CCP Physique 1 PC 2007

Thème de l'épreuve Jeux d'eau et de lumière. Mesure des ondes sismiques.
Principaux outils utilisés optique, mécanique, électrocinétique, induction, physique des ondes
Mots clefs pendule, réfraction, poussée d'Archimède, filtres, induction de Lorentz, ondes sonores, ondes sismiques, mirages, formules d'inversion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 OEOH5OÆ .? " 0@H5Q ... mao...æäË o...... ËmfiE - m=oE5Ëoe mËËÈ "mao--z:Vu-->_om «:::--Eau ...u=°uzcv ' Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à préciser l 'unite' et a ne donner que les chifi'res significatifs du résultat. >x<>x<>x< N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. >x< >x< >x< PROBLÈME I \ JEUX D'EAU ET DE LUMIERE 1.1 Vérification des niveaux glace d'eau eau liquide eau liquide Figure 1.1 - 1.1.1 Un glacon d'eau solide, a 00EUR, flotte dans un verre d'eau a la même température (Fi- gure 1.1 a gauche). La fonte du glacon s'accompagne-t-elle d'une variation du niveau il de l'eau dans le verre ? On néglige la masse volumique de l'air devant celle de l'eau. - 1.1.2 Un morceau de bois flotte dans un verre d'eau (Figure 1.1 a droite). Sur le morceau de bois est posée une pièce métallique. La pièce métallique glisse au fond du verre. Ce mouve- ment s'accompagne-t-il d'une variation du niveau h' de l'eau dans le verre ? 1/13 I.2 Réfraction W/W// ///W// ///W// ///W// ///W// WWW ///, WWWWWWW Ecran Figure 1.2 Un solide transparent d'indice de réfraction m, est plongé dans un liquide transparent d'indice de réfraction @ (Figure 1.2). Un faisceau lumineux, en incidence normale, vient éclairer le solide, et après la traversée de celui--ci, illumine un écran situé sous le solide. - 1.2.1 En reproduisant fidèlement la figure ci-dessus, tracer l'allure du prolongement des rayons réfractés issus de A, B, C et D, jusqu'à l'écran, dans le cas où l'indice de réfraction m est supérieur a @, puis dans le cas où l'indice de réfraction m est inférieur a @. On ne tiendra pas compte des rayons réfléchis. En déduire les zones de plus forte et de plus faible intensité lumineuse sur l'écran. 1.3 Application Un collectionneur de gemmes possède trois petites pierres transparentes et incolores : une mois- sanite, un zircon et un morceau de verre a fort indice (flint), ainsi qu'un flacon de iodure de méthylène liquide. Les propriétés physiques de ces quatre substances sont résumées dans le tableau ci-dessous : Substance Masse volumique (kg.m_3) Indice de réfraction Zircon 4690 1,95 Moissanite 3210 2,70 Verre flint 3740 1,64 Iodure de méthylène 3330 1,75 Les trois pierres ont été interverties, si bien que leur proprétaire doit conduire une série d'expé- riences pour les reconnaître. - 1.3.1 L' immersion des trois pierres dans le iodure de méthylène, permet de reconnaitre immédia- tement l'une des trois pierres. Laquelle ? - 1.3.2 lumière J/ J/ J/ pierres @ /Ç)% ' iodure de méthylène verre dépoli Figure 1.3 2/13 Pierre numéro 1: Pierre numéro 2: contour clair, contour sombre, arêtes sombres. arêtes claires. Figure 1.4 Les deux pierres restantes sont posées sur un morceau de verre dépoli, recouvertes de iodure de méthylène, puis éclairées depuis le haut. Un miroir incliné situé sous le verre dépoli per- met d'observer le verre dépoli par en dessous (Figure 1.3). La pierre numéro 1 est entourée d'un contour brillant, et ses arêtes vives sont sombres. La pierre numéro 2 est entourée d'un contour sombre, et les arêtes paraissent brillantes (Figure 1.4). Identifier les pierres numéro 1 et numéro 2. , PROBLÈME Il MESURE ET ETUDE DE LA PROPAGATION DES VIBRATIONS SISMIQUES 11.1 Partie préliminaire : le