercees sur la bille B, deduire sa vitesse de descente ~u en fonction de sa masse m, de l'acceleration de la pesanteur g, de la viscosite du fluide et du rayon a. En comparant avec le resultat obtenu en II.3.1, conclure sur le fait que deux billes proches sedimentent plus vite, moins vite ou aussi vite qu'une bille isolee. Fin de l'enonce 10/10

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Christophe Tisserand (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde, de façon originale, deux phénomènes physiques différents : l'absorption des rayonnements micro-ondes par l'eau et l'interaction entre particules dans un fluide visqueux. Cela donne deux parties totalement indépendantes. · La première partie s'intéresse d'abord à la molécule d'eau et à sa rotation, selon une démarche classique. Elle s'attache ensuite à l'étude des rayonnements micro-ondes et à leur absorption par l'eau. · La deuxième partie porte sur l'étude du mouvement de sphères dans les fluides. On y introduit notamment la notion d'interactions hydrodynamiques dans les fluides visqueux. Ce problème, de difficulté raisonnable, est un excellent problème de révision pour l'électromagnétisme dans les milieux et la mécanique des fluides. Il permet d'évaluer la connaissance et la compréhension des concepts de base dans ces différents domaines. Par ailleurs, ce sujet contient de nombreuses questions proches du cours qui doivent être traitées avec soin et rapidité. Enfin, les applications numériques étant très nombreuses dans ce sujet, il convient de leur accorder l'attention nécessaire pour ne pas passer à côté de points faciles. Indications Problème I I.1.1 Effectuer une projection sur les axes (Ox) et (Oy). I.1.2 Utiliser la définition du centre de masse. -- -- I.1.3 Appliquer la relation de Chasles à GH1 et GH2 . I.2.1 Quand l'approximation des régimes quasi stationnaires est-elle valable ? - I.2.3 Calculer la moyenne de à l'aide de la notation complexe. I.3.1 Quelle doit être la forme de la relation de dispersion pour que l'on ait absorption et dispersion ? I.3.2 Remarquer que 1 puis effectuer un développement limité. I.3.3 Effectuer un développement limité et identifier. I.3.4 Faire le lien dans l'expression du champ électrique entre k et l'absorption. Problème II II.1.2 Retrouver la loi de l'hydrostatique. - -- II.2.2 Que vaut l'opérateur rot (grad ()) ? II.2.10 Retrouver le théorème de Bernoulli. II.2.11 Utiliser les symétries. II.3.1 Faire un bilan des forces sans oublier la poussée d'Archimède. II.4.2 Utiliser l'expression de la formule de Stokes. II.4.3 Relier - v à- u quand = /2. Les conseils du jury Le rapport du jury est l'occasion de dresser un bilan de l'épreuve et de rappeler quelques recommandations générales. « L'épreuve de Physique 1 abordait la mécanique des solides (centre de masse et moment d'inertie), les ondes électromagnétiques dans le vide et dans les milieux de constante diélectrique complexe (problème I), et la mécanique des fluides non visqueux puis visqueux (problème II). Nous avions délibérément fait le choix cette année d'un énoncé concis. C'est donc avec satisfaction que nous avons constaté que la plupart des candidats avaient été en mesure d'aborder le sujet dans son intégralité, contrairement aux années précédentes. Cette épreuve a été considérée comme facile, tant par les correcteurs que par nombre de candidats eux-mêmes. Peu calculatoires, proches du cours avec de fréquentes applications numériques, les deux problèmes ont donné l'opportunité aux meilleurs des candidats de dérouler leur savoir-faire et d'obtenir un score plein. » « Les candidats se doivent d'achever leurs calculs, de simplifier autant que faire se peut les expressions littérales obtenues, de même que les unités dans lesquelles s'expriment les applications numériques, puis de souligner ou d'encadrer le résultat final. [...] Un correcteur n'est pas tenu de simplifier lui-même l'expression résultant d'un calcul inachevé, ni de donner les points afférents : cela reviendrait à terminer le calcul à la place du candidat. Il en va de même des unités. Une combinaison d'unités du Système International, même correcte, ne saurait être vue comme exacte si sa simplification n'est pas immédiate, car c'est au candidat qu'il revient d'apporter la preuve que son unité est correcte. » « Les futurs candidats gagneront à rendre la copie la plus lisible possible, et à éviter toute ambiguïté dans leurs réponses. Il est préférable de traiter les questions d'un problème dans l'ordre, car la correction d'une copie ne doit pas se transformer en jeu de piste. De multiples allers-retours ne peuvent que donner une impression défavorable de désarroi de la part d'un candidat ayant perdu toute maîtrise de sa composition. Il faut relire sa copie, en veillant à ce que les expressions soient homogènes, les unités correctes et les ordres de grandeur des applications numériques sensés. Combien de points supplémentaires seraient gagnés, ne serait-ce qu'en vérifiant l'homogénéité des formules ! Les applications numériques donnant lieu à un nombre excessif de chiffres significatifs ont été sanctionnées. » « Une grandeur peut être petite sans être pour autant négligeable (question I.3.2). Lorsqu'une grandeur est supposée petite devant une autre, cela suggère d'envisager certaines approximations dans les calculs, comme par exemple un développement limité. Il ne faut pas négliger brutalement cette quantité sans raison. » « Enfin, les candidats veilleront à bien former les dérivées partielles , qui ressemblent trop souvent à des . » I. Eau et micro-ondes I.1 Traitement classique de la rotation d'une molécule d'eau I.1.1 Tout d'abord, d'après l'énoncé, on a le schéma ci-dessous y H2 H1 /2 /2 yH2 xH2 O yH1 x xH1 Puisque le triangle est rectangle, on obtient les coordonnées xH1 , yH1 du premier atome d'hydrogène : xH1 a cos 2 - 2 a sin 2 = = yH1 a sin - a cos 2 2 2 De même, d'après le schéma précédent, on obtient les coordonnées xH2 , yH2 du second atome d'hydrogène : xH2 a cos 2 + 2 -a sin 2 = = yH2 a sin + a cos 2 2 2 Les coordonnées numériques des atomes d'hydrogène sont alors xH1 75,8 pm = yH1 58,6 pm xH2 -75,8 pm = yH2 58,6 pm Selon l'énoncé : « On donnera si possible le résultat des applications numériques avec trois chiffres significatifs. » Cette formulation étant relativement ambiguë, on choisit de donner le résultat des applications numériques soit avec deux chiffres significatifs soit avec trois chiffres significatifs. Par ailleurs, le rapport du jury signale qu'« il s'est trouvé des candidats pour confondre les picomètres et les angströms (alors que la valeur du picomètre était donnée dans le préambule), donnant lieu à des valeurs cent fois trop faibles ».