mouvement pendulaire On considère un pendule constitué d'une masse m supposée ponctuelle, reliée au point d'oscil- lation O fixe, par une tige rigide de longueur EUR et de masse négligeable. Le mouvement se fait dans le plan vertical sz (voir Figure 11.1), rapporté à un repère de coordonnées polaires, dont l'angle 9 = 0 correspond àla position de repos, verticale, du pendule. On supposera que la force Î exercée par la tige sur la masse est toujours dirigée vers le point O. Les forces de frottement sont supposées suffisamment faibles pour être négligées. On notera g l'accélération de la pesanteur. Z Y @ 0 X Q î \_/ 6 "!(Îe 61" Figure 11.1 3/13 - II.1.1 Exprimer, dans le repère de coordonnées polaires associé au pendule (Figure 11.1), la force T, de norme T, la force de pesanteur P, ainsi que l'accélération Zi de la masse. - II.1.2 Etablir l'équation différentielle du mouvement du pendule, dans le cas général, puis dans le cas des oscillations de faible amplitude (@ << 1 radian). - II.1.3 Donner l'expression de l'énergie mécanique du pendule. Comment peut--on, a partir de l'expression de l'énergie mécanique du pendule, retrouver l'équation du mouvement? - II.1.4 Exprimer le moment cinétique oy par rapport à l'axe (Ov), orienté par le vecteur @, du pendule en mouvement. Donner l'expression des moments du poids MOy(Ë) et de la force MOy(Ï") par rapport a cet axe. Retrouver l'équation du mouvement a partir de ces expressions. Y Figure II.2 - II.1.5 On s'intéresse désormais aux oscillations d'un pendule dont le plan d'oscillation a été incliné de facon a ce que l'axe (Ov) fasse un angle B, quelconque, avec la verticale, l'axe (Ox) restant horizontal (Figure 11.2). La tige maintient la masse sur sa trajectoire oblique, sans exercer de frottement appréciable. La position du pendule est exprimée dans le repère de coordonnées polaires du plan sz comme ci-dessus. Exprimer, en fonction de EUR, 9, g, B, m et de / dt, l'expression de l'énergie mécanique du pendule incliné. - II.1.6 Donner, à partir de l'expression de l'énergie mécanique, la nouvelle équation du mou- vement du pendule. - II.1.7 En déduire l'expression du moment MOy(Ë) de la force de pesanteur par rapport à l'axe de rotation (Ov), orienté par @. Montrer que dans la limite des oscillations de faible amplitude, 9 << 1 radian, l'action de la pesanteur est équivalente à un ressort de torsion de constante de raideur C, que l'on exprimera en fonction de g, B, EUR , m et 9. 4/13 II.2 Vibration horizontale Pour enregistrer les vibrations du sol, les ingénieurs sismologues ont développé de nombreux dispositifs mécaniques ou électromécaniques appelés sismographes (ou sismomètres). Le but des questions suivantes est d'étudier le principe de fonctionnement de quelques--uns de ces dispositifs. Dans tous les cas, l'appareil de mesure repose sur un socle (ou support) très rigide, solidaire du sol sur lequel l'appareil est posé. Ainsi, on peut considérer que les vibrations du sol sont transmises au socle sans délai et sans atténuation. Le socle peut être considéré comme un corps solide dont le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre, assimilé à un référentiel galiléen. En l'absence de toute vibration, le socle est au repos dans ce référentiel. (1 D / / V + / / / / ' Î @ felH®* > \, / / \ \ _ » * % T Axe de rotat1on et ressort de torsion eZ® y EURXJ Un bras est assujetti à tourner dans le plan horizontal (x,y) autour d'un axe vertical solidaire du socle. La position du bras est repérée par un angle 9. A une extrémité du bras, et à une distance d de l'axe, est fixée une masse élevée m, supposée ponctuelle. Un ressort de torsion de constante C, exerce un couple de moment égal à --C9 qui a pour but de rapprocher le bras de sa position d'équilibre 9 = 0, tandis qu'un mécanisme d'amortissement exerce sur le bras un couple de moment Figure II.3 é al à -- -- (Fi ure 11.3). C et sont des constantes ositives. g Y d t g Y P A l'autre extrémité du bras, et à distance D de l'axe, une plume trace (sans frottements appré- ciables) un signal sur un cylindre enregistreur, si bien que l'on peut considérer que le signal de sortie du dispositif mécanique est égal au déplacement de l'extrémité de la plume, soit s(t) : D 9(t). Deux butées empêchent le bras de s'écarter au delà d'une valeur limite \9\ < 9maX. - II.2.1 A laquelle des grandeurs physiques, vitesse ou accélération du sol, un tel dispositif est-il sensible ? - II.2.2 Le socle est soumis à une vibration horizontale uniforme, mais dépendante du temps. Le déplacement du socle est x(t)ê'x par rapport au référentiel terrestre. On se place dans le référentiel du socle et on néglige la masse du bras de mesure devant la masse m, supposée ponctuelle. Exprimer la force d'inertie d'entraînement Îe(t) s'appliquant àla masse m. - II.2.3 En déduire, toujours dans le référentiel du socle, l'équation différentielle à laquelle obéit l'angle 9. On appliquera, dans ce référentiel, le théorème du moment cinétique àla masse m. - II.2.4 On se restreint désormais à un déplacement x(t) : x0 cos(Qt) purement sinusoïdal, et on laisse au système mécanique un temps suffisant pour ne pas avoir à tenir compte du régime transitoire. On suppose également que l'angle 9 effectue des oscillations de petite amplitude, et 5/13 bien inférieures à 1 radian. Exprimer alors l'amplitude E du signal de sortie, comme le produit de l'amplitude Ee du signal d'entrée, et d'une fonction de transfert Ii(Q), où fiexp(th) et & exp(th) sont les représentations complexes respectives des fonctions sinusoïdales s(t) et fe(t) (avec fe(t), projection de la force d'inertie Îe(t) sur l'axe Ox). - II.2.5 Tracer le diagramme de Bode asymptotique (amplitude et phase), et reconnaître la nature du << filtre >> Ii(Q). - II.2.6 Une vibration d'amplitude x0 = 1 cm et de fréquence 1 Hz fait-elle sortir l'appareil de mesure de son régime normal de fonctionnement 191 < EUR"... ? Données : Gmax : O, 1 rad, 7: 0,2 J.s.rad_1, m = 1 kg, d = 10 cm, D = 1 m, C = 0,3 Jrad--1. II.3 Sismomètre de Lehman Le schéma de fonctionnement du sismomètre de Lehman est représenté sur le schéma de la Figure 11.4. axe de rotation cable masse m CE "| | |FM I_I |_l Socle, support Îy \e m e @" l à " CE (1 Figure II.4 Il se compose d'un bras articulé pouvant tourner dans le plan horizontal autour d'un axe vertical so- lidaire du socle (ou support). Une masse de plomb m, assimilée à une masse ponctuelle, située à une distance d de l'axe, confère au bras une inertie élevée. Le moment d'inertie de la masse par rapport à l'axe de rotation est] : md2. Un câble métallique permet d'ajuster l'horizontalité du bras mobile. L'enregistrement du mouvement du bras se fait a l'aide d'un capteur électromagnétique (CE), facili- tant ainsi l'acquisition du signal à l'aide d'un dispositif électronique ou informatique approprié. Un dispositif de freinage magnétique (FM) permet d'ajuster la valeur du coefficient d'amortissement y du dispositif, défini comme dans la partie 11.2 précédente. Un ressort de torsion de constante C ramène le bras à sa position d'équilibre. 6/13 II.3.1 Fonctionnement du capteur électromagnétique (CE). Le capteur électromagnétique est constitué d'un aimant solidaire du bras mobile, qui se déplace par rapport a une bobine d'induction solidaire du socle. Pour étudier l'interaction entre l'ai- mant et la bobine, nous nous plaçons, dans les questions qui suivent, dans le référentiel de l'aimant permanent. II.3.1.1 Un segment métallique MN de longueur EUR =MN dirigé suivant l'axe ê}, se déplace à vitesse contante ? : v0ê'x, dans un champ magnétique uniforme B : B0ê'y, avec BO > 0 et indépendant du temps. Donner l'expression de la force électromotrice induite aux bornes MN du segment. II.3.1.2 @, A P2 P / N _' \ P1 \ +C B =Î Vo B =BÛeÎ : X 0: Figure 11.5 La bobine est maintenant modélisée par une boucle carrée PQMN, située dans le plan sz, a laquelle sont reliés deux fils conducteurs horizontaux et parallèles (voir les points P1, P2 sur la Figure 11. 5). On suppose que règne dans le demi- -espace x > () un champ magnétique constant, B= BOey, tandis que le champ magnétique régnant dans le demi- -espace x < 0 est nul: B: 0. La boucle carrée est animée d' un mouvement de translation a vitesse constante v0-- _ voex. Le segment MN, de longueur 6, se trouve dans le demi-espace x > () et le segment PQ dans le demi-espace x < 0. La position du circuit est définie par la position (xc, 375) de son centre C. Donner l'expression de la force électromotrice ep1 [32 entre les bornes P1 et P2 du circuit. II.3.1.3 ®}, Z /\ L / + / \ ? C R x 05 Figure II.6 7/13 La bobine est désormais modélisée par un circuit, situé dans le plan sz, constitué de deux portions rectilignes, de longueur L, fermées par deux portions semi--circulaires de rayon R (Figure 11.6). Le circuit est coupé en un point de facon a laisser passer deux fils conducteurs proches et parallèles, l'orientation du circuit va de P1 vers P2. Donner l'expression du flux > ainsi obtenu. II.3.2.4 Le signal excitateur fe(t) est brusquement coupé. Quels sont les différents régimes possibles présentés par le signal s(t) ? Accompagner votre réponse de schémas indiquant l'al- lure des courbes représentatives des différentes fonctions s(t), après la coupure du signal ex- citateur. II.3.2.5 Pour un fonctionnement optimal, le détecteur doit présenter un signal d'amplitude suffisante, tout en bénéficiant d'un amortissement suffisant pour ne pas engendrer d'oscilla- tions indésirables (c'est-à-dire d'oscillations de s(t), qui seraient absentes du signal excitateur fe(t)). Dans quel régime de la question précédente est-il préférable de se placer ? On donne les valeurs suivantes : coefficient d'amortissement y = ] J.s.rad_1, masse m = 1 kg et distance de la masse à l'axe de rotation cl : 0,5 m. Calculer la valeur de la constante de rappel C qui vous semble optimale. Remarque : Pour créer l'équivalent mécanique d'une constante de rappel C, il n'y a pas besoin de ressort. Comme le prouve la partie préliminaire, il sufit d'incliner légèrement l'axe de rotation du bras de mesure, dans le plan (y,z), de façon a ce qu'il fasse un angle B avec la verticale, en direction de @, ainsi que représenté sur la Figure 11.2. 11.4 Propagation d'ondes de vibrations acoustiques On rappelle que le laplacien d'une fonction de l'espace, rapporté à des coordonnées sphériques (r, 9,(1)), est: _ l 82 l 82 cotan9 &) l 82 AP(ïaea'?) _rôî(rp)+rîfip+r--ZÊP+MOEP - II.4.1 Que devient l'expression du laplacien dans un problème a symétrie sphérique ? En déduire l'équation de propagation de d'Alembert d'une onde de pression p a la vitesse cs, dans un espace homogène et isotrope. - II.4.2 Montrer que la fonction représentant la surpression p(r, t) : sin(kr -- (Qt) [' : p(r,) po kr est solution de l'équation de d'Alembert, a condition que k, 00 et c vérifient une certaine rela- tion que l'on donnera. Quelle est la forme des surfaces d'ondes dans ce cas particulier ? 9/13 - II.4.3 A grande distance, la vitesse de déplacement du milieu V(r, t), dans lequel se propage l'onde, est reliée au champ de pression p(r, t) par la relation p(r,t)s V(r,t)= Z er où l'on a défini Z comme le produit de la masse volumique ,u() du milieu, et de la célérité de l'onde cs. Quel nom porte la quantité Z ? - II.4.4 On introduit le vecteur Îe : p(r,t)î(r,t). Ce vecteur représente le flux instantané d'énergie acoustique associé à l'onde p(r,t). Calculer la valeur moyenne temporelle du flux d'énergie traversant, par unité de temps, une surface sphérique de rayon R, centrée sur l'ori- gine O du repère de coordonnées sphériques. Exprimer le résultat en fonction de po, k, Z et R. - II.4.5 Comment la puissance transportée par l'onde décroît-elle en fonction de la distance a la source ? II.5 Propagation d'ondes sismiques Les vibrations sismiques se composent, d'une part d'ondes de compression, et d'autre part d'ondes de cisaillement. Ces ondes ne se propagent pas a la même vitesse, ce qui permet de les distinguer. Enfin, il y a également des << ondes de surface >>. La source de ces ondes peut être naturelle (tremblement de Terre), ou artificielle (explosion sou- terraine de forte puissance, camion vibreur). L'étude du temps de propagation de ces ondes apporte des renseignements précieux sur la nature du sous--sol et des couches internes de la Terre. Dans cette partie, on montre dans un cas simple comment le temps de propagation de ces ondes permet de connaitre la vitesse de propagation en profondeur. Dans ce qui suit, le sous--sol est modélisé comme une succession de couches horizontales, au sein desquelles la vitesse de propagation de l'onde sismique V(z), dépend de la profondeur z, supposée positive. Dans cette partie, l'axe Oz caractérise la verticale orientée vers le bas, contrairement aux parties précédentes où il caractérisait la verticale ascendante. Pour étudier la propagation des vibrations dans le sous-sol, on a recours a une analogie avec l'optique. Une source de vibration émet a la surface du sol, en un point 0, un train d'ondes sismiques. On appelle rai sismique la trajectoire normale à toutes les surfaces de l'onde émise. Le rai sismique est l'analogue du rayon lumineux. - II.5.1 Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction d'un rayon lumineux à l'interface de deux milieux transparents d'indice de réfraction respectivement égaux à l et n > 1. Illustrer votre réponse par un schéma. - II.S.2 Par analogie avec l'optique, on définit 1' << indice de réfraction >> des ondes sismiques comme égal à l'inverse de la v1tesse : n(z) : m. L'indice de réfraction a1ns1 defini a donc la z dimension de l'inverse d'une vitesse, contrairement à l'indice optique qui est sans dimension. Définir pour les ondes sismiques, l'analogue du chemin optique dans un milieu d'indice va- riable, et montrer que cette quantité T. est égale au temps de propagation de l'onde sismique le long du rai sismique. 10/13 - 11.5.3 X 0 Surface du sol m=l \ m=2 \; m=5 --e'l 14 j\ v Z Z 15 Figure 11.8 Le rai sismique peut être vu comme une trajectoire z(x). On introduit i, angle en radian entre la tangente à la trajectoire et la verticale définie par ê}. En raisonnant sur un milieu constitué de couches horizontales d'indice n... (Figure 11.8), et en appelant i... l'angle du rai avec la verticale dans la couche m, montrer que le produit n... sin(i...) reste constant le long du rai (les lois sont les mêmes qu'en optique). En déduire que dans un sol où l'indice dépend continûment de la profondeur z, la grandeur sin(i (x)) / V(z(x)) reste constante le long de la trajectoire. Exprimer sin(i(x)) en fonction de la dérivée dz / dx de la trajectoire du rai sismique. 11.5.4 A 0 Surface du sol A B X A? Figure 11.9 On considère un rai OA issu d'une source 0 située à l'origine x = 0, z = () du repère. Ce rai est incurvé de façon à revenir vers la surface en un point A situé a une distance A : xA de la source des ondes, après être passé par un point A' de profondeur maximale z = h (Figure 11.9). Quel doit être le sens de variation de l'indice avec la profondeur, et par voie de conséquence, de la vitesse V(z), pour qu'une telle situation soit observée ? A quel phénomène optique fréquent dans les régions chaudes et désertiques du globe, la situa- tion ci-dessus est-elle comparable ? 1155 Si A' est le point de profondeur maximale h, la quantité sin(i) /V(z) reste égale à ] /V(h) le long de la trajectoire. Déduire de cette relation, de la question 11.53, et en fonction de V(z) et de V(h), l'équation différentielle a laquelle obéit la trajectoire z(x) du rai sismique. 11/13 - II.S.6 En supposant que la vitesse de propagation des vibrations sismiques obéit à la loi V(z) = V0 + Kz, et en se limitant aux rais sismiques dont la profondeur il reste suffisamment faible pour que la quantité Kz/VO soit petite devant ], vérifier que la trajectoire d'équation z(x)=h-- (Æ--xÆ>Z est solution de l'équation différentielle obtenue. Quelle est la forme géométrique de ce rai sismique ? Pour quelle valeur de x, z(x) s'annule-t-il ? Remarque : la constante Vo n'est autre que la vitesse de propagation des ondes au voisinage de la surface, et K le premier coeflicient du développement limité de V(z) au voisinage de la surface. - II.S.7 La figure 11.9 représente deux rais issus de 0 sous des incidences très proches de i0 (angle entre le rai et la verticale), émergeant en deux points voisins A et B, et contenus dans un même plan vertical. Le point C appartenant au rai émergeant en B, forme avec A et B un triangle (presque) rectangle. Il en résulte que A et C appartiennent a la même surface d'onde, vibrent en phase, et que le temps de propagation de l'onde depuis la source est identique pour A et C. Exprimer la distance CB en fonction des coordonnées xA et xB des points A et B et de sin i(). Sachant que dans cette zone proche de la surface du sol, la vitesse reste quasi égale à V0 = V(z : ()), exprimer la différence entre le temps de propagation T(A) le long du rai OA et "((B) le long du rai OB. - II.S.8 Montrer que la vitesse apparente des ondes en surface, définie comme XB --XA "t(xB) -- T(XA) va: pour deux rais sismiques émergeant en deux points A et B proches, est égale à la vitesse de l'onde au point A' de profondeur maximale z = h. - II.5.9 Cette question peut être traitée indépendamment des questions précédentes. Le résultat de la question précédente suggère qu'il doit être possible de déduire la vitesse de propagation des ondes en profondeur V(h), a partir de mesures faites en surface. Malheureu- sement, la profondeur h du rai reste inconnue. Le principe de la détermination de la vitesse V(z), fonction de la profondeur z, repose sur la formule d'inversion de Herglotz-Wiechert : Va (A) ) h(A) : è/0AduArgCh (Va...) où ArgCh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique, A la distance a la source, Va(A) la vitesse apparente des ondes en surface, fonction de la distance A, u une variable muette d'intégration, et G une constante qui reste à déterminer. 12/13 D'autre part, le résultat de la question 11.5.6 permet d'établir facilement la relation entre h et A. On trouve que : K h A = --A2 ( ) % 1<2A2 En substituant a Va(A), l'expression Va(A) : V(h(A)) : V0 + Kh : V0 + W' puis 0 2 2 K Va(u) = V(h(u)) : V0 + % dans la formule de Herglotz-Wiechert, et en ne retenant que les 0 1<2A2 K2u2 termes d'ordre les plus bas en ? et ? , calculer la valeur numérique de la constante G. 0 0 Données : ArgCh(x) : 2(x -- 1) au voisinage de x : 1. Fin de l'énoncé 13/13

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 CCP Physique 1 PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aymeric Spiga (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de deux problèmes distincts. Le premier est un court exercice faisant intervenir des notions élémentaires de statique des fluides et d'optique géométrique. Le but est de différencier expérimentalement des pierres de propriétés physiques distinctes. Le deuxième, beaucoup plus long, propose d'aborder plusieurs aspects de la mesure des ondes sismiques. · Dans la partie II.1, un préliminaire de mécanique du point et du solide montre comment obtenir, à moindre coût, un dispositif similaire à un ressort de torsion de constante de rappel réglable. · La partie II.2 propose une analyse du comportement fréquentiel d'un sismomètre élémentaire. · La partie II.3 s'intéresse au sismomètre de Lehman, plus élaboré. L'étude de son capteur électromagnétique, proposée à la question II.3.1, permet d'aborder des notions d'induction magnétique. La question II.3.2 étudie la sensibilité de ce sismomètre au moyen d'une approche similaire à celle adoptée dans la partie II.2. · La partie II.4 rappelle des résultats classiques sur la propagation d'ondes acoustiques. · La partie II.5 porte sur les ondes sismiques elles-mêmes, dont la propagation dans le sol peut être caractérisée par analogie avec la propagation des rayons lumineux dans un milieu d'indice de réfraction variable. Une introduction aux méthodes d'inversion en sismologie est proposée en fin de partie. L'épreuve, bien équilibrée, aborde divers thèmes de physique intégrant des éléments des programmes de PCSI et de PC. Les parties peuvent être traitées indépendamment, même si leur enchaînement obéit à une certaine cohérence. Les questions ne comportent pas de difficultés particulières, et certaines parties sont même très proches de raisonnements effectués en cours. L'épreuve constitue donc un excellent problème de révision, assez long mais très didactique. Indications Problème I I.1.1 Comment varie le volume immergé ? I.2.1 Commencer par énoncer les lois de Snell-Descartes. Problème II - II.1.4 La base ( er , - e , - ey ) est-elle directe ? II.1.5 Le plan (xOz) est le support du mouvement. Expliquer pourquoi la situation est équivalente à celle des questions précédentes, mais avec une gravité « équivalente » g plus faible que g. II.1.7 Contrairement à ce qui est indiqué dans l'énoncé, la variable n'intervient pas dans l'expression de C. II.2.1 Le sismomètre détecte le caractère non galiléen du référentiel « socle ». Quel type de mouvement faut-il donc imprimer au socle pour que le référentiel ne soit pas galiléen ? II.2.4 Mettre la fonction de transfert sous forme canonique. II.3.1.1 De quel type de phénomène d'induction s'agit-il ? Quelle est la méthode la plus appropriée pour calculer la force électromotrice ? II.3.1.2 Distinguer le cas où |xC | < /2 de celui où |xC | > /2. II.3.1.5 Veiller à l'homogénéité de la formule lors du passage de la somme discrète à l'intégrale. II.3.2.1 Quelles sont les différences avec le montage de la partie II.2 ? II.3.2.4 Que devient l'équation différentielle du mouvement lorsque le signal excitateur est coupé ? Distinguer les régimes de relaxation à l'aide de l'équation caractéristique. II.4.4 Contrairement à ce qu'indique l'énoncé, le résultat ne dépend pas de R. II.5.3 Inscrire l'angle i dans un triangle rectangle de côtés dz et dx. II.5.6 À l'aide de la formule donnée par l'énoncé, écrire la dérivée dz/ dx sans faire intervenir x. II.5.9 En linéarisant l'intégrande au moyen de l'approximation indiquée, commencer par montrer que l'intégrale est proportionnelle à 2 . Les conseils du jury Le rapport du jury note pour sa part que « l'épreuve s'est avérée longue et aucun candidat n'a été en mesure de la terminer. En revanche, de nombreuses questions faciles réparties tout au long de l'épreuve ont permis à la grande majorité des candidats de bien composer. Des questions portant sur des points a priori simples et fondamentaux du programme se sont en fait révélées très discriminantes. » Les erreurs les plus fréquentes relevées dans le rapport d'épreuve sont les suivantes : · « Les tracés incorrects de rayons réfractés à la traversée d'un dioptre. » · « La méconnaissance du pendule pesant (équation différentielle fausse, énergie potentielle de gravitation incorrecte). » · « Les f.é.m. « vectorielles » et autres confusions entre force et force électromotrice. » · « Les erreurs de signe dans les fem d'induction, surtout dans des cas élémentaires relevant de l'application directe du cours. » · « La méconnaissance des régimes libres d'un oscillateur RLC ou assimilé. » Problème I Jeux d'eau et de lumière I.1 Vérification des niveaux I.1.1 Le glaçon est soumis à deux forces : - · la force de pesanteur P = g Vg - g ; - · la poussée d'Archimède = - Vi - g , opposée au poids du fluide déplacé (Vi est le volume immergé). - - P - g Ce glaçon est à l'équilibre, et le bilan des forces suivant la verticale donne Vi = g Vg Lorsqu'une masse d'eau m = g Vg fond, la variation du volume immergé est m Vi = - g Vg = - Dans le même temps, cette fonte de glace a augmenté le volume d'eau d'une quantité m/ , qui correspond exactement à la diminution du volume immergé. La fonte du glaçon ne s'accompagne d'aucune variation du niveau h. Récemment, dans certains articles de presse, l'élévation des mers en situation de réchauffement climatique est expliquée par la fonte des banquises. Or, l'application du principe d'Archimède ci-dessus au cas des banquises (glaces immergées, ou glaces de mer) montre que ce raisonnement est erroné. Les banquises sur l'océan ne sont cependant pas équivalentes à des glaçons dans de l'eau, car les glaces de mer sont en général de salinité moins élevée que les océans (donc de masse volumique plus faible). Aussi, la fonte des glaces de mer provoque, en théorie et par ces effets de salinité, une élévation du niveau des océans. En pratique, néanmoins, cette élévation reste marginale. L'élévation de niveau observée actuellement (une quinzaine de centimètres au cours du XXe siècle) est plutôt une conséquence de la dilatation des masses océaniques proches de la surface. Les glaces continentales non immergées, comme le Groenland ou l'Antarctique, feraient encore plus significativement augmenter le niveau des mers (de l'ordre du mètre), en cas de fonte partielle sur une échelle temporelle de quelques siècles. Une bonne source d'information pour en savoir plus sur des problèmes de géophysique est le site http://planet-terre.ens-lyon.fr/planetterre. I.1.2 Lorsque la pièce de métal de masse m = V tombe dans l'eau, la variation de volume immergé de bois dans l'eau est Vi = -m / . La variation conjointe du volume d'eau est donnée par V = m / m / puisque le métal est beaucoup plus dense que l'eau. La diminution de volume immergé Vi n'est dès lors pas compensée par une augmentation significative V . Le niveau d'eau h baisse